Ze względu na rodzaj instrumentów finansowych występujących na rynku, rynek finansowy podzielić możemy na:

Rozdział 1 Rynek finansowy Rynek finansowy to rynek, na którym dokonuje się sprzedaży i kupna instrumentów finansowych. Instrument finansowy(financial instrument) to kontrakt między dwiema stronami opisujący zależność finansową między nimi. Papier wartościowy(security) to instrument finansowy, w którym występuje roszczenie jednej ze stron(okaziciela, posiadacza) w stosunku do majątku(aktywów) drugiej strony(emitenta). Papiery wartościowe mogą mieć charakter wierzycielski- jedna ze stron kontraktu staje się wierzycielem emitenta np. obligacje (bond), bony skarbowe(treasury bills), weksle(promissory note); udziałowy(własnościowy) np. akcje(share,stock). Nabywca akcji staje się współwłaścicielem spółki akcyjnej, która emituje akcje. Ze względu na rodzaj instrumentów finansowych występujących na rynku, rynek finansowy podzielić możemy na: 1. rynek pieniężny(money market) to rynek lokat międzybankowych, rynek krótkoterminowych papierów wartościowych i kredyty krótkoterminowe. cechy: duża płynność, instrumenty o charakterze wierzycielskim, horyzont czasowy inwestycji 1rok;cel:zapewnieniepłynnościfunkcjonowaniapodmiotówgospodarczych. Instrumenty finansowe: bony skarbowe- walory o charakterze wierzycielskim, o dużej wartości emitowanymi przez Skarb Państwa; bony komercyjne- emitowane przez podmioty komercyjne, zawierające deklarację emitenta o wypłaceniu posiadaczowi bonu sumy nominalnej w określonym terminie; 3

certyfikaty depozytowe- stwierdzają fakt zdeponowania określonej sumy na wskazany procent; akcepty bankierskie- zobowiązują banki prowadzające rachunki stron do wykonania określonego transferu pieniężnego; umowy REPO(odkupu) oraz reverse REPO- zobowiązujące stronę sprzedającą do odkupienia określonych walorów od strony kupującej, po tzw. cenie sprzedania oraz stronę kupującą, do wykonania odwrotnej transakcji w określonym terminie, po określonej cenie. Na rynku pieniężnym banki posiadające nadwyżki środków są gotowe je odsprzedać, czyli udzielić pożyczek innym bankom za określoną cenę. Z taką transakcją związane jest oprocentowanie, czyli kurs kupna, oraz w przypadku transakcji odwrotnej kurs sprzedaży. Dla danego rynku pieniężnego rozpatruje się kursy średnie. W ten sposób mamy na przykład: LIBOR-(London Interbank Offered Rate) oraz LIBID-(London Interbank Bid Rate) uśrednione kursy odpowiednio sprzedaży i kupna na rynku londyńskim, WIBOR(Warsaw Interbank Offered Rate) i WIBID- warszawski odpowiednik. 2. rynek kapitałowy(capital market) Na rynek kapitałowy składają się: rynek akcji i rynek obligacji. Oba te rynki mają na celu umożliwienie przepływu kapitału od inwestora do podmiotu wymagającego środków pieniężnych. W pierwszym przypadku transfer taki ma charakter nabywania pewnego rodzaju prawa własności do emitenta akcji(a co za tym idzie przejęcia ryzyka podejmowanych przez niego inwestycji), w drugim ma miejsce pewnego rodzaju pożyczanie środków finansowych emitentowi obligacji na procent. cechy: dość płynny, instrumenty o charakterze wierzycielskim lub własnościowym, horyzontczasowyinwestycji 1rok;cel:alokacjaipozyskiwaniekapitału,przekształcanie kapitałów pieniężnych(oszczędności) na kapitał trwały. Instrumenty finansowe: głównie akcje i obligacje. 3. rynek instrumentów pochodnych(derivatives market). Instrument pochodny to taki, którego cena zależy od ceny innego instrumentu. cel: zabezpieczenie przed ryzykiem(hedging), możliwość osiągania ponadprzeciętnych zysków. Instrumenty finansowe: opcje, kontrakty terminowe. 4

4. rynek walutowy(foregin exchange market)- obejmuje transakcje polegające na wymianie walut, instrumentów finansowych różnych krajów w celu regulowania zobowiązań płatniczych o charakterze międzynarodowym. 5. rynek ubezpieczeniowy. Istnieje również podział rynku finansowego ze względu na termin wykonania transakcji. Rynek gotówkowy tworzą te transakcje, w przypadku których dostarczenie przedmiotu obrotu następuje bezpośrednio(do kilku dni) po jej wykonaniu. W przeciwnym wypadku mamy do czynienia z rynkiem terminowym. Inne ważne kryterium prowadzi do podziału rynku finansowego na rynek pierwotny i rynek wtórny. Rynek pierwotny występuje tylko w przypadku pierwszej sprzedaży papieru wartościowego przez emitenta. Jednostką emitującą papiery wartościowe może być Skarb Państwa, agencja rządowa lub lokalna, firma czy bank. Pierwszymi nabywcami są zazwyczaj domy maklerskie lub banki, które dalej odsprzedają je w ramach rynku wtórnego. Sprzedaż w ramach rynku pierwotnego może być adresowana do określonej zamkniętej grupy odbiorców, jak i może mieć charakter oferty publicznej. W drugim przypadku emisja podlega lustracji Komisji Papierów Wartościowych i Giełd, sprawującej nadzór nad przestrzeganiem reguł uczciwego obrotu i konkurencji. Transakcje rynku wtórnego mogą odbywać się w ramach giełdy bądź w ramach tzw. rynku pozagiełdowego. 5

