Samouczek przygotowujący do Kuratoryjnego Konkursu Matematycznego (na podstawie zadań z roku 00) Szkoły podstawowe
Treści zadań Zestaw I Zadanie nr Arek ma pomalować płot u siebie i u swojego wujka. Obydwa płoty są identyczne, gdyż Rodzice Arka i wujek mieszkają w bliźniaku.. Arek własny płot malował w piątek od :00 do :00. W sobotę Arek również zaczął malowanie o :00. Po dwóch godzinach samotnej pracy dołączył do niego wujek, który nie szedł tego dnia do pracy. Odtąd wujek i Arek i malowali razem. O której godzinie w sobotę Arek i wujek skończyli pracę, jeśli wiadomo, że wujek maluje płot trzy razy szybciej od Arka? Zadanie nr Kazik zawsze w sobotę obiera ziemniaki dla całej rodziny. Jednak robi to bardzo wolno i cała praca zajmuje mu prawie godzinę, a dokładnie minut. W ostatnią sobotę zlitowała się nad nim siostra Lusia, która obiera ziemniaki cztery razy szybciej od Kazika. Lusia widząc brata obierającego ziemniaki, wzięła nóż i także przystąpiła do obierania. W ten sposób, od chwili gdy Kazik wziął pierwszy ziemniak, do zakończenia obierania ziemniaków przez obydwoje rodzeństwa minęło tylko minut! Po ilu minutach samotnego obierania ziemniaków przez Kazika, Lusia przystąpiła do pracy? Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Działkowicz miał do przekopania działkę. Pracę rozpoczął o godzinie :00 rano. Gdyby pracował bez przerwy w równym tempie, pracę mógłby zakończyć dopiero o godzinie :0. W trakcie pracy działkowiczowi przyszedł z pomocą młodszy kolega i od pewnej godziny do zakończenia pracy o godzinie :00 pracowali razem. Działkowicz i młodszy kolega pracowali cały czas równomiernie, a tempo pracy młodszego kolegi było dwukrotnie większe. Do której godziny od :00 działkowicz pracował sam? Odpowiedź uzasadnij.
Zestaw II Zadanie nr 4 Trójka dzieci: Adrian, Basia i Cyprian bawiła się w grę o następujących zasadach:. Najpierw dziecko pisze na kartce dowolna liczbę. Kartki oddaje się do sędziego. Następnie sędzia losuje kolejność dzieci 4. Na tablicy, pierwsze wylosowane dziecko wypisuje wielokrotności liczby którą zapisało na kartce w zakresie od do 00. Kolejne dzieci (według losowania) dopisują na tablicy wielokrotności liczb zapisanych przez siebie na kartce w przedziale od do 00 według następujących zasad: a. Jeśli danej wielokrotności nie było na tablicy, to ta liczba jest dopisywana. b. Jeśli dana wielokrotność już jest na tablicy (powtarza się z wielokrotnością któregoś poprzedniego dziecka) to nie jest dopisywana. Wygrywa ta osoba która wypisze najwięcej liczb na tablicy. Na kartkach dzieci zapisały następujące liczby: Basia: Adrian: Cyprian: 0 Sędzia wylosował następującą kolejność wypisywania liczb na tablicy:. Adrian. Basia. Cyprian Które z dzieci wygrało grę? Jaka jest strategię powinno obrać dziecko by wygrać tę grę? Zadanie nr. Nauczyciel wypisał na tablicy zielona kredą liczby podzielne przez w zakresie 0 000.. Następnie dopisał dodatkowo czerwonym kolorem liczby podzielne przez 0 w zakresie 0 000 pisząc tylko te liczby których nie ma jeszcze na tablicy.. Na koniec, granatową kredą dopisał liczby podzielne przez 8 w zakresie 0 000. Również i w tym przypadku nie wypisywał liczb jeśli były już na tablicy. Ile liczb każdego koloru wypisał nauczyciel? Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Na tablicy zostały wypisane wszystkie liczby naturalne od do 0 włącznie. Potem Ania, Wojtek i Antek skreślali niektóre z tych liczb według następującej zasady. Jako pierwsza skreśliła Ania wszystkie liczby podzielne przez, drugi w kolejności Wojtek skreślił spośród pozostałych nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez 4, ostatni Antek skreślił spośród pozostałych nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez. Ile liczb pozostało na tablicy nieskreślonych. Ile liczb skreśliła Ania, ile Wojtek a ile Antek? Przedstaw sposób rozwiązania bez przeprowadzania całego procesu skreślania kolejnych liczb.
Zestaw III Zadanie nr 7 Składając jednakowe małe prostopadłościany możemy uzyskać sześcian o polu powierzchni 84 cm. Jakie pole powierzchni uzyskamy składając małe prostopadłościany w jeden duży prostopadłościan nie będący sześcianem? Zadanie nr 8 zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Sklejając dwa identyczne prostopadłościany, można otrzymać prostopadłościan o polu powierzchni całkowitej lub sześcian. Jaka jest objętość sześcianu? Przedstaw sposób rozwiązania.
Zestaw IV Zadanie nr Z ilu najmniejszych kwadracików (dwa z nich zaznaczono na różowo) składa się duży kwadrat o niebieskim obwodzie? Zadanie nr 0 Wiedząc, że wszystkie figury składające się na duży prostokąt są kwadratami, oraz, że pole różowego kwadracika wynosi, oblicz długości boków każdego kwadratu jak również długości boków dużego prostokąta.
Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Prostokąt został podzielony na kwadraty różnej wielkości, jak pokazano schematycznie na rysunku obok. Pole najmniejszego zaznaczonego ciemnym kolorem kwadratu wynosi. Oblicz długości boków wszystkich kwadratów ukazanych na rysunku oraz podaj pole całego prostokąta. Przedstaw sposób rozwiązania, wykorzystując rozpoznane z rysunku zależności pomiędzy długościami boków przylegających kwadratów.
Zestaw V Zadanie nr Mateusz robi musztrę swoim żołnierzykom ustawiając ich jeden za drugim. Na ile sposobów Mateusz może ustawić swoich żołnierzy, jeśli żołnierzy można rozróżnić tylko kolorami: jeden żołnierz ma kolor czerwony dwóch żołnierzy ma kolor granatowy trzech żołnierzy ma kolor zielony Zadanie nr Zosia przechowuje na odpowiednio długim wieszaku w szafie następujące ubrania: cztery takie same zielone bluzki trzy takie same granatowe swetry dwie takie same czerwone spódnice Zosia nigdy nie wiesza swoich ubrań byle jak ma określone zasady: czerwone spódnice muszą zawsze wisieć razem jedna obok drugiej przy czym żadna czerwona spódnica nie może wisieć z brzegu grantowe swetry nigdy, ze sobą nie sąsiadują przy czym na środkowej pozycji (piątej od lewej) zawsze wisi granatowy sweter Na ile sposobów Zosia może powiesić swoje ubrania w szafie? Zadanie nr 4 zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Grzesio zanotował skład przejeżdżającego pociągu w postaci kodu LW, gdzie kolejne znaki oznaczają L - lokomotywę, W - wagon z "Warsem", - wagon z miejscami klasy "", - wagon z miejscami klasy "". Podaj w postaci kodów, zaczynających się od litery L, wszystkie możliwe składy tego pociągu, zakładając, że wagon z "Warsem" musi być bezpośrednio połączony z wagonem klasy "" z jednej strony oraz z wagonem klasy "" z drugiej strony, w dowolnej kolejności. Liczba poszczególnych rodzajów wagonów w składzie musi być zachowana, każdy skład wagonów musi rozpoczynać i kończyć wagon klasy ""
Odpowiedzi Zestaw I Zadanie nr Treść zadania Arek ma pomalować płot u siebie i u swojego wujka. Obydwa płoty są identyczne, gdyż Rodzice Arka i wujek mieszkają w bliźniaku.. Arek własny płot malował w piątek od :00 do :00. W sobotę Arek również zaczął malowanie o :00. Po dwóch godzinach samotnej pracy dołączył do niego wujek, który nie szedł tego dnia do pracy. Odtąd wujek i Arek i malowali razem. O której godzinie w sobotę Arek i wujek skończyli pracę, jeśli wiadomo, że wujek maluje płot trzy razy szybciej od Arka? Odpowiedź: Arek i wujek skończyli pracę w sobotę o :00. Zadanie nr Treść zadania Kazik zawsze w sobotę obiera ziemniaki dla całej rodziny. Jednak robi to bardzo wolno i cała praca zajmuje mu prawie godzinę, a dokładnie minut. W ostatnią sobotę zlitowała się nad nim siostra Lusia, która obiera ziemniaki cztery razy szybciej od Kazika. Lusia widząc brata obierającego ziemniaki, wzięła nóż i także przystąpiła do obierania. W ten sposób, od chwili gdy Kazik wziął pierwszy ziemniak, do zakończenia obierania ziemniaków przez obydwoje rodzeństwa minęło tylko minut! Po ilu minutach samotnego obierania ziemniaków przez Kazika, Lusia przystąpiła do pracy? Odpowiedź: Lusia przystąpiła do pracy po minucie samotnej pracy Kazika. Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Działkowicz miał do przekopania działkę. Pracę rozpoczął o godzinie :00 rano. Gdyby pracował bez przerwy w równym tempie, pracę mógłby zakończyć dopiero o godzinie :0. W trakcie pracy działkowiczowi przyszedł z pomocą młodszy kolega i od pewnej godziny do zakończenia pracy o godzinie :00 pracowali razem. Działkowicz i młodszy kolega pracowali cały czas równomiernie, a tempo pracy młodszego kolegi było dwukrotnie większe. Do której godziny od :00 działkowicz pracował sam? Odpowiedź uzasadnij. Odpowiedź: Młodszy kolega przyszedł z pomocą działkowiczowi o godzinie :4.
Zestaw II Zadanie nr 4 Treść zadania Trójka dzieci: Adrian, Basia i Cyprian bawiła się w grę o następujących zasadach:. Najpierw dziecko pisze na kartce dowolna liczbę. Kartki oddaje się do sędziego. Następnie sędzia losuje kolejność dzieci 4. Na tablicy, pierwsze wylosowane dziecko wypisuje wielokrotności liczby którą zapisało na kartce w zakresie od do 00. Kolejne dzieci (według losowania) dopisują na tablicy wielokrotności liczb zapisanych przez siebie na kartce w przedziale od do 00 według następujących zasad: a. Jeśli danej wielokrotności nie było na tablicy, to ta liczba jest dopisywana. b. Jeśli dana wielokrotność już jest na tablicy (powtarza się z wielokrotnością któregoś poprzedniego dziecka) to nie jest dopisywana. Wygrywa ta osoba która wypisze najwięcej liczb na tablicy. Na kartkach dzieci zapisały następujące liczby: Basia: Adrian: Cyprian: 0 Sędzia wylosował następującą kolejność wypisywania liczb na tablicy:. Adrian. Basia. Cyprian Które z dzieci wygrało grę? Jaka jest strategię powinno obrać dziecko by wygrać tę grę? Odpowiedź: Grę wygrali jednocześnie Basia i Cyprian. Optymalna strategia polega na wypisaniu na kartce jedynki która ma najwięcej wielokrotności w dowolnym przedziale
Zadanie nr Treść zadania. Nauczyciel wypisał na tablicy zielona kredą liczby podzielne przez w zakresie 0 000.. Następnie dopisał dodatkowo czerwonym kolorem liczby podzielne przez 0 w zakresie 0 000 pisząc tylko te liczby których nie ma jeszcze na tablicy.. Na koniec, granatową kredą dopisał liczby podzielne przez 8 w zakresie 0 000. Również i w tym przypadku nie wypisywał liczb jeśli były już na tablicy. Ile liczb każdego koloru wypisał nauczyciel? Odpowiedź: Nauczyciel wypisał: zielonych liczb 7 czerwonych liczb 7 granatowych liczb Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Na tablicy zostały wypisane wszystkie liczby naturalne od do 0 włącznie. Potem Ania, Wojtek i Antek skreślali niektóre z tych liczb według następującej zasady. Jako pierwsza skreśliła Ania wszystkie liczby podzielne przez, drugi w kolejności Wojtek skreślił spośród pozostałych nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez 4, ostatni Antek skreślił spośród pozostałych nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez. Ile liczb pozostało na tablicy nieskreślonych. Ile liczb skreśliła Ania, ile Wojtek a ile Antek? Przedstaw sposób rozwiązania bez przeprowadzania całego procesu skreślania kolejnych liczb. Odpowiedź: Ania skreśliła 4 liczby, Wojtek skreślił 4 liczb, Antek skreślił 4 liczby. Pozostało 48 nieokreślonych liczb.
