(i) ν( ) = 0 E n ) = n

ÂôÖÑ Rado - Nikodym Ö ÈÖÓ Ñ ÑÒ ÑØÖ ÈÖÑ º½ Ò (X, S) Ò ÑØÖ ÑÓ ÕôÖÓ ½ µ 1, µ 2 Ò ÔÔÖ ÑÒ ÑØÖ ØÒ S ÔÒ ν : S R : µ 1 () µ 2 () ÒÓÔÓ Ø Õ (i) ν( ) = 0 (ii) Ò S Ò ÜÒ Ò Ó ØØ ν( ) = ν( ) ½µ ÈÖÑ º¾ Ò (X, S, µ) Ò ÕôÖÓ ÑØÖÓÙ f : X [0, + ] ÑØÖ Ñ Õ ν() = fdµ, S ÓÖÞ Øµ ÑØÖÓ ØÓÒ (X, S)º ÈÖØÖ Ø Ò µ() = 0 ØØ ν() = 0º ÒØÖ Ò f : X [, + ] ÑØÖ Ñ ØÓ ÓÐÓÐÖÛÑ fdµ ÓÖÞØ Ðº ØÓÒ ÇÖ Ñ ºµ ÙÒÓÐÓ ÙÒÖØ S [, + ] : ν() = fdµ ¾µ Ò ÓÖ Ó ÑØÖÛÒ ØÓÙÐÕ ØÓÒ Ò ØÛÒ ÓÔÓÛÒ Ò ÔÔÖ ÑÒÓ ÔÓÑÒÛ ÒÓÔÓ Ø Õ ½µ ÔÖÒ ØÓ ÔÓÐ Ñ Ô Ø ØÑ + º ÇÖ Ñ º½ ÈÖÓ Ñ ÑÒÓ ÑØÖÓ Ò Ñ ÙÒÓÐÓ ÙÒÖØ S [, + ] : ν() ÔÓÙ ÔÖÒ ØÓ ÔÓÐ Ñ Ô Ø ØÑ + ÒÓÔÓ Ø Õ ½µº Å ÑØÖÓ Ò Ñ ÙÒÓÐÓ ÙÒÖØ ν : S C ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ø Õ ½µº ÈÖØÖ º µ ËÑÛÒ Ñ ØÓÒ ÓÖ Ñ Ò Øµ ÑØÖÓ Ò ÔÖÓ Ñ ÑÒÓ ÑØÖÓ Òô Ò ÔÖÓ Ñ ÑÒÓ ÑØÖÓ Ò Ò ÔÒØ Ñ ÑØÖÓº ³ÐÐÓ ÙÖ ÔºÕº ÃÓÙÑÓÙÐÐ ÆÖÔÒص Ñ ØÓÒ ÖÓ ÔÖÓ Ñ ÑÒÓ ÑØÖÓ ÒÒÓÓÒ Ò Ñ ÑØÖÓ Ñ ÔÖÑØ ØѺ ½ RN,12/02/09 ½

µ Ò ØÒ (ii) ÕÓÙÑ ν( ) < ØÖ Ò ØÓ ÑØÖÓ Ò Ñµ Ö Ù¹ ÐÒº ÌØ Ô ÒØÜ π() Ø Ö Õ ØÓ Ó ÖÓ ν( π()) = ν( ) Ð Ò ÔÐÙغ ¾ µ Ò µ 1 µ 2 Ò Øµ ÑØÖ ØÓ ÖÓ Ñ ØÓÙ Ò Ø ÑØÖÓ ÐÐ ÓÖ µ 1 µ 2 Ò Ò Ò Ò ÔÖÓ Ñ ÑÒÓ ÑØÖÓº ÌÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ ÑôÒ ÑØÖÛÒ Ò Ñ ÖÑÑ ÕôÖÓ Û ÔÖÓ Ø ÔÖÜ Ø ÑÓ ÔÛ Ó ÕôÖÓ L 1 (X, µ)º µ  ÓÑ Ø Ð Ø ÔÖÓ Ñ ÑÒ ÑØÖ ØÓÒ (X, S) Ò Ø ÑÓÖ µ 1 µ 2 ØÐÐÐ Ø ÑØÖ µ i Ô Ø ÑÓÖ ¾µ ØÐÐÐÓ Ø ÑØÖÓ µ ÑØÖ Ñ f : X [, + ]º Ò Ó Ò Ø ÑØÖÓ µ ØÓÒ (X, S) Ò Ð Ø Ð Ø ÔÖÓ Ñ ÑÒ ÑØÖ ν ØÓÒ (X, S) Ò Ø ÑÓÖ ¾µ ³ÇÕ ÈÖÑ ØÓ ÑØÖÓ Dirac δ 0 ØÓ 0 Ò ÒÓÔÓÓ ØÒ ¾µ Û ÔÖÓ ØÓ ÑØÖÓ Lebesgue λ ØØ f ÔÖÔ Ò ÒÓÔÓ f(x) = 0 λ¹ ÕÒ ÔÒØÓ ØÓ R \ {0} ÓÔØ R f(t)dλ(t) = 0 δ 0(R). ÈÖØÖ Ø ØÒ ØÓ ν ÒÓÔÓ ØÒ ¾µ ØØ ÒÓÔÓ Ø Ô Ø (i) (ii) ØÒ Õ (iii) Ò µ() = 0 ØØ ν() = 0 Òô ØÓ δ 0 Õ ØÓ ßÖÛ ÒØØÓÐ ÍÔÖÕ ÑØÖ ÑÓ R ô Ø λ() = 0 Òô δ 0 ( c ) = 0 ÔÖÑØ = {0}µº Á Õ ØÓ ÐÓÙÓ ÂôÖÑ ØÓ ÓÔÓÓ ÔÓÜÓÙÑ Ñ ØÒ ÔÔÐÓÒ ÙÔ Ø ØÓ ν Ò σ¹ôôö ÑÒÓ ÂôÖÑ º¾½µ ÂôÖÑ º Rado - Nikodym Iµ Ò (X, S, µ) Ò ÕôÖÓ σ¹ôôö ÑÒÓ٠ѹ ØÖÓÙ ν Ò Ø ÑØÖÓ ØØ ÙÔÖÕ ÑØÖ Ñ f : X [0, + ] ô Ø ν() = fdµ, S Ò ÑÒÓÒ Ò À f Ò ÑÓÒ modulo ØØ µ¹ ÚºÔº S, µ() = 0 = ν() = 0. ¾ Απόδειξη(α) Εστωπρώταότιτο νείναιπροσημασμένομέτρο.