AUTOMATYKA 2011 Tom 15 Zeszyt 2 Marek Hryniewicz*, Pawe³ Gara*, Micha³ Bembenek* Modelowanie rozk³adu nacisku jednostkowego w procesie kompaktowania materia³u sypkiego 1. Wprowadzenie Ostatnio obserwuje siê wzrost zainteresowania specyficznym rodzajem aglomeracji ciœnieniowej. Polega ona na nadawaniu materia³om pylistym lub drobnoziarnistym postaci kawa³kowej bez wymogu zachowania powtarzalnoœci kszta³tu [1, 4, 5, 8, 9]. Natomiast niezbêdne jest zapewnienie odpowiedniej wytrzyma³oœci mechanicznej kszta³tek oraz d¹ enie do minimalizacji kosztów takiej aglomeracji. Wi¹ e siê to przede wszystkim z doskonaleniem specyficznego systemu scalania materia³u sypkiego. Polega ono na dwustopniowej granulacji, w której nadawanie materia³owi postaci kawa³kowej jest pierwsz¹ operacj¹. Uzyskane w niej kszta³tki rozdrabniania siê w celu otrzymania produktu o okreœlonej frakcji ziarnowej. Do nadawania materia³owi sypkiemu postaci kawa³kowej najczêœciej u ywa siê pras z g³adkimi walcami roboczymi. Realizowane za ich pomoc¹ zagêszczanie i scalanie materia³u ziarnistego okreœla siê mianem kompaktowania. Rozszerzanie zakresu jego stosowania wymaga rozwoju teorii, co przyczyni siê m.in. do doskonalenia procesu kompaktowania oraz konstrukcji stosownych pras. Stanowi³o to inspiracjê do opracowania modelu matematycznego umo liwiaj¹cego okreœlenie rozk³adu nacisku jednostkowego w procesie kompaktowania materia³u sypkiego. Podjêto tak e próbê rozwi¹zania tego problemu w przypadku stosowania w prasie walcowej niesymetrycznego uk³adu zagêszczania. Uzyskane wyniki przedstawiono w niniejszym artykule. Model powinien przyczyniæ siê do rozwoju teorii kompaktowania oraz doskonalenia konstrukcji pras walcowych oraz uk³adów sterowania. 2. Ogólna postaæ modelu matematycznego W wyniku analizy stanu teorii zagêszczania i scalania materia³ów sypkich zdecydowano siê na rozwi¹zanie problemu modelowania rozk³adu nacisku jednostkowego w procesie * AGH Akademia Górniczo-Hutnicza, Wydzia³ In ynierii Mechanicznej i Robotyki, Katedra Systemów Wytwarzania 175
176 Marek Hryniewicz, Pawe³ Gara, Micha³ Bembenek kompaktowania na drodze modyfikacji w³asnego modelu matematycznego procesu brykietowania w prasie walcowej [7]. Z uwagi na g³adki charakter powierzchni roboczej walców zrezygnowano z uproszczenia polegaj¹cego na wprowadzeniu zastêpczego uk³adu zagêszczania. W znacznym stopniu przybli a to teoriê do rzeczywistej sytuacji fizycznej. Na rysunku 1 przedstawiono schemat uk³adu zagêszczania prasy walcowej przeznaczonej do kompaktowania. Wyró niono w nim 4 strefy: zasypu I, podawania II, zagêszczania III, ekspansji zwrotnej IV. Rys. 1. Schemat uk³adu zagêszczania prasy walcowej przeznaczonej do kompaktowania Pos³uguj¹c siê metod¹ cienkich przekrojów w strefie zagêszczania prasy wydzielono element objêtoœci brykietowanego materia³u ograniczony powierzchniami bocznymi walców i dwiema p³aszczyznami prostopad³ymi do kierunku przemieszczania siê materia³u, odleg³ymi od siebie o nieskoñczenie ma³¹ wartoœæ d y (rys. 1) W celu okreœlenia zwi¹zku