Rozdział 2 Czas rzeczywisty a czas bankowy Aby obliczyć dokładną liczbę dni między określonymi datami wygodnie jest skorzystać z tablicy kalendarzowej, która przyporządkowuje dniom kolejne liczby naturalne. Liczbę dni w czasie kalendarzowym(act- actual time) wyznaczamy jako rzeczywistą liczbę dni pomiędzy dwiema datami, można ją wyznaczać sumując liczbę dni z kolejnych miesięcy lub jako różnicę odpowiednich numerów dni roku odczytanych z tablicy kalendarzowej. Jednostki czasu bankowego to: rok bankowy(360 dni), miesiąc bankowy(30 dni). Liczbę dni według rachuby bankowej obliczamy przyjmując, że miesiąc ma 30 dni(także pierwszy niepełny). Przykład 2.1. Wyrazić w latach przedział czasu od 20.05.2011 do 2.09.2011 stosując konwencję: a) ACT/360-lata bankowe(reguła bankowa), b) ACT/365- lata kalendarzowe, c)(bankowa liczba dni)/360, d)(bankowa liczba dni)/365. Który ze sposobów obliczania czasu jest korzystny dla dłużnika a który dla wierzyciela? Rokkalendarzowyskładasięz:7miesięcyodługości31dni,4miesięcyodługości30 dniijednegomiesiącaodługości28lub29dni.stąddlawierzycielanaogółkorzystnejest obliczanie dokładnej liczby dni, a dla dłużnika bankowej liczby dni. Zobacz więcej na http://en.wikipedia.org/wiki/day_count_convention 6

Rozdział 3 Wartość pieniądza w czasie Wartość pieniądza zmienia się w czasie. Jeden zł teraz ma większą wartość niż za rok. Dzieje siętakzuwagina: ryzyko nie otrzymania pieniądza w przyszłości, preferowanie bieżącej konsumpcji, możliwośćinwestycji. Do głównych zadań matematyki finansowej zaliczamy: określanie wartości przyszłej kapitału na podstawie wartości obecnej i wyznaczanie wartości obecnej kapitału na podstawie jego wartości przyszłej. Związane jest z dwiema wzajemnie odwrotnymi operacjami: akumulacją - obliczanie wartości przyszłej i dyskontowaniem- obliczanie wartości obecnej. Wykonując powyższe operacje posługiwać będziemy się ustalonym modelem oprocentowania, w którym zdefiniowane będą formuły określające akumulację i dyskontowanie. Odsetki 1 interesttocenajakąpłacisięzawypożyczeniekapitałulubkorzyśćpłynącaz użytkowania kapitału(w przypadku inwestycji możemy je utożsamiać z zyskiem z inwestycji). Prawdziwa jest zatem równość K 1 =K 0 +Z, (3.1) gdziek 0 -wielkośćwypożyczonegokapitału(kapitałpoczątkowylubwartościobecnakapitału), Z-odsetki w odniesieniu do okresu, na który wypożyczyliśmy kapitał. Okres ten nazywamyczasem(okresem)oprocentowania.k 1 -kapitałkońcowy(wartośćprzyszła kapitału). 1 Używasięteżokreśleniaprocent 7

Kapitalizacja odsetek to proces dołączania odsetek do kapitału początkowego, może to się odbywać na początku okresu oprocentowania, wówczas mamy do czynienia z kapitalizacją zgóry(wzaliczce)lubnakoniecokresu-kapitalizacjazdołu. Stopa procentowa(interest rate) i to wielkość wyrażona w procentach informująca jaką część kapitału początkowego stanowią odsetki: Stąd i= Z K 0 = K 1 K 0 K 0. (3.2) K 1 =K 0 (1+i) (3.3) Z=K 0 i. (3.4) Przykład 3.1. Deponujemy w banku kwotą 2000 zł, a po roku wycofujemy ją otrzymując 2400 zł. Oblicz odsetki i stopą procentową. K 0 =2000zł-początkowawartośćkapitału, K 1 =2400zł-końcowawartośćkapitału, Z=K 1 K 0 =2400 2000=400zł-odsetki, i= Z K 0 =0,20=20%-rocznastopaprocentowa. Przykład 3.2. Kowalski pożyczył sąsiadowi samochód(wartość pojazdu 40 tys. zł), który był mu niezbędny do transportu towaru(kosmetyków). Po tygodniu sąsiad zwrócił Kowalskiemu auto dodając kosmetyki o wartości 500 zł jako ekwiwalent za używanie pojazdu. Oblicz końcową wartość kapitału i stopę procentową. K 0 =40000zł-początkowawartośćkapitału, Z=500zł-odsetki, K 1 =K 0 +Z=40500zł-przyszławartośćkapitału, i= Z K 0 = 500 40000 =0,0125=1,25%-tygodniowastopaprocentowa. Stopa dyskontowa d(dyskont rate) i to wielkość wyrażona w procentach informująca jaką część kapitału końcowego stanowią odsetki: Stąd d= Z K 1 = K 1 K 0 K 1. (3.5) K 0 =K 1 (1 d) (3.6) Z=K 1 d. (3.7) 8