Zestaw III Zadanie nr 7 Treść zadania Składając jednakowe małe prostopadłościany możemy uzyskać sześcian o polu powierzchni 84 cm. Jakie pole powierzchni uzyskamy składając małe prostopadłościany w jeden duży prostopadłościan nie będący sześcianem? Odpowiedź: Pole powierzchni dużego prostopadłościanu wynosi 48 cm. Zadanie nr 8 zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Sklejając dwa identyczne prostopadłościany, można otrzymać prostopadłościan o polu powierzchni całkowitej lub sześcian. Jaka jest objętość sześcianu? Przedstaw sposób rozwiązania. Odpowiedź: Objętość sześcianu wynosi.
Zestaw IV Zadanie nr Treść zadania Z ilu najmniejszych kwadracików (dwa z nich zaznaczono na różowo) składa się duży kwadrat o niebieskim obwodzie? Odpowiedź: Duży niebieski kwadrat składa się ze kwadracików.
Zadanie nr 0 Treść zadania Wiedząc, że wszystkie figury składające się na duży prostokąt są kwadratami, oraz, że pole różowego kwadracika wynosi, oblicz długości boków każdego kwadratu jak również długości boków dużego prostokąta. Odpowiedź: Długości boków kwadratów i całego prostokąta: 4 4 4 4 8 8 4 8 8 8 8 8 8 7
Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Prostokąt został podzielony na kwadraty różnej wielkości, jak pokazano schematycznie na rysunku obok. Pole najmniejszego zaznaczonego ciemnym kolorem kwadratu wynosi. Oblicz długości boków wszystkich kwadratów ukazanych na rysunku oraz podaj pole całego prostokąta. Przedstaw sposób rozwiązania, wykorzystując rozpoznane z rysunku zależności pomiędzy długościami boków przylegających kwadratów. Odpowiedź: Kwadraty z których złożony jest prostokąt mają boki o długościach, 4, oraz. Pole prostokąta wynosi.
Zestaw V Zadanie nr Treść zadania Mateusz robi musztrę swoim żołnierzykom ustawiając ich jeden za drugim. Na ile sposobów Mateusz może ustawić swoich żołnierzy, jeśli żołnierzy można rozróżnić tylko kolorami: jeden żołnierz ma kolor czerwony dwóch żołnierzy ma kolor granatowy trzech żołnierzy ma kolor zielony Odpowiedź: Mateusz może ustawić swoich żołnierzy na 0 sposobów. Zadanie nr Treść zadania Zosia przechowuje na odpowiednio długim wieszaku w szafie następujące ubrania: cztery takie same zielone bluzki trzy takie same granatowe swetry dwie takie same czerwone spódnice Zosia nigdy nie wiesza swoich ubrań byle jak ma określone zasady: czerwone spódnice muszą zawsze wisieć razem jedna obok drugiej przy czym żadna czerwona spódnica nie może wisieć z brzegu grantowe swetry nigdy, ze sobą nie sąsiadują przy czym na środkowej pozycji (piątej od lewej) zawsze wisi granatowy sweter Na ile sposobów Zosia może powiesić swoje ubrania w szafie? Odpowiedź: Zosia może powiesić swoje ubrania na sposoby.
Zadanie nr 4 zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Grzesio zanotował skład przejeżdżającego pociągu w postaci kodu LW, gdzie kolejne znaki oznaczają L - lokomotywę, W - wagon z "Warsem", - wagon z miejscami klasy "", - wagon z miejscami klasy "". Podaj w postaci kodów, zaczynających się od litery L, wszystkie możliwe składy tego pociągu, zakładając, że wagon z "Warsem" musi być bezpośrednio połączony z wagonem klasy "" z jednej strony oraz z wagonem klasy "" z drugiej strony, w dowolnej kolejności. Liczba poszczególnych rodzajów wagonów w składzie musi być zachowana, każdy skład wagonów musi rozpoczynać i kończyć wagon klasy "" Odpowiedź: Możliwe składy pociągu: LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW
Wzorcowe rozwiązania zadań Zestaw I Zadanie nr Treść zadania Arek ma pomalować płot u siebie i u swojego wujka. Obydwa płoty są identyczne, gdyż Rodzice Arka i wujek mieszkają w bliźniaku.. Arek własny płot malował w piątek od :00 do :00. W sobotę Arek również zaczął malowanie o :00. Po dwóch godzinach samotnej pracy dołączył do niego wujek, który nie szedł tego dnia do pracy. Odtąd wujek i Arek i malowali razem. O której godzinie w sobotę Arek i wujek skończyli pracę, jeśli wiadomo, że wujek maluje płot trzy razy szybciej od Arka? Wzorcowe rozwiązanie zadania Dzielimy cały płot na części. Jedną część Arek maluje w godzinę (całość od :00 do :00). W sobotę, do momentu przyjścia wujka Arek pomaluje dwie części płotu z sześciu. Z pozostałych czterech wujek pomaluje trzy zaś Arek jedną, gdyż wujek maluje trzy razy szybciej. Zatem zajmie im to godzinę, gdyż Arek maluje jedną część z sześciu w godzinę. Ponieważ wujek przyszedł o godzinie,: więc Arek z wujkiem skończą malowanie o :00 Odpowiedź: Arek i wujek skończyli pracę w sobotę o :00.
Zadanie nr Treść zadania Kazik zawsze w sobotę obiera ziemniaki dla całej rodziny. Jednak robi to bardzo wolno i cała praca zajmuje mu prawie godzinę, a dokładnie minut. W ostatnią sobotę zlitowała się nad nim siostra Lusia, która obiera ziemniaki cztery razy szybciej od Kazika. Lusia widząc brata obierającego ziemniaki, wzięła nóż i także przystąpiła do obierania. W ten sposób, od chwili gdy Kazik wziął pierwszy ziemniak, do zakończenia obierania ziemniaków przez obydwoje rodzeństwa minęło tylko minut! Po ilu minutach samotnego obierania ziemniaków przez Kazika, Lusia przystąpiła do pracy? Wzorcowe rozwiązanie zadania Obliczam ile czasu Lusia zaoszczędziła Kazikowi: minut minut = 40 minut Od chwili gdy Lusia zaczęła pomagać Kazikowi, Kazik obrał x ziemniaków, zaś Lusia obrała 4x ziemniaków. Gdyby nie Lusia, to Kazik by obierał 4x ziemniaków przez 40 minut czyli Kazik obiera x ziemniaków w 0 minut. Zatem w ciągu minut Kazik obierał ziemniaki: 0 minut z Lusią minutę sam Odpowiedź: Lusia przystąpiła do pracy po minucie samotnej pracy Kazika. Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Działkowicz miał do przekopania działkę. Pracę rozpoczął o godzinie :00 rano. Gdyby pracował bez przerwy w równym tempie, pracę mógłby zakończyć dopiero o godzinie :0. W trakcie pracy działkowiczowi przyszedł z pomocą młodszy kolega i od pewnej godziny do zakończenia pracy o godzinie :00 pracowali razem. Działkowicz i młodszy kolega pracowali cały czas równomiernie, a tempo pracy młodszego kolegi było dwukrotnie większe. Do której godziny od :00 działkowicz pracował sam? Odpowiedź uzasadnij. Wzorcowe rozwiązanie zadania Od momentu rozpoczęcia pracy przez młodszego kolegę działkowicz wykonał pracę x, zaś młodszy kolega x. Gdyby nie młodszy kolega to działkowicz musiałby wykonać pracę x między :00 a :0, czyli w ciągu h 0min (0 minut). Skoro pracę x działkowicz wykonuje w 0 minut to pracę x wykonuje w 7 minut czyli h minut. Otrzymujemy, że od momentu rozpoczęcia pracy przez młodszego kolegę do zakończenia pracy przez nich obydwu, działkowicz wykonał pracę x w ciągu h minut. Ponieważ pracę zakończyli o godzinie :00, więc młodszy kolega przyszedł o: :00 h min = :4 Odpowiedź: Młodszy kolega przyszedł z pomocą działkowiczowi o godzinie :4.
Zestaw II Zadanie nr 4 Treść zadania Trójka dzieci: Adrian, Basia i Cyprian bawiła się w grę o następujących zasadach:. Najpierw dziecko pisze na kartce dowolna liczbę. Kartki oddaje się do sędziego. Następnie sędzia losuje kolejność dzieci 4. Na tablicy, pierwsze wylosowane dziecko wypisuje wielokrotności liczby którą zapisało na kartce w zakresie od do 00. Kolejne dzieci (według losowania) dopisują na tablicy wielokrotności liczb zapisanych przez siebie na kartce w przedziale od do 00 według następujących zasad: a. Jeśli danej wielokrotności nie było na tablicy, to ta liczba jest dopisywana. b. Jeśli dana wielokrotność już jest na tablicy (powtarza się z wielokrotnością któregoś poprzedniego dziecka) to nie jest dopisywana. Wygrywa ta osoba która wypisze najwięcej liczb na tablicy. Na kartkach dzieci zapisały następujące liczby: Basia: Adrian: Cyprian: 0 Sędzia wylosował następującą kolejność wypisywania liczb na tablicy:. Adrian. Basia. Cyprian Które z dzieci wygrało grę? Jaka jest strategię powinno obrać dziecko by wygrać tę grę? Wzorcowe rozwiązanie zadania Ilość liczb wypisanych przez Adriana 00 : = 8 Liczby dopisane przez Basię Ilość wielokrotności : 00 : = reszty Liczby których Basia nie dopisała to liczby podzielne przez i : NWW(,) = * * = * = 7 Ilość wielokrotności 7 00 : 7 = reszty 0 Ilość liczb dopisanych przez Basię:
= Liczby dopisane przez Cypriana Ilość wielokrotności 0: 00 : 0 = 0 Liczby których Cyprian nie dopisał gdyż wypisał je Adrian to liczby podzielne przez 0 i : 0 NWW(0,) = * * = * = 0 Ilość wielokrotności 0: 00 : 0 = 4 Liczby których Cyprian nie dopisał gdyż wypisała je Basia to liczby podzielne przez 0 i : 0 NWW(0,) = * * = * = 0 Ilość wielokrotności 0: 00 : 0 = reszty 0 Liczby policzone dwukrotnie jako niedopisane przez Cypriana jako wypisane przez Adriana i wypisane przez Basię: 0 NWW(0,,) = * * * = 0 * = 0 Ilość wielokrotności 0 (policzone podwójnie jako wypisane przez Adriana i wypisane przez Basię): 00 : 0 = reszty 0 Ilość liczb wypisanych przez Cypriana: 0 4 + = 0 0 + = 0 + = Otrzymujemy, że: Adrian wypisał 8 liczb. Basia dopisała liczb. Cyprian dopisał liczb. Odpowiedź: Grę wygrali jednocześnie Basia i Cyprian. Optymalna strategia polega na wypisaniu na kartce jedynki która ma najwięcej wielokrotności w dowolnym przedziale
Zadanie nr Treść zadania. Nauczyciel wypisał na tablicy zielona kredą liczby podzielne przez w zakresie 0 000.. Następnie dopisał dodatkowo czerwonym kolorem liczby podzielne przez 0 w zakresie 0 000 pisząc tylko te liczby których nie ma jeszcze na tablicy.. Na koniec, granatową kredą dopisał liczby podzielne przez 8 w zakresie 0 000. Również i w tym przypadku nie wypisywał liczb jeśli były już na tablicy. Ile liczb każdego koloru wypisał nauczyciel? Wzorcowe rozwiązanie zadania Obliczam ilość zielonych liczb podzielnych przez w zakresie do 0 000: 0 000 : = reszty 4 Zielonych liczb jest. Ilość czerwonych liczb. Obliczam ilość liczb podzielnych przez 0 w zakresie do 0 000: 0 000 : 0 = 0 00 Obliczam ilość liczb podzielnych przez 0 i w zakresie od do 0 000: NWW(,0) = 0 0 000 : 0 = reszty 0. Liczb podzielnych przez 0 w zakresie od do 0 000 jest. Liczb podzielnych przez 0 a niepodzielnych przez w zakresie od do 0 000 jest 000 = 7 Czerwonych liczb nauczyciel dopisał 7 Ilość granatowych liczb. Obliczam ilość liczb podzielnych przez 8 w zakresie do 0 000: 0 000 : 8 = Obliczam ilość liczb podzielnych przez i 8 w zakresie od do 0 000: NWW(,8) = 4 0 000 : 4 = 4 reszty Liczb podzielnych przez 4 w zakresie od do 0 000 jest 4. Obliczam ilość liczb podzielnych przez 8 i 0 w zakresie od do 0 000: NWW(8,0) = 40 0 000 : 40 = 0 Liczb podzielnych przez 40 w zakresie od do 0 000 jest 0. Obliczam ilość liczb podzielnych przez, 8 i 0 w zakresie od do 0 000: NWW(,8,0) = 0 0 000 : 0 = 8 reszty 40 Liczb podzielnych przez 0 w zakresie od do 0 000 jest 8. Granatowych liczb nauczyciel dopisał: 0 4 0 + 8 = 0 + 8 = 84 + 8 = 7. Odpowiedź: Nauczyciel wypisał zielonych liczb, 7 czerwonych liczb, 7 granatowych liczb.
Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Na tablicy zostały wypisane wszystkie liczby naturalne od do 0 włącznie. Potem Ania, Wojtek i Antek skreślali niektóre z tych liczb według następującej zasady. Jako pierwsza skreśliła Ania wszystkie liczby podzielne przez, drugi w kolejności Wojtek skreślił spośród pozostałych nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez 4, ostatni Antek skreślił spośród pozostałych nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez. Ile liczb pozostało na tablicy nieskreślonych. Ile liczb skreśliła Ania, ile Wojtek a ile Antek? Przedstaw sposób rozwiązania bez przeprowadzania całego procesu skreślania kolejnych liczb. Wzorcowe rozwiązanie zadania Obliczam ilość liczb które skreśliła Ania: 0 : = 4 Obliczam ilość liczb które, skreślił Wojtek: 0 : 4 = 0 Od wyniku odejmuję liczby skreślone przez Anię: NWW(4,) = 0 0 : 0 = Czyli Wojtek skreślił następującą ilość liczb: 0 = 4 Obliczam ilość liczb które, skreślił Antek: 0 : = 40 Obliczam ilość liczb które miał skreślić Antek, ale już skreśliła Ania: NWW(,) = 0 : = 8 Obliczam ilość liczb które miał skreślić Antek, ale już skreśliła Wojtek: NWW(,4) = 0 : = 0 Obliczam ilość liczb które policzyłem dwukrotnie jako skreślone przez Anię i Wojtka: NWW(,4,) = 0 0 : 0 = Ilość liczb skreślonych przez Antka: 40 8 0 + = 0 8 + = + = 4 Obliczam ile liczb pozostało na tablicy: 0 4 4 4 = 4 4 = 7 4 = 48 Odpowiedź: Ania skreśliła 4 liczby, Wojtek skreślił 4 liczb, Antek skreślił 4 liczby. Pozostało 48 nieokreślonych liczb.
Zestaw III Zadanie nr 7 Treść zadania Składając jednakowe małe prostopadłościany możemy uzyskać sześcian o polu powierzchni 84 cm. Jakie pole powierzchni uzyskamy składając małe prostopadłościany w jeden duży prostopadłościan nie będący sześcianem? Wzorcowe rozwiązanie zadania Rysunek x x x x x x x x x x x x x x Obliczam pole powierzchni sześcianu Pole powierzchni pojedynczej ściany: P s = x x = x Pole powierzchni całego sześcianu: Pp = Ps = x = 4x Obliczam x. P p = 4x = 84cm 4x = 84cm 84 x = cm 4 : 4
4 x = cm 7 48 x = cm x = cm x = 4cm lub x = 4cm Odrzucam, długość boku liczbą dodatnią Zatem x = 4 cm. Obliczam pole powierzchni dużego prostopadłościanu Pole ściany x na x: P = x x = 7x Pole ściany x na x: P = x x = x Pole ściany x na x: P = x x = x Pole powierzchni dużego prostopadłościanu: P d = P + P + P = 7x + x + x = 4x + 8x + x = 7x + x = 78x Podstawiam x = 4 cm: P d = 78x = 78 (4cm) = 78 cm = 48cm = Odpowiedź: Pole powierzchni dużego prostopadłościanu wynosi 48 cm.
Zadanie nr 8 zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Sklejając dwa identyczne prostopadłościany, można otrzymać prostopadłościan o polu powierzchni całkowitej lub sześcian. Jaka jest objętość sześcianu? Przedstaw sposób rozwiązania. Wzorcowe rozwiązanie zadania Rysunek x x x x x x x Obliczam pole powierzchni ( P d ) dużego prostopadłościanu: Pole ściany 4x na x: P = 4x x = 8x Pole ściany 4x na x: P = 4x x = 4x Pole ściany x na x: P = x x = x Pole powierzchni dużego prostopadłościanu: P d = P + P + P = 8x + 4x + x = = x + 8x + 4x = 4x + 4x = 8x P d = 8x = 4x x x x x x 8x = : 8 x = 8 x = 7 x = x = lub x = Odrzucam, długość boku liczbą dodatnią
Zatem x =. Objętość sześcianu: V = ( x) = x = 8x Ponieważ x = więc otrzymujemy: V = 8x = 8 = 8 7 = Odpowiedź: Objętość sześcianu wynosi.
Zestaw IV Zadanie nr Treść zadania Z ilu najmniejszych kwadracików (dwa z nich zaznaczono na różowo) składa się duży kwadrat o niebieskim obwodzie? Wzorcowe rozwiązanie zadania Poniższe kwadraciki są przystające (każde dwa mają wspólny bok) zatem maja równe pola: Poniższe pogrubione kwadraty mają boki złożone z dwóch szarych kwadracików, zaś ich pole składa się z 4 kwadracików:
Bok pogrubionego kwadratu składa się z kwadracików: Bok niebieskiego kwadratu to kwadracików: Zatem pole niebieskiego kwadratu to: * = Odpowiedź: Duży niebieski kwadrat składa się ze kwadracików.
Zadanie nr 0 Treść zadania Wiedząc, że wszystkie figury składające się na duży prostokąt są kwadratami, oraz, że pole różowego kwadracika wynosi, oblicz długości boków każdego kwadratu jak również długości boków dużego prostokąta.
Wzorcowe rozwiązanie zadania Ponieważ pole kwadracika wynosi, więc bok kwadracika wynosi. Z przystawania kwadratów, wynika, że boki wszystkich poniższych kwadracików wynoszą : Z sumy odcinków i przystawania kwadratów wnioskujemy w kolejnych krokach następujące długości boków:
4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 8 8 4 8 8 8 8 8 8
Teraz obliczamy długości boków prostokąta: Długość: + 8 + 8 = + 8 = 7 Wysokość: + + + = 0 + = 4 Odpowiedź: Długości boków kwadratów i całego prostokąta: 4 4 4 4 8 8 4 8 8 8 8 8 8 7
Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Prostokąt został podzielony na kwadraty różnej wielkości, jak pokazano schematycznie na rysunku obok. Pole najmniejszego zaznaczonego ciemnym kolorem kwadratu wynosi. Oblicz długości boków wszystkich kwadratów ukazanych na rysunku oraz podaj pole całego prostokąta. Przedstaw sposób rozwiązania, wykorzystując rozpoznane z rysunku zależności pomiędzy długościami boków przylegających kwadratów. Wzorcowe rozwiązanie zadania Ponieważ pole czarnego kwadratu wynosi więc bok tego kwadratu również wynosi, gdyż: * = Wszystkie małe kwadraciki zaznaczone na szaro poniżej są przystające gdyż mają przynajmniej jeden bok wspólny. Zatem ich boki mają również długość.
Z sumy długości boków małych kwadratów jednostkowych otrzymujemy długości boków kwadratów: lewego dolnego i prawego górnego. 4 4 4 4 Bok lewego górnego kwadratu to 4+ = :
4 4 4 4 Wymiary prostokąta obliczamy jako: Szerokość: + 4 = Wysokość: + = 4 4 4 4 Pole prostokąta: P = * = Odpowiedź: Kwadraty z których złożony jest prostokąt mają boki o długościach:, 4, oraz. Pole prostokąta wynosi.
Zestaw V Zadanie nr Treść zadania Mateusz robi musztrę swoim żołnierzykom ustawiając ich jeden za drugim. Na ile sposobów Mateusz może ustawić swoich żołnierzy, jeśli żołnierzy można rozróżnić tylko kolorami: jeden żołnierz ma kolor czerwony dwóch żołnierzy ma kolor granatowy trzech żołnierzy ma kolor zielony Wzorcowe rozwiązanie zadania Gdy czerwony żołnierz ma pozycję numer to na pozostałych pozycjach możemy ustawić granatowych i zielonych żołnierzy na 4 + + + = + = 0 sposobów: CNNZZZ CNZNZZ CNZZNZ CNZZZN CZNNZZ CZNZNZ CZNZZN CZZNNZ CZZNZN CZZZNN Czerwony żołnierz może być na pozycjach od do. Każda z nich daje 0 ustawień pozostałych żołnierzy analogicznie jak powyżej. Zatem wszystkich ustawień żołnierzy jest * 0 = 0. Odpowiedź: Mateusz może ustawić swoich żołnierzy na 0 sposobów.
Zadanie nr Treść zadania Zosia przechowuje na odpowiednio długim wieszaku w szafie następujące ubrania: cztery takie same zielone bluzki trzy takie same granatowe swetry dwie takie same czerwone spódnice Zosia nigdy nie wiesza swoich ubrań byle jak ma określone zasady: czerwone spódnice muszą zawsze wisieć razem jedna obok drugiej przy czym żadna czerwona spódnica nie może wisieć z brzegu grantowe swetry nigdy, ze sobą nie sąsiadują przy czym na środkowej pozycji (piątej od lewej) zawsze wisi granatowy sweter Na ile sposobów Zosia może powiesić swoje ubrania w szafie? Wzorcowe rozwiązanie zadania Z zielona bluzka G granatowy sweter C czerwona spódnica Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje i to mamy cztery następujące możliwe ustawienia pozostałych ubrań: GCCZ G ZGZZ GCCZ G ZZGZ GCCZ G ZZZG ZCCZ G ZGAG Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje i 4 to mamy siedem następujących możliwych ustawień pozostałych ubrań: GZCC G ZGZZ GZCC G ZZGZ GZCC G ZZZG ZGCC G ZGZZ ZGCC G ZZGZ ZGCC G ZZZG ZZCC G ZGAG Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje i 7 to mamy sytuację symetryczną jak dla pozycji czerwonych spódnic i 4 czyli siedem możliwych ustawień pozostałych ubrań. Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje 7 i 8 to mamy sytuację symetryczną jak dla pozycji czerwonych spódnic i czyli cztery możliwe ustawienia pozostałych ubrań. Powyższe 4 sytuacje zawierają wszystkie możliwe pozycje czerwonych spódnic na wieszaku: Zatem liczba możliwości powieszenia ubrań to suma możliwości rozpatrywanych przypadków: 4 + 7 + 7 + 4 = + = Odpowiedź: Zosia może powiesić swoje ubrania na sposoby.