Modelowanie rozk³adu nacisku jednostkowego w procesie kompaktowania... 177 pomiêdzy jednostkowymi si³ami oraz naprê eniami wystêpuj¹cymi na powierzchni wydzielonego elementu, korzystano z warunku równowagi dzia³aj¹cych na niego si³, uzyskuj¹c nastêpuj¹ce równanie: dhy hd y σ y +σydhy pdh y y + ty = 0 tgα gdzie: h y odleg³oœæ miêdzy walcami na poziomie k¹ta αy, σ y œrednie naprê enie normalne, p y nacisk jednostkowy wywierany na materia³ sypki, t y jednostkowa si³a tarcia, α y k¹t zagêszczenia. y (1) Równanie (1) mo na przekszta³ciæ w wyniku uwzglêdnienia zale noœci miedzy p y i σ y oraz p y i t y. Zgodnie z modelem Coulomba jednostkow¹ si³ê tarcia t y, wystêpuj¹c¹ na powierzchni walców, wyra ono poprzez nacisk jednostkowy p y oraz wspó³czynnik tarcia zewnêtrznego μ, stanowi¹cy zmienn¹ zale n¹ od stopnia zagêszczenia oraz wilgotnoœci brykietowanego materia³u: t =μ p y ( s, w) y (2) Zale noœæ pomiêdzy naciskiem jednostkowym p y oraz œrednim naprê eniem normalnym σ y, zwan¹ warunkiem plastycznoœci posiada podobn¹ postaæ jak w przypadku brykietowania materia³u drobnoziarnistego [7]: σ +σ =ϑ (3) y y gdzie: σ 1, σ 2 naprê enia g³ówne, ϑ jednostkowy opór zagêszczania. Jednostkowy opór zagêszczania ϑ stanowi zmienn¹, zale n¹ od stopnia zagêszczenia s oraz wilgotnoœci w brykietowanego materia³u, stanowi¹c¹ wartoœæ nacisku jednostkowego w okreœlonej fazie zagêszczania materia³u w cylindrycznej matrycy zamkniêtej, przy zachowaniu porównywalnego stosunku wysokoœci brykietu do jego wymiaru poprzecznego. Dziêki wprowadzeniu do warunku plastycznoœci jednostkowego oporu zagêszczania uwzglêdniono wzmocnienie zgêszczanego materia³u w trakcie przebiegu procesu jego scalania. Przyjmuj¹c, e σ 1 = p y oraz σ 2 = σ y, uzyskano szczególn¹ postaæ warunku plastycznoœci, wyra aj¹c¹ zwi¹zek pomiêdzy naciskiem jednostkowym p y oraz œrednim naprê eniem normalnym σ y : p σ =ϑ (4) y y
178 Marek Hryniewicz, Pawe³ Gara, Micha³ Bembenek Po podstawieniu zale noœci (2) oraz (4) do równania (1) i wprowadzeniu uproszczenia polegaj¹cego na zast¹pieniu ³uku chwytu ciêciw¹ (α y = α 0 /2) otrzymano równanie o podanej poni ej postaci: dpy μctg( α0 /2) ϑ dϑ + py = + (5) dh h h dh y y y y Okreœla ono zale noœæ pomiêdzy naciskiem jednostkowym, wywieranym na oœrodek zagêszczany, geometri¹ uk³adu zagêszczania oraz w³aœciwoœciami brykietowanego materia³u. Zmiennoœæ jednostkowego oporu zagêszczania oraz wspó³czynnika tarcia zewnêtrznego w procesie zagêszczania i scalania materia³u sypkiego wyznacza siê w sposób eksperymentalny. Ogólne postacie stosownych formu³ empirycznych, które okreœlono na podstawie wyników badañ w³asnych prowadzonych dla kilkunastu materia³ów, podano poni ej: D E ϑ=cs w (6) μ= FS + GW + K (7) gdzie: ϑ jednostkowy opór zagêszczania, C, D, E, F, G, K wspó³czynniki równania regresji, s stopieñ zagêszczenia, w wilgotnoœæ materia³u, Formu³a empiryczna (6) wyra a zmiennoœæ jednostkowego oporu zagêszczania. W procesie brykietowania zmienia siê tak e wspó³czynnik tarcia zewnêtrznego. Zagadnienie to stanowi³o przedmiot badañ eksperymentalnych [3]. Wykaza³y one, e w³aœciwoœci zagêszczanego materia³u maj¹ istotny wp³yw na jakoœciowy oraz iloœciowy charakter zmian wspó³czynników statycznego i kinetycznego tarcia zewnêtrznego pary ciernej: stal brykietowany materia³ drobnoziarnisty. Zmiennoœæ kinetycznego wspó³czynnika tarcia zewnêtrznego wyra a formu³a empiryczna (7). Przedstawione poni ej równanie (8) umo liwia wyznaczenie przebiegu nacisku jednostkowego w strefie odprê ania brykietów. Postaæ tego równania przyjêto na podstawie wyników badañ eksperymentalnych, które prowadzono dla kilku materia³ów drobnoziarnistych o zró nicowanych w³aœciwoœciach. py 2 max 1 β y = p β gdzie: p max maksymalna wartoœæ nacisku jednostkowego, β y k¹t rozprê enia brykietów, β k¹t okreœlaj¹cy strefê rozprê ania brykietów. (8)
Modelowanie rozk³adu nacisku jednostkowego w procesie kompaktowania... 179 3. Okreœlenie k¹ta chwytu K¹t chwytu α 0 wyznacza pocz¹tek strefy zagêszczania materia³u w prasie walcowej. Istnieje mo liwoœæ obliczania go z zale noœci wyprowadzonej na drodze teoretycznej [6]. Dotyczy to jednak tylko przypadku brykietowania, którego efektem finalnym s¹ kszta³tki o okreœlonych wymiarach. Nale y zaznaczyæ, e maksymalna wartoœæ nacisku jednostkowego silnie zale y od k¹ta chwytu. Dlatego powinno siê przywi¹zywaæ odpowiedni¹ wagê do precyzyjnego okreœlenia jego wartoœci. K¹t chwytu mo na tak e wyznaczyæ na podstawie charakterystyki czasowej wartoœci nacisku jednostkowego, zarejestrowanej podczas scalania materia³u sypkiego w prasie walcowej wyposa onej w odpowiedni tor pomiarowy. W tym przypadku mo e byæ on obarczony du ym b³êdem. Prowadz¹c badania podatnoœci na brykietowanie ró nych materia³ów, zaobserwowano wystêpowanie dwóch faz w przebiegu tego procesu [6]. Pierwsz¹ z nich cechuje osi¹ganie du ych stopni zagêszczenia materia³u przy niewielkim nacisku. W drugiej fazie zjawisko to ma odwrotny charakter, tzn. niewielkim stopniom zagêszczenia towarzyszy wysoki nacisk. Dlatego trudno jest precyzyjnie okreœliæ pocz¹tek strefy zagêszczania na podstawie charakterystyki czasowej wartoœci nacisku jednostkowego. Inne rozwi¹zanie problemu [6] polega na wykorzystaniu przedstawionego modelu matematycznego oraz wyników badañ laboratoryjnych. Znaj¹c charakterystykê czasow¹ wartoœci nacisku jednostkowego, mo na odwróciæ zadanie i obliczyæ k¹t, który nazwano przewidywanym k¹tem chwytu. Proponowana metoda jest przydatna, je eli dysponuje siê wynikami badañ prowadzonych w skali odpowiadaj¹cej obiektowi, bêd¹cemu przedmiotem zainteresowania. Na podstawie przeprowadzonej analizy zdecydowano, e zarówno w przypadku brykietowania, jak i kompaktowania materia³u sypkiego korzystne jest siêganie do ostatniego rozwi¹zania. 4. Symulacja rozk³adu nacisku jednostkowego w procesie kompaktowania Zmodyfikowany model matematyczny poddano weryfikacji, porównuj¹c rezultaty obliczeñ teoretycznych z wynikami badañ eksperymentalnych. Korzystaj¹c z modelu, przeprowadzono obliczenia symulacyjne rozk³adu nacisku podczas kompaktowania wodorotlenku wapnia o ró nej wilgotnoœci. Zgodnie z teori¹ walcowania oœrodków ci¹g³ych przyjêto, e przekrój, w którym wystêpuje najwiêksza wartoœæ nacisku poprzedza strefê maksymalnego zbli enia walców o tzw. k¹t wyprzedzenia. S³usznoœæ tego za³o enia wykazano w badaniach eksperymentalnych prowadzonych z wykorzystaniem laboratoryjnej prasy LPW 450 o œrednicy walców 450 mm. Opis stanowiska i metodyki badañ zawarto w pracy [2].
