Wykład II
E we Wydajność konwersji energii słonecznej: η = E wy E we η całkowite = η absorpcja η kreacja η dryft/dyf η separ η zbierania E wy
Jednostki fotometryczne i energetyczne promieniowania elektromagnetycznego
1.Energia promienista - emitowana lub padająca na powierzchnię [J] 1.Ilość światła [lm s] 2. Moc promienista (strumień) - energia promieniowana emitowana lub padająca na powierzchnię w jednostce czasu [W] 2. Strumień świetlny [lm] 3. Natężenie promieniowania źródła światła (światłość) -strumień promieniowania emitowany ze źródła do jednostkowego kąta bryłowego [W/sr] 3. Światłość [cd] = [lm/sr] 4. Emitancja promieniowania ( całkowita zdolność emisyjna) Strumień promieniowania emitowany przez jednostkę powierzchni źródła [W/m 2 ] 4. Emitancja świetlna [lm/m 2 ] 5. Luminancja promieniowania (jaskrawość) - strumień promieniowania emitowany przez jednostkę powierzchni źródła do jednostkowego kąta bryłowego [W/m 2 sr] 5. Luminancja [nt] = [cd/m 2 ] 6. Natężenie napromieniowania - strumień promieniowania padającego na jednostkę powierzchni [W/m 2 ] 6. Natężenie oświetlenia [lux] [lm/m 2 ] 7. Gęstość energii promieniowania [J/m 3 ]
Gęstość widmowa (spektralna) Gęstość widmowa jest zdefiniowana jako ilość strumienia, energii, luminancji etc., zawarta w jednostkowym przedziale częstości dn = 1Hz (lub długości fali dl) wokół częstości n. Np. całkowita zdolność emisyjna M i odpowiadająca jej gęstość widmowa M n wiążą się ze sobą następująco: M = න 0 M ν dν
Fotony Liczba fotonów o energii hc/λ emitowanych przez źródło o mocy P λ [W/m] w jednostce czasu (ang. spectral photon flow): Ψ ph,λ = P λ hc λ [s 1 m 1 ] Całkowita liczba fotonów emitowanych przez źródło o mocy P w jednostce czasu Ψ ph = න 0 Ψ ph,λ dλ [s 1 ] Spektralny strumień fotonów (ang. spectral photon flux) Φ ph,λ = Ψ ph,λ A [s 1 m 1 m 2 ] Całkowity strumień fotonów (ang. photon flux) Φ ph = 0 Φph,λ dλ [s 1 m 2 ]
Natężenie napromieniowania i emitancja Natężenie napromieniowania (ang. irradiance) całkowite i spektralne: moc promieniowania padającego na jednostkę powierzchni I e = P A [ W m 2] I e,λ = I e λ [ W m 2 m ] I e,ν = I e ν s [W m 2 ] I e = න 0 I e,λ dλ [s 1 ] Ψ ph,λ = P λ Ponieważ, to = Φ hc ph,λ hc λ λ Emitancja promieniowania (ang. radiant emittance): moc promieniowania emitowanego przez jednostkę powierzchni
Prawo Lamberta Rozpatrzmy jednostkowy element powierzchni da źródła promieniowania o gęstości widmowej luminancji L ν (θ,n). Wartość L ν zależy od kąta między kierunkiem obserwacji a normalną n do powierzchni źródła. L ν θ, ν = L ν [ W m 2 srhz ] Powierzchnia źródła widziana pod kątem ϑ jest równa dacosθ. Moc promieniowania dp emitowana przez to źródło do jednostkowego kąta bryłowego dω: dp = L ν θ, ν cos θdωdνda
Prawo Lamberta Po scałkowaniu tego równania po całej powierzchni źródła A, po wszystkich częstościach światła n oraz po pełnym kącie bryłowym, otrzymuje się następujący związek pomiędzy luminancją źródła o skończonych wymiarach a mocą promieniowania emitowanego przez to źródło : P ν = P ν [ W Hz = W s] P ν = P ν = P λ λ ν = P λ( c ν 2)
Prawo Lamberta cd. Rozważmy element powierzchni detektora da, znajdujący się w odległości R od elementu powierzchni źródła da, Element da jest widziany ze źródła w kącie bryłowym dw. Zatem dla R 2 >> da, da moc promieniowania padającego na element da jest równa: Dla źródeł izotropowych, dla których luminancja nie zależy od kąta, moc promieniowania emitowanego do jednostkowego kąta bryłowego jest proporcjonalna do cosinusa kąta pomiędzy kierunkiem obserwacji a normalną do powierzchni emitującej. Jest również proporcjonalna do cosinusa kąta między kierunkiem obserwacji a normalną do powierzchni detektora.
