S V. ω = yzdx+(xz +z 2 )dy +yzdz, (T, S) (p,v) = 1. = a V, = 3bT2. k T 1 V p. α V 1 V V,N U,N U,V V,N S,N S,V

Ì ÊÅÇ Æ ÅÁÃ Á Á Ã ËÌ Ì ËÌ Æ ÈÖÓ Ð ÑÝ Ó ÓÑÙ Ò ÓÐÓ Û Þ Ñ Ò

ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¼ ÈÓ Þ Ð ÔÓ Ó Ò ÒØÖÓÔ S = S(U,V,N Ö ÛÒ ( S = 1 ( S U, = p ( S V, N V,N U,N U,V = µ, ØÓ ÔÓ Ó ÒÝÑ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ U = U(S,V,N ( ( U U =, = p, S V V,N S,N ( U N S,V = µ, Ò Ìº¼³ ËÔÖ Û Þ ÞÝ ÒÓ¹ ÓÖÑ Ö Ò Þ ÓÛ ω = yzdx+(xz +z 2 dy +yzdz, Ø Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò Ð Ò ØÓ ÞÝ Ñ ÞÝÒÒ Ù Ý Ð Ñ ØÓ ÔÖ ÓÛ Ó Ó Ò µº Ç Ð ÞÝ Þ Ø ÓÖÑÝ Ó ÔÙÒ ØÙ A = (1,0,1 Ó ÔÙÒ ØÙ B = ( 1,0,1 ÔÓ ÖÓ Þ Ð Û Ô ÞÞÝõÒ z = 1 Ô ÓÐ Ñ Ó ÒÓ Ø ÓÛÝÑ ÔÖÓÑ Ò Ù ÖÓ Ù Û ÔÙÒ (0,0,1º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº½ ÈÓ Þ Ð Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ U Ù Ù Ò Þ Ð Ý Ó Ó ÓÛ Ø Ó ØÓ ØÝÐ Ó Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Ð Þ Ý ÑÓÐ Ó Ò Ûµ ØÓ Ø ÓÒ Ø Ò Þ Ð Ò Ó Ò Ò º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¾ Ï Þ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ Ø ÙÒ Ø ÒÙ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ¾ÌÅ Ä Û ÔÓ Ø dq = ds ÔÓ Þ (, S (p,v = 1 ÈÖÓ Ð Ñ Ìº Í Ø ÐÓÒÓ Ô ÖÝÑ ÒØ ÐÒ Û Ô ÞÝÒÒ ÖÓÞ Þ ÖÞ ÐÒÓ Ø ÖÑ ÞÒ ÞÓØ ÖÑ ÞÒ Ð ÛÓ Ô ÛÒ Ù Ø Ò Þ ÓÛÙ Ò ØÔÙ Ó α V 1 V ( V p = 3b2 V, k 1 V ( V p = a V, Þ a b Ø ÝÑ º ÈÓ Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ Ø Ù Ø Ò º Â Ø a b Þ Ð Ó Ð Þ Ý ÑÓÐ Ù Ø Ò ¾

ÈÖÓ Ð Ñ Ìº Í Ø ÐÓÒÓ Ô ÖÝÑ ÒØ ÐÒ Ñ ÖÞ Û Ô ÞÝÒÒ k β p Ô ÛÒ ÒÓÖÓ Ò Ù Ø Ò ( p V = nrf(v, ( p V Þ a Ø Ø f(v Ô ÛÒ ÙÒ Ñ Ó ØÓ º Ù Ø Ò º = nr V 2anR, ÈÓ Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ Ø ÈÖÓ Ð Ñ Ìº Ï Ô ÞÝÒÒ ÖÓÞ Þ ÖÞ ÐÒÓ Ø ÖÑ ÞÒ ÓÖ Þ Ð ÛÓ ÞÓØ ÖÑ ÞÒ Ô ÛÒ Ó Þ Ð Ó Ò Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Ò ØÔÙ Ó α V 1 ( V = a2 V p p, k 1 ( V = b3 V p p, 2 Þ a b Ø ÝÑ º ÈÓ Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ Ø Ù Ø Ò º ÞÝ Ø a b ÑÓ Ý Ö Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ìº Ò Ð õ ÑÓÐÓÛ Ô Ó Û Û ÞÙ Ó ÓÒ Ó Ó Ö ÛÒ Ò Ù Ø ÒÙ pv = R Ñ Ó Ò Þ Ð Ò Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Ô Ó Û Û c V µ Û Ó ÛÖ ÐÒ ÔÖÞ Ñ Ò Û Ø Ö pv a+1 = const ÈÖÓ Ð Ñ Ìº Û ÑÓ ÔÓÖÙ Þ Þ Ø Ö Ñ Ø ÐÓÛ Ø ÓÞ Þ ÑÝ Þ ÛÙ ØÖÓÒ ÝÐ Ò Ö Ó ÔÖÞ ÖÓ Ù ÔÓÔÖÞ ÞÒÝÑ A Þ Û Ö Ý Þ Ó ÓÒ Ýº Å ÞÝ Ø ÓÞ Ñ ÛÝ ØÔÙ ÔÖÞÝ Ò Ð ØÖÓ Ø ØÝÞÒ Þ Ø Ö ÙØÖÞÝÑÙ Ñ ÞÝ Ò Ñ Ø Ò Ô ½ ϕº Ò Ð õ Ö ÛÒ Ò ÔÖÞ Ñ ÒÝ Þ Ó Þ Û Þ Ò ÐÓ ÞÒ Ó Ö ÛÒ Ò Ò pv =ÓÒ Ø Ô Ò Ò Ó ÔÖÞÝ ÞÓØ ÖÑ ÞÒÝÑ ÖÓÞ Þ ÖÞ Ò Ù Ø Ó ÞÙµ ÔÖÞÝ ÞÑ Ò Ò Ù Ó Ó ØÓ ÔÖÞ Þ ÔÖÞ ÙÒ Ò Ó Þ Ø ÓÞ Ûµ Ð ÔÓ Ö ÓÒ Þ ÓØÓÞ Ò Ô Ó ÒÔº ÔÖÞ Þ Ò ÝÐ Ò Ö µº ÔÖÞ Ñ Ò Ø Þ Ó Þ Û ÔÓ Ó ÛÖ ÐÒÝ ÞÒ Ð õ Ô Ó Û Û ÞÙ Û Ø ÔÖÞ Ñ Ò ÛÝÖ ÔÖÞ Þ C p ÐÙ C V Ø Ö ÔÖÞÝ ÑÙ ÑÝ Þ ÞÒ Ò Ø µº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ÈÓ Þ Ö Ò ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒÝ C p C V Ù Ù ÔÖÓ Ø Ó ÑÓ Ò Þ Ô Û ÔÓ Ø ( [ ( ] V U C p C V = p+ p V p ½ ÑÝ ÔÖÞ Ö ÝÐ Ò Ö Ø Ò ØÝÐ Ù Ý ÔÓÐ Ð ØÖÝÞÒ ÔÓÑ ÞÝ Ø ÓÞ Ñ Ø ¹ ÒÓÖÓ Ò º Â Ð Ò Ø Ò Þ ÔÖÞÝ Ø ÓÞ Ò Ð Ý Þ ÖÞ Ó ÏÝ Û ÝÒÑ Ò Þ ÞÝ Ð Ó ÔÓÞ ÓÑ Û ØÓ Ò ÛÝ Þ µº

ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ÏÔÖÓÛ õñý ÒÓÛ ÙÒ Ø ÒÙ ÒØ ÐÔ H Þ Ò ÓÛ Ò ÛÞÓÖ Ñ H = U +pv º ÍÞ ¹ Ò ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ Ù Ù ÔÖÞÝ Ø ÝÑ Ò Ò Ù C p Ø Ö ÛÒ ( H C p = p ÃÓÖÞÝ Ø Þ ÒØ ÐÔ ÔÓ Þ ( p C p C V = V [ ( V p + p ( ] U p ÈÖÓ Ð Ñ Ìº½¼ Û ÓÑÓ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ ÞÙ Ó Ö ÛÒ Ò Ù Ø ÒÙ pv = nr Ò Þ Ð Ý Ó Ó ØÓ Ø º U = U(,n ÞÒ Ð õ ÞÛ Þ ¾ ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒÝ C p C V ÞÝÐ c p c v µº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº½½ ÏÝ Þ Ù ÞÒÓ ÞÛ Þ Ù k ad = (c v /c p k Þ Ó Û Ô ÞÝÒÒ Ð ÛÓ Þ ÑÓÐÓ¹ ÛÝÑ µ ÔÓ ÑÒÓ Ñ ÔÐÒÝÑ Ò ÔÓ Ø Û Ñ ½ÌÅ Ä ÞÝÐ Ò Þ ØÒ ¹ Ò ÒØÖÓÔ µº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº½¾ Æ ÔÓ Ø Û Ñ ½ÌÅ Ä ÞÝÐ Ò Þ ØÒ Ò ÒØÖÓÔ µ ÛÝ Ó Þ Ó ÙÒ ¹ Ø ÒÙ h = u+pv ÞÝÐ ÑÓÐÓÛ ÒØ ÐÔ µ Ù ÓÛÓ Ò ÞÛ Þ ( cp p = vα V ( [ (c p c v k α V ÈÖÓ Ð Ñ Ìº½ ÇÔ Ö Ò ½ÌÅ Ä Ó ØÛÓÖÞÝ ÞÛ Þ ÛÝÔÖÓÛ ÞÓÒÝ ÔÖÞ Þ ÈÐ Ò ( ( ( ( (c p c v 2 p v + cp cv = 1 p v v p v ÈÖÓ Ð Ñ Ìº½ ÏÝ ÓÖÞÝ ØÙ Ö Ø ÖÝ ØÝ ÔÓÛ ØÖÞ ØÖ ØÓÛ Ò Ó Þ Ó ÓÒ Ýµ ÔÖÞÝ ÆÌÈ Ø º ÔÖÞÝ ÆÓÖÑ Ð Ì ÑÔ Ö ØÙÖ Ò ÈÖ ÙÖ ÞÝÐ ÔÖÞÝ = 27315 Ã p = 1013 10 5 Æ»Ñ 2 ρ = 129»Ñ 3 c p = 238 Â 1 Ã 1 γ c p /c v c p / c v = 141 v = 224 10 3 Ñ 3»ÑÓÐ ÛÝÞÒ ÞÝ ØÓ ÙÒ ½ Ð»½ Âµ ÞÝÐ ØÞÛº ÔÖ ÓÛÝ Ö ÛÒÓÛ Ò Ô ÔÐÒÝ Ö ÛÒÓÛ Ò ÔÖ Ýµº ¾ Û Þ Ù Ø Ó Þ Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ Ò ÓØÖÞÝÑ Û ÓÔ Ö Ù Ó ÑÓ ½ÌÅ Ä Ó Ó Ò Ò ÓÖÑ U Ò Þ Ð Ý Ó V Ø ÛØ Ý ÓÒ ÞÒ º ÓÔ ÖÓ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ¾ÌÅ Ä ÔÓÞÛ Ð ÞÒ Ð õ Þ Ð ÒÓ U C V µ Ó V Ò ÔÓ Ø Û Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ ÞÝÐ ÛÝ Þ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Ò Ò ÔÓ Ø Û ÛÝÓ Ö ÞÝÞÒÝ µ ÔÖÞÝ Ò Ö U Ò Þ Ð Ò Ó V Ø Þ Ó Ò Þ Ö ÛÒ Ò Ñ Ø ÒÙ ÞÙ Ó ÓÒ Óº p p ] p v

ÈÖÓ Ð Ñ Ìº½ ÏÝ ÓÖÞÝ ØÙ Ö Ø ÖÝ ØÝ ÔÓÛ ØÖÞ ØÖ ØÓÛ Ò Ó Þ Ó ÓÒ Ýµ ÔÖÞÝ ÆÌÈ ÞÝÐ ÔÖÞÝ = 27315 Ã p = 1013 10 5 Æ»Ñ 2 ρ = 129»Ñ 3 c p = 238 Â 1 Ã 1 γ c p /c v c p / c v = 141 Ó Ð ÞÝ Ô Ó ÔÓØÖÞ Ò Ó ÔÓ Ò Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Ó ¼ o Ó ¾¼ o ÔÓÛ ØÖÞ Ñ Ó ÔÓÞ Ø ÓÛÓ Ó ØÓ V = 27 Ñ 3 Û Ò ØÔÙ Ý ÝØÙ µ ÔÓÛ ØÖÞ Ø Ó ÖÞ Û Ò ÔÖÞÝ Ø Ó ØÓ Ó Ò Ò Û Ò Ó ÞÑ Ò µ µ ÔÓÛ ØÖÞ Ø Ó ÖÞ Û Ò ÔÖÞÝ Ø Ó ØÓ Ò Ò Ù Ó ÔÓ ÑÒ Û Ø ÖÝÑ Ø ÓÒÓ Þ Û ÖØ Ø Ò ÞÞ ÐÒÝ Ò Ò ÔÓÛ ØÖÞ Û ÔÓ ÑÒ Ù Ø Ø Ð Ø Ò Þ ÛÒ ØÖÞ Ø º p = 1013 10 5 Æ»Ñ 2 º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº½ ÈÓ Þ Ñ ÖÞ ÐÒ Û Ô ÞÝÒÒ β p k α V Ö Ø ÖÝÞÙ Ù Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÞÒÝ Ò Ó Ò Þ Ð Ò ÛÝ Ø ÖÞÝ ÞÑ ÖÞÝ Û Þ Ò Ý Ó Ð ÞÝ ØÖÞ µº ÏÝÖ Þ ÔÖÞ Þ Ø Û Ô ÞÝÒÒ ÞÛ Þ ÓÖ ÐÙ Ý Þ Ó ÞÑ ÒÝ Ò Ò dp Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ d Ó ØÓ dv ÔÖÞÝ ÔÖÞ Ù Ù Ù Þ Ò Ó Ø ÒÙ Ö ÛÒÓÛ Ó Ò Ò Ø ÞÝÑ ÐÒ Ð Ó ÑÙ ÖÙ Ó Ø ÒÙ Ö ÛÒÓÛ º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº½ Ç Ð ÞÝ Û Ô ÞÝÒÒ α V ÖÓÞ Þ ÖÞ ÐÒÓ Ø ÖÑ ÞÒ k Ð ÛÓ ÞÓØ ÖÑ ÞÒ ÓÖ Þ β p ÞÙ Ø Ö Ó Ö ÛÒ Ò Ñ Ø ÒÙ Ø Ö ÛÒ Ò Ø Ö Ó ( pv = nr exp an V ËÔÖ Û Þ ÞÔÓ Ö Ò Ó Ô Ò ÓÒ ÞÛ Þ ÞÒ Ð Þ ÓÒÝ Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ ÈÖÓ Ð Ñ º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº½ Ï Þ ± Ñ Ý ÔÓÛ ØÖÞ Ø ÒÓÛ Þ Ø Þ N 2 ÔÓÞÓ Ø ¾ ± Ñ Ý Þ Ø Þ O 2 Ó Ð ÞÝ Ó Ô Ó ÑÓÐÓÛ Ð Ó ÔÓÛ Ò Ô Ò ÒÓ Ø Ñ Ýµ ÞÓØÙ ØÐ ÒÙ ØÓ c (N 2 v = 176 Ð 1 Ã 1 c (O 2 v = 158 Ð 1 Ã 1 º ÈÓØÖ ØÓÛ ÔÓÛ ØÖÞ Ñ Þ Ò Ò ÛÙ Ò Ó Þ Ù Ý Þ Ó Þ Û Ó ÓÒ Ý º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº½ ÈÖÞÝ ÑÙ Ð õû ÓÛ Û Þ ÔÓÐ Ò Ø ÖÑ ÞÒÝÑ ÔÖ Ò Ù ÖÓÞÔÖ Ò Ù ÔÓÛ ØÖÞ ÞÝÐ Ò Ø ÖÑ ÞÒÝ ÞÑ Ò Ò Ò p ØÓ ρµ ÓØÖÞÝÑÙ Ò ÔÖ Ó c sound õû Ù ÔÖÓ ØÝ ÛÞ Ö c sound = ( p/ ρ ad ÏÝÖ Þ Ø ÔÖ Ó ÔÖÞ Þ Û Ô ÞÝÒÒ k ad Ó Ð ÞÝ ÔÖ Ó õû Ù Û ÔÓÛ ØÖÞÙ ÔÖÞÝ ÆÌÈ ØÖ ØÙ ÔÓÛ ØÖÞ Þ Ó ÓÒ Ý Ó Ø ÝÑ ÑÓÐÓÛÝÑ ÔÐ Û ÛÝÑ ÑÓÐÓÛ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ Ò Þ Ð Ò Ó Ó ØÓ º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¾¼ ÈÖÞÝ ÑÙ Þ Ò Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ ÞÙ Ó ÓÒ Ó Ó ÑÓÐÓÛÝÑ Ö ÛÒ Ò Ù Ø ÒÙ pv = R Ò Þ Ð Ý Ó Ó ØÓ Ó ÑÓÐÓÛ Ô Û Û c p c v Ø Ó Ð ÞÝ Ö Ò c p c v ÖÓÞÔ ØÖÙ Ò ØÔÙ Û Ò ØÖÞ ÔÖÞ Ñ Ò Ø Ó ÞÙ

µ Ø ÖÑ ÞÒ ÛÓ Ó Ò ÖÓÞÔÖ Ò Ó Ó ØÓ V 1 Ò Ò p 1 Ó Ó ØÓ V 2 Ò Ò p 2 ÔÓ ÔÖÓ ØÙ ÓØÛ Ö ÑÝ ÔÖÞ ÖÓ Þ ÑÝ Ô ÖÛÓØÒ Þ Û Ó ØÓ V 1 ÛÝ Þ ÐÓÒ ÓÛ ÔÖÞ ÖÓ Þ Ó ØÓ V 2 Ø ÖÑ ÞÒ ÞÓÐÓÛ Ò Ó ÔÓ ÑÒ µ µ ÕÙ Ø ØÝÞÒ Ó ÛÖ ÐÒ ÞÓ ÖÝÞÒ Û Ù Ò Ø ÖÑ ÞÒ µ ÔÖ Ò ÞÙ Ó V 2 Ó V 1 ÔÖÞÝ Ò Ò Ù p 2 ÛÖ Þ µ Ó ÛÖ ÐÒ ÕÙ Ø ØÝÞÒ Ó ÖÞ Ò ÞÙ ÔÖÞ Þ ÓÒØ ØÓÛ Ò Ó Þ Ñ Ø ÖÑÓ Ø Ø Û Ó ÓÖ Þ ØÓ ÛÝ ÞÝ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ µ ÔÖÞÝ Ø Ó ØÓ V 1 Ó Ó Ò ÔÖÞ Þ ÛÝ ÓÛ Ó Ò Ò p 1 º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¾½ Ó ÓÒ ÝÑ ÞÛ Ñ Ò ØÝ Ô Ò Ý Û ÖÙÒ Ø ØÓ Ó ÔÓÛ Ò Û ÛÓ ( U/ V,n = 0 ÞÙ Ó ÓÒ Óµ ( U = 0 M,V Ò õ Ô Ó ÔÓ Ö Ò ÔÖÞ Þ Ø Ñ Ò ØÝ Ð Ó ÓÛ Ø Ò Ñ Ò ÓÛ Ò M Û Þ Ò Ø Ò Ñ H 0 Þ H 0 = H 0 µ Þ ÛÒØÖÞÒ Ó ÔÓÐ Ñ Ò ØÝÞÒ Ó ÛÞÓÖ Ñ M = α(h 0, Û ÔÖÓ ÞÓØ ÖÑ ÞÒ Ó ÞÛ Þ Ò Þ ÛÒØÖÞÒ Ó ÔÓÐ Ñ Ò ØÝÞÒ Ó Ó Þ Ö Ó Ó Ó ÓÛ Û ÖØÓ H fin 0 º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¾¾ ÍÞ Ò ÛÞ Ö C H = ( ( U M µ 0 H 0 H H Ò ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ C H Ñ Ò ØÝ ÔÖÞÝ Ø ÝÑ ÔÓÐÙ Ñ Ò ØÝÞÒÝÑ H 0 ÛÞ Ö Ø Û Ù Þ ËÁ Û Þ ÖÓÛÝÑ Ù Þ Ù Ø Ó ÙÖÒ Ó µ 0 Ò Ñ µº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¾ ÃÓÖÞÝ Ø ØÝÐ Ó Þ ½ÌÅ Ä ÓÛ ÔÓÑ ÞÝ ÔÓ ÑÒÓ Ñ ÔÐÒÝÑ C M C H Ñ Ò ØÝ Ó ÔÓ ØÒÓ Ñ Ø ÖÑ ÞÒ χ ad ( M/ H ad ÔÖÞÝ Ø Ø ÑÔ ¹ Ö ØÙÖÞ χ ( M/ H Þ Ó Þ ÞÛ Þ χ ad = (C M /C H χ º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¾ Þ Ó ÓÒ Ý Ó Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ Ö ÛÒ U = C V + ÓÒ Øº ÑÓ Ò ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ Ó Ø ÒÙ ½ Ö Ø ÖÝÞÓÛ Ò Ó ÔÖÞ Þ (p 1,V 1, 1 Ó Ø ÒÙ ¾ Ó ÔÓÛ ÑÙ (p 2,V 2, 2 Ñº Òº Û ÛÝÒ Ù ØÖÞ Ò ØÔÙ Ý Ö ÒÝ ÔÖÓ Û Ó ÛÖ ÐÒÝ µ ÞÓ ÓÖÝÞÒ ÓÞ Ó Ó Ò Ø Ò A Ó Ò Ò Ù p A = p 2 Ò ØÔÒ ÖÓÞÔÖ Ó ÞÓ ÖÝÞ¹ Ò Ó Ó ØÓ V 2 µ ÖÓÞÔÖ Ó Ò Ô ÖÛ ÞÓØ ÖÑ ÞÒ Ó Ø ÒÙ Ó Ó ØÓ V 2 Ò ØÔÒ ÓÞ ÞÓ ÓÖÝÞÒ Ó Ò Ò p 2 ÛÖ Þ µ ÖÓÞÔÖ Ó Ø Ö¹ Ñ ÞÒ Ó ÛÖ ÐÒ µ Ó Ø ÒÙ Ó Ó ØÓ V 2 Ò ØÔÒ ÓÞ ÞÓ ÓÖÝÞÒ Ó Ò Ò p 2 º ËÔÓÖÞ Þ Ð Ò ÔÖ Ý ÛÝ ÓÒ Ò Ò Þ Ñ Ô ÔÖÞ Þ ÔÓ Ö Ò Ó Ò Þ ØÝ Ö º

ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¾ Ç Ð ÞÝ ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ C Ò Ó Þ Ò ÛÝ Ó ÓÐÙÑÒÝ Ó ÔÖÞ ÖÓ Ù ÔÓÔÖÞ Þ¹ ÒÝÑ A ÓÛ Ø Ñ M ÞÙ Ó ÓÒ Ó Ó Ø ÝÑ ÔÐ Û ÛÝÑ ÞÝÐ u( = c v +ÓÒ Øºµ Ö ÛÒ Ò Ù Ø ÒÙ pv = R ÞÒ Ù Ó Û Ö ÛÒÓÛ Þ Ø ÖÑ ÞÒ Ñ ¹ Ò ÞÒ Û ÔÓÐÙ Ó gº Þ Ø Ò Ø Ù Ñ ÒÓÖÓ ÒÝÑ ÔÓÒ Û Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÐÙÑÒÝ Ø Ø Þ Ó Ò Ó Ö ÛÒÓÛ Þ Ø ÖÑ ÞÒ µ ÑÓ Ò Ó ÔÓ¹ Þ Ð ÑÝ ÐÓÛÓµ Ò ÔÐ Ø Ö Ó Ó ÔÐ Ø Ö Ø ÖÝ Ù ÑÓ Ò ØÖ ØÓÛ Ù ÒÓÖÓ ÒÝ Þ ØÓ ÓÛ Ö ÛÒÓÛ ÓÛ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ º Ò Ø Ñ Ó Ö Ð ØÝÞÒ ¹ Ò Ð Ý ÔÓØÖ ØÓÛ ÛÔÖ Û Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ µº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¾ Ï ÔÓÐ Ù Ó Ø Ó Ñ Ò Ù ÛÔÖÓÛ Þ ÑÝ Þ Ò Ó ÞÓÒÓ Ñ Ò Þ Ñ Ø Ö Ù Ó Û ÛÓ Ñ Ò ØÝÞÒÝ ÔÓÞ Ø ÓÛÓ Ò Ò Ñ Ò ÓÛ Ò º ÈÓ ÛÔÖÓ¹ Û Þ Ò Ù Ý Û ÔÓ Ð Ñ Ò Ù ÛÝ Ò Ù ÓÛ ÒÝ Û Ò ÑÓÑ ÒØ Ñ Ò ØÝÞÒÝ ÞÓ Ø Þ ÑÖÓ ÓÒÝ ÔÓÒÓÛÒ Ó ÑÝ Ó Ò Ó ÞÓÒÓ º Ç Ð ÞÝ ÔÖ ÑÙ ÔÖÞÝ ØÝÑ ÛÝ ÓÒ Þ ÛÒØÖÞÒ ÔÓØÖÞ Ò Ý Ý Ø Ò ÔÖÓ Ò Ñ Ò ÓÛÝÛ Ò Ý ÛÝ ÓÒ ÕÙ Ø ØÝÞÒ Ó ÛÖ ÐÒ º Ï Þ Û i Ø ÓÛ Ý Þ Ò ÔÓÐÓÛÝ ÑÓÑ ÒØ Ñ Ò ØÝÞÒÝ m Û Ò ÒÓÖÓ ÒÝÑ ÔÓÐÙ Ò Ù Ñ Ò ØÝÞÒ B(x Ø Ö ÛÒ F i = m ( B/ x i º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¾ Þ Ø Þ ÐÙ ØÓÑµ Ø Ö ÔÓ ÛÔ ÝÛ Ñ ÔÓÐ Ð ØÖÝÞÒ Ó ÔÓÐ ÖÝÞÙ ¹ ÑÓÑ ÒØ ÔÓÐÓÛÝ p Ø ÙÒ Ò ÓÒ ÞÒ Ð Ò ÓÛ µ ÔÓÐ Ð ØÖÝÞÒ Ó p = p(e ÔÖÞÝ ÞÝÑ p(0 = 0 ¹ ÛÔÖÓÛ Þ ÑÝ ÕÙ Ø ØÝÞÒ Ø º Ò Ó Þ Ò ÔÓÛÓÐ Þ ÔÖÞÝ Ô Þ Ò µ Û Ò ÒÓÖÓ Ò ÔÓÐ Ð ØÖÝÞÒ E(x Þ Ò Ó ÞÓÒÓ Þ ÔÓÐ Ð ØÖÝÞÒ ÞÒ µº ÈÓ ÓÔÖÓÛ Þ Ò Ù Þ Ø Þ Ó ÔÙÒ ØÙ x 0 Û Ø ÖÝÑ ÔÓÐ Ø Ö ÛÒ E 0 ÛÝ Ò Ù ÓÛ ÒÝ ÑÓÑ ÒØ ÔÓÐÓÛÝ Þ Ø Þ ÞÓ Ø Þ ÑÖÓ ÓÒÝ Ø ÔÖÞ Ø ÓÒ Þ Ð Ù Ó ÔÓÐ Ð ØÖÝÞÒ Óµ Þ Ø Þ ÔÓÒÓÛÒ Ó ÔÖÓÛ Þ ÑÝ Ó Ò Ó ÞÓÒÓ º Ç Ð ÞÝ ÔÓØÖÞ Ò Ó Ø Ó ÔÖ ÛÝ ÓÒ Ò ÔÖÞ Þ Þ ÛÒØÖÞÒ Ö ÛÒÓÛ Ð ØÖÝÞÒ Þ Ò Þ Ø Þ º Ï Þ Û i Ø ÓÛ Ý Þ Ò ÔÓÐÓÛÝ ÑÓÑ ÒØ Ð ØÖÝÞÒÝ p Û Ò ¹ ÒÓÖÓ ÒÝÑ ÔÓÐÙ Ð ØÖÝÞÒÝÑ E(x Ø Ö ÛÒ F i = p ( E/ x i º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¾ ÏÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÔÖ ÛÓ À Ø º ½ÌÅ Äµ Ó Ð ÞÝ Ô Ó ÔÖÞ Ñ ÒÝ Ñ ÒØÙ Û Ö Ø Ò ÔÓ Ø Û Ô ÛÝ Þ Ð ÒÝ ÔÖÞÝ Ô Ð Ò Ù Û ØÝ ÑÝ Û ÖÙÒ µ C diament +O 2 CO 2 + Q 1, C grafit +O 2 CO 2 + Q 2 Q 1 = 39540 Â ÑÓÐ 1 Q2 = 39350 Â ÑÓÐ 1 º ÈÖÞ Ñ Ò ÞÓÛ µ Ñ ÒØÙ Û Ö Ø Þ Ó Þ Û Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ ÔÓ Ó ÓÛ Ö ÞÓ ÔÓÛÓÐ Ó ÔÓÛÓ Ù ÞÔÓ Ö Ò ÔÓÑ Ö Ô Ø ÔÖÞ Ñ ÒÝ Ø Ò ÛÝ ÓÒ ÐÒÝº

ÈÖÓ Ð Ñ Ìº¾ ÏÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÔÖ ÛÓ À Ø º ½ÌÅ Äµ Ó Ð ÞÝ Ô Ó Q ÛÝ Þ Ð Ò Û Ö C grafit +2H 2 CH 4 + Q, Ò ÔÓ Ø Û Ô ÛÝ Þ Ð ÒÝ Û Ò ØÔÙ Ý Ö Ñ ÞÒÝ H 2 + 1 2 O 2 H 2 O+ Q 1, C grafit +O 2 CO 2 + Q 2 CH 4 +2O 2 CO 2 +2H 2 O + Q 3, Þ Q 1 = 28580 Â Q2 = 39350 Â Q 3 = 890,40 Âº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ¼ ØÝÔÙ ÓÐ ØÝÞÒ Óµ ÍÞ Ò Ò ÔÓ Ø Û µ Ò Ö ÛÒÓ Ð Ù Ù µ ¾ÌÅ Ä Û ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ù Ã ÐÚ Ò Ð Û ÛÝÒ Ù Ó ÛÖ ÐÒ ÞÓØ ÖÑ ÞÒ ÔÖÞ Ñ ÒÝ Ù ÔÓÛÖ Ó Ø ÒÙ ÔÓÞ Ø¹ ÓÛ Ó ØÓ Ô Ó ÔÖÞ Þ ÔÓ Ö Ò Þ ÓØÓÞ Ò Ø Ö ÛÒ Þ ÖÙ ØÝÑ ÑÝÑ Ò ÑÓÝ ½ÌÅ Ä Þ ÖÙ ÑÙ Ý Ö ÛÒ ÔÖ ÔÖÞ Þ ÛÝ ÓÒ Ò µº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ½ ÏÝ Þ ÔÖ ÛÒÓ Ý ÐÙ Ò ÓÒ ÞÒ Ó ÛÖ ÐÒ Ó Û Ø ÖÝÑ Ó ÖÓ ÓÞ Ò Ö ÒÝ Ø Ô ÔÓ Ö Ô Ó Þ Û ÐÙ Ö Þ ÖÛÙ Ö Û Ø ÖÝ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò ÔÖÞ Ö Þ max Ó Ô Ó Ó ÒÒÝ Ö Þ ÖÛÙ Ö Û Ø ÖÝ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ø Ò Þ Ò min Ø Ó Ö Ò ÞÓÒ ÔÖÞ Þ η max = 1 min max ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ¾ ÏÝ ÓÖÞÝ ØÙ ¾ÌÅ Ä ÞÝÐ ØÒ Ò ÒØÖÓÔ Ó ÙÒ Ø ÒÙ ÓÖ Þ Ñ ØÓ Â Ó ¹ Ò Û ÛÝÖ Þ Û Ô ÞÝÒÒ V ( V S, V ( p S Ö Ø ÖÝÞÙ ÞÑ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÔÓÛÓ ÓÛ Ò Ø ÖÑ ÞÒ ÞÑ Ò Ó Ó ¹ ØÓ ÐÙ Ø ÖÑ ÞÒ ÞÑ Ò Ó Ò Ò ÔÖÞ Þ Û Ð Ó Ø Ö ÑÓ Ò Ó Ð ÞÝ Ñ Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ Ò Þ Ó ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒÝ º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ÏÝ ÓÖÞÝ ØÙ ¾ÌÅ Ä Û ÓÖÑ ds = (du + pdv/ ÔÓ Þ Ð Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ ÔÖÓ Ø Ó Ñ ÔÓ Ø p = f(v,,

ØÓ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ U Ò Þ Ð Ý Ó Ó ØÓ ÔÖÞÝ Ñ Ø Ó Ù Ù Ø Þ Ó ÓÒ Ý Þ f(v = nr/v µº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ÏÝ Þ Ù ÞÒÓ ÞÛ Þ Ù k ad = (C V /C p k Þ Ó Ð ÛÓ Ø ÖÑ ÞÒ ÞÓ¹ Ø ÖÑ ÞÒ ÔÖÓ Ø Ó Þ Ó ÔÓ ÒÓ Ñ ÔÐÒÝÑ C V C p ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ¾ÌÅ Äº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ÇÔ Ö Ò ¾ÌÅ Ä ÔÓ Þ ( cp p = v [ α 2 V + ( αv ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ÏÝÖ Þ Ö Ò C p C V ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒÝ ÔÖÓ Ø Ó ÔÖÞ Þ Ñ ÖÞ ÐÒ Û Ô ÞÝÒ¹ Ò Ó Ð Þ ÐÒ Ò ÔÓ Ø Û Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ f(,v,p = 0µº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ËØÓ Ù ¾ÌÅ Ä Û ÔÓ Ø dq = ds ÛÝÔÖÓÛ Þ ÛÞÓÖÝ Ò Þ Ð ÒÓ Ó Ò Ò p ÒØ ÐÔ H = U +pv ÒØÖÓÔ S ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ C p ØÞÒº ÛÝÖ Þ ÔÓ Ó Ò ØÝ Û Ð Ó ÔÓ p ÔÖÞ Þ Û Ð Ó Ó Ð Þ ÐÒ Þ Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙµ ÔÖÓ Ø Ó ÒÔº Ô ÝÒÙ Ø º ÞÝ ÐÙ ÞÙµ Ó Ù Ø ÐÓÒ ÐÓ ÑÓÐ ØÞÒº Ð Þ ÑÓÐ Ò ÑÙ ÛÒ ÛÝ ØÔÓÛ Ó Ö ÙÑ ÒØµº ÖÓ ØÓ Ö Þ Û ØÞÛº Ö ÔÖ Þ ÒØ ÒØ ÐÔ ÖÙ Ö Þ Û Ö ÔÖ Þ ÒØ ÒØÖÓÔ º ÏÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÛÝÒ ÔÓ Ø ÔÓ ÛÝÞÒ Þ Ò ÙÒ Ø ÒÙ U(,p S(,p Ð ÞÒ Ò Ø ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ C p (,p 0 Ù Ù Ó ÙÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÔÖÞÝ Ñ Ù Ø ÐÓÒÝÑ Ò Ò Ù p 0 µ Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ f(,v,p = 0º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ÈÓ Þ ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ C V Ñ ÖÞÓÒ ÔÖÞÝ Ø Ó ØÓ V µ ÞÙ Ô Ò Ó Ö ÛÒ Ò Î Ï Î Ò Ö Ï Ð µ Ò Þ Ð Ý Ó Ó ØÓ º Ø ÓÒÓ ÞÒ Ò Ó ÙÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ µ ÛÝÞÒ ÞÝ ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ C p Ñ ÖÞÓÒ ÔÖÞÝ Ø ÝÑ Ò Ò Ù pµ Ø Ó ÞÙº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ÞÝ ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ C V Ñ ÖÞÓÒ ÔÖÞÝ Ø Ó ØÓ Vµ ÞÙ Ô Ò Ó Ö ÛÒ Ò Ø Ö Ó ÑÓ Ý Ò Þ Ð Ò Ó Ó ØÓ ÏÝÞÒ ÞÝ Ö Ò ÔÓ ÑÒÓ C p C V Ø Ó ÞÙº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ¼ Ò Ð õ Þ Ð ÒÓ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ Ò ÒÓ Ø Ó ØÓ u( Ù Ù ÔÖÓ Ø Ó Ð Û ÓÑÓ Ó Ò Ò p Þ Ð Ý ØÝÐ Ó Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ 3p = u(º p ] ÓÛ Ø ØÓ ÑÓ Ù Ý ØÖ Ò Ó Þ ÈÖÓ Ð Ñ Û ØÙ Ò Ó Þ Ó ØÓ Ý Ó Ò ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ØÒ Ò ÒØÖÓÔ Ù ØÛ Þ Ò º

ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ½ Ï Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ = 25 o Ó ØÓ Ò Ó ÑÓÐ ÛÓ Ý Ò Ø ÑÔ ÖÝÞÒÝÑ ÛÞÓÖ Ñ [ p ( p ] 2 v = 10066 0000715 1 atm +0000000046 cm 3 1 atm Ï ÓÑÓ ÔÓÒ ØÓ ÔÖÞÝ Ò Ò ÔÓÑ ÞÝ ½ ½¼¼¼ ØÑ ( v [ p ] 1 = 00045 + 00000014 cm 3 K 1 atm p Ç Ð ÞÝ ÔÖ ÓÒ ÞÒ Ó ÞÓØ ÖÑ ÞÒ Ó ÔÖ Ò Ó ½ ØÑ Ó ½¼¼¼ ØÑ ÛÙ ÑÓÐ ÛÓ Ý ÔÓÞÓ Ø Û ÓÒØ Ø ÖÑ ÞÒÝÑ Þ ÓØÓÞ Ò Ñ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ = 25 o ÓÖ Þ Ó ÔÓÛ Ø ÑÙ ÔÖ Ò Ù ÞÑ Ò Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ ÛÓ Ýº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ¾ ÏÝÞÒ ÞÝ Ó ÙÒ ÞÑ ÒÒÝ v Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ u ÒØÖÓÔ s Ò Ó ÑÓÐ ÞÙ Ø Ö Ó Ô Ö Ñ ØÖÝ Ô Ò Ö ÛÒ Ò Ù Ø ÒÙ Î Ï (p+ a v 2 (v b = R, Þ ÞÒ Ò Ø Ó ÑÓÐÓÛ Ô Ó Û Û c v (,v 0 Ó ÙÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÔÖÞÝ Ò Û ÖØÓ v 0 ÑÓÐÓÛ Ó ØÓ º Ï Þ Ö Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Û Ø ÖÝÑ ÑÓÐÓÛ Ô Ó Û Û c v ÑÓ Ò ÙÛ Þ Ò Þ Ð Ò Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÔÓ Ø ÛÒ ÔÓ Ø ÒØÖÓÔ Ó ÙÒ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ u Ó ØÓ vº ÇØÖÞÝÑ Ø Ò ÛÝÒ Ö Þ ÞÔÓ¹ Ö Ò Ó Û Ø Û = (u,v Ó ÛÞÓÖÙ Ò S(,v ÖÙ Ö Þ Ù ÓÖÑ ds = 1 du+ p dv ÈÖÓ Ð Ñ Ìº Ó Û Þ Ò ÛÝÒ ÔÖÞÝ ØÝÞÒÝÑ Ø ÖÑ ÞÒÝÑ Ó ÛÖ ÐÒÝÑµ ÖÓÞ¹ Ò Ù ÙÑÝ Ò ØÔÙ ÛÞÖÓ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝº Æ ÔÓ Ø Û Ø Ó ØÙ ÔÓ Þ Û Ô ÞÝÒÒ ÖÓÞ Þ ÖÞ ÐÒÓ Ø ÖÑ ÞÒ ÙÑÝ ( L/ K Ø Ù ÑÒÝ L Ø Ù Ó K ¹ Ò Ô Ñ ÙÑÝµ ÞÝÐ ÔÖÞÝ ÔÓ ÛÝ Þ Ò Ù Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÙÑ Þ ÙÖÞÝ º Ï Þ Û ÏÝ ÓÖÞÝ Ø Û ÖÙÒ Ø ÐÒÓ ØÞÒº Ò Ö ÛÒÓ C L > 0 C L ¹ ÔÓ Ñ¹ ÒÓ ÔÐÒ ÔÖÞÝ Ø Ù Ó Lµ ÓÖ Þ ( K/ L > 0 Ò ÐÓ Û ÖÙÒ Ù ( p/ V > 0 Ø ÐÒÓ Ô ÝÒ Ûµº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ÈÓ ÑÒÓ ÔÐÒ Ø ÑÝ ÙÑÓÛ ÞÑ ÖÞÓÒ Û Û ÖÙÒ Û Ø ÖÝ ÙØÖÞÝÑÝÛ Ò Ý Ø Ù Ó L = L 0 ÞÑ Ò Þ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ð Ò ÓÛÓº ÈÓÒ ØÓ Ù Ø ÐÓÒÓ Þ Ð ÒÓ Ò ÔÖ Ò K Ø ÑÝ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Ù Ó L Ø Û Ô ÛÒÝÑ Þ Ö Ø ÑÔ Ö ØÙÖµ Ò ÛÞÓÖ Ñ ( L K(,L = a L2 0, L 0 L 2 ½¼