Zadanie nr 4 zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Grzesio zanotował skład przejeżdżającego pociągu w postaci kodu LW, gdzie kolejne znaki oznaczają L - lokomotywę, W - wagon z "Warsem", - wagon z miejscami klasy "", - wagon z miejscami klasy "". Podaj w postaci kodów, zaczynających się od litery L, wszystkie możliwe składy tego pociągu, zakładając, że wagon z "Warsem" musi być bezpośrednio połączony z wagonem klasy "" z jednej strony oraz z wagonem klasy "" z drugiej strony, w dowolnej kolejności. Liczba poszczególnych rodzajów wagonów w składzie musi być zachowana, każdy skład wagonów musi rozpoczynać i kończyć wagon klasy "" Wzorcowe rozwiązanie zadania Skład ma 8 elementów. Pierwszy element składu to lokomotywa. Drugi i ósmy element składu to wagon klasy. Możliwe składy pociągu: Wagon Wars na pozycji: LW LW LW Wagon Wars na 7 pozycji: L W L W L W Wagon Wars na 4 pozycji: LW LW LW LW Wagon Wars na 4 pozycji: L W L W L W L W Wagon Wars na pozycji: L W L W L W L W
Szczegółowe rozwiązania zadań Zestaw I Zadanie nr Treść zadania Arek ma pomalować płot u siebie i u swojego wujka. Obydwa płoty są identyczne, gdyż Rodzice Arka i wujek mieszkają w bliźniaku.. Arek własny płot malował w piątek od :00 do :00. W sobotę Arek również zaczął malowanie o :00. Po dwóch godzinach samotnej pracy dołączył do niego wujek, który nie szedł tego dnia do pracy. Odtąd wujek i Arek i malowali razem. O której godzinie w sobotę Arek i wujek skończyli pracę, jeśli wiadomo, że wujek maluje płot trzy razy szybciej od Arka? Sposób rozwiązania zadania Ponieważ Arek malował płot samodzielnie przez godzin, więc podzielimy płot na części otrzymując, że tempo pracy Arka to jedna część na godzinę. W sobotę, do momentu przyjścia wujka, Arek pomaluje dwie z tych sześciu części (wujek przyszedł po dwóch godzinach pracy Arka). Z pozostałych 4 części Arek pomaluje jedną, zaś wujek trzy, gdyż jest trzy razy szybszy. Ponieważ Arek maluje jedną część w godzinę więc pomalowanie pozostałych po przyjściu wujka czterech części zajmie im właśnie tę godzinę. Zatem skończą całą pracę w godzinę po przyjściu wujka o :00. Szczegółowe rozwiązanie zadania Zrozumieć treść zadania i znaleźć istotne informacje Najważniejszym elementem zadania jest zrozumienie jego treści. Oto powinniśmy zrozumie, z treści zadania:. Mamy dwa takie same płoty: jeden malowany w piątek, drugi w sobotę. Ponieważ w piątek Arek malował płot od :00 do :00 więc samodzielne pomalowanie płotu zajmuje Arkowi godzin. W sobotę Arek maluje sam od :00 do :00. O :00 przychodzi wujek, który płot maluje trzy razy szybciej od Arka i maluję razem. Musimy obliczyć o której skończą. Jak malował Kazik w piątek? W piątek Arek malował płot przez godzin. Zatem jeśli podzielimy płot na części to każdą z otrzymanych części Arek malował godzinę jak na rysunku poniżej:
:00 4:00 :00 :00 7:00 8:00 :00
Ile części pomalował Kazik samodzielnie w sobotę? W sobotę o :00 dołączył do niego wujek. Do tego momentu, czyli pomiędzy :00 a :00 Arek pomalował dwie części płotu z sześciu: Kawałki płotu Kawałki płotu, pomalowane które Arek i wujek tylko pomalują przez Arka razem :00 4:00 :00 Zatem w momencie przyjścia wujka (:00) zostały do pomalowania cztery kawałki płotu zaznaczone na czarno powyżej. Jak podzielą się pozostałą pracą Arek z wujkiem? Ponieważ wujek pracuje trzy razy szybciej od Arka to z pozostałych czterech kawałków Arek pomaluje jeden kawałek, zaś wujek trzy kawałki: Kawałki płotu, które Arek i wujek pomalują razem Tą część pomaluje Arek Te części pomaluje wujek Arka
Ile czasu Arek z wujkiem będą malować swoje części? Pamiętamy, że Arek maluje jeden kawałek w godzinę. Czyli właśnie godzinę zajmie. Arkowi pomalowanie jednego kawałka z pozostałych czterech. wujkowi pomalowanie trzech kawałów z pozostałych czterech (trzy razy szybszy od Arka) Kawałki płotu, które Arek i wujek pomalują razem Tą część pomaluje Arek Zajmie mu to godzinę Te części pomaluje wujek Arka Zajmie mu to godzinę
O której godzinie Arek z wujkiem skończą malowanie? Czyli otrzymujemy, że pozostałą pracę od chwili dołączenia się wujka (pomalowanie czterech pozostałych kawałków), Arek i wujek wykonają w godzinę. Ponieważ wujek dołączył do Arka o :00 więc całą pracę ukończą :00: Kawałki płotu pomalowane tylko przez Arka Kawałki płotu, które Arek i wujek pomalują razem :00 4:00 :00 :00 Tą część pomaluje Arek Zajmie mu to godzinę Te części pomaluje wujek Arka Zajmie mu to godzinę Odpowiedź: Arek i wujek skończyli pracę w sobotę o :00.
Zadanie nr Treść zadania Kazik zawsze w sobotę obiera ziemniaki dla całej rodziny. Jednak robi to bardzo wolno i cała praca zajmuje mu prawie godzinę, a dokładnie minut. W ostatnią sobotę zlitowała się nad nim siostra Lusia, która obiera ziemniaki cztery razy szybciej od Kazika. Lusia widząc brata obierającego ziemniaki, wzięła nóż i także przystąpiła do obierania. W ten sposób, od chwili gdy Kazik wziął pierwszy ziemniak, do zakończenia obierania ziemniaków przez obydwoje rodzeństwa minęło tylko minut! Po ilu minutach samotnego obierania ziemniaków przez Kazika, Lusia przystąpiła do pracy? Rozwiązanie sposób I Uwagi i szkic rozwiązania Liczy się pomysł Ten sposób rozwiązania zadania wymaga wytężenia umysłu i chwili zastanowienia się. Opiera się na pomyśle, który musi przyjść nam do głowy w trakcie konkursu. Jeśli wpadniemy na pomysł, to zadanie rozwiązuje się w minuty. Prawdopodobnie autorowi zadania chodziło, by rozwiązać problem właśnie w poniższy sposób. Obrane ziemniaki przez Lusię kluczem do rozwiązania zadania Gdy Lusia zaczyna pomagać Kazikowi to mają do obrania pewną liczbę ziemniaków. Kazik obierze pewną część (x), zaś Lusia cztery razy więcej (4x). Jednak gdyby nie Lusia to Kazik obierałby te 4x ziemniaków przez minut minut czyli przez 40 minut. Zatem x ziemniaków Kazik obiera w 0 minut. Ponieważ w czasie wspólnego obierania Kazik obrał właśnie x ziemniaków, więc Kazik i Lusia obierali razem ziemniaki przez 0 minut. Ponieważ od Kazik zajmował się obieraniem ziemniaków minut więc Lusia przyszła mu do pomocy po minut 0 minut = minucie.
Szczegółowe rozwiązanie zadania Jak pracuje Kazik sam? Gdy Kazik pracuje sam to mamy sytuację jak na rysunku poniżej: minut a Kazik zaczyna obieranie z Koniec pracy gdy Kazik cały czas obiera sam Co zmienia Lusia? W pewnym momencie do pracy przychodzi Lusia, co możemy pokazać na rysunku następująco: minut pozostała praca a Kazik zaczyna obieranie b Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą z Koniec pracy gdy Kazik cały czas obiera sam
Gdy Lusia zaczyna pracować, to została im do wykonania pewna praca. Jak podzielą się to pracą Lusia i Kazik? Lusia wykonuje 4 razy więcej pracy od Kazika w tym samym czasie. Zatem całą pracę musimy podzielić na części. Lusia wykona 4 części z tej pracy (4x), zaś Kazik tylko jedną część (x). Co z czasem? Z powyższego wynika następujący diagram: minut a Kazik zaczyna obieranie minut 40 minut x b Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą c Koniec pracy Lusi i Kazika 4x z Koniec pracy gdy Kazik cały czas obiera sam Od chwili b (gdy Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą) do chwili c (końca ich wspólnej pracy) Kazik wykona swoją część całej pracy: x. Co z pozostałą pracą 4x? Jak powiedzieliśmy wykona ją Lusia. Ale pamiętajmy jest to czterokrotność pracy Kazika od b do c. Gdyby nie Lusia, to Kazik przez 40 minut (zaoszczędzone mu przez Lusię) musiałby wykonać cztery razy tyle co wykonał od b do c. Czyli otrzymujemy, że czterokrotność pracy Kazika to 40 minut. Zatem od b do c Kazik pracował tylko 0 minut.
