Optymalizacyjny model synchronizacji ruchu tramwajów w sieci

MUSIALSKI Kamil 1 KICIŃSKI Marcin 2 Optymalizacyjny model synchronizacji ruchu tramwajów w sieci WSTĘP Transport jest działem gospodarki integrującym pozostałe takie jak produkcja i usługi, przez co przyczynia się do jej rozwoju. Jest to możliwe dzięki spełnianiu przez transport szeregu zadań polegających m.in. na: realizacji obrotu towarów, tworzeniu produktu krajowego brutto (PKB), jako czynnika lokalizacyjnego, kształtowaniu ładu przestrzennego oraz realizacji celów związanych z funkcjonowaniem państwa integracji terytoriów, utrzymaniu obronności. Jednym z głównych zadań jest jednak realizacja potrzeb komunikacyjnych ludności [10][12]. W przypadku terenów zurbanizowanych w celu zaspokojenia wspomnianych potrzeb organizowany jest przez jednostki samorządu terytorialnego transport miejski. Tutaj szczególną rolę odgrywa publiczny transport zbiorowy, w którym przewóz osób realizowany jest na terenie miasta/miast, gminy/gmin czy też aglomeracji według określonego z góry rozkładu jazdy przez wyznaczone podmioty [17]. Pojęcie publiczny oznacza w tym przypadku, że przewóz realizowany jest po z góry określonych transach i według ogólnodostępnego rozkładu, a sam transport odbywa się po dokonaniu opłaty [15]. Obecnie najbardziej rozpowszechnionym rodzajem publicznego regularnego transportu zbiorowego w Polsce na obszarach miejskich jest transport samochodowy autobusowy. Łączna długość jego linii w kraju w 2013 roku wyniosła 50 894 km. Dla porównania długość linii tramwajowych wynosiła w tym samym roku jedynie 2 196 km. W poszczególnych województwach w przypadku tego transportu (tramwajowego) długość linii wahała się od 0 (województwa: lubelskie, opolskie, podkarpackie, podlaskie i świętokrzyskie) do 390 km (województwo śląskie) rysunek 1. Rys. 1. Długość linii komunikacji miejskiej w 2013 roku (opracowanie własne na podstawie [14] Zarówno w przypadku transportu autobusowego, jak i tramwajowego istotną rolę odgrywa infrastruktura liniowa i punktowa. W odniesieniu do tego drugiego jest ona elementem, który 1 mgr inż., musialski.k@gmail.com 2 dr inż., Politechnika Poznańska, Wydział Maszyn Roboczych i Transportu, Instytut Maszyn Roboczych i Pojazdów Samochodowych, Zakład Systemów Transportowych, 60-965 Poznań; ul. Piotrowo 3. Tel: + 48 61 665-21-29, Fax: + 48 61 665-22-36, marcin.kicinski@put.poznan.pl 3416