υποθέτουμεότιδενπαίρνειτηντιμή (αλλιώς,θεωρούμετο ν).ησειρά ν( )συγκλίνειστονπραγματικόαριθμό ν( ).Θέτοντας N 1 = { : ν( ) 0}και N 2 = { : ν( ) < 0}παρατηρούμεότιοιδύοσειρές N 1 ν( ) = ν( N 1 ) και N 2 ( ν( )) = ν( N 2 )έχουνκαιοιδύομηαρνητικούςόρους,άραήσυγκλίνουνήτείνουνστο +. Εφόσονόμως ν( N 2 ) >,ηδεύτερηαναγκαστικάσυγκλίνει. Επειδήηδιαφοράτουςείναιη συγκλίνουσασειρά ν( ),έπεταιότικαιοιδύοσυγκλίνουν(στο R). Εχουμελοιπόν ν( ) = ν( ) + ν( ) = ν( ) + ( ν( )) R. N 1 N 2 N 1 N 2 R (β)αντο νείναιμιγαδικόμέτρο,τότετα ν 1 () = Re ν()και ν 2 () = Im ν()είναιπροσημασμέναμέτρα μεπραγματικέςμόνοντιμές,οπότε ν( ) ν 1( ) + ν 2( ) < +. ¾

º½ ÒÐ ÑØÖÛÒ ÄÑÑ º ³ ØÛ ν ÔÖÓ Ñ ÑÒÓ ÑØÖÓ ØÓÒ (X, S) ( ) ØÒ Sº Ò ( ) Ò ÜÓÙ ØØ ν( ) = lim ν( )º Ò ( ) Ò ÒÓÙ ν( 1 ) R ØØ ν( ) = lim ν( )º ÇÖ Ñ º¾ ³ ØÛ ν ÔÖÓ Ñ ÑÒÓ ÑØÖÓ ØÓÒ (X, S)º ³Ò ÒÓÐÓ S ÐØ Ø ØÓ ν Ò F S, F ν(f) 0 ÖÒØ ØÓ ν Ò F S, F ν(f) 0 ÑÒ ØÓ ν Ò F S, F ν(f) = 0º Ò ØÓ ν Ò Ø ÑØÖÓ ØØ Ò S Ò ÑÒ ØÓ ν Ò ÑÒÓÒ Ò ν() = 0º ÈÖÑ º Ò ØÓ ν ÓÖÞØ Ô Ø Õ ν() = fdµ ÔÓÙ µ Ø ÑØÖÓ f L 1 (X, µ) ØØ Ò Ò ν¹ø Ò ÑÒÓÒ Ò f(x) 0 µ¹ ÕÒ x º ÄÑÑ º µ Ò ØÓ Ò Ø ØÓ ν F S Ò ÙÔÓ ÒÓÐÓ ØÓÙ ØØ ØÓ F Ò Ø ØÓ ν ν(f) ν()º µ Ò Ø Ò Ø ØÓ ν ØØ ØÓ Ò Ø ØÓ νº ÔÜ µ Ò G S G F ØØ G Ö ν(g) 0º ν¹øº Ô ν( \ F) 0 Ö ν() = ν(f) + ν( \ F) ν(f)º Ð ØÓ F Ò µ Ò F = \ k< k ØØ Ø F Ò ν¹ø Ô ØÓ µº ³ÔØ Ø Ò F S Ò ÙÔÓ ÒÓÐÓ ØÓÙ ØØ ν(f) = ν(f F ) 0º ÂôÖÑ º ÒÐÙ Hahµ ³ ØÛ ν ÔÖÓ Ñ ÑÒÓ ÑØÖÓ ØÓÒ (X, S)º ÙÔÖÕ ÑØÖ Ñ ÑÖ ÌØ X = P N, P N = ÔÓÙ P Ø ØÓ ν, N ÖÒØ ØÓ ν. Ò X = P N Ò Ñ ÐÐ ØØÓ ÑÖ ØØ ØÓ P P = N N Ò ÑÒ ØÓ νº ÔÜ Ü ÓÖ ÑÓ ØÓ ν Ò ÑÔÓÖ Ò ÔÖÒ Ø Ó ØÑ +, º ÍÔÓØÓÙÑ Ø S, Õ ν() < + ÐÐô ÛÖÓÑ ØÓ ν)º (i) ÓÒÓÑ ÓÙÑ P S ØÒ ÓÓÒ ØÛÒ ν¹øôò ÑØÖ ÑÛÒ ÙÒÐÛÒº ÈÖØÖÓÑ Ø P ÔÖÕ ØÓ Ö Ò Ñ Ò º ³ ØÛ m = sup{ν() : P} [0, + ]º ÍÔÖÕ ÓÐÓÙ { } ØÒ P ô Ø ν( ) mº Ô P Ò Ð Ø Û ÔÖÓ ÖÑ Ñ Òô ÄÑÑ ºµ ÑÔÓÖÓÑ Ò ÙÔÓ ÓÙÑ Ø { } Ò ÜÓÙ º Ò ÐÓÔÒ ÓÙÑ P = Ô ØÓ ÄÑÑ º ÔØ Ø P P Ô ØÓ ÄÑÑ º Ø ν(p) = lim ν( ) = m ÓÔØ ÕÓÙÑ m < º