Uzupełniamy diagram Teraz możemy już uzupełnić diagram: minut a Kazik zaczyna obieranie minut 40 minut minuta 0 minut 40 minut b Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą c Koniec pracy Lusi i Kazika z Koniec pracy gdy Kazik cały czas obiera sam Widzimy więc, że Lusia przyszła Kazikowi z pomocą już po minucie! Znaczy się kochana siostra. Odpowiedź: Lusia przystąpiła do pracy po minucie samotnego obierania ziemniaków przez Kazika. Rozwiązanie sposób II Uwagi i szkic rozwiązania Brutalne rozwiązanie Jest to rozwiązanie siłowe, pozbawione jakiegokolwiek pomysłu. Układamy równanie i musi nam wyjść prawidłowy wynik. Jednak takie podejście wymaga następujących umiejętności:. Musimy bardzo dobrze operować na wyrażeniach algebraicznych. Zachęcamy do odwiedzenia stron: http://www.cauchy.pl/podstawowa/wyrazenia_algebraiczne/ http://www.cauchy.pl/gimnazjum/wyrazeniaalgebraiczne/ gdzie znajdziesz wiele przykładów z rozwiązaniami. Musimy bardzo dobrze operować równaniami. Zachęcamy do odwiedzenia strony: http://www.cauchy.pl/gimnazjum/rownania/ gdzie znajdziesz wiele przykładów z rozwiązaniami
. Musimy uważać na jednostki. Na przykład, jeśli Kazik obiera całość sobotnich ziemniaków (oznaczmy jako z ) przez minut ( m ) to prędkość jego obierania z wynosi m. Słowo przez jest odpowiednikiem kreski ułamkowej. Dlatego z jest w liczniku, zaś m w mianowniku. Nieprawidłowe są następujące zapisy: z a. - oznacza, że obieramy pięć zestawów sobotnich ziemniaków w ciągu m godziny m b. - zapis w ogóle nie oznacza prędkości obierania ziemniaków. z Prędkość i równanie z Najpierw stwierdzimy, że prędkość obierania ziemniaków Kazika to, zaś prędkość m 4z z m obierania ziemniaków Lusi to. Zatem przez minut Kazik obierze = z m m 4z t sobotnich ziemniaków Lusia pomaga w czasie t w którym obierze sobotnich m ziemniaków. Razem obiorą wszystkie sobotnie ziemniaki (czyli z ) co daje nam równanie: z m 4z t + = d m m z którego obliczamy, że Lusia pomagała Kazikowi 0 minut, czyli przyszła z pomocą po minucie. Szczegółowe rozwiązanie zadania Oznaczenia z - całość ziemniaków obieranych każdej soboty. Każdej soboty jest dokładnie taka sama ilość ziemniaków do obrania m - jedna minuta v K - prędkość obierania ziemniaków przez Kazika v L - prędkość obierania ziemniaków przez Lusię Prędkość obierania ziemniaków przez Kazika Kazik obiera sobotnią porcję ziemniaków przez minut. Zatem jego prędkość obierania ziemniaków v K wynosi: z v K = m Możemy to interpretować, że Kazik obiera sobotni zestaw ziemniaków w ciągu minut. Prędkość obierania ziemniaków przez Lusię
Lusia obiera ziemniaki cztery razy szybciej od Kazika, więc jej prędkość obierania ziemniaków v L wynosi: z 4z vl = 4 vk = 4 = m m Możemy to interpretować, że Lusia obierze cztery zestawy sobotnich ziemniaków przez minut. Ile porcji sobotnich ziemniaków obierze każde z nich przez określony czas? Co oznaczają obliczone powyżej prędkości obierania sobotniego zestawu ziemniaków? Jeśli mamy dany czas to możemy obliczyć jaką część sobotniego zestawu ziemniaków obierze Kazik przez ten dany czas. Jeśli Kazik obiera sobotni zestaw ziemniaków prze 7 minut to w tym czasie obierze: v z z 7m z 7 z K 7 m = 7m = = = = z m m Otrzymujemy, że w ciągu 7 minut Kazik obierze części sobotniego zestawu ziemniaków. Jeśli Kazik obiera sobotni zestaw ziemniaków przez 0 minuty (h 4 minuty) to w tym czasie obierze: z z 0m z 0 z v K 0 m = 0m = = = = z m m Otrzymujemy, że w ciągu 0 minut (h 4 minuty) Kazik obierze dwa zestawy sobotnich ziemniaków. Wydaje się to rozsądne, gdyż w ciągu minut obiera jeden taki zestaw. Podobnie możemy obliczać jaką część sobotniego zestawu ziemniaków obierze Lusia w określonym czasie. Jeśli Lusia obiera ziemniaki przez minuty to w tym czasie obierze: v 4z 4z m 4z 4z 4z 4 L m = m = = = = = z m m 7 7 7 Otrzymujemy, że w ciągu minut Lusia obierze 7 4 sobotniego zestawu ziemniaków.
Podział pracy gdy Lusia przyszła z pomocą Część sobotnich ziemniaków obrana przez Kazika: p K = v K*m Część sobotnich ziemniaków obrana przez Lusię: p L = v L*t minuta 0 Kazik zaczyna obieranie minuta x Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą t minuta Koniec pracy Lusi i Kazika Ile sobotnich ziemniaków obrał Kazik? W naszej sytuacji (gdy Lusia przychodzi z pomocą po x minutach) Kazik pracował minut. W tym czasie Kazik obrał pewną część sobotnich ziemniaków. Możemy ją obliczyć jak poniżej ( p K - obrana przez Kazika część sobotnich ziemniaków w ciągu minut): z z m pk = vk m = m = () m m Celowo nie skracamy miana minut, gdyż później będziemy musieli mieć w mianowniku m by dodać ułamki (ziemniaki obrane przez Kazika i Lusię). z m Otrzymujemy, że Kazik obrał = z sobotnich ziemniaków w ciągu minut. m Ile sobotnich ziemniaków obrała Lusia? Lusia nie pracowała cały czas. Oznaczmy czas pracy Lusi jako t. W tym czasie Lusia obrała pewną część sobotnich ziemniaków, którą możemy obliczyć jak poniżej ( p L - obrana przez Lusię część sobotnich ziemniaków w czasie t ): z 4z t pl = vl t = 4 t = () m m 4z t Otrzymujemy, że Lusia obrała części sobotnich ziemniaków w czasie w którym m pomagała Kazikowi (t ).
Układamy równanie W efekcie, Kazik i Lusia obrali całość sobotnich ziemniaków. Oznacza to, że suma części sobotnich ziemniaków: p K (część obrana przez Kazika) oraz p L (część obrana przez Lusię) daje całość sobotnich ziemniaków (czyli z ). Możemy to zapisać jak poniżej: pk + pl = z Wystarczy podstawić obliczone powyżej () i () wartości p K oraz p L by otrzymać równanie: z m 4z t + = d m m zm + 4zt = z m m zm + 4zt = zm 4zt = zm zm 4zt = 40zm 4t = 40m : 4 : z ( mozemy zerem dzielic jako przez calosc gdyz ziemniakow) t = 0m Otrzymujemy, że Lusia pomagała Kazikowi przez 0 minut. O której godzinie Lusia przyszła z pomocą? z, m z nie jest minuta 0 Kazik zaczyna obieranie minuta Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą t = 0m minuta Koniec pracy Lusi i Kazika Ponieważ Kazik całość pracy Kazika to minut, Lusia pomagała 0 minut, więc Lusia przyszła z pomocą Kazikowi po minucie. Odpowiedź: Lusia przystąpiła do pracy po minucie samotnego obierania ziemniaków przez Kazika.
Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Działkowicz miał do przekopania działkę. Pracę rozpoczął o godzinie :00 rano. Gdyby pracował bez przerwy w równym tempie, pracę mógłby zakończyć dopiero o godzinie :0. W trakcie pracy działkowiczowi przyszedł z pomocą młodszy kolega i od pewnej godziny do zakończenia pracy o godzinie :00 pracowali razem. Działkowicz i młodszy kolega pracowali cały czas równomiernie, a tempo pracy młodszego kolegi było dwukrotnie większe. Do której godziny od :00 działkowicz pracował sam? Odpowiedź uzasadnij. Rozwiązanie sposób I Uwagi i szkic rozwiązania Liczy się pomysł Ten sposób rozwiązania zadania wymaga wytężenia umysłu i chwili zastanowienia się. Opiera się na pomyśle, który musi przyjść nam do głowy w trakcie konkursu. Jeśli wpadniemy na pomysł, to zadanie rozwiązuje się w minuty. Prawdopodobnie autorowi zadania chodziło, by rozwiązać problem właśnie w poniższy sposób. Praca młodszego kolegi krotnością pracy działkowicza wykonana w h 0min Najpierw zauważymy, ze od chwili przyjścia młodszego kolegi działkowicz wykonał pozostałej pracy, zaś młodszy kolega pozostałej pracy. Gdyby nie młodszy kolega to działkowicz te pozostałej pracy musiałby wykonać sam pomiędzy :00 a :0 czyli w ciągu 0 minut. Otrzymujemy, że pozostałej pracy działkowicz wykonuje w ciągu 7 minut ( godzina i minut). To znaczy, że od przyjścia kolegi do :00 minęła właśnie godzina i minut czyli młodszy kolega przyszedł o :4.
Szczegółowe rozwiązanie zadania Działkowicz pracuje samodzielnie Sytuacja gdy działkowicz pracuje samodzielnie przedstawia rysunek poniżej: 7h 0min :00 Działkowicz zaczyna pracę :0 Działkowicz kończy pracę gdy kopie całą działkę samodzielnie Pracując samodzielnie działkowicz rozpoczyna pracę o :00 rano i kończy :0, czyli pracuje 7 godzin i 0 minut. W trakcie pracy przychodzi z pomocą młodszy kolega O pewnej godzinie p z pomocą działkowiczowi przychodzi młodszy kolega co możemy zaznaczyć następująco: 7h 0min :00 Działkowicz zaczyna pracę Godzina p Młodszy kolega rozpoczyna pracę pomagając działkowiczowi pozostała praca :0 Działkowicz kończy pracę gdy kopie całą działkę samodzielnie Po przyjściu młodszego kolegi, działkowicz i młodszy kolega muszą między siebie podzielić pozostałą pracę.
Jak działkowicz i młodszy kolega podzielą między siebie pozostałą pracę? Treść zadania mówi, że młodszy kolega posiada dwa razy większe tempo pracy. Inaczej mówiąc, młodszy kolega wykona dwa razy więcej pozostałej pracy. Oznacza to, że jeśli działkę, która została do skopania po godzinie p, podzielimy na części to działkowicz przekopie jedną część (oznaczmy jako x), zaś młodszy kolega przekopie dwie części (oznaczmy jako x) wszystko między godziną p a godziną :00. Obrazuje to poniższy rysunek: 7h 0min Działkowicz wykonuje pracę x Młodszy kolega wykonuje pracę x :00 Działkowicz zaczyna pracę Godzina p Młodszy kolega rozpoczyna pracę pomagając działkowiczowi :00 Działkowicz i młodszy kolega kończą pracę :0 Działkowicz kończy pracę gdy kopie całą działkę samodzielnie Między godziną p a godziną :00, działkowicz wykona pracę x, zaś młodszy kolega wykona dwukrotnie większą pracę x. Ile czasu działkowicz kopie x działki? Spójrzmy na uzyskany przed chwilą wynik inaczej. Gdyby nie młodszy kolega to nasz działkowicz musiałby między godziną :00 a :0 przekopać x działki. Dlaczego? Wiem, że działkowicz między godziną p a :00 przekopuje x działki, czyli od godziny :00 do :0 zostaje mu do przekopania x działki (gdy z młodszym kolegą kończą pracę o :00 to przekopanie tego kawałka x załatwia mu właśnie młodszy kolega).