znacząco ogranicza jego rozwój, bowiem wymaga stosunkowo wysokich nakładów zarówno w przypadku budowy, jak i utrzymania [20]. Każdy ze wspomnianych elementów posiada określoną przepustowość definiowana jako [13]: maksymalna liczba środków transportu, jakie mogą w jednostce czasu (w ciągu godziny, doby czy roku) przemieścić się przez określony element transportowej infrastruktury liniowej lub punktowej. I tak w odniesieniu do transportu tramwajowego wyróżnić można następujące podstawowe elementy infrastruktury: torowiska, trakcję elektryczną, pętle tramwajowe, przystanki, zajezdnie. Z punktu widzenia jakości świadczonych usług przez publiczny transport tramwajowy niezbędne jest przy jego organizacji uwzględnienie szeregu czynników, takich jak [1][3][5][9][11][18][19]: węzły przesiadkowe i związana z tym synchronizacja rozkładu jazdy. Wg Dźwigonia [3] właściwa synchronizacja rozkładów linii skraca czas oczekiwania pasażerów oraz pozwala na bardziej równomierne rozłożenie potoków pasażerskich na pojazdy, a tym samym uniknąć przeciążenia niektórych z nich. Do największych uciążliwości dla pasażerów związanych ze złymi rozkładami jazdy zalicza się [3]: pokrywanie się kursów dwóch linii odjazd o tym samym czasie, długie interwały między kursami. Zdaniem autorów niezwykle trudnym zadaniem jest sprostowanie tym wymogom w sytuacji zwłaszcza ograniczonej przepustowości sieci tramwajowej. 1. DEFINICJA PROBLEMU DECYZYJNEGO Poruszany w niniejszym artykule problem ustalania rozkładów jazdy dotyczy przedsiębiorstw realizujących zbiorowy tramwajowy transport publiczny, w których znana jest z góry: Liczba linii tramwajowych. Struktura sieci infrastruktury punktowej i liniowej, tj.: długości poszczególnych odcinków torowisk, czasy przejazdu tramwajów poszczególnych linii pomiędzy przystankami, występujące relacje skrętne na węzłach. Jednakowy interwał ruchu tramwajów w całej sieci. Mając na uwadze powyższe problem decyzyjny wyznaczania rozkładów jazdy w sieci tramwajowej publicznego transportu zbiorowego polega na ustaleniu chwil czasowych, w których tramwaje poszczególnych linii wyjeżdżać będą z początkowych punktów węzłowych, aby przy danych uwarunkowaniach wynikających z istniejącej sieci możliwe było jak najlepsze synchronizowanie tramwajów w poszczególnych węzłach pośrednich (tutaj przystankach przy nich się znajdujących). Właściwa synchronizacja, w opinii praktyków, to próba zrealizowania wcześniej wymienionych postulatów pasażerów przy jednoczesnym zachowaniu na określonym poziomie wymagań operatora publicznego transportu zbiorowego. Ich zdaniem pasażerowie preferują linie o dużej liczbie przystanków łączące pętle po przeciwnych stronach miasta [9]. Taki model systemu komunikacji tramwajowej utrudnia zsynchronizowanie linii, ponieważ przesunięcie wyjazdu z pętli o minutę powoduje implikacje na wielu węzłach. Właściwa synchronizacja, polega więc na odpowiednim manipulowaniu czasem odjazdu tramwajów poszczególnych linii z pętli danego miasta, tak aby na węzłach tego miasta nie wystąpiły sytuacje [9]: Jazdy na zderzak czyli przejazd tramwajów różnych linii w jednej minucie przez ten sam przystanek. Ta kwestia dotyczy głównie większych węzłów miasta, gdzie istnieje możliwość zjeżdżania się tramwajów z różnych kierunków, a czas dojazdu tych linii do omawianego węzła jest różny, przez co mogą one pojawić się na węźle jednocześnie. Występuje wtedy przypadek blokowania tramwaju lub w skrajnych przypadkach zablokowanie skrzyżowania. 3417

Dublowania kursów czyli zdarzenie, w którym tramwaje różnych linii jadą jeden za drugim. 2. MODEL MATEMATYCZNY PROBLEMU 2.1. Oznaczenia Danymi wejściowymi dla modelu matematycznego synchronizacji ruchu tramwajów są: Schemat sieci tramwajowej, która obrazuje siatkę połączeń z wyszczególnionymi węzłami i pętlami tramwajowymi. Z informacją na temat obsługujących te węzły i pętle linii. Zapis przebiegu tras poszczególnych linii w postaci występowania informacji o obsłudze danego węzła przez linię o konkretnym numerze. Informacje na temat zastosowanego interwału ruchu oraz czasu przejazdu pomiędzy kolejnymi węzłami. Dla każdego węzła konieczne są dane na temat lokalizacji przystanku wraz z informacją o określonym kierunku kierunek poruszania się składów tramwajowych. W modelu przyjęto następujący sposób oznaczenia: Oznaczenie kierunku geograficznego N 1. Oznaczenie wobec dołączonej do schematu róży wiatrów to znaczy: N North Północ, W West Zachód, E East Wschód, S South Południe. Oznaczenie zwrotu poruszania się w danym kierunku N 2. Przyjęta orientacja. G Góra w kierunku północnym, L Lewo w kierunku zachodnim, P Prawo w kierunku wschodnim, D Dół w kierunku południowym. Taki sposób przyjętego oznaczenia pozwala zakodować określoną informację. Przykładowo N 1. N 2 ND przystanek zlokalizowany po północnej stronie węzła ruch tramwajów w kierunku południowym. 2.2. Zmienne decyzyjne Zmiennymi decyzyjnymi w przypadku tego modelu są wartości odjazdów poszczególnych składów z pętli (węzłów początkowych), czyli:, (1) Pev Pe v gdzie: oznaczają wartość odjazdów składów linii z węzła pętli oznaczonej jako i będą elementami zbioru. 2.3. Ograniczenia W proponowanym modelu uwzględniono następujący zbiór ograniczeń: Wartość odjazdu jest liczbą całkowitą. Związane jest to z tym, iż praktycznie rozkład jazdy tramwajów ustalany jest z dokładnością do 1 minuty. Nie mniej należy pamiętać, że nawet dokładność rzędu 1 minuty w przypadku tramwajów jest często trudna do osiągnięcia z uwagi np. na zmiany czasu wsiadania i wysiadania pasażerów. Zakres wartości dla zmiennych decyzyjnych w przedziale od 0 do wielkości interwału. Synchronizacja tworzona dla jednego interwału i oznacza powtarzalność kursów cyklicznie w ciągu trwania określonego przedziału czasu wyznaczonego nim. Oprócz tego możliwe jest uwzględnienie ograniczenia opcjonalnego zapewnienia minimum 3 minut różnicy między przyjazdem na pętle, a wyjazdem tego samego składu z pętli. Czas ten potrzebny jest motorniczemu na czynności obsługowe, jak np. kontrola wnętrza tramwaju. 2.4. Funkcja celu W proponowanym modelu synchronizacji rozkładu jazdy zaproponowano jedno kryterium optymalizacyjne minimalizacja dublowania kursów (zndk PN1N2Wx), czyli jak wspomniano wcześniej przejazdu tramwajów różnych linii w jednej minucie przez ten sam przystanek. 3418