180 Marek Hryniewicz, Pawe³ Gara, Micha³ Bembenek Na podstawie uzyskanych wyników stwierdzono, e w przypadku kompaktowania wodorotlenku wapnia o wilgotnoœci 17,5 20,0% k¹t wyprzedzenia wynosi ok. 0,8 o. Wyznaczono tak e oczekiwan¹ wartoœæ k¹ta chwytu α 0 = 7,1 o oraz k¹t okreœlaj¹cy strefê sprê ystego rozprê ania β = 2,4 o. W kolejnych badaniach eksperymentalnych wyznaczono zmiennoœæ jednostkowego oporu zagêszczania oraz kinetycznego wspó³czynnika tarcia zewnêtrznego. Dysponuj¹c szczególnymi postaciami formu³ empirycznych 6 oraz 7 i znaj¹c wartoœci okreœlonych parametrów, przeprowadzono eksperymenty symulacyjne, których celem by³o m.in. zbadanie wp³ywu wilgotnoœci wodorotlenku wapnia na wartoœæ nacisku jednostkowego oraz wartoœci obci¹ eñ elementów roboczych prasy, dla korzystnej szerokoœæ szczeliny miêdzy walcami a = 3 mm. Na podstawie analizy wyników badañ symulacyjnych stwierdzono, e zgodnie z przewidywaniami wzrost wilgotnoœci materia³u powoduje zmniejszenie wartoœci maksymalnej nacisku jednostkowego. Wp³ywa to na obni enie wartoœci si³y wypadkowej dzia³aj¹cej na walec oraz spadek wartoœci momentu oporu. Graficzny obraz wyników badañ symulacyjnych przedstawiono na rysunku 2. Natomiast przyk³adowe charakterystyki czasowe wartoœci nacisku jednostkowego oraz momentu skrêcaj¹cego wa³ walca roboczego prasy przedstawiono na rysunku 3. Zarejestrowano je podczas kompaktowania w prasie LPW 450 wodorotlenku wapnia o wilgotnoœci 17,5%, przy zachowaniu szerokoœci szczeliny a = 3 mm. Natomiast w tabeli 1 zamieszczono maksymalne wartoœci nacisku jednostkowego stanowi¹ce wyniki badañ eksperymentalnych oraz symulacyjnych. Rys. 2. Wp³yw wilgotnoœci wodorotlenku wapnia na przebieg nacisku jednostkowego podczas kompaktowania materia³u w prasie walcowej LPW 450 przy szerokoœci szczeliny a = 3 mm
Modelowanie rozk³adu nacisku jednostkowego w procesie kompaktowania... 181 Rys. 3. Przyk³adowe charakterystyki czasowe wartoœci nacisku jednostkowego oraz momentu skrêcaj¹cego uzyskane podczas scalania materia³u o wilgotnoœci 17,5% przy zachowaniu sta³ej szerokoœci szczeliny a = 3 mm oraz wartoœci prêdkoœci obwodowej walców V = 0,1 m/s Tabela 1 Porównanie zmierzonych maksymalnych wartoœci nacisku jednostkowego z wynikami badañ symulacyjnych dla przypadku kompaktowania wodorotlenku wapnia w prasie LPW 450 Wilgotnoœæ [%] 17,5 20 Parametr Maksymalna wartoœæ nacisku jednostkowego [MPa] Maksymalna wartoœæ nacisku jednostkowego [MPa] Pomiar 1 2 3 4 Œrednia wartoœæ Symulacja Odchylenie [%] 45,9 42,9 41,1 42,0 43,0 44,0 2,3 29,3 33,0 32,8 32,9 32,0 31,0 3,1 Porównanie wyników badañ zamieszczonych w tabeli 1 wskazuje na du ¹ zgodnoœæ teorii z rzeczywist¹ sytuacj¹ fizyczn¹ w przypadku kompaktowania wodorotlenku wapnia. 5. Podsumowanie Modyfikacja modelu matematycznego procesu brykietowania materia³u sypkiego da³a pozytywne efekty. Korzystaj¹c z niego uzyskano dobr¹ zgodnoœæ teorii z rzeczywist¹ sytuacj¹ fizyczn¹ dla kompaktowania wodorotlenku wapnia. Podjêta tematyka bêdzie