Przykład 3.3. Kowalski otrzyma za tydzień samochód(wartość pojazdu 40500 zł) jeśli dokona teraz wpłaty 40 000 zł. Oblicz wielkość odsetek i stopę dyskontową od inwestycji Kowalskiego. K 0 =40000zł-początkowawartośćkapitału, K 1 =40500zł-przyszławartośćkapitału, Z=K 1 K 0 =500zł-odsetki, d= Z K 1 = 500 40500 =0,0123=1,23%-tygodniowastopadyskontowa. Z każdą stopą procentową lub dyskontową związany jest okres stopy procentowej, czyli czas za który należne są odsetki występujące we wzorach(3.2) oraz(3.5). Okres stopy procentowej może różnic się od pkresu oprocentowania. W analizie inwestycji określa się tzw. okres bazowy inwestycji(najczęściej 1 rok). Stopa nominalna(nominal interest rate) to stopa procentowa związana z okresem bazowym. Należy zwracać uwagę na okres stopy procentowej, gdyż na ogół jesteśmy przyzwyczajeni do rocznych stóp procentowych. Czasami podawane są skumulowane stopy zwrotu z danej inwestycji. Np. w ofercie obligacji mówi się o zysku na poziomie 9% dla obligacji dwuletniej. Nie jest to roczna, ale dwuletnia stopa zwrotu. Stopa roczna jest dużo niższa. W celu wybrania najkorzystniejszej oferty należy zawsze posługiwać się jednym okresem stopy procentowej i jednym typem kapitalizacji dla wszystkich rozważanych ofert inwestycyjnych. Omówimy teraz różne typy kapitalizacji. Odsetki wyznacza się nie tylko w celu ich wypłacenia; mogą one być również dołączone do kapitału. Dzieje się tak np. w lokatach dłuższych nią jeden rok, w przypadku obligacji emerytalnych 10 letnich. Jak już wspomnieliśmy dopisywanie odsetek do kapitału nazywa się kapitalizacją odsetek. Czas, po którym odsetki zostają dopisane do kapitału, nazywa się okresem kapitalizacji lub okresem konwersji. Jeżeli odsetki dopisywane są do kapitału na końcu okresu kapitalizacji, to taką kapitalizacją nazywamy z dołu. Jeżeli odsetki dopisywane są do kapitału na początku okresów kapitalizacji, to taką kapitalizacją nazywamy z góry lub w zaliczce. Jeżeli okres kapitalizacji pokrywa się z okresem stopy procentowej, to mówimy o kapitalizacji zgodnej. W przeciwnym wypadku kapitalizacją nazywamy niezgodną. W zależności od sposobu ustalania odsetek kapitalizację dzielimy na prostą lub złożoną. Jeżeli podstawą do obliczania odsetek jest tylko kapitał początkowy, to kapitalizację taką nazywamy prostą. W kapitalizacji prostej odsetki nie stanowią kapitału. Jeżeli podstawą obliczania odsetek jest kapitał początkowy i nagromadzone odsetki do danej chwili odsetki, to kapitalizację taką nazywamy złożoną. Podsumowując rodzaje kapitalizacji można przedstawić w następujący sposób: 9

KAPITALIZACJA(Oprocentowanie) Z DOŁU Z GÓRY(Dyskonto handlowe) PROSTA ZŁOŻONA PROSTA ZŁOŻONA zgodna zgodna zgodna zgodna niezgodna niezgodna niezgodna niezgodna Prawdziwa jest formuła, zwana ogólnym modelem akumulacji F=P A, (3.8) gdzie F oznacza wartość przyszłą kapitału, P wartość obecną, natomiast A jest czynnikiem akumulującym. Podobnie prawdziwa jest formuła P=F D (3.9) którą możemy nazwać ogólnym modelem dyskontowania. W tym przypadku D oznacza czynnik dyskontujący. Oznaczenia F, P pochodzą od słów future i present. 10

Rozdział 4 Modele kapitalizacji prostej 4.1 Modele oprocentowania prostego z dołu- oprocentowanie proste 4.1.1 Oprocentowanie proste zgodne Oprocentowanie proste polega na kapitalizacji odsetek na koniec okresu oprocentowania(inwestycji), odsetki wylicza się tylko od kapitału początkowego proporcjonalnie do długości czasu oprocentowania. Niech i będzie stopą procentową za ustalony okres czasu oraz n czas oprocentowania równy liczbie okresów stopy procentowej i. Zatem odsetki za n okresów odkapitałupoczątkowegok 0 wynoszą Z=K 0 i+k 0 i+ +K 0 i=nk 0 i. (4.1) Stądi(3.1)wartośćprzyszłakapitałuK n ponokresachwynosi K n =K 0 +Z=K 0 +nik 0 =K 0 (1+ni) (4.2) Wzory(4.1)-(4.2) stanowią model oprocentowania prostego zgodnego. Wyrażenie 1+ni nazywamy współczynnikiem akumulacji prostej, służy on do wyznaczania wartości przyszłej kapitału po n okresach. Model oprocentowania prostego ma następujące cechy: Wartość kapitału rośnie z czasem liniowo. Wyraz wolny tej zależności liniowej to kapitał początkowyk 0 awspółczynnikkierunkowyjestrównyodsetkomza1okresk 0 i. stosuje się w praktyce w bankowych transakcjach krótkoterminowych(np. rachunki ROR). 11

Rysunek4.1:ModeloprocentowaniaprostegoK 0 =1000,rocznastopaprocentowai=10% WartośćprzyszłąkapitałuK n możemyzaktualizowaćnadowolnymoment.abywyznaczyćjegowartośćprzyszłąk n+k -pokolejnychkokresachwystarczydodaćdok n odsetki za kolejne k-okresów stopy procentowej tzn. K n K n+k =K n +kk 0 i=k n +ki 1+ni =K n(1+ ki 1+ni ) (4.3) AbyzdyskontowaćwartośćK n ok-okresówdlak n(czyliwyznaczyćk n k )należyodk n odjąć odsetki proste za k okresów: K n K n k =K n kk 0 i=k n ki 1+ni =K n(1 ki 1+ni ) (4.4) Przykład 4.1. Za 8 miesięcy otrzymamy wynagrodzenie w wysokości 1000 zł. Kwota ta zdyskontowana na 2 miesiące według modelu miesięcznej kapitalizacji prostej daje 900 zł. Jaka jest obecna wartość wynagrodzenia. Ze wzoru(4.4) mamy 900=1000(1 2r 1+8r ),stądi=8%,zatemz(4.2)k 0= 1000 1+8 8% =609,76. 12

Przykład4.2.Wdniu1lutego2011rokuKowalskizałożyłRORidokonałwpłaty3000zł, 11lutegowykonałprzelewnakwotę4600zł,20lutegootrzymałzapłatęzumowęodzieło wwysokości2700zł,1marcazapłaciłprzelewemczynsz-1900zł,26marcawpłynęłana jego konta zaliczka za umowę o dzieło w wysokości 2800 zł. Oblicz stan konta Kowalskiego nadzień31marca,jeślinominalnaoprocentowanierortoi=9%aodsetkisądopisywane co dwa miesiące, czas mierzony jest według reguły bankowej. Odsetkiprostezaokresod1lutegodo11lutego:K 0 =3000(saldonadzień1lutego), czasn=10/360,z 1 =nk 0 i=10/360 3000 0,09=7,5zł. Odsetkiprostezaokresod11lutegodo20lutego:K 0 = 1600(saldonadzień11lutego), czasn=9/360,z 1 =nk 0 i=9/360 ( 1600) 0,09= 3,6zł,itd. Rysunek 4.2: Wyciąg z konta ROR. Zadanie 4.1. Załóżmy dodatkowo, że bank Kowalskiego z Przykładu 4.2 zwiększa oprocentowanie o 50% w przypadku ujemnego stanu konta. Oblicz stan konta na koniec rozpatrywanego okresu. Zadanie 4.2. Obliczyć odsetki proste od pożyczki 12 tys. zł udzielonej na okres od 20.05.2011 do 02.09.2011 przy rocznej stopie procentowej równej 10%, stosując cztery metody liczenia czasu z Przykładu 2.1. 4.1.2 Oprocentowanie proste w podokresach(niezgodne) Rozważymy model oprocentowania prostego w podokresach. Zakładamy, że okres bazowy (rok)dzielisięnanam>1równychpodokresów.niechr=r m będzierocznąnominalną stopą procentową n-czas mierzony w latach. Po każdym z tych podokresów na koniec czasu oprocentowania do kapitału zostają dopisane odsetki wyznaczone według stopy procentowej i m.i m nazywamywzględnąstopąprocentową,stopąpodokresową.jakjużmówiliśmy, 13

stopa nominalna(z reguły roczna) jest zasadniczym nośnikiem informacji o ofercie bankowej, jakkolwiek odsetki w danym banku mogą być wyznaczane według stopy względnej. Niezgodność modelu polega na rożnych okresie stopy procentowej r(1 rok) i okresie kapitalizacji(1 podokres).naszymcelembędziewyznaczeniezwiązkumiędzyrai m.wdalszychobliczeniach przyjmiemy czas bankowy(rok= 360 dni, miesiąc =30 dni, rok 52 tygodnie). Jeżeli r oznacza roczną stopą procentową, to w zależności od m rozróżniamy następujące rodzaje oprocentowaniaprostego:półroczne-m=2,kwartalne-m=4,miesięczne-m=12,tygodniowe-m=52,dzienne-m=360.zauważmy,żejeżeliczasbędziemymierzyliliczba podokresów, a nominalną stopą procentową zastąpimy względną stopą procentową, to przypadek oprocentowania prostego w podokresach sprowadzi się do przypadku oprocentowania prostego zgodnego. Zamiana jednostki czasu odbywa się według wzoru: k=n m, (4.5) k-czas mierzony w podokresach. Rachunek procentowy w podokresach dla k- podokresów jest postaci: K k/m =K 0 (1+ki m ), (4.6) Z=kK 0 i m, (4.7) gdziek 0 -wartośćkapitałupoczątkowego,k k/m -wartośćprzyszłakapitałupokokresach, Z-odsetkiprosteodkapitałuK 0 zakokresów. Definicja 4.1. Stopy procentowe lub dyskontowe(w dwóch modelach oprocentowania) są równoważne, gdy dla ustalonego czasu oprocentowania i kapitału początkowego(lub kapitału końcowego) generują identyczne odsetki. Twierdzenie4.3.Wmodeluoprocentowaniaprostegowpodokresachstopyprocentowei m1, i m2 sąrównoważnewtedyitylkowtedy,gdy im 1 i m2 = m 2 m 1. Stądrocznastopaprocentowarrównoważnastopiepodokresoweji m wynosi r=m i m. Przykład 4.3. Pożyczka 1500 zł będzie spłacona jednorazowo po upływie 3 miesięcy wraz z odsetkami prostymi obliczonymi według miesięcznej stopy procentowej 1, 2%. Oblicz kwotę niezbędną do spłaty tej pożyczki. Ile wynosi równoważna roczna stopa procentowa dla tej pożyczki? 14

Podokresemjestmiesiąc,czylim=12,miesięcznastopaprocentowai 12 =1,2%,k=3 kapitałpoczątkowyk 0 =1500zł.Stądkwotaniezbędnadospłatypożyczkito K 3/12 =K 0 (1+k i 12 )=1500(1+3 1,2%)=1500 103,6%=1554. Rocznastopaprocentowarrównoważnastopiepodokresoweji 12 wynosir=12 1,2%= 14,4%. Przykład 4.4. Pożyczka o wysokości 50 tys. zł ma zostać spłacona w trzech ratach płatnych na koniec każdego z kolejnych kwartałów. Dwie pierwsze raty stanowią odsetki proste za dany kwartał, trzecia rata w wysokości 51500 zł pokrywa odsetki proste za trzeci kwartał oraz spłatę długu. Oblicz stopę procentową tej pożyczki. Podokrestokwartał-m=4,liczbapodokresówk=3,odsetkizajedenpodokres Z 1/4 =51500 50000=1500zł,zatem i 4 = Z 1/4 K 0 =1500/50000=3%. Przykład4.5.NiechroznaczarocznąstopąprocentowąPrzyszławartośćkwotyK 0 pot dniachwoprocentowaniuprostymjestrówna(i 360 = r 360 ): natomiast odsetki proste za ten okres: K t =K 0 (1+t r 360 ) Z=K 0 t r 360 = L DP, gdzieczynnikl=k 0 tnazywasięliczbąprocentowąodpowiadającąkwociek 0 zaokrest, natomiast DP = 360/r dzielnikiem procentowym. Liczba procentowa jest funkcją czasu, dzielnik procentowy zaś wielkością stałą(niezależną od czasu). Przyjmijmy, że na rachunku bankowym dokonano N operacji bankowych: wpłat i wypłat, przyczymwysokośćkwotyj-tejoperacjioznaczamyprzezs j dlaj =1,2,...Wpłaty poprzedzonesąznakiem +,awypłatyznakiem -.Niecht j oznaczaliczbądni,które upłynęły między dniem dokonania j-tej operacji a dniem rozrachunku t. Przy powyższych oznaczeniach wartość konta bankowego w dniu t jest równa: N Nj=1 S j t j K t = S j +. j=1 DP SumąL= N j=1 S j t j nazywamysumarycznąliczbąprocentową. 15

Zadanie 4.4. Wykorzystując liczbą procentową i dzielnik procentowy oblicz stan konta Kowalskiego z Przykładu 4.2. Zmienne stopa procentowa NiechK 0 będziekapitałempoczątkowym,n-czasemoprocentowaniawlatach.załóżmy,że wnastępującychposobienpodokresachodługościodpowiednion 1,n 2,...,n N takich,że n= N j=1 n j następujezmianarocznejstopyprocentowejnawartośćr j wj-tympodokresie dlaj=1,2,...,n.wówczasodsetkiprostewj-tympodokresiewynoszą: Z j =n j K 0 r j, a za cały okres oprocentowania: Z= N N Z j =K 0 r j n j (4.8) j=1 j=1 oraz wartość przyszła kapitału po n latach: N K n =K 0 +Z=K 0 (1+ r j n j ) (4.9) j=1 Powyższe dwa równania stanowią model oprocentowania prostego przy zmiennej stopie procentowej. Definicja 4.2. Przeciętną stopą procentową r w okresie n-lat w modelu oprocentowania (4.8)-(4.9)nazywamyrocznąstopęprocentową,przyktórejodsetkizanlatodkapitałuK 0 w modelu oprocentowania prostego będą równe odsetkom w modelu oprocentowania prostego przyzmiennejstopieprocentowej,tzn.nk Nj=1 0 r=k 0 r j n j,czyli r= 1 N r j n j. nj=1 Zadanie 4.5. Ulokowano 18 000 zł. Przez pierwsze 4 miesiące obowiązywała stopa 6%, przezkolejne3miesiące5,5%,potemprzez5miesięcy4,5%.obliczyćłączneodsetkioraz przeciętną stopę procentową. 16

4.2 Model oprocentowania prostego z góry- dyskonto handlowe proste Inną formą niż odsetki proste opłaty za użytkowanie kapitału są odsetki w postaci dyskonta D.WartośćdyskontaDokreślonajestnapodstawiekapitałukońcowegoK n (kwotyktórą należy zwrócić w przypadku pożyczki), płatna w chwili początkowej i dana wzorem: D=K n K 0 (4.10) gdziek 0 jestwielkościąkapitałupoczątkowego.oczywiściezałożyćnależy,żed<k n. Model oprocentowania prostego z góry(dyskonto handlowe) jest określony następująco: opłatą za użytkowanie kapitału jest dyskonto, które jest proporcjonalne do czasu oprocentowania i wartości kapitału końcowego. Stąd wynika, że D=nK n d, (4.11) gdzien-czasoprocentowania,k n -wartośćkapitałukońcowego,d-współczynnikproporcjonalności, czyli stopa dyskontowa(por.(3.5)). Stąd i(4.11) mamy K 0 =K n (1 nd) (4.12) Model dyskonta handlowego prostego jest określony przez formuły(4.11)-(4.12) i ma następujące cechy: wartośćpoczątkowak 0 jestmalejącąliniowąfunkcjączasuoprocentowania.wyraz wolnywtejzależnościliniowejtokapitałkońcowy,awspółczynnikkierunkowytok n d modele dyskonta handlowego prostego stosowane są w rachunkach weksli i bonów skarbowych. Przykład 4.6. Aby dziś otrzymać pożyczkę należy oddać po 4 miesiącach 1600 zł. Ile wynosi kwota pożyczki jeśli opłata za nią jest w postaci dyskonta handlowego prostego o rocznej stopie dyskontowej d = 12%? Mamyn=1/3roku,K n =1600zł,zatemdyskontoD=1/3 1600 12%=64zł.Stąd K 0 =K n D=1536zł. Przykład 4.7. Pożyczyliśmy dziś kwotę 1600 zł. Ile wynosi roczna stopa dyskontowa d, aby można było spłacić pożyczkę kwotą 1700 za 3 miesiące. d= D nk n = 100 1/4 1700 =23,53%. 17

Zauważmy,żezzałożeniaD<K n wynika,że dn<1. (4.13) Definicja 4.3. Roczna stopa procentowa r jest równoważna rocznej stopnie dyskontowejd(por.definicja4.1),gdydlaustalonegoczasunikapitałupoczątkowegok n generują te same odsetki, tzn. zachodzi równość między odsetkami prostymi i dyskontem prostym. Poniższe równość stanowią charakteryzację równoważności rocznych stóp: dyskontowej i procentowej. Stąd,jeślidirsąrównoważne,to: d<r; D=Z, nk n d=nk 0 r, d= r 1+rn, n=1 d 1 r. (4.14) istnieje dokładnie jeden okres równoważności n(spełniający(4.14); Wzory(4.14) stanowią podstawę do równoważnej zamiany produktów bankowych opartych o modele oprocentowania prostego i dyskonta handlowego prostego. Przykład 4.8. Uzupełnij tabelę: d r n 4% 5%? 10%? 2? 25% 6 10%? 11 12% 9%? gdzie kolumna pierwsza to roczna stopa dyskontowa, kolumna druga to równoważna roczna stopa procentowa, kolumna trzecia to okres równoważności stóp. Definicja 4.4. Roczną stopą rentowności(zysku) r z transakcji przeprowadzonej w oparciu o model dyskonta handlowego(prostego) w okresie n nazywamy roczną stopę procentową równoważną rocznej stopie dyskontowej d. Jest ona dana wzorem r= d 1 dn (4.15) 18

