Daniel Pacak. Zastosowanie modelu hydrodynamicznego do analizy procesów produkcji cząstek w zderzeniach relatywistycznych jąder atomowych

Daniel Pacak Zastosowanie modelu hydrodynamicznego do analizy procesów produkcji cząstek w zderzeniach relatywistycznych jąder atomowych Praca magisterska wykonana pod kierunkiem dr Wiktora Peryta Wydział Fizyki Politechnika Warszawska Warszawa, czerwiec 008

Spis treści 1 WPROWADZENIE 4 PODSTAWY TEORETYCZNE 7.1 Model standardowy.................................... 7. Hydrodynamika...................................... 9.3 Hydrodynamika relatywistyczna............................. 11.4 Elementy relatywistycznej teorii kinematycznej..................... 13.4.1 Podstawowe definicje wielkości mikroskopowych................ 13.4. Podstawowe definicje wielkości makroskopowych................ 15 3 MODEL HYDRODYNAMICZNY I PLAZMA KWARKOWO-GLUONOWA 17 3.1 Rys historyczny...................................... 17 3. Model Landaua...................................... 19 3.3 Model Bjorkena...................................... 0 3.3.1 Oszacowanie początkowej gęstości energii w modelu Bjorkena......... 0 3.3. Ewolucja hydrodynamiczna plazmy kwarkowo-gluonowej........... 3 4 PROCES WYMRAŻANIA I WIELKOŚCI MIERZALNE 5 4.1 Nagłe wymrażanie.................................... 5 4. Numeryczne wyznaczanie wielkości mierzalnych.................... 6 4..1 Całkowita liczba cząstek............................. 6 4.. Rozkład pospieszności.............................. 7 4.3 Nagłe wymrażanie w symulacji komputerowej..................... 8 4.3.1 Ewolucja hydrodynamiczna........................... 9 4.3. Numeryczne wyznaczanie powierzchni wymrażania.............. 9 4.3.3 Rozkład pospieszności wymrożonych cząstek.................. 31 5 MODEL HYDRODYNAMICZNY W SYMULACJI KOMPUTEROWEJ 33 5.1 Implementacja....................................... 33 5. Obliczenia równoległe................................... 35 5.3 Message Passing Interface................................ 36 5.4 Konfiguracja........................................ 43 6 ASPEKTY NUMERYCZNE 45 6.1 Hiperboliczne prawa zachowania............................. 45 6. Algorytm przybliżonego obliczania strumieni...................... 46

SPIS TREŚCI 3 6.3 Hiperboliczne prawa zachowania w trzech wymiarach................. 46 6.4 Transformacja pomiędzy dwoma układami odniesienia................. 47 7 TESTY I PRZYKŁADOWE ROZWIĄZANIA 49 7.1 Problem Soda....................................... 49 7. Eksplozja w dwóch wymiarach przestrzennych..................... 50 7.3 Model Bjorkena...................................... 53 7.4 Ekspansja typu Bjorkena................................. 55 8 UWAGI KOŃCOWE 60 A MODEL HYDRODYNAMICZNY W JEDNYM WYMIARZE 61

Rozdział 1 WPROWADZENIE Śmiało można powiedzieć, że w ciągu ostatnich kilku lat nastąpiła rewolucja w fizyce jądrowej, a jej związek z fizyką cząstek elementarnych i fizyką statystyczną stał się bardziej widoczny. Na początku lat 80-tych badacze cząstek elementarnych przystosowali akceleratory, którymi dysponowali, do przyspieszania ciężkich jonów. W tym samym czasie znacząco wzrosły energie wiązek uzyskiwanych w akceleratorach i pojawiła się możliwość badania nowych, niezwykłych zjawisk w kilku laboratoriach na świecie. Czemu fizyka jądrowa znów znalazła się w centrum zainteresowania? Jest kilka powodów. Reakcje z udziałem ciężkich jonów są jedynym sposobem na skompresowanie i podgrzanie do niewyobrażalnych temperatur materii jądrowej w laboratorium. Głównym celem jest zbadanie własności silnie oddziałującej i gęstej materii jądrowej, poznanie natury przejścia fazowego kwarki-hadrony oraz samo potwierdzenie istnienia plazmy kwarkowo-gluonowej (ang. quark-gluon plasma, QGP). Już we wczesnych latach 70-tych doświadczenia polegające na głęboko nieelastycznym rozpraszaniu elektronów na protonach wskazywały na to, że nukleony mają strukturę wewnętrzną i są zbudowane z kwarków i gluonów. Teorią pola, opisującą kwarki i gluony jest chromodynamika kwantowa (ang. quantum chromodynamics, QCD), z której wynika, że nie jest możliwe zaobserwowanie swobodnych kwarków i gluonów w laboratoriach. Za uwięzienie kwarków we wnętrzu hadronów jest odpowiedzialne oddziaływanie silne, w chromodynamice kwantowej reprezentowane przez liczbę kwantową nazywaną kolorem lub ładunkiem kolorowym. Na co dzień obserwowane cząstki nie mają wypadkowego ładunku kolorowego. Z drugiej strony, duża gęstość i temperatura materii jądrowej powodują, że wiązania pomiędzy kwarkami i gluonami słabną i mogą poruszać się jak swobodne cząstki. Naukowcy wierzą, że rozpędzanie jąder atomowych do prędkości bliskich prędkości światła, a następnie ich zderzanie pozwala na gromadzenie wystarczającej ilości energii w małej objętości do zaobserwowania 1 swobodnych kwarków i gluonów w laboratorium. Pomimo tego, że praca nie jest poświęcona metodom i technikom eksperymentalnym, muszę skomentować najważniejsze własności fizyczne reakcji z udziałem ciężkich jonów, które doprowadziły do ich rozwoju. Eksperymenty polegające na zderzaniu/rozpraszaniu cząstek i rejestrowaniu powstałych produk- 1 Nie da się zaobserwować plazmy kwarkowo-gluonowej powstające w zderzeniach jądro-jądro bezpośrednio. Jest jednak kilka sugestii i pomysłów na to, aby potwierdzić lub odrzucić hipotezę istnienie tego egzotycznego stanu materii. Jednym z nich jest analiza własności powstałych hadronów. Zbadanie nieciągłości rozkładów pędu produktów reakcji, odzwierciedla np. występowanie przejścia fazowego pierwszego rzędu kwarki-hadrony. Dowodem na istnienie plazmy kwarkowo-gluonowej może być również zwiększona produkcja cząstek dziwnych [1][17]. 4

tów są głównym źródłem informacji w fizyce jądrowej oraz fizyce cząstek elementarnych. Taki eksperyment to najczęściej bardzo ambitne i wymagające przedsięwzięcie, a same techniki eksperymentalne są tak samo fascynujące jak zjawiska, które są badane za ich pomocą. Większość współczesnych eksperymentów polega na zastosowaniu nadzwyczaj wyszukanej elektroniki i komputerów, a wymienione narzędzia pozwalają naukowcom wybrać, zapisać i ostatecznie przeanalizować ogromną ilość ciekawych danych. W nisko-energetycznej fizyce jądrowej przeważają zderzenia elastyczne, gdzie pocisk i cel zachowują swoją strukturę. Powstaje kilka nowych cząstek, a pomiar ich charakterystyk nie sprawia większego kłopotu. W relatywistycznych zderzeniach ciężkich jonów krotności powstających cząstek są duże (liczba nowych cząstek często przekracza początkową liczbę nukleonów). Zmusza to eksperymentatorów do stosowania technik nie znanych wcześniej w fizyce jądrowej. Aby scharakteryzować wybrane zdarzenie, konieczne jest zarejestrowanie wszystkich produktów reakcji jednocześnie. Jednym ze sposobów jest użycie odpowiedniego układu/tablicy detektorów pojedynczych cząstek, rozmieszczonych wokół miejsca zderzenia. Alternatywnym podejściem są komory strumieniowe (ang. stream chambers) lub komory projekcji czasowej (ang. time projection chambers, TPC) pozwalające śledzić jednocześnie wiele torów cząstek. Tak zarejestrowane tory, są poddawane dalszej obróbce, która pozwala wyznaczyć pędy i energie produktów reakcji. Pisałem ten rozdział w momencie, kiedy zewsząd dochodziły głosy, że Wielki Zderzacz Hadronów (ang. Large Hadron Collider, LHC), wkrótce rozpocznie pracę w CERN-ie [15]. Ten największy i najpotężniejszy mikroskop w historii nauki pozwoli obserwować zjawiska fizyczne przy największych energiach, jakie kiedykolwiek osiągnięto na Ziemi. Dzięki LHC możemy być świadkami wielu nowych odkryć i znaleźć od dawna poszukiwany bozon Higgsa, nadający masę wszystkim cząstkom. Śledzenie cząstek w LHC będzie możliwe dzięki czterem gigantycznym detektorom (eksperymentom) ATLAS, ALICE 3, CMS 4 i LHCb 5. Oprócz szukania nowych zjawisk LHC sprawdzi to co już wcześniej zostało odkryte. Urządzenie będzie wytwarzać znane cząstki w ogromnych ilościach i obserwować je z niezwykłą dokładnością. Budowa LHC trwała przeszło 10 lat. Informacji o szczegółach tego przedsięwzięcia można poszukać na stronie [4]. Najbardziej zaskakującym rezultatem badań reakcji z udziałem ciężkich jonów było odkrycie nowych zjawisk kolektywnych. Okazało się, że gorąca i gęsta materia jądrowa zachowuje się bardzo podobnie do cieczy ściśliwej, a nie, jak zakładano wcześniej, do rozrzedzonego gazu hadronów. Efekty typowe dla mechaniki płynów zostały potwierdzone eksperymentalnie [17]. Obserwacja zjawisk kolektywnych przyczyniła się do powstania i rozwoju modelu hydrodynamicznego [17][18], który jest głównym tematem mojej pracy dyplomowej. Podczas dalszej lektury przekonamy się, że jest on jednym ze sposobów na naśladowanie materii jądrowej wytworzonej w zderzeniu ciężkich jonów i badanie jej własności przy użyciu komputera. ATLAS jest detektorem o szerokim zastosowaniu. Wykorzystuje unikalne rozwiązania techniczne do rejestracji najważniejszych w tym eksperymencie mionów [5]. 3 ALICE będzie obserwował zderzenia jonów ołowiu, podczas których powstaje pierwotna plazma kwarkowogluonowa. Będzie też badał zderzenia proton-proton, uzyskując z nich dane porównawcze do zderzeń jonów ołowiu [6]. 4 CMS to skrót od Compact Muon Solenoid, czyli Kompaktowy Solenoid Mionowy. Jego najciekawszym zadaniem będzie poszukiwanie cząstki Higgsa i innych nieznanych dotąd zjawisk [7]. 5 LHCb to detektor skonstruowany do poszukiwania kwarków i antykwarków pięknych, by wyjaśnić, dlaczego we Wszechświecie występuje niemal wyłącznie materia, a nie antymateria. Spośród pozostałych eksperymentów LHCb wyróżnia się tym, że układ detekcyjny znajduje się tylko po jednej stronie punktu zderzenia [8]. 5

6 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE Duża część tekstu (rozdziały drugi i trzeci) jest poświęcona wyjaśnieniu definicji i równań, z którymi trzeba się zapoznać, aby zrozumieć procesy fizyczne opisywane przez model hydrodynamiczny. Efektem pracy jest program komputerowy, RHydro3DMPI, wykonujący obliczenia według algorytmów opisanych w rozdziałach piątym i szóstym. Przykładowe testy i rozwiązania przedstawiłem w rozdziale siódmym. Rozdział czwarty uważam za najciekawszy. Stanowi on właściwą kontynuację prac nad modelem hydrodynamicznym w grupie HIRG na Wydziale Fizyki Politechniki Warszawskiej. Wiele równań i komentarzy tam umieszczonych przedyskutowałem (za pośrednictwem poczty elektroniczej) z dr Tetsufumi Hirano.

Rozdział PODSTAWY TEORETYCZNE Skuteczne modelowanie zderzeń ciężkich jonów z wykorzystaniem modeli hydrodynamicznych wymaga połączenia wiedzy z różnych działów fizyki, m.in. fizyki cząstek elementarnych, hydrodynamiki relatywistycznej, fizyki statystycznej oraz relatywistycznej teorii kinematycznej. Rozdział ten stanowi podsumowanie najważniejszych praw, wzorów i założeń, do których będę się odnosił w dalszej części tekstu. Zacznę od modelu standardowego. Dalej podam równania hydrodynamiki relatywistycznej opisujące dynamikę rozważanych procesów. Na końcu rozdziału przedstawię podstawowe definicje i oznaczenia relatywistycznej teorii kinematycznej..1 Model standardowy Model standardowy (ang. The Standard Model) został stworzony w celu wyjaśnienia budowy materii. W prosty i zrozumiały sposób opisuje wszystkie rodzaje cząstek oraz oddziaływania zachodzące między nimi. Ograniczę się do przedstawienia najważniejszych założeń i elementów modelu standardowego. Będzie to raczej opowieść, niż szczegółowe potraktowanie tego zagadnienia, które można znaleźć np. w [5]. Najogólniej mówiąc, wszystko co nas otacza składa się z kwarków i leptonów, a cząstki oddziałują ze sobą wymieniając tzw. nośniki oddziaływania. Oczywiście, model standardowy dostarcza nam dużo więcej informacji. Wiemy, że kwarki zachowują się zupełnie inaczej niż leptony, a oprócz zwykłych cząstek mamy odpowiadające im antycząstki. Antycząstka wygląda i zachowuje się jak zwykła cząstka, różnią się one jedynie ładunkami. (Przykładem może być dodatnio naładowany proton oraz ujemnie naładowany antyproton). Kwarki są rodzajem cząstek elementarnych. Model standardowy wyróżnia sześć kwarków, ale często mówi się o trzech parach kwarków: górny-dolny (ang. up-down), powabny-dziwny (ang. charm-strange) i top-piękny (ang. top-beauty). (Można spotkać się z trochę innymi nazwami polskimi). Dla każdego z wymienionych kwarków, istnieje odpowiadający mu antykwark. Kwarki mają szereg ciekawych własności, m.in. ułamkowy ładunek elektryczny. Dodatkowo przenoszą tzw. ładunek kolorowy (ang. color charge), odpowiedzialny za oddziaływania silne. Kwarki nigdy nie występują osobno, a ich istnienie, początkowo uważane za wygodny pomysł matematyczny, zostało potwierdzone eksperymentalnie. 7