Û Ø ÖÝÑ L 0 ÑÓ Ò ÙÛ Þ Ø º ÏÝÞÒ ÞÝ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ ÒØÖÓÔ Ø ÑÝ Ó ÙÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Ó º ÈÓ Ø ÛÞ Ö Ò ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ C K ÔÖÞÝ Ø ÝÑ ÒÔÖ Ò Ùº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº Û Ø ÑÝ ÙÑÓÛ Ø Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ ÈÖÓ Ð Ñ Ð Ó ÒÒÝ Û Ô ÞÝÒÒ Ð Ò ÓÛ Þ Ð ÒÓ ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒÝ C (1 L C (2 L Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÔÖÞÝ Ù Ø ÐÓÒ Ó ØÓ Ó Ö ÒÝ Û Ô ÞÝÒÒ a (1 a (2 Û Þ Ð ÒÓ Ò ÔÖ Ó Ø ÑÔ ¹ Ö ØÙÖÝ ÖÓÞ Ò µ Ù Ó Ñ ÔÓÞ Ø ÓÛÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ 1 2 º Ì ÑÝ Ø Þ ÞÓÒÓ Ö Þ Ñ Ø º ÓÔÖÓÛ Þ Ó ÓÒØ ØÙ Ø ÖÑ ÞÒ Óµ ÙØÖÞÝÑÙ Ò Ò ÞÑ Ò ÓÒ Ù Ó º Â Þ Ó ÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ç Ð ÞÝ Ø ÞÑ Ò ÒØÖÓÔ Ó Ù Ù ÛÝ Þ Ø ÓÒ Ó ØÒ ÈÖÓ Ð Ñ Ìº Æ Ø Ñ ÙÑÓÛ Ó Ö Ø ÖÝ ØÝ Ø Û ÔÓÔÖÞ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓÛ ÞÓÒÓ Ñ mûþ Ñ Ñ ÔÓÐÙ Ö Û Ø Ý ÒÝÑg Û Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ 1 º Æ ØÔÒ Ø Ñ ÔÓ ÖÞ ÒÓ Ó Ø ÖÞ Ô Ó Qº Æ Ô Ù Ö ÛÒ ÔÓÞÛ Ð Ý Ó Ð ÞÝ ÞÑ Ò Ù Ó Ø ÑÝ ÞÑ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº Ó Û Þ ÐÒ Ù Ø ÐÓÒÓ K Þ Ò Ð Ý ÖÓÞ Ó ÙÑÓÛ Ó ÔÖØ Ý ÙØÖÞÝÑ Ó Û Ø Ò Ö ÛÒÓÛ Ó Ù Ó L Ø Ò ÛÞÓÖ Ñ K = a ( L L 0 ( L2 0( L 2 Û Ø ÖÝÑ a Ø Ø dl 0 (/d = α = ÓÒ Øº Ç Ð ÞÝ Ô Ó ÛÝ Þ Ð ÔÖÞÝ Ó ÛÖ ÐÒÝÑ ÖÓÞ Ò Ù Ø Ó ÔÖØ Ó Ù Ó L 1 = L 0 Ó L 2 = 2L 0 Ð Û ØÖ ÖÓÞ Ò ÔÓÞÓ Ø ÓÒ Ø Ð Û ÓÒØ Þ ÓØÓÞ Ò Ñ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº Æ Ö ÛÒ Ò ÔÓ ØÛÓÛ Ø ÑÝ ÙÑÓÛ ÞÝÐ Þ Ð ÒÓ ÒØÖÓÔ Ó Ò Ö Û ¹ ÛÒØÖÞÒ U Ù Ó L Ñ ÔÓ Ø, ( [ 1/2 ( 2 bu 1 L S(U,L = al 0 al 0 + L 0 2 L 0 ( ] L0 3, L 2 a b ØÙ Ô ÛÒÝÑ Ø ÝÑ º ÈÓ Þ Ð ÒÓ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ ÒØÖÓÔ Ø ÑÝ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Ù Ó Þ Ð ÒÓ Ò ÔÖ Ò K Ó Ù Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÓÖ Þ ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ C L ÔÖÞÝ Ø Ù Ó Ø ÑÝµ C K ÔÖÞÝ Ø ÝÑ Ò ÔÖ Ò Ùµº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ÈÓ Þ ÔÖÞÝ Ø ÖÑ ÞÒÝ Ó ÛÖ ÐÒÝ ÞÑ Ò Ò Ñ Ò ÓÛ Ò Ô Ö Ñ Ò ¹ ØÝ Ô Ò Ó ÔÖ ÛÓ ÙÖ M = a VH 0, ½½

Þ Ô ÛÒ Ø a Ô Ò ÓÒ Ø Ö ÛÒÓ d = µ 0 a V C H H 0 dh 0 ÁÒ Þ Ñ Û ØÖÞ ÔÓ Þ Ø Ø Ó Ô Ö Ñ Ò ØÝ Û ÞÑ ÒÒÝ H 0 Ø ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ö ÛÒ Ò Ö Ò Þ ÓÛ Ó d a = µ 0 dh 0 V C H H 0 ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ¼ Æ C M Þ ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ ÒÓÖÓ Ò Ó Ñ Ò ØÝ ÔÖÞÝ Ó Ø ÝÑ Ò Ñ ¹ Ò ÓÛ Ò Ù M C H Ò ÐÓ ÞÒ ÔÓ ÑÒÓ ÔÖÞÝ Ø ÝÑ Þ ÛÒØÖÞÒÝÑ ÔÓÐÙ Ñ Ò ØÝÞ¹ ÒÝÑ H 0 º ÈÓ Þ ÓÖÞÝ Ø Þ ¾ÌÅ Ä Þ Ó Þ ÞÛ Þ χ ad = C M C H χ, Þ ÔÖÞ Ò ÐÒÓ Ñ Ò ØÝÞÒ Ñ Ò ØÝ Ø ÖÑ ÞÒ ØÝÞÒ µ χ ad ÓÖ Þ ÞÓ¹ Ø ÖÑ ÞÒ χ Þ Ò ÓÛ Ò ÛÞÓÖ Ñ ( ( M M χ ad =, χ = H 0 H 0 S ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ½ Í ÓÛÓ Ò ÓÒ Û Ò Ò Þ Ð ÒÓ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ U ÔÖÓ Ø Ó Ó Ó Ó ØÓ Ò ØÔÙ ØÝ Ó ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ C V ÔÖÞÝ Ø Ó ØÓ µ Ø Ø Ò Þ Ð Ò Ó Ó ØÓ Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ Ñ ÔÓ Ø V = f(p/ Þ f( Ø Ô ÛÒ ÙÒ C p C V Ø Ø Ô ÛÒ ÙÒ ØÓ ÙÒ Ù p/ º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ¾ ÏÝ Þ ÔÖÞÝ Ó ÛÖ ÐÒÝÑ ÞÓ ÖÝÞÒÝÑ ÔÖÞÝ Ø ÝÑ Ò Ò Ùµ ÖÓÞ Þ ÖÞ Ò Ù ÔÖÓ Ø Ó ÞÝÐ ÞÑ Ò Ó Ó ØÓ Ó δv Ó ÒØÖÓÔ S ÖÓ Ò ÐÙ Ñ Ð Û Þ Ð ÒÓ Ó ÞÒ Ù Û Ô ÞÝÒÒ α V (1/V( V/ p Ø ÖÑ ÞÒ ÖÓÞ Þ ÖÞ ÐÒÓ Ø Ó º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº Ç Ð ÞÝ Ó ÓÛ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÓÖ Þ ÞÑ Ò ÒØÖÓÔ s Ò Ó ÑÓÐ ÞÙ Ø ÖÝ Ó Ó ØÓ v 0 Û Ø Ö Ñ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ 0 Ø ÖÑ ÞÒ ÞÓÐÓÛ ÒÝÑ ÛÓ Ó Ò ½¾

ÖÓÞÔÖ Ý Û ÔÖ Ò Ó Ó ØÓ vº È Ö Ñ ØÖÝ v p Ø Ó ÞÙ Ô Ò Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ ÖØ ÐÓØ p = R v b a v 2 Ï ÓÑÓ Ø Ý v Ó ÑÓÐÓÛ Ô Ó Ø Ö ÛÒ ÑÓÐÓÛ ÑÙ Ô Ù ÒÓ ØÓÑÓÛ Ó ÓÞÙ Ó ÓÒ Óº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº Í ÓÛÓ Ò Ô Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÞÙ ÔÖÞÝ Ó ØÝÞÒÝÑ Ø º Ø ÖÑ ÞÒÝÑ Ó ÛÖ ÐÒÝÑµ ÖÓÞÔÖ Ò Ù Ó Ò Ò p Ó p δp Ø Û ÞÝ Ò ÔÖÞÝ Ó ÖÓÞÔÖ¹ Ò Ù Þ Ø Ñ ÞÑ Ò Ò Ò Û ÔÖÓ ÂÓÙÐ ³ ¹Ì ÓÑ ÓÒ º Ï Þ Û ÈÓÖ ÛÒ Ó ÔÓÛ Ò Ð ØÝ ÛÙ ÔÖÓ Û ÔÓ Ó Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÔÓ Ò Ò Ùº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº Â ÔÓÛ ÒÒÓ Ý Ò Ò p 1 ÞÙ Ñ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖ 1 Ý ÔÓ ÖÓÞÔÖ Ò Ù Ó Ò Ò p 2 ÛÝÞÒ ÞÓÒ Ó ÔÖÞ Þ Û ÖÙÑ Þ ÛÒØÖÞÒ µ Û ÔÖÓ ÂÓÙÐ ³ ¹Ì ÓÑ ÓÒ Ô = 1 2 Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Ý Ò Û ÞÝ ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ÏÝÞÒ ÞÝ ÔÖÞ ÖÞÝÛ ÒÛ Ö Ø º ÖÞÝÛ ÛÝÞÒ Þ Þ Ö ØÝ Û ÖØÓ Ô Ö Ñ ØÖ Û ÞÙ ÔÖÞÝ Ø ÖÝ Þ ÓÒ ÓÞ Û ØÖ ÖÓÞÔÖ Ò ÂÓÙÐ ³ ¹ Ì ÓÑ ÓÒ µ Ò Ô ÞÞÝõÒ (τ,π ÞÑ ÒÒÝ ÞÖ Ù ÓÛ ÒÝ τ = / cr π = p/p cr ÞÙ Ø Ö Ó Ô Ö Ñ ØÖÝ Ô Ò Ö ÛÒ Ò Ø Ö Óº ÁÐ ÛÝÒÓ ÖÒ ÞÖ Ù ÓÛ Ò µ Ø Ñ¹ Ô Ö ØÙÖ ÒÛ Ö τ inv Û Ö Ò Ý π 0 ÈÓÖ ÛÒ Ø Û ÖØÓ Þ Û ÖØÓ ÓØÖÞÝÑÝÛ Ò Þ ÖÓÞÛ Ò Û Ö ÐÒ Ó ÙÛÞ Ð Ò Ó ØÝÐ Ó Ô ÖÛ ÞÝ Û Ô ÞÝÒÒ Û Ö ÐÒÝ B(º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº È Ö ÛÓ Ò Þ ÓØ Û Ø ÖÝÑ Ñ ÓÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ wewn = 300 o Ò Ò ØÑ ÛÝÐ ØÙ Ø ÝÑ ØÖÙÑ Ò Ñ ÔÖÞ Þ Û Ý Þ Ò Þ ÛÒ ØÖÞ Þ Ô ÒÙ Ò Ò ½ ØÑº ÌÖ ØÙ Ô Ö Þ Ó ÓÒ Ý Ó Ò Þ Ð ÒÝÑ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÔÐ Û ÛÝÑ Ò ÒÓ Ø Ñ Ýµ c p = 049 Ð Ã 1 1 ÞÒ ÓÑÓ Ñ ÝÑ ÔÖÞ ÛÓ Ò ØÛ ÔÐÒÝÑ ØÓ ÙÒ Ù γ c p / c v = 133 Ó Ð ÞÝ ÔÖ Ó ØÖÙÑ Ò Ô ÖÝº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ÞÔÓ Ö Ò Ñ Ö ÙÒ Ñ ÛÝ Þ ÔÖ ÛÒÓ Ý ÐÙ ÖÒÓØ Û Ø ÖÝÑ Ù Ø Ò ÖÓ ÓÞ Ø n ÑÓÐ ÞÙ Ø Ö Ó Ô Ö Ñ ØÖÝ Ô Ò Ö ÛÒ Ò Î Ï Ø Ö ÛÒ η = 1 / + Þ ± Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ñ ÔÐ Þ Ó Ó Þ ÑÒ Þ Ó Þ ÓÖÒ º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ÏÝÖ Þ ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ Ù Ù ÒÓ Ò ÓÛ Ó ØÞÒº Ó Þ Ò Ó ÖÓ Þ Ù Þ Ø Þ µ ÔÖÞÝ Ø Ó ØÓ ÔÖÞ Þ ÔÓ Ó Ò ÙÒ Ø ÖÝ Ò Þ Ð ÒÝÑ ÞÑ ÒÒÝÑ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ó ØÓ V Ø µ ÓÖ Þ ÔÓØ Ò Ñ ÞÒÝ µº ½

ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ¼ Ï Û ÔÓ ÑÒ ÞÒ Ù ÔÓ n ÑÓÐ Ø Ó Ñ Ó ÞÙ Ó ÓÒ Ó Ó Ø Ñ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ º Ò Ò ÞÙ Û Ô ÖÛ ÞÝÑ ÔÓ ÑÒ Ù Ø Ö ÛÒ p 1 Û ÖÙ Ñ p 2 º Ò Ð õ ÞÑ Ò ÒØÖÓÔ Ø Ó Ù Ù ÔÓ ÔÓ Þ Ò Ù Ó Ù ÔÓ ÑÒ Û Û Òº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ½ ÏÝ Þ ÞÔÓ Ö Ò Ñ Ö ÙÒ Ñ ÞÛ Þ ÙÞÝ Û Ò Þ Ö ÛÒÓ Ñ Þ ÒÝ ÖÙ¹ ÔÓ Ó ÒÝ ÔÓ θ 1 V ÙÒ Ψ(θ,V,n ÓÖ Þ Ñ Þ ÒÝ ÖÙ ÔÓ Ó ÒÝ ÔÓ θ η p/ ÙÒ Φ(θ,η,n ¹ ØÞÛº ÙÒ Å Ù¹ÈÐ Ò Ý ØÖ Ò ÓÖÑ ¹ Ø Ñ Ä Ò Ö ³ ÒØÖÓÔ ÔÖÓ Ø Ó ØÖ ØÓÛ Ò Ó ÙÒ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ U Ó ØÓ V Ð Þ Ý ÑÓÐ n ¹ Ó ÔÓÛ Ò Ó Ó ÞÑ ÒÒÝ θ ÙÒ Ψµ θ ÓÖ Þ η ÙÒ Φµ Ö ÛÒÓÛ Ò ÞÒ ÒÝÑ Ù ÞÛ Þ ÓÑº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ¾ ÈÓ Þ ÞÔÓ Ö Ò Ñ Ö ÙÒ Ñ ÛÞÖÓ Ø ÒØÖÓÔ ÞÙ Ó ÓÒ Ó Ó Ø ÝÑ ÑÓÐÓ¹ ÛÝÑ ÔÐ Û ÛÝÑ c v Û ÛÝÒ Ù ÔÖÓ Ù Ø ÖÝ ÔÓÛÓ ÓÛ ÛÞÖÓ Ø Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Ó 1 Ó 2 ÔÖÞÝ Ù Ø ÐÓÒÝÑ Ó Ò Ò Ù ÒÔº ÔÖÞ Þ ÛÝ ÓÒ Ò ÔÖ Ý Þ ÔÓÑÓ Ñ Þ ¹ ÂÓÙÐ ³ ÐÙ ÔÖÞ ÔÙ ÞÞ Ò ÔÖ Ù ÔÖÞ Þ ÖÞ ÙÑ ÞÞÓÒ Û Þ ÛÝÔ Ò ÝÑ ÙÑÓÛÝ ÐÓÒ ¹ Ò Ò Ø ÛØ Ý Ö ÛÒ ØÑÓ ÖÝÞÒ ÑÙµ Ø γ = c p /c v Ö ÞÝ Û ¹ ÞÝ Ò ÛØ Ý Ý Ø Ñ ÛÞÖÓ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Ø Ó ÞÙ Ò Ø Ô ÔÖÞÝ Ù Ø ÐÓÒ Ó Ó ØÓ Þ Ý Þ Ñ Ò ØÝ Û ÔÓ ÑÒ Ù Ó ÞØÝÛÒÝ Ò µº Â ÛÝ Ý Ø Ò ØÓ ÙÒ ÞÑ Ò ÒØÖÓÔ Ý Ý Ò Þ Ø Ó Ô Û Û Ó c v ÈÖÓ Ð Ñ Ìº Í Ø ÐÓÒÓ ÐÓÞÝÒ p v ÑÓÐÓÛ Ó ØÓ Ò Ò Ô ÛÒ Ó Ô ÝÒÙ Ø ÔÖÞÝ Ù Ø ÐÓ¹ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ Ø Ý Ø Ó ÑÓÐÓÛ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ u Þ Ð Ý ØÝÐ Ó Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝº Â ÔÓ Ø ÑÙ Ñ Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ Ø Ó Ô ÝÒÙ Ø º ÞÛ Þ p Þ v µ ÈÖÓ Ð Ñ Ìº Í Ø ÐÓÒÓ Ô ÖÝÑ ÒØ ÐÒ ÐÓÞÝÒ pv Ó ØÓ Ò Ò Ô ÛÒ Ó Ô ÝÒÙ Ø Ø Ý ÔÖÞÝ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ ÑÔ ÖÝÞÒ t ØÞÒº p V = f(t ÓÖ Þ Ó Ò Ö Û ¹ ÛÒØÖÞÒ U Ø ÙÒ ØÝÐ Ó Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝº ÈÓ Þ ÙÒ f(t Ñ Ò Ø ÑÔ ¹ Ö ØÙÖÝ ÞÛÞ Ð Ò º Ï Þ Û Ô ÓÖÑ Ô Ø Ó Ô ÝÒÙ Û ÞÑ ÒÒÝ t V Þ Ø ÒÓÛ Ò ÞÝÒÒ Ñ Ù ÝÑ Ò ØÔÒ ÔÓ Þ Û Ý ÐÙ ÖÒÓØ Þ ØÝÑ Ô ÝÒ Ñ Ó Ù Ø Ò ÖÓ ÓÞ ØÓ ÙÒ Ô Q 1 Q 2 ÔÓ Ö ÒÝ Ò ÞÓØ ÖÑ Ó ÔÓÛ Ý Ø ÑÔ Ö ØÙÖÓÑ t 1 t 2 Ø Ö ÛÒÝ Ó ÔÓÛ Ò ÑÙ ØÓ ÙÒ ÓÛ ØÝ ÞÝÒÒ Û Ù Ý º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº Ð ÒÓ Û Ô ÞÝÒÒ ÖÓÞ Þ ÖÞ ÐÒÓ ÔÐÒ α V Ô ÛÒ Ó Ø Ó Ó Ó ØÓ Ø Ó Ò Ò Ý ÖÓ Ø ØÝÞÒ Ó Ø Û Ô ÛÒÝÑ Þ Ö Ø Ó Ò Ò ÔÖÞÝ Ù Ø ÐÓÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ 0 Ò ÑÔ ÖÝÞÒÝÑ ÛÞÓÖ Ñ α V = a+bp+cp2 V, ½

Û Ø ÖÝÑ a b c Ô ÛÒÝÑ Ø ÝÑ Ó Ó ÔÓÛ Ò ÛÝÑ Ö ÞÝÞÒÝ µº Â ÞÑ Ò ÒØÖÓÔ Ø Ó Ð Ó Ò Ò Ý ÖÓ Ø ØÝÞÒ Ø Ö ÑÙ Ø ÓÒÓ ÔÓ Ò ÛÞÖÓ Ò Ó p 1 Ó p 2 ÔÖÞÝ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ = 0 ÓØÓÞ Ò Þ Ø ÖÝÑ Ó ÔÓÞÓ Ø Ò ÔÓÞ Ø Ù Ò Ó Ù Û Ö ÛÒÓÛ Þ ÈÖÓ Ð Ñ Ìº Ç Ð ÞÝ ÞÑ ÒÝ S ÒØÖÓÔ F Ò Ö ÛÓ Ó Ò À ÐÑ ÓÐØÞ G Ò Ö ÛÓ Ó Ò ÙØ Ñ ÞÓØ ÖÑ ÞÒ Ó ÔÖ Ò ¾ ÑÓÐ ÞÙ Ó ÓÒ Ó Ó Ò Ò p 1 = 1 ØÑ Ó p 2 = 100 ØÑ Û Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ 20 o º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº Ì ÑÔ Ö ØÙÖ ÑÔ ÖÝÞÒ t Þ Ò ÓÛ ÒÓ Ó Ó ØÓ Ò Ó ÑÓÐ ÞÙ ÔÖÞÝ Ô ÛÒÝÑ Ù Ø ÐÓÒÝÑ Ò Ò Ù p 0 t = f(p 0 vº ÏÝÞÒ ÞÓÒÓ ÔÓÒ ØÓ Þ Ð ÒÓ Ó Ø Þ Ò ÓÛ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÑÔ ÖÝÞÒ ÔÖÞÝ ØÝÑ ÑÝÑ Ò Ò Ù p 0 Ô Û Û Ó c p Ó Ò Ó¹ Ò Ó Ó Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÑÔ ÖÝÞÒ Ø º Þ Ò ÓÛ Ò Ó Ö ÛÒÓ δq = c p δtµ Ø Ó ÞÙ ÓÖ Þ Ó Û Ô ÞÝÒÒ ÂÓÙÐ ³ ¹Ì ÓÑ ÓÒ µ J º ÈÓ ÛÞ Ö ÔÓÞÛ Ð Ý ÛÝÖ Þ ØÓ ÙÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÞÛÞ Ð ÒÝ 0 Ó ÔÓÛ Ý Ø ÑÔ Ö ØÙÖÓÑ ÑÔ ÖÝÞÒÝÑ t t 0 ÝÐ ÛÝ Ð ÖÓÛ Ø ÖÑÓÑ ØÖ ÞÓÛÝ Û» ÞÛÞ Ð Ò Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖµº ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ÈÓ ÛÞ Ö Ò ÑÓÐÓÛ Ò Ö ÛÓ Ó Ò À ÐÑ ÓÐØÞ ÞÙ Ó ÓÒ Ó ÔÖÞÝ ÑÙ Ò Ø Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ p v = R ÓÖ Þ ÑÓÐÓÛ Ô Ó Û Û c v Ø Ó ÞÙ Ø ÞÒ Ò ÙÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝº ÈÓ Þ ÛÞÓÖÝ Ò ÓØÖÞÝÑ ÒÝ ÞÔÓ Ö Ò Ó Þ Ò f = u s ÖÙ ÓØÖÞÝÑ ÒÝ ÔÖÞ Þ ÓÛ Ò ÓÖÑÝ df = sd pdv Ó ÛÝ Ð Ò ÔÓÞ Ö Ö Ò Ö ÛÒÓÛ Ò º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº È ÛÒ Ù Ø Ò ÔÖÓ Ø Ñ Ò ØÔÙ Û ÛÓ µ ÖÓÞÔÖ Ó ÛÖ ÐÒ ÔÖÞÝ Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ 0 Ó Ó ØÓ V 0 Ó V ÛÝ ÓÒÙ ÔÖ Ö ÛÒ W = R 0 ln(v/v 0 µ ÒØÖÓÔ Ø Ò ÛÞÓÖ Ñ S = R V 0 V ( a, Þ a Ø Ô ÛÒÝÑ Ø ÝÑ ÛÝ Ò Ñº Ò Ð õ Ò Ö ÛÓ Ó Ò À ÐÑ ÓÐØÞ Ø Ù Ø Ò Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ ÓÖ Þ ÔÖ ÛÝ ÓÒÙ ÖÓÞÔÖ Ó ÛÖ ÐÒ Ó Ó ØÓ V 0 Ó V 1 Û ÓÛÓÐÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ º ÈÖÓ Ð Ñ Ìº ¼ ÏÝ Þ Û Ô ÞÝÒÒ ÔÖ ÒÓ ØÝÞÒ k S ÞÓØ ÖÑ ÞÒ k ÔÖÓ Ø Ó Ò ÛÞÓÖ Ñ k S = 1 V ( V p S 0, k = 1 V ( V p, ½