(ii) ÂØÓÙÑ N = P c º ÈÖØÖ µº ÌÓ N Ò ÑÔÓÖ Ò ÔÖÕ ÒÓÐ P Ñ ν() > 0º ÈÖÑØ Ò ÔÖÕ Ò ØØÓÓ ØØ P P ν(p ) = ν(p) + ν() = m + ν() > m, Òô ØÓ m ÒÓÔ Ü ÓÖ ÑÓ m ν(a) A Pº ÈÖØÖ µº ν(b) > ν(a)º Ò A S, A N ν(a) > 0 ØØ ÙÔÖÕ B S, B A Ñ ÈÖÑØ Ô ØÓ µ ÕÓÙÑ A / P Ö ÙÔÖÕ C S, C A ô Ø ν(c) < 0º ÂØÓÒØ B = A \ C ÕÓÙÑ ν(b) + ν(c) = ν(a) Ö ν(b) > ν(a)º (iii)  ÜÓÙÑ Ø ØÓ N Ò ν¹öòøº ÍÔÓØÓÙÑ Ø Ò Òº  ÖÓÑ ÔÛ Ñ ÒÓÙ ÓÐÓÙ {A } ÑØÖ ÑÛÒ ÙÔÓ ÙÒÐÛÒ ØÓÙ N Ñ ÐÓ ÑÐØÖÓ Ø ÑØÖÓº ÙØ Ñ Ó ØÓÔÓ ÔÛ ÓѺ Ó ÙÔÓ Ñ Ø ØÓ N Ò Ò ν¹öòø ÔÖÕ A S Ñ ν(a) > 0º ÔÓÑÒÛ ÙÔÖÕ N ØÓÒ ÓÔÓÓ ØÓ ÒÓÐÓ {A S, A N, ν(a) > 1 } Ò Ò Òº ³ ØÛ 1 Ó ÑÖØÖÓ ØØÓÓ º ÔÐÓÙÑ A 1 S, A 1 N Ñ ν(a 1 ) > 1 1 º Ô ØÒ ÈÖØÖ µ ÙÔÖÕ B S, B A 1 Ñ ν(b) > ν(a 1 )º ³ ØÛ 2 Ó ÑÖØÖÓ N ØÓÒ ÓÔÓÓ ÙÔÖÕ B S, B A 1 Ñ ν(b) > ν(a 1 ) + 1 º ÔÐÓÙÑ A 2 S, A 2 A 1 Ñ ν(a 2 ) > ν(a 1 ) + 1 2 º ËÙÒÕÞÓÙÑ ÔÛ Ò ÕÓÙÑ ÔÐÜ N A 1 A 2 A j 1 ÑØÖ Ñ ÒØ ØÓÕ 1,..., j 1 Ô ØÒ ÈÖØÖ µ ÙÔÖÕ C S, C A j 1 Ñ ν(c) > ν(a j 1 ) ÓÔØ Ò j Ò Ó ÑÖØÖÓ N ØÓÒ ÓÔÓÓ ÙÔÖÕ C S C A j 1 Ñ ν(c) > ν(a j 1 ) + 1 ÔÐÓÙÑ A j A j 1 ô Ø ν(a j ) > ν(a j 1 ) + 1 j º Ò A = j A j ØØ 0 < sup ν(a j ) = lim j ν(a j ) = ν(a) < + º ÔÓÑÒÛ ν(a j ) ν(a j 1 ) 0 Ó ν(a j ) ν(a j 1 ) > 1 1 ÔØ Ø j j 0 к j º ³ÇÑÛ A N ν(a) > 0 ÓÔØ ÙÔÖÕ D A ÑØÖ ÑÓ Ñ ν(d) > ν(a)º Ò Ó N ÒÓÔÓ ν(d) > ν(a) + 1 ØØ j ÕÓÙÑ ν(d) > ν(a) + 1 ν(a j 1) + 1 º ³ÇÑÛ Ó j Ò Ü ÓÖ ÑÓ Ó ÑÖØÖÓ ÔÓÙ ÑÔÓÖ Ò ÒÓÔÓ ØÒ Ò ØØ ν(d) > ν(a j 1 ) + 1 ÓÔØ j º Ð ØÓ Ò ÒÛ ÖÑ Ø ( j ) ÒØ Ñ ØÓ ÓÒ Ø j º À ÒØ ÔÖÓÐ Ô ØÒ ÙÔ Ø ØÓ N ÔÖÕ ÑØÖ Ñ ÒÓÐ ØÓ ÑØÖÓÙº ÃØ ÙÒÔ ÙØ Ò Õ Ö S Ñ N ÒÓÔÓ ν() 0 Ð ØÓ N Ò ν¹öòøº (iv) Ò X = P N Ò Ñ ÐÐ ÑÖ ν¹ø ν¹öòø ÒÓÐÓ ØØ ÕÓÙÑ P \ P = P (P ) c = P N Ö ØÓ P \ P Ò ν¹öòø Ø ÔÖÕØ ØÓ

N ÐÐ ν¹ø Ø ÔÖÕØ ØÓ P º ³Ö ØÓ P \ P Ò ν¹ñòº ÇÑÓÛ ØÓ P \P = P N Ò ν¹ñò Ö ØÓ P P Ò ν¹ñòº À ØØ P P = N N Ò Ñ º ÈÖØÖ º (i) Ò Ò ÒÐÙ X = P N Ò Ò ÑÓÒ Ò Ω P Ò Ò ν¹ñò ÒÓÐÓ ØÓÒØ P 1 = P \ Ω N 1 = N Ω ÕÓÙÑ Ñ ÒÕÓÑÒÛµ ÓÖØ ÑÖ º ÑÔÓÖ Ò ÙѺ ÌÓ (iv) ØÒ ÔÜ ÕÒ Ø ÙØ Ò ØÓ ßÕÖØÖÓÐ ÔÓÙ (ii) Ò ÓÒÓÑ ÓÙÑ P o ØÒ ÒÛ ÐÛÒ ØÛÒ ν¹øôò ÑØÖ ÑÛÒµ ÙÒÐÛÒ ØÓ P o ÑÔÓÖ Ò ÑÒ Ò ÑØÖ ÑÓº ÙØ ÓÖ Ñ ØÓ ÒÓÐÓ P Ñ Û Ñ ÓÐÓÙ ν¹øôò ÙÒÐÛÒº ÌÓ ÒÓÐÓ P ßν¹ ÕÒ ÔÖÕÐ Ð Ø ν¹ø ÒÓÐ Ñ ØÒ ÒÒÓ Ø Ò A P ØØ ØÓ A P c Ò ν¹ñò ÔÖÑØ S Ñ A P c Ò ØÒ P ÔÖÕØ ØÓ N Ö Ò Ø ÒÓÔÓ ν() = 