x a lim (x n) 2 = lim x n sgn(x) =

½ ÙÒ Ö Ò Ý Ó Ö Ö ÙÑ ÒØ Û Þ Ö Û ÖØÓ ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÓ ÙÒ Ó ÛÖÓØÒ ÙÒ Ð ¹ Ò ÓÛ Û Ö ØÓÛ Û ÐÓÑ ÒÝ ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ Ó ¹ ÛÖÓØÒÓ ÙÒ ÛÝ Ò Þ ÐÓ ÖÝØÑ ÞÒ º ½º½ ½º½º½ ÙÒ ÛÝ Ò Þ Ð ÓÔÓÛ Þ Ï ÖØÓ ÙÒ ÛÝ Ò Þ Ð Ö ÙÑ ÒØ Û Ò ÛÝÑ ÖÒÝ Å Û Ó ÙÒ ÛÝ Ò Þ a x ÛÝ ÓÛ ÔÖÞ Ð Þ Ò Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ø Ð xò ÛÝÑ ÖÒÝ Ý Ó ÓÒ Û ÒØÒ ÔÓÛ Þ Ò ÝÒ Ð ÞÝ Û ÖØÓ a x Ð x Qµº Ì Ö Þ Þ Ó ØÝÑ ÓÔÓÛ Þ Ò º ËÞ ÓÐÒÝ ÔÓ ÛÔÖÓÛ Þ Ò ÔÓØ a x Ð xò ÛÝÑ ÖÒÝ ÔÓÐ Þ ÞÛÝÞ Ò Þ Ò ÓÛ Ò Ùa x Ó Ö Ò Ýa rn n Þ {r n } Ý Ñ Ñ ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÝÑ Ð Þ ÛÝÑ ÖÒÝ Þ ÒÝÑ Óx ÒÔº Ñ ÔÖÞÝ Ð Þ ØÒÝ xµº Ï ÛÝ Þ Þ ÓÐÒÝÑ Þ ÞÛÝÞ Ò ÓÛÓ Þ Ó ØÒ Ò Ö Ò Ý Ø Ó Ù ÔÓÔÖÞ Ø Ò Ö ÙÑ ÒØ ÒØÙ Ý ÒÝ º ÍÞ ÖÓ Ò Û ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ò Û ÑÓ ÑÝ ØÛÓ ÔÓ Þ ØÒ Ò Ö Ò Ýa rn n ÇØ Ð {r n } Ø Ñ ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÝÑ ØÓ Ø Ø Ø a rn Ø ØÓ ÔÓÒ ØÓ Ó Ö Ò ÞÓÒÝ Û Þ Òݺ ½º½º¾ ÙÒ ÛÝ Ò Þ Ó ÔÓ Ø Û e Ç ÞÙ Ó Ó Ò Þ ÔÖÞÝÞÝÒ Ø Ö Ø Ò Ò Ò Ù Óµ ÛÞ Û Ò ÙÒ ÛÝ Ò Þ a=eº ÙÒ Ó ÛÖÓØÒ Óe x ØÞÒºlog e x Ò ÞÝÛ ÐÓ ÖÝØÑ Ñ Ò ØÙÖ Ð¹ ÒÝÑ ½ º ½º¾ Ö Ò ÙÒ Û ÔÙÒ º Ò À Ò Ó Ä Þ g Ò ÞÝÛ ÑÝ Ö Ò ÙÒ f Û ÔÙÒ a Ó ÓÞÒ Þ ÑÝ f(x)=gµ Ð Ð Ó Ù{x n} Þ Ò Ó Óa ÓÛÝÖ Þ Ö ÒÝ Ó a x a Þ Ó Þ Ö ÛÒÓ f(x n)=g n ÈÖÞÝ º(x 2 )=0º Ï õñý ÓÛ Ñ ÓÛÓÐÒÝ {x n } Þ ÒÝ Ó Þ Ö Ñ ÑÝ ( ) 2=0. (x n) 2 = x n n n ÈÖÞÝ º ÊÓÞÛ ÑÝ ÙÒ sgn(x) Ò ÓÛ Ò Ó sgn(x) = + Ð x>0 0 Ð x=0 Ð x<0 ÙÒ Ò(x) Ò ÔÓ Ö Ò Ý Û ÔÙÒ x=0º Ï õñý ÓÛ Ñ x n = Ñ ÑÝ n x n=0óö Þ sgn(x n n n )=º Ï õñý Ø Ö Þ ÖÙ x n= Ñ ÑÝ n n x n=0 ÓÖ Þsgn(x n n )= Ø Û sgn(x) Ò ØÒ º ½ ÏÔÖÓÛ ÞÓÒÓ Û ÎÁÁ Ûº Ô ÖÛ ÞÖÓ Ð ØÓ Æ Ô Ö ÖÒÓÙÐÐ º ½µ ½

ÅÓ Ò Ò Ñ Û ØÙ Ó Ö Ò Ý ÒÓ ØÖÓÒÒ Û ÔÙÒ 0º º Ä Þ gò ÞÝÛ ÑÝ Ö Ò Ð ÛÓ ØÖÓÒÒ ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ µ ÙÒ f Û ÔÙÒ a Ð Û ÖÙÒ n x n =a x n <a Ó ÔÓÛ Ò Óx n >aµ ÑÔÐ Ù n f(x n )=gº ËÝØÙ Ø ÓÞÒ Þ ÑÝ ÝÑ ÓÐ Ñ f(x)=g Ö Ò Ð ÛÓ ØÖÓÒÒ x a f(x)=g Ö Ò ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ º x a + ¾µ Ï Ø Ò ÔÓ Ñ ÑÝ ÈÖÞÝ º º ºµ sgn(x)= sgn(x)=+. + ËÝÑ ÓÐÙf(x) x a Ù ÝÛ ÑÝ Ö ÛÒ Ò ÓÞÒ Þ Ò Ö Ò Ý Ò Û Û ÈÖÞÝ º Å ÑÝ = x 2 Ò ØÓÑ Ø ÈÖÞÝ º Ò ØÒ Ò ØÓÑ Ø x ÈÖÞÝ º ÈÓ Ó Ò x π 2 x = + x =+. tg(x) Ò ØÒ Ò ØÓÑ Ø tg(x)= x ( π 2) tg(x)=+. x ( π 2) + Á ØÒ Ò ÙÒ Ø Ö Ò ÔÓ Ò Û Ø ÒÓ ØÖÓÒÒÝ Ö Ò Û ÛÝ Ò Ò Û ÛÝ µº Æ Ð Ý Ó Ò ÒÔº ÙÒ ( f(x)=sin x) x 0. Ï ÔÙÒ x=0ò ÔÓ ÓÒ ÒÓ ØÖÓÒÒ Ö Ò Ý Ò Ð ÛÓ¹ Ò ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ µº Ý ÔÓ Þ Ò ØÒ Ò Ö Ò Ý ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ Û õñý Û Ó ÛÝÖ Þ Ó ØÒ 2 {x n }= (4n+)π {x 2 n}= º Ç Þ Ò Ó Þ Ö º Å ÑÝ (4n+3)π ( ( ) ( (4n+)π f(x n )=sin =sin =sin 2πn+ xn) π ) =+ 2 2 ÔÓ Ó Ò f(x n )=sin ( x n ) ( =sin 2πn+ 3π 2 ) = Ï Þ ÑÝ Ò ØÒ Ö Ò ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ Û Þ ÖÞ ÔÓ Ó Ò ÔÖÞ ÓÒÙ ÑÝ Ò ØÒ Ø Ö Ò Ð ÛÓ ØÖÓÒÒ µº ÈÖ Þ Ö Ò Ý ÙÒ Ð Ó ÞÓÒ Óa ÖÓÞÛ ÑÝ Ø Ö Ò Û Ò Ó ÞÓÒÓ º º Å Û ÑÝ Ö Ò ÙÒ f(x) Û Ò Ó ÞÓÒÓ Ø Ð Þ g ÓÞÒº x f(x)= gµ Ð Ð Ó Ù{x n } Ø Ó x= Þ Ó Þ f(x n n n )=gº ÈÖÞÝ º Å ÑÝ =0, x x x ex =, x ex =0. µ ÈÖÞÝ º ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ sinx,cosx,tgx Ò ÔÓ Ö Ò Û± º ¾

½º Þ Ò Ò Ö Ò ÌÛº ÈÖÞÝ Þ Ó Ò Ù Ö Ò x a f(x) x a g(x) ØÒ Ó ÞÓÒ Þ Ó Þ ÛÞÓÖÝ [f(x)+g(x)]=f(x)+g(x); x a x a x a µ [f(x) g(x)]=f(x) g(x); x a x a x a [f(x)g(x)]=f(x) g(x); x a x a x a f(x) x ag(x) = f(x) x a Ð g(x), g(x) 0. x a x a ÏÞÓÖÝ Ø ÔÓÞÓ Ø Ø ÔÖ Û Þ Û Ð a ر Ø ÔÖ Û Þ Û Ð Ö Ò ÒÓ ØÖÓÒÒÝ º ÓÛº ÓÛÓ Ý Ø Ñ Ð Ö Ò Û Þ ÔÓÔÖÞ Ò Ó ÖÓÞ Þ Ùº Å ÑÝ Ø Ò ÐÓ ÓÒÝ ÒÒÝ ØÛ Ö Þ Ð Ö Ò Û ÌÛº Â Ð Ö Ò f(x) g(x) x a x a ØÒ ØÓ µ µ µ Ò Ö ÛÒÓ f(x) g(x) ÑÔÐ Ù x a f(x) x a g(x); µ Ò Ö ÛÒÓ f(x) h(x) g(x) ÛÖ Þ Þ Ö ÛÒÓ x a f(x)= x a g(x) ÑÔÐ Ù x a f(x)= x a h(x)= x a g(x). µ  ÔÓÔÖÞ Ò Ó ÛÞÓÖÝ Ø Ø ÔÖ Û Þ Û Ð a=± ÓÖ Þ Ð Ö Ò ÒÓ ØÖÓÒÒÝ º ÓÛÓ Ý Ò ÐÓ ÞÒ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ûº ½º Ã Ð Û ÖÙÒ Û Ó Ø Ø ÞÒÝ ØÒ Ò Ö Ò Ý Æ ÑÔ ÖÛ ÔÖÞ Ò ÑÝ Ò Ù Ó Ö Ò ÞÓÒ Ó Ò ÙÒ º Å Û ÑÝ ÙÒ f(x) Ø Ó Ö Ò ÞÓÒ Þ ÖÝ Ó Ùµ Ð ØÒ Ø Ø M Ð ÓxÞ Þ Þ ÒÝ Þ Ó Þ f(x)<m Ó ÔÓÛ Ò Óf(x)>Mµº Ï Ö Ö ÒÝ Ò ÐÓ ÓÒ Û Ò ØÒ Ò Ö Ò Û ÙÒ Ñ ÑÝ Ò ØÔÙ Ý Ó ÔÓÛ Ò ØÛ Ö Þ Ò Ó Þ ÒÓ Û ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÝ Ó Ö Ò ÞÓÒÝ ÌÛº  РÙÒ Ø Ò Ñ Ð Ó Ö Ò ÞÓÒ Þ ÖÝ ØÓ ØÒ Ö Ò f(x) x a Ð ÓÛÓÐÒ Óaº ÍÛ º Æ Þ Ò Ø ØÙ Þ Ó Ò Ó ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒÓ ÙÒ º Ð ÙÒ Ò ÑÓÒÓØÓ¹ Ò ÞÒÝ ØÛ Ö Þ Ò ØÓ Ò Þ Ó Þ ÔÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ Ó ÔÖÞÝ ÙÒ f(x)=sin º x { } {( )} a n Ø ÖÓ Ò Ý Ø a n Ø Ò Ñ Ð Ý ÔÓÒ Û Ø Ø Ó Ö Ò ÞÓÒÝ ØÓ Ø Þ Òݺ Æ (a f ) =g. n n ÈÓÞÓ Ø ÔÓ Þ ÔÖÞÝ Ò ÖÞÙ Ò Ù Û ÖÙÒ Û n x n =a ÓÖ Þx n <a Þ Ó Þ f(x n)=g. n