Przykład 4.9. Firma METANGO ma do wyboru dwa produkty bankowe: A lokatę z oprocentowaniem prostym z góry(dyskontową) na 90 dni ze roczną stopą dyskontowąd=16%; B 90 dniową lokatę na rachunku bieżącym wypłacającą odsetki proste przy rocznej stopie procentowejr=17%. Który z nich przyniesie większe odsetki? Obliczymy roczną stopę rentowność produktu A: r= 16% 1 16% 90 360 Zatem METANGO powinna wybrać produkt B. =16,67%. Model dyskonta handlowego w podokresach wprowadza się podobnie jak model oprocentowania prostego w podokresach. Niech m oznacza liczbę podokresów w roku oraz k=n mbędzieczasemliczonymwjednostcerównejpodokresowi,wówczasjeślicena użytkowania(odsetki)kapitałuzaczaskjestwpostacidyskontaprostegod=f K 0,to D=F k id m K 0 =F(1 k id m ), (4.16) gdzieid m jestwzględnąstopądyskontową(stopąpodokresową).korzystajączewzoruna zamianę jednostki czasu i(4.16) otrzymujemy związek między roczną stopa dyskontową d=d m awzględnąstopądyskontowąid m : K 1 k id m =K 1 n m id m =K 1 n d, (4.17) d=m id m Definicja 4.5. Stopą rentowności(zysku) z transakcji przeprowadzonej w oparciu o model dyskonta handlowego(prostego) w podokresach(m-liczba podokresów w roku) w czasie k nazywamywzględnąstopęprocentowąi m równoważnąwzględnejstopiedyskontowejid m. Jest ona dana wzorem i m = id m 1 id m k (4.18) 4.2.1 Weksle Weksel to instrument finansowy w postaci zobowiązania do zapłaty określonej kwoty F po ustalonym czasie n(lub w ustalony terminie), ma on formę określonego dokumentu. Pełni 19

funkcję: kredytową, płatniczą, gwarancyjną, refinansową(faktoring). Rodzaje: 1. weksel trasowany: wystawca weksla(trasant) zobowiązuje się bezwarunkowo, że inna osoba(trasat) dokona na rzecz odbiorcy weksla(remitenta) zapłaty określonej sumy pieniężnej(wekslowej). 2. Weksel własny: wystawca weksla przyrzeka, że zapłaci sumę wekslową odbiorcy weksla. Więcej zobacz na http://pl.wikipedia.org/wiki/weksel oraz wystaw weksel korzystając z http://www.remitent.pl/jak-wystawic-najprostszy-weksel/829. Kwotę F do zapłaty której zobowiązuje weksel nazywamy wartością nominalną weksla. Termin, w którym należy spłacić wartość nominalną nazywamy terminem wykupu weksla. Wartością aktualną weksla przed terminem wykupu wyznaczamy w oparciu o model dyskonta handlowego prostego przy danej stopie dyskontowej jako wartość obecną kwoty nominalnej weksla. Do weksli stosuje się czas mierzony zgodnie z regułą bankową. Przykład4.10.Zapłatęzatowarowartości1800złwdniu3październikadokonanoza pomocą weksla o nominale 1830 zł z terminem wykupu 3 grudnia tego samego roku. Oblicz dyskonto, roczną stopę dyskontową weksla i rentowność tego weksla. K 0 =1800,F =1830,D=30,n= 337 276 360 = 61 360,stądd= 30 1830 0,169 =9,67%, rentownośćwekslar= d 1 d n =9,83%. W danym momencie przed wykupem weksla jest on określony przez uporządkowaną parę (F, n), gdzie F jest wartością nominalną weksla a n czasem liczonym do wykupu weksla. Jeślirocznastopadyskontowawynosid,towartośćobecnaK 0 wekslawynosi K 0 =F(1 nd). (4.19) Posiadacz(odbiorca) weksla może zamienić go na gotówkę dokonując jego zdyskontowania w banku, który wyrazi zgodę na jego przejęcie. Bank wypłaca wówczas odbiorcy weksla jego wartość obecną po ustalonej stopie dyskontowej. Przykład 4.11. Załóżmy, że weksle z poprzedniego przykładu został zdyskontowany w banku w dniu 3 listopada przy stopie dyskontowej d = 9%. Jaką kwotę otrzymał posiadacz weksla? Jaka jest rentowność z dyskontowania tego weksla? n=30/360,k 0 =1830(1 30 360 9%)=1816,27zł,r= d 1 dn =9,06%. Definicja4.6.Zasadarównoważnościweksli:dwaweksle(F 1,n 1 ),(F 2,n 2 )sąrównoważne, gdy ich wartości aktualne wyznaczone w oparciu o pewną stopę dyskontową d są 20