8 ROZDZIAŁ. PODSTAWY TEORETYCZNE Kwarki mogą się łączyć, tworząc cząstki nazywane hadronami. Chociaż pojedyncze kwarki mają ułamkowe ładunki elektryczne, wypadkowy ładunek elektryczny hadronu jest liczbą całkowitą. Inną własnością hadronów jest to, że nie mają wypadkowego ładunku kolorowego (pomimo tego, że pojedyncze kwarki przenoszą takie ładunki). Hadrony dzielą się na dwie klasy: bariony zbudowane z trzech kwarków i mezony zbudowane z pary kwark-antykwark. Model standardowy zakłada również istnienie sześciu rodzajów leptonów. Trzy z nich mają ładunek elektryczny, a trzy nie. Wydają się być punktowymi tworami pozbawionymi wewnętrznej struktury. Najbardziej znanym przedstawicielem tej grupy cząstek elementarnych jest elektron (e ). Kolejne dwa leptony, przenoszące ładunek elektryczny, to mion (µ) oraz lepton τ, które są dużo cięższe od elektronu. Pozostałe leptony to trzy typy neutrin. Nie posiadają ładunku elektrycznego, mają bardzo małą masę i są trudne do wykrycia. Dla każdego leptonu istnieje odpowiadający mu antylepton. Wszechświat, który znamy i kochamy istnieje, ponieważ cząstki elementarne oddziałują ze sobą. Oddziaływania te obejmują siły przyciągające/odpychające, rozpady oraz anihilacje. Cztery rodzaje oddziaływań, jakie znamy dzisiaj, to: silne, słabe, elektromagnetyczne i grawitacyjne. Siła grawitacyjna jest najsłabsza, ale ma za to nieskończony zasięg. Podobnie, nieskończony zasięg ma siła elektromagnetyczna, jest jednak dużo mocniejsza od grawitacji. Oddziaływania silne i słabe mają ograniczony zasięg i dominują na poziomie subatomowym. Pomimo nazwy, oddziaływanie słabe jest dużo silniejsze od grawitacyjnego, ale jest najsłabsze w porównaniu z pozostałymi trzema. Oddziaływanie silne, jak nietrudno się domyśleć, jest najsilniejsze. Wszechobecność trzech fundamentalnych sił jest skutkiem wymiany nośników oddziaływań, czyli specjalnych cząstek należących do szerszej grupy tzw. bozonów. Za pośrednictwem bozonów cząstki materii wymieniają między sobą kwanty energii. Każde z oddziaływań ma swój charakterystyczny nośnik. W przypadku oddziaływań silnych jest to gluon, elektromagnetycznych foton, słabych bozony W i Z. Pomimo tego, że nie został jeszcze znaleziony, grawiton jest uważany za nośnik oddziaływań grawitacyjnych. Model standardowy obejmuje tylko trzy z wymienionych oddziaływań: elektromagnetyczne, silne oraz słabe. Oddziaływanie grawitacyjne, chyba najbardziej znane i odczuwalne w naszym codziennym życiu, nie jest częścią tego modelu! W fizyce cząstek elementarnych, gdzie efekty związane z grawitacją są na tyle małe, że można je pominąć, model standardowy wciąż dostarcza najlepszy opis świata subatomowego. Istotnym składnikiem modelu standardowego jest tzw. bozon Higgsa 1, będący kluczem do wyjaśnienia pochodzenia masy cząstek. Do tej pory nie udało się go zaobserwować eksperymentalnie, dlatego potwierdzenie istnienia takiej cząstki może być znaczącym krokiem w rozwoju fizyki. 1 Przełom w fizyce cząstek elementarnych nastąpił w roku 1970, kiedy to fizycy dopatrzyli się związku między oddziaływaniem silnym i elektromagnetycznym. Okazało się, że można je opisać w kontekście tej samej teorii, co stanowi jeden z celów modelu standardowego. U podstaw elektryczności, magnetyzmu oraz niektórych rozpadów radioaktywnych leży jeden rodzaj oddziaływania tzw. oddziaływanie elektrosłabe. Żeby taka unifikacja była poprawna pod względem matematycznym, konieczne jest założenie, że nośniki oddziaływań są cząstkami bezmasowymi. Dotychczas przeprowadzone eksperymenty pokazały jednak, że nie jest to prawdą. Peter Higgs, Robert Brout oraz Francois Englert zaproponowali rozwiązanie tego problemu i zasugerowali, że tuż po Wielkim Wybuchu (ang. The Big Bang), wszystkie cząstki miały zerową masę. W trakcie stygnięcia i rozszerzania się Wszechświata, poniżej pewnej krytycznej temperatury, wytworzyło się niewidzialne pole sił, tzw. pole Higgsa (ang. Higgs field) wraz ze stowarzyszonymi z nim bozonami Higgsa (ang. Higgs bosons). Cząstkom oddziałującym z polem Higgsa, za pośrednictwem bozonów Higgsa, przypisuje się masę. Podczas gdy silniejsze oddziaływanie oznacza większą masę, cząstki nigdy nie oddziałujące z polem Higgsa pozostają bezmasowe.

.. HYDRODYNAMIKA 9 Pojawia się tu jednak pewien problem techniczny. Nie znamy masy samej cząstki Higgsa, przez co trudno jest ją zidentyfikować. Jedynym sposobem jest systematyczne przeszukiwanie zakresu mas, w którym przewiduje się istnienie cząstki. Dotychczas niemożliwy do zbadania zakres mas jest już osiągalny w LHC, który potwierdzi lub odrzuci istnienie kłopotliwego bozonu Higgsa. W razie niepowodzenia będzie możliwe (i chyba konieczne) stworzenie zupełnie nowej teorii wyjaśniającej pochodzenie masy.. Hydrodynamika W zakresie hydrodynamiki wykorzystuje się model ośrodka ciągłego. Oznacza to, że płyn wypełnia przestrzeń w sposób ciągły, bez pustych obszarów typowych dla struktury molekularnej i związanych z tym zjawisk mikroskopowych takich, jak np. chaotyczny ruch cieplny cząstek. Sformułowane poniżej prawa odnoszą się do tzw. elementu płynu, czyli bardzo małej ilości płynu, której wymiary liniowe są dużo mniejsze od wymiarów opływanych ciał, a jednocześnie dużo większe od średniej drogi swobodnej molekuł lub ich temperaturowej amplitudy drgań. Model ośrodka ciągłego pozwala na określenie makroskopowych własności płynu jako funkcji przestrzeni i czasu i potraktowanie ich jako pól, co stwarza możliwość zastosowania ogólnych twierdzeń teorii pola. Prawa rządzące zachowaniem się płynów zostaną sformułowane w oparciu o podstawowe zasady fizyki tj.: zasadę zachowania masy, zasadę zachowania pędu oraz zasadę zachowania energii i będą wyrażone w postaci układu różniczkowych równań cząstkowych lub całkowych. Matematycznego opisu stanu poruszającej się cieczy dokonuje się za pomocą funkcji rozkład prędkości cieczy v = v (x, y, z, t) i dowolnych dwóch wielkości termodynamicznych, np. ciśnienia p (x, y, z, t) i gęstości ϱ (x, y, z, t). Zasadę zachowania masy w hydrodynamice wyraża tzw. równanie ciągłości ϱ t + ϱv = 0. (.1) Rozważając siły działające na element płynu można znaleźć jedno z podstawowych równań hydrodynamiki tzw. równanie Eulera (równanie ruchu cieczy) v t + (v ) v = 1 p. (.) ϱ Powyższe równanie zostało wyprowadzone przy zaniedbaniu procesów przewodnictwa cieplnego i lepkości, dlatego opisuje ono ruch cieczy idealnej. Wybierając dowolny, nieruchomy w przestrzeni element objętości i określając, jak zmienia się energia cieczy zawartej w tej objętości, możemy wyprowadzić równanie t ( ϱv + ϱε ) = [ ϱv ( v + w )], (.3) gdzie w = ε + p/ϱ jest entalpią, a ε energią wewnętrzną jednostki masy cieczy. Zapisując równanie (.3) w postaci całkowej ( ϱv ) ( ) v t + ϱε dv = ϱv + w df, (.4)

10 ROZDZIAŁ. PODSTAWY TEORETYCZNE można podać jego interpretację fizyczną. Po lewej stronie wyrażona jest zmiana energii cieczy w pewnej zadanej objętości przestrzeni w jednostce czasu. Znajdująca się po prawej stronie całka powierzchniowa opisuje energię wypływającą w jednostce czasu z rozważanej objętości. Wyrażenie ϱv (v / + w) przedstawia wektor gęstości strumienia energii. Jego wartość bezwzględna równa jest energii przepływającej w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni prostopadłej do kierunku prędkości. Przeprowadzając analogiczne rozważania dla pędu jednostki objętości cieczy ϱv, korzystając przy tym z (.1) oraz (.), otrzymujemy t ϱv i = Π ik x k, (.5) gdzie v i to i-ta składowa prędkości. Symetryczny tensor Π ik jest zdefiniowany równością Π ik = pδ ik + ϱv i v k. (.6) Całkując powyższe równanie po pewnej objętości i zamieniając całkę po prawej stronie na całkę po powierzchni, otrzymujemy ϱv i dv = Π ik df k. (.7) t Lewa strona równości opisuje zmianę i-tej składowej pędu rozważanej objętości w jednostce czasu. Występująca po prawej stronie całka powierzchniowa wyraża pęd wypływający w jednostce czasu przez powierzchnię ograniczającą rozważaną objętość. Π ik df k jest i-tą składową pędu przepływającą przez element df powierzchni. Tensor Π ik jest zatem i-tą składową pędu przepływającego w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni prostopadłej do x k. Nazywa się go tensorem gęstości strumienia pędu. Strumień energii, która jest wielkością skalarną, jest wektorem, natomiast strumień pędu, który sam jest wektorem, jest tensorem drugiego rzędu. Równanie (.1), (.3) oraz (.5), uzupełnione termodynamicznym równaniem stanu, całkowicie opisują dynamikę cieczy. Zapiszę je tutaj w jednym miejscu E + [(E + p) v] = 0, t (.8) (ϱv x ) + (ϱv x v) + p t x = 0, (.9) (ϱv y ) + (ϱv y v) + p t y = 0, (.10) (ϱv z ) + (ϱv z v) + p t z = 0, (.11) ϱ + (ϱv) = 0, t (.1) gdzie E = ϱv / + ϱε. Szczegółowe wyprowadzenie wzorów podanych w tym punkcie można znaleźć w [4] i [6].

.3. HYDRODYNAMIKA RELATYWISTYCZNA 11.3 Hydrodynamika relatywistyczna Równania hydrodynamiki ulegają istotnej zmianie, gdy prędkość ruchu mikroskopowego cząstek wchodzących w skład cieczy osiąga duże wartości. Wyprowadzenie relatywistycznych równań hydrodynamiki polega przede wszystkim na ustaleniu postaci czterotensora T µν energii-pędu poruszającej się cieczy. We wszystkich wzorach w tym punkcie przyjmujemy, że c = 1. Rozważając pewien element objętości cieczy i posługując się układem odniesienia, w którym jest on w spoczynku (lokalny układ spoczynkowy), możemy podać postać tensora energii-pędu T µν = e 0 0 0 0 p 0 0 0 0 p 0 0 0 0 p Wyrażając T µν w dowolnym układzie odniesienia, otrzymujemy. (.13) T µν = (e + p) u µ u ν pg µν, (.14) gdzie u µ = γ (1, v x, v y, v z ) = γ (1, v) jest czteroprędkością cieczy, γ = 1/ 1 v, g µν to tzw. tensor metryczny. Otrzymana postać tensora energii-pędu, przy przejściu do prędkości nierelatywistycznych, pozwala uzyskać wyrażenie na gęstość energii oraz gęstość strumienia pędu, analogiczne do tych wyprowadzonych w przypadku klasycznym. Prawa zachowania energii i pędu układu fizycznego opisanego za pomocą tensora T µν są zawarte w równaniu T µν x µ = 0. (.15) Rozpisując (.15) T µν 0ν 1ν ν 3ν T T T T = + + + x µ t x y z = 0, (.16) a następnie podstawiając ν = 0, otrzymujemy T 00 t Posługując się (.14) możemy napisać + T 10 x + T 0 y + T 30 z = 0. (.17) T 00 = (e + p) γ p, (.18) T 10 = ( T 00 + p ) v x, (.19) T 0 = ( T 00 + p ) v y, (.0) T 30 = ( T 00 + p ) v z. (.1) Wstawiając (.18) (.1) do (.17) otrzymujemy T 00 t + [( T 00 + p ) ] [( v x + T 00 + p ) ] [( v y + T 00 + p ) ] v z = 0. (.) x y z

1 ROZDZIAŁ. PODSTAWY TEORETYCZNE Podobnie, rozpisując (.15) i podstawiając kolejno ν = 1,, 3, otrzymamy trzy równania T 01 t T 0 t T 03 t + ( T 01 v x + p ) + ( ) T 01 v y + x y z + ( ) T 0 ( v x + T 0 v y + p ) + x y z + x ( T 03 v x ) + y ( T 01 v z ) = 0, (.3) ( T 0 v z ) = 0, (.4) ( ) T 03 ( v y + T 03 v z + p ) = 0. (.5) z Brakuje nam równania wyrażającego zachowanie liczby cząstek w cieczy. Dlatego też definiujemy czterowektor strumienia cząstek N µ = nu µ = nγ (1, v). Składowa czasowa jest koncentracją cząstek, a składowe przestrzenne stanowią trójwymiarowy wektor strumienia cząstek. Szukane równanie ciągłości uzyskuje się przyrównując do zera czterodywergencję wektora strumienia Wprowadzając oznaczenia N µ x = N 0 + ( ) N 0 ( ) v µ x + N 0 ( ) v y + N 0 v z = 0. (.6) t x y z E T 00 = (e + p) γ p, (.7) M x T 01 = (e + p) γ v x, (.8) M y T 0 = (e + p) γ v y, (.9) M z T 03 = (e + p) γ v z, (.30) R N 0 = nγ, (.31) możemy zapisać równania hydrodynamiki relatywistycznej (.), (.3) (.5) oraz (.6) w następującej postaci E + [(E + p) v] = 0, t (.3) M x + (M x v) + p t x = 0, (.33) M y + (M y v) + p t y = 0, (.34) M z + (M z v) + p t z = 0, (.35) R + (Rv) = 0. t (.36) Zestaw równań hydrodynamicznych należy uzupełnić równaniem stanu. W podanych w tym punkcie wzorach wielkości termodynamiczne e, p i n są określone w układzie spoczynkowym elementu płynu. E, v x, v y, v z, M x, M y, M z, R są odpowiednio wyrażone w układzie laboratoryjnym. Rozwiązując układ równań (.3) (.36) musimy dokonywać transformacji między dwoma układami odniesienia. Zauważmy na początek, że M i v są równoległe, czyli że M v Mv = (e + p) γ v = (e + p) ( γ 1 ) = E e, (.37)