Ï õñý ǫ>0º Á ØÒ Û ÛÞ N Ø g f ( a N) <ǫº Å ØÓN ÖÞ ÑÝ Ø k Ý Ð n>k Þ Ó Þ Ò Ö ÛÒÓ a N <x nº ËØ f ( a ) <f(x n ), N g f(x n )<g f ( a ) <ǫ. N ½¼µ n  ÒÓÞ Ò ÈÓÒ Û x n a ØÓ Ð Ón ØÒ r n Ø x n <a r n º Å ÑÝ Ø f(x n )<f (a ) g = g f(x n )>0. ½½µ rn Ó Ù Ò Ö ÛÒÓ ½¼µ ½½µ Ñ ÑÝ ǫ<0<g f(x n )<ǫ = g f(x n ) <ǫ = n f(x n )=g. Ï Ò ÐÓ ÞÒÝ ÔÓ ÓÛÓ Þ ØÛ Ö Þ Ð ÙÒ Ò ÖÓ Ò Ý ÓÖ Þ Ð Ö Ò ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒÝ º ÅÓ Ò ØÓ ÔÓ ÙÑÓÛ Ó ÌÛº  РÙÒ Ø Ò ÖÓ Ò ÐÙ Ò Ñ Ð Ó Ö Ò ÞÓÒ ØÓ Ö Ò f(x) x a ± ØÒ Û ÝÑ ÔÙÒ aº Ð a=± ØÒ Ö Ò f(x) x ± Ó Þ Ø ØÛ Ö Þ Ò Û Ô ÛÒÝÑ Ò Ó ÛÖÓØÒ ÌÛº  РÙÒ f Ò ÔÓ Ö Ò Ý Ó ÞÓÒ Û ÔÙÒ a ØÓ ØÒ {x n } Ø x n a x=a n ÓÖ Þ {f(x n )} Ø ÖÓÞ Òݺ Þ ÓÛÓ Ùº Ò ÌÊ ÓÛÓ Ù Ð ÛØ Ý ØÖÞ ÞÞ Ó ÔÓÛ ¹ Ò Ó ÓÛÓ Ù Ð Ò ÐÓ ÓÒÙ Þ Ûº Ð º ÞÞ Ó ÙÔ ÖÔÓÞÝ Û Ö Ò Ýº ÈÖ Þ Ò À Ò Ó Ø ÞÞ Ò ÒÒ Ð Ö ÛÒÓÛ Ò Ö ÛÒ Û Ò ¹ Ò Ù Ý³ Óº º Å Û ÑÝ ÙÒ f ÔÓ Û ÔÙÒ a Ö Ò g Ð ǫ>0 δ>0 x:0< x a <δ : f(x) g <ǫ. ÓØÓ Ó Ò Ö ÛÒÓÛ ÒÓ ÌÛº Ç Ò Ö Ò Ý ÙÒ Û ÔÙÒ Ù Ý³ Ó À Ò Ó Ö ÛÒÓ¹ Û Ò º ØÞÒº Ð ÙÒ Û Ñ ÔÙÒ Ñ Ö Ò Û ÑÝ Ð º ٠ݳ Ó ØÓ Ñ Ø Þ Ó Ò Þ º À Ò Ó Ò Ó ÛÖ Ø Ð Ò Ñ Û ÑÝ Ð º ٠ݳ Ó ØÓ Ò Ñ Ø Þ º À Ò Ó Ò Ó ÛÖ Øº ÓÛº ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ Ò ÑÔ ÖÛ Û ÖÙÒ Ù Ý³ Ó Ò Ø Ô Ò ÓÒÝ ØÞÒº ǫ>0 δ>0 x:0< x a <δ : f(x) g ǫ. Ï ÞÞ ÐÒÓ ÓÖ δ= n ÛÒ Ó Ù ÑÝ ØÒ {x n} Ø 0< x n a < n ½¾µ

ÓÖ Þ f(x n ) g ǫ. Ï ÖÙÒ ½¾µ Ñ Û x n =aóö Þx n n aº Ý Ý Û ÔÖÞÝÔÙ x a f(x)=g ØÓ ÑÙ Ý Ý Ô Ò ÓÒ Ö ÛÒÓ f(x n n )=g Ð Ø Ö ÛÒÓ Ø ÔÖÞ ÞÒ Þ ½ µº ÈÓ Þ Ð ÑÝ Û Ø Ò ÔÓ Û ÖÙÒ Ù Ý³ Ó Ø ÓÒ ÞÒÝ Ý ÙÒ ÔÓ ¹ Ö Ò Û ÑÝ Ð Ò À Ò Óº Ì Ö Þ ÔÓ ÑÝ Ø ÓÒ Ö ÛÒ Û ÖÙÒ Ñ ÛÝ Ø ÖÞ ÝѺ Æ Þ Ò ǫ>0 Ò x=aóö Þx n n aº ÈÓÒ Û Þ Þ Ó Ò Û ÖÙÒ Ù Ý³ Ó Ø Ô Ò ÓÒÝ ØÓ ØÒ δ>0 Ø Ò Ö ÛÒÓ 0< x n a <δ ÑÔÐ Ù f(x n ) g <ǫº ÈÓÒ Û Ô Ò ÓÒ Ø Ö ÛÒÓ n x=a ØÓ Ò Ö ÛÒÓ x n a <δ Þ Ó Þ Ð Û ÞÝ Ø Ó Ø Ø ÞÒ Ù Ý n ØÞÒº ÔÓÞ Û ÞÝ Ó Ô ÛÒ ÓM Nµº Ð ØÝ nñ ÑÝ Û Ò Ö ÛÒÓ f(x n ) g <ǫ ØÓ ÞÒ ÞÝ f(x n n )=g ÞÝÐ x f(x)=gº Ï Ø ÓÖ Û Ñ Ð ÑÝ Û ÖÙÒ Ù Ý³ Ó Ð Û Ø Ö Ó Ô Ò Ò Û Ö Ò¹ ØÓÛ Ó Þ ÒÓ Ùº ÈÖÞÝ Ö Ò Ý ÙÒ Ñ ÑÝ Ò ÐÓ ÞÒ ØÛ Ö Þ Ò º ÌÛº Ï ÖÙÒ Ñ ÓÒ ÞÒÝÑ Ó Ø Ø ÞÒÝÑ Ò ØÒ Ò Ó ÞÓÒ µ Ö Ò Ý ÙÒ f Û ÔÙÒ a Ø Ý Ð ÓÛÓÐÒ Óǫ>0 ØÒ Ó Ø δ>0 Ð x,x Ô Ò Ý 0< x a <δ, 0< x a <δ ½ µ Þ Ó Þ f(x) f(x ) <ǫº ÓÛº ÈÓ ÑÝ Ò ÑÔ ÖÛ ÓÒ ÞÒÓ Ø Ó Û ÖÙÒ Ùº  Рx a f(x)=g ØÓ Ð ÓÛÓÐÒ Ó Þ Ò Óǫ>0 ØÒ Ø δ>0 Û ÖÙÒ 0< x a <δ ÑÔÐ Ù f(x) g < ǫº Â Ð Û Û ÖÙÒ ½ µ Ô Ò ÓÒ ØÓ Þ Ó Þ Ò Ö ÛÒÓ 2 f(x) g < 2 ǫ i f(x ) g < 2 ǫ, ÔÓ Ó Ò Ù ØÝ ÔÓ ÞÒ Ñ Û ÖØÓ ÞÛÞ Ð Ò ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ f(x) f(x ) <ǫº Â Ð Ó Þ Ó Ó Ø Ø ÞÒÓ Û ÖÙÒ Ù ØÓ ÔÖÞÝÔÙ ÑÝ Ö Ò ÙÒ f Û ÔÙÒ a Ò ØÒ Ñ ÑÓ Ô Ò ÓÒ Þ Ó Ò ØÛº º Á ØÒ Û ÛÞ Ò ÑÓÝ ØÛº Ø {x n } x n =a x n n aóö Þ {f(x n )} Ø ÖÓÞ Òݺ Ö ÛÒÓ x n n =aûýò ØÒ Ø k Ð n k ÑÓ Ò Û Ò Ö ÛÒÓ ½ µ ÔÓ Ø Û x=x n x =x k º ÌÓ ÑÔÐ Ù f(x n ) f(k k ) <ǫº ØÛ Ö Þ Ò Ù Ý³ Ó Ð Û ÛÒ Ó Ù ÑÝ Ø {f(x n )} Ø Þ ÒÝ Û Ö Û Ò Þ ÑÙ ÔÖÞÝÔÙ ÞÞ Ò Ùº ÈÓÛÝ Þ ØÛ Ö Þ Ò ÖÓÞ Þ ÖÞÝ Ò ÔÖÞÝÔ a= º ÖÞÑ ÓÒ ÛØ Ý Ò ØÔÙ Ó ÌÛº ³º Ï ÖÙÒ Ñ ÓÒ ÞÒÝÑ Ó Ø Ø ÞÒÝÑ Ò ØÓ Ý Þ Ó Þ Ö ÛÒÓ x f(x)=g Ø Ý ǫ>0 r x>r : f(x) g <ǫ. ÌÛº ³º Ï ÖÙÒ Ñ ÓÒ ÞÒÝÑ Ó Ø Ø ÞÒÝÑ Ò ØÓ Ý ØÒ Ö Ò Ó ¹ ÞÓÒ µ x f(x) Ø Ý ǫ>0 r x,x >r: f(x) f(x ) <ǫ. ½ µ

ÓÛº ÓÛÓ Ý Ò ÐÓ ÞÒ ØÛ Ö Þ º ¾ ÙÒ º Å Û ÑÝ ÙÒ f Ø Û ÔÙÒ a Ð Ô Ò ÓÒÝ Ø Û ÖÙÒ f(x)=f(a). x a ½ µ ÈÖÞÝÔÓÑ Ò Ó Ò Ö Ò Ý ÙÒ f Û ÔÙÒ añó Ò Û ÔÓÛ Þ Ð ÙÒ f Û ÔÙÒ añ ÑÝ Ð ÓÛÓÐÒ Ó Ù{x n } Ø Ó x n =a n Þ Ó Þ f(x n )=f(x n ). n n ½ µ Â Ð Û Ö ÛÒÓ ½ µ Þ Ø Ô Ö Ò ÔÖÞ Þ Ö Ò ÒÓ ØÖÓÒÒ ØÓ ÓØÖÞÝÑ ÑÝ Ò Ó ÒÓ ØÖÓÒÒ º Å Û ÑÝ ÙÒ f Ø ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ Ð ÛÓ ØÖÓÒÒ µ Û ÔÙÒ a Ð x a 0 + f(x)=f(a) ( ) f(x)=f(a) x a 0  РÙÒ f Ø Ó Ö ÐÓÒ Ò Ð Û ÞÝ Ø x Ð Ø ÖÝ Ó Ö ÐÓÒ Ø Ö Ò ØÓ Û ÔÓÛÝ ÞÝ Ò Ó Ö Ò Þ ÑÝ Þ Ö ÞÑ ÒÒÓ x Ó Þ ÓÖÙ Ö ÙÑ ÒØ Û ÙÒ º Á Ø ÒÔº Ð f Ø Ó Ö ÐÓÒ Ò Ó Ò Ù ÓÑ Ò ØÝÑ[a,b] ØÓ Ó f Û ÔÙÒ a ÓÞÒ Þ ÝÒ Ó ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ Ó Û ÔÙÒ b Ó Ð ÛÓ ØÖÓÒÒ º º ÙÒ Ð Û ÖØÓ Ö ÙÑ ÒØÙ Þ Þ ÓÖÙX Ò ÞÝÛ ÑÝ ÙÒ Ò Xº Á Ø ÒÔº Ñ Û ÙÒ f Ø Ò Ó Ò Ù ÓÑ Ò ØÝÑ[a,b] Ñ ÑÝ Ò ÑÝ Ð Ø ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ Û ÔÙÒ a Ð ÛÓ ØÖÓÒÒ Û ÔÙÒ bóö Þ Ó Ù ØÖÓÒÒ Û ÔÙÒ Ø Û ÛÒØÖÞÒÝ Ó Ò [a,b]º º Å Û ÑÝ ÙÒ f Ø ÔÖÞ Þ Ñ Ò Ó Ò Ù[a,b] Ð Ø Ò Ó Ò ÑÓ Ò ÔÓ Þ Ð Þ ÔÓÑÓ Ó ÞÓÒ Ó Ù Ù ÔÙÒ Ø Ûa 0,a,a 2,...,a n Þ a=a 0 <a <a 2 <a n =b Ò ÔÓ ÔÖÞ Þ Ý[a k,a k ] k=,2,...,nµ Û Ø ÔÓ Û ÛÒ ØÖÞ Ó ÔÖÞ ¹ Þ Ù ÙÒ f Ø ØÒ Ö Ò ÒÓ ØÖÓÒÒ f(x) f(x)º x a k,+ x a k, ÁÒÒÝÑ ÓÛÝ ÙÒ ÔÓ Ó ÞÓÒ ÐÓ ÔÙÒ Ø Û Ò Ó Û Ø ÖÝ ØÒ Ó Ö Ò ÒÓ ØÖÓÒÒ Ø ÙÒ ÔÖÞ Þ Ñ º ÈÖÞÝ Ýº ½º ÈÓ Þ Ð ÑÝ Ò ÛÒÓ x 2 =0º Ò ÞÝ ØÓ ÙÒ f(x)=x 2 Ø Û ÔÙÒ x=0 Ø Ø Ò ÝÑ Þ ÓÖÞ R Ó Ò Ù Ó ÔÓ Ñݵº ¾º ÙÒ f(x)=[x] ÛÝ Ö µ Ø Ò Û ÔÙÒ Ø ÓÛ ØÝ º Ó Ò Û ØÝ ÔÙÒ Ø Ø ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ Ð Þ Ò Ð ÛÓ ØÖÓÒÒ º ÈÓÒ Û Ò Ö Ò Ð ÛÓ ØÖÓÒÒ ØÒ ØÓ Ø ÔÖÞ Þ Ñ Ò ÓÛÓÐÒÝÑ Ó Ò Ù Ó ¹ ÞÓÒÝѺ

¾º½ º ÙÒ f(x)=sin ( ) x Ñ Ò Ó Ö ÐÓÒ Û ÖØÓ Û ÔÙÒ x=0º ÓÓ Ö ÐÑÝ Ø Ñ Ò Ù f(0)=0º Æ Û Ø Ø ÓÓ Ö ÐÓÒ ÙÒ Ø Ò Ûx=0 ÔÓÒ Û Ò ØÒ Ö Ò Ð ÛÓ¹ Ò ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ µ Û ØÝÑ ÔÙÒ º º ÙÒ Ö Ð Ø Ø Ò Û ÝÑ ÔÙÒ º Ï ÖÙÒ Ó Ù Ý³ Ó ÌÛ Ö Þ Ò ÔÓÒ ÑÓ Ý ÔÖÞÝ Ø Ó Ò Ó ÙÒ Ò Ù¹ ݳ Óµ Â Ø ÓÒ Ö ÛÒÓÛ Ò Ò À Ò Óº Ì Ö ÛÒÓÛ ÒÓ Ø ÓÒ Û Ò ØÛ Ö¹ Þ Ò Ó Ö ÛÒÓÛ ÒÓ Û ÖÙÒ Û ØÒ Ò Ö Ò ÙÒ Ù Ý³ Ó À Ò Óº Ï ÖÙÒ Ñ ÓÒ ÞÒÝÑ Ó Ø Ø ÞÒÝÑ Ò ØÓ Ý ÙÒ f Ý Û ÔÙÒ a Ø Ý ǫ>0 δ>0 x: x a <δ f(x) f(a) <ǫ. ÅÓ Ò ØÓ ÛÝÖ Þ Ö Þ Ó Ö ÞÓÛÓ Ñ Û Ó Ø Ø ÞÒ Ñ ÝÑ ÔÖÞÝÖÓ ØÓÑ ÞÑ ÒÒ Ò Þ Ð Ò Ó ÔÓÛ Ø Ñ ØÝÐ Ó ÔÖÞÝÖÓ ØÝ Û ÖØÓ ÙÒ º ÅÓ Ò ØÓ Þ Ô Ò ØÔÙ Ó ÔÓ Ó Ø ØÒ Ñ Û ÒØÝ ØÓÖÞ Û ÛÝÖ Ò Ù ÔÓÛÝ µ Ï ÖÙÒ h <δ ÑÔÐ Ù f(a+h) f(a) <ǫº ÊÝ º  ÞÞ Ò Þ ÙÒ f Ø Û ÔÙÒ a Ð (f(x+h) f(x))=0. x h ½ µ ÍÛ º Ó ÙÒ Û ÔÙÒ Ø Û ÒÓ ÐÓ ÐÒ Ý Þ ÞÝ ÙÒ Ø Û ÔÙÒ a ÛÝ Ø ÖÞÝ ÞÒ ÞÒ Ø ÙÒ Û ÓÛÓÐÒ Ñ ÝÑ ÓØÓÞ Ò Ùaº ¾º¾ Ó ÙÒ Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ÛÞÓÖ Û Ò Þ Ò Ò Ö Ò ÙÒ ÛÝÒ Ó Ö ÞÙ Þ Ò ÖÝØÑ ØÝÞÒ ÛÝ ÓÒÝÛ Ò Ò ÙÒ Ý Û ÛÝÒ Ù ÙÒ º ÁÒÒÝÑ ÓÛÝ Â Ð ÙÒ f g Û ÔÙÒ a ØÓ ÙÑ Ö Ò ÐÓÞÝÒ ÐÓÖ Þ Ð g(a) 0µ Ö ÛÒ Û ÔÙÒ aº Ö ÑÝ Ø Ö Þ Ñ Ý Ø ÐÓ ÙÒ Ý ÙÒ Ø f(x)=const. ÙÒ f(x)=x ÙÒ Ñ ÝÑ Ó Û Ó Ö ÞÙ Þ Ò º ËØ ÓÖ Þ Þ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ó ÐÓÞÝÒÙ ÙÑÝ ÙÒ Ý ÛÝÒ Û ÐÓÑ ÒÝ ÙÒ Ñ ÝÑ º ËØ ÓÖ Þ Þ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ó ÐÓÖ ÞÙ ÙÒ Ý ÛÝÒ ÙÒ Ûݹ Ñ ÖÒ f(x)= P(x) ÙÒ Ñ ÝÑ Û ØÝ ÔÙÒ Ø Þ Q(x) 0º Q(x) Ó ÙÒ ÛÝ Ò Þ a x a>0º Æ ÑÔ ÖÛ ÔÓ ÑÝ È Ñ Ø ÑÝ ÓÛ Ñ Ö Ò Ð Û ax =. n a n =.

ËØ ÛÝÒ Ö ÛÒ n a n = n a n =. Ð Ø Ó Ø Ð ÓÛÓÐÒ Óǫ>0 ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ Û õò N Ø Ð a>µ ǫ<a N <a N <+ǫ Â Ð Ø Ö Þ Û õñ ÑÝ Ø x x < N ÞÝÐ <x< µ ØÓ Ñ ÑÝ N N a N <a x <a N ǫ<a x <+ǫ= a x <ǫ ØÓ ÓÞÒ Þ a x =. Ì Ö Þ Ï õñý ÓÛÓÐÒ xº Å ÑÝ a x+h a x =a x (a h ) ÓÖ Þa h = a x+h h 0 h 0 a x =0 Ó Þ Ó Ò Þ Û Ö Û ÖÙÒ Ù Ó ½ µ ÓÞÒ Þ ÙÒ a x Ø Û ÓÛÓÐÒÝÑ ÔÙÒ xº Ó ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒÝ º ÈÖÞÝÔÓÑ Ò Ó Ò ÙÒ sinx Ê Ëµ Ñ ÑÝ Ò Ö ÛÒÓ Ð x>0µ 0<sinx<x ËØ Ò ÑÓÝ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ò ØÖÞ ÙÒ ÛÝÒ sinx=0 ½ µ Ð ÖÞ Þ ÓÖ ÔÓÛÝ Þ Ö Ò Ø Ö Ò ÔÖ ÛÓ ØÖÓÒÒ Ð Þ ÒØÝ ÝÑ ØÖ ÙÒ Ò ÛÝÒ Ö ÛÒ Ø Ñ Ö ÛÒÓ Ð Ö Ò Ý Ð ÛÓ ØÖÓÒÒ µº Æ Ö ÛÒÓ ½ µ ÞÒ ÞÝ Ø ÙÒ sinx Ø Ûx=0º Ò Ö Ò ½ µ ØÛÓ ÔÓ ÑÝ cosx=. Å ÑÝ ÓÛ Ñ cosx=2sin 2x 2 <2sinx <x Ó Ò ÑÓÝ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ö Ò 2 ØÖÞ ÙÒ ÓÞÒ Þ ( cosx)=0º Å ÑÝ Ø Û Ø Ò ÔÓ Ù Ø ÒÓÛ ÓÒ Ó ÙÒ cosx Û Þ ÖÞ º Ì Ö Þ ÔÓ ÑÝ ÙÒ sinx cosx Û Þ Þ ÓÖÞÝ Ø ØÙ Þ Û ÖÙÒ Ù ½ µº Å ÑÝ ÓÛ Ñ sin(x+h) sinx=2sin h ( 2 cos x+ h ) 2 ÓÖÞÝ Ø Þ Ò Ö ÛÒÓ sinx x ÓÖ Þ cosx Ñ ÑÝ sin(x+h) sinx h = h 0 sin(x+h) sinx =0 ÞÝÐ sin(x+h) sinx=0. h 0