ÞÛ Þ Ò Ö Ð [ ( V k S = k ] 2 VC p p ½

ÈÖÓ Ð Ñ Ëº¼ Æ A D 1 (R Þ ÔÓÐ Ñ D 1 ÛÝÑ ÖÓÛ Ô ÖÔÓÛ ÖÞ Ò ξ 2 1 + +ξ 2 D = R2 ÞÝÐ ÔÓ ÔÖÓ ØÙ ÔÓÐ Ñ ÖÝ Ó ÔÖÓÑ Ò Ù R Þ ÒÙÖÞÓÒ Û D ÛÝÑ Ö º ÏÝÖ Þ ØÓ ÔÓÐ Û ÔÓ Ø ÔÓ ξ D Û Ó ÔÓÛ Ò Ö Ò Þ Ó ÔÓÛ Ò Ñ ÞÝÒÒ Ñ Û ÓÛÝÑµ Þ A D 2 (r(ξ D ØÞÒº ÛÝÖ Þ ÔÓÐ ÖÝ Þ ÒÙÖÞÓÒ Û D ÛÝÑ Ö ÔÖÞ Þ Þ ÔÓÐ ÖÝ Ó ÞÑ ÒÒÝÑ ÔÖÓÑ Ò Ù Þ ÒÙÖÞÓÒ Û D 1 ÛÝÑ Ö º ÈÖÓ Ð Ñ Ëº½ Ç Ð ÞÝ Ð Þ Σ(E Ñ ÖÓ Ø Ò Û Ó ÓÛ Ý ÓÛ ØÝÑ Ò Ö ÓÑ ÑÒ ÞÝÑ Ò E ÞÓÐÓÛ Ò Ó Ù Ù 3N Ò Þ Ð ÒÝ Ö ÒÝ ØÞÒº Ó Ö ÒÝ Ñ Þ ØÓ µ Ð ÝÞÒÝ Ó ÝÐ ØÓÖ Û ÖÑÓÒ ÞÒÝ º ÏÝÖ Þ Ò Ö ÒØÖÓÔ Ø Ó Ù Ù ÔÖÞ Þ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÛÝÞÒ ÞÝ ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ Cº ÈÓ Ø ÔÓ Ø Ò Ö ÛÓ Ó Ò F(,N Ø Ó Ù Ùº ÈÖÓ Ð Ñ Ëº¾ Â Ö ØÓÑÓÛ Ô ÛÒ Ó ÖÝ ÞØ Ù Ñ Ô Ò j = 1º Ã Þ Ò ÑÓ ÞÒ ÓÛ Û ÒÝÑ Þ ØÖÞ Ø Ò Û Ö Ø ÖÝÞÓÛ ÒÝ Û ÖØÓ m j = 1,0,+1 Ñ Ò ØÝÞÒ Ð Þ Ý Û ÒØÓÛ Ø º ÖÞÙØ Ñ Ô ÒÙ Ò ÛÝ Ö Ò Ó µº Ò Ö Ö Ø Ö ÛÒ ε > 0 Ý m j = ±1 0 Û Ø Ò Ó m j = 0º Ò Ð õ Ð Þ Ñ ÖÓ Ø Ò Û Ó ÔÓÛ Ý Ù Ø ÐÓÒ ÓÛ Ø Ò Ö U Ù Ù N Ø Ö ÓØÖÞÝÑ Ø ÒØÖÓÔ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ Ó ÙÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Nµº Â Ø Þ Ö ÞÑ ÒÒÓ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÞÝ Ø ÓÒ Þ Û Þ Ó ØÒ µ Ò Ð õ Ø ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ Ù Ùº Ç Ö Ð Ö Ø Ö Þ Ð ÒÓ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Û ÞÝ Ø Û Ð Ó Û Ö Ò Û Ø ÖÝ Ý ÓÒ Ó ÛÓ Ò Ò Þ Ò ÛÝ Þ Û Ò Ô ÓØÝ Ù Ùµ Û ÖØÓ ÓÖ Þ ÔÖÞÝ º ÈÖÓ Ð Ñ Ëº Í Ø ØÝ ØÝÞÒÝ Ø ÒÓÛ N ÒØÝÞÒÝ Ø º Ó Ø ÑÝ Þ ØÓ Ð Ó Ö ¹ Ò ÐÒÝ µ Û ÒØÓÛÝ Ó ÝÐ ØÓÖ Û ÖÑÓÒ ÞÒÝ Ó Þ ØÓ ωº Ò Ð õ ÒØÖÓÔ Ø Ó Ù Ù Ó ÙÒ ÓÛ Ø Ò Ö U Ð Þ Ý N Ó ÝÐ ØÓÖ Ûº ÏÝÞÒ ÞÝ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ó ÙÒ Ò Ö U Ò ØÔÒ ÒØÖÓÔ Ò Ö Ó ÙÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝº Ç Ð ¹ ÞÝ ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ Ù Ù Þ Þ ÓÛ Ò Û Ö Ò Ý Ò ÛÝ Ó Û ÔÓÖ Û Ò Ò Ù Þ ω/k B µ Ø ÑÔ Ö ØÙÖº ÈÓ Ø Ò Ö ÛÓ Ó Ò F(,N Ø Ó Ù Ùº Ï Þ Û Â Ð Ò Ö Ó Ù Ù Þ Ô Ó U = N ω + M ω ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ 2 Ó Ð Þ Ò Ð Þ Ý Ñ ÖÓ Ø Ò Û Ó ÔÓÛ Ý M ÞÝ Ò Ö Íµ N ÔÖÓÛ Þ Ó Ó Ð Þ Ò Ð Þ Ý ÔÓ Ó Û Ò ÑÓ Ò M Û ÒØ Û ÔÖÞÝ Þ Ð Ó N ÔÙ Ó ÝÐ ØÓÖ³ÓÛµº ÌÓ Þ Ø ØÝÑ ÑÝÑ Ó Ð Þ Ö ÒÝ ÔÓ Ó Û Ò Û ÖÞ Ù ÑÓ Ò Ù Ó Ý M ÒØÝÞÒÝ Û Þ Ñ Ò ÛÙ Ñ Ñ Ò Ø ÒÓÛÝÑ ÔÓ Ó Ñµ ÖÓÔ N 1 ÒØÝÞÒÝ Ö Ö ÔÖ Þ ÒØÙ Ý N 1 Ò Ó Þ Ð Ý Ò ÔÙ º ÈÖÓ Ð Ñ Ëº Í ØÛÓÖÞÓÒÝ ÔÖÞ Þ N ÒØÝÞÒÝ Ð Ó Ö Ò ÐÒÝ µ Þ Ø Þ Ø ÖÝ ÑÓ Ñ Ò Ö E Ö ÛÒ Ð Ó ε Ð Ó +ε Ñ Ù Ø ÐÓÒ ÓÛ Ø Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ U = (N + N ε Mεº Ç Ð ÞÝ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ó Þ Ò ÔÖÞ Þ Ò ÛÝ¹ ½

Ö Ò Þ Ø Ø Ò Û Ó Ò Ö ε +ε ÛÝÖ Þ ÔÖÞ Þ Û Ð Ó U/Nε M/N m Ñ Ò ØÙÖ ÐÒ ÒØ ÔÖ Ø Ö Ò Ó ÛÞ Ù Þ Ò ÔÓ Ý Þ Þ Ø º Ç Ð ÞÝ Ø Ö Ò Ò Ö E ÛÝ Ö Ò Þ Ø ÓÖÞÝ Ø Þ ÞÒ Ð Þ ÓÒÝ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÔÓØÛ Ö Þ ØÝÑ ÑÝÑ ÒØ ÖÔÖ Ø Û Ð Ó mµ ÓÖ Þ Ö Ò Û Ö ØÓÛ Ù ØÙ (E E 2 º ÈÓ Þ Ø Ø Ñ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÑÓ Ò ÓØÖÞÝÑ ØÖ ØÙ ÛÝ¹ Ö Ò Þ Ø Ó Ö ÒÝ Ù ÔÓÞÓ Ø Ý Û Ö ÛÒÓÛ Þ Þ Ø ÖÑÓ Ø Ø Ñ ØÛÓÖÞÓÒÝÑ ÔÖÞ Þ ÔÓÞÓ Ø Þ Ø ØÓ Ù Þ Ô ÒÓÒ ÞÒÝ º ÈÖÓ Ð Ñ Ëº Í Ý Þ N ÒØÝÞÒÝ Ð Ó Ö Ò ÐÒÝ µ Û ÒØÓÛÝ Ó ÝÐ ØÓÖ Û Ö¹ ÑÓÒ ÞÒÝ Ó Þ ØÓ ω Ñ Ù Ø ÐÓÒ Ò Ö U = 1 N ω+m ωº Ç Ð ÞÝ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó¹ 2 ØÛÓ P(n Ø Ó ÛÝ Ö ÒÝ Ò Þ Ò ÒÔº Ô ÖÛ ÞÝµ ÞÒ Ù Û ÛÓ Ñ n¹øýñ Ø Ò Ó Ò Ö ( 1 +n ωº Ø ÛÝÒ Û Ö Ò Ý Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÞÒ M 2 N ÔÖÞÝ Ù Ø ÐÓÒ Û ÖØÓ ØÓ ÙÒ Ù M/N = m Û Ð Ó m Ñ Ò ØÙÖ ÐÒ ÒØ Ö¹ ÔÖ Ø Ö Ò Ó ÛÞ Ù Þ Ò ÔÓ Ý Þ Ó Ó ÝÐ ØÓÖ µº ÈÓ Þ Û Ð Ó P(n Ó n N ÙÒÓÖÑÓÛ ÒÝÑ ÖÓÞ Ñ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÞÒ Ð Þ Ò Ó ÝÐ ØÓÖ Û n¹øýñ Ø Ò º ÈÓ Ù Ù ØÝÑ ÖÓÞ Ñ Ó Ð ÞÝ Ö Ò ÛÞ Ù Þ Ò Ó ÝÐ ØÓÖ n ÔÓÛ ÒÒÓ ÛÝ mµ ÓÖ Þ Ö Ò Û Ö ØÓÛ Ù ØÙ Ó Þ Ò Ø º (n n 2 º Ï Þ Û ÇØÖÞÝÑ Ò Ô ÖÛ ÛÝÒ Ð Ð Ù Ô ÖÛ ÞÝ n ÒÔº n = 0,1,2,3µ ÞÓ ÞÝ Ñ Ó Ø ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Û Ö Ò Ý Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÞÒ Ó Ò Ó ÓÛÝ ÛÞ Öº ÈÖÓ Ð Ñ Ëº Ç Ð ÞÝ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ Ø Ó ÛÝ Ö Ò Þ Ø ÔÓ Ö N Û ÞÝ Ø ÒØÝÞ¹ ÒÝ Þ Ø Ó Ñ m Ð ÝÞÒ Ó ÞÙ Ó ÓÒ Ó Ó ÓÛ Ø Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ E Þ ÖÓÞÑÝ Ñ Eµ Ñ x¹óû ÓÛ ÔÖ Ó Þ Û ÖØ ÔÓÑ ÞÝ α β α < β α, β 2E/mµº ÈÓ Þ Û Ö Ò Ý Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÞÒ ÖÓÞ Û ÖØÓ Ø ¹ ÓÛ Ø ÒÝ ÖÓÞ Ñ Å ÜÛ ÐÐ º Ï Þ Û ÏÝ ÓÖÞÝ Ø ÈÖÓ Ð Ñ Ëº¼ ÞÛÖ Ò ÙÛ Ò Ô ÛÒ Ö Ò º ÈÖÓ Ð Ñ Ëº Û ÔÓ ÑÒ Þ Û Ö Ó ÔÓÛ Ò Ó n 1 n 2 ÑÓÐ Þ Û Ó ÓÒ Ý ÔÓÞÓ Ø Û ÓÒØ ÔÖÞ Þ Ò Ø ÖÑ ÞÒ º ÞÒ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ Ó Ù Þ Û Ø Ö ÛÒ E tot Þ Ò Ô ÛÒÓ Eµº Ç Þ ÓÛ ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÛÝ Ø Ô Ò Ó ÝÐ ¹ Ò δe Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ Ô ÖÛ Þ Ó ÞÙ Ó Û ÖØÓ Ö Ò ÙØÓ Ñ ÓÒ Þ Û ÖØÓ Ò Ö Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó Ò µº Ï Þ Û ÏÝ ÓÖÞÝ Ø ÛÒ Þ Ð ÒÓ Ó Ò Ö ØÓ Ø Ò Û ÞÙ Ó ÓÒ Óº ÌÙ ÛÝ Ó Ò Ø ÔÖÞÝ Þ ÖÓ Ø Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒ ØÒ Ñ Ø Ñ ØÝ Û Ó ØÓ ÞÝ Ø ÞÝ Ò ÓÖ Ø ÐÙ ÓÒ ÓÖÑÙ ÓÛ ØÛ Ö Þ Ò Ø ÞÛ õð ØÝÐ Ó ØÓ Ø ÑÓ Ð Û Þ Ò ÙÔÝ Ò ØÖ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Û ÓÑÔÐ ÓÛÒ Ò Ó Ò ÓÞÝÛ Ø Ò ºººµ Ó Ò ÖÙÔÝ ØÛ Ö Þ ÛÝ Ó Ò Ý Ñ Ý Ó Ý Þ ÖÓ Ý Ó Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒ Ó ÖÙ ÖÙÔÝ Ý Ò Ý Óººº ½

ÈÖÓ Ð Ñ Ëº ÏÝÔÖÓÛ Þ ØÛ Ö Þ Ò Ó Û Ô ÖØÝ Ò Ö Û Ð ÝÞÒ ÞÝ Ø ØÝ ØÝÞÒ ÔÖÞÝ Ù Ý Ù Þ ÔÓ Ù ÒÓÒ ÞÒ Ó ÔÓ ÛÞ Ö Ò ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ Ù Ù Ø Ö Ó À Ñ ÐØÓÒ Ò Ñ Ó ÐÒ ÔÓ Ø H (q,p = kin (p 1,,p N +V (q 1,,q f N A i p 2 i + V (q1,,q f, i=1 Þ V Ø ÙÒ ÒÓÖÓ Ò ÖÞ Ù κ ÞÑ ÒÒÝ q 1,,q f f N Ø º Ø V (λq 1,,λq f = λ κ V (q 1,,q f, A i Ø ÝÑ Ò Þ Ð ÒÝÑ Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ ÙÓ ÐÒ ÓÒÝ q i º Ï Þ Û Í Ö Ò ÔÓ Þ ÔÓÐ ÒÓÒ ÞÒÝÑ Û Ð Ó q i ( H / q j ÓÖ Þ p i ( H / p j º ÈÖÓ Ð Ñ Ëº ÖÓÞ ÔÖ Ó Þ Ø Þ ÞÙ Û Ô Ý Ù Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ Ø Ñ ¹ ÜÛ ÐÐÓÛ Ø º Þ Ó ÒÓ Ó ÒÓÖÑ Ð Þ ÓØÖÞÝÑ µ ÒÝ ÛÞÓÖ Ñ ( ρ v (v exp m 2k B v2, ÞÒ Ð õ ÞØ Ø ÓÔÔÐ ÖÓÛ Ó ÔÓ Þ ÖÞÓÒ Û ÙØ ÖÙ Ù Þ Ø Þ µ Ð Ò Û ÑÓÛ Ó ¹ ÔÓÛ ÔÖÞ ÓÑ Þ Ø Þ Þ Ò Ó Ó Ö ÐÓÒ Ó Ø ÒÙ ÛÞ Ù ÞÓÒ Ó Ó ÒÒ Ó ÒÔº ÔÓ Ø ÛÓÛ Óµ Ø º Þ Ð ÒÓ Ó Ù Ó Ð λ Ò Ø Ò ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò ÛÝ Ý ¹ Ò Ó ÔÖÞ Þ Þ Ø Þ Û Ô Ý Ù Û Ø ÖÝ Þ Ó Þ Ø ÔÖÞ µ Ö ØÖÓÛ Ò Ó ÔÖÞ Þ Ô ØÖÓÑ ØÖ ÔÖÞÝ Ø Û ÓÒÝ Ó Ñ Ó ÓØÛÓÖ Û Ò Ô Ý º Ï Þ Û ÏÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒÝµ ÛÞ Ö λ = λ 0 [1 + (v x /c] Ò Ö ØÖÓ¹ Û Ò Ù Ó λ Ð Ó ÓÛ ÞÙ Ý Û ÝØÙ Û Ø Ö õö Ó Ñ ÛÞ Ð Ñ Ø ØÓÖ ÛÞ Ù Ð Ò Þ õö Ó Þ Ø ØÓÖ Ñµ ÔÖ Ó v x º ÈÖÓ Ð Ñ Ëº½¼ ÃÓÖÞÝ Ø Þ ÖÓÞ Ù Å ÜÛ ÐÐ ÔÖ Ó Þ Ø Þ ÞÙ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ Ò Ô ÙÒÓÖÑÓÛ ÒÝ ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ò Ö Ò ØÝÞÒ kin Þ Ø Þ Ó ÞÑ Ò¹ Ò ÐÓ ÓÛ º ÃÓÖÞÝ Ø Þ Ò Ó Ó Ð ÞÝ Ö Ò kin ÓÖ Þ Ò Ö Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó Ò kin Û ÖØÓ Ò Ö Ò ØÝÞÒ Þ Ø Þ Ø Ö Ò Û Ö ØÓÛ Ù ØÙ Ò Ö º ÈÖÓ Ð Ñ Ëº½½ ÃÓÖÞÝ Ø Þ ÖÓÞ Ù Å ÜÛ ÐÐ ÔÖ Ó Þ Ø Þ Û Þ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ ÔÓ¹ ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÞÑ ÒÒ ÐÓ ÓÛ Ø Û ÖØÓ w w ÛÞ Ð Ò ÔÖ Ó ÛÙ ÛÝ Ö ÒÝ Þ Ø Þ ÞÙ ØÖ ØÓÛ Ò Ó Ð ÝÞÒ µº Ç Ð ÞÝ Û ÖØÓ Ö Ò w Ò Ö Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó Ò w Ø ÞÑ ÒÒ ÓÖ Þ Ö Ò Ù ØÙ Û ¹ Ö ØÓÛ º Æ ÛÝ Þ Ý Ó ÓÒÓ ÛÝ Þ Ò ØÓ Ù Þ Ô Ñ ÖÓ ÒÓÒ ÞÒÝº ½

