Formalizacja automatów komórkowych w zagadnieniach symulacji dynamiki pieszych

AUTOMATYKA 2005 Tom 9 Zeszyt 3 Ewa Dudek-Dyduch *, Jaros³aw W¹s * Formalizacja automatów komórkowych w zagadnieniach symulacji dynamiki pieszych 1. Wprowadzenie Pojêcie automatu komórkowego (Cellular Automata) wykorzystywane jest w ró nych dziedzinach badañ. Zastosowania te obejmuj¹ miêdzy innymi badania zjawisk zachodz¹cych w przyrodzie takich, jak p³yn¹ca lawa [14], po ary lasów [3] czy modelowanie przep³ywu wody np. w przypadku rzeki anastomozuj¹cej [15]. Inne zastosowania to modelowanie populacji roœlinnych i zwierzêcych, np. narastania otwornic [16], symulacja przemieszczeñ ³awicy ryb czy symulacja ruchu stada ptaków [13]. Pocz¹wszy od pocz¹tku lat 90. XX w. automaty komórkowe wykorzystywane s¹ te w modelowaniu zachowania ludzi. Pocz¹tkowo badania te obejmowa³y modelowanie ruchu samochodowego [12], a nastêpnie coraz powszechniej rozpoczêto modelowanie dynamiki pieszych [1, 4, 5, 8, 17, 18]. Cech¹ wyró niaj¹c¹ pojêcie automatu komórkowego (CA) jest fakt, e za jego pomoc¹ mo na modelowaæ globalne procesy (zachowania globalne), u ywaj¹c odpowiednio zdefiniowanych odwzorowañ lokalnych. Dla wykonania modelu za pomoc¹ automatu komórkowego konieczne jest zdefiniowanie szeregu pojêæ takich, jak: zbiór komórek wraz z jego topologi¹, pojêcie s¹siedztwa komórki potrzebne do definiowania odwzorowania lokalnego, zbiór stanów komórek i regu³y okreœlaj¹ce odwzorowanie lokalne. 2. Formalne modele automatów komórkowych 2.1. Najczêœciej stosowane definicje automatów komórkowych W literaturze najczêœciej spotykaæ mo na dwie definicje automatu komórkowego. Pierwsza z nich, definicja Ferbera mówi, e automaty komórkowe s¹ dyskretnym, dynamicznym systemem, którego zachowanie jest ca³kowicie okreœlone w warunkach lokalnych relacji. * Katedra Automatyki, Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków 383

384 Ewa Dudek-Dyduch, Jaros³aw W¹s Z kolei definicja automatu komórkowego wed³ug Weimera opisuje go jako czwórkê (L, N, S, f ), gdzie: L przestrzeñ podzielona na siatkê cel, S zbiór skoñczonych stanów, N zbiór s¹siadów danej celi, f funkcja zmiany konfiguracji w poszczególnych celach. Konfiguracja C t :L S jest funkcj¹, któr¹ ³¹czy stan z ka d¹ cel¹ siatki. Funkcja f zmienia konfiguracjê C t w now¹ konfiguracjê C t+1, widoczn¹ na równaniu (1) wraz z równaniem uzupe³niaj¹cym (2). ({ t }) () () () Ct 1 r f C i i N r + = (1) gdzie: Ν(r) zbiór s¹siadów celi r, r numer danej celi, t t = t + 1 dyskretny krok czasowy, i pojedyncza cela N() r = { i L r i N} (2) W tabeli 1 przedstawiono pe³n¹ definicjê automatów komórkowych. Tabela 1 Definicja automatów komórkowych (wg Weimera) Definicja L t t + 1 S f: S n S Objaœnienie Sk³ada siê z siatki cel Ewolucja uk³adu w dyskretnym kroku czasowym Zbiór stanów skoñczonych Ka da cela ewaluuje na tych samych zasadach, które zale ¹ od stanu celi i skoñczonej liczby cel s¹siednich N: c N r L c + r L Relacje s¹siedzkie s¹ jednakowe i lokalne 2.2. Dlaczego modyfikowaæ istniej¹ce definicje Wiêkszoœæ modeli opartych na automatach komórkowych, w szczególnoœci tych dotycz¹cych dynamiki ruchu pieszych wykracza poza definicje CA umieszczone w rozdziale 2.1, a autorzy modeli sygnalizuj¹ brak odpowiedniej formalizacji np. [10, 11].