Przykład I. Luminancja Słońca Przy padaniu normalnym, bez odbicia i absorpcji w atmosferze, do 1m 2 powierzchni Ziemi dociera promieniowanie o natężeniu I z = 1. 35kW/m 2 (stała słoneczna). Ze względu na symetrię możemy traktować da jako źródło a da jako odbiornik. R S = 696000km AU = 149600000km R Z = 6370km R S Ω S = π( ) 2 AU R Z Ω S 68. 5μsr L s = dp dadω = I z Ω S = 1. 35 103 68. 5 10 6 = 2 104 kw/(m 2 sr)
Przykład II. Luminancja lasera He-Ne Załóżmy, że moc wyjściowa 1mW jest emitowana przez 1 mm 2 powierzchni zwierciadła w kącie płaskim 4, co odpowiada kątowi bryłowemu 10-6 sr. Maksymalna luminancja w kierunku rozchodzenia się wiązki laserowej jest więc równa: L He Ne = 10 3 10 6 10 6 W m 2 sr = 109 W m 2 sr L He Ne = 109 = 50 L s 2 107
Porównanie luminancji widmowych Słońca i lasera Promieniowanie lasera jest skupione w szerokości widmowej ok. 1MHz, więc: L ν = 10 9 /10 6 = 10 3 W/(m 2 srhz) Promieniowanie Słońca jest skupione w szerokości 10 15 Hz, co daje: L νs = 2 10 7 / 10 15 = 2 10 8 W/(m 2 srhz) L ν L νs = 5 10 10
Przykłady Oko reaguje na luminancję 10-4 W/(m 2 sr) Ból oka i możliwość jego uszkodzenia 10 6 W/(m 2 sr). Niebo w noc bezksiężycową - 10-4 W/(m 2 sr). Kartka papieru przy oświetleniu ok. 30 lx - 10 W/(m 2 sr). Włókno żarówki 10 6 W/(m 2 sr). Tarcza słoneczna 10 9 W/(m 2 sr).
Źródło lambertowskie Dla źródła izotropowego, zwanego lambertowskim, luminancja nie zależy od kąta. Dla takiego źródła, o powierzchni emitującej da, moc promieniowania padającego prostopadle (cosθ=1) na detektor rozciągły, widoczny ze źródła pod kątem aperturowym u wyraża się wzorem: Między emitancją (całkowitą zdolnością emisyjną) M źródła spełniającego prawo Lamberta a jego luminancją L, zachodzi relacja: M = πl Związek między gęstością energii ρ i emitancją M źródła Lamberta M c 4
Prawo odwrotnych kwadratów Natężenie napromieniowania: I r1 = I r2 = P 2πr 2 1 P 2πr 2 2 I r1 I r2 = r 2 2 r 1 2
Emitancja Słońca M S = σt 4 σ = 5.67 10 8 W m 2 K 4 Natężenie napromieniowania w odległości x od Słońca Stała słoneczna M s x I x I x = P S 2 4πx 2 = M S4πR S 4πx 2 x = AU R z x Natężenie napromieniowania poza atmosferą I Z = M SR S 2 x 2 = 1350 W m 2 R S = 696000km, AU = 149600000km, R Z = 6370km
Zadania 1. a) Oblicz temperaturę powierzchni Słońca. Załóż, że promień Słońca R S = 6,96 10 8 m, odległość Ziemia-Słońce wynosi ok. 1,5 10 11 m, a natężenie napromieniowania Ziemi wynosi 1350 W. σ = 5.67 10 8 W m 2 m 2 K 4 b) Oblicz moc promieniowania emitowanego przez Słońce c) Oblicz moc promieniowania, które dociera do Ziemi 2. Źródło monochromatyczne emituje światło o długości fali 500nm. Oblicz strumień fotonów (w jednostkach SI), jeśli 4 10 18 fotonów w czasie 1s pada na powierzchnię 20cm 2. 3. Źródło światła emituje światło w zakresie długości fal od 310nm do 620nm. Natężenie emitowanego promieniowania jest niezależne od długości fali i wynosi 3 W m 2 nm. a) Ile wynosi całkowite natężenie promieniowania źródła światła? b) Ile wynosi całkowity strumień fotonów emitowany przez to źródło?