ÈÖÓ Ð Ñ Ëº½¾ Ã¾ºÁº µ Þ Ó ÓÒ Ý Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ ÞÒ Ù Û Þ Ñ Ò ØÝÑ Ù ÝÑ ÔÓ ÑÒ Ùº Ï Ò Þ Ò ÔÓ ÑÒ Ø Ñ ÐÙØ ÓØÛÓÖ Ó ÔÓÐÙ ÔÓÛ ÖÞ Ò A ÔÖÞ Þ Ø ÖÝ Þ Ø Þ ÞÙ Ù Ó ÓØ Þ ÔÓ ÑÒ ÔÖ Ò º Â Ø ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ ÞÒ Ð Þ ¹ Ò Û Ö ÛÝÐ ØÙ Ý ÔÖÞ Þ ÓØÛÓÖ ÒÔº Û Ñ Ù Ø ÐÓÒÝÑ Ó Ò Ù Þ Ù t Ò ØÝÐ Ö Ø Ñ Ý ÓÛ Ø Ð Þ Þ Ø Þ ÞÙ Û ÔÓ ÑÒ Ù Ò ÙÐ ÞÒ Þ ÞÑ ¹ Ò µ Þ Ø Þ Ó ÔÖ Ó ÔÓÑ ÞÝ v Ó v +dv Â Ø Ø ÑÔÓ dn/dt Ù ÝÛ Ò Þ Ø Þ Þ ÔÓ ÑÒ Ù ÈÖÓ Ð Ñ Ëº½ Ò Ð õ ÓÔÓÖÙ Þ Ò Ö Ó ÔÓÐÙ ÔÓÛ ÖÞ Ò A ÔÓÖÙ Þ Ý Þ ÔÖ Ó u Û ÔÓ ÑÒ Ù Þ Û Ö ÝÑ Þ Ó ÓÒ Ý Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ º ÈÖÞÝ Þ ÖÞ Ò Þ Ø Þ ÞÙ Þ Ö Ñ ÓÛ ÔÖ Ý Ø Û Ù Þ Ó Ò Ò ÞÛ Þ ÒÝÑ Þ Ö Ñº ÈÓ Ø ÔÓ Ø Ø Ý Û ÔÖÞÝ Ð Ò Ù Ð Ò ÓÛÝÑ Û ÔÖ Ó uº ÈÖÓ Ð Ñ Ëº½ Ã¾ºÁº ¾ µ ÊÓÞÔ ØÖÙ Þ ÖÞ Ò Þ Ø Þ ÞÙ Ó ÓÒ Ó Þ Û ÖØ Ó Û Ø ÖÑ ÞÒ Ó ÓÒ ¹ ØÝÑ ÝÐ Ò ÖÝÞÒÝÑ ÔÓ ÑÒ Ù Þ Ñ Ò ØÝÑ ÑÓ ÝÑ ÔÖÞ ÙÛ Ø ÓÞ Ñ ÛÝÔÖÓÛ ¹ Þ Ö ÛÒ Ò pv κ = ÓÒ Øº ÔÖÞ Ñ ÒÝ ØÝÞÒ º ÈÖÞÝ Ý Ø ÓÞ ÔÖÞ ÙÛ Þ Ò Û Ð Û Ö Ò Ý Ó Þ Ö Ý ÔÖÓ ÞÑ ÒÝ Ó ØÓ Ñ Ý ¹ ØÝÞÒÝ ÞÝÐ Ø ÖÑ ÞÒÝ Ó ÛÖ ÐÒÝµ ÔÖ Ó u Þ ÖÞ Ò Þ Ø Þ Þ Ò Ñ ÓÛ ÔÖ Ý Ø Û Ù Þ ÞÛ Þ ÒÝÑ Þ Ø ÓÞ Ñº Ï Þ Û Ç Ð ÞÝ ÞÑ Ò Ò Ö ÔÓ Ý Þ Þ Ø Þ ÔÖÞÝ Ó Ù Ó Ø ÓÞ ÓÖ ÐÓÛ Û Ø Ò ÔÓ ÞÑ Ò Ò Ö ÞÙ Þ ÞÑ Ò Ó Ó ØÓ º Ò Ëº½ Ã¾ºÁÁº ½µ ÈÓ Ù Ù Ð ÝÞÒÝÑ Þ ÔÓ Ñ ÒÓÒ ÞÒÝÑ ÛÝÖ Þ ÖÙ ØÖÞ ÑÓÑ ÒØ (E E 2, i (E E 3, ÖÓÞ Ù Ò Ö Ù Ù Ø ØÝ ØÝÞÒ Ó ÔÖÞ Þ Ó ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ º Ç Ð ÞÝ ÛÞ Ð Ò ÑÓÑ ÒØÝ (E E 2 / E 2 (E E 3 / E 3 Û ÔÖÞÝÔ Ù ÒÓ ØÓÑÓÛ Óµ ÞÙ Ó ÓÒ ¹ Óº ÈÖÓ Ð Ñ Ëº½ ÏÝÞÒ ÞÝ Ó ÙÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ ÒØÖÓÔ Ò Ö ÛÓ Ó Ò À ÐÑ ÓÐØÞ Ð ÝÞÒ Ó ÞÙ Ò Ó Þ Ù Ý ÛÞ ÑÒ Þ Ó Þ Ø Ó Þ ÖÓÛ Ñ ¹ ÞÝÐ ØÖÞ ÔÓØÖ ØÓÛ Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒ µ Þ Ñ Ò Ø Ó Û ÔÙ Ð Ó Ó ØÓ V º Ç Ð ÞÝ Ø Ô Û Û c v ÓÖ Þ c p ÔÓ Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ Ø Ó ÞÙº ÏÝ Ö Û ØÝÑ ÐÙ Û Û ÔÓ Ø º Þ Ø ÒÓÛ ÞÝ Þ ÔÖ ØÝÞÒ Ó ÔÙÒ ØÙ Û Þ Ò Û ÛÝ Ø ØÙ Þ Ô Ñ ÖÓ ÒÓÒ ÞÒÝ ÞÝ ÒÓÒ ÞÒÝ Ï Þ Û Ä Ö Ò Ò ÛÓ Ó Ò Þ Ø Ó Ñ m Ñ Û ËÞÞ ÐÒ Ì ÓÖ ÏÞ Ð ¹ ÒÓ ÔÓ Ø L = mc 2 1+v 2 /c 2 º ÇØÖÞÝÑ Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò ÔÖÞ Ó Ö Ò Ý m = 0º ÈÓÒ Û À Ñ ÐØÓÒ Ò Ø ØÙ Ò Ö Þ Ø ÑÓ Ò Ó Ø ÓØÖÞÝÑ Ó Ö Ô Þ Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒÝ ÛÞ Ö Ò Ò Ö ÛÝÖ ÓÒ ÔÖÞ Þ Ô µº ¾¼

ÈÖÓ Ð Ñ Ëº½ ÊÓÞÖÞ ÞÓÒÝ Þ ÔÓÑ ÐÒ Ó Ó Þ Ù Ý Þ Ó ÛÞ ÑÒ ÛÙ ØÓÑÓÛ Þ ¹ Ø Þ Ó Ñ ÞÖ Ù ÓÛ Ò M ÑÓÑ Ò ÞÛ ÒÓ ÛÞ Ð Ñ Ó Þ ØÓÑÝ Ö ÛÒÝÑ Iµ Þ Ñ Ò ØÝ Û Ó ØÓ V Ñ Û ÙØ Ó Þ ÝÛ Ò Ø ÖÑ ÞÒ Ó Þ ÓØÓÞ ¹ Ò Ñ Ø Ö Ø ÒÓÛ Ø ÖÑÓ Ø Øµ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º Þ Ø Þ Ø Ó ÞÙ ÔÓ Ð ØÖÝÞÒÝ ÑÓÑ ÒØ ÔÓÐÓÛÝ d ÖÓÛ ÒÝ ÛÞ Ù Ó Þ Û ØÓÑÝº ÌÖ ØÙ Þ Ù Ð ÝÞÒÝ ÞÒ Ð õ ÞÛ Þ Û ØÓÖ Ò Ù Ð ØÖÝÞÒ D Û ÛÒ ØÖÞ ÞÙ Þ Û ¹ ØÓÖ Ñ E ÔÖÞÝ Ó ÓÒ Ó Þ ÛÒØÖÞÒ Ó ÔÓÐ Ð ØÖÝÞÒ Ó Ø º ÔÓ ÛÞ Ö Ò Ø Ð ¹ ØÖÝÞÒ ε ÞÙº ÈÖÓ Ð Ñ Ëº½ Þ Ø Þ Ô ÛÒ Ó ÞÙ ÛÙ ØÓÑÓÛ Ó ÑÓ Ò ÑÓ ÐÓÛ Ó Ù ÛÙ Ö ÒÝ Ñ m 1 m 2 ÔÓ ÞÓÒÝ ÔÖ ÝÒ Ó Þ ÖÓÛ Ù Ó ÛÓ Ó Ò Ø ÔÖ Ý ØÓ kº Ö Ò Ø Ó Ù Ù ÑÓ Þ Ó Þ Û Û ÞÝ Ø ØÖÞ ÖÙÒ º Þ N Ò Ó ¹ Þ Ù Ý ÛÞ ÑÒ Ø Þ Ø Þ ÛÝÔ Ò Ò ÞÝÒ Ó Ó ØÓ V ÔÓÞÓ Ø Û Ö ÛÒÓÛ Þ Þ Ø ÖÑÓ Ø Ø Ñ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ º ÌÖ ØÙ Ø Þ Ù Ð ÝÞÒÝ ÞÒ Ð Ó Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ U ÒØÖÓÔ S Ó ÙÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Ó ØÓ Ð Þ Ý Þ Ø Þ Nµ Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ ÓÖ Þ ÛÝÞÒ ÞÝ Ó ÑÓÐÓÛ Ô Û Û c v c p ÔÓØ Ò Ñ ÞÒÝ µ Ó ÙÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Ò Ò pµº ÈÖÞÝ ØÓÑÝ ÔÓ ÝÒÞ Þ Ø Þ ÑÓ ÞÒ Ð õ Û ÓÛÓÐÒ Ù Ó Ð Ó Ó ØÞÒº ÔÖÞÝ ÙÛÞ Ð Ò Ò Ù ÖÙ Ù ÛÞ Ð Ò Ó ØÓÑ Û Þ Ø Þ Þ ÒÓÖÓÛ Ø ÞÒ Ù ÓÒ Û Ó ÞÓÒ Ó ØÓ V µº ÈÖÓ Ð Ñ Ëº½ Ò Ð õ Ø Ñ Ó Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ ÈÖÓ Ð Ñ Û Ð Ó Ö Ø ÖÝÞÙ Þ Ò Ó Þ Ù¹ Ý ÛÞ ÑÒ N Þ Ø Þ ÞÙ ÛÙ ØÓÑÓÛ Ó ØÖ ØÙ ÖÙ ÔÓ ØÔÓÛÝ ÖÓ Ñ Ý Þ Ø Þ ÛÙ ØÓÑÓÛ ÕÙ µ Ð ÝÞÒ Ö Ò Û ÛÒØÖÞÒ Û ÒØÓÛÓ ØÞÒº ÔÖÞÝ ÑÙ Ø Ò Û ÛÒØÖÞÒÝ Þ Ø Þ Ò Ö Þ Ò Ñ ÞÛ Þ Ò Ö Ø ÖÝ¹ ÞÙ Ð Þ Ý Û ÒØÓÛ ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Ó ÞÓØÖÓÔÓÛ Ó Ó ÝÐ ØÓÖ ÖÑÓÒ ÞÒ Ó ÒÓÖÙ¹ ÑÓ Ð ÛÓ ÛÞ Ù Þ ÖÓØ Ý ÒÝ µº ÈÖÓ Ð Ñ Ëº¾¼ Í N ÑÓÑ ÒØ Û Ñ Ò ØÝÞÒÝ µ Ø ÖÝ ÛÞ ÑÒ Ó Þ ÝÛ Ò ÔÓÑ ÐÒ ÔÓÞÓ Ø Û ÓÒØ Ø ÖÑ ÞÒÝÑ Þ ÓØÓÞ Ò Ñ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ ÞÓ Ø ÔÓ ¹ ÒÝ Þ Ò Ù Þ ÛÒØÖÞÒ Ó Ø Ó ÔÓÐ Ñ Ò ØÝÞÒ Ó H ÔÓ Ù Ù ÑÝ ØÙ Ù Ñ Ù µº Ã Ý Þ ÑÓÑ ÒØ Û Ñ Ò ØÝÞÒÝ Ñ ÛØ Ý Û Ø ÒÝ Û ÒØÓÛ Ö ÛÒÓÐ Ý Ó ÔÓÐ ÒØÝÖ ÛÒÓÐ Ý Û Ø ÖÝ Ó Ò Ö Ó Þ ÝÛ Ò Þ ÔÓÐ Ñ Ñ Ò ØÝÞÒÝÑ Ø Ö ÛÒ Ó ÔÓÛ Ò Ó µh +µh µ µ H H µº Ç Ð ÞÝ ÒØÖÓÔ S Ø Ó Ù Ù Ñ Ò ØÝÞÒ Ó Ó ÙÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÔÓÐ Ñ Ò ØÝÞÒ Ó Ó Ö Ò µ Ò Ñ Ò ÓÛ Ò M Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ U ÓÖ Þ ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ C H ÔÖÞÝ Ø ÝÑ ÔÓÐÙ Ñ Ò ØÝÞÒÝÑµ C M ÔÖÞÝ Ø ÝÑ Ò Ñ Ò ÓÛ Ò Ùµº Þ ÓÛ Ò ØÝ Û Ð Ó Û Ö Ò µh/k B 0 Þ ÒØ ÖÔÖ ØÓÛ º ¾½

ÈÖÓ Ð Ñ Ëº¾½ Ç Ð ÞÝ Ö Ò Û Ö ØÓÛ Ù ØÙ ÓÛ Ø Ó Ò Ñ Ò ÓÛ Ò M Ù Ù N Ò ¹ Þ Ð ÒÝ ÑÓÑ ÒØ Û Ñ Ò ØÝÞÒÝ ÙÑ ÞÞÓÒÝ Û Þ ÛÒØÖÞÒÝÑ ÔÓÐÙ Ñ Ò ØÝÞÒÝÑ Ù Þ ÔÓÔÖÞ Ò Ó ÈÖÓ Ð ÑÙµº ÈÖÓ Ð Ñ Ëº¾¾ Ï Ò ÔÖÓ Ø ÞÝÑ ÔÖÞÝ Ð Ò Ù Ó Ø ÑÓ Ò ÑÓ ÐÓÛ ÔÖÞ Þ N Þ Ô ÒÓÛÝ ØÓ¹ Ñ Û Þ Ø ÖÝ Ý Ø Ó ÝÐ ØÓÖ Ñ ÖÑÓÒ ÞÒÝÑ Ó Þ ØÓ ω ÞÒ Ù ÝÑ Û ØÙ Ò ÔÓØ Ò Ù Ó Ó Ó ε ØÞÒº Ò Ö ÛÞ Ù Þ Ó Þ Ó ÝÐ ØÓÖ Û Ö ÛÒ ε+ ω(n+ 1 µº È Ö Ø Ñ Ù Ø Ò ÑÓ Ò Þ ÓÐ ÔÓØÖ ØÓÛ Ð ÝÞÒÝ Þ 2 Ó ÓÒ Ýº Ç Ð ÞÝ Û Ö Ñ Ø Ó ÑÓ ÐÙ Ò Ò Ô ÖÝ ÞÒ Ù Û Ö ÛÒÓ¹ Û Þ Þ ÛÓ Þ Ø Ó ÙÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÞÝÐ ÔÓ ÔÖÓ ØÙ Ö ÛÒ Ò ÖÞÝÛ Û Ô ØÒ Ò ÞÝ ÞÓÛ Ø µ ÓÖ Þ Ô Ó Ù Ð Ñ Ø º ÑÓÐÓÛ µ Ô Ó ÔÖÞ Ñ ÒÝ ÞÓÛ Ó Ø ¹ Ô Ö Ø Û ÙÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝµº ÈÖÓ Ð Ñ Ëº¾ Ï Ó ÓÒ ÝÑ ÖÝ ÞØ Ð N ØÓÑ Û Þ ÑÙ N ÔÓ Ó Û ÛÞ º ØÓÑ ÑÓ Ò Þ Ø ÔÓ Ó Ò Ò ÛõÐ Ð Þ ÔÓÑ ÞÝ ÛÞ Ñ Ò Þ ÞÙ Ó Ó ÞØÙ Ó Ó Ø ÓÛ Ò Ö wº Ë ØÓ ØÞÛº ØÝ Ö Ò Ð ÖÝ Ø Ð ÞÒ µº ÈÖÞÝ ÑÙ Ó ØÔÒÝ Ø N Ø Ñ ÞÝÛÞ ÓÛÝ ÔÓ Ó Û Þ Ò ÑÓ Û ÓÞÝ ØÝÐ Ó Ò ØÓÑµ Ý ÖÝ ÞØ ÔÓÞÓ Ø Û Ö ÛÒÓÛ Þ Ø ÖÑ ÞÒ Þ ÓØÓÞ Ò Ñ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ ÞÒ Ð õ Ò Ö Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó Ò Ð Þ n ØÓÑ Û Ó Þ Ý ÔÓ Ó Ò Ñ ÞÝÛÞ ÓÛ º ÈÖÓ Ð Ñ Ëº¾ Ï ØÖ ÛÝÑ ÖÓÛ Ó ÖÓÞÑ Ö L L L ØÛÓÖÞÓÒ ÔÖÞ Þ N ÑÓÑ ÒØ Û Ñ Ò ØÝÞ¹ ÒÝ Ô Ò Ûµ ÑÓ ÔÖÓÔ ÓÛ Ð Ô ÒÓÛ ØÞÛº Ñ ÒÓÒÝµ Ó Û ØÓÖ ÐÓÛÝ k = (2π/Ln Þ n = (n x,n y,n z Û ØÓÖ Ñ Ó ÓÛÝ Ý Ð Þ Ñ Ó¹ Û ØÝÑ º Ì Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö ÞÛÝ ÖÝ Ø Ð ÞÒ ØÒ 3N Ò Þ Ð ÒÝ ÑÓ Û Ö Ø Ô ÒÓÛ Ø ÖÝ Þ ØÓ ω(k Û Þ Û ØÓÖ Ñ ÐÓÛÝÑ k ÛÞÓÖ Ñ ω(k = ak 2, Û Ø ÖÝÑ a Ø Ø º ÈÖÞÝ ÑÙ ÑÙ ÑÓ ÓÛ Ö Ó Þ ØÓ ω(k Ó ÔÓÛ Ò Þ Ð ÒÝ Û ÒØÓÛÝ Ó ÝÐ ØÓÖ ÖÑÓÒ ÞÒÝ Ó Ø Ñ Þ ØÓ ω(k Þ Ø Þ ÑÓ ÐÙ Ý ³ ÑÓ ÔÓÛ Ø Û ØÝÐ Ó Ð Ó Þ ØÓ ω ω max ÞÒ Ð õ Ö Ø Ö Þ Ð ÒÓ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ ÔÖÞÝÞÝÒ Ù Ó Ô Û Û Ó ÔÓ Ó Þ ¹ Ó Ó Ð Ô ÒÓÛÝ Û Ö Ò Ý 0 Û Ö Ò Ý ω max /k B º ÈÖÓ Ð Ñ Ëº¾ Í ÓÛÓ Ò ØÛ Ö Þ Ò Ú Ò Ä ÙÚ Ò³ Ø Ö Ñ Û ÔÓ ØÒÓ Ñ Ò ØÝÞÒ χ ( M/ H Þ M Ø ÓÛ ØÝÑ Ò Ñ Ò ÓÛ Ò Ñ Ù Ù Û ÖÙÒ Ù Þ ÛÒØÖÞÒ Ó ÔÓÐ Ñ Ò ØÝÞÒ Ó H H = H Ð ÝÞÒ Ó Ù Ù Ò Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒÝ Þ Ø Ó Ñ m ÙÒ Ù Ð ØÖÝÞÒÝÑ q Ø Ö ÛÒ Þ ÖÙº ¾¾

ÈÖÓ Ð Ñ Ëº¾ Û Ù Ý ÔÓÞÓ Ø Û ÓÒØ Ø ÖÑ ÞÒÝÑ Þ ÓØÓÞ Ò Ñ Ô Ò ÝÑ ÖÓÐ Ø ÖÑÓ¹ Ø ØÙµ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ Ó Ó Þ ÐÓÒ Ò ÙÑÓ Ð Û ÛÝÑ Ò Ñ Ø Ö Þ Ø Þ µº ÌÖ ØÙ Ó Ù Ý Ø ÖÑÓ Ø Ø Ò Ù ÞÓÐÓÛ ÒÝ ÛÝÖ Þ ÔÖ Û¹ ÓÔÓ Ó ØÛ ÔÓ Þ Ù ÓÛ Ø Ð Þ Ý N Þ Ø Þ Ñ ÞÝ Ó Ù Ý ÔÖÞ Þ ÙÑÝ Ø ØÝ ØÝÞÒ ÔÓ Û ÖÙÒ ÛÝÞÒ Þ Ý ÔÓ Þ Ò Ö Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ÒÝº ÈÖÓ Ð Ñ Ëº¾ ÈÓÛ ÖÞ Ò ÓÖ ÒØ ÞÝÐ Þ Ó Ó Ô Þ Ø Þ Ñ N Ñ Þ Ø ÖÝ ÑÓ ÙÛ Þ Ò Þ Ø Þ ÓØ Þ Ó ÞÙº Ô Ò Þ Ø Þ Ñ ÛØ Ý Ò Ö¹ εº ÌÖ ØÙ Þ Þ Ø ÓØ Þ Ý ÓÖ ÒØ Ö Þ ÖÛÙ Ö Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ ÔÓØ Ò Ð Ñ ÞÒÝÑ µ Þ Ø ÖÝÑ ØÓ Ö Þ ÖÛÙ Ö Ñ ÓÖ ÒØ ÔÓÞÓ Ø Û Ö ÛÒÓÛ ¹ Þ ÑÓ Þ Ò Ñ ÛÝÑ Ò Ñ Ø Ö Þ Ø Þ µ Ò Ö ÛÝÞÒ ÞÝ ØÓÔ ÓÖÔ Ø º Ö Ò Ð Þ ÙÛ Þ ÓÒÝ Þ Ø Þ ÞÙº ÈÓ ÛÝÒ ÔÖÞÝ ÑÙ Þ Þ Ø ¹ Þ Ñ Ø ÔÓØ Ò Ñ ÞÒÝ µ(,p Ð ÝÞÒÝ ÒÓ ØÓÑÓÛÝ Þ Ó ÓÒ Ý Ó Ò Ò Ù p Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ º ÈÖÓ Ð Ñ Ëº¾ Ï Ö Ñ Ð ÝÞÒ Ó Ï Ð Ó ÔÓ Ù Ã ÒÓÒ ÞÒ Ó ÛÝÖ Þ Ö Ò Û Ö ØÓÛ Ù ¹ ØÙ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ Ù Ù ÔÓÞÓ Ø Ó Û Ö ÛÒÓÛ Þ Þ Ø ÖÑÓ Ø Ø Ñ Ó Ø Ñ¹ Ô Ö ØÙÖÞ ÔÓØ Ò Ð Ñ ÞÒÝÑ µ ÔÖÞ Þ ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ Ù Ù ÓÖ Þ Ö Ò Û Ö ØÓÛ Ù ØÙ Ð Þ Ý Ó Þ Ø Þ º ÈÖÓ Ð Ñ Ëº¾ Í ÓÛÓ Ò Ð Ù ÔÓÞÓ Ø Û Ö ÛÒÓÛ Þ Þ Ø ÖÑÓ Ø Ø Ñ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ ÔÓØ Ò Ð Ñ ÞÒÝÑ µ ÑÓ Þ Ò Ñ ÛÝÑ Ò Ò Ö Ñ Ø Ö ØÓ Ù ØÙ Ó Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ U E Ð Þ Ý Þ Ø Þ N ÓÖ ÐÓÛ Ò ÓÖ Ð Ø Ø Ò ÛÞÓÖ Ñ (E E(N N = k B N ( U V p,v ÈÖÓ Ð Ñ Ëº ¼ Ï ÔÓ ÑÒ Ù Ó Ó ØÓ V ÞÒ Ù N Þ Ø Þ ÞÙ Ó ÓÒ Ó Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ º ÌÖ ØÙ Þ Ù Ð ÝÞÒÝ ØÓ Ù Ï Ð Ô Ã ÒÓÒ ÞÒÝ Ó Ñ Ð Ñ ÖÓ ÓÔÓÛ Þ ÔÓ ÑÒ Ó Ó ØÓ v ÔÖÞÝ ÞÝÑ v V µ ÔÓ ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÞÒ Ð Þ Ò Û Ø Ñ Ó ØÓ n Þ Ø Þ ÞÙº ÃÓÖÞÝ Ø Þ Ø Ó ÖÓÞ Ù Ó Ð ÞÝ Û ÖØÓ Ö Ò n Ö Ò Ù ØÙ Û Ö ØÓÛ Ð Þ Ý Þ Ø Þ ÞÙ Û Ó ØÓ vº Ì Ò Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ð Ó Ñ Ý µ ÖÓÞÔ ØÖÝÛ ÒÝ Ò Û Þ Ò Ã¾ºÁº µ Û ÞÝ ØÓ Ø ØÝ ØÝÞÒÝ ÔÓ ÛÝÒ ÖÓÞ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ n Øºµ Ò Þ Ð Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝº ÞÝ ÛÝÒ ÓØÖÞÝÑÝÛ ÒÝ ÔÖÞÝ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ù Ï Ð Ó ÔÓ Ù Ã ÒÓÒ ÞÒ Ó Ø ÒÒÝ ¾

ÈÖÓ Ð Ñ Ëº ½ Æ Þ ÒÝ Ù Û ÒØÓÛÝ Ò Ó Þ Ù Ý ÛÞ ÑÒ Þ Ø ÔÓÞÓ Ø Ý Û Ö ÛÒÓÛ Þ Þ Ø ÖÑÓ Ø Ø Ñ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖÞ ÔÓØ Ò Ð Ñ ÞÒÝÑ µ ÑÓ Ý ÛÝÑ Ò Þ Ø ÖÑÓ Ø Ø Ñ Ò Ö Þ Ø µº ÈÓ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ Ó Þ Ò l¹ø Ó Ø ÒÙ ÒÓÞ Ø ÓÛ Ó ÔÖÞ ÞnÞ Ø º ÊÓÞÔ ØÖÞÝ Ó ÔÖÞÝÔ ÓÞÓÒ Û ÖÑ ÓÒ Ûº ÏÝÖ Þ Ø ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÔÖÞ Þ Ö Ò Ð Þ n l Þ Ø Ó Þ Ý Ø Ò Ø Ò ÓÖ Þ Ö Ò Û Ö ØÓÛ Ù ØÙ Ø Ð Þ Ýº ÈÖÓ Ð Ñ Ëº ¾ ÈÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ð ØÖÓÑ Ò ØÝÞÒ Þ Û ÖØ Û ÛÒ Ó Ó ØÓ V ÔÓÞÓ Ø Û Ö ÛÒÓ¹ Û Þ Þ Ò Ñ Ñ ÝÑ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º Ç Ð ÞÝ Ö Ò Ù ØÙ Û Ö ØÓÛ Ð Þ Ý ÓØÓÒ Û Û ØÝÑ ÔÖÓÑ Ò ÓÛ Ò Ùº ÈÖÓ Ð Ñ Ëº Ï Ð Ù Û Ó Þ Ù Ý ÖÑ ÓÒ Û ÑÓ Ò Þ Ó Ò Þ Ä Ò Ù ÔÖÞÝ Ð ÔÖÞ Þ Ù Ò Ó Þ Ù Ý ÖÑ ÓÒ Û ØÞÛº ÕÙ Þ Ø µ Ø Ö ÑÓ Ó Þ ÒÓ¹ Þ Ø ÓÛ Ø ÒÝ Ö Ø ÖÝÞÙ Ô ÛÒÝÑ Þ Ð ÒÝÑ Ó Ó Þ ÝÛ Ò Ô ÖÛÓØÒÝ Þ Ø µ ÞÛ Þ Ñ Ô Ù p Þ Ò Ö εº Û Þ Ø Ò ÛÝÞÒ Þ ØÓ Ø Ò Û ÒÓ¹ Þ Ø ÓÛÝ g(εº Ï ÔÖÞÝÔ Ù Ù Ù Ð Ñ ÒØ ÖÒÝ Ò Ö Ð ØÝÛ ØÝÞÒÝ Þ Ø Ó g s ÖÞÙØ Ô ÒÙ Ò ÛÝ Ö Ò Ó ε = p 2 /2m g(ε = [g s 4πV 2m 3/2 /(2π 3 ]ε 1/2 µº ÏÝÖ ¹ Þ ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ Ù Ù Ø Þ Ø Û Ö Ò Ý ε F /k B Þ ε F Ø Ò Ö ÖÑ Ó ÕÙ Þ Ø ÔÖÞ Þ ØÓ g(εº Á ØÓØ Ø Ó Ó Ò Ø ØÓ ÞÛÝ Ð Ø ÓÖÑÙ ÓÛ Ò ¹ Û ÞÓ ÔÓ ÖÞÒ Û ÔÓÛØ ÖÞ Ø Ö Ò¹ ØÙ Ý Ò ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ä Ò Ù ÔÓÐ Ò ØÝÑ ÑÓ Ò Þ Ò ÓÛ Ô ÛÒ ÐØ ÖÒ ØÝÛÒ Þ Û ¹ ÐÓÞ Ø ÓÛ ÔÖÞ ØÖÞ Ò À Ð ÖØ Ø Ö Ñ ØÖÙ ØÙÖ Ò ÐÓ ÞÒ Ó ÞÝ Û ÛÝ ÓÛ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð Þ Ý Ó Þ ÒÓÞ Ø ÓÛÝ Ø Ò Û Ò Ó Þ Ù Ý Ô ÖÛÓØÒÝ Þ Ø µ ØÓÛ ÖÞÝ ÞÝ Þ Ò Ó ÔÓÛ Ò ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ö Ò Ð Ø Ö Ö ÞÓ ÓÑÔÐ ÓÛ ÒÝÑ ÙÒ Ñ Ô ÖÛÓØÒÝ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ Û Ö Ò Ð ÔÖÞÝ ÞÝÑ ÞÛ Þ ÓÑÙØ Ý Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Û ØÓÛ ÖÞÝ ÞÓÒÝ Þ ÒÓÛ Þ Ø Ñ Ø ÖÝ Ø Û ØÓ Ô ÛÒ ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÓÒ ÞÒ µº À Ñ ÐØÓÒ Ò Ù Ù ÛÝÖ ¹ ÓÒÝ ÔÖÞ Þ ÒÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖÝ Ö Ò Ð Ñ Ù ÛØ Ý ÔÓ Ø À Ñ ÐØÓÒ ÒÙ Þ ÓÖÙ ÛÓ Ó ÒÝ ÕÙ Þ Ø ÔÐÙ Ó Þ ÝÛ Ò Ø Ö Ò ÑÓ Ò Ø Ö Þ ÔÓÑ Ò Ó Ø Ù Û Ñ Ò º ¾

Ê ëæ Ê ÏÁ Ï Ã Í ¾

Ì ÖÑ ÒÓÐÓ º Í Ó ÓÒ ØÝ Ø ÖÑ ÞÒ ¹ Ó ÓÒ ØÝ Ø ÑÓ Ò Ò Ò Ñ ÛÝ ÓÒÝÛ ØÝÐ Ó ÔÖ Ò ÑÓ Ð ÛÝ Ø ÔÖÞ Þ Ò Ö Û ÓÖÑ Ô ÔÖÞ Þ Ò Ó Ò ¹ µº ÈÖÓ Ø ÖÑ ÞÒÝ ¹ ÔÖÓ Û Ø ÖÝÑ Ù Ò ÛÝÑ Ò Ô Þ ÓØÓÞ Ò Ñº ÈÖÓ ÕÙ Ø ØÝÞÒÝ ¹ Ù ÔÖÞ Ó Þ ÔÓÛÓÐ ÔÖÞ Þ Ø Ò Û Ö ÛÒÓÛ Ó¹ ÛÝ Ò ÓÒ ÞÒ Ó ÛÖ ÐÒ µº ÈÖÓ Ó ÛÖ ÐÒÝ ¹ Ò Ò Ø ÞÝÑ ÐÒ ÞÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Û Ó ÛÖ Ó ÖÙÒ ÑÙ Ý ÕÙ Ø ØÝÞÒÝ ÈÖÓ ØÝÞÒÝ ¹ ÛÝ ÞÒ Ù ÑÒ µ Ø ÖÑ ÞÒÝ Ó ÛÖ ÐÒÝº ÈÓÞ ØÝÑ Ù ÝÛ Ñ Ö ØÙ nìå Ä n = 0,1,2,3µ Ò n¹ø Ò Þ Ó Ø ÖÑÓ Ò Ñ º Ê Ò Ñ ÖÞ ÐÒ Ó ÒØÝ k 1 V ( V p ( V k ad 1 V p α V 1 ( V V β p 1 ( p p V p S scisliwosc izotermiczna scisliwosc adiatermiczna (κ = k 1 (κ ad = k 1 ad (objetosciowa rozszerzalnosc termiczna diabli wiedza jak to sie zwie modul scisliwosci modul scisliwosci á Ð ÛÓ Ø ÖÑ ÞÒ Ò Ô Ð ÑÝ ØÙ Ó ÔÓ Ó Ò ÔÖÞÝ Ø ÒØÖÓÔ S Ð ØÓ Þ ¹ ØÒ Ò Ø Û ÖÞ ÞÝÛ ØÓ ÑÓ Ò Þ Ò ÓÛ Ø Ð ÛÓ Þ ÔÓ ÒØÖÓÔ Ý ÖÓÞµÔÖ Ò Ý Ó ÕÙ Ø ØÝÞÒ Ø ÖÑ ÞÒ ÞÓ º ÈÖÓ Ð Ñºººµº ÈÓ Ó Ò Ö Ò ÔÓ Ó Ò ÔÓØÛÓÖÒÓ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò ÛÔÖ ÛÒÝÑ Ó ÖÞÝ ÔÖÞ Û ÞÝ Ø Ñ Þ Þ ÛÒÝÑ Þ Ô Ñ ÔÓ¹ Ó ÒÝ ØÝÔÙ ( ( S S, albo, V,N V U,N Ø º Þ ÔÖÞ ÞØ Ò Ñ Ø ÔÓØÛÓÖ Ûº ÌÖÞ ØÓ ÓÔ ÒÓÛ º Æ Ô ÖÛ ØÖÞ Ó ØÙ ÒØÓÑµ Û Ó ÓÛÝ ÞÝ ÓÞÒ Þ Ø Ñ Ð Ø Ö Ö Ò ÙÒ Ø Ö Ñ Ø Ñ ØÝ Ý ÓÞÒ ÞÝ Ò Þ º ÆÔº Ð X Ø ÙÒ ÞÑ ÒÒÝ A B C ØÓ Ñ Ø Ñ ØÝ Ý Ò Ô F(A,B,C = F(A,X(A,B,C, ¾

ÞÝ ÔÓ Ó Ò Ô Þ F(A,B,C = F(A,X(A,B,C Ó Þ Ö ÛÒÓ F F ØÓ Ø Ø Ñ Û Ð Ó ÞÝÞÒ ÒÔº Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ Ù Ù ÐÙ ÒØÖÓÔ µº ËØ ÓÖ Þ ÛÒ ÛÝ Ð ÛÞÓÖÝ ØÝÔÙ ( ( ( ( F F F X = + A B,C A X X A A B,C ÈÓ ÔÖ Û ØÖÓÒ Ñ Ø Ñ ØÝ Ý Þ Ñ Ø F Ò Ô F µº ÌÝÔÓÛÝÑ ÔÖÞÝ Ñ Ø Ó Ø ÞÒ ÝÛ Ò ÞÛ Þ Ù ÔÓ ÑÒÓ ÔÐÒ Ù Ù ÔÖÞÝ Ø ÝÑ Ò Ò Ù Ò ÐÓ ÞÒ ÔÓ ÑÒÓ ÔÖÞÝ Ø Ó ØÓ º ÏÝÓ Ö ÑÝ Ó ÒØÖÓÔ S Þ Ð Ý Ó Ò Ò p Ø ÑÔ Ö ØÙÖÝ Þ ÔÓ Ö Ò ØÛ Ñ Ó ØÓ V Ø Ö Ø ÔÖÞ Þ Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙµ ÙÒ p ÞÝÐ S = S(, V(,p Ó ÔÖÓÛ Þ Ó ÛÞÓÖÙ n Ø Ð Þ ÑÓÐ µ ( S = p,n ( ( ( S S V + V,n V,n p,n Â ØÙ ÞÞ ÛÝÖ Þ ÔÓ Ó Ò ( S/ V,n ÔÖÞ Þ ÔÓ Ó Ò Ó Ð ÞÝ Þ Ö ÛÒ Ò Ø ÒÙ ØÓ ÔÓ ÔÓÑÒÓ Ò Ù Ó Ù ØÖÓÒ ÔÖÞ Þ µ ÓØÖÞÝÑ ØÓ Ó Û ÞÝ Ý ÞÒ º Ì Ö Þ Ò Ð Ý Þ Ò Ñ ØÝ Þ ÛÒÝ ÓÞÒ Þ ÔÓ Ó ÒÝ Þ Ø ÓÛÝ º Æ ÔÓÞ Ø Ø Ò Ö ÓÛ ØÓ ÑÓ º ÈÓ ÑÝ ( ( ( x y z = 1 y z x z,t, x,t, ÖÓ ÑÝ ØÓ Û ÛÙ Û Ö ÒØ º Æ Ô ÖÛ ÛÝÓ Ö õñý Ó Ø ÙÒ f(x,y,z,t, Û ÖÙÒ Þ Û ÔÓ ÙÛ ÒÝ ÙÒ f(x,y,z,t, = 0, y,t, x = x(y,z,t,, y = y(x,z,t,, z = z(x,y,t, Æ ØÔÒ Þ Ø Ò Û ÑÝ ÞÝÑ ÑÓ Ý ( x/ y z,t, º È Þ ÑÝ Û Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò ÙÒ f(x,y,z,t, Ø º ÞÝÞÒ ÖÞ Þ ÓÖ ÛÞ Ö Ò Ñ ÞÑ Ò Û ÖØÓ ÙÒ ÔÓÛÓ ÓÛ Ò Ñ ÞÑ Ò Ö ÙÑ ÒØ Ûµ ÔÖÞÝÖ ÛÒÙ ÑÝ Ó Þ Ö Ó ÔÝØ ÑÝ Ó Ø ÞÑ Ò Ö ÙÑ ÒØ Û Ø Ö Ò ÞÑ Ò Û ÖØÓ ¹ ØÙ Ö ÛÒ Þ ÖÙ ¹ Ñ ÙÒ fµ df = f f f f dx+ dy + dz + x y z t dt+ = 0 Ë ÓÖÓ ÞÑ ÒÒ z t Ñ Ý Ù Ø ÐÓÒ Þ ÑÝ Ø ÔÖÞÝÖÓ ØÝ dz dt Ö ÛÒ Þ ÖÙ ÔÓ Ó Ò ( x/ y z,t, Ø ØÓ ÛØ Ý ÔÓ ÔÖÓ ØÙ ØÓ ÙÒ ÔÖÞÝÖÓ Ø Û dx dy ÞÝÐ ( x ( f/ y y ( f/ x z,t, ¾

ÈÖÞÝ Ó Þ Ø Ò ( [ ( y x = y z,t, x z,t, ] 1 Ï Ò ÐÓ ÞÒÝ ÛÔÓ Ó Ö Ð ÑÝ ( y/ z x,t, ÓÖ Þ ( z/ x y,t, º Â Ð Ø Ö Þ ÙØÛÓÖÞÝÑÝ ÐÓÞÝÒ ØÖÞ ØÝ ÔÓ Ó ÒÝ ØÓ Ò Ó Ø Ò ÑÝ ÞÓ Ù Ý Ø Ò Ñ ÒÙ µ ÛÞ Ö ( ( ( x y z = 1 y z x z,t, x,t, Ï Û Ö Ò ÖÙ Ñ ÛÝÓ Ö ÑÝ Ó Ñ ÑÝ Ù Ò ÙÒ ÒÔº x = x(y,z,t, Ñ ÑÝ ÓÞÝÛ Û ÔÓ Ò ØÙÖ ÐÒÝ ØÓ Ó ÞÛ ÑÝ ÔÓ Ó Ò ( x/ y z,t, Ø º ØÓ ÙÒ ÔÖÞÝÖÓ ØÙ dx Ó ÔÖÞÝÖÓ ØÙ dy ÔÖÞÝ Ù Ø ÐÓÒÝ ÞÑ ÒÒÝ z t Ø º dz = dt = = 0µº Ý Þ Ò ÓÛ ÔÓ Ó Ò ( y/ z x,t, Ô Þ ÑÝ Ö Ò Þ ÙÒ x = x(y,z,t, y,t, dx = x x x dz + dz + y z t dt+ ÔÓÒ Û Ø Ö Þ ÞÑ ÒÒ x t Ñ Ý Ù Ø ÐÓÒ Þ ÑÝ ØÙ dx = dt = = 0 ÔÓ Ó Ò ( y/ z x,t, Ø ÛØ Ý ÞÒ Û ØÓ ÙÒ Ñ ÔÖÞÝÖÓ Ø Û dy dz ÞÝÐ ( y = x(y,z,t,/ z z x(y,z,t,/ y x,t, Ò ÐÓ ÞÒ Ó Ö Ð ( z/ x y,t, Þ ÑÝ Û Ö Ò Þ ÙÒ x = x(y,z,t, Ö ÛÒ Þ ÖÙ ÔÖÞÝÖÓ ØÝ dy dt Ó ( z 1 = x x(y,z,t,/ z Ò Û Û Ó Ø ÑÝ ( y z x,t, ( x y z,t, y,t, ( z = ( x/ z x x y,t, ( x/ y y 1 x/ z = 1 Æ Ø Ö Þ Ò Û ÙÒ f(x,y,z ÓÖ Þ g(x,y,zº ÑÝ Ó ÛÝ Ò Ò ÔÓ Ó Ð Þ Ò µ ÔÓ Ó Ò Ø ( f x ÞÝÐ ( x/ y z,t, ( y/ x z,t, = 1º g,z ¾