.4. ELEMENTY RELATYWISTYCZNEJ TEORII KINEMATYCZNEJ 13 gdzie M M, v v. Z (.37) oraz (.31) wynika, że e = E Mv, (.38) n = R 1 v. (.39) Korzystając z powyższych równań, e oraz n możemy wyrazić za pomocą R, E, M i v. Zgodnie z definicją M = (e + p) γ v = (E + p) v, co po przekształceniach daje v = M E + p ( E Mv, R 1 v ). (.40) Punktem stałym tego równania jest moduł prędkości, z którego można wyznaczyć składowe prędkości v = vm/m, e oraz n. Równanie stanu p (e, n) pozwala obliczyć ostatnią nieznaną wielkość ciśnienie p. Konieczność wykonywania transformacji stanowi podstawową różnicę w schemacie rozwiązywania równań opisujących dynamikę cieczy klasycznej i relatywistycznej..4 Elementy relatywistycznej teorii kinematycznej Teoria kinematyczna podaje związek między makroskopowymi i mikroskopowymi własnościami układu fizycznego. Używa do tego funkcji rozkładu f (x, k), która określa gęstość cząstek w elemencie przestrzeni fazowej. Wybrane równania kinematyczne lub równania transportu rządzą ewolucją czasową funkcji f (x, k). Przedstawię podstawowe definicje i oznaczenia używane w szczególnej teorii względności. Niektóre z nich pojawiły się już w podrozdziale.3, ale tutaj zostaną szerzej skomentowane..4.1 Podstawowe definicje wielkości mikroskopowych (i) Czterowektor położenia x µ = (t, r). Jak nietrudno zauważyć, jego składowe to odpowiednio czas t i wektor położenia r. (ii) Czterowektor energii-pędu (lub krócej czteropęd) jest zdefiniowany jako k µ = ( k 0, k ) = ( k 0, k, k ). Iloczyn skalarny czteropędu przez siebie wynosi k µ k µ µ k µ k µ = ( k 0) (k) = m, gdzie k 0 oznacza energię, a m masę spoczynkową.

14 ROZDZIAŁ. PODSTAWY TEORETYCZNE (iii) Wektor prędkości jest zdefiniowany jako v = k/k 0. Czterowektor prędkości (lub krócej czteroprędkość) u µ = (γ, γv) jest wektorem jednostkowym wskazującym kierunek ruchu i spełniającym warunek normalizacyjny gdzie γ = 1/ 1 v. u µ u µ = γ ( 1 v ) = 1, (iv) Pospieszność (ang. rapidity) y można uważać za uogólnienie prędkości. Zgodnie z definicją y tanh 1 ( v ) = tanh 1 ( ) k k 0 = 1 ( k 0 ) ln + k, k 0 k gdzie v jest składową prędkości równoległą do kierunku wiązki. Dla małych prędkości y v. Pospieszność ma bardzo wygodną w obliczeniach własność: jeżeli y 1 oznacza pospieszność cząstki w układzie K 1, a y jest pospiesznością układu K 1 w układzie K, to y = y 1 + y jest pospiesznością cząstki w układzie K. Innymi słowy, pospieszność jest addytywna ze względu na transformacje Lorentza. (v) Krótkie ćwiczenie rachunkowe pokaże skąd bierze się wielkość nazwana masą poprzeczną (ang. transverse mass) m oraz tzw. zmienne stożka światła (ang. lightcone variables). Ćwiczenie 1 Spróbujmy pokazać, że energia cząstki o pospieszności y i pędzie poprzecznym k jest równa E (= k 0 ) = m cosh (y), gdzie m = m + k. Rozwiązanie 1 Zgodnie z definicją pospieszności Używając wzoru możemy napisać y = tanh 1 ( v ) = tanh 1 ( ) k k 0 tanh 1 x = 1 ( ) 1 + x ln 1 x y = 1 ( ) E + ln k E k W tym miejscu wprowadzamy zmienne stożka światła Idąc dalej ( ) = tanh 1 k E k + = E + k oraz k = E k. k + k = E k = m + k + k k = m + k m, znajdujemy definicję masy poprzecznej m. Zapisując pospieszność za pomocą zmiennych stożka światła, otrzymujemy wzór y = 1 ln k+ k = 1 ln (k+ ) k k + = 1 ln (k+ ) m., = ln k+ m = ln k m..

.4. ELEMENTY RELATYWISTYCZNEJ TEORII KINEMATYCZNEJ 15 Odwracając dwa ostatnie równania k + = m e +y oraz k = m e y, a następnie dodając/odejmując je stronami i dzieląc wynik przez, mamy rozwiązanie k 0 E = m cosh y, k = m sinh y..4. Podstawowe definicje wielkości makroskopowych (i) Gęstość lokalna (ang. local density) n = n (t, r) = n (x) jest funkcją położenia i czasu x x µ. Prawdziwy jest wzór N = n 3 x, dlatego omawiana gęstość nie jest niezmienniczym skalarem, ponieważ element objętości 3 x nie jest niezmienniczy ze względu na transformacje Lorentza. Całkowita liczba cząstek N w ustalonej objętości jest oczywiście niezależna od układu odniesienia, dlatego jest niezmienniczym skalarem. (ii) Lokalny strumień cząstek (ang. local particle flow) j = j (t, r) to liczba cząstek przepływających przez jednostkową powierzchnię w jednostce czasu. (iii) Czterowektor strumienia cząstek (ang. particle four flow). Z powyżej przedstawionych dwóch wielkości możemy formalnie utworzyć czterowektor N µ (x) = (n (x), j (x)). (iv) Funkcja rozkładu (ang. particle distribution) f (x, k) w sześciowymiarowej przestrzeni fazowej µ. Funkcja ta określa liczbę cząstek N w elemencie objętości przestrzeni fazowej f (x, k) : N = f (x, k) 3 x 3 p. W wybranym układzie odniesienia gęstość oraz strumień cząstek można wyrazić poprzez funkcję rozkładu n (x) = d 3 kf (x, k), (.41) j (x) = d 3 kvf (x, k). (.4) Jeśli skorzystamy ze związku v = k/k 0, to będziemy mogli zapisać (.41) i (.4) w zwartej postaci d N µ 3 k (x) = k 0 kµ f (x, k). (.43) W mechanice klasycznej stan cząstki w każdej chwili jest określony przez jej położenie r i pęd p. Mówimy często, że sześć współrzędnych tych wielkości rozpina przestrzeń fazową jednej cząstki. Dla N cząstek całkowita liczba stopni swobody wynosi 6N, a przestrzeń fazowa jest przestrzenią 6N-wymiarową, nazywaną również Γ-przestrzenią. Stan układu cząstek możemy opisać również inaczej, przez podanie stanu każdej cząstki w sześciowymiarowej przestrzeni fazowej pojedynczej cząstki rozpiętej przez (p, r). Ta przestrzeń nazywana jest przestrzenią µ, a układ jest reprezentowany przez N punktów.

16 ROZDZIAŁ. PODSTAWY TEORETYCZNE (v) Tensor energii-pędu (ang. energy-momentum tensor) jest kolejną wielkością charakteryzującą materię. Składowa T 00 (x) jest gęstością energii układu. Energia pojedynczej cząstki jest równa k 0, dlatego w teorii kinematycznej T 00 (x) = d 3 kk 0 f (x, k). (.44) Strumień energii T 0i oraz gęstość pędu T i0 (i = 1,, 3) można wyrazić poprzez funkcję rozkładu f (x, k) T 0i = d 3 kk 0 v i f (x, k), (.45) T i0 = d 3 kk i f (x, k), (.46) gdzie v i to i-ta składowa prędkości. Tensor strumienia pędu (nazywany także tensorem ciśnienia) zapisujemy jako T ik = d 3 kk i v k f (x, k). (.47) Zależność v = k/k 0 pozwala zapisać (.44), (.45) i (.46) jednym równaniem T µν (x) = Tensor energii-pędu jest symetryczny: T µν = T νµ. d 3 k k 0 kµ k ν f (x, k). (.48)

Rozdział 3 MODEL HYDRODYNAMICZNY I PLAZMA KWARKOWO-GLUONOWA Głównym celem używania modelu hydrodynamicznego jest zbadanie, poprzez porównanie jego przewidywań z danymi eksperymentalnymi, własności materii powstającej w zderzeniach ciężkich jąder, opisanej przez warunki początkowe, równanie stanu i charakter wymrażania lub wyodrębniania się cząstek. Należy podkreślić, że własności te nie są znane z góry. Nie mamy gwarancji, że układ znajduje się w stanie lokalnej równowagi termicznej, która upoważnia nas do stosowania hydrodynamiki. Możemy tylko się spodziewać, że prace eksperymentalne i teoretyczne potwierdzą wymienione założenia. W momencie zderzenia dwa jądra tracą znaczną część swojej energii, która jest gromadzona w pobliżu środka masy. Wynika stąd, że zderzenia jądro-jądro są doskonałym narzędziem do tworzenia warunków o dużej gęstości energii. Co więcej, zgodnie z oszacowaniem Bjorkena [11], gęstość energii jest wystarczająca, aby omawiane reakcje potwierdziły istnienie plazmy kwarkowogluonowej. Rozdział ten jest wprowadzeniem do modelu hydrodynamicznego w kontekście opisu dynamicznej ewolucji plazmy kwarkowo-gluonowej. Przedstawię zależność energii i temperatury plazmy kwarkowo-gluonowej od czasu własnego w modelu Bjorkena. Napiszę dlaczego można posługiwać się równaniami hydrodynamicznymi mówiąc o materii powstałej w wyniku zderzenia jąder atomowych. Omówię składniki modelu, czyli warunki początkowe oraz równanie stanu materii jądrowej. Następny rozdział jest poświęcony wymrażaniu, którego uwzględnienie jest konieczne, aby prawidłowo interpretować zachodzące procesy fizyczne i porównać wyniki symulacji z danymi eksperymentalnymi. 3.1 Rys historyczny Model hydrodynamiczny został zaproponowany przez Landaua w 1953 jako ulepszenie statystycznego modelu Fermiego, opisującego zjawisko produkcji cząstek w wysokoenergetycznych zderzeniach jąder atomowych. Pomimo tego, że model Fermiego pozwolił lepiej poznać procesy zderzenia oraz dobrze przewidywał zależność krotności cząstek od energii, która to zależność została potwier- 17

18 ROZDZIAŁ 3. MODEL HYDRODYNAMICZNY I PLAZMA KWARKOWO-GLUONOWA dzona eksperymentalnie, niezbyt dobrze radził sobie m.in. z odtworzeniem widm cząstek. Powodem tego było założenie o bezpośredniej emisji cząstek z powstałej w czasie zderzenia nieruchomej materii. Model przewidywał więc izotropowy rozkład pędu, co nie zgadzało się z obserwowanymi widmami. Te problemy zostały rozwiązane, dzięki założeniu, że przed emisją cząstek, gorąca i gęsta materia ulega rozszerzeniu. Z powodu nagłej, podłużnej ekspansji, wywołanej dużym gradientem ciśnienia w kierunku wiązki, wydłuża się widmo pędu. Rozważany przez Landaua przypadek cieczy idealnej, w którym zachowana jest entropia układu, pozostaje w zgodzie z przewidzianą przez model Fermiego zależnością krotności cząstek od energii. Około roku 1974 pojawiły się pierwsze dane o produkcji cząstek w zderzeniach proton-proton (CERN IPS) i antyproton-proton (CERN SPPS). Okazało się, że niektóre aspekty tych zjawisk można wyjaśnić używając właśnie modelu hydrodynamicznego. Kiedy zaczęto badać zderzenia ciężkich jąder w laboratoriach, model hydrodynamiczny stał się jednym z ważniejszych narzędzi. Rysunek 3.1: Obserwator w układzie środka masy przyglądający się zderzeniu dwóch jąder. Zgodnie z modelem hydrodynamicznym, dwa skrócone Lorentzowsko (w układzie środka masy) jądra zderzają się ze sobą (patrz rys. 3.1). Następnie zachodzą skomplikowane procesy, obejmujące mikroskopowe oddziaływania składników jąder, które prowadzą do powstania gorącej i gęstej materii w stanie lokalnej równowagi termicznej. Opis termalizacji jest oczywiście poza zasięgiem hydrodynamiki, w której zakłada się, że w jakiś sposób taka równowaga została osiągnięta. Stan materii określają wówczas warunki początkowe w postaci rozkładu prędkości płynu i wybranych wielkości termodynamicznych. Dalej mamy do czynienia z hydrodynamiczną ekspansją układu, opisaną przez równania wyrażające zasadę zachowania energii, pędu, liczby barionowej 1 i innych 1 Zgodnie z zasadą zachowania liczby barionowej wszystkim barionom przyporządkowuje się tzw. liczbę barionową B = +1 (a wszystkim antybarionom liczbę B = 1). W ten sposób podkreśla się stabilność najlżejszego barionu, czyli protonu, na który wszystkie inne bariony muszą się rozpaść [3].