7h 0min Działkowicz wykonuje pracę x Młodszy kolega wykonuje pracę x h 0min Działkowicz wykonuje pracę x gdy nie ma młdoszego kolegi :00 Działkowicz zaczyna pracę Godzina p Młodszy kolega rozpoczyna pracę pomagając działkowiczowi :00 Działkowicz i młodszy kolega kończą pracę :0 Działkowicz kończy pracę gdy kopie całą działkę samodzielnie Skoro między godziną :00 a :0 działkowicz przekopuje x działki, to możemy obliczyć ile czasu działkowicz przekopuje x działki. Między godziną :00 a :0 jest godziny i 0 minut czyli: 0 minut + 0 minut + 0 minut = 0 minut + 0 minut = 0 minut Skoro działkowicz przekopuje x działki przez 0 minut to x działki przekopie przez: 0 minut / = 7 minut = godzina minut Ile czasu kopie działkowicz od godziny p do :00? Wracając do poprzedniego rysunku, widzimy, że między godziną p a godziną :00 działkowicz przekopał x działki. Ale przecież wiemy, że na przekopanie x działki działkowicz potrzebuje godziny i minut: 7h 0min Działkowicz wykonuje pracę x Młodszy kolega wykonuje pracę x h 0min Działkowicz wykonuje pracę x gdy nie ma młdoszego kolegi :00 Działkowicz zaczyna pracę Godzina p Młodszy kolega rozpoczyna pracę pomagając działkowiczowi :00 Działkowicz i młodszy kolega kończą pracę :0 Działkowicz kończy pracę gdy kopie całą działkę samodzielnie
O której godzinie młodszy kolega przyszedł z pomocą? Teraz łatwo obliczymy godzinę p o której młodszy kolega przyszedł z pomocą działkowiczowi: :00 godzina minut = :4 7h 0min h min Działkowicz wykonuje pracę x :00 Działkowicz zaczyna pracę Godzina p :4 Młodszy kolega rozpoczyna pracę pomagając działkowiczowi :00 Działkowicz i młodszy kolega kończą pracę :0 Działkowicz kończy pracę gdy kopie całą działkę samodzielnie Odpowiedź: Młodszy kolega przyszedł z pomocą działkowiczowi o godzinie :4. Rozwiązanie sposób II Uwagi i szkic rozwiązania Brutalne rozwiązanie Jest to rozwiązanie siłowe, pozbawione jakiegokolwiek pomysłu. Układamy równanie i musi nam wyjść prawidłowy wynik. Jednak takie podejście wymaga następujących umiejętności: 4. Musimy bardzo dobrze operować na wyrażeniach algebraicznych. Zachęcamy do odwiedzenia stron: http://www.cauchy.pl/podstawowa/wyrazenia_algebraiczne/ http://www.cauchy.pl/gimnazjum/wyrazeniaalgebraiczne/ gdzie znajdziesz wiele przykładów z rozwiązaniami. Musimy bardzo dobrze operować równaniami. Zachęcamy do odwiedzenia strony: http://www.cauchy.pl/gimnazjum/rownania/ gdzie znajdziesz wiele przykładów z rozwiązaniami. Musimy uważać na jednostki. Na przykład, jeśli działkę kopiemy przez dwie d godziny to prędkość naszego kopania wynosi ( d to działka zaś h godzina). h Słowo przez jest odpowiednikiem kreski ułamkowej czyli d (jedna działka)
jest w liczniku, zaś h (dwie godziny) w mianowniku. Nieprawidłowe są następujące zapisy: d a. - oznacza, że kopiemy działki w ciągu godziny h h b. - zapis w ogóle nie oznacza prędkości kopania. d Prędkość i równanie d Najpierw stwierdzimy, że prędkość kopania działkowicza to 7,h (gdzie d to cała d działka), zaś prędkość kopania młodszego kolegi to. Zatem przez godzin kopania 7,h d h działkowicz przekopie = d 7,h 7, działki. Młodszy kolega pomaga w czasie t w którym przekopie d t 7,h działki. Razem przekopią całą działkę (czyli d ) co daje nam równanie: h d d t + = d 7,h 7,h z którego obliczamy, że młodszy działkowicz pomagał h min, czyli przyszedł z pomocą o :4. Szczegółowe rozwiązanie zadania Oznaczenia d - cała działka h - jedna godzina v d - prędkość pracy działkowicza v m - prędkość pracy młodszego kolegi Prędkość pracy działkowicza Od godziny :00 rano do :0 mija 7,h. W takim czasie działkowicz przekopuje całą v wynosi: działkę samodzielnie czyli prędkość jego kopania d d v d = 7, h Możemy to interpretować, że działkowicz przekopuje całą działkę przez 7,h. Prędkość pracy młodszego kolegi Młodszy kolega jest dwa razy szybszy od działkowicza (przekopuje działkę dwa razy szybciej), więc jego prędkość kopania v m wynosi:
d d vm = vd = = 7,h 7,h Możemy to interpretować, że młodszy kolega przekopuje dwie działki przez 7,h. Ile działki przekuje każdy z nich przez określony czas? Co oznaczają obliczone powyżej prędkości kopania? Jeśli mamy dany czas to możemy obliczyć jaką część działki przekopie działkowicz przez ten dany czas. Jeśli działkowicz kopie godziny to w tym czasie przekopie: d d h d d v d h = h = = = = d 7,h 7,h 7,,, Otrzymujemy, że w ciągu godzin działkowicz przekopie części działki., Jeśli działkowicz kopie godzin to w tym czasie przekopie: d d h d h d v d h = h = = = = d 7,h 7,h 7, Otrzymujemy, że w ciągu godzin działkowicz przekopie działki. Wydaje się to rozsądne, gdyż w ciągu 7, godziny przekopuje całą działkę. Podobnie możemy obliczać jaki kawałek działki przekopie młodszy kolega w określonym czasie. Jeśli młodszy kolega kopie, godziny to w tym czasie przekopie: v d d.h d, d m,h =,h = = = = d 7,h 7,h 7, Otrzymujemy, że w ciągu, godziny młodszy kolega przekopie działki. Podział pracy gdy młodszy kolega przyszedł z pomocą Działkowicz wykonuje pracę p d = v d*h Młodszy kolega wykonuje pracę p m = v m*t :00 Działkowicz zaczyna pracę Godzina p Młodszy kolega rozpoczyna pracę pomagając działkowiczowi t :00 Działkowicz i młodszy kolega kończą pracę
Ile przekopał działkowicz? W naszej sytuacji działkowicz pracował godzin: od :00 do :00. W tym czasie działkowicz przekopał pewną część działki którą możemy obliczyć jak poniżej ( p d - przekopana przez działkowicza część działki przez h): d d h pd = vd h = h = () 7,h 7,h Celowo nie skracamy miana godzin, gdyż później będziemy musieli mieć w mianowniku 7,h by dodać ułamki (pracę działkowicza i młodszego kolegi). d h Otrzymujemy, że działkowicz przekopał = d działki od :00 do :00. 7,h 7, Ile przekopał młodszy kolega? Młodszy kolega nie pracował cały czas. Oznaczmy czas pracy młodszego kolegi jako t. W tym czasie młodszy kolega przekopał pewną część działki którą możemy obliczyć jak poniżej ( p m - przekopana przez młodszego kolegę część działki przez czas t ): d d t pm = vd t = t = () 7,h 7,h d t Otrzymujemy, że młodszy kolega przekopał działki w czasie w którym pomagał 7,h działkowiczowi (t ). Układamy równanie W efekcie, działkowicz i młodszy kolega przekopali całą działkę. Oznacza to, że suma części działek: p d (część działki przekopana przez działkowicza) oraz p m (część działki przekopana przez młodszego kolegę) daje całą działkę (czyli d ). Możemy to zapisać jak poniżej: pd + pm = d Wystarczy podstawić obliczone powyżej () i () wartości p d oraz p m by otrzymać równanie: d h d t + = d 7,h 7,h dh + dt = d 7,h 7,h dh + dt = 7,dh dt = 7,dh dh dt =,dh : d ( mozemy dzielic przez d, gdyz d 0 jako cala dzialka) t =,h t =,h :
Otrzymujemy, że młodszy kolega pomagał działkowiczowi przez,h. Ile to jest,h? 0, godziny to 0, z 0 minut: 0, 0min = 0min = min 4 Czyli,h to godzina i minut. O której godzinie młodszy kolega przyszedł z pomocą? :00 Działkowicz zaczyna pracę Godzina p Młodszy kolega rozpoczyna pracę pomagając działkowiczowi t = h min :00 Działkowicz i młodszy kolega kończą pracę Ponieważ działkowicz i młodszy kolega skończyli pracę o :00, zaś młodszy kolega pracował h min, więc młodszy kolega przyszedł do pomocy o: :00 h min = 0:00 min = :4 Odpowiedź: Młodszy kolega przyszedł z pomocą działkowiczowi o godzinie :4.
Zestaw II Zadanie nr 4 Treść zadania Trójka dzieci: Adrian, Basia i Cyprian bawiła się w grę o następujących zasadach:. Najpierw dziecko pisze na kartce dowolna liczbę 7. Kartki oddaje się do sędziego 8. Następnie sędzia losuje kolejność dzieci. Na tablicy, pierwsze wylosowane dziecko wypisuje wielokrotności liczby którą zapisało na kartce w zakresie od do 00 0. Kolejne dzieci (według losowania) dopisują na tablicy wielokrotności liczb zapisanych przez siebie na kartce w przedziale od do 00 według następujących zasad: a. Jeśli danej wielokrotności nie było na tablicy, to ta liczba jest dopisywana. b. Jeśli dana wielokrotność już jest na tablicy (powtarza się z wielokrotnością któregoś poprzedniego dziecka) to nie jest dopisywana. Wygrywa ta osoba która wypisze najwięcej liczb na tablicy. Na kartkach dzieci zapisały następujące liczby: Basia: Adrian: Cyprian: 0 Sędzia wylosował następującą kolejność wypisywania liczb na tablicy: 4. Adrian. Basia. Cyprian Które z dzieci wygrało grę? Jaka jest strategię powinno obrać dziecko by wygrać tę grę? Wytłumaczenie treści zadania Zrozumieć treść zadania! Zadanie posiada dość złożoną treść, za którą kryje się proste polecenie. Tym bardziej nam to uwypukla konieczność:. Znajomości treści zadania. Zrozumienia treści zadania Wydaje się to oczywiste, ale jest to jeden z najczęstszych błędów na konkursach:. Uczniowie nie rozwiązują zadania bo go nie rozumieją. Często trzeba przeczytać zadanie kilkukrotnie by zrozumieć jego treść.. Uczniowie źle, niedbale, niedokładnie przeczytali treść zadania i rozwiązują inne zadanie niż jest na kartce. Za rozwiązanie innego zadania nie ma niestety punktów. Dlatego proponujemy zawsze sprawdzać, czy rozwiązanie zgadza się z treścią zadania z tą treścią która jest na kartce!
Nie można się zniechęcać jeśli po jednokrotnym przeczytaniu zadania nie rozumiemy jego treści! O co chodzi w zadaniu? Zgodnie z kolejnością jaką wylosował sędzia dzieci będą wypisywać na tablicy:. Adrian wpisuje dzielniki liczby w zakresie od do 00.. Basia dopisuje dzielniki liczby w zakresie od do 00. Jeśli dzielnik liczby znajduje się już na tablicy (jest również dzielnikiem liczby ) to Basia go nie dopisze. I tak na przykład: a. Basia dopisze liczbę 0 (dzieli się przez ) b. Basia nie dopisze liczby 0 (dzieli się przez i przez ). Cyprian dopisuje dzielniki liczby 0 w zakresie od do 00. Jeśli dzielnik liczby 0 znajduje się już na tablicy (jest również dzielnikiem liczby lub ) to Cyprian go nie dopisze. I tak na przykład: a. Cyprian dopisze liczbę 40 (dzieli się przez 0) b. Cyprian nie dopisze liczby 0 (dzieli się przez 0 i przez ) c. Cyprian nie dopisze liczby 00 (dzieli się przez 0 i przez ) Naszym zadaniem jest obliczyć ilość liczb wypisanych przez każde dziecko i określić kto ich najwięcej napisał (kto jest zwycięzcą). Dodatkowo powinniśmy zastanowić się nad strategią, to znaczy jaką liczbę powinno wypisać na kartce dziecko by mieć największą szansę na zwycięstwo wypisywanie jak największej ilości liczb. Sposób rozwiązania zadania Adrian wypisał wielokrotności liczby w za kresie od do 00, czyli wypisał 8 liczb. Basia miała dopisać wielokrotności liczby w zakresie od do 00. Jednak nie mogła dopisać wszystkich liczb. Basia nie dopisywała liczb które już są na tablicy wypisane wcześniej przez Adriana, czyli nie dopisywała liczb podzielnych przez i. Liczby podzielne przez i to liczby podzielne przez 7 ponieważ NWW(,)=7, W zakresie od do 00 jest liczb podzielnych przez liczby podzielnych przez 7 Zatem Basia dopisała - czyli liczb. Cyprian miał dopisać wielokrotności liczby 0 w zakresie od do 00. Tych liczb jest 0. Jednak Cyprian nie dopisywał liczb które już są na tablicy wypisane wcześniej przez Adriana i Basię, czyli nie dopisywał: Liczb podzielnych przez 0 i (wypisane wcześniej przez Adriana). Liczby podzielne przez 0 i to wielokrotności 0 gdyż NWW(0,) = 0. Są 4 takie liczby w zakresie -00. Liczb podzielnych przez 0 i (wypisane wcześniej przez Basię). Liczby podzielne przez 0 i to wielokrotności 0 gdyż NWW(0,) = 0. Jest takich liczb w zakresie -00.