2.5. Sformułowanie matematyczne Dane wejściowe: Niech oznacza interwał ruchu przyjęty w danym schemacie; Niech - oznacza węzeł w sieci, gdzie x to jego numer Niech - oznacza konkretny przystanek w węźle o położeniu przystanku i kierunku ruchu Niech - zbiór linii tramwajowych obsługujących przystanek Niech to minuta odjazdu składu konkretnej linii z przystanku Niech to minuta odjazdu składu konkretnej linii b z przystanku Niech to minuta odjazdu składu konkretnej linii c z przystanku Niech oznacza konkretną pętle gdzie to jej numer; Niech oznacza czas przejazdu z na Niech oznacza czas przejazdu z na Niech zbiór wszystkich odjazdów z przystanku Niech oznacza zbiór wskaźników - kontrolerów liczb naturalnych przyporządkowanych do poszczególnych elementów zbioru i odpowiadających ich obecności; Niech gdzie to kolejny numer porządkowy 0,1,2,3, Zmienne decyzyjne Ograniczenia Tak, więc: (2) (3) (4) Przyjmując, że: (5) Wtedy: (6) gdzie: oznacza zdarzenie niekorzystne dublowania kursów rozumiane jako liczba powtórzeń wartości zbioru w zbiorze wskaźników dla przystanku. (7) gdzie: 3419

pętli w sieci. Stąd funkcja celu: zbiór wszystkich zdarzeń niekorzystnych dublowania kursów dla każdego węzła i (8) 3. ANALIZA PRZYPADKU NA PRZYKŁADZIE MIASTA POZNANIA 3.1. Przygotowanie modelu Testowanie modelu przeprowadzono na przykładzie sieci tramwajowej miasta Poznania, której schemat (skonstruowany w programie MSExcel) przedstawiono na rysunku 2. Rys. 2. Schemat rozważanej sieci tramwajowej miasta Poznania (materiały MKP Poznań Sp. z o.o.) Poszczególne elementy infrastruktury punktowej i liniowej zostały tak zaprojektowane, by możliwe było bezpośrednie odczytanie wyników procedury optymalizacyjnej. Objaśnienia ich zamieszczono na rysunku 3. Zaprojektowany schemat był podstawą do konstrukcji arkusza, w którym bezpośrednio przeprowadzono procedurę optymalizacyjną. Fragment jego przedstawiono na rysunku 4. Jak można zauważyć dotyczy on węzła o nazwie Most Teatralny, gdzie występują różne kierunki jazdy (np. NG). Oprócz tego pokazany jest fragment numeracji linii rozważanych w eksperymencie obliczeniowych. 3420

Rys. 3. Objaśnienia poszczególnych elementów infrastruktury tramwajowej zamodelowanej w arkuszu MS Excel (opracowanie własne na podstawie materiałów MPK Poznań Sp. z o.o.) Taka konstrukcja arkusza przeprowadzona została dla każdego węzła w sieci tramwajowej miasta Poznania uwzględnionej na rysunku 2. Rys. 4. Fragment przygotowanego arkusza przeznaczonego do optymalizacji synchronizacji ruchu w sieci W modelu dla miasta Poznania przyjęto występowanie 31 zmiennych decyzyjnych. Ich przyjęte oznaczenia zamieszczono w tabeli 1. 3421