3.. MODEL LANDAUA 19 ładunków, takich jak dziwność albo spin izotopowy 3 gdzie T µν x = 0, µ (3.1) N µ B x = (n Bu µ ) = 0, µ x µ (3.) N µ S x = (n Su µ ) = 0, µ x µ (3.3). T µν = (e + p) u µ u ν pg µν jest tensorem energii-pędu, n B, n S, e, p to, odpowiednio, gęstość liczby barionowej, gęstość dziwności, gęstość energii oraz ciśnienie, wszystkie wyrażone w układzie własnym elementu płynu. Ponadto, musimy określić równanie stanu, którego postać będzie uwzględniać charakter powstałej materii. Najprostszymi modelami należącymi do omawianej grupy są model Landaua i model Bjorkena. W obu, warunki początkowe, chociaż różne, odpowiadają sytuacji tuż po zderzeniu dwóch jąder atomowych, kiedy to powstaje gorąca i mocno skompresowana materia. Model Landaua zakłada, że w chwili początkowej materia nie ma energii kinetycznej. Cała energia w układzie środka masy jest zgromadzona w postaci energii wewnętrznej skróconych Lorentzowsko dysków materii. Z drugiej strony, model Bjorkena w warunkach początkowych zakłada liniową ekspansję materii w kierunku wiązki. 3. Model Landaua Wyobraźmy sobie zderzenie dwóch jąder poruszających się z ultrarelatywistycznymi prędkościami. Skrócone Lorentzowsko przypominają swoim kształtem naleśnik (ang. pancake). W granicy prędkości v 1 jądra praktycznie przenikają się nawzajem wytwarzając/pozostawiając (w pobliżu środka masy układu) obszar silnie wzbudzonej materii o zerowym wypadkowym ładunku barionowym. Z powodu skrócenia Lorentza, rozmiar powstałej materii L w kierunku z jest dużo mniejszy od rozmiaru poprzecznego. Mamy dlatego do czynienia głównie z ekspansją systemu w kierunku podłużnym (w gruncie rzeczy jest to problem jednowymiarowy). Model Landaua zakłada nagłą termalizację układu w chwili t = 0 oraz zerową prędkość kolektywną wytworzonej objętości materii. Równanie stanu przyjmuje prostą ultrarelatywistyczną postać p = c se. Dla t > 0 system zaczyna się rozszerzać. Powstają ciągłe fale rozrzedzeniowe poruszające się w kierunku środka układu z prędkością dźwięku. Po czasie t m = L/c s, czyli po nałożeniu się przeciwbieżnych fal, rozwiązanie staje się bardziej skomplikowane. Dziwność jest to liczba kwantowa przypisywana pewnej klasie mezonów i barionów, tzw. cząstek dziwnych, zawierających kwark s. Cząstki dziwne mogą rozpadać się na cząstki z zerową dziwnością jedynie w wyniku oddziaływań słabych [3]. 3 Spin izotopowy lub izospin jest to liczba kwantowa charakteryzująca hadrony, podlegająca zachowaniu w oddziaływaniach silnych. Jej istnienie jest konsekwencją faktu, że masy konstytuentnych kwarków u i d są niemal dokładnie równe. Dzięki temu po odjęciu efektów oddziaływań kulombowskich masy hadronów różniących się jedynie zamianą kwarków u i d są niemal identyczne [3].

0 ROZDZIAŁ 3. MODEL HYDRODYNAMICZNY I PLAZMA KWARKOWO-GLUONOWA 3.3 Model Bjorkena Jednym z głównych założeń modelu Landaua jest znikająca prędkość początkowa silnie wzbudzonej materii jądrowej. Jednakże, nie może to być do końca prawdą. W granicy v 1, rozmiar jądra w kierunku podłużnym dąży do zera, a wyrażenie określające prędkość kolektywną powstałej w wyniku zderzenia materii powinno mieć postać v = z/t. Idące za tym konsekwencje, w kontekście możliwych zastosowań w opisie zderzeń hadron-hadron, po raz pierwszy przedyskutował Bjorken [11]. Podobnie jak w modelu Landaua, rozważamy zderzenie dwóch jąder poruszających się naprzeciwko siebie z prędkościami bliskimi prędkości światła w próżni. W punkcie o współrzędnej z = 0 i w czasie t = 0 dochodzi do kolizji (całkowite przekrycie). Z powodu tak znacznej prędkości, jądra przenikają się nawzajem pozostawiając za sobą obszar materii o dużej gęstości energii. Inaczej niż w modelu Landaua, ten region charakteryzuje się niezerową prędkością kolektywną opisaną równaniem v = z/t. Opis dalszej ewolucji systemu przeniosłem do kolejnego punktu, w którym przytoczyłem rozumowanie Bjorkena prowadzące do oszacowania początkowej gęstości energii w rejonie kolizji. 3.3.1 Oszacowanie początkowej gęstości energii w modelu Bjorkena Jeszcze raz, tym razem dokładniej, rozważmy (w układzie środka masy) centralne zderzenie dwóch jąder o zbliżonych rozmiarach. Skrócenie Lorentza w kierunku ruchu pozwala nam zaniedbać podłużny rozmiar jądra i przyjąć, że współrzędne przestrzenne nukleonów, z których się składa dane jądro, są sobie równe. Rysunek 3.: (a) Konfiguracja dwóch jąder oznaczonych jako A i B przed zderzeniem. (b) Konfiguracja po zderzeniu w obszarze dużej gęstości energii z 0. Rys. 3. (a) przedstawia konfigurację jąder przed zderzeniem. Pocisk (jądro B) nadlatuje z prędkością bliską prędkości światła z rejonu z = i zderza się z celem (jądro A), który wystartował w z = + i pędzi na spotkanie z pociskiem w punkcie z = 0 i t = 0. Następują liczne zderzenia nukleonów pocisku z nukleonami celu. Dynamikę powstałej materii można rozważać za pomocą diagramu czasowo-przestrzennego, przedstawionego na rys. 3.3.

3.3. MODEL BJORKENA 1 Rysunek 3.3: Obraz zderzenia jądro-jądro na diagramie czasowo-przestrzennym. Na podstawie danych doświadczalnych wiemy, że każdemu nieelastycznemu zderzeniu nukleonnukleon towarzyszy duża strata energii uczestniczących w nim barionów. W miarę jak bariony tracą energię i pęd, znacząco zwalniają. Jednak przy bardzo dużych energiach (rzędu 100 GeV/nukleon i więcej w układzie środka masy) bariony mają wystarczająco duży pęd, aby oddalić się (w przeciwnym kierunku) z rejonu zderzenia. Sytuację taką pokazuje rys. 3. (b), gdzie materia barionowa jądra celu jest oznaczona literą B, a materia barionowa jądra pocisku literą A. Kiedy A i B oddalają się od siebie (jeśli nie zostały całkowicie wyhamowane), pozostawiają w niewielkim obszarze przestrzeni i znikomo krótkim czasie ogromną ilość energii. Tak powstały układ charakteryzuje się stosunkowo małą wypadkową zawartością materii barionowej. Ciągle nie mamy jednoznacznej odpowiedzi na to pytanie, które kwanty są odpowiedzialne za przenoszenie energii zgromadzonej w obszarze z 0. Są to kwarki, gluony, a może hadrony? Niezależnie od tego, gęstość energii jest bardzo duża, co skłoniło Bjorkena [11] do znalezienia scenariusza kolizji pokazanego schematycznie na rys. 3.3. Bezpośrednio po zderzeniu dwóch jąder, w punkcie (z, t) = (0, 0), gęstość energii może być wystarczająca do powstania plazmy kwarkowo-gluonowej, która nie koniecznie musi znajdować się w stanie równowagi termicznej. Dopiero dalej zachodzące procesy i oddziaływania mogą doprowadzić układ, po czasie własnym τ 0, do stanu równowagi. Od tej pory plazma ewoluuje zgodnie z prawami hydrodynamiki. Następnie rozszerza się i ochładza aż w końcu ulega hadronizacji (w późniejszym czasie własnym). Po przekroczeniu temperatury wymrażania hadrony zaczną się odłączać od systemu. Aby oszacować początkową gęstość energii e 0 przed ewolucją hydrodynamiczną, musimy znaleźć

ROZDZIAŁ 3. MODEL HYDRODYNAMICZNY I PLAZMA KWARKOWO-GLUONOWA ilość energii zgromadzonej w obszarze zderzenia oraz objętość tego obszaru. Manifestacją tej energii jest strumień cząstek odłączonych od pozostałej części systemu, dlatego rekonstrukcja trajektorii cząstek pozwala obliczyć energię i objętość jaką zajmowały w momencie zderzenia (z, t) = (0, 0). Objętość zajmowana przez cząstki ulega zmianie w czasie, co prowadzi do wniosku, że początkowa gęstość energii materii powstałej w zderzeniu zależy od czasu własnego τ. Dalej będziemy rozważać gęstość energii w pobliżu z 0 w chwili, gdy τ = τ 0, gdzie τ 0 oznacza czas własny, po którym przypuszczalnie zdążyła wytworzyć się plazma kwarkowo-gluonowa. W zderzeniach jądro-jądro produkowane są głównie piony 4. Jedną z charakterystyk powstałych cząstek jest ich rozkład pospieszności (ang. rapidity distribution) nazywany też gęstością pospieszności (ang. rapidity density) dn/dy, który jest funkcją pospieszności y. Spróbujemy teraz wyznaczyć początkowy rozkład przestrzenny cząstek, co będzie wymagało znalezienia relacji między współrzędnymi czasowo-przestrzennymi i pospiesznością. Z definicji, pęd podłużny k i energię k 0 cząstki możemy wyrazić poprzez jej pospieszność y Prędkość cząstki w kierunku podłużnym jest równa k = m sinh y, (3.4) k 0 = m cosh y. (3.5) v v z = k = tanh y. (3.6) k0 Dla cząstek produkowanych w rejonie zderzenia (0, 0) prawdziwa jest zależność z t = v = tanh y. (3.7) Na podstawie przedstawionych do tej pory rezultatów, możemy wypisać relacje łączące współrzędne czasowo-przestrzenne cząstki z jej pospiesznością gdzie τ jest czasem własnym, danym wzorem z = τ sinh y, (3.8) t = τ cosh y, (3.9) τ = t z. Możemy również wyrazić y poprzez zmienne z i t y = 1 ( ) t + z ln t z. (3.10) W układzie środka masy obszar, w którym pospieszność przyjmuje niewielkie wartości, jest nazywany centralnym obszarem pospieszności (ang. central rapidity region). Równanie (3.8) wskazuje, że dla ustalonego czasu własnego τ mała wartość pospieszności odpowiada małemu z. 4 Pion to najlżejszy z mezonów. Występuje w trzech stanach ładunkowych π +, π, π 0. Zbudowany jest z kwarków i antykwarków u i d [3].

3.3. MODEL BJORKENA 3 Właśnie dlatego miejsce w przestrzeni, w którym dochodzi do zderzenia z 0, często jest nazywane centralnym obszarem pospieszności. Używając równania (3.8) rozkład pospieszności dn/dy możemy przepisać jako rozkład przestrzenny, z którego da się wyznaczyć początkową gęstość energii. Początkowa gęstość energii elementu płynu jest zdefiniowana w układzie odniesienia, w którym jest on w spoczynku. W układzie środka masy materia jest w spoczynku w pobliżu z = 0, dlatego skupimy uwagę właśnie na tym obszarze i rozważymy element długości z, zaznaczony na rys. 3. (b). Oznaczmy powierzchnię przekrycia zderzających się jąder jako A. Objętość utworzona przez z i A jest wtedy równa A z, a dla czasu własnego τ = τ 0 gęstość cząstek w tej objętości jest równa N A z = 1 N A z = 1 dn A dy dy = 1 dz y=0 A dn dy 1. (3.11) τ 0 cosh y y=0 Energia cząstki o pospieszności y jest równa m cosh y, dlatego gęstość energii dana jest wzorem e 0 = m cosh y N A z. (3.1) Początkową gęstość energii, uśrednioną po poprzecznej powierzchni A w czasie τ 0, określa wyrażenie e 0 = m dn. (3.13) τ 0 A dy y=0 Otrzymaliśmy bardzo ważny wzór, który łączy początkową gęstość energii z rozkładem pospieszności. Wielkość τ 0 nie jest znana, jednak Bjorken oszacował, że τ 0 1 fm/c [11]. 3.3. Ewolucja hydrodynamiczna plazmy kwarkowo-gluonowej Musimy zacząć od przewidzenia scenariusza pokazanego na rys. 3.3, na którym plazma kwarkowogluonowa powstaje w czasie własnym τ 0. Początkowa gęstość energii (w chwili τ 0 ) dana jest wzorem (3.13) i jest odwrotnie proporcjonalna do τ 0. Od tej chwili plazma kwarkowo-gluonowa zaczyna ewolucję zgodnie z prawami hydrodynamiki [11]. Dla uproszczenia, będziemy rozważać zderzenie dwóch identycznych jąder, przy energii powyżej 100 GeV na nukleon. W przypadku tak dużej energii rozkład pospieszności dla zderzenia jądro-jądro ma strukturę plateau w centralnym obszarze pospieszności. Oznacza to, że w danym przedziale pospieszności y L, y R, gęstość pospieszności jest w przybliżeniu stała dn dy y yl, y R = dn dy. (3.14) y=0 W modelu Bjorkena, układ jest traktowany jako kontinuum o symetrii podłużnej. Transformacje Lorentza w kierunku osi symetrii prowadzą do tych samych warunków początkowych i takiej samej dynamiki systemu. Innymi słowy, plazma kwarkowo-gluonowa wygląda tak samo z perspektywy różnych Lorentzowskich (poruszających się w kierunku podłużnym) układów odniesienia. Daje to możliwość wyrażenia zmiennych termodynamicznych, charakteryzujących nasz układ, jako funkcji pewnej niezmienniczej wielkości, np. czasu własnego e = e (τ), (3.15)

4 ROZDZIAŁ 3. MODEL HYDRODYNAMICZNY I PLAZMA KWARKOWO-GLUONOWA p = p (τ), (3.16) T = T (τ). (3.17) Zasadę zachowania energii i pędu plazmy kwarkowo-gluonowej wyrażają hydrodynamiczne równania ruchu (patrz podrozdział.3) T µν x = 0. (3.18) µ Niech kolejnym uproszczeniem będzie rozważenie ewolucji plazmy kwarkowo-gluonowej w dwuwymiarowej czaso-przestrzeni współrzędnej podłużnej z i czasu t. Przedstawię rozwiązanie (3.18) spełniające warunki (3.15) (3.17), przy założeniu początkowej gęstości energii (3.13) i prędkości danej wzorem (3.7). Pierwszym krokiem [] jest przekształcenie (3.18) do postaci równania różniczkowego zwyczajnego e (e + p) + = 0. (3.19) τ τ Dalej wybieramy relatywistyczne równanie stanu gazu doskonałego, nadające się m.in. do opisu gazu bezmasowych kwarków i gluonów Przy takim wyborze równania stanu (3.19) możemy zapisać jako Rozwiązaniem powyższego równania jest oczywiście Ciśnienie zmienia się zgodnie ze wzorem p = 1 3 e. (3.0) de dτ = 4 e 3 τ. (3.1) e (τ) e (τ 0 ) = e (τ) e 0 = ( τ0 τ ) 4/3. (3.) ( ) p (τ) p (τ 0 ) = τ0 4/3. (3.3) τ Dla relatywistycznego gazu doskonałego, gęstość energii oraz ciśnienie są proporcjonalne do T 4. Wynika stąd, że temperatura plazmy kwarkowo-gluonowej zależy od czasu własnego jak ( ) T (τ) T (τ 0 ) = τ0 1/3. (3.4) τ Podsumujmy teraz dynamikę plazmy kwarkowo-gluonowej w modelu Bjorkena, potraktowanej jako idealny gaz, w fazie jej hydrodynamicznej ewolucji. W chwili τ = τ 0 osiągany jest stan lokalnej równowagi termicznej. Początkowa gęstość energii równa się e 0, a temperatura T (τ 0 ) jest do niej proporcjonalna jak e 1/4 0. Następnie, gęstość energii oraz ciśnienie maleją z czasem własnym jak τ 4/3, podczas gdy temperatura maleje jak τ 1/3.