ÆÓÖÑ ÐÒ Ý ÑÝ Ó Ð Þ Ð ÔÓ Ó Ò f ÔÓ x¹ ÔÖÞÝ Ø Ý y z ØÓ Ý Ý ÞÛÝ ÔÓ Ó Ò Þ Ø ÓÛ ÞÒ Ò Þ Ñ Ø Ñ ØÝ º ØÙ Ø Ó ººº Ð ÖÓÞÙÑÙ Þ ÖÓÛÝ ÞÝ Ô Þ ÑÝ Ö Ò Þ ÙÒ f g ( ( ( f f f df = dx+ dy + dz, dg = x ( g x y,z y,z dx+ y ( g y x,z x,z dy + z ( g z ÈÓÒ Û z Ñ Ý Ø Þ ÑÝ dz = 0º Æ ØÔÒ ÑÝ Ý ÙÒ g Ò ÞÑ Ò º Ø Ñ Ø dg = 0º Ï ÖÙÒ Ø Ò ÓÖ ÐÙ ÓÔÙ ÞÞ ÐÒ ÔÖÞÝÖÓ ØÝ dx dy dy = ( g/ x y,z ( g/ y x,z dx Ï Ø Û ÑÝ ØÓ dy Ó Ö Ò Þ ÙÒ f Û Ø Ö Þ ÑÝ dz = 0 Ó ÑÝ Ñ ÔÓ Ó Ò ÔÖÞÝ Ø ÝÑ g Ø ÝÑ zµ ( ( f f ( g/ x y,z df = dx dx, x y,z y x,z ( g/ y x,z Ø Ö Þ Ó Ö Ð ÑÝ ÒØ Ö Ù Ò ÔÓ Ó Ò ( g/ x g,z Ó ÐÓÖ Þ ÔÖÞÝÖÓ Ø Û df dx ( ( ( ( ( 1 f f f g g = x x y x y g,z y,z ÇÞÝÛ Ý Ý ÑÝ ÙÑ Ð ÛÝÛ y Þ ÙÒ g Ø º Ò Ô y = y(x,g,z ØÓ ÑÓ Ð Ý¹ ÑÝ Ö Ò Þ ÓÛ ÞÔÓ Ö Ò Ó ÞÒ Û ØÙ ÓÖÞÝ Ø ÑÝ Þ Ø Ó Ò ÖÛÙ Ó Ñ Ø Ñ ØÝ Û Þ Ô Ù Û Ø ÖÝÑ Û Ö Ò ÙÒ ¹ Û Ò Ñ ÞÝÒ Þ Û Ñ ÛÝ Ñ ¹ ÓÞÒ ÞÓÒ Ø Ñ Ð Ø Ö µ ( f d f(x, y(x,g,z, z, x dx Ó Ó Ý g,z x,z ( ( ( f f f = + x g,z x y,z y x,z y,z x,y x,y ( y x g,z ÌÓ Ø Ò Ø Ò Ñ ÛÞ Ö Ø ÖÝ ÓØÖÞÝÑ Ð ÑÝ ÛÝ Ó Ø Þ Ô Û ÓÒ Û Ò ÔÖÞ Þ Ø Ò ÞÓ Ù Ý ÞÛ Þ º Â Ó ÒÝ Ù ØÛ Ý Þ Ñ ÔÖÞÝ ÔÖÞ ÞØ Ò Ù ÔÓ Ó ÒÝ Ó ÖÞ Ø ÞÒ Ñ ØÓ Â Ó Ò Ûº Æ u v w Øº ÙÒ Ñ ÞÑ ÒÒÝ x y z Øº Â Ó Ò ØÓ Ø ÛÝÞÒ ÞÒ (u,v,w (x,y,x (u x y,z (u y x,z (u z x,y (v x y,z (v y x,z (v z x,y (w x y,z (w y x,z (w z x,y Â Ó ÒÝ Ñ Ö ÞÓ ÔÖÞÝ ÑÒ Û ÛÓ ¾ dz x,z

½º Ë ÒØÝ ÝÑ ØÖÝÞÒ Û ÛÓ ÖÒÝ Ö ÙÑ ÒØ ÙÒ u v w Øºµ ÒØÝ¹ ÝÑ ØÖÝÞÒ Û ÓÐÒÝ ÞÑ ÒÒ x y z Øºµ ¾º Â Ð Ó Û ÑÝ Ù ÛÝÖ Þ ÑÝ x y z Øº Ó ÙÒ u v w Øº Ð Û ÔÓÐ Ò ØÝÑ ÑÓ ÑÝ Ó ØÝÐ Ó ÛÝÓ Ö Þ Ó Û Ð ÑÝ ¹ Ò ÑÙ ÑÝ Ø Ó ÛÒ ÖÓ µ ØÓ Ó ÔÓÛ Ò Â Ó Ò Ø Ó ÛÖÓØÒÓ (x,y,z, (u,v,w, = [ (u,v,w, (x,y,x, ] 1 ÓÞÝÛ Þ ÓÒ Û Ø Ò ÔÓ Ó ÙÒ ÛÝÖ ÓÒÝ ÔÖÞ Þ ÞÑ ÒÒ x y z Øº Ð Þ Ñ ØÓ Ò Û Ø Û Ò Ó ØÓ Ó Þ µ º ÅÒ ÞÒ Ò Û ÛÓ Â Ó Ò Û ÔÓÐ Ò ØÝÑ ( (u,v,w, u (x,v,w, = x ÊÓÞÔ ÔÖÞÝ 3 3 ÔÖÞ ÓÒ µº º Æ Ù ÝØ ÞÒ Þ Û ÛÓ Â Ó Ò Û Ø Ò ÑÓ Ð ÛÓ ÖÓÞ ÙÛ Ò Û ÙÛ Ò ÔÓÑ ÞÝ ÔÓ Ø Û Ø º Ð u v w Øº Þ Ð Ó x y z Øº Þ ÔÓ Ö Ò ØÛ Ñ a b c Øº Ø Ö ÙÒ Ñ x y z Øº ØÓ ÛØ Ý u,v, (u,v,w, (x,y,z, = (u,v,w, (a,b,c, (a,b,c, (x,y,z, ËÔÖ Û õñý Ó Ø ØÒ ÔÙÒ Ø Û ÔÖÞÝÔ Ù ÛÙ ÙÒ ÛÙ ÞÑ ÒÒÝ º Â ÛÒ ÔÖ Û ØÖÓÒ Ø ÛØ Ý Ö ÛÒ (u, v (a,b (a,b (x,y = [( u a b ( v b a ( u b a ( v a b ] [ ( a x y ÏÝÑÒ Ó Ø ÑÝ ÞØ ÖÝ ÛÝÖ ÞÝº ÈÓ Ð Û ØÖÓÒ Þ Ñ ÑÝ ( ( ( ( (u, v u v u v (x,y x y y x y x x y ( b y x ( a y x ( ] b x y Ì Ö Þ ÔÖÞÝÔÓÑ Ò ÑÝ Ó u v Ó x y Þ Ð ÔÓÔÖÞ Þa b Ø º u = u(a(x,y,b(x,y v = v(a(x,y, b(x,y Û ÖÓÞÔ Ù ÑÝ Þ ÞØ Ö ÔÓ Ó ÒÝ Ñ ØÓ Ù Þ¹ ÓÛ [ ( u ( ( ( ] [( v ( ( ( ] (u, v a u b a v b (x,y = + + a x b x a y b y [( u a b b ( a y y x + ( u b a a ( b y x y ¼ ] [ ( v a b b ( a x x y + ( v b a a ( b x x y ]

ÈÖ ÓÛ ÛÝÑÒ ÑÝº ÈÓ ÓÛ ÛÝÖ Þ Û ÛÝÖ ÞÝ (1 1 (2 2 Þ Ô ÖÛ Þ Ð Ò Þ Ø Ñ Þ Ð Ò ÖÙ µ Ö ÞÝÐ Ö Ù Ù Ñ Ø Ñ ØÝÝµ ÔÓÞÓ Ø Ø Ñ ÞØ ÖÝ ÛÝÖ ÞÝ Ø Ö ÓØÖÞÝÑÙ ÛÝÑÒ ÞÔÓ Ö Ò Ó ÔÖ Û ØÖÓÒº Ó ÞÑÝ Ø Ñ ØÓ ÑÓ ÑÝ Ó ØÛÓÖÞÝ ÞÒ ÒÝ Ù ÛÝÒ ( x y z,t, = (x,z,t, (y,z,t, = (x,z,t, (x,y,t, (x,y,t, (y,z,t, = ( z y x,t, ( x z y,t, Ó Ø ØÝÑ Ó Ù ÓØÖÞÝÑ Ð ÑÝ ØÝÐ Ó Ò Þ Þ Ô Ò º Ï ÔÓ Ó ÒÝ ÔÓ ÑÓ ÑÝ ÔÖÞÝ Ù Ý Ù Â Ó Ò Û Ó ØÛÓÖÞÝ ÖÙ Ò Þ ÛÝÒ ( f = (f,g,z x g,z (x,g,z = (f,g,z (x,y,z (x,y,z (x,g,z [ ( f ( ( ( ] ( y g f g = x y y x g y,z x,z ÈÓÒ Û Ò ( y/ g x,z = [( g/ y x,z ] 1 Ù Ý Ó Ó ØÝÑµ Û ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ØÓ Ó ÔÓÔÖÞ Ò Óº ÈÖÞÝ Ù ÝØ ÞÒÓ Â Ó Ò Ûº ÏÝ ÑÝ ÞÛ Þ ( ( f f = t g,x, t h,x, x,z ( g h f,x, [ ( g h y,z t,x, ] 1 Æ Ô ÖÛ ÛÝ ÑÝ ØÓ ÓÒÛ Ò ÓÒ ÐÒ º Ï Ð Ó g Ò ÙÒ ØÝÐ Ó Û Ò Û Ð Ó µ ÛÝÖ Þ ÑÝ Ò Û ÔÓ Ó Ý Ó ÙÒ ÛÙ ÒÒÝ Þ Ø Û Û Û Ð Ó g = g(f,t,x, g(f, h(f,t,x,, x,, g = g(h,t,x, g(h(f,t,x,, t, x, x,z ÅÓ ÑÝ Û Ò Ô ( g t ( g f f,x, t,x, ( g = h ( g = h f,x, t,x, ( h t ( h f f,x, t,x,, ÓÖ Ò ØÔÒ ØÓ ÙÒ ØÝ ÛÙ Ö ÛÒÓ Þ ÑÝ Ñ ÔÓ Ð Û ØÖÓÒ ( g t f,x, [ ( g f t,x, ] 1 ( f = t g,x,, ½

ÔÓ ÔÖ Û Ò ÐÓ ÞÒ Ó Ø Ò ÑÝ ( f/ t h,x, Ó Ó ÞÝ ÓÛ º ÏÝ Ð ÓÒ Û ÙÑ Ó ÔÖÓ ØÓ Ð ØÖÞ Ò Ô ÖÛ ÛÔ Ò ØÓ Ó Ó ÛÝÓ Ö Þ Ó ÙÒ Þ Óº Å ØÓ Â Ó Ò Û ÖÓ ØÓ ÞÙÔ Ò ÞÑÝ ÐÒ Ô Þ ÑÝ Ñ ÖØÛÝ ÞÑ ÒÒÝ x Ò ÑÙ ÑÝ ÛÝÔ ÝÛ µ Á Ù ººº ( f t g (f,g (t,g = (f,g (f, h (f, h (t, h Â ÒÓ¹ ÓÖÑÝ ÓÛ Ò ÔÓ ÖÞÝÛÝ (t, h (t,g ( ( g f h f t h ( h g t ËÔÓÖ Þ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ó ØÖÓÒÝ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ ÔÖÓÛ Þ Ó Þ ÛÝ Þ ÓÖ¹ Ñ Ñ Ö Ò Þ ÓÛÝÑ Ð Þ ÒÓ¹ ÓÖÑ Ñ º Ò Û ÓÑÝ Ð ÑÒ ÔÓÛÓ Û ÞÛ ØÙ ÞÙÑÒ ÓÖÑ Ñ È Ô Ñ Ø Ñ Þ Ñ Ó Ó Ý Ø Ö Ñ ÖÞ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð Ð ÓÒ Ý Ñ Ø Ñ ØÝ Ò Þ ÑÓÛ ºººµº Â ÒÓ ÓÖÑ ω Ø ØÓ Ñ ÞÝÒ Þ Û Ñ Þ ÙÖ Ñ Û Ò Û Þ Û ØÓÖ Þ ÖÙ ÛÝÔ Ð Þ Û Ø ÖÑÓ ÝÒ ¹ Ñ Þ Û Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø µº ÓÖÑ Þ Ð Ò ÓÛÓ Ø º Ð v = aw+bu ØÓ ˆω(v = aˆω(w+bˆω(u Þ Ø ÑÙ Ð ÛÔÖÓÛ Þ ÑÝ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ØÓÖÓÛ Þ e i i = 1,2,,n = ÑV Ø Ý Û ØÓÖ v ÑÓ Ò Þ Ô Ó Ó Ò Ð Ò ÓÛ Û ØÓÖ Û ÞÝ v = e i v i ØÓ ÛÝ Ø ÖÞÝ ÞÒ Þ Ò ÓÖÑÝ ˆω Ò Û ØÓÖÝ ÞÝ e i º Ó Û Þ Ö Û ÞÝ Ø ÒÓ¹ ÓÖÑ Þ Ý Ò Û ØÓÖÝ Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ØÓÖÓÛ V Ñ Ñ ØÖÙ ØÙÖ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ØÓÖÓÛ ÞÛ Ò Ôº Ù ÐÒ ¹ Ò ÞÛ Ò ÞÛ Ñ Ø Ñ ØÝÝ ÐÙ ÛÔ Þ Û ÓÑÔÐ Ý ÞÙÑÒ Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ð Ò ÔÖÞ ÑÙ ÑÝ Ò Ñ ¹V ÔÖÞÝ ÞÝÑ ÑV = ÑV µº ÇÞÒ ¹ Þ ØÓ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÓÖÑ Ø ÑÓ Ò ÛÝ Ö Þ ÓÖÑ Þ Ô Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ ÓÖÑ ØÛÓÖÞ Ý Þº ÏÝÒ Ø ÛÝ Ø ÖÞÝ ÞÒ Þ Ò ÓÖÑ ÞÓÛÝ Ò Û ØÓÖÝ ÞÝº ÓÖÑÝ ÞÓÛ Ò Ð Ô ÛÝ Ö Ø Ý Ý Ó ÛÝ Ó Ò Ø º Ø Ý Ý ØÓ Þ Ù ÐÒ ê j (e i = δ j i j = 1,,nº Â Ð Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò R n ÛÔÖÓÛ Þ ÑÝ ÖØ Þ Û Ô ÖÞ Ò x i ØÓ ØÓÛ ÖÞÝ ÞÓÒ Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ØÓÖÓÛ ÞÛÝ Û ØÓÖÝ e i º Ù ÐÒ Ó Ò ÞÓÛ ÒÓ ÓÖÑÝ ÓÞÒ Þ dx i Þ Ñ Ø ê j µº Ì Û dx j (e i = δ j i º Ì Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò R n ÑÓ Ý ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ V(x 1,,x n = e i V i (x 1,,x n Ø Ø ÑÓ Ý ÔÓÐ ÒÓ¹ ÓÖÑ ˆω(x 1,,x n = ω j (x 1,,x n dx j ÞÝÐ Û ÝÑ ÔÙÒ ¹ ØÖÓ ÒÒ ÓÖÑ Ø Ó ÛÓõÒ Ñ ÞÝÒ Ø Ö Û ÝÑ Ñ Ù Þ Ò Þ µº ÇÞÝÛ ÓÖÑ Û ÒÝÑ ÔÙÒ ÔÖÞ ØÖÞ Ò R n ÙÑ Þ ØÝÐ Ó Ò Û ØÓÖ ÔÖÞÝÞ ¹ Ô ÓÒÝ Û ØÝÑ ÑÝÑ ÔÙÒ ØÞÒº Ð Ñ ÑÝ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ò Û ÖØÓ Ø Ó ÔÓÐ Û Â Ð ØÓ ÞÙ ÔÓØÖÞ ÔÖÞÝÔÓÑÒ Ò Ó Ö ÒÝ ÖÞ ÞÝ ØÓ Þ Ð Ñ Ñ ÖÝÔØ Þ Ð ÖÝ Û Þ Ý Þ Ò Ø ØÖÓÒ º ÅÓ Ò ØÓ Û ÞÝ Ø Ó Ö Þ ÞÑ Ø Ñ ØÝÞÓÛ Ñ Û Ò Ó ÔÖÞ ØÖÞ Ò R n ØÝÐ Ó Ó ÖÓÞÑ ØÓ Ö Ò Þ ÓÛ Ù Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ Ò Ò ¹ ÞÓ Þ ÑÓ ÒÓØ Ø Ó Ò Ð ÞÝ Û ØÓÖÓÛ Ø Û Þ Ò Ø ØÖÓÒ ¹ Ð ÔÓ Ó ØÖ ÓÛ Þ Û Ó Ñ ¾

ØÝÑ ÔÙÒ µ ˆω(x 1,,x n (V(x 1,,x n = i = i ω j (x 1,,x n V i (x 1,,x n dx j (e i j ω i (x 1,,x n V i (x 1,,x n ØÓ ÓÞÝÛ ÔÓÐ Ð ÖÒ º Ì ÔÓÐ ÓÖÑ ØÒ ÛÒ ÔÓ ØÓ Ý ÓÛ ÛÞ Ù ÖÞÝÛÝ Û R n º Ï ÝÑ ÔÙÒ ÖÞÝÛ ØÒ ØÝÞÒÝ Ó Ò Û ØÓÖ Ð ÖÞÝÛ Ò Ó ÔÙ ØÙ A Ó B Ø Þ Ò Ô Ö Ñ ØÖÝÞÒ Ó x i = x i (ξ ξ A ξ ξ B Þ x i (ξ A Û Ô ÖÞ ÒÝÑ ÔÙÒ ØÙ A x i (ξ B ÔÙÒ ØÙ Bµ ØÓ ÔÓÛ ÒÒÓ Ý ÓÞÝÛ Ø Þ ÙÖ Ù Ñ Ò ÔÓÑÝ ÐÑÝ ξ Ø Þ Ñ t µ Û ØÓÖ Ñ ØÝÞÒÝÑ Ó ÖÞÝÛ Û ÔÙÒ Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ x i (ξ Ø v = e i v i (ξ = e i dx i (ξ dξ Þ ÓÖÑÝ ˆω(x ÛÞ Ù Ø ÖÞÝÛ Γ Ò Ó ÔÙÒ ØÙ A Ó ÔÙÒ ØÙ B Ø Þ Ò ÓÛ Ò ÛÞÓÖ Ñ ξb ˆω = dξω i (x 1 (ξ,,x n (ξ dxi (ξ Γ ξ A dξ ÓÑ ØÖÝÞÒ ÑÓ Ò ØÓ Û Þ Ø Þ Ð ÑÝ ÖÞÝÛ Ò Ñ ÙÔ Þ Ð Þ Ö ξ Ò Ø ÙÔ µ Û ÖÓ Ù Ø Ó Ó Ò Þ ÞÒ Ù ÑÝ Û ØÓÖ ØÝÞÒÝ Ó ÖÞÝÛ Þ ÑÝ Ò ÓÖÑ Ó Ð ÞÓÒ Û ØÝÑ ÑÝÑ ÔÙÒ ÓØÖÞÝÑ Ò Û Ø Ò ÔÓ Ð Þ Ý ÙÑÙ ÑÝº ÆÓ ÔÓØ Ñ ÖÞ ÑÝ Ö Ò Ù Ó ÙÔ Û Ó Þ Ö º ÞÝÞÒ Þ ÓÖ ÑÓ Ò ØÓ ÑÓ Þ Ô Ø B ˆω = ω i (x 1 (ξ,,x n (ξdx i, Γ A Û Þ Û Ø Ò ÔÓ Þ Ð ÑÝ ÖÞÝÛ Γ Ò Û Þ Ø Ö ÔÖÞÝ Ð ÑÝ ÔÖÞ Þ Ñ Û ØÓÖ Ó ÓÛÝ Ö ÛÒÝ dx i Ý Ø Û ØÓÖ ÑÒÓ ÝÑÝ Ð ÖÒ ÔÖÞ Þ Ó ÔÓÛ Ò Û ØÓÖ Ó ÓÛÝ ω i ÙÑÙ ÑÝº Â Ø Û ØÓ Ó Ò ØÓ Ó Ý ÞÝ ÖÓÞÙÑ ÔÖÞ Þ Þ ÔÓÐ Û ØÓÖÓÛ Ó ÛÞ Ù ÖÞÝÛ Þ Ô Ù Ó ˆω = dl ω, Γ Γ ÙØÓ Ñ ÓÖÑ ˆω ØÞÒº ÓÛ ω i µ Þ Û ØÓÖ Ñ ω Þ ÓÛÝÑ Ø Ó Û ØÓÖ µº Ì Ù ÖÙ Ø Ò Þ Ô Þ ÓÖÑÝ Û Ù ÖÞÝÛ Γ Ó A Ó B Ò Þ Ð Ý Ó ÔÓ Ó Ù Ô Ö Ñ ØÖÝÞ ØÞÒº Ó ÛÝ ÓÖÙ Ô Ö Ñ ØÖÙ ξº Ë ÓÛ ˆω = xdy+y 2 dx Û R 2 Ó A = (0,0 Ó B = (1,1 Ö Þ ÔÓ Ñ Ò ACB Þ C = (1,0 ¹ ÛÝ Þ ½ ÖÙ Ö Þ ÔÓ ÖÞÝÛ x = ξ 2 y = ξ ÔÓØ Ñ ÞÞ Ö Þ ÔÓ Ø