Tab. 1. Wykaz zmiennych decyzyjnych przyjętych dla modelu miasta Poznania Nazwa pętli: Symbol Numery linii Zmienne decyzyjne: minuty odjazdu z określonej pętli odjeżdżających z tej pętli tramwajowej Piątkowska: 9 5 12 14 os. Jana III 15 Sobieskiego 16 8 17 Ogrody: 11 2 7 Połabska: 4 10 Wilczak 3 Zawady 7 3 Miłostowo 8 6 16 Franowo 18 6 Stomil 5 12 Starołęka 17 4 10 Dębiec 2 9 11 Górczyn 18 14 3.2. Eksperymenty obliczeniowe Eksperymenty obliczeniowe przeprowadzono z wykorzystaniem wersji testowej komercyjnego solwera Evolver firmy Palisade Corporation wersja 6.2.0, w którym optymalizacja przebiega z wykorzystaniem algorytmów ewolucyjnych [8][7]. Selver ten przeznaczony jest do rozwiązywania problemów, które nie mają przebiegu liniowego [4]. W eksperymencie obliczeniowym przyjęto następujące parametry algorytmu ewolucyjnego Evolvera: Parametr krzyżowania 0,2. Parametr mutacji 0,1. Wielkość populacji 1000. Prędkość automatyczna. Czas optymalizacji 15 minut Jako punkt startowy przyjęto początkowe wartości zmiennych na poziomie od 1 do 20 jednoczesny wyjazd wszystkich tramwajów z pętli odpowiednio w 1, 2, 3. do 20 minucie zakładanego interwału (w tym przypadku 20 minutowy). Oprócz tego w modelu wprowadzone inne ograniczenia, tak by było możliwe przeszukanie możliwe największego spektrum obszaru rozwiązań dopuszczalnych. W toku procedury optymalizacyjnej minimalna wartość kryterium dublowania kursów (zndk PN1N2Wx) wyniosła 2. Oznacza to, że dla przyjętego interwału 20-minutowego nie można było znaleźć takiego 3422

rozwiązania, w którym nie wystąpi na którymś z przystanków sytuacja niekorzystna w postaci zatrzymania się tramwajów różnych linii w jednej minucie w jednym miejscu (na przystanku). WNIOSKI Synchronizacja rozkładów jazdy tramwajów jest zagadnieniem bardzo złożonym. Wymaga uwzględnienia szeregu czynników w tym i tych związanych z infrastrukturą. Jak autorzy wykazali, dla zaproponowanego modelu, testowanego na danych sieci tramwajowej miasta Poznania nie ma możliwości dla interwału 20-minutowego takiego zaplanowania czasu wyjazdu tramwajów, by teoretycznie nie wystąpiło zdarzenie niekorzystne ta sama godzina odjazdu z tego samego przystanku. Biorąc pod uwagę zaproponowany model możliwe jest uwzględnienie także innych kryteriów np.: minimalizacja zdarzeń, w którym tramwaje różnych linii jadą jeden za drugim. Oprócz tego z punktu widzenia pasażera możliwe jest zdaniem autorów zaproponowanie takiego kryteriów, w którym np. 5 tramwajów różnych linii w interwale 20 min. dla całej sieci odjeżdżają z danego przystanku w 1, 5, 9, 13 i 17 minucie (minimalizacja rozrzutu czasu odjazdu pomiędzy kolejnymi tramwajami różnych linii na tym samym przystanku w zakładanym interwale). Streszczenie Artykuł związany jest z zagadnieniem synchronizacji linii tramwajowych. Autorzy sformułowali problem jako zagadnienie statycznej optymalizacji jednokryterialnej, przy czym za zmienną decyzyjną przyjęto czas wyjazdu składu z pętli tramwajowej w zakładanym interwale. Serię eksperymentów obliczeniowych przeprowadzono uwzględniając jedno kryterium, tj. minimalizację liczby przejazdów tramwajów różnych linii w jednej minucie przez ten sam przystanek. Wartości kryteriów zostały wyznaczone dla istotnych punktów węzłowych sieci tramwajowej. Procedury optymalizacji zrealizowano z wykorzystaniem programu MS Excel, w którym zamodelowano sieć. Z uwagi na nieliniowość problemu decyzyjnego wykorzystano do poszukiwania najlepszego rozwiązania testową wersję solwera Evolver firmy Palisade bazującego na algorytmach ewolucyjnych. Jako dane wejściowe przyjęto sieć tramwajową miasta Poznania. Finalnie uzyskane wartości końcowe: zmiennych decyzyjnych oraz funkcji celu porównano ze sobą. Słowa kluczowe: synchronizacja, rozkłady jazdy, sieć tramwajowa, optymalizacja The optimization model of the tramp network traffic synchronization Abstract This article is related to the issue of a single static optimization mathematic model of the tram network traffic synchronization. The authors formulated the problem as a single criterion and static optimization problem. The decision variables are defined as: the trams time of departure from tramway loops at certain time interval. The criterion are defined as: minimization of the number trams in the same tram stop. Computational experiments were carried out and the single criterion optimization software Evolver designed by Palisade Corporation were used. This solver base to evolutionary algorithmswere used to solve nonlinear problems. The model tested on data from City Poznan (one of tram interval 20 min, several starter solution and parameters of the evolutionary algorithms in Evolver software). Keywords: synchronization traffic, timetable, tram network, optimization BIBLIOGRAFIA 1. Ceder, A., Public Transit Planning and Operation: Theory, Modeling and Practice. Wydawnictwo Elsevier, Butterworth-Heinemann, Oxford, UK, 2007. 2. Ceder, A., Wilson, N., Bus network design. Transportation Research 1986 Part B, No. 20, s. 331 344. 3. Dźwigoń W., Synchronizacja rozkładów jazdy w transporcie zbiorowym. Transport Miejski i Regionalny 2006, nr 12, s. 38 42. 4. Gutenbaum J., Modelowanie matematyczne systemów. Seria: Badania systemowe, tom 32. Instytut Badań Systemowych PAN, Warszawa 2003. 5. Krych A., Procesy rozwojowe w układzie transportowo-przestrzennym Poznania. Problemy komunikacji tramwajowej. Kronika Miasta Poznania 1989, nr 3, s. 129-145. 3423