ÈÓ Ó Ò Ó cos(x+h) cosx =2 sinh (x+ 2 sin h ) 2 h cos(x+h) cosx=0. h 0 ÏÒ Ó º ÙÒ tgx= sinx Ø Ð x π +kπ ctgx Ð x kπ ØÙk Zµº cosx 2 Ó ÓÑÔÐ ØÙ ÙÒ Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ ØÖÞ Ý ÞÞ ÔÓ Þ Ó ÐÓ ÖÝØÑÙ ÓÖ Þ ÙÒ Ý ÐÓÑ ØÖÝÞÒÝ Ó ÛÖÓØÒÝ Ó ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒÝ µº ÖÓ ÑÝ ØÓ Þ Û Ð Ý ÔÓ ÑÝ Ó ÙÒ Ó ÛÖÓØÒÝ Ó Ý º Æ Ö Þ Þ Þ ÑÝ ÔÓØÖÞ ÓÛ ÌÛº  Рx a f(x)=a g(y)=b ØÓ y A x a g(f(x))=bº ÓÛº Æ x n n =a Ñ ÑÝ ÛØ Ý f(x n n )=Aº Ï õñýy n =f(x n )º Å ÑÝ y n=a Þ Ø Ñg(y n )=B=g(f(x n n n n )) ØÓ ÞÒ ÞÝ x g (f(x))=bº ÃÓÖÞÝ Ø Þ Ø Ó ÔÓ ÑÝ ÙÔ ÖÔÓÞÝ Þ Ó Ò µ Û ÙÒ Ý Ø ÙÒ º Ó Ò ÌÛº  РÙÒ y=f(x) Ø Û ÔÙÒ x=a Þ ÙÒ z=g(y) Ø Û ÔÙÒ y=f(a) ØÓ ÙÒ g(f(x)) Ø Û ÔÙÒ x=aº ÓÛº Ï õñý {x n } Ø x n n =aº Å ÑÝ ÛØ Ý f(x n n )=f(a)º ÓÖ b=f(a) y n =f(x n ) Ñ ÑÝy n n =b ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ Þ ÓÐ Ó ÙÒ g g(y n)=g(b), ØÞÒº n n g(f(x n ))=g(f(a)). ÈÖÞÝ º ÈÖÞÝÛÓ ÝÛ Ò ØÙ Ð ÖÓØÒ ÙÒ sin ( ) x Ø Û Û ÞÝ Ø ÔÙÒ ¹ Ø ÔÓÞ x=0º ¾º Æ Ø Ö Ó ÐÒ Û ÒÓ ÙÒ Ý º Ó ÒÓ Ø Ò Å Û ÑÝ ÙÒ f Ø ÒÓ Ø Ò Ò Þ ÓÖÞ Ð ǫ>0 δ>0 x,x X: x x <δ: f(x) f(x ) <ǫ. ½ µ ÍÛ ½º ÙÛ ÑÝ Ò Ó ÞÛÝ Ñ Û Ó Ó ÙÒ Û ÔÙÒ Ò ØÓÑ Ø Ò Ó ÒÓ Ø Ò Ñ Û Ó Ó ÙÒ Ò Þ ÓÖÞ º ÍÛ ¾º ÈÓÖ ÛÒÙ ØÓ Þ Ò Ó ÙÒ f Û ÔÙÒ x ǫ>0 δ>0 x : x x <δ: f(x) f(x ) <ǫ. Û Ò ØÔÙ Ö Ò Ï Ò Ó ÞÛÝ ÐØ ÑÓ Þ Ð Ó ÛÝ Ö Ò Ó ǫ ÓÖ Þxº Ï Ò Ó ÒÓ Ø Ò ÐØ ÑÓ Þ Ð ØÝÐ Ó Ó ǫ ÑÙ Þ Ý Ø Ñ Ð Û ÞÝ Ø x Xº ÈÖÞÝ º ÊÓÞÛ ÑÝ ÙÒ f(x)=x 2 Ò Þ ÓÖÞ X =[0,] Ò Þ ÓÖÞ X 2 =[0, [º Æ Ó Ù ØÝ Þ ÓÖ Ø ÓÞÝÛ Û ÞÛÝ ÝÑ Ò º Ó Ó Ó ÒÓ¹ Ø Ò ØÓf(x) Ø ÒÓ Ø Ò Ò X ÛÝ Ø ÖÞÝ ÛÞ δ= ǫ ÔÖÞÝ ÔÖ Û Þ Ò Ù 3 Û ÖÙÒ Ù ½ µµ Ò ØÓÑ Ø Ò Ø ÒÓ Ø Ò Ò X 2 º Ï õñý ÓÛ Ñ ÒÔºǫ=

ÓÐÛ δº ÏØ Ýx =x+ δ 2 Ñ ÑÝ f(x) f(x )=xδ+ δ2 Ó ÑÓ Ò ÙÞÝÒ 4 ÓÛÓÐÒ Ù ÝÑ ÔÖÞ Þ Ó ÔÓÛ Ò Ó Öx ØÙ ÛÝ Ø ÖÞÝ ÛÞ x= º δ ÈÖÞÝ º ÙÒ fx= Ø Ò Þ ÓÖÞ X =]0,] Ò ØÓÑ Ø Ò Ø Ø Ñ x ÒÓ Ø Ò º Æ ØÔÙ ØÛ Ö Þ Ò Ñ Û Ó ØÝÑ Ø ÝØÙ Ò ÑÓ Þ ÖÞÝ Ð ÙÒ Ý Ò Ó Ò Ù ÓÑ Ò ØÝѺ ÌÛº Ó Ó ÒÓ Ø Ò ÙÒ Ò Ó Ò Ù ÓÑ Ò ØÝÑ[a,b] Ø Ø Ò Ò Ñ ÒÓ Ø Ò º ÓÛº Þ Ó ÝÛ ÔÖÞ Þ ÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ò ÓÖÞ ÞÒÓ ØÞÒº ÔÖÞÝ Ñ ÑÝ ÔÖ Û Þ Û Ø Þ ÔÖÞ Þ Ò Ø ÞÝ Ó ÓÒ Û Ò ÓØÖÞÝÑ ÑÝ ÔÖÞ ÞÒÓ µº ÈÖÞÝ Ñ ¹ ÑÝ Û ØÒ ǫ>0ø Ð Óδ>0 ØÒ Ô Ö Ö ÙÑ ÒØ Ûx,x Ø x x <δ i f(x) f(x ) >ǫ. Ï ÞÞ ÐÒÓ ÓÖ δ= n ÛÒ Ó Ù ÑÝ ØÒ Ø Û {x n} {x n} a x n b, a x n b, x n x n < n, f(x) f(x ) ǫ. ¾¼µ ÈÓÒ Û {x n } Ø Ó Ö Ò ÞÓÒÝ Þ Ø Ñ Ò ÔÓ Ø Û ØÛº ÓÐÞ ÒÓ¹Ï Ö ØÖ Þ Û Ö ÔÓ Þ ÒÝ{x mn } º ÇÞÒ ÞÑÝ Ó Ö Ò Óc x mn n =cº Ô ÖÛ Þ Þ Ò Ö ÛÒÓ ¾¼µ Ñ ÑÝ a c bº ÙÒ f Þ Þ Ó Ò Ø Û Þ Þ Ò [a,b] Û Ø Û ÔÙÒ c [a,b]º Å ÑÝ Û f(x mn n )=f(c)º Ð Ø Ö Þ ÊÓÞÛ ÑÝ ÔÓ Ù{x n} Ó ØÝ ÑÝ ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ {x mn } ØÞÒº{x mn } º ØÖÞ Þ Ò Ö ÛÒÓ ¾¼µ ÛÝÒ Ö ÛÒ {x mn } Ý Ó Ø Ñ Ö Ò Ý n x m n =c Ó x n m n = x mn n º Ó ÙÒ f ÔÓÔÖÞ Ò Ó f(x n m n )=f(c)º Þ Ø Ñ n (f(x m n ) f(x mn ))=0. Ð ØÓ Ø ÔÖÞ ÞÒ Þ Ó Ø ØÒ Þ Ò Ö ÛÒÓ ¾¼µº ÌÛº Ï Ö ØÖ µº ÙÒ f Û ÔÖÞ Þ Ð ÓÑ Ò ØÝÑ[a,b] Ø Ó Ö Ò ÞÓÒ ÔÓÒ ØÓ Ó Ø Ñ ÛÓ Ö Ý ÓÐÒÝm= inf f(x) ÓÖ Þ ÖÒÝM= supf(x)º x [a,b] x [a,b] ÁÒÒÝÑ ÓÛÝ ØÒ Û ØÝÑ ÔÖÞ Þ Ð Ø Û ÔÙÒ ØÝc d f(c)=m ÓÖ Þf(d)= Mº ÓÛº ÈÓ ÑÝ Ò ÑÔ ÖÛ ÙÒ f Ø Ó Ö Ò ÞÓÒ ØÞÒº A : x [a,b] : f(x) < Aº ÇØ Þ ÔÓÔÖÞ Ò Ó ØÛ Ö Þ Ò Ó Ó ÒÓ Ø Ò µ ÛÒ Ó Ù ÑÝ ÏÞ Û ÞÝ ÒÔºǫ= ØÒ Ø δ >0 Ð ÔÙÒ ØÝx,x Ò Ð Ó ÔÖÞ Þ Ù Ó Ù Ó ÑÒ Þ Óδ ØÓf(x) f(x )<º Ï õñýnø Ý Þ Ó Þ Ò Ö ÛÒÓ b a n <δº Ï Ø Ò ÔÓ Ð ÔÓ Þ Ð ÑÝ ÔÖÞ Þ [a,b] Ò nþ ØÓ Ù Ó Ó Þ Ò Ø ÑÒ Þ Ó δº ÇÞÒ ÞÑÝ ÔÖÞ Þa 0,a,...,a n Ó ØÝ ÔÖÞ Þ Û ÔÖÞÝ ÞÝÑa 0 =a a n =bºöý º Ï Ø Ò ÔÓ Ñ ÑÝ Ð a 0 x a f(x) f(a ) < f(x) + f(a ) Ó ÐÒ Ûk¹ØÝÑ ÔÖÞ Þ Ð Ð a k x a k f(x) f(a k ) < f(x) + f(a k ) º ÇÞÒ ÞÑÝ ÔÖÞ ÞAÒ Û Þ Þ Ð Þ Þ Þ ÓÖÙ{+ f(a k ) } k {,2,...,n}º Å ÑÝ Û Ø Ò ÔÓ f(x) <A Ð ÓÛÓÐÒ Óx [a,b]º ½¼

Ï Ø Ò ÔÓ ÔÓ Þ Ð ÑÝ ÙÒ f Ø Ó Ö Ò ÞÓÒ ØÞÒº Þ Ö Û ÖØÓ Ø ÙÒ Ø Ó Ö Ò ÞÓÒݵº Á ØÒ Û Ö Ý ÖÒÝ ÓÐÒÝ Ø Ó Þ ÓÖÙº ÈÓ ÑÝ Ø Ö Þ ÔÖÞ Þ ÔÖÓÛ Þ Ò Ó Ò ÓÖÞ ÞÒÓ M Ø Ò Þ Û ÖØÓ ÙÒ ØÞÒºM=f(d) Ð Ô ÛÒ Ód [a,b]º ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ Û Ø ØÓ Ò ÔÖ Û ØÞÒº x [a,b] :M f(x) 0º Ë ÓÖÓ Ø ØÓ ÙÒ g(x)= M f(x) Ø Ó Ö ÐÓÒ Ò ÝÑ ÔÖÞ Þ Ð [a,b] Ø Û ØÝÑ ÔÖÞ Þ Ð º Â Ø ØÓ Û Þ Ó Ò Þ ØÝÑ Ó ÔÓ Þ Ð ÑÝ ÔÖÞ Û Ð ÙÒ Ó Ö Ò ÞÓÒ º Á ØÒ Û Ø N x [a,b] g(x)<n ÞÝÐ M f(x)> ÐÙ Û ÒÒ ÓÖÑ f(x)<m º Ð Ø ØÓ N N ÔÖÞ ÞÒ Þ Þ Ó Ò Ñ M Ø Ö Ñ ÖÒÝÑ Þ ÓÖÙ Û ÖØÓ ÙÒ f Ò [a,b]º Ð Ö Ù ÓÐÒ Ó ÓÛ Ø Ò ÐÓ ÞÒݺ ÌÛº Ï ÒÓ Ö ÓÙܵº ÙÒ Û ÔÖÞ Þ Ð ÓÑ Ò ØÝÑ[a,b] ÔÖÞÝ ÑÙ Û ØÝÑ ÔÖÞ Þ Ð Û ÞÝ Ø Û ÖØÓ ÔÓ Ö Ò º ÁÒÒÝÑ ÓÛÝ Â Ð f(a)<y<f(b) ÐÙ f(a)>y>f(b)µ ØÓ c [a,b] :f(c)=yº ÓÛº ÑÝ f(a)<y<f(b) Ýf(b)<y<f(a) ÓÛ Ø Ò ÐÓ ÞÒݵº ÈÖÞÝÔÙ ÑÝ ØÛ Ö Þ Ò Ø ÞÝÛ Û» x [a,b] :y f(x) 0º Ò Ù ÑÝ ÙÒ h(x)= Ø ÓÒ Ó Ö ÐÓÒ Ò ÝÑ[a,b] ÔÓÒ ØÓ Ò ÑÓÝ ØÛ Ö Þ Ò y f(x) Ï Ö ØÖ Ó Ö Ò ÞÓÒ º Æ h(x)<m ØÞÒº y f(x) > M ¾½µ ÈÓ Ø Û Û ØÛ Ö Þ Ò Ù Ç Â ¾ ǫ= ÛÒ Ó Ù ÑÝ ØÒ δ>0ø Ð M ÓÛÓÐÒÝ ÔÙÒ Ø Ûx,x Ò Ð Ý Ó ÔÖÞ Þ Ù Ó Ù Ó ÑÒ Þ Ò δ Þ Ó Þ f(x) f(x ) < M. Æ nóþò Þ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒ Ø b a <δº ÈÓ Þ ÐÑÝ Ó Ò [a,b] Ò nö ÛÒÝ n Þ º Ï ÓÞÒ Þ Ò Þ ÔÓÔÖÞ Ò Ó ØÛ Ö Þ Ò Ñ ÑÝ f(a k ) f(a k ) < M dla k=,2,...,n. ¾¾µ ÈÓÒ Û f(a 0 )=f(a)<y<f(a n )=f(b) Û Û Ö Û Ð Þ,2,...,n ØÒ Ø Ò ÑÒ Þ Ð Þ m y<f(a m )º Å ÑÝ Û m>0 ÓÖ Þ f(a m )<y<f(a m ), skąd 0<y f(a m )<f(a m ) f(a m )< M Ó Ø ØÒ Ò Ö ÛÒÓ ÛÝÒ Þ ¾¾µµ Ó Ò ÔÖÞ ÞÝ ¾½µº Ø Û Û ÔÓÔÖÞ Ò ØÛ Ö Þ Ò ÑÓ ÑÝ ÔÓÛ Þ Þ Ó Þ Ò ØÔÙ ÌÛº ÙÒ Û ÔÖÞ Þ Ð ÓÑ Ò ØÝÑ[a,b] ÔÖÞÝ ÑÙ Û ÞÝ Ø Û ÖØÓ Ó Ö Ù ÓÐÒ Óm Ó Ö Ù ÖÒ ÓM Û ÞÒ Þm Mº ÁÒÒÝÑ ÓÛÝ Þ ÓÖ Ñ Û ÖØÓ ÙÒ Ø ÔÖÞ Þ [m,m]º ¾ Ç Ó Â ÒÓ Ø Ò ½½