Czyli Cyprian wypisał Liczby podzielne przez 0 minus Liczby podzielne przez 0 i minus Liczby podzielne przez 0 i plus Liczby podzielne jednocześnie przez 0, i (gdyż te liczby odejmujemy dwukrotnie, raz jako niedopisane gdyż podzielne przez i drugi raz jako niedopisane gdyż podzielne przez ) Liczb podzielne jednocześnie przez 0, i to wielokrotności 0, gdyż NWW(0,,) = 0. Jest jedna taka liczba w zakresie -00. Otrzymujemy, zgodnie z powyższą zasadą, że Cyprian dopisał 0 4 + = liczb. Mamy, że poszczególne dzieci wypisały następując ilość liczb: Adrian 8 Basia Cyprian Zatem w turnieju zwyciężyli jednocześnie Basia i Cyprian. Optymalna strategia to zapisanie na karteczce jak najmniejszej liczby (czyli jedynki) gdyż ma ona najwięcej wielokrotności. Szczegółowe rozwiązanie zadania Ile liczb wypisał Adrian? Rozwiązanie na piechotę wypisujemy wszystkie liczby Adrian miał wypisać na tablicy wielokrotności w za kresie od do 00, czyli wypisał 8 liczb jak pokazano poniżej: 0 7 00 0 7 00 4 7 8 Ile liczb wypisał Adrian obliczamy zamiast pisać Żeby policzyć ile jest liczb będących wielokrotnością w za kresie od do 00 nie musimy ich wszystkich wypisywać na kartce tak jak zrobiliśmy to powyżej. Wystarczy pogłówkować. Przyda nam się to w trudniejszych zadaniach gdy nie da się wypisać wszystkich liczb o danej własności. Dlatego poniżej pokazuję jak obliczyć bez wypisywania ile liczb wypisał Adrian. Zauważmy, że wielokrotności powtarzają się co :
4 7 8 0 4 7 8 0 4 liczb 7 8 0 4 7 8 40 4 4 4 44 4 4 47 48 4 0 liczb 4 7 8 0 4 7 8 70 7 7 7 74 7 liczb 7 77 78 7 80 8 8 8 84 8 8 87 88 8 80 4 7 8 00 liczb 0 0 0 04 0 0 07 08 0 0 4 7 8 0 4 liczb 7 8 0 4 7 8 40 4 4 4 44 4 4 47 48 4 0 liczb 4 7 8 0 4 7 8 70 7 7 7 74 7 liczb 7 77 78 7 80 8 8 8 84 8 8 87 88 8 80 4 7 8 00 liczb 4 7 8 Wystarczy więc, że podzielimy 00 przez by obliczyć ile jest wielokrotności liczby w zakresie od do 00: 00 : = 8 Otrzymujemy, że jest 8 wielokrotności w zakresie od do 00. Patrząc na powyższy rysunek wszystko się zgadza. Otrzymujemy niejako 8 odcinków liczbowych: Odcinek nr : od do Odcinek nr : od do 0 Odcinek nr : od do 7 Odcinek nr 4: od 7 do 00 Odcinek nr : od 0 do Odcinek nr : od do 0 Odcinek nr : od do 7 Odcinek nr : od 7 do 00 Podsumowując Chcąc obliczyć ile liczb wypisał Adrian (wielokrotności w zakresie od do 00) wystarczy 00 podzielić przez. Otrzymujemy, że Adrian wypisał 8 liczb. Ile liczb dopisała Basia? Basia tylko dopisuje Zauważmy, że Basia na tablicy nie wypisuje wszystkich dzielników liczby w zakresie od do 00. Basia na tablicy dopisuje dzielniki liczby w zakresie od do 00, których nie ma jeszcze na tablicy. Liczby Basi rozwiązanie na piechotę Poniżej zielonym kolorem zaznaczono wielokrotności liczby które Basia dopisała na tablicy, zaś na czerwono te wielokrotności liczby których Basia nie dopisała gdyż już były na tablicy:
0 4 0 7 0 0 4 0 0 80 0 7 8 0. Liczb 7 i 0 Basia dopisała pomimo, że są wielokrotnością, gdyż wypisał je Adrian.. Liczby 0 Basia nie dopisała gdyż jest poza zakresem 00. Widzimy, że liczb podzielnych przez w zakresie od do 00 jest. Jednak Basia dopisała tylko liczb, gdyż dwie liczby (konkretnie 7 i 0) były już wypisane przez Adriana. Trzeba obliczyć Nie damy rady w każdym tego typu zadaniu napisać wszystkich liczb dopisanych przez dziecko. Dlatego musimy umieć obliczyć ile liczb dopisała na tablicy Basia bez pisania ich wszystkich jak zrobiłem to powyżej. Poniżej pokazuję jak policzyć ilość liczb dopisanych przez Basię. Liczby podzielne przez w zakresie -00 Ilość liczb podzielnych przez w zakresie od do 00 obliczamy dzieląc 00 przez : 00 : = reszty Których dzielników liczby Basia nie dopisała? Czyli otrzymujemy, że liczb podzielnych przez w zakresie od do 00 jest. Wiemy, że Basia ich wszystkich nie dopisała na tablicy. Nie dopisała tych liczb, które oprócz tego, że dzielą się przez (Basia miała je dopisać), to dzielą się przez (były już na tablicy zapisane przez Adriana). Liczby podzielne jednocześnie przez i Jakie to liczby które dzielą się przez i? Najmniejszą liczbę która dzieli się jednocześnie przez i pozwoli nam znaleźć Najmniejszą Wspólna Wielokrotność (NWW). Szczegółowe wytłumaczenie czym jest Najmniejsza Wspólna Wielokrotność znajdziesz na stronie: http://www.cauchy.pl/teoria/algebra/nww/ Przykłady obliczania NWW z rozwiązaniami znajdziesz na stronie: http://www.cauchy.pl/podstawowa/nww_nwd/ Poniżej zakładam, że umiesz posługiwać się NWW. Szukamy NWW liczb i Rozkład na czynniki pierwsze liczb i : Otrzymujemy, że: = * = *
Teraz możemy znaleźć NWW liczb i. Czynniki zielone ( i ) występują jednokrotnie między liczbami i więc bierzemy te czynniki do NWW. Czynnik czerwony () występują w rozkładzie na czynniki pierwsze zarówno jak bierzemy go tylko raz: NWW(,) = * * = * = 7 Liczby podzielne przez 7 tych liczb Basia nie dopisywała Otrzymujemy, że Basia nie dopisywała liczb podzielnych przez 7 i ich wielokrotności. Co prawda liczby podzielne 7 również dzielą się przez (czyli powinny być dopisane przez Basię), ale dzielą się również przez czyli znajdują się już na tablicy gdyż wypisał je Adrian. Ile jest liczb podzielnych przez 7 w zakresie -00? Ilość liczb podzielnych przez 7 w zakresie od do 00 obliczamy dzieląc 00 na 7: 00 : 7 = reszty 0 Czyli są dwie liczby podzielne przez których Basia nie dopisała. Ile liczb dopisała Basia? Chcąc zatem obliczyć ile liczb w zakresie od do 00 dopisała Basia musimy: Od wszystkich liczb podzielnych przez (te które powinna dopisać Basia) Tych liczb jest ich odjąć Liczby podzielne przez 7 (podzielne przez ale też przez i już znajdujące się tablicy wypisane przez Adriana) Są takie liczby Otrzymujemy, że Basia dopisała czyli liczb. Ile liczb dopisał Cyprian? Adrian również tylko dopisuje Cyprian również tylko dopisuje liczby są to dzielniki liczby 0 w zakresie od do 00. Jeśli liczba jest podzielna przez 0, ale znajduje się już na tablicy to Cyprian jej nie dopisuje. Liczby Cypriana rozwiązanie na piechotę Poniżej w zakresie -00:. fioletowym kolorem zaznaczono wielokrotności liczby 0 które Cyprian dopisał na tablicy. na czerwono wielokrotności liczby 0 których Cyprian nie dopisał gdyż były wypisane przez Adriana (są również wielokrotnościami ). na zielono wielokrotności liczby 0 których Cyprian nie dopisał gdyż były wypisane przez Basię (są również wielokrotnościami )
0 0 0 0 0 0 7 40 40 8 0 0 0 0 Otrzymujemy, że Cyprian dopisał liczb. 0 70 4 70 80 0 80 0 0 00 00 Trzeba obliczyć Podobnie jak poprzednio poniżej pokażę jak obliczyć ilość liczb dopisanych przez Cypriana bez ich wypisywania. Jak to zrobimy? Od liczb podzielnych przez 0 (powinien je dopisać Cyprian) odejmiemy liczby podzielne 0 i (wypisał je Adrian) i liczby podzielne przez 0 i (wypisała je Basia) i dodamy liczby podzielne przez 0, i (były odjęte dwukrotnie). Liczby podzielne przez 0 w zakresie -00 Ilość liczb podzielnych przez 0 w zakresie od do 00 obliczamy dzieląc 00 przez 0: 00 : 0 = 0 Czyli gdyby nie Adrian i Basia to Cyprian dopisałby 0 liczb. ----------------------- Jakich liczb nie dopisał Cyprian gdyż były na tablicy wypisane przez Adriana? Część liczb Cyprian nie dopisał gdyż były już na tablicy wypisane przez Adriana. Są to liczby podzielne przez 0 (powinien wypisać je Cyprian) i jednocześnie podzielne przez (były już na tablicy wypisane przez Adriana). Na powyższym rysunku zaznaczone są czerwonym kolorem. Są to cztery liczby: 0, 00, 0 i 00. NWW liczb 0 i My ilość liczb podzielnych przez 0 i obliczymy korzystając z Najmniejszej Wspólnej Wielokrotności (NWW). Zauważmy, że najmniejsza liczba podzielna jednocześnie przez 0 i to NWW liczb 0 i. Znajdujemy NWW(0,): Rozkładamy na czynniki pierwsze liczby 0 i : 0 0 = * = * NWW(0,) znajdujemy wykreślając mające swoje odpowiedniki czynniki między liczbami 0 i : 0 Czynnik zaznaczony na czerwono powtarza się między liczbami 0 i dlatego jeden z nich wykreślamy. Nieskreślone czynniki bierzemy do obliczenia NWW: NWW(0,) = * * = 0 * = 0
Liczby podzielne przez 0 i Otrzymujemy, że najmniejszą liczbą podzielną jednocześnie przez 0 i jest 0. Zatem Cyprian nie dopisał liczb podzielnych przez 0 (przy ręcznym rozwiązaniu zaznaczyłem je na czerwono). Co prawda liczby podzielne przez 0 dzielą się przez 0 (Cyprian powinien takie liczby dopisać), ale dzielą się również przez (były na tablicy wypisane przez Adriana). W zakresie -00 liczb podzielnych przez 0 jest 4 gdyż 00 : 0 = 4. Ile liczb nie dopisał Cyprian gdyż były na tablicy wypisane przez Adriana? Otrzymujemy, że spośród dwudziestu liczb jakie Cyprian powinien dopisać (gdyż dzielą się przez 0 w przedziale -00) Adrian na pewno nie dopisał czterech podzielnych przez 0, gdyż dodatkowo dzielą się przez i były już na tablicy wypisane przez Adriana. ----------------------- Jakich liczb nie dopisał Cyprian gdyż były na tablicy wypisane przez Basię? Również część liczb Cyprian nie dopisał gdyż były już na tablicy wypisane przez Basię. Są to liczby podzielne przez 0 (powinien wypisać je Cyprian) i jednocześnie podzielne przez (były już na tablicy wypisane przez Basię). Na powyższym rysunku zaznaczone są czerwonym kolorem. Jest to sześć liczb: 0, 0, 0, 0, 0 i 80. NWW liczb 0 i My ilość liczb podzielnych przez 0 i obliczymy korzystając z Najmniejszej Wspólnej Wielokrotności (NWW). Zauważmy, że najmniejsza liczba podzielna jednocześnie przez 0 i to NWW liczb 0 i. Znajdujemy NWW(0,). Rozkładamy na czynniki pierwsze liczby 0 i : 0 0 = * = * NWW(0,) znajdujemy wykreślając czynniki, które mają swoje odpowiedniki między liczbami 0 i : 0 Czynnik zaznaczony na czerwono powtarza się między liczbami 0 i dlatego jeden z nich wykreślamy. Nieskreślone czynniki bierzemy do obliczenia NWW: NWW(0,) = * * = * = 0 Liczby podzielne przez 0 i Otrzymujemy, że najmniejszą liczbą podzielną jednocześnie przez 0 i jest 0. Zatem Cyprian nie dopisał liczb podzielnych przez 0 (przy ręcznym rozwiązaniu zaznaczyłem je na zielono). Co prawda liczby podzielne przez 0 dzielą się przez 0 (Cyprian powinien takie liczby dopisać), ale dzielą się również przez (były na tablicy wypisane przez Basię). W zakresie -00 liczb podzielnych przez 0 jest gdyż: 00 : 0 = reszty 0.