6. Liberadzki B., Mindur L., Uwarunkowania rozwoju systemu transportowego Polski. Instytut Technologii Eksploatacji/Państwowy Instytut Badawczy, Radom/Warszawa 2007. 7. Michalewicz Z., Algorytmy genetyczne + struktury danych = programy ewolucyjne. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1996 8. Michalewicz Z., Genetic algorithms, numerical optimization, and constraints. W: ICGA 95, 1995, s. 151 158. 9. Musialski K., Model synchronizacji ruchu w sieci. Praca dyplomowa magisterska, Wydział Maszyn Roboczych i Transportu Politechniki Poznańskiej, Poznań 2014. 10. Pietraszewski M., Organizacja Gospodarki w Polsce. Wydawnictwo empi2, Poznań 1995. 11. Rudnicki A., Jakość komunikacji miejskiej. Zeszyty Naukowo-Techniczne Oddziału SITK w Krakowie, monografia nr 5, zeszyt 71, Kraków 1999. 12. Rutkowski K, Beier F., Logistyka. SGH, Warszawa 1995. 13. Słownik pojęć strategii rozwoju transportu do 2020 roku (z perspektywą do 2030). Ministerstwo Transportu, Budownictwa i Gospodarki Morskiej. Warszawa 2011. 14. Transport. Wyniki działalności w 2013 r. Główny Urząd Statystyczny, Warszawa 2014. 15. Ustawa z dnia 16 grudnia 2010 r. o publicznym transporcie zbiorowym (Dz.U. 2011 nr 5 poz. 13). 16. Vuchic V., Urban transit system and technology. John Wiley & Sons, 2007. 17. Wojewódzka-Król K.,Rydzykowski W., Transport. Problemy transportu w rozszerzonej UE. PWN, Warszawa 2009. 18. Wyszomirski O. (red.), Zarządzanie komunikacją miejską. Gdańska Fundacja Kształcenia Menadżerów, Gdańsk 1999. 19. Wyszomirski O., Transport miejski ekonomika i organizacja. Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2010. 20. Zmuda-Trzebiatowski P., Bieńczak M., Kicinski M., Fierek S., Wielokryterialna ocena wariantów przebudowy skrzyżowania z ruchem okrężnym na przykładzie modernizacji Ronda Rataje w Poznaniu. Technika transportu szynowego 2012, nr 9, s. 4585-4594. 3424