Rozdział 4 PROCES WYMRAŻANIA I WIELKOŚCI MIERZALNE Jedną z metod symulowania zderzeń ciężkich jonów, na poziomie mikroskopowym, jest zastosowanie tzw. generatorów zdarzeń (ang. event generators). Oszacowanie mierzalnych wielkości fizycznych odbywa się wtedy identycznie jak w prawdziwych eksperymentach. Z modelami traktującymi materię jądrową jako kontinuum (modelem takim jest niestety model hydrodynamiczny) pojawia się zasadniczy problem. Cząstki elementarne, tuż przed dotarciem do detektorów, praktycznie ze sobą nie oddziałują. Musi zatem istnieć proces, który wyjaśnia przejście od silnie oddziałującej materii do stanu niezależnych cząstek. Pomimo tego, że stopniowe osłabienie oddziaływań można opisać równaniami hydrodynamicznymi (dodając wyrazy odpowiadające za występowanie dodatnich/ujemnych źródeł), to takie podejście jest rzadko stosowane. Znacznie łatwiej jest mówić o tzw. nagłym wymrażaniu (ang. sudden freezeout, sudden break-up) [14]. W pewnym momencie w wybranym punkcie przestrzeni, wcześniej traktowane jako całość, składniki materii stają się swobodnymi cząstkami. Późniejsze oddziaływania i ewentualne zderzenia są zaniedbywane. W dalszej części rozdziału dokładniej omówię scenariusz nagłego wymrażania. Na końcu znajduje się opis algorytmów numerycznego wyznaczania hiperpowierzchni i obliczania wielkości mierzalnych. 4.1 Nagłe wymrażanie Cząstka ulega wymrożeniu kiedy przestaje oddziaływać z pozostałą częścią systemu. Proces ten zależy od jej średniej drogi swobodnej, którą (w systemie jednoskładnikowym) można oszacować jako λ 1 nσ, (4.1) gdzie σ jest (całkowitym) przekrojem czynnym, a n jest gęstością cząstek. Jeśli λ jest dostatecznie mała, ustala się stan równowagi termodynamicznej i uzasadnione jest stosowanie idealnej hydrodynamiki. Dla większych λ należy uwzględnić efekty nierównowagowe, zaś po przekroczeniu przez λ rozmiaru systemu D, zaczynają wyodrębniać/oddzielać się swobodne cząstki. Od tej pory powinniśmy opisywać ewolucję systemu równaniami kinematycznymi. 5

6 ROZDZIAŁ 4. PROCES WYMRAŻANIA I WIELKOŚCI MIERZALNE W praktycznych obliczeniach/symulacjach opis stadium wymrażania ulega drastycznym uproszczeniom. Pierwszym założeniem jest przyjęcie, że pośredni obszar, w którym λ D, ma zaniedbywalną rozpiętość i może być traktowany jako hiperpowierzchnia w przestrzeni położeń i czasu. Kiedy element płynu przekracza taką hiperpowierzchnię, cząstki w nim zgromadzone ulegają nagłemu wymrożeniu. Drugie założenie jest takie, że wyodrębnione cząstki, pomimo zabrania części energii i pędu z układu, nie zaburzają jego dalszej ewolucji hydrodynamicznej. Można rozważać dwa różne scenariusze wystąpienia nagłego wymrażania. Pierwszy, tzw. wymrażanie izotermiczne (ang. isothermal freeze-out), odpowiada wymrażaniu w momencie osiągnięcia przez płyn określonej temperatury T f. Drugi sposób, nazywany wymrażaniem izochronicznym (ang. isochronous freeze-out), polega na wyznaczeniu powierzchni wymrażania w ustalonym czasie t f (mierzonym w układzie środka masy). 4. Numeryczne wyznaczanie wielkości mierzalnych Hiperpowierzchnia wymrażania, S, przecina linie świata wszystkich cząstek, które po jej przekroczeniu są uznawane za wymrożone, tzn. ich pędy i energie nie zmieniają się. Wektor normalny do S będziemy oznaczać przez dσ µ. Niezmiennicza liczba cząstek przekraczających element powierzchni S równa jest dn = N µ dσ µ, a całkowita liczba cząstek N = N µ dσ µ. (4.) S W eksperymentach mierzy się przeważnie wielkości różniczkowe (np. różniczkowy przekrój czynny). Taką wielkością jest m.in. dn d 3 k spełniająca warunek normalizacyjny N = dn d 3 k d3 k = N µ dσ µ = S S W powyższym równaniu można dopatrzeć się wzoru Cooper-Fryea [1] ( d 3 ) k k 0 kµ f (x, k) dσ µ = n (x) u µ dσ µ. (4.3) S gdzie E k 0. E dn d 3 k S = k µ f (x, k) dσ µ, (4.4) 4..1 Całkowita liczba cząstek Przedstawię rozważania prowadzące do obliczenia całkowitej liczby wymrożonych cząstek w przypadku jednowymiarowym. Zacznijmy od funkcji rozkładu f ( z, k ) : N = f ( z, k ) z k. Gęstość i strumień cząstek zapisujemy jako N 0 = n (z) = f ( z, k ) dk,

4.. NUMERYCZNE WYZNACZANIE WIELKOŚCI MIERZALNYCH 7 Załóżmy, że mierzalną wielkością jest spełniająca warunek normalizacyjny N 1 = j (z) = v f ( ) z, k dk = N = dn dk k k 0 f ( z, k ) dk. dn ( dk dk = dk S k 0 kµ f ( ) ) z, k dσ µ. Dla uproszczenia obliczeń wybierzmy funkcję rozkładu opisującą bozony f ( z, k ) = 1 exp (k µ u µ /T (z)) 1 = 1 exp [( k 0 u 0 + k u 1 ) /T (z) ] 1 = 1 exp {[( k + m) u 0 + k u 1 ] /T (z) } 1, (4.5) i założymy, że cząstki są bezmasowe (m = 0). Wkład elementu hiperpowierzchni do całkowitej liczby wymrożonych cząstek określa wzór dn = + k Dyskretnym odpowiednikiem powyższego równania jest N i = + k Całkowitą liczbę cząstek obliczymy wykonując sumę dk exp [( ) ] dσ 0 k u0 + k u 1 /T (z) 1 dk k exp [( ) ] dσ 1. (4.6) k u0 + k u 1 /T (z) 1 dk exp [( ) ] ( σ 0 ) i k (u0 ) i + k (u 1 ) i /Ti 1 dk k exp [( ) ] ( σ 1 ) i. (4.7) k (u0 ) i + k (u 1 ) i /Ti 1 N = i N i. 4.. Rozkład pospieszności W tym punkcie wyznaczymy rozkład dn/dy, który jest funkcją y. Dla przypomnienia zapiszę wzór Cooper-Fryea w przypadku jednowymiarowym dn k µ = dk S k f ( ) z, k 0 dσµ. (4.8)

8 ROZDZIAŁ 4. PROCES WYMRAŻANIA I WIELKOŚCI MIERZALNE Zaczynamy od wyrażenia k i k 0 poprzez pospieszność y i masę poprzeczną m k = m sinh (y), k 0 = m cosh (y), dk dy = m cosh (y) dk = m cosh (y) dy. Funkcja rozkładu zależy od k µ u µ. Jest to suma, którą możemy rozpisać k µ u µ = k 0 u 0 + k u 1 = m cosh(y)γ + m sinh(y)γv z. Zdefiniujmy teraz tzw. pospieszność elementu płynu y f = tanh 1 (v z ) v z = tanh (y f ), co pozwoli na napisanie dwóch kolejnych równań γ = 1 1 v z = 1 1 tanh (y f ) = cosh (y f), γv z = cosh (y f ) tanh (y f ) = sinh (y f ). Przy użyciu nowych zmiennych możemy zapisać k µ u µ jako 1 k µ u µ = m [cosh (y) cosh (y f ) sinh (y) sinh (y f )] = m cosh (y y f ). Funkcja rozkładu przyjmuje teraz postać f (z, y) = 1 exp [m cosh (y y f ) /T ] 1. W symulacji rozkład pospieszności obliczamy ze wzoru dn dy = i {[( σ 0 ) i + tanh (y) ( σ 1 ) i ] f i (z, y) (m ) i } cosh (y), (4.9) gdzie f i (z, y) = 1 exp [ (m ) i cosh ( y (y f ) i ) /Ti ] 1. (4.10) 4.3 Nagłe wymrażanie w symulacji komputerowej Najlepszym sposobem oceny poprawności opisanych algorytmów jest wykonanie właściwej symulacji. Test przedstawiony w tym podrozdziale jest wzorowany na pracy [13]. 1 W przekształceniach wykorzystujemy wzór cosh(a ± b) = cosh(a) cosh(b) ± sinh(a) sinh(b).

4.3. NAGŁE WYMRAŻANIE W SYMULACJI KOMPUTEROWEJ 9 4.3.1 Ewolucja hydrodynamiczna Rozważmy jednowymiarową ekspansję idealnego gazu (bezmasowych) pionów, który jest opisywany ultrarelatywistycznym równaniem stanu p = c se, gdzie c s = 1/ 3 jest prędkością dźwięku. Gęstość energii, w zależności od temperatury [][13], wyraża się wtedy wzorem e = g π 30 T 4, (4.11) gdzie g = 3 dla pionów. Symulujemy objętość gazu/materię o rozciągłości L, dlatego ustalamy następujące warunki początkowe e(0, z) = { e0 dla z L 0 dla z > L, (4.1) 1 dla < z < L v(0, z) = 0 dla L z L +1 dla L < z <. (4.13) Wynikiem ewolucji hydrodynamicznej jest rozkład gęstości energii przedstawiony na rys. 4.1. Na rys. 4. widzimy początkowy profil temperatury oraz profile typowe dla czasu t > t m. Temperatura jest obliczana ze wzoru (4.11) i normowana do wartości początkowej T 0. Dla t > t m, nałożone na siebie fale rozrzedzeniowe tworzą lokalne minimum gęstości energii i temperatury. W gruncie rzeczy, jest to efekt relatywistyczny. Szybciej poruszająca się materia (tam, gdzie jest większe z ) doznaje większej dylatacji czasu i nie stygnie tak szybko, jak wolniejsza materia w pobliżu środka masy układu. 4.3. Numeryczne wyznaczanie powierzchni wymrażania Budujemy izotermiczną hiperpowierzchnię wymrażania T i = T f = const, gdzie T i oznacza temperaturę w i-tej komórce, obliczoną ze wzoru (4.11). Do rozważenia są dwa rodzaj emisji cząstek. Emisja cząstek przez ścianki elementu płynu (ang. surface emission) ( σ 0 = 0, σ 1 0) W ustalonej chwili t (za każdym razem po wykonaniu kroku całkowania), jeśli spełniony jest warunek T i (t) > T f oraz T i+1 (t) < T f, to w pliku wyjściowym zapisujemy kolejno wielkości σ µ = (0, t), u µ = ( u 0, u 1), T i

30 ROZDZIAŁ 4. PROCES WYMRAŻANIA I WIELKOŚCI MIERZALNE Rysunek 4.1: Rozkłady gęstości energii w modelu Landaua. Ciągłą czerwoną linią zaznaczony jest rozkład gęstości energii w chwili t = 9.L. Zielona przerywana linia obrazuje stan materii w chwili t = 1.6L. Rysunek 4.: Rozkłady temperatury w modelu Landaua, unormowane do temperatury początkowej T 0. Ciągłą linią zaznaczony jest rozkład temperatury początkowej. Linią przerywaną narysowane są profile dla t = 9.L oraz t = 1.6L.

4.3. NAGŁE WYMRAŻANIE W SYMULACJI KOMPUTEROWEJ 31 W przypadku, gdy w pliku wyjściowym zapisujemy T i (t) < T f oraz T i+1 (t) > T f, σ µ = (0, t), u µ = ( u 0, u 1), T i Emisja całościowa (ang. bulk emission) ( σ 0 0, σ 1 = 0) W każdym kroku całkowania t, jeśli spełniony jest warunek T i (t) > T f oraz T i (t + t) < T f, to w pliku wyjściowym zapisujemy kolejno wielkości W przypadku, gdy w pliku wyjściowym zapisujemy σ µ = ( x, 0), u µ = ( u 0, u 1), T i T i (t) < T f oraz T i (t + t) > T f, σ µ = ( x, 0), u µ = ( u 0, u 1), T i 4.3.3 Rozkład pospieszności wymrożonych cząstek W momencie pisania tego podrozdziału, nie udało mi się jeszcze wyznaczyć rozkładu krotności cząstek, dlatego nie umieściłem wykresu z wynikami. Na rys. 4.3 przedstawiłem jedynie izotermiczną hiperpowierzchnię wymrażania.