0º ÇÖ Ñ º Ò µ, ν Ò Ó ÔÖÓ Ñ ÑÒ ÑØÖ ØÓÒ (X, S) ØÓ ν ÐØ ØÓ ØÓ µ µ¹þóò sigularµ Ò ÙÔÖÕ ÑØÖ Ñ ÑÖ X = A A c ô Ø ØÓ A Ò Ò ν¹ñò ØÓ A c Ò Ò µ¹ñòº ÖÓÙÑ µ νº Ð Õ ÑÒÓ ØÓ A c ÐÐ ÑØÖ ÑÓ ÙÔÓ ÒÓÐÓ ØÓÙ A c Õ µ() = 0º ÄÑ Ø ØÓ µ Ò ÙÒØÖÛÑÒÓ cocetratedµ ØÓ Aº ÇÑÓÛ ØÓ ν Ò ÙÒØÖÛÑÒÓ ØÓ A c º ÔÖÑ Ò δ 0 Ò ØÓ ÑØÖÓ Dirac ØÓ 0 R m Ò ØÓ ÑØÖÓ Lebesgue ØØ δ 0 m Ø ØÓ {0} Ò m¹ñò Òô ØÓ {0} c Ò δ 0 ¹ÑÒº ÂôÖÑ º½¼ ÒÐÙ Jordaµ Ò ν Ò ÔÖÓ Ñ ÑÒÓ ÑØÖÓ ØÓÒ (X, S) Ù¹ ÔÖÕÓÙÒ ÑÓÒ Ø ÑØÖ ν + ν ØÓÒ (X, S) ØÓÙÐÕ ØÓÒ Ò Ô Ø ÓÔÓ Ò ÔÔÖ ÑÒÓ ô Ø ν = ν + ν ν + ν. ÔÜ ³ ØÛ X = P N Ñ ÒÐÙ Hah ØÓ νº ÌØ S Ö = ( P) ( N) ν() = ν( P) + ν( N). ÇÖÞÓÙÑ Ø ν + ν Ô Ø Õ ν + () = ν( P) ν () = ν( N) ( S) ÕÓÙÑ Ó Ø ÑØÖº Ò ØÓ ν Ò ÔÖÒ ØÒ ØÑ + ØØ S Õ ν( P) R + Ð ØÓ ν + Ò ÔÔÖ ÑÒÓ Òô Ò Ò ÔÖÒ ØÒ ØÑ ØØ ØÓ ν Ò ÔÔÖ ÑÒÓº Ã Ø Ó ÔÖÔØô S ÓÖ ν + () ν () ÓÖÞØ ÓØ Ñ ν()º Ô Ô ØÒ Ø Ù Ò Ò S ÔÖÕØ ØÓ N ØØ ν + () = 0 Ö ØÓ N Ò ν + ¹ÑÒ ÓÑÓÛ ØÓ P Ò ν ¹ÑÒº ÔÓÑÒÛ ν + ν º ÅÓÒØØ ³ ØÛ ν = µ + µ ÔÓÙ Ø µ +, µ Ò Ø Ø ÑØÖº ÍÔÖÕ ÐÓÔÒ Ñ ÑØÖ Ñ ÑÖ X = A A c ô Ø ØÓ A c Ò Ò µ + ¹ÑÒ ØÓ A

Ò Ò µ ¹ÑÒº ³ÔØ Ø ØÓ A Ò ν¹ø Ø Ò S A ØØ µ () = 0 Ó ØÓ A Ò µ ¹ÑÒ ÓÔØ ν() = µ + () µ () = µ + () 0µ Òô ØÓ A c Ò ν¹öòøº ÔÓÑÒÛ ÑÖ X = A A c Ò Ñ ÒÐÙ Hah ØÓ νº Ô ØÓ ÂôÖÑ º ØÓ P A = A c N Ò ν¹ñòº ³ÔØ Ø S ÕÓÙÑ ν( P) = ν( A) Ö ν + () = ν( P) = ν( A) = µ + ( A) µ ( A) = µ + ( A) + µ + ( A c ) 0 = µ + () Ø µ ( A) = 0 µ + ( A c ) = 0µ Ð ν + () = µ + () ÔÓÑÒÛ ν () = µ ()º ÈÖØÖ º½½ ÅÔÓÖÓÑ Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ Ø ν + ν Ô Ø Õ ν + () = sup{ν(f) : F S, F } ν () = sup{ ν(f) : F S, F } ( S). ÔÖÑ ØÖ ØØ ÔÓÒØ Û Ü Ô N ÕÓÙÑ ν () = ν( N) sup{ ν(f) : F S, F } Òô F S Ñ F ÕÓÙÑ ν(f) = ν (F) ν + (F) ν (F) ν () Ø Ø ν + ν Ò Ø ÑØÖµ ÔÓÑÒÛ sup{ ν(f) : F S, F } ν () Ö Õ Øغ ÙØ ÔÓØÐ Ñ ØÖ ÔÜ Ø Ó ÙÑÒ ØÓÙ ν Ò ÒÜÖØØ Ô ØÒ Ò¹ ÐÙ Hah ÔÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ ØÓÒ ÓÖ Ñ ØÓÙº ÇÖ Ñ º Ò ν Ò Ò ÔÖÓ Ñ ÑÒÓ ÑØÖÓ ØÓÒ (X, S) Ø Ø ÑØÖ ν +, ν ÔÓÙ ÓÖ Ñ ÐÓÒØ Ø ÖÒØ ÑÒ ØÓÙ ν ØÓ Ø ÑØÖÓ ν ÔÓÙ ÓÖÞØ Ô Ø Õ ν = ν + + ν ÐØ ÓÐ ÑÒ ØÓÙ νº ÈÖØÖ º½¾ Ò f = χ P χ N µ = ν ØØ ν() = fdµº ³ º½ Ò (X, S, µ) Ò ÕôÖÓ ÑØÖÓÙ f L 1 (X, µ) ν() = ν + () = f +dµ ν () = f dµ ÔÓÑÒÛ ν () = f dµµº ³ º½ Ò ν Ò ÔÖÓ Ñ ÑÒÓ ÑØÖÓ ØÓÒ (X, S) S ØØ ν () = sup{ ν( k ) : k S ÜÒ k = } k=1 k=1 fdµ ØØ ØÓ ν Ò ØÓ ÑÖØÖÓ Ø ÑØÖÓ µ ØÓÒ (X, S) Ñ ØÒ ØØ µ() ν() Sº ³ º½ Ò ν, µ Ò ÔÖÓ Ñ ÑÒ ÑØÖ ØÓÒ (X, S) ØØ µ ³Ò ÒÓÐÓ S Ò ν¹ñò Ò ÑÒÓÒ Ò ν () = 0º µ ν µ ν µ (ν + µ ν µ). ν( P) ν( A) = ν( (P \ A)) = 0γιατί (P \ A) P Aπουείναι ν-μηδενικόσύνολο

º¾ ÌÓ ÂôÖÑ Lebesgue - Rado - Nikodym ÇÖ Ñ º ³ ØÛ µ Ø ÑØÖÓ ν ÔÖÓ Ñ ÑÒÓ Ñ Ø ÑØÖÓ ØÓÒ ÑØÖ ÑÓ ÕôÖÓ (X, S)º ÌÓ ν ÐØ ÔÐÙØ ÙÒÕ Û ÔÖÓ µ ÖÓÙÑ ν µµ Ò S, µ() = 0 = ν() = 0. Ó Ø ÑØÖ µ ν ÐÓÒØ ÓÒÑ Ò ν µ µ νº ³ º½ ³ ØÛ µ Ø ÑØÖÓ ν ÔÖÓ Ñ ÑÒÓ ÑØÖÓ ØÓÒ ÑØÖ ÑÓ ÕôÖÓ (X, S)º ÜØ Ø ÐÓÙ Ò ν µ ØØ S Ñ µ() = 0 Ò ν¹ñò ÇÖ Ñ º¾µº Ò S Ñ µ() = 0 Ò ν¹ñò ØØ ν + µ ν µº Ò ν + µ ν µ ØØ ν µº Ò ν µ ØØ ν µº ÔÓÑÒÛ Ð Ó ÙÒ Ò ÓÒѺ ÈÖØÖ º½ Ò ν µ ν µ ØØ ν = 0º ÈÖÑØ Ò ν µ ØØ ÙÔÖÕ ÑØÖ Ñ ÑÖ X = F Ñ ØÓ µ¹ñò ØÓ F ν¹ñò ÓÔØ ν (F) = 0 Ô ØÒ ³ º½µ ÕÓÙÑ Ø ν µ ÔÓÑÒÛ ν = 0 Ö ν = 0º ν (X) = ν () + ν (F) = ν () = 0 ÈÖØ º½ ³ ØÛ ν Ò ÔÖÓ Ñ ÑÒÓ ÔÔÖ ÑÒÓ ÑØÖÓ Ð ν(s) R)º ÌÓ ν Ò µ¹ôðùø ÙÒÕ Ò ÑÒÓÒ Ò ǫ > 0 ÙÔÖÕ δ > 0 ô Ø Ò S µ() < δ ØØ ν() < ǫ. µ ÔÜ ÍÔÓØÓÙÑ Ø Õ ÙÒ µº Ò µ() = 0 ØØ ǫ > 0 ÔØ Ô ØÒ µ Ø ν() < ǫ Ö ν() = 0º ÜÑ Ø ν µº ÍÔÓØÓÙÑ ØôÖ Ø ÙÒ µ Ò Ðº ÍÔÖÕ ØØ ǫ > 0 ô Ø δ > 0 Ò ÙÔÖÕ δ S ô Ø µ( δ ) < δ ν( δ ) ǫº ÖÑÞÓÒØ Ø Õ ÙØ δ = 1 Ö ÓÙÑ N Ò 2 S Ñ µ( ) < 1 ν( 2 ) ǫº ÂØÓÙÑ ØôÖ F = lim sup = F ÔÓÙ F = k ÕÓÙÑ 1 k 1 µ(f ) 2 0 k Ö µ(f) = lim µ(f ) = 0 Ó µ(f 1 ) 1 < ) k= Òô ν (F ) ν ( ) ǫ Ö ν (F) = lim ν (F ) ǫ Ó ν (F 1 ) < Ø ØÓ ν Ö ØÓ ν Ò ÔÔÖ ÑÒÓµº ÖÑ ÐÓÔÒ F S Ñ µ(f) = 0 ν (F) > 0 ÓÔØ ØÓ ν Ò Ò µ¹ôðùø ÙÒÕ Ö ÓØ ØÓ ν ³ º½µº

ÈÖ Ñ º½ Ò (X, S, µ) Ò ÕôÖÓ ÑØÖÓÙ f L 1 (X, µ) ØØ ǫ > 0 ÙÔÖÕ δ > 0 ô Ø Ò S µ() < δ ØØ fdµ < ǫ. ÌÓ ÔÑÒÓ ÄÑÑ ÕÖ ØÒ ÔÜ ØÓÙ ÂÛÖÑØÓ Lebesgue - Rado - Nikodymº ÄÑÑ º¾¼ Ò ν, µ Ò ÔÔÖ ÑÒ Ø ÑØÖ ØÓÒ (X, S) ØØ ν µ ÐÐô Ð Ò ν µµ ÙÔÖÕÓÙÒ ǫ > 0 S Ñ µ() > 0 ô Ø ν(f) ǫµ(f) F S, F к ØÓ Ò Ø ÒÓÐÓ ØÓ ÔÖÓ Ñ ÑÒÓ ÑØÖÓ ν ǫµµº ÔÜ µ ÈÖØÖÓÑ ÔÖôØ Ø Ò ÑÔÓÖ Ò ÙÑÒÓÙÒ Ø Ó ÈÖÑØ Ò ν µ ÓÔØ ÙÔÖÕ A S ô Ø ν(a) = 0 µ(a