Ñ ÖÞÝÛ ØÝÐ Ó Û ÔÖ Ñ ØÖÝÞ x = ξ y = ξµ ¹ ÛÝ Þ 5/6º ÈÓÙÞÝ Û ÛÝÒ Þ Ð Ý Ó ÖÓ Ð Ò Ó Ô Ö Ñ ØÖÝÞ º ÅÓ Ò Ø ÓÛ ÓÖÑ ˆω = xyzdx Û R 3 Ó A = (1,0,1 Ó B = (0,1,1 ÔÓ Û ÖØ Ó Ö Ù Ò Ô ÞÞÝõÒ z = 1º ÓÖÑÝ ÝÛ Ö Ò Ð Ý µ ½µ Æ ÖÞ ÞÒ Þ ÓÖÑÝ ØÓ ØÞÛº Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò ˆω = df Ø ÖÝ Û Ô ÞÝÒÒ ω i (x 1,,x n Ò ÔÖÞ Þ ÓÛ Ö ÒØÙ ÙÒ f(x 1,,x n ω i (x 1,,x n = x i f(x1,,x n ÇÞÝÛ ÙÒ f Ð ØÒ Ø ÔÖÞ Þ Ø Ò Û ÖÙÒ ÛÝÞÒ Þ Ò Þ Ó ÒÓ Ó Ø ÝØÝÛÒ º Ï ÖÙÒ Ñ ÓÒ ÞÒÝÑ Ý ÓÖÑ Ý Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò Ø Ý x i ω j(x 1,,x n = x j ω i(x 1,,x n Ï ÞÝ Ù Ø ÓÖ ÓÖÑ Ñ Û ÑÝ Ø ÓÖÑ Ø Þ Ñ Ò Ø ÐÓ ÔÓ Ò ºµ ØÞÒº ÔÓ Ó Ò Þ ÛÒØÖÞÒ Ø Ø ÓÔ Ö ¹ Ò ÑÙ ÑÝ ØÙ Û Þ Ó Ó Ó Þ µ dˆω = 0 Þ ÖÓ ÔÓ ÔÖ Û ØÓ Ð ÓÖ Þ ÖÓÛ ÛÙ¹ ÓÖÑ µº Ï Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÓÖÑ Þ Ñ Ò Ø Ø Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò ØÞÒº ÞÒ Û Û ÞÝ Ù Ø ÓÖ ÓÖÑ Ø Ó Ò Ü Ø ÔÓ Ò º ÞÝÐ Ñ Ø ÔÓ Ó Ò Þ ÛÒØÖÞÒ Þ Ò Þ ÖÓ¹ ÓÖÑ ÞÝÐ ÙÒ µº Á Ò ÛÞÓÖ Þ Û Þ Ø Ø Ð Û Ò Ó Ò ÛÝ Ò ÑÝ Ó Ó Ó Þ µº ÈÓ Ø ÛÓÛ Û ÛÓ ÓÖÑ Ý Ö Ò Þ Ñ ÞÙÔ ÒÝÑ Ø ØÓ Þ Ø ÓÖÑÝ Ó ÔÙÒ ØÙ A Ó ÔÙÒ ØÙ B Þ Ð Ý ØÝÐ Ó Ó ØÝ ÔÙÒ Ø Û Ò Ó ÖÓ Γ Þ ˆω = df = f(b f(a Γ Γ Ì Ñ ÒÓ ÓÖÑ Ñ Û Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ö Ò Þ ÙÒ Ø ÒÙ ÞÝÐ Û ÞÝ Ø Û Ð¹ Ó ÞÝÞÒÝ Ö Ø ÖÝÞÙ Ý Ù Ý Û Ö ÛÒÓÛ Þ Ò Ö Û ÛÒØÖÞÒ U ÒØÖÓÔ S Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÒÒ º ë Ò Ö ÔÓÛ ÞÑÝ Ó ØÓ ÙÒ Ñ Ø ÒÙ ÛÝÒ Þ ÑÔ Ö ÞÔÓ Ö Ò Óº ÌÓ ÙÒ Ñ Ø ÒÙ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÒØÖÓÔ ÛÝÒ Ø Þ ÑÔ Ö Ð Ò ÖÓ Þ Ö Þ Þ Û Ý ÖÓÞÙÑÓÛ Ø Ö Ò ÛÝ Þ µº ÈÓ Ø ÛÓÛ Ö Û Ø Ö Û ÑÝ Ù Ø Ð Û ÞÝ Ò ÓÖÑ Ô Ò Û ÖÙÒ Ó¹ Ò ÞÒÝ Ý Ý Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò Ø ÞÒ Ð Þ Ò ÙÒ f Û Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ ÒÔº Ó Þ Ó ÞÒ Ð Þ Ò U Ý Ó Û Ó Û Ô ÞÝÒÒ ÓÖÑÝ du Þ Ô ÒÝ Û Þ ¹ ÞÑ ÒÒÝ ÒÔº V µº Ë Ò ØÓ Û Ø Ò Ö ÓÛ ÛÝØÝ Ø Ö Þ ÐÙ ØÖÙ ÑÝ Ò ÔÖÞÝ Þ º Æ Þ Ò ÒÓ¹ ÓÖÑ ˆω = ( 3x 2 y + 2y x dx+ ( x 3 +2lnx dy ËÔÖ Û Þ ÑÝ Ø Þ Ñ Ò Ø º ËÞÙ ÑÝ Þ Ø Ñ Ø ÙÒ f(x,y ˆω = dfº Ï ØÝÑ ÐÙ Ó Ö ÑÝ Ò Ô ÞÞÝõÒ ÔÙÒ Ø Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (x 0,y 0 Ù ÑÝ ÒÓ¹ ÓÖÑ ˆω Ó Ø Ó ÔÙÒ ØÙ Ó ÔÙÒ ØÙ Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (x,y ÔÓ ÓÛÓÐÒ ÖÓ Þ º ÆÔº ÔÓ

Ñ Ò (x 0,y 0 (x,y 0 (x,yº Ð Ó ÔÓ Ñ Ò (x 0,y 0 (x 0,y (x,yº ËÔÖ Û Þ ÑÝ Ó ÔÓ ÖÓ Þ ÛÞÓÖÝ ÛÝ Ð ØÖÓ Ò Þ Ò Ó Ù Ó Ø Ø Ñ ÙÒ f(x,y = x 3 y +2ylnx ( x 3 0y 0 +2y 9 lnx 0 ÖÙ Ñ ØÓ ØÞÛº ÙÔÒ Þ ÔÓÐ Ò Ó ÓÛÝÛ Ò Ùº Ë ÓÖÓ ω x = ( f/ x ØÓ ( f(x,y = dxω x (x,y = dx 3x 2 y + 2y = x 3 y +2ylnx+h(y x ËØ ÓÛ Ò ÑÓ ØÙ Ý ÓÛÓÐÒ ÙÒ h(yº ÙÒ Ø Ò ØÔÒ ÛÝÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞÝÖ ÛÒÙ ( f/ y Ó ω y = x 3 + 2lnxº Ø Ó ÛÝ Ó Þ ØÙ ÙÖ Ø ÙÒ h(y ÑÙ Ý Ø º Â ÞÞ Ð Û ÛÝ Ò Ò Ó Ó Ó Þ Þ ØÝÑ Ò Þ Û Þ ÓÖÑ Þ Ñ Ò Ø Ø Ó Ò º Ï õñý ÒÓÒ ÞÒÝ ÔÖÞÝ Ø º Û R 2 ÓÖÑ ˆω = ω x dx+ω y dy y x 2 +y dx+ x 2 x 2 +y dy 2 Â Ø ÓÒ Þ Ñ Ò Ø Ø º ω x / y = (y 2 x 2 /(x 2 +y 2 2 = ω y / x Û ÓÞ Ù ÑÝ ˆω = df(x,y Ø º ØÒ Ø ÙÒ f(x,y f/ x = ω x f/ y = ω y µº Â Ð Ò Ó Ð ÞÝÑÝ Þ Ø ÓÖÑÝ ÔÓ Ó Ö Ù Ó ÖÓ Ù Û ÔÙÒ (0,0 ÓÛÓÐÒÝÑ ÔÖÓÑ Ò Ù R Ô Ö Ñ ØÖÝÞÙ ÑÝ Ó Ö Ø Ò Ö ÓÛÓ x = Rcosθ y = Rsinθµ ØÓ Ó Ø Ò ÑÝ 2π = dθ = 2π 0 K Rˆω 0 Ì Ñ ÛÝÒ Ý ÑÝ ÓØÖÞÝÑ Ð Ù ˆω ÔÓ Þ Ñ Ò Ø ÖÞÝÛ ÓØ Þ ÔÓÞ Ø Ù Ùµº ÈÖÓ Ð Ñ ÔÓÐ ÓÞÝÛ Ò ØÝÑ ÓÖÑ ω Û Ô ÞÝÒÒ µ Ø Ó Ó Ð Û Û ÔÙÒ (0,0º ÇÞÝÛ Ò ÛÞÓÖ ÓÖÑ ˆω Ø Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò ˆω = dθ(x,y d ( arctg y x Ð ÙÒ θ(x,y = arctg(y/x Ò ÑÓ Ý Ó Ö ÐÓÒ Û ÔÙÒ (0,0 Û ÔÓ Ý Þ Ò Ó ÔÙÒ ØÙ (0,0 Þ Ö ÒÝ ÖÙÒ Û ÛÝÒ Þ Ð ÒÝ Ó ÖÙÒ Ùµ Û ØÝÑ ØÓ Ò ÓÖÑ ˆω Ò Ø Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò Û Ó Þ Ö ÓØÛ ÖØÝ Þ Û Ö Ý Ø Ò ÔÙÒ Øº ÇÞÝÛ Þ ˆω ÔÓ Þ Ñ Ò Ø ÖÞÝÛ Ò ÓØ Þ ÔÙÒ ØÙ (0,0 Þ ÖÓº ÌÓ Û ÞÝ Ø Ó ØÓ Ý Ý ÖÞ ÞÝ ÓÞÝÛ Ø º Ì Ö Þ Þ ÞÒ Ó Ýº ¾µ Â ÒÓ¹ ÓÖÑ ÑÓ Ò Ý Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò Ð ÑÓ Ý ÓÛ ÐÒ º Þ ØÓ ØÓ ÓÖÑÙ Ù Ø ÓÖÑ ˆω Ò R n Ø ÓÛ ÐÒ Ð Ö ÛÒ Ò ˆω = 0 Ñ ÖÓÞÛ Þ Ò Û ÔÓ Ø ÖÓ Þ ÒÝ n 1 ÛÝÑ ÖÓÛÝ Ô ÖÔÓÛ ÖÞ Ò φ(x 1,,x n =ÓÒ Øº Ï ÖØÓ Ø ¹ ÒÙÑ ÖÙ Ø Ô ÖÔÓÛ ÖÞ Ò µº ÇÞÝÛ Ø Ñ Û Ò Ø ÑÙØÒ ØÝÔÓÛÝ Ö ÔÖ ÝÞÝ Ò Ó ÛÝÖ Ò ÑÝ Ð Ø ÔÓÛ Þ ÒÝ ÔÓ ÖÞÒ Ô ÒÝ ÔÖÞ Þ ÞÝ¹ Ûµº Ó Þ ÓÞÝÛ Ó ØÓ ØÒ Ø ÖÓ Þ Ò Ô ÖÔÓÛ ÖÞ Ò ÒÓ¹ ÓÖÑ ˆω,

Þ ÖÓ Ò ÝÑ Û ØÓÖÞ ØÝÞÒÝÑ Ó Ø Ö ÓÐÛ Þ ØÝ ÔÓÛ ÖÞ Ò º ÞÝÐ Ð Ù Ó Ñ Ý Þ Ö Ñ ØÓ Ò Ñ ÓÖÑ ˆω ØÝÐ Ó ÓÖÑ ÓØÖÞÝÑ Ò Þ ÞÖÞÙØÓÛ Ò Ø Ò ÔÓÛ ÖÞ Ò φ(x 1,,x n = ÓÒ Øº Æ ÔÖÞÝ Þ Û R 3 Ò ÓÖÑ Þ ÓÖÑ Ø Ö Û ÖÝÞÒÝ ÞÑ ÒÒÝ ÔÖÓÛ Þ Ó ˆω dr ÒÔ ω(x,y,x(xdx+ydy+zdzº ÏØ Ý ÖÓ Þ Ò Ô ÖÔÓÛ ÖÞ Ò ÔÓ ÔÖÓ ØÙ ÖÝ x 2 + y 2 + z 2 = R 2 =ÓÒ Øºµº Ì ÔÓ Ø Û Ò ÔÖ ÛÝ Ø Ò Û Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ñ Ó ÔÖÞÝ ØÒ Û ÞÓ ÙÔÖ ¹ Û Ò ÔÖÞ Þ Ò Ø ÖÝ ¹ Ø Ö Þ Ù Ò ÞÞ ÖÞ Þ ÔÓØÝ ¹ ÓÑ ØÖÝÞ ÞÝ ºººµº Ò ÞÒ Ð Ô ÞÝ Ø Ò ØÔÙ Ý ÔÙÒ Ø Û Þ Ò ÞÛ Þ ÒÝ Þ ÓÖÑÙ ÓÛ Ò Ñ Ö Ø Ó ÓÖÝ³ Ó ¾ÌÅ Äº ÞÒ ÑÝ Ô Ö Þ ÓÛÓÐÒ Ó ÔÙÒ ØÙ ÔÖÞ ØÖÞ Ò (x 1 0,,x n 0º ÑÝ Þ Ø Ó ÔÙÒ ØÙ ÔÖÞ Ñ Ó (dx 1,,dx n º ÓÔÙ ÞÞ ÑÝ Ò ØÝÐ Ó Ø ¹ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò Ø Ö ØÙ Ù dx i ØÖ ØÙ ÑÝ Ò ÓÖÑÝ ØÝÐ Ó Ø Þ ÖÓÛ ÞÝÞÒ Ñ Ð Þ Ýµ Ô Ò Û ÖÙÒ ω 1 (x 1 0,,x2 0 dx1 ++ω n (x 1 0,,x2 0 dxn = 0 Â Ù Û Ø Ò ÔÓ ÞÒ Þ ÑÝ Û Ñ ÒÓÛÝÑ ÔÙÒ (x 1,,x n ØÓ ÞÒ Û ÑÓ ÑÝ ÔÖÞ Ñ Ó (dx 1,,dx n ÓÖ ÐÓÛ Ò ÔÖÞ Þ Û ÖÙÒ ω 1 (x 1,,x n dx 1 ++ω n (x 1,,x n dx n = 0, Ø º Á Ø Ö Þ ÓÖÑ ˆω Ø ÓÛ ÐÒ Ð Ó ÞÙ Û Ø Ò ÔÓ Ò ÑÓ ÑÝ Ó Û ÓÛÓÐÒ Ñ Ý Þ Þ ÑÝ ØÝÐ Ó ÔÓ Ô ÛÒ Ô ÖµÔÓÛ ÖÞ Ò º Â Ð Þ ÓÖÑ Ò Ø ÓÛ ÐÒ ØÓ ÑÓ ÑÝ Û Ø Ò ÔÓ Þ Û Þ Þ º ÈÖÞÝ º Ï õñý ˆω = ydx+dy dzº ÏÝ Ø ÖØÙ ÑÝ Þ ÔÙÒ ØÙ (0,0,0 õñý ÛÞ Ù Ó x ØÞÒº ÖÓ ÑÝ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò Ó dy = dz = 0 ÈÓÒ Û y = 0 ÑÓ Ò Ñ dx 0 Û ˆω = 0º Ó Ó Þ ÑÝ Û Ø Ò ÔÓ Ó ÔÙÒ ØÙ (x 1,0,0º Æ ØÔÒ ÑÓ ÑÝ ÔÓÛ ÖÓÛ ÔÓ Ô ÞÞÝõÒ x = x 1 =ÓÒ Øº ÖÓ ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò Ø dy = dz dx = 0º Ó Ö ÑÝ Ø Ó ÔÙÒ ØÙ (x 1,y 1,y 1 º Ø Ó ÔÙÒ ØÙ Þ ÑÝ ÖÓ Ø ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò dz = y 1 dx dy = 0 ÔÓÞÓ Ø ÑÝ Û Ò Ô ÞÞÝõÒ y = y 1 =ÓÒ Øµ ØÞÒº ÛÞ Ù ÔÖÓ Ø Ô Ò Ö ÛÒ Ò dz/dx = y 1 º Ó Ö ÑÝ Û Ø Ò ÔÓ Ó ÔÙÒ ØÙ Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (x, y 1, y 1 +y 1 (x x 1 º Ï Ø Ò ÔÓ ÑÓ Ò Ó Ó ÔÙÒ ØÙ Ó ÓÛÓÐÒÝ Û Ô ÖÞ ÒÝ ( x,ỹ, z ÛÝ Ø ÖÞÝ ÛÞ x = x y 1 = ỹ Ó Ö Ó ÔÓÛ Ò Ó x 1 ÖÓÞÛ ÞÙ Ö ÛÒ Ò ỹ+ỹ( x x 1 = zº Å ÓÒÓ ÒÓÞÒ ÞÒ ÖÓÞÛ Þ Ò Ð ØÝÐ Ó ỹ 0º Ë ÓÖÓ Û ÑÓ Ò Ó Ó ÓÛÓÐÒ Ó ÔÙÒ ØÙ Ý ÑÓ Þ ÛÝ Ø Ñ ÔÙÒ Ø Û Ó ỹ = 0 z 0µ Ø ÖØÙ Þ (0,0,0 ØÓ ÑÓ Ò ÔÖÞ Þ Ó ÔÙÒ ØÙ Ó Óº ÊÓÞÔ ØÖÝÛ Ò ÓÖÑ Ò Ø ÓÛ ÐÒ º µ ÓÖÑ ÑÓ Ò Ý Ö Ò Þ ÞÙÔ Ò Ð ÑÓ Ñ ÞÝÒÒ Ù Ý ØÞÒº ˆω df Ð ØÒ Ø ÙÒ λ(x 1,,x n λ(x 1,,x n ˆω(x 1,,x n = df(x 1,,x n ÈÓÛ Ø Ò ØÝ Ñ Ø Û ÔÝØ Ò ÓÖÞ ÞÝ Ò ÓÖÑ Ñ ÞÝÒÒ Ù Ý Ð Ñ ØÓ ÞÝ Ø ÓÒ ÒÓÞÒ ÞÒÝ Ý Ó ÔÓÛ Þ õ Ò Ô ÖÛ Þ ÔÝØ Ò ÛÝÔ Ù ÑÝ Û ÖÙÒ Þ Ñ Ò ØÓ ÓÖÑÝ λˆω x i (λω j = x j (λω i,

Û Ø ÖÝÑ i j Ø ÖÝ ÑÓ Ò ÔÖÞ Ô Ù ÝÛ Ø Ö Þ ÒÓØ i / x i µ Û ÔÓ Ø λ( j ω i i ω j = ω j i λ ω i j λ ÌÖÞ Ø Ö Þ ÛÝÑ Ò ÛÖÓÛ Ø Ý ÔÓÞ Ý λ Ó Ó ØÝÑ ÞÝÒÒ Ù Ò Ò Û ÑÝ Ò Û Ø Ò Û ÑÝ ÞÝ ØÒ µº Æ Ô ÞÑÝ ØÖÞÝ Ø Ö ÛÒÓ Þ i j k i j i k j kµ ÑÒÓ Ý Þ Ò ÔÖÞ Þ ØÓ ØÖÞ ω λ( j ω i i ω j ω k = ω j ω k i λ ω k ω i j λ, λ( k ω j j ω k ω i = ω k ω i j λ ω i ω j k λ, λ( i ω k k ω i ω j = ω i ω j k λ ω j ω k i λ, Ó ÑÝ Û ÞÝ Ø Ó º Â ØÛÓ ÞÓ ÞÝ ÔÓ ÔÖ Û Ó Ø Ò ÑÝ Ó Ö ÐÙØ Þ ÖÓ ÔÓ Ð Û Ó Ö ÞÝ λº ÏÝÒ Ø ÞÒ Ò Ø Ó Ó ÞÝÐ ω k ( j ω i i ω j +ω i ( k ω j j ω k +ω j ( i ω k k ω i = 0 Ø Û ÖÙÒ Ñ ÓÒ ÞÒÝÑ ØÒ Ò ÞÝÒÒ Ù Ó ½¼ Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÓÖÑ Û R 3 Ð Ó ÙØÓ Ñ ÑÝ Û Ô ÞÝÒÒ ÓÖÑÝ ˆω Þ ÓÛÝÑ Û ØÓÖ ω ÑÓ Ò Ø Ò Û ¹ ÖÙÒ Þ Ô Û ÔÓ Ø ω ( ω = 0 ÈÖÞÝ Ý ½µ ÓÖÑ ˆω = xdx + z dy + y dzº Ñ Ò Ø dˆω = 0º Ç ÓÛ Ø ÐÙ º ˆω = d( 1 2 x2 +yz +constº ¾µ ÓÖÑ ˆω = xyz dxº Æ Ø Þ Ñ Ò Ø dˆω 0º Ð Ñ ÞÝÒÒ Ù Ýº ÆÔº λ(x,y,z = (xyz 1 Ó Ó Ð ÛÝ ÌÓ Ó ÈÓÞ Ô ÞÞÝÞÒ Ñ x = 0 Øº Û ÞÝ Ø Ó Ø Ó µ ÛØ Ý f = x+ ÓÒ Øº ÒÒÝ Ý Ñ Ý Ô ÛÒ ÒÔº λ(x,y,z = (yz 1 ÛØ Ý f = 1 2 x2 + ÓÒ Øº Ï ÞÝÒÒ Û Ù Ý ÑÓ Ý ÔÓÖÓº µ ÓÖÑ ˆω = xdx+xydy+dzº Ñ Ò Ø Ò Ø dˆω 0º ÞÝ Ñ ÞÝÒÒ Ù Ý ËØÓ Ù ÑÝ ÖÝØ Ö ÙÑº ÈÓÒ Û ØÓ Ø Û R 3 Û Ó Ð Þ ÑÝ Þ ÓÐÒ ÞØÙÞ ÔÓ Ó Ò Þ ØÝÐ Ó Ò ÓÐÒÝ ÖÞ ÛÝÞÒ ÞÒ µ x xy 1 x y z x xy 1 0 µ ÓÖÑ ˆω = (yz/xdx + zdy + ydzº Ñ Ò Ø Ò Ø dˆω 0º ÞÝ Ñ ÞÝÒÒ Ù Ý ËÔÖ Û Þ ÑÝ yz/x z y x y z yz/x z y = 0 ½¼ Â Ð ØÓ Ø ÛÔÖ ÛÒÝ Û Ø ÓÖ ÓÖÑ ØÓ ÖÓÞÔÓÞÒ Û ØÝÑ Þ Ô Ò ÓÛÝ Û ÖÙÒ Ù ˆω dˆω = 0º