Formalizacja automatów komórkowych w zagadnieniach symulacji... 385 W szczególnoœci przedstawiony formalizm zak³ada: jednorodnoœæ modelu polegaj¹c¹ na jednakowej definicji s¹siedztw dla wszystkich komórek, regularnoœæ siatki, jednakowe dla ka dej komórki odwzorowanie lokalne przyporz¹dkowuj¹ce jej nastêpuj¹cy stan w zale noœci od stanu s¹siedztwa. Jednorodnoœæ ta uniemo liwia modelowanie bardziej skomplikowanych procesów. Przyk³adami prac wykraczaj¹cymi poza podany w poprzednim rozdziale formalizm jest po- ³¹czenie automatów komórkowych z systemem multiagentowym, zastosowane w symulacji ruchu pieszych w centrum handlowym [4, 5], zastosowanie statycznych pól potencjalnych przy ewakuacji statków pasa erskich [10, 11]. W pracach [9, 17, 18] poœwiêconych zdolnoœciom strategicznym pieszych, obok zale - noœci lokalnych poszczególnych komórek automatu rozpatrywane s¹ równie zale noœci globalne, na przyk³ad przy ewakuacji pomieszczenia przez grupê ludzi kwestia wyboru wyjœcia ze zbioru dostêpnych, gdzie parametrami wp³ywaj¹cymi na decyzjê s¹: odleg³oœæ od wyjœcia, zagêszczenie w s¹siedztwie wyjœcia (s¹siedztwo o okreœlonym promieniu), dynamika zmian zagêszczenia w s¹siedztwie wyjœcia [18]. W zwi¹zku z tym istnieje potrzeba zdefiniowania nowej klasy automatów, które umo liwi¹ rozpatrzenie globalnych relacji w ca³ej siatce. Punktem wyjœcia s¹ klasyczne automaty komórkowe, st¹d koniecznoœæ ich zdefiniowania w taki sposób, aby mo liwe by³o na ich podstawie zdefiniowanie nowej klasy automatów komórkowych. 2.3. Proponowany formalny model W punkcie tym podamy formaln¹ definicjê automatu komórkowego, który nazwiemy automatem komórkowym ze sta³¹ siatk¹. Autorzy proponuj¹ nieco odmienn¹ od przedstawionego w punkcie 2.1 postaæ formalnego modelu automatu komórkowego. Autorzy proponuj¹ tak¹ postaæ formaln¹, która obejmuje szersz¹ klasê automatów ni automat zdefiniowany powy ej. Z drugiej strony, postaæ ta pozwala przez uszczegó³owienie pewnych sk³adników definicji wyró niaæ podklasy automatów komórkowych. Poniewa wprowadzona definicja jest nieco inna ni spotykane w literaturze, dla odró nienia wprowadzono nazwê automatu komórkowego ze sta³¹ siatk¹. Nazwa ta ma dodatkowo podkreœlaæ fakt, e automat ten bêdzie wykorzystywany dla modelowania systemów, w których zbiór komórek oraz ich wzajemne po³o enie nie bêdzie siê ju zmienia³o. Siatka taka ma zastosowanie, jeœli modeluje struktury przestrzenne o niezmieniaj¹cej siê w czasie topologii (drogi, pomieszczenia itd.). Pojêcie sta³ej siatki zosta³o u yte dla automatów, dla których siatka jest utworzona, jako siatka statyczna, na podobieñstwo statycznych struktur danych jak np. tablice, w odró nieniu od siatki zmiennej, dynamicznej, która stosuje siê do pewnej klasy automatów na podobieñstwo dynamicznych struktur danych takich jak np. listy. W celu zdefiniowania automatów ze sta³¹ siatk¹ przedstawimy wprowadzone na potrzeby definicji pojêcia i oznaczenia.