3 ROZDZIAŁ 4. PROCES WYMRAŻANIA I WIELKOŚCI MIERZALNE Rysunek 4.3: Izotermiczna hiperpowierzchnia wymrażania w modelu Landaua dla T f = 0.4T 0.

Rozdział 5 MODEL HYDRODYNAMICZNY W SYMULACJI KOMPUTEROWEJ Opiszę tutaj szczegóły implementacji modelu hydrodynamicznego w postaci programu komputerowego. Przedstawię sposób określania warunków początkowych oraz numerycznie całkowanie równań hydrodynamicznych. Rozdział ten można potraktować jako dokumentację do powstałego kodu programu. 5.1 Implementacja Zaprojektowałem i napisałem kod symulacji właściwie od nowa. Przyglądałem się i korzystałem ze starszej wersji programu Flower [7], z której przeniosłem kilka elementów. Zdecydowałem się na programowanie w języku C++, który pozwolił mi na utrzymanie przejrzystej struktury programu i podzielenie go na funkcjonalnie odrębne moduły. Duży nacisk położyłem na czytelność kodu. Nowy program nazwałem RHydro3DMPI. Krótkie wyjaśnienie nazwy: R pochodzi od słowa relatywistyczny/relativistic, często używanego w fizyce wysokich energii; Hydro to skrót od hydrodynamika; 3D ponieważ symuluje materię jądrową w jednym, dwóch lub 3 wymiarach przestrzennych; MPI to nazwa biblioteki której użyłem do zrównoleglenia obliczeń wykonywanych przez program. Ciągły obszar symulowanej materii jest zastąpiony przez dyskretną siatkę komórek. W każdej komórce (odpowiednik elementu płynu) zapisywane są następujące wielkości fizyczne: E, p, v i=x,y,z, M i=x,y,z, N. Liczba składowych prędkości (v i=x,y,z ) oraz gęstości momentu pędu (M i=x,y,z ) zależy od wymiaru przestrzennego, który można ustawić w konfiguracji. W programie siatka komórek jest reprezentowana przez obiekt klasy Grid, a elementy płynu przez obiekty klasy Cell. Rys. 5.1 pokazuje diagram, na którym naszkicowałem omawiane klasy i związki zachodzące między nimi. Symulację można podzielić na kilka niezależnych etapów: (1) ustalenie warunków początkowych, () całkowanie odpowiednich równań (w przypadku hydrodynamiki relatywistycznej należy pamiętać o przeliczaniu wielkości fizycznych między dwoma układami odniesienia), (3) sprawdzenie warunków wystąpienia wymrażania, (4) zapisanie wyników. Każdy z nich jest reprezentowany przez obiekt określonej klasy. I tak na przykład za ustalenie warunków początkowych odpowiadają obiekty klasy InitialConditionsAlgorithm. Właściwie to klasa InitialConditionsAlgorithm jest abstrakcyjna. Aby stała się użyteczna, należy ją rozszerzyć i zaimplementować metodę set(grid 33

34 ROZDZIAŁ 5. MODEL HYDRODYNAMICZNY W SYMULACJI KOMPUTEROWEJ *gridptr). Przykładem może być obiekt klasy SodInitialConditionsAlgorithm, który ustawia warunki początkowe, jakie są potrzebne do wykonania testu Soda. Podobnie, za wykonanie całkowania są odpowiedzialne obiekty klasy IntegrationAlgorithm, za sprawdzanie warunków wystąpienia wymrażania FreezeoutAlgorithm, za zapisywanie wyników DataWriter. Transformacja wielkości fizycznych między układami odniesienia jest delegowana do obiektów klasy TransformationAlgorithm. Obiekt klasy Simulation przechowuje referencje do wymienionych algorytmów. Uważny czytelnik dopatrzy się w takim sposobie implementacji wzorca projektowego strategia (ang. the strategy pattern) [0]. Rysunek 5.1: Diagram klas przegląd. Na diagramie umieściłem tylko najważniejsze klasy, z których zbudowany jest program RHydro3DMPI. Dla zachowania przejrzystości rysunku, część atrybutów i metod celowo została pominięta.

5.. OBLICZENIA RÓWNOLEGŁE 35 5. Obliczenia równoległe Kilka komputerów połączonych w lokalnej sieci (LAN) może tworzyć klaster. Taki zespół połączony zarówno fizycznie jak i za pomocą oprogramowania, tworzy bardzo wydajną jednostkę dla obliczeń równoległych. W trakcie pracy nad modelami hydro miałem dostęp do niewielkiego klastra, który został przedstawiony schematycznie na rys. 5.. Zrobienie z niego użytku polegało na odpowiedniej modyfikacji programu. Podstawowym założeniem było pozostawienie/wykorzystanie jak największej części programu szeregowego (uruchamianego na jednym komputerze). Rozszerzenia wprowadzone do wersji zrównoleglonej pokazuje rys. 5.3. Rysunek 5.: Schemat klastra, na którym wykonywana była większość obliczeń i symulacji stanowiących część tej pracy. Jak już wspomniałem modelowany obszar materii jest zastąpiony przez dyskretną siatkę komórek. W wersji szeregowej, po ustaleniu warunków początkowych, rozpoczyna się numeryczne całkowanie równań. Program odwiedza każdą komórkę i wyznacza w niej nowe wielkości. Wykorzystuje przy tym informacje zapisane w komórce, w której aktualnie się znajduje i komórkach sąsiednich. Obliczenia wyglądają tak samo, niezależnie od tego, w którym punkcie przestrzeni są wykonywane. Pozwala to na podzielenie obszaru całkowania na mniejsze części i numeryczne całkowanie równań w sposób równoległy. Istotne jest tutaj występowanie wspólnych obszarów symulowanej przestrzeni, będące konsekwencją zastosowania schematu całkowania drugiego rzędu.

36 ROZDZIAŁ 5. MODEL HYDRODYNAMICZNY W SYMULACJI KOMPUTEROWEJ Rysunek 5.3: Diagram klas rozszerzenia w zrównoleglonej wersji programu RHydro3DMPI. Niezależnie od wymiaru przestrzennego, podział siatki komórek odbywa się tylko w kierunku x. Jeśli np. w kierunku x mamy k x = 15 komórek i P = 3 procesy czekające na rozpoczęcie całkowania, to każdy z nich będzie to robił w odpowiednio pomniejszonej w kierunku x siatce, składającej się z k x = k x /P = 15/3 = 5 komórek (patrz rys. 5.4). Ważne jest, że rozmiar przestrzeni w kierunku y oraz z nie ulega zmianie, dlatego łatwo jest przenieść opisaną koncepcję podziału przestrzeni i wymiany warunków brzegowych na przypadek dwu- lub trójwymiarowy (patrz rys. 5.5 i rys. 5.6). Każdy proces, po wykonaniu kroku całkowania (w komórkach, które zostały mu przypisane), musi wysłać nowo obliczone wartości (warunki brzegowe) do procesów sąsiednich. Musi również odebrać wyniki obliczeń od swoich sąsiadów. Sposób przesyłania warunków brzegowych w jednym wymiarze, na przykładzie trzech procesów, wyjaśnia rys. 5.7. Uogólnienie na przypadek dwu- lub trójwymiarowy jest raczej oczywiste. Zwiększa się wtedy znacząco ilość przesyłanych danych. 5.3 Message Passing Interface Message Passing Interface, w skrócie MPI, to nazwa standardu biblioteki przesyłania komunikatów dla potrzeb programowania równoległego. Nie jest to nazwa konkretnego pakietu oprogramowania,

5.3. MESSAGE PASSING INTERFACE 37 Rysunek 5.4: Podział przestrzeni między trzema procesami w przypadku jednowymiarowym. Patrząc od góry, widzimy obszar całkowania składający się z k x = 15 komórek. Przerywanym konturem zaznaczone są również pomocnicze komórki obliczeniowe. Narysowane niżej trzy mniejsze obszary całkowania są przydzielone do trzech (P = 3) oddzielnych procesów. Zgodnie z opisem w tekście mają one rozmiar k x = k x /P = 5. Na rysunku łatwo można zauważyć wspólne obszary przestrzeni. a jedynie formalna specyfikacja. Chyba najbardziej znaną implementacją MPI jest MPICH [3], pochodząca z Argonne National Laboratory i rozwijana przez grupę pracowników działu matematyki i informatyki tej instytucji. Najlepszym źródłem informacji o MPI jest internet i kilka dobrych książek, m.in. [8][9], które polecam wszystkim pragnącym rozpocząć przygodę z programowaniem równoległym. Niżej przedstawię kilka uwag i moich doświadczeń związanych z korzystaniem z MPI. Będzie to widok z perspektywy kogoś, kto nie miał wcześniej nic wspólnego z programowaniem równoległym i uczył się na własnych błędach. Aplikacja RHydro3DMPI jest napisana w języku C++, dlatego fragmenty kodu, które się pojawią, są zgodne ze składnią i semantyką tego języka. Pracę z MPI zwykle rozpoczyna się od przygotowania środowiska uruchomieniowego, czyli grupy komputerów z zainstalowanym odpowiednim oprogramowaniem i połączonych ze sobą za pomocą sieci. (Ze względu na różnorodność sprzętu i oprogramowania, nie jestem w stanie opisać konfiguracji ustawień sieciowych, ale mogę zapewnić, że nie jest to żadna kosmiczna technologia). W systemach operacyjnych Linux Debian/Ubuntu, wykonanie poleceń $ sudo apt-get update $ sudo apt-get install mpich libmpich1.0-dev powinno wystarczyć do zainstalowania MPICH. Oprócz głównego pakietu mpich instalujemy również pakiet libmpich1.0-dev, bez którego nie skompilujemy żadnego programu. Możemy sprawdzić czy instalacja przebiegła pomyślnie, wydając polecenie $ mpichversion które zwróci wynik podobny do przedstawionego niżej

38 ROZDZIAŁ 5. MODEL HYDRODYNAMICZNY W SYMULACJI KOMPUTEROWEJ Rysunek 5.5: Podział przestrzeni między trzema procesami w dwóch wymiarach. Z lewej strony narysowany jest oryginalny (tzn. przed podziałem) obszar całkowania składający się z k x k y = 15 15 komórek. Podobnie jak w przypadku jednowymiarowym, podział przestrzeni polega na pomniejszeniu obszaru całkowania tylko w kierunku x. Rozmiar siatki w kierunku y nie zmienia się! Po prawej stronie rysunku widać pomniejszony obszar całkowania k x k y = k x k y = 5 15. MPICH Version: 1..7p1 MPICH Release date: $Date: 005/11/04 11:54:51$ MPICH Patches applied: none... MPICH instalujemy tak samo na każdym komputerze wchodzącym w skład klastra. Teraz mogę przejść do omówienia struktury samego programu MPI 1. Żeby urozmaicić opis, przedstawię bardzo prostą aplikację, którą można znaleźć praktycznie w każdym podręczniku i kursie internetowym traktującym o MPI. 1 #include <iostream> #include <mpi/mpi.h> 3 using namespace std; 4 5 int main(int argc, char *argv[]) { 6 MPI_Init(&argc, &argv); 7 int rank, size; 8 MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &rank); 1 Przez program MPI rozumiem program, który korzysta z API zdefiniowanego przez standard MPI. Innymi słowy, wywołuje funkcje MPI.

5.3. MESSAGE PASSING INTERFACE 39 Rysunek 5.6: Dla kompletności wywodu, rysunek przedstawia podział przestrzeni między dwoma procesami w trzech wymiarach. Z lewej strony oryginalny obszar całkowania składający się z k x k y k z = 10 10 10 komórek. Z prawej strony obszar całkowania po podziale składający się z k x k y k z = k x k y k z = 5 10 10 komórek. Zgodnie z tym, co napisałem w tekście, zmienia się tylko k x. 9 MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &size); 10 cout << "my rank: " << rank << ", size: " << size << endl; 11 MPI_Finalize(); 1 return 0; 13 } Na początku dołączamy plik nagłówkowy mpi.h (linia ), który daje nam dostęp do deklaracji funkcji oraz struktur objętych standardem MPI. Wywołanie MPI Init(&argc, &argv) (linia 6) wskazuje systemowi operacyjnemu, że jest to program MPI i należy wykonać niezbędną inicjalizację. Z kolei funkcja MPI Finalize() (linia 11) informuje system operacyjny o zakończeniu działania i zwalnia zajęte przez program zasoby. Między wywołaniami funkcji MPI Init() i MPI Finalize() możemy umieścić dowolny kod. Jedynym ograniczeniem jest nasza wyobraźnia. Kolejne dwie ważne i często używane funkcje MPI to int MPI_Comm_rank(MPI_Comm comm, int *result); int MPI_Comm_size(MPI_Comm comm, int *size); Pierwsza z nich, MPI Comm rank() (linia 8), zwraca identyfikator procesu (liczbę całkowitą z zakresu 0 do P 1, gdzie P jest liczbą wszystkich uruchomionych procesów). Liczbę procesów można określić poprzez wywołanie drugiej z prezentowanych funkcji MPI Comm size() (linia 9). Argumentem obu funkcji jest tzw. komunikator (ang. communicator), który jednoznacznie identyfikuje grupę procesów. Przykładowy kod nie robi zbyt wiele, bo wyświetla jedynie identyfikator procesu oraz liczbę wszystkich uruchomionych procesów. W przypadku RHydro3DMPI jest znacznie ciekawiej, ponieważ procesy komunikują się ze sobą, wysyłając i odbierając dane. Za wysyłanie i odbieranie danych