Wyprowadzenie wzoru
Prawo Lamberta Całkowitą moc promieniowania odebraną przez detektor rozciągły otrzymamy po scałkowaniu po wszystkich elementach jego powierzchni da. Do detektora dociera promieniowanie emitowane przez element źródła da w zakresie kątów: u θ u Jest to promieniowanie przechodzące przez wycinek sfery przed detektorem. Wybierzemy jako elementy tej powierzchni kulistej pierścienie kołowe o powierzchni: da = 2πrdr = 2πRRsinθdθ
Prawo Lamberta da = 2πrdr = 2πRRsinθdθ Zakładając, że cosθ = 1: Jeśli źródło jest izotropowe, to L nie zależy od θ i strumień: u න sin2θdθ = sin 2 u 0 Źródło lambertowskie to np. kruszony grafit, tlenek magnezu, sadza, siarczan baru.
Obliczenie luminancji Słońca ze wzoru Słońce widać z Ziemi pod kątem: 2u = 32 sinu =4.7x10-3 1. 35 kw m 2 m2 = πl s sin 2 uda L s = 2 10 4 kw/(m 2 sr) Taki sam wynik otrzymano wcześniej
Wyprowadzenie wzoru M = π L
Źródło Lamberta Pokażemy, że między emitancją (całkowitą zdolnością emisyjną) M źródła spełniającego prawo Lamberta a jego luminancją L, zachodzi relacja: M = πl Dla źródła izotropowego, luminancja nie zależy od kąta. Wówczas całkowita moc promieniowania emitowanego przez to źródło wyraża się wzorem:
Źródło o powierzchni da emituje promieniowanie w półsferę
Kąt bryłowy we współrzędnych sferycznych Elementarny kąt bryłowy do którego promieniowanie jest emitowane: dw d r 2 d σ = ab= rdθρdφ = r 2 dθsinθdφ d 2 1 dw r d sin d sinθdθdφ = dω 2 2 r r
Relacja między emitancją a luminancją źródła lambertowskiego M = P da = πl
Wyprowadzenie wzoru M c 4
Związek między gęstością energii i emitancją Pokażemy, że M c 4 Wektor S (Poyntinga) gęstości strumienia energii promieniowania elektromagnetycznego rozchodzącego się w jednym kierunku wyraża się wzorem: S = ρc gdzie ρ jest gęstością energii zaś c oznacza wektor prędkości fali elektromagnetycznej. Dla źródła lambertowskiego, promieniowanie elektromagnetyczne rozchodzi się we wszystkich kierunkach, należy więc wziąć pod uwagę strumień energii równomiernie rozłożony po kącie bryłowym 4p. Zatem z każdego punktu płynie strumień energii o gęstości równej: ds = ρcdw/(4π)
Związek między gęstością energii i emitancją Moc promieniowania emitowanego przez tę powierzchnię w kąt bryłowy dw nachylony do normalnej do da pod kątem ϑ jest równy: dp = ds da cos θ = ρc dw da cos θ 4π Z prawa Lamberta wynika, że: dp = L dw da cos θ L = ρc 4π Ponieważ M = π L M = π ρc 4π = ρc M c 4 4
Strumień fotonów i natężenie napromieniowania Strumień fotonów Φ = Natężenie napromieniowania liczba fotonów o energii hc/λ s m 2 I W m 2 = Φ hc λ ( J s m 2) w jednostkach SI I W m 2 = Φ q 1.24 λ(μm) gdy długość fali jest w mm I W m 2 = Φ q E(eV) gdy energia jest w ev