386 Ewa Dudek-Dyduch, Jaros³aw W¹s Zbiór komórek bêdziemy oznaczaæ symbolem C. W zbiorze C zdefiniujemy relacjê przyleg³oœci R p C C posiadaj¹c¹ w³asnoœæ symetrii i bêd¹ca relacj¹ antyzwrotn¹, a wiêc: c i R p c j c j R p c i oraz (c i C): (c i, c i ) R p. Relacja ta bêdzie wykorzystywana do definiowania ró nych struktur siatek (ró nych topologii w zbiorze komórek). W szczególnoœci pozwala na konstruowanie siatek nieregularnych. Jako siatkê L bêdziemy rozumieli zbiór komórek C z ustalon¹ w nim relacj¹ przyleg³oœci R p, zatem L = (C, R p ) Ka da komórka ma zdefiniowane s¹siedztwo. W modelu za³o ymy, e definicja s¹siedztwa nie musi byæ jednakowa dla wszystkich komórek zbioru C. Da to mo liwoœæ definiowania odmiennie s¹siedztwa dla pewnych wyró nionych podzbiorów komórek (np. dla komórek, które bêd¹ w jakimœ modelu zdefiniowane jako komórki brzegowe). Bêdziemy natomiast zak³adali spójnoœæ zbioru s¹siedztwa. Dla jej zdefiniowania bêdziemy wykorzystywaæ relacjê przyleg³oœci oraz zdefiniowan¹ na jej podstawie tzw. relacjê poœredniej przyleg³oœci R pp. Powiemy, ze komórka c j jest poœrednio przyleg³a do c i wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ci¹g komórek od komórki c j do c i, które s¹ komórkami przyleg³ymi. Formalnie mo emy zapisaæ: c k R pp c i (c j1, c j2,..., c jn ) taki, e c jm = c k, c jn = c i oraz c jk R p c j m+1 dla j = 1, 2,..., n 1. Jako s¹siedztwo komórki c i bêdziemy rozumieli wyró niony zbiór komórek, w którym ka da komórka jest przyleg³a b¹dÿ poœrednio przyleg³a do komórki c i, czyli c k R pp c i. Oczywiœcie c k R p c i c k R pp c i oraz ³atwo pokazaæ, e relacja poœredniej przyleg³oœci jest symetryczna, antyzwrotna i przechodnia. S¹siedztwo zdefiniujemy za pomoc¹ odwzorowania: η:c 2 C, które ka dej komórce c C przypisuje podzbiór komórek stanowi¹cych jej s¹siedztwo η(c). (2 C oznacza zbiór wszystkich podzbiorów zbioru C). Odwzorowanie η bêdziemy nazywaæ funkcj¹ s¹siedztwa. Zauwa my, e wprowadzenie funkcji s¹siedztwa pozwala na niezale ne definiowanie ró nych s¹siedztw dla poszczególnych komórek, a tak e pozwala na definiowanie s¹siedztw o nieregularnym kszta³cie. Oczywiœcie nie wyklucza to sytuacji, gdy s¹siedztwo jest zdefiniowane jednakowo dla wszystkich komórek i ma regularny kszta³t. Oznaczmy symbolem S zbiór stanów komórki. Odwzorowanie con: C S, które ka - dej komórce c przyporz¹dkowuje jej stan con(c) = s S, bêdziemy nazywaæ konfiguracj¹. Poniewa konfiguracja okreœla stany wszystkich komórek uto samiaæ j¹ bêdziemy ze stanem ca³ej siatki. Zbiór konfiguracji bêdziemy oznaczaæ symbolem CON. Zbiór ten bêdzie odpowiada³ zbiorowi stanów automatu. Zmiany konfiguracji bêd¹ definiowane za pomoc¹ funkcji przejœcia f: CON CON, która ka dej konfiguracji przyporz¹dkowuje konfiguracjê nastêpn¹ f (con t ) = con t+1. Funkcja f jest funkcj¹ globalnej zmiany stanów [6, 7]. Jak wiadomo, istot¹ pojêcia automatu komórkowego jest to, e wyznaczanie nastêpnej konfiguracji odbywa siê za pomoc¹ lokalnie zdefiniowanego odwzorowania, które jest liczone kolejno dla ka dej komórki nale ¹cej do siatki lub dla komórek z pewnych podzbiorów (jeœli stan pozosta³ych komórek siê nie zmienia). Aby zatem zdefiniowaæ funkcjê przejœcia, wprowadzimy lokalne regu³y pozwalaj¹ce modelowaæ zachowanie ca³ego systemu.