40 ROZDZIAŁ 5. MODEL HYDRODYNAMICZNY W SYMULACJI KOMPUTEROWEJ Rysunek 5.7: Wymiana warunków brzegowych. Sytuacja przedstawiona na rysunku to jednowymiarowy obszar przestrzeni po podziale między trzy procesy. w MPI odpowiadają funkcje MPI Send() i MPI Recv(). Niżej przedstawiłem sygnatury metod wraz z wyjaśnieniem przekazywanych do nich parametrów int MPI_Send( void *msg, // adres wsk. na początek bufora do wysyłania danych int count, // liczba elementów w buforze do wysyłania danych MPI_Datatype dt, // typ danych elementów w buforze do wysyłania danych int dst, // id procesu odbierającego dane int tag, // id komunikatu MPI_Comm comm // komunikator ); int MPI_Recv( void *msg, // adres wsk. na początek bufora do odbierania danych int count, // liczba elementów w buforze do odbierania danych MPI_Datatype dt, // typ danych elementów w buforze do odbierania danych int src, // id procesu wysyłającego dane int tag, // id komunikatu MPI_Comm comm, // komunikator MPI_Status *status // obiekt przechowujący status operacji przesyłania danych

5.3. MESSAGE PASSING INTERFACE 41 ); Przesadą byłoby mówienie o standardzie definiującym cztery różne funkcje, dlatego czytelnik zapewne domyśla się, że twórcy MPI wymyślili ich trochę więcej. Część z nich to np. funkcje agregujące dane lub funkcje pomocnicze, ułatwiające przesyłanie komunikatów między procesami i zwalniające programistę z obowiązku pisania często powtarzającego się kodu. Faktem jest, że w programie RHydro3DMPI wykorzystałem pięć funkcji MPI i to mi zupełnie wystarczyło! (Piątej funkcji, MPI Barrier() [9], używałem do zsynchronizowania procesów wykonujących obliczenia tuż przed bezpośrednim wysłaniem/odebraniem danych). Paradygmat programowania równoległego poprzez wysyłanie komunikatów może się wydawać prosty (w szczególności, kiedy spojrzymy na sygnatury metod, o których pisałem do tej pory). W rzeczywistości można bardzo łatwo napisać program, który się zablokuje (ang. deadlock), bo użyjemy funkcji MPI w niewłaściwy sposób. Jest to szerokie zagadnienie, na którego omówienie nie mogę sobie pozwolić w tej pracy. Mogę natomiast polecić dobry poradnik [9], który pokazuje m.in. sposoby unikania blokowania programu. Przy kompilowaniu programów MPI należy pamiętać o dolinkowaniu biblioteki mpi. Jeśli kod przykładowego programu zapiszemy w pliku hello mpi.cpp, to możemy go skompilować poleceniem $ g++ -o hello_mpi -lmpi hello_mpi.cpp Proste aplikacje można kompilować, tak jak wyżej, wydając pojedyncze komendy w wierszu poleceń. RHydro3DMPI składa się jednak z większej liczby plików/klas, dlatego napisałem plik budowy Makefile zawierający reguły kompilacji całego projektu. Program make potrafi zinterpretować zawartość takiego pliku budowy i zaoszczędzić dużo czasu. Jedyne co musimy zrobić to wpisać w linii poleceń make -f Makefile Zakładam, że udało się skompilować przykładową aplikację i chcemy ją teraz uruchomić. Implementacja MPICH dostarcza wygodny skrypt, ułatwiający wykonanie tego zadania $ mpirun -np 9 -machinefile machinefile.txt hello_mpi Parametr -np 9 oznacza, że chcemy uruchomić 9 procesów, -machinefile machinefile.txt wskazuje plik z nazwami komputerów wchodzących w skład klastra, hello mpi to nazwa programu MPI. Opcjonalnie możemy dołączyć parametry przekazywane bezpośrednio do programu, które są później dostępne w metodzie main(int argc, char *argv[]). Aplikacja, którą pokazuję w tym punkcie, jest bardzo prosta i nie przyjmuje takich parametrów. Z kolei RHydro3DMPI, który wczytuje konfigurację z dysku, korzysta z parametru linii komend wskazującego plik konfiguracyjny i dlatego polecenie uruchamiające ten program będzie nieznacznie się różnić $ mpirun -np 9 -machinefile machinefile.txt rhydro3dmpi config.properties Pojawia się dodatkowy parametr config.properties, który jest ścieżką do pliku konfiguracyjnego, a cała reszta się nie zmienia (z wyjątkiem nazwy programu MPI hello mpi przechodzi w rhydro3dmpi). Na zakończenie pokażę jeszcze, jak wygląda przykładowy plik machinefile.txt

4 ROZDZIAŁ 5. MODEL HYDRODYNAMICZNY W SYMULACJI KOMPUTEROWEJ nuclab01 nuclab0... Jak widać jest to zwyczajna lista nazw komputerów, z których każda jest umieszczona w osobnej linijce. Czy warto było poświęcić czas na naukę MPI? Z mojego doświadczenia wynika że tak! MPI naprawdę pomógł i znacząco skrócił czas obliczeń. Bez zrównoleglenia kodu nie mógłbym uzyskać niektórych wyników prezentowanych w tej pracy. (Dotyczy to głównie symulacji w dwóch i trzech wymiarach przestrzennych). Podejrzewając, że nie każdy uwierzy mi na słowo, na rys. 5.8 umieściłem wynik testu, który pokazuje jak zmniejsza się czas obliczeń t w zależności od liczby procesów P zaangażowanych w te obliczenia. Rysunek 5.8: Porównanie czasu obliczeń t dla różnej liczby procesów P. Komentarz w tekście. Testowy problem to eksplozja w dwóch wymiarach przestrzennych (opisany szczegółowo w podrozdziale 7.). Parametry symulacji ustawione były zgodnie z wartościami w tabeli 5.1. Myślę, że rys. 5.8 nie wymaga obszernego komentarza. Wystarczy spojrzeć jaka jest różnica w czasie obliczeń między jednym procesem (ponad 30 min), a jednocześnie działającymi dziesięcioma procesami (około 7 min).

5.4. KONFIGURACJA 43 W czasie pisania tego podrozdziału miałem do dyspozycji taką konfigurację klastra, która pozwalała mi uruchomić maksymalnie dziesięć procesów. Spodziewam się jednak dalszego wzrostu wydajności w miarę dołączania komputerów do klastra. Dla małej liczby procesów jest duży narzut czasowy związany z komunikacją sieciową w porównaniu z efektywnym czasem obliczeń (całkowaniem równań). dim steps kx ky kz gx gy gz dx dy dz dt p L p R n L n R v L v R r 0 300 600 600 1 0 0.0 0.0 0.003 1.0 0.1 1.0 0.15 0.0 0.0 1.5 Tabela 5.1: Porównanie czasu obliczeń dla różnej liczby procesów parametry symulacji. 5.4 Konfiguracja Dostrojenia aplikacji RHydro3DMPI do potrzeb użytkownika (mam tu na myśli ustawienie parametrów symulacji) dokonuje się w pliku konfiguracyjnym. Jest to zwykły plik tekstowy o ściśle określonym formacie. Najłatwiej będzie mi go omówić, posługując się konkretnym przykładem, dlatego weźmy plik konfiguracyjny używany w teście z poprzedniego podrozdziału (patrz tabela 5.1) 1 # Plik konfiguracyjny programu RHydro3DMPI. dimension= 3 kx=600 4 ky=600 5 kz=1 6 7 gx= 8 gy= 9 gz=0 10 11 dx=0.0 1 dy=0.0 13 dz=0.0 14 15 dt=0.003 16 steps=300 17 18 # Ustawienia równania stanu: 19 eos=idealgaseos 0 idealgaseos.gamma=1.4 1 # Ustawienia warunków początkowych: 3 initialconditionsalgorithm=sodinitialconditionsalgorithm 4 sodinitialconditionsalgorithm.nl=1.0 5 sodinitialconditionsalgorithm.nr=0.15

44 ROZDZIAŁ 5. MODEL HYDRODYNAMICZNY W SYMULACJI KOMPUTEROWEJ 6 sodinitialconditionsalgorithm.pl=1.0 7 sodinitialconditionsalgorithm.pr=0.1 8 sodinitialconditionsalgorithm.vl=0.0 9 sodinitialconditionsalgorithm.vr=0.0 30 sodinitialconditionsalgorithm.r0=0.5 31 3 # Ustawienia algorytmu używanego przy transformacjach między układem 33 # laboratoryjnym, a układem spoczynkowym elementu płynu: 34 transformationalgorithm=flowertransformationalgorithm 35 36 # Ustawienia algorytmu/schematu całkowania: 37 integrationalgorithm=oforcekintegrationalgorithm 38 39 # Ustawienia warunków brzegowych: 40 boundaryconditionsalgorithm=defaultbcalgorithm 41 4 # Ustawienia algorytmu wymrażania: 43 # freezeoutalgorithm=nofreezeoutalgorithm Linie puste oraz rozpoczynające się od znaku # są ignorowane przez program. Pozwala to na umieszczanie w pliku konfiguracyjnym komentarzy ułatwiających później jego czytanie. Linie 13 dotyczą konfiguracji obszaru całkowania (siatki komórek). Możemy tu określić wymiar przestrzeni (dimension=[1,,3]) oraz liczbę komórek obliczeniowych kx, ky, kz, odpowiednio w kierunku x, y, z. Parametry dx, dy, dz określają fizyczny rozmiar komórki, podany np. w femtometrach. W linii 15 ustawiamy rozmiar kroku czasowego. Całkowita liczba kroków całkowania jest ustawiana w linii 16. Następnie wybieramy równianie stanu (linie 18 0). Analogicznie linie 30 określają warunki początkowe. Kolejną rzeczą, jaką możemy skonfigurować jest algorytm wykorzystywany przy transformacjach wielkości między układem obliczeniowym, a układem spoczynkowym elementu płynu (linie 3 34), schemat całkowania (linie 36 37), globalne warunki brzegowe (linie 39 40) i wreszcie sposób realizacji wymrażania (linie 4 43).

Rozdział 6 ASPEKTY NUMERYCZNE Jedną z gałęzi mechaniki płynów jest tzw. komputerowa dynamika płynów (ang. Computational Fluid Dynamics, CFD), która przy użyciu wyspecjalizowanych algorytmów oraz odpowiednich metod numerycznych pozwala rozwiązywać i analizować problemy dotyczące przepływów cieczy. W roku 1977, brytyjski naukowiec L. F. Richardson podjął udokumentowaną próbę przewidzenia pogody poprzez numeryczne rozwiązywanie układu równań różniczkowych cząstkowych na kartce 1 papieru [10]. Pomimo tego, że nie do końca udana, praca wykonana przez Richardsona wyznaczyła początek komputerowej dynamiki płynów. Wyróżnikami współczesnej CFD są: praktyczny problem do rozwiązania; model matematyczny, w postaci układu równań różniczkowych cząstkowych, opisujący dany problem; metoda numeryczna; komputer człowiek w przypadku Richardsona. W modelu hydrodynamicznym, praktycznym problemem do rozwiązania jest dynamiczna ewolucja plazmy kwarkowo-gluonowej. Model matematyczny to hiperboliczne prawa zachowania. Z metodami numerycznymi mamy większy kłopot, ponieważ powstało ich tak dużo, że trudno jest wybrać tę właściwą. Dlatego też, w dalszej części rozdziału, zamiast porównywać się z Richardsonem, omówię schematy całkowania, których użyłem w programie RHydro3DMPI. 6.1 Hiperboliczne prawa zachowania Musimy znaleźć numeryczny schemat rozwiązywania hiperboliczych praw zachowania (zastąpić układ równań różniczkowych cząstkowych układem równań algebraicznych) t Q + x F(Q) = 0, (6.1) gdzie Q jest wektorem wielkości zachowanych, F (Q) jest wektorem strumieni. Jeśli w rozwiązaniu pojawiają się nieciągłości, równanie (6.1) trzeba zapisać w postaci całkowej. W tym celu należy je scałkować po objętości kontrolnej [ ] x i 1, x i+ 1 [t n, t n+1 ] w płaszczyźnie xt xi+ 1 Q ( x, t n+1 ) xi+ 1 dx = Q (x, t n ) dx + x i 1 x i 1 [ t n+1 1 Prawdopodobnie była to więcej niż jedna kartka papieru. F ( Q ( x i 1, t )) dt t n t n+1 F ( Q ( x i+ 1, t )) dt t n ], (6.) 45

46 ROZDZIAŁ 6. ASPEKTY NUMERYCZNE co dalej możemy zapisać jako gdzie Q n+1 i = Q n i + t [ Fi 1 x Q n i = 1 xi+ 1 Q (x, t n ) dx, F x i+ 1 x i 1 = 1 t F i+ 1 t n+1 ], (6.3) F ( Q ( x i+ 1, t )) dt. (6.4) t n Na podstawie równania (6.3) można konstruować różne metody numeryczne. Sprowadza się to do znalezienia odpowiedniego przybliżenia (uśrednionych po czasie) strumieni na brzegach objętości kontrolnej, danych równaniem (6.4). 6. Algorytm przybliżonego obliczania strumieni W programie RHydro3DMPI do przybliżonego wyznaczenia strumieni na brzegach objętości kontrolnych (komórek obliczeniowych) użyty został schemat MUSTA-FORCE. Jest to metoda oparta na wielostopniowym algorytmie predyktor-korektor, z wykorzystaniem prostego schematu centralnego FORCE [7][10]. Obliczenia można wtedy podzielić na dwa etapy: (1) krok korektora () krok predyktora. Zaczynamy od ustawienia l = 1, Q 1 i = Q n i, Q 1 i+1 = Q n i+1. Dalej postępujemy zgodnie z przepisem: 1. Q (l) i+ 1 = 1 F (l) i+ 1 [ Q (l) i = 1 4 F (l) i = F ( Q (l) ) (l) i, F i+1 = F ( Q (l) i+1), + Q (l) ] 1 i+1 [ F (l) i t x [ (l) F i+1 F (l) ] (l) i, F M = F + F (l) M + F (l) i+1 x t ( (l) Q i+1 Q (l) ) ] i. ( ) Q (l), i+ 1. Q (l+1) i 3. wróć do kroku 1. = Q (l) i t [ F (l) x i+ 1 ] F (l) i, Q (l+1) i+1 = Q (l) i+1 t [ ] F (l) i+1 F (l). x i+ 1 Procedura zostaje przerwana na końcu kroku 1, po osiągnięciu zadanej liczby iteracji k. 6.3 Hiperboliczne prawa zachowania w trzech wymiarach Modelowanie zderzeń ciężkich jonów, w gruncie rzeczy, polega na rozwiązywaniu hiperbolicznych praw zachowania w trzech wymiarach t Q + x F(Q) + y G(Q) + z H(Q) = 0. (6.5) Pierwszym sposobem rozwiązania (6.5) jest tzw. metoda rozszczepienia operatora (ang. operator splitting method). Podejście takie polega na rozwiązywaniu sekwencji problemów jednowymiarowych typu (6.1) w każdym kierunku przestrzeni. Innym podejściem jest metoda objętości