182 Marek Hryniewicz, Pawe³ Gara, Micha³ Bembenek kontynuowana. Przewiduje siê realizacjê kolejnych badañ weryfikacyjnych na przyk³adzie innych materia³ów np. szlamów stanowi¹cych odpady przemys³u chemicznego, które zawieraj¹ zwi¹zki potasu oraz magnezu. Po poddaniu ich dwustopniowej granulacji mo na otrzymaæ nawozy dla niektórych roœlin. Istnieje, zatem potrzeba prowadzenia badañ wspomagaj¹cych prace dotycz¹ce zagospodarowania tego typu odpadów. Odrêbny problem stanowi modelowanie procesu kompaktowania materia³u sypkiego w prasie z niesymetrycznym uk³adem zagêszczania. Mo na go rozwi¹zaæ dokonuj¹c idealizacji takiego uk³adu. Polega ona na zachowaniu rzeczywistej œrednicy walców, za³o eniu, ze posiadaj¹ one g³adk¹ powierzchniê robocz¹ i dokonanie zmiany szerokoœci szczeliny miêdzy nimi. Okreœla siê j¹ przyjmuj¹c, e objêtoœæ wyprasek otrzymanych w rzeczywistym oraz zastêpczym uk³adzie zagêszczania jest taka sama. Przyjêta koncepcja idealizacji niesymetrycznego uk³adu zagêszczania prasy przeznaczonej do kompaktowania materia³u sypkiego bêdzie poddana weryfikacji. Literatura [1] Bacher C., Olsen P.M., Bertelsen P., Kristensen J., Sonnergaard J.M., Improving the compaction properties of roller compacted calcium carbonate. International Journal of Pharmaceutics 2007, vol. 342, 115 123. [2] Bembenek M., Hryniewicz M., Badania i opracowanie metody doboru uk³adu zagêszczania prasy walcowej. Wydawnictwa AGH, Kraków 2010. [3] Drzyma³a Z., Hryniewicz M., Kosturkiewicz B., Badania zmiennoœci tarcia zewnêtrznego w procesie zagêszczania materia³ów drobnoziarnistych. Zeszyty Naukowe AGH, Mechanika (kwartalnik AGH), t. 11, z. 2, 1992, 135 144. [4] Gara P., Hryniewicz M., Wis³a-Walsh E., New high surface area calcareous sorbent produced in mechanical operations. Polish Journal of Environmental Studies, 2008, vol. 17, No. 3A, 198 202. [5] Herting M.G., Kleinebudde P., Roll compaction/dry granulation: Effect of raw material particle size on granule and tablet properties. International Journal of Pharmaceutics, 2007, vol. 338, 110 118. [6] Hryniewicz M., Problem k¹ta chwytu w modelowaniu procesu brykietowania materia³ów drobnoziarnistych w prasach walcowych. Zeszyty Naukowe AGH, Mechanika (kwartalnik AGH), t. 9, z. 3, 1990, 83 89. [7] Hryniewicz M., Metoda doboru pras walcowych oraz za³o eñ do ich modernizacji lub konstrukcji. Rozprawy monografie, Wydawnictwa AGH, Kraków 1997. [8] Kosturkiewicz B., Janewicz A., Scalanie wielosk³adnikowych nawozów sztucznych. Problemy In- ynierii Mechanicznej i Robotyki. Zagadnienia urz¹dzeñ ochrony œrodowiska, Monografie, Kraków 2006, Nr 32, s. 261 267. [9] Yusofa Y.A., Smith A.C., Briscoe B.J., Roll compaction of maize powder. Chemical Engineering Science, vol. 60, 2005, 3919 3931.