Formalizacja automatów komórkowych w zagadnieniach symulacji... 387 Oznaczmy restrykcjê odwzorowania con do zbioru η(c i) jako con/η(c i ), czyli con/η(c i) jest okreœlona tylko dla argumentów ze zbioru η(c i ) i tym samym okreœla stany wszystkich komórek nale ¹cych do s¹siedztwa komórki c i. Oznaczmy symbolem r odwzorowanie lokalne, które na podstawie stanu komórki i-tej, s t (c i ) oraz konfiguracji jej s¹siedztwa con t /η(c i ) wyznacza stan tej komórki w chwili nastêpnej, czyli r(s t (c i ), con t /η(c i ) ) = s t+1 (c i ). Odwzorowanie to bêdziemy nazywaæ lokaln¹ regu³¹. Mo na teraz zdefiniowaæ funkcjê przejœcia f za pomoc¹ wielokrotnego liczenia funkcji lokalnej regu³y r dla kolejnych komórek w nastêpuj¹cy sposób: f (con t ) = con t+1, taka e c i C : con t+1 (c i ) = s t+1 (c i ) = r(s t (c i ), con t /η(c i )). Automat komórkowy ze sta³¹ siatk¹ oznaczany jako ACL const, zdefiniujemy jako siódemkê: ACL const = (C, R p, η, S, CON, r, f ). Korzystaj¹c z ogólnie przyjêtej terminologii teorii automatów mo emy powiedzieæ, e automat komórkowy ACL const jest szczególnym rodzajem automatu bez wejœæ ACL const = (X, f ), dla którego zbiór stanów jest równowa ny zbiorowi konfiguracji X CON, przy czym konfiguracja con zdefiniowana jest jako odwzorowanie con : C S, zaœ f jest funkcj¹ przejœcia f : CON CON okreœlon¹ za pomoc¹ definicji lokalnej regu³y i pojêcia s¹siedztwa. Wracaj¹c do terminologii przyjêtej w teorii automatów, konfiguracja con odpowiada stanowi automatu, zaœ zbiór konfiguracji CON odpowiada zbiorowi stanów automatu. 3. Zastosowanie formalizacji w modelowaniu dynamiki pieszych W punkcie tym przedstawimy rozszerzony model automatu komórkowego CAL const. Zwróæmy uwagê na dwie w³asnoœci wprowadzonego modelu. Po pierwsze, regu³a lokalna przyporz¹dkowywa³a stan nastêpny ka dej komórki w zale noœci od jej obecnego stanu oraz stanu jej s¹siedztwa. Po drugie, funkcja przejœcia by³a okreœlona za pomoc¹ regu³y lokalnej liczonej dla kolejnych komórek, przy czym kolejnoœæ liczenia nie odgrywa³a roli. Dla potrzeb modelowania ruchu pieszych model taki nie jest wystarczaj¹cy. WprowadŸmy zatem nastêpuj¹ce rozszerzenie w modelu. Regu³ê lokaln¹ zdefiniujemy jako funkcjê przyporz¹dkowuj¹c¹ nastêpny stan komórki nie tylko na podstawie jej stanu oraz stanów komórek s¹siednich, lecz dodatkowo na podstawie stanów innych wyró nionych komórek. Ogólnie r: CON S taka, e s t+1 (c) = r(s t (c), con t /η(c), con t /A )), gdzie

388 Ewa Dudek-Dyduch, Jaros³aw W¹s A jest dodatkowym podzbiorem komórek, których stan wp³ywa na przysz³y stan rozwa anej komórki. Zmieñmy te nieco definicjê funkcji przejœcia, przyjmuj¹c, e w algorytmie jej obliczania istotna jest kolejnoœæ przegl¹dania komórek. Taki model automatu komórkowego bêdziemy nazywaæ automatem komórkowym rozszerzonym i bêdziemy oznaczaæ ECAL const. Przyk³adem zastosowania powy szej formalizacji jest model symulacji dynamiki pieszych. Rozpatrywana sytuacja to opuszczanie du ej sali kinowej przez grupê pieszych [9]. Przedstawmy topologiê pomieszczenia (rys. 1). Pomieszczenie