c ) = 0 ØØ S Ñ µ() > 0 ÕÓÙÑ ν(a ) = 0 ÓÔØ ǫ > 0 ν(a ) ǫµ(a ) < 0 Ø µ(a ) = µ() > 0 Ð ØÓ Ò Ò Ø ØÓ ÑØÖÓ ν ǫµº µ Ò N ÛÖÓÑ ØÓ ÔÖÓ Ñ ÑÒÓ ÑØÖÓ ν = ν 1 µ Ñ ÒÐÙ Hah X = P N ν ¹Ø ν ¹ÖÒØ ÒÓÐÓº ÇÖÞÓÙÑ P = P N = P c = N º ÓÒ N N ÕÓÙÑ ν (N) 0 Ð ν(n) 1 µ(n)º ÓÒ ν(n) 0 µ(n) < ÔØ Ø ν(n) = 0º ÍÔÖÕÓÙÒ ØôÖ Ó ÔÖÔØô µ(p) = 0 µ(p) > 0º Ò µ(p) = 0 ÔØ Ø µ νº Ò µ(p) > 0 ØØ ÙÔÖÕ N ô Ø µ(p ) > 0º ÂØÓÙÑ ØØ ǫ = 1 ÓÔØ ØÓ P ÒÓÔÓ µ() > 0 Ü ÙÔÓ Û Ò Ø ØÓ ÔÖÓ Ñ ÑÒÓ ÑØÖÓ ν = ν ǫµ. ÂôÖÑ º¾½ Lebesgue - Rado - Nikodymµ ³ ØÛ (X, S, µ) ÕôÖÓ σ¹ôôö¹ ÑÒÓÙ ÑØÖÓÙº Ò ν Ò Ò ÔÖÓ Ñ ÑÒÓ ÑØÖÓ ØÓÒ (X, S) Ñ ν σ¹ôôö ÑÒÓ ØØ µ ÒÐÙ Lebesgue ÙÔÖÕÓÙÒ ÑÓÒ ÔÖÓ Ñ ÑÒ ÑØÖ λ, ρ ô Ø µ Rado - Nikodym ν = λ + ρ, ÔÓÙ λ µ ρ µ ÙÔÖÕ µ¹ ÕÒ ÑÓÒ ÓÐÓÐÖô Ñ f : X R ô Ø ρ() = fdµ S. Ò ØÓ ν Ò Ø ÑØÖÓ ØØ Ø λ, ρ Ò Ø ÑØÖ f Ñ ÖÒغ Ò ØÓ ν Ò ÔÔÖ ÑÒÓ ÑØÖÓ ØØ f L 1 (X, ν )º Ôܺ ÅÓÒØØ Ò ν = λ + ρ = λ + ρ ØØ Ô λ µ λ µ ÙÔÖÕÓÙÒ N, N S Ñ µ(n) = µ(n ) = 0 ô Ø ØÓ N c Ò Ò λ¹ñò ØÓ N c λ ¹ÑÒº ÂØÓÒØ M = N N ÕÓÙÑ µ(m) = 0 ØÓ M c Ò λ¹ñò

λ ¹ÑÒº Ô ρ µ ρ µ Ö ØÓ M Ò ρ¹ñò ρ ¹ÑÒº ³ÔØ ÐÓÔÒ Ø S λ() = λ( M) = λ( M) + ρ( M) = ν( M) = λ ( M) + ρ ( M) = λ ( M) = λ(), Ð λ = λ ÓÑÓÛ ρ() = ρ( M c ) = ρ ( M c ) = ρ ()º ³ÕÓÙÑ ÔÓÑÒÛ fdµ = ρ() = ρ () = f dµ S ØÓ ÓÔÓÓ ÕÒ Ø f = f µ¹ ÕÒ ÔÒØÓº ³ÍÔÖÜ ÈÖÔØÛ Á ÍÔÓØÓÙÑ Ø Ø ν, µ Ò Ø ÔÔÖ ÑÒ ÑØÖº ÃØ Ù Ø ÔÖôÓÙ Rado-Nikodym fº ÂÛÖÓÑ ØÒ ÓÓÒ H = {h : X [0, + ] ÑØÖ Ñ : hdµ ν(a) A S}.  ÜÓÙÑ Ø ÙÔÖÕ f H ô Ø fdµ = sup{ hdµ : h H} Ø ÙØ Ò ÞØÓÑÒ ÙÒÖØ º ÈÖØÖÓÑ Ø A ½º H Ó 0 Hº ¾º Ò h, g H ØØ h g Hº º Ò (h ) Ò ÜÓÙ ÓÐÓÙ Ñ h H ØØ lim h Hº ÔÜ ØÓÙ ¾µ ÂØÓÒØ B = {x : h(x) g(x)} ÕÓÙÑ B S A S (h g)dµ = (h g)dµ + (h g)dµ A A B A\B = hdµ + gdµ ν(a B) + ν(a \ B) = ν(a). A B A\B ÔÜ ØÓÙ µ Ô ÑÓÒØÓÒ Ð lim h dµ = lim h χ A dµ = lim A h χ A dµ ν(a).] à h H ÒÓÔÓ hdµ ν(x) < + ÓÔØ ØÓÒØ a = sup{ hdµ : h H} ÕÓÙÑ 0 a ν(x)º Á ÕÙÖ Ñ ÍÔÖÕ f H ô Ø fdµ = a. ÔÜ N ÙÔÖ h H ô Ø h dµ > a 1 º ³ ØÛ g = h 1 h 2... h º ÌØ g H g dµ h dµ > a 1 (g ) Ò ÜÓÙ º ³Ö Ò h g = max{f, g}