równe, tzn.: F 1 (1 n 1 d)=f 2 (1 n 2 d) (4.20) Równoważność weksli wykorzystujemy przy odnowieniu weksla tzn. operacji zmiany terminu wykupu weksla. Przykład 4.12. Emitent weksla z poprzedniego przykładu w dniu 4 listopada zwraca się do banku, który jest posiadaczem tegoż weksla o przesuniecie terminu wykupu na dzień 31 grudnia. Bank wyraża zgodę na odnowienie weksla przy stopie dyskontowej d = 10%. Ile wynosiwartośćnominalnaodnowionegoweksla?n 1 =29/360,n 2 =57/360,F 1 =1830 F 2 =F 11 n 1d 1 n 2 d =1843,46zł. Factoring http://www.brebank.pl/msp/finansowanie_transakcji_handlowych/faktoring_krajowy_z_przejeciem_wyplacalnosci_odbiorcy/#opis\i\korzyci Faktoring jest to nabycie przez faktoranta krótkoterminowej pieniężnej wierzytelności handlowej(np. w postaci weksla) przed terminem jej płatności z potrąceniem opłaty na rzecz faktora, z przejęciem ryzyka niewypłacalności dłużnika. Faktor jest to bank lub firma zajmująca się skupem wierzytelności handlowych. Faktorant jest to przedsiębiorca, któremu z mocy zawartej umowy handlowej(lub z tytułu weksla) przysługuje prawo do żądania zapłaty za sprzedane lub dostarczone towary lub świadczone usługi. Dłużnik faktoringowy jest to przedsiębiorca zobowiązany do zapłaty faktorantowi należności za nabyte towary lub usługi. Umowa faktoringu w formie doraźnej transakcji jest to umowa, na mocy której faktor skupuje jednorazowo jedną lub kilka oznaczonych w umowie wierzytelności. Refaktoring jest to zbycie wierzytelności handlowej przez podmiot, który uprzednio sam ją skupił na podstawie umowy faktoringu. Korzyści z faktoringu Poprawa płynności finansowej; Finansowanie działalności bieżącej; Pełne przejęcie ryzyka wypłacalności odbiorcy; Wykorzystywanie wiedzy i doświadczenia faktora w prowadzeniu kont dłużników, monitowaniu i egzekwowaniu należności; 21

4.2.2 Bonyskarbowe Bony skarbowe to walory o charakterze wierzycielskim na okaziciela występujące na rynku pieniężnym, o dużej wartości emitowane przez Skarb Państwa. Jest to krótkoterminowa pożyczka państwa służąca do zaspokojenie bieżących potrzeb budżetowych. Z punktu widzenia nabywcy bonu skarbowego jest to bezpieczna forma lokowania zasobów pieniężnych. Rynek pierwotny dla bonów skarbowych to przetargi organizowane przez agentów emisji(nbp). Oferty na zakup bonów składać mogą jedynie podmioty mające status dilera skarbowych papierów wartościowych(dspw), czyli głownie banki, z którymi minister finansów zawarł umowę. Cechy bonu skarbowego to wartość nominalna: 10 000 zł oraz termin wykupu: 1 do 52 tygodni. Informację o przetargu przekazywane są w postaci listów emisyjnych Ministra Finansów na tydzień przed przetargiem. Obecnie( od 20 grudnia 2010 r.) wyróżnia się następujące rodzaje przetargów sprzedaży bonów: przetarg wielu cen- w przypadku którego każdy z uczestników przetargu sprzedaży, którego oferty zakupu zostały przyjęte, jest obowiązany zapłacić za nabyte bony kwotę wynikającą z iloczynu ich liczby oraz ceny przetargowej zaoferowanej przez danego uczestnika przetargu; przetarg jednej ceny- w przypadku którego wszyscy uczestnicy przetargu sprzedaży, których oferty zakupu zostały przyjęte, są obowiązani zapłacić za nabyte bony kwotę wynikającą z iloczynu ich liczby oraz minimalnej ceny sprzedaży. Najpóźniej w dniu przetargu sprzedaży Minister Finansów ogłasza komunikat o przetargu sprzedaży, zawierający w szczególności: 1. rodzaj przetargu; 2. datę przetargu oraz godzinę, o której upływa termin składania ofert; 3. datę i godzinę rozliczenia przetargu; 4. okresy, na jakie bony będą emitowane; 5.terminwykupuikodISINbonów; 6. przewidywaną wartość nominalną bonów oferowanych na przetargu sprzedaży. Oferta niekonkurencyjna to taka, w której uczestnik przetargu wyraża zgodę na zawarcie transakcji: w przypadku przetargu wielu cen- po średniej ważonej cenie przetargowej dla przyjętych ofert zawierających cenę przetargową; w przypadku przetargu jednej cenypo minimalnej cenie sprzedaży. 22