w modelu reprezentowane jest siatk¹ kwadratow¹ L = (C, R p ), zatem ka da komórka c indeksowana jest za pomoc¹ dwóch wskaÿników c i,j gdzie 1 i i max, 1 j j max, a wartoœci i max oraz j max wynikaj¹ z rozmiaru pomieszczenia i rozmiaru komórki. Relacja przyleg³oœci R p pokrywa siê z naturaln¹ relacja przyleg³oœci w siatkach kwadratowych. Jako s¹siedztwo η(c i ) przyjêto dla ka dej komórki s¹siedztwo Moora. W zbiorze C wyró niamy nastêpuj¹ce podzbiory komórek: Zbiór wyjœæ oznaczany jako E, które mog¹ byæ ró nie definiowane. W rozwa anym modelu wyjœcie odpowiada kilku komórkom i oznaczane jest jako e. Ka de wyjœcie sk³ada siê z podzbioru przyleg³ych komórek i tak np.: e 1 = {c 5,6, c 6,6, c 7,6 }. Zbiór komórek odpowiadaj¹cych czterem œcianom W = W 1 W 2 W 3 W 4, gdzie W i reprezentuje komórki i-tej œciany. Przyk³adowo pierwsza œciana W 1 jest zdefiniowana jako: W 1 = {c ij C: j = 1 oraz 1 i i max }. Zbiór komórek reprezentuj¹cych wnêtrze pomieszczenia, w którym wyró niamy podzbiór komórek reprezentuj¹cych krzes³a stanowi¹ce przeszkody, oznaczany symbolem O, oraz podzbiór komórek stanowi¹cych przestrzeñ dla ruchu ludzi. Rys. 1. Obraz symulacji przedstawiaj¹cy pieszych opuszczaj¹cych salê kinow¹. Piesi reprezentowani s¹ poprzez strza³ki wskazuj¹ce ¹dany kierunek ruchu, w przypadku niemo noœci wykonania ruchu komórka z danym pieszym zaznaczona jest kó³kiem

Formalizacja automatów komórkowych w zagadnieniach symulacji... 389 Zbiór stanów komórek S = {0, 1}, gdzie s(c) = 0 oznacza komórkê pust¹, zaœ s(c) = 1 komórkê zajêt¹ przez jednego cz³owieka [11]. Dla wszystkich komórek zbioru O przyjêto s(c) = 0. Rozmiar celi zosta³ przyjêty na podstawie pola, jakie przeciêtnie zajmuje cz³owiek w gêstym t³umie, zatem przyjêto rozmiar celi 40 40 cm. W pomieszczeniu losowo generujemy populacjê osób, które w dyskretnych przedzia³ach czasowych opuszczaj¹ pomieszczenie, poprzez dostêpne wyjœcia. Piesi odejmuj¹ decyzjê o kierunku ruchu na podstawie informacji globalnej o przestrzeni, a wiêc o stanie zarówno bezpoœredniego otoczenia (s¹siedztwa), jak i ca³ego pomieszczenia, a w szczególnoœci o zagêszczeniu osób w pobli u poszczególnych wyjœæ oraz swojej odleg³oœci od ró nych wyjœæ. Osoby reprezentowane s¹ w modelu za pomoc¹ zajêtoœci komórki s(c) = 1. Ich ruch bezpoœrednio zale y od stanu s¹siedztwa (zajêtoœci komórek). Zak³adaj¹c homogenicznoœæ zbioru ludzi, ruch reprezentowany jest jednakow¹ lokaln¹ regu³¹ r, przy czym regu³a ta zale y zarówno od stanów komórek s¹siednich con(η(c)), jak i od stanów komórek w pobli u wyjœæ. Definicja e E d i (e j ) j = 1, 2,... E i = 1,2,... P N(e j, λ) ρ(e j ) K i,j = d i (e j )w d + ρ(e j )w ρ D i Tabela 2 Definicje tworzonego modelu Objaœnienie wyjœcie e nale ¹ce do zbioru wyjœæ E znormalizowana odleg³oœæ i-tego pieszego od j-tego wyjœcia indeks j-tego wyjœcia indeks i-tego pieszego Otoczenie Moore a j-tego wyjœcia o promieniu λ zagêszczenie wokó³ j-tego wyjœcia koszt korzystania przez i-tego pieszego z j-tego wyjœcia decyzja i-tego pieszego: indeks wyjœcia, do którego zmierza