ÍÛ º Ï ÒÓ Ö ÓÙõ Û Þ ÞÒ ÐÙ ØÖÙ ÖÝ ÙÒ ÓÛÓº Â Ò Ó ÙÒ Ò Ø Û ÖÙÒ Ñ ÓÒ ÞÒÝÑ Ý Ø Û ÒÓ Ñ Ñ Þ Ó Þ ÓÒ Ö ÛÒ Ð Ò Ø ÖÝ ÙÒ Ò Ý º ÈÖÞÝ º ÈÖÞÝ º Â Þ Û º Ö ÓÙÜ ÛÝÒ ØÒ Ò Ô ÖÛ Ø Û ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ö ÛÒ Ò x 2k+ +a 2k x 2k + +a 0 =0º ¾º Ó ÙÒ Ó ÛÖÓØÒÝ Æ X,Y Þ ÓÖݺ Ï ÓÑÓ Ð f :X Y Ø ØÓ ØÒ ÙÒ Ó ÛÖÓØÒ f :Y Xº ÈÓ ÑÝ Ø Ö Þ ÙÒ Ó ÛÖÓØÒ Ó ÙÒ Ø º Ó Ò Þ Ó¹ Þ Ò ØÔÙ ÌÛº  РÙÒ f:[a,b] [A,B] Ø ØÓ ÙÒ Ó ÛÖÓØÒ g f : [A,B] [a,b] Ø Ø º ÍÛ º ØÛºÏ Ö ØÖ Û ÑÝ A=m= inf f(x) ÓÖ ÞB=M= supf(x)º x [a,b] x [a,b] ÓÛº Æ m c Mº Æ ÑÓÝ Ó Ø ØÒ Ó ÌÛ Ö Þ Ò ÙÒ f Ø Ó Ö ÐÓÒ Û ÔÙÒ cº Æ c=y n n Þ {y n } Ò Ð Ý Ó ÔÖÞ Þ Ù[m,M] ØÞÒº Ø ÔÓ Ø y n =f(x n )º ÌÖÞ ÔÓ Þ g(y n n )=g(c)º ÈÖÞ ÓÖÑÙ Ù ÑÝ ØÓ Û Ò ØÔÙ Ý ÔÓ Æ c=f(d)º ÌÖÞ ÔÓ Þ Û ÖÙÒ f(x n)=f(d) ÔÓ Þ Ó x n =d Óg(y n )=x n n n,g(c)=dµº {x n } Ø Ó Ö Ò ÞÓÒÝ Ó Ð Ý Û ÔÖÞ Þ Ð [a,b]º Â Ð Ø ØÓ ÑÓ Ò ÛÝ Ö Þ Ò Ó ÔÓ Þ ÒÝ{x kn } º Æ x kn =d n º ÏÝ ÑÝ d =dº Ó ÙÒ f ÛÝÒ n f(x kn )=f(d )º ÈÓÒ Û Þ f(x k n n )=y kn =y n =f(x n )=f(d), n n n Û ÖÙ Ö ÛÒÓ ÓÖÞÝ Ø Ð ÑÝ Þ ØÛ Ö Þ Ò Ð {a n } Ø Ó Ö Ò ÞÓÒÝ Ð Û ÞÝ Ø Ó ÔÓ Þ Ò Þ Ò Ó Ø Ñ Ö Ò ÝG ØÓ Ö ÛÒ Ñ {a n } Ø Þ ÒÝ ÓGµ Û f(d )=f(d)º ÈÓÒ Û Þ f Ø ÛÞ ÑÒ ÒÓÞÒ ÞÒ ØÓd=d º ÃÓÖÞÝ Ø Þ ÔÓÛÝ Þ Ó ØÛ Ö Þ Ò ÔÓ ÑÝ ÌÛº à ÙÒ f Ò Ó Ò Ù[a,b] Ø Ð ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒ ØÞÒº Ð ÖÓ Ò õ Ð Ñ Ð µº ÓÛº Þ Ó Ò f(a) f(b)º ÑÝ f(a)<f(b) Ý Ø Ò Ó ÛÖ Ø ÖÓ¹ ÞÙÑÓÛ Ò Ø Ò ÐÓ ÞÒ µº Í ÓÛÓ Ò ÑÝ ÛØ Ýf(x) Ø Û ÝÑ ÔÖÞ Þ Ð [a,b] ÖÓ Ò º Æ x<x º ÌÖÞ ÔÓ Þ f(x)<f(x )º ÙÛ ÑÝ Ò ÑÔ ÖÛ Û ÖÙÒ a x b f(a)<f(b) ÑÔÐ Ù f(a) f(x) f(b)º Ý Ý ÓÛ Ñ Ø Ò Ý Ó ØÓ Ñ Ð Ý ÑÝ Ð Ó µf(x)<f(a) Ð Ó µ f(x)>f(b)º Ï ÔÖÞÝÔ Ù µ Ñ Ð Ý ÑÝ Ò Ö ÛÒÓ f(x)<f(a)<f(b) Ò ÑÓÝ Û ÒÓ Ö ÓÙÜ ØÒ Ý Û ÔÖÞ Þ Ð [x,b] ÔÙÒ Øx Ø f(x )=f(a) Ð ØÓ ÔÖÞ ÞÝ Þ Ó Ò Ù f(x) Ø Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛ Óx aµº Ï ÔÖÞÝÔ Ù µ Ò ØÓÑ Ø ØÒ Ý Û ÔÖÞ Þ Ð [a,x] ÔÙÒ Øx Ø f(x )=f(b) Ó Þ ÓÐ Ø ÔÖÞ ÞÒ Þ Þ Ó Ò Ñ Ó Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛÓ ÙÒ f(x) Ó ÔÓ Ó Ò ÙÔÖÞ Ò Ó x bµº ½¾

ÈÓ Þ Ð ÑÝ Û f(a) f(x) f(b)º Â ÒÓÞ Ò ÛÒ Ó Ù ÑÝ Û ÖÙÒ x x b f(x)<f(b) ÔÓ Þ Ó f(x) f(x ) f(b)º Ì Û f(x)<f(x )º ½