f = sup g = lim g ÕÓÙÑ f H a fdµ g dµ > a 1 ÓÔØ a = fdµ. ÇÖ Ñ ØÓÙ ÑØÖÓÙ λ : S R + : λ(a) = ν(a) fdµ (A S). A ÈÖØÖÓÑ Ø λ(a) 0 ÓÒ f Hº Ô ØÓ λ Ò ÑØÖÓ Û ÓÖ Ó ÑØÖÛÒº ÅÒ Ò ÔÓÕ Ó Á ÕÙÖ Ñ λ µº ÔÜ Ò Õ Ô ØÓ ÄÑÑ º¾¼ ÙÔÖÕ ǫ > 0 S Ñ µ() > 0 λ(f) ǫµ(f) F S Ñ F º ³ÔØ Ø ν(f) = λ(f) + fdµ ǫµ(f) + fdµ. ÂØÓÒØ ÐÓÔÒ g = f + ǫχ ÓÔÓ Ò ÑØÖ Ñ ÕÓÙÑ F S gdµ = fdµ + ǫχ dµ = fdµ + ǫµ(f ) F F F F fdµ + λ(f ) fdµ + λ(f) = ν(f). F ÙØ ÕÒ Ø g H ÓÔØ gdµ aº ³ÇÑÛ gdµ = fdµ + ǫµ() = a + ǫµ() > a X ØÓÔÓº À ÔÜ Ø ÈÖÔØÛ Á ÓÐÓÐÖôº X F ÈÖØÖ ÓÒ ØÓ ÑØÖÓ ν Ò ÔÔÖ ÑÒÓ Ñ ÖÒص ÙÒÖØ f ¹ ÒÓÔÓ fdµ ν(x) < + Ð f L 1 (X, µ)º ÈÖÔØÛ ÁÁ ÍÔÓØÓÙÑ Ø Ø ν, µ Ò Ø σ¹ôôö ÑÒ ÑØÖº ÌØ ÙÔÖÕ Ñ ÖÑ Ñ ÓÓÒ {X } X Ô ÜÒ Ò Ó ÒÓÐ Ñ X = X ô Ø N Ò Õ µ(x ) < + ν(x ) < + ص N ÓÖÞÓÙÑ Ø ÑØÖ µ ν ØÓÒ (X, S) Ô Ø Õ µ () = µ( X ) ν () = ν( X ) ( S). Ì ÑØÖ ÙØ Ò ÔÔÖ ÑÒº ÈÖØÖÓÑ ÑÐ Ø Ø ÑØÖ Ñ ÙÒÖØ g ÕÓÙÑ gdµ = gχ X dµ = X gdµ Ø µ µº ÖÑÞÓÒØ ØÓ ÔÓØÐ Ñ Ø ÈÖÔØÛ Á Ø ν µ Ö ÓÙÑ Ñ ÖÒØ Ù¹ ÒÖØ f L 1 (X, µ ) Ø ÔÔÖ ÑÒÓ ÑØÖÓ λ ØÓ ØÓ µ ô Ø ν () = λ () + f dµ ( S). ÈÖØÖÓÑ Ø ÓÒ λ µ µ µ ÕÓÙÑ λ µº ÜÐÐÓÙ ÓÒ µ (X c) = 0 ÑÔÓÖÓÑ Ò ÙÔÓ ÓÙÑ Ø f ÑÒÞØ ÔÒØÓ ØÓ X c ÓÔØ ÔÖÓÓÑÒ Õ ÖØ ν () = λ () + f dµ ( S). µ F F ½¼

ÔÖØÖ ÓÙÑ Ø f L 1 (X, µ) Ö ÑÔÓÖÓÑ Ò ÙÔÓ ÓÙÑ Ø 0 f (x) < + x º ÇÖÞÓÙÑ Ñ ÙÒÖØ f : X R Û Ü x X Ò Ò Öô X ÓÖÞÓÙÑ f(x) = f (x) Ð f = f º À f Ò ÑØÖ Ñ ÒÓÔÓ 0 f(x) < + xº ÈÖÓ ØÓÒØ ØôÖ Ø ØØ µ Ø ÑÐ ÐÓ Ó ÖÓ Ò Ñ ÖÒØÓµ ÕÓÙÑ ν() = ν( X ) = ν () = λ () + f dµ = λ () + f dµ = λ () + fdµ. ÂØÓÙÑ ÐÓÔÒ λ() = λ () ( S) ÓÔØ ØÓ λ Ò Ø ÑØÖÓ Ò σ¹ôôö ÑÒÓ Ø λ(x ) = λ (X) < + µº ÅÒ Ò ÜÓÙÑ Ø λ µº ÈÖÑØ Ó Õ Ø λ µ ÙÔÖÕ N S Ñ µ(n ) = 0 ô Ø λ (N c ) = 0º ÂØÓÒØ ØôÖ N = N ÕÓÙÑ 0 µ(n) µ(n ) = 0 0 λ (N c ) λ (N c ) = 0 Ö λ (N c ) = 0º ÔÓÑÒÛ 0 λ(n c ) λ (N c ) = 0 Ö λ µº ÈÖØÖ Ò ÙÑ ØÓ ν Ò Ò ÔÔÖ ÑÒÓ ØØ ØÓ λ Ò ÔÔÖ ÑÒÓ f L 1 (X, µ)º ÈÖÑØ λ(x) + fdµ = ν(x) < + Ö λ(x) < + fdµ < + Ó fdµ 0 λ(x) 0º ÈÖÔØÛ ÁÁÁ Òµ ÌÓ ν Ò ØôÖ Ò ÔÖÓ Ñ ÑÒÓ ÑØÖÓ Ø µ, ν Ò σ¹ôôö ÑÒº Ò ν = ν + ν Ò ÒÐÙ Jorda ØÓÙ ν ØØ Ø ν +, ν Ò σ¹ ÔÔÖ ÑÒº ÔÔÐÓÒ Ó ØÓ ν Ò ÑÔÓÖ Ò ÔÖ Ø Ó ØÑ +, Ò Ô Ø Ó ÑØÖ Ò ÔÔÖ ÑÒÓº ÍÔÓØÓÙÑ Ø ØÓ ν + Ò ÔÔÖ ÑÒÓ ÐÐô ÛÖÓÑ ØÓ νµº Ô ØÒ ÈÖÔØÛ ÁÁ ÐÓÔÒ ÙÔÖÕÓÙÒ Ø ÑØÖ λ i (i = 1, 2) Ø ÔÖÓ ØÓ µ ÑØÖ Ñ ÙÒÖØ f i : X [0, + ) ô Ø ν + () = λ 1 () + f 1 dµ ν () = λ 2 () + f 2 dµ ( S). ÓÒ ØÓ ν + Õ ÙÔÓØ ÔÔÖ ÑÒÓ ÕÓÙÑ 0 λ 1 () < + 0 f 1dµ < + º ÔÓÑÒÛ Ò ÓÖ ÓÙÑ λ() = λ 1 () λ 2 () f = f 1 f 2 ØÓ λ Ò Ð ÓÖ ÑÒÓ ÔÖÓ Ñ ÑÒÓ ÑØÖÓ f : X R Ò ÓÐÓÐÖô Ñ ÙÒÖØ f 1dµ f 2dµ = fdµº Ô Ó Ø λ i Ò Ø ØÓ µ ÓÐ ÒØ Ø λ µº ÖôÒØ Ø ÔÖÓÓÑÒ ØØ Ø ÑÐ ÕÓÙÑ ν() = ν + () ν () = λ 1 () λ 2 ()+ f 1 dµ f 2 dµ = λ()+ fdµ ( S). ½½

ÈÖØÖ º¾¾ ËÒ Ñ ØÒ ËÙÒÖØ ÒÐÙ µ Ò µ Ò ¹ Ø ÒÓÒ ÑØÖÓ Borel ÒÒ ÙÑÔ ÑØÖ ÕôÖÓ ÒØÖ ØÓÔÓÐÓ Ùѹ Ô ÕôÖÓ Hausdorffµ X ØØ C c (X) L 1 (X, µ) ÔÖÑØ f C c (X) ÕÓÙÑ f dµ f µ(suppf) < µ º ÔÓÑÒÛ Ò ν Ò Ò ÔÖÓ Ñ ÑÒÓ ÔÔÖ Ñ¹ ÒÓ ÑØÖÓ Borel ô Ø ØÓ ν Ò Ò ÒÓÒ f C c (X) Ò ØÓÒ L 1 ( ν ) Ö f L 1 (ν + ) f L 1 (ν )º ÇÖÞÓÒØ ÐÓÔÒ φ ν (f) = fdν + fdν ÕÓÙÑ Ñ ÖÑÑ ÑÓÖ ØÓÒ C c (X) ÓÔÓ Ò ÙÒÕ Ø φ ν (f) = fdν + fdν fdν + + fdν f (ν + (X) + ν (X)) = f ν (X). ÌÓ ÂôÖÑ ÒÔÖ Ø ØÓÙ Riesz Ð Ø Ð Ó ÙÒÕ ÖÑÑ ÑÓÖ ØÓÒ (C c (X), ) Ò Ø ÑÓÖ φ ν ØÐÐÐ ÔÔÖ ÑÒ ÔÖÓ Ñ ÑÒ ÑØÖ νº º¾ ½µ ËØÓÒ ÑØÖ ÑÓ ÕôÖÓ ([0, 1], M m ) ÔÓÙ M m Ø Lebesgue ÑØÖ Ñ ÒÓÐ ÛÖÓÑ Ø Ü Ó ÑØÖ m ØÓ ÑØÖÓ Lebesgue ν ØÓ ÑØÖÓ ÔÖÑ º ÌÓ ÑØÖÓ ν Ò ÕØ ÒÐÙ Lebesgue Û ÔÖÓ ØÓ ÑØÖÓ mº Ô Òô ØÓ ÑØÖÓ m Ò ÔÖÓÒô ÔÓÐØÛ ÙÒÕ Û ÔÖÓ ØÓ ν Ò ÙÔÖÕ f L 1 ([0, 1], ν) ô Ø m() = fdν M mº ¾µ ËØÓÒ (R, M) ÔÓÙ M = { R : ÖÑ ÑÓ c ÖÑ ÑÓ} ÓÒÓÑÞÓÙÑ µ ØÓ ÑØÖÓ ÔÖÑ ν ØÓ ÑØÖÓ ÔÓÙ ÓÖÞØ Ô Ø Õ ν() = 0 Ò ÖÑ ÑÓ ν() = 1 Ò ÙÔÖÖÑ ÑÓº ÌØ ÔÖÓÒô ν µ ÐÐ Ò ÙÔÖÕ ÑØÖ Ñ f ô Ø ν() = fdµ Mº ÇÖ Ñ º Ò (X, S, µ) Ò σ¹ôôö ÑÒÓ ÕôÖÓ ÑØÖÓÙ ν ÔÖÓ Ñ ÑÒÓ Ñ¹ ØÖÓ Ñ ν σ¹ôôö ÑÒÓ ô Ø ν µ µ¹ ÕÒ ÑÓÒ f ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ø Õ ν() = fdµ S ÓÒÓÑÞØ ÔÖÛÓ Rado-Nikodym ØÓÙ ν Û ÔÖÓ µ ÙÑÓÐÞØ dν dµ º ÇÖ Ñ º ³ ØÛ ν ÔÖÓ Ñ ÑÒÓ ÑØÖÓ ØÓÒ (X, S) Ñ ÒÐÙ Jorda ν = ν + ν º g L 1 (X, ν ) ÓÖÞÓÙÑ gdν = gdν + gdµ. ÈÖØ º¾ Ò ν µ µ λ ÔÓÙ Ø µ λ Ò Ø ÑØÖ ØÓ ν Ò ÔÖÓ Ñ ÑÒÓ ÑØÖÓ ÔÓÙ Ø ν, µ λ Ò σ¹ôôö ÑÒµ ØØ µ g L 1 (X, ν ) ÕÓÙÑ g dν dµ L1 (X, µ) gdν = g dν dµ dµ. ( ) ( ) dν dν dµ µ Á Õ ØØ dλ = λ¹ ÕÒ ÔÒØÓº dµ dλ Τοσύνολο suppf,οφορέαςτης f,είναιηκλειστήθήκητου {x X : f(x) 0}.Είναισυμπαγέςαφού f C c (X),οπότεέχειπεπερασμένομέτρο. ½¾