Kryteria, które decyduj¹ o skierowaniu siê pieszego do danego wyjœcia to: znormalizowana odleg³oœæ od danego wyjœcia, gêstoœæ t³umu przy danym wyjœciu ρ(e j ). Na podstawie obydwu kryteriów tworzona jest funkcja kosztu K i,j, której minimum stanowi o decyzji podjêtej przez pieszego. Za³o enia i definicje przyjête w zaproponowanym modelu s¹ zaprezentowane w tabelach 2 i 3 oraz opisane równaniami (3) i (4): max, max 1 ( ) i j ρ ej = s( ci, j) (3) n i= 1, j= 1 D i = j, dla którego K ij = min (4)

390 Ewa Dudek-Dyduch, Jaros³aw W¹s Definicja s(c i,j ) c i,j N(e j, λ), c 1,1 = 0 n = (2λ + 1) 2 Tabela 3 Objaœnienia do równania (3) Objaœnienie stan k-tej komórki otoczenia Moore a j-tego wyjœcia, równe 0, gdy komórka jest wolna lub 1, gdy znajduje siê na niej pieszy k-ta komórka nale ¹ca do otoczenia Moore a j-tego wyjœcia liczba komórek nale ¹cych do otoczenia Moore a o promieniu λ w przestrzeni dwuwymiarowej (wliczaj¹c w to rozpatrywan¹ komórkê) Równanie (4) okreœla strategiê pieszego w wyborze wyjœcia, którym zamierza opuœciæ salê. Aby móc porównywaæ wartoœæ zagêszczenia wokó³ wyjœcia z odleg³oœci¹ pieszego od tego wyjœcia, nale y znormalizowaæ wszystkie odleg³oœci. Dokonujemy tego, dziel¹c ka d¹ odleg³oœæ przez maksymaln¹ odleg³oœæ miêdzy skrajnymi komórk¹ i wyjœciem (najd³u sza mo liwa odleg³oœæ wynosi 1) [18]. Rysunek 1 ukazuje przyk³adow¹ symulacjê opart¹ na opisywanym modelu. Ludzie reprezentowani poprzez strza³ki opuszczaj¹ salê kinow¹ poprzez trzy dostêpne wyjœcia. Komórki oznaczone wewn¹trz pomieszczenia reprezentuj¹ krzes³a. 4. Podsumowanie Artyku³ zwi¹zany jest z tworzeniem modeli opartych na pojêciu automatu komórkowego. Pierwszym celem artyku³u by³o zaproponowanie nowej formalnej definicji automatu komórkowego, stanowi¹c¹ podstawê do tworzenia ró nych modeli dynamicznych zagadnieñ przestrzennych. Zaproponowana formalizacja obejmuje szersz¹ klasê automatów ni definicje podane w literaturze. Ponadto przedstawiona formalizacja umo liwia œcis³¹ klasyfikacjê poszczególnych modeli, ich porównywanie, a tak e pozwala drog¹ uszczegó³owienia pewnych sk³adników definicji wyró niaæ podklasy automatów komórkowych. Poniewa wprowadzona definicja jest nieco inna ni spotykane w literaturze, dla odró nienia wprowadzono nazwê automatu komórkowego ze sta³¹ siatk¹. Nazwa ta ma dodatkowo podkreœlaæ fakt, e automat ten bêdzie wykorzystywany dla modelowania systemów o sta³ej topologii przestrzennej. Kolejnym celem by³o zaproponowanie rozszerzonej koncepcji i formalnej definicji automatu komórkowego ECAL const umo liwiaj¹cej œcis³e przedstawienie modelu szerokiej klasy zagadnieñ zwi¹zanych z ruchem pieszych. Zaprezentowana zmodyfikowana formalizacja automatów komórkowych umo liwia zdefiniowanie zarówno podstawowej koncepcji automatu komórkowego, w której stan danej komórki i jego zmiana zale ¹ jedynie od relacji lokalnych, jak i rozszerzenia koncepcji automatu komórkowego o w³aœciwoœci globalne. Przedstawiony formalizm zilustrowano konkretnym modelem s³u ¹cym do symulowania ruchu pieszych i badania potencjalnych strategii.