6.4. TRANSFORMACJA POMIĘDZY DWOMA UKŁADAMI ODNIESIENIA 47 skończonych (ang. finite volume method). Do znalezienia rozwiązania w objętości kontrolnej ( x y z) wykorzystuje się wszystkie strumienie na jej brzegach (patrz rys. 6.1) w jednym kroku całkowania t. Schemat taki możemy zapisać jako Q n+1 i,j,k = Qn i,j,k + t [ ] t [ ] t [ Fi 1 x,j,k F i+ 1 +,j,k Gi,j 1 x,k G i,j+ 1 +,k Hi,j,k 1 x ] H i,j,k+ 1. (6.6) Rysunek 6.1: Metoda objętości skończonych w dwuwymiarowym kartezjańskim układzie współrzędnych. Typowa komórka obliczeniowa I ij ma cztery ścianki i co za tym idzie cztery strumienie międzykomórkowe. Analogiczna sytuacja jest w trzech wymiarach. Mamy wtedy sześć ścianek i sześć strumieni międzykomórkowych. W odniesieniu do równań (.3) (.36) można podać jawną postać wektorów Q, F(Q), G(Q) i H(Q). Q = E M x M y M z R, F(Q) = (E + p)v x M x v x + p M y v x M z v x Rv x, G(Q) = (E + p)v y M x v y M y v y + p M z v y Rv y, H(Q) = (E + p)v z M x v z M y v z M z v z + p Rv z Dodatek (A) pokazuje, krok po kroku, przebieg symulacji w jednym wymiarze i jest swego rodzaju przepisem na wykonanie takiej symulacji w domu. 6.4 Transformacja pomiędzy dwoma układami odniesienia W podrozdziale.3 napisałem o konieczności transformacji różnych wielkości fizycznych między dwoma układami odniesienia, z którymi mamy do czynienia w trakcie numerycznego całkowania.

48 ROZDZIAŁ 6. ASPEKTY NUMERYCZNE równań hydrodynamicznych. Dla przypomnienia, wykonanie takiej transformacji wiąże się głównie z rozwiązaniem równania (.40), czyli wyznaczeniem modułu prędkości v elementu płynu. Zapisując (.40) w postaci M v E + p ( E Mv, R ) = 0, (6.7) 1 v widzimy, że problem sprowadza się do znalezienia miejsca zerowego funkcji stojącej po lewej stronie tego równania. Wielkości M, E, R są w tym przypadku stałymi parametrami. W programie RHydro3DMPI do znajdowania miejsc zerowych wykorzystałem algorytm Secant [8], który nie wymaga znajomości pochodnej rozważanej funkcji. Implementacja znajduje się w jednej z metod klasy SecantRootFinder, która jest z kolei używana przez SecantTransformationAlgirthm klasę reprezentującą transformację między układami współrzędnych. Istnieje również tzw. metoda iteracyjna znajdowania miejsc zerowych funkcji. Była ona wykorzystywana w programie Flower. Przeniosłem ją do nowej wersji programu po to, aby porównać obie metody. (Wyboru algorytmu dokonuje się w pliku konfiguracyjnym).

Rozdział 7 TESTY I PRZYKŁADOWE ROZWIĄZANIA Po zakończeniu implementacji przeprowadziłem kilka testów numerycznych. Starałem się odtworzyć wyniki przedstawione w [7] i [10]. 7.1 Problem Soda Standardowym testem dla kodów hydrodynamicznych jest tzw. problem Soda [10]. Znane jest jego rozwiązanie analityczne, a co za tym idzie możliwe jest porównanie z nim wyników symulacji. Warunki początkowe dla tego zagadnienia są złożone z dwóch obszarów jednorodnych pól hydrodynamicznych rozdzielonych nieciągłością (patrz rys. 7.1). Zwykle podaje się rozkład prędkości, ciśnienia p oraz gęstości masy/ładunku ϱ. Rysunek 7.1: Problem Soda warunki początkowe. Rozwiązanie problemu Soda składa się z czterech stałych obszarów, rozdzielonych trzema elementarnymi falami: falą uderzeniową lub falą rozrzedzeniową oraz tzw. nieciągłością kontaktową. Jeśli rozważymy szczególny przypadek płynu, którego elementy poruszają się z prędkościami relatywistycznymi, to rozwiązanie będzie mieć następującą strukturę: fala rozrzedzeniowa poruszająca się w lewo; fala uderzeniowa poruszająca się w prawo; nieciągłość kontaktowa podążająca za falą uderzeniową. Schemat takiego rozwiązania pokazuje rys. 7., gdzie różne stany oznaczone są numerami od (0) do (4). Obaszar (0) i (4) to ciągle niezaburzony płyn, obszar (1) to fala rozrzedzeniowa, obszar () oddziela ogon fali rozrzedzeniowej od nieciągłości kontaktowej, (3) to plateau fali uderzeniowej. 49

50 ROZDZIAŁ 7. TESTY I PRZYKŁADOWE ROZWIĄZANIA Rysunek 7.: Rozwiązanie problemu Soda schemat profilu gęstości masy/ładunku. Nierelatywistyczny problem Soda Parametry symulacji podane są w tabeli 7.1. Wyniki przedstawiłem na rys. 7.3, 7.4 i 7.5. Materię opisuje równanie stanu gazu doskonałego p = (Γ 1) (e n) z indeksem adiabatycznym Γ = 1.4. dim steps kx ky kz gx gy gz dx dy dz dt p L p R n L n R v L v R r 0 1 800 500 1 1 0 0 0.0 0.005 1.0 0.1 1.0 0.15 0.0 0.0 Tabela 7.1: Nierelatywistyczny problem Soda parametry symulacji. Relatywistyczny problem Soda Parametry symulacji podane są w tabeli 7.. Wyniki przedstawiłem na rys. 7.6, 7.7 i 7.8. Materię opisuje równanie stanu gazu doskonałego p = (Γ 1) (e n) z indeksem adiabatycznym Γ = 1.4. Test jest analogiczny do przedstawionego w poprzednim punkcie. Różnica jest taka, że duży gradient ciśnienia prowadzi do relatywistycznych prędkości elementów płynu. dim steps kx ky kz gx gy gz dx dy dz dt p L p R n L n R v L v R r 0 1 800 500 1 1 0 0 0.0 0.005 13.33 0.0 10.0 1.0 0.0 0.0 Tabela 7.: Relatywistyczny problem Soda parametry symulacji. Wyniki testów Soda są w dobrej zgodności z rozwiązaniem ścisłym [1]. Wszystkie podstawowe fale zostały poprawnie zrekonstruowane, a obszary jednorodnego pola hydrodynamicznego odtworzone bez znaczących oscylacji numerycznych. 7. Eksplozja w dwóch wymiarach przestrzennych Warunki początkowe (patrz rys. 7.9) składają się z dwóch obszarów: (1) wnętrze koła o promieniu r 0 i środku w początku układu współrzędnych, () region poza kołem o promieniu r 0. Są to dwa

7.. EKSPLOZJA W DWÓCH WYMIARACH PRZESTRZENNYCH 51 Rysunek 7.3: Nierelatywistyczny problem Soda: rozkład gęstości ładunku/masy. Linią ciągłą zaznaczone jest rozwiązanie ścisłe [1]. Rysunek 7.4: Nierelatywistyczny problem Soda: rozkład ciśnienia. Linią ciągłą zaznaczone jest rozwiązanie ścisłe [1]. obszary jednorodnych pól hydrodynamicznych, rozdzielone nieciągłością w kształcie okręgu. Test można uważać za uogólnienie problemu Soda na dwa wymiary przestrzenne. Parametry symulacji

5 ROZDZIAŁ 7. TESTY I PRZYKŁADOWE ROZWIĄZANIA Rysunek 7.5: Nierelatywistyczny problem Soda: rozkład modułu prędkości. Linią ciągłą zaznaczone jest rozwiązanie ścisłe [1]. Rysunek 7.6: Relatywistyczny problem Soda: rozkład gęstości ładunku/masy. Linią ciągłą zaznaczone jest rozwiązanie ścisłe [1]. podane są w tabeli 7.3. Wyniki przedstawiłem na rys. 7.10, 7.11 i 7.1. Materię opisuje równanie stanu gazu doskonałego p = (Γ 1) (e n) z indeksem adiabatycznym Γ = 1.4.

7.3. MODEL BJORKENA 53 Rysunek 7.7: Relatywistyczny problem Soda: rozkład ciśnienia. Linią ciągłą zaznaczone jest rozwiązanie ścisłe [1]. Rysunek 7.8: Relatywistyczny problem Soda: rozkład modułu prędkości. Linią ciągłą zaznaczone jest rozwiązanie ścisłe [1]. 7.3 Model Bjorkena Parametry symulacji podane są w tabeli 7.4. Wyniki przedstawiłem na rys. 7.13 i 7.14. Materię opisuje ultrarelatywistyczne równanie stanu p = c se. Warunki początkowe i rozwiązanie analityczne

54 ROZDZIAŁ 7. TESTY I PRZYKŁADOWE ROZWIĄZANIA Rysunek 7.9: Warunki początkowe dla dwuwymiarowej (cylindrycznej) eksplozji. Ciemne koło to obszar wysokiego ciśnienia i gęstości masy/ładunku. dim steps kx ky kz gx gy gz dx dy dz dt p L p R n L n R v L v R r 0 900 500 500 1 0 0.0 0.0 0.00 1.0 0.1 1.0 0.15 0.0 0.0 1.5 Tabela 7.3: Eksplozja w dwóch wymiarach przestrzennych parametry symulacji. Rysunek 7.10: Eksplozja D: rozkład ciśnienia. zostały ustalone według wzorów ( ) 1+cs τ 0 e = e 0, v t x x = x t. (7.1) dim steps kx ky kz gx gy gz dx dy dz dt e 0 τ 0 t 0 r 0 c s 1 400 400 1 1 0 0 0.0 0.005 1.0 5.0 5.0 4.0 0.577 Tabela 7.4: Model Bjorkena parametry symulacji.

7.4. EKSPANSJA TYPU BJORKENA 55 Rysunek 7.11: Eksplozja D: rozkład gęstości ładunku/masy. Rysunek 7.1: Eksplozja D: rozkład modułu prędkości. 7.4 Ekspansja typu Bjorkena Inspiracją do testów przedstawionych w tym punkcie był model Bjorkena, tzn. warunki początkowe z tego modelu zostały użyte dla układu o ograniczonych rozmiarach (parametr r 0 określa rozmiar układu). Jednowymiarowa ekspansja typu Bjorkena Parametry symulacji podane są w tabeli 7.5. Wyniki przedstawiłem na rys. 7.15 i 7.16. Materię opisuje ultrarelatywistyczne równanie stanu p = c se. Warunki początkowe zostały ustalone według wzorów ( ) 1+c s τ e 0 e = 0 dla x r t 0 0 x, (7.) 0 dla x > r 0

56 ROZDZIAŁ 7. TESTY I PRZYKŁADOWE ROZWIĄZANIA Rysunek 7.13: Model Bjorkena: rozkład gęstości energii. Linią ciągłą zaznaczone jest rozwiązanie zgodne z (7.1). Rysunek 7.14: Model Bjorkena: rozkład modułu prędkości. Linią ciągłą zaznaczone jest rozwiązanie zgodne z (7.1). v = { x t 0 dla x r 0 0 dla x > r 0. (7.3)

7.4. EKSPANSJA TYPU BJORKENA 57 dim steps kx ky kz gx gy gz dx dy dz dt e 0 τ 0 t 0 r 0 c s 1 1000 1000 1 1 0 0 0.0 0.003 1.0 5.0 5.0 4.5 0.577 Tabela 7.5: Jednowymiarowa ekspansja typu Bjorkena parametry symulacji. Rysunek 7.15: Jednowymiarowa ekspansja typu Bjorkena: rozkład gęstości energii. Linią ciągłą zaznaczone jest rozwiązanie zgodne z (7.1). Zgodnie z oczekiwaniami, na krawędziach systemu powstają fale rozrzedzeniowe. Materia w centrum zachowuje się zgodnie z przewidywaniami modelu Bjorkena (rys. 7.15). Fale rozrzedzeniowe poruszają się w kierunku środka systemu. Wraz z upływem czasu obszar, w którym poprawne jest rozwiązanie analityczne będzie się zmniejszał. Gradient ciśnienia powoduje, że materia na krańcach systemu jest przyspieszana aż do uzyskania prędkości światła (rys. 7.16). Dwuwymiarowa ekspansja typu Bjorkena Parametry symulacji podane są w tabeli 7.6. Materię jądrową opisuje ultrarelatywistyczne równanie stanu p = c se. Warunki początkowe zostały ustalone według wzorów ( ) (1+c τ s) e = e 0 0 dla r r t 0 0 r, (7.4) 0 dla r > r 0 gdzie r = x + y. v = { ( x t 0, y t 0 ) dla r r0 (0, 0) dla r > r 0, (7.5)

58 ROZDZIAŁ 7. TESTY I PRZYKŁADOWE ROZWIĄZANIA Rysunek 7.16: Jednowymiarowa ekspansja typu Bjorkena: rozkład modułu prędkości. Linią ciągłą zaznaczone jest rozwiązanie zgodne z (7.1). dim steps kx ky kz gx gy gz dx dy dz dt e 0 τ 0 t 0 r 0 c s 600 600 600 1 0 0.0 0.0 0.003 1.0 5.0 5.0 4.0 0.577 Tabela 7.6: Dwuwymiarowa ekspansja typu Bjorkena parametry symulacji. Rysunek 7.17: Dwuwymiarowa ekspansja typu Bjorkena: rozkład gęstości energii.