Formalizacja automatów komórkowych w zagadnieniach symulacji... 391 Literatura [1] Blue V., Adler J.: Bi-dirctional emergent fundamental pedestrian flows from cellular automata microsimulation. Proceedings of ISTTT 99 Amsterdam, 1999, 235 254 [2] Burstedde C.K., Klauck K., Schadschneider A., Zittartz J.: Simulation of pedestrian dynamics using a 2-dimensional cellular automaton. Phys. Rev., A 295, 2001, 507 525 [3] Corsonello P., Spezzano G., Staino G., Talia D.: Efficient implementation of Cellular algorithms on reconfigurable hardware. Proceedings of Euromicro-PDP, 2002, 211 219 [4] Dijkstra J., Jessurun A. J., Timmermans H.: A multi-agent cellular automata model of pedestrian movement. Pedestrian and evacuation dynamics. Berlin, Springer-Verlag 2000, 173 181 [5] Dijkstra J., Jessurun A.J., Timmermans H.: A multi-agent cellular automata system for visualising simulated pedestrian actrivity. Proceedings of TPICA 00 Berlin, 2001, 29 36 [6] Dudek-Dyduch E.: Formalizacja i analiza problematyki dyskretnych procesów produkcyjnych. Zesz. Nauk. AGH, Automatyka, z. 54, 1990 [7] Dudek-Dyduch E., Dutkiewicz L., Kucharska E.: Formalny model symulacji procesów decyzyjnych jako model algebraiczno-logiczny. XI warsztaty naukowe PTSK Bia³ystok Augustów, 2005, 394 402 [8] Gloor C., Stucki P., Nagel K.: Hybrid Techniques for Pedestrian Simulations. LNCS 3305, Proceedings ACRI 2004, University of Amsterdam, Science Park Amsterdam, The Netherlands, 2004, 581 590 [9] Gudowski B., W¹s J.: Zdolnoœci strategiczne pieszych w symulacji dynamiki ruchu metod¹ automatów komórkowych. XI warsztaty naukowe PTSK Bia³ystok Augustów, Warszawa, 2005, 508 515 [10] Klüpfel H., Meyer-Koning T., Wahle J., Schreckenberg M.: Microscopic simulation of evacuation processes o passenger ships. Proceedings IV ICCARI, London, 2000, 63 71 [11] Klüpfel H.: A cellular automaton model for crowd movement and egress simulation. Praca doktorska niepublikowana, 2003 [12] Negel K., Schreckenberg M.: A cellular automaton model for freewaytraffic. J. Phys., I 2, 1992, 2221 2229 [13] Reynolds C.W.: Flocks, Herds, and Schools: A Distributed Behavioral Model. Computer Graphics, 21(4) SIGGRAPH 87 Conference Proceedings, 1987, 25 34 [14] Spataro W., D Ambrosio D., Rongo R., Trunfio G.A.: An Evolutionary Approach for Modelling Lava Flows through Cellular Automata. LNCS 3305, Proceedings ACRI 2004, University of Amsterdam, Science Park Amsterdam, The Netherlands, 2004, 725 734 [15] Topa P., Paszkowski M.: Anastomosing transportation networks. LNCS 2328, Proceedings of PPAM 2001, Na³êczów, Berlin, Springer 2001, 904 911 [16] Tyszka J., Topa P., abaj P., Alda W.: Nowa metoda modelowania morfogenezy otwornic. Przegl¹d Geologiczny, t. 52, nr 1, 2004, 80 83 [17] W¹s J., Gudowski B.: Zastosowanie automatów komórkowych w symulacji dynamiki pieszych. Pó³rocznik AGH Automatyka, t. 8, z. 3, 2004, 303 313 [18] W¹s J., Gudowski B.: Simulation of strategical abilities in pedestrian movement using Cellular Automata. Proceedings of 24th IASTED International Conference on Modelling, Identification and Control, Innsbruck, 2005, 549 553

392 Ewa Dudek-Dyduch, Jaros³aw W¹s