Ile liczb nie dopisał Cyprian gdyż były na tablicy wypisane przez Basię? Otrzymujemy, że spośród dwudziestu liczb jakie Cyprian powinien dopisać (gdyż dzielą się przez 0 w przedziale -00) Adrian na pewno nie dopisał sześciu podzielnych przez 0, gdyż dodatkowo dzielą się przez i były już na tablicy wypisane przez Basię. ----------------------- Co dalej? Wydaje się, że teraz wystarczy dla przedziału -00, od wszystkich liczb podzielnych przez 0 (jest ich 0 i miał je dopisać Cyprian) odjąć liczby podzielne przez 0 (jest ich 4, są podzielne przez 0 ale zostały wcześniej wypisane przez Adriana) oraz także odjąć liczby podzielne przez 0 (jest ich, są podzielne przez 0 ale zostały wcześniej wypisane przez Basię) i będziemy mieli liczby które dopisał rzeczywiście Cyprian. Czyli wydaje się, że Cyprian dopisał 0 4 = 0 0 = 0 () liczb. 0 liczymy podwójnie Jednak jest to nieprawidłowe rozumowanie. Przekonuje nas o tym rysunek na którym widzimy, że Cyprian dopisał w rzeczywistości liczb. Gdzie jest błąd? Otóż w powyższym rozumowaniu, liczbę 0 liczymy dwukrotnie jako znajdującą się już na tablicy. Policzyliśmy ją wśród czterech liczb które były już na rysunku wypisane przez Adriana (0 podzielna przez 0) jak i wśród sześciu liczb wypisanych przez Basię (0 podzielna przez 0). Czyli w działaniu () liczby podzielne jednocześnie przez 0, i (podzielne przez 0) odjęliśmy dwukrotnie, jako niedopisane przez Cypriana. Dlatego musimy poprawić działanie () dodając ilość liczb podzielnych przez 0. Wówczas liczby podzielne przez 0 będą odejmowane jednokrotnie.. Jak zrobić to porządnie? Ponieważ chcemy umieć rozwiązywać podobne zadania dla dużych liczb, gdzie wypisywanie wszystkiego nie jest już możliwe, więc nie możemy się opierać na rysunku gdzie widać, że 0 występuje w zakresie -00 dokładnie raz. Musimy wszystko policzyć rachunkowo. Zatem musimy policzyć NWW(0,,)=0 jako najmniejszą liczbę podzielną jednocześnie przez 0,,. Wielokrotności 0 w zakresie -00 to liczby które odejmujemy dwukrotnie od ilości liczb które Adrian powinien wypisać (raz jako liczby będące na tablicy wypisane przez Adriana, raz jako liczby będące na tablicy wypisane przez Basię). Dlatego ilość wielokrotności 0 w zakresie -00 musimy dodatkowo dodać do działania () by zniwelować podwójne odejmowanie wielokrotności 0. NWW liczb 0,, Ilość liczb podzielnych przez 0,, obliczymy korzystając z Najmniejszej Wspólnej Wielokrotności (NWW).
Zauważmy, że najmniejsza liczba podzielna jednocześnie przez 0, oraz to NWW liczb 0, oraz. Znajdujemy NWW(0,,): Rozkładamy na czynniki pierwsze liczby 0,, : 0 0 = * = * = * NWW(0,,) znajdujemy wykreślając mające swoje odpowiedniki czynniki między liczbami 0, i : 0 Czynnik zaznaczony na czerwono powtarza się między wszystkimi liczbami (0,, ) dlatego liczymy go jednokrotnie a pozostałe występowania wykreślamy. Nieskreślone czynniki bierzemy do obliczenia NWW: NWW(0,,) = * * * = 0 * = 0 Liczby podzielne przez 0, i Otrzymujemy, że najmniejszą liczbą podzielną jednocześnie przez 0, i jest 0. Jest jedna liczba podzielna przez 0 w zakresie -00 gdyż: 00 : 0 = reszty 0. Poprawne rozumowanie Poprawne rozumowanie powinno być następujące: od wszystkich liczb podzielnych przez 0 (jest ich 0 i miał je dopisać Cyprian) odejmujemy liczby podzielne przez 0 (jest ich 4, są podzielne przez 0 ale zostały wcześniej wypisane przez Adriana jako również podzielne przez ) oraz także odejmujemy liczby podzielne przez 0 (jest ich, są podzielne przez 0 ale zostały wcześniej wypisane przez Basię jako również podzielne przez ) dodajemy liczby podzielne przez 0 (jest jedna taka liczba), gdyż odjęliśmy je powyżej dwukrotnie jako wypisane wcześniej przez Adriana (dzielą się przez 0 i ) wypisane wcześniej przez Basię (dzielą się przez 0 i ) i mamy liczby które dopisał rzeczywiście Cyprian. Czyli Cyprian dopisał: 0 4 + = 0 0 + = 0 + = liczb.
Kto wygrał? Otrzymujemy, że: Adrian wypisał 8 liczb. Basia dopisała liczb. Cyprian dopisał liczb. Czyli zwyciężyli w grze jednocześnie Basia i Cyprian. Jak jest strategia wygrywająca? Zadanie wymaga od nas by wypisywać jak najwięcej liczb. Najwięcej liczb będziemy wypisywać gdy wybierzemy liczbę która ma najwięcej wielokrotności. Najwięcej wielokrotności w dowolnym przedziale ma liczba. Dlatego chcąc wygrać dziecko powinno napisać na kartce liczbę i oddać ją sędziemu. Oczywiście będzie kłopot, jeśli wszyscy wypiszą na karteczkach liczbę. Wówczas tylko pierwsze dziecko wypisze na tablicy swoje wielokrotności (wszystkie liczby w danym przedziale), zaś reszta dzieci już nic nie napisze. Ale ten sam los może spotkać kolejne dzieci gdy wypiszą jakąkolwiek inną liczbę na karteczce. Jeśli pierwsze dziecko wypisze wielokrotności to kolejne dzieci również nic nie wypiszą. Dlatego dziecko chcąc wygrać zawody powinno wypisać na karteczce i mieć nadzieję, że będzie pierwsze lub inne dzieci nie wypiszą na karteczce jedynki. Dlatego gra nie ma raczej praktycznego sensu. Do powyższego rozumowania dzieci dochodzą całkiem szybko.
Zadanie nr Treść zadania 4. Nauczyciel wypisał na tablicy zielona kredą liczby podzielne przez w zakresie 0 000.. Następnie dopisał dodatkowo czerwonym kolorem liczby podzielne przez 0 w zakresie 0 000 pisząc tylko te liczby których nie ma jeszcze na tablicy.. Na koniec, granatową kredą dopisał liczby podzielne przez 8 w zakresie 0 000. Również i w tym przypadku nie wypisywał liczb jeśli były już na tablicy. Ile liczb każdego koloru wypisał nauczyciel? Sposób rozwiązania zadania Zielonych liczb jako podzielnych przez w zakresie od do 0 000 nauczyciel wypisał. Normalnie czerwonych liczb podzielnych przez 0 w zakresie od do 0 000 jest 000. Jednak z tego 000 nauczyciel nie wypisał liczb podzielnych przez 0 gdyż dzielą się również przez i już znajdując się na tablicy wypisane zieloną kredą. Zatem czerwonych liczb nauczyciel dopisał 000 = 7. Mając pustą tablicę grantowych liczb podzielnych przez 8 w zakresie od do 0 000 jest 0. Jednak 4 liczb dzieli się przez 8 i w zakresie od do 0 000 0 liczb dzieli się przez 8 i 0 w zakresie od do 0 000 8 liczby dzielą się przez 8, i 0 w zakresie od do 0 000 Dlatego, spośród 0 liczb podzielnych przez 8 nauczyciel nie wypisał 4 + 0 8 = 8 = 8 liczb. Zatem nauczyciel wypisał 0 8 = 7 granatowe liczby. Szczegółowe rozwiązanie zadania Ile zielonych liczb wypisał nauczyciel? Zielone liczby to takie które są z zakresu od do 0 000 i dodatkowo są podzielne przez. Zauważmy, że: 0 000 : = reszty 4 Zatem zielonych liczb (podzielnych przez z zakresu od do 0 000) jest. Ile czerwonych liczb dopisał nauczyciel? Czerwone liczby to liczby podzielne przez 0 z zakresu od do 0 000. Zauważmy, że: 0 000 : 0 = 000 Zatem liczb podzielnych przez 0 z zakresu od do 0 000 jest 000.
Zauważmy, że w treści zadania występuje zwrot: dopisał liczby podzielne przez 0 nie zaś: wypisał liczby podzielne przez 0 Dlatego nauczyciel nie wypisał wszystkich tysiąca liczb podzielnych przez 0 z zakresu od do 0 000. Cześć z liczb podzielnych przez 0 liczb była już wypisana, gdyż oprócz tego, że dzieli się przez 0 to dzieli się przez i była na tablicy wypisana kolorem zielonym. Liczby które dzielą się jednocześnie przez i 0 to NWW (,0) Najmniejsza Wspólna Wielokrotność liczb i 0. NWW(,0) = 0. Zatem nauczyciel nie dopisał czerwonym kolorem następujących liczb podzielnych przez 0: 0, 0, 0,.. gdyż te liczby były już zapisane na tablicy kolorem zielonym jako podzielne przez.. Obliczamy, że: 0 000 : 0 = reszty 0. Otrzymujemy, że liczb podzielnych przez 0 z zakresu od do 0 000 jest. Podsumujmy:. Nauczyciel powinien dopisać 000 liczb podzielnych 0 w zakresie od do 0 000.. Spośród tych 000 liczb nie zostały dopisane gdyż już były na tablicy jako podzielne przez Otrzymujemy, że nauczyciel dopisał 000 = 7 liczb podzielnych przez 0 w zakresi od do 0 000. Ile granatowych liczb dopisał nauczyciel? Granatowe liczby to takie które są z zakresu od do 0 000 i dodatkowo są podzielne przez 8. Ponieważ: 0 000 : 8 = 0 Zatem liczb podzielnych przez 8 z zakresu od do 0 000 jest 0. Ponownie musimy zwrócić uwagę, że nauczyciel dopisywał a nie wypisywał liczby podzielne przez 8. Dlatego nauczyciel nie wypisał wszystkich 0 liczb podzielnych przez 8 z zakresu od do 0 000. Cześć z liczb podzielnych przez 8 liczb była już wypisana, gdyż oprócz tego, że dzieli się przez 8 to dzieli się przez lub przez 0 i była na tablica wypisana kolorem zielonym lub czerwonym. Liczby które dzielą się jednocześnie przez i 8 to NWW (,8) Najmniejsza Wspólna Wielokrotność liczb i 8. NWW(,8) = 4. Zatem nauczyciel nie dopisał następujących liczb: 4, 48, 7,.. gdyż te liczby były już zapisane na tablicy kolorem zielonym jako podzielne przez.. Obliczamy, że: 0 000 : 4 = 4 reszty Otrzymujemy, że liczb podzielnych przez 4 z zakresu od do 0 000 jest 4.
Liczby które dzielą się jednocześnie przez 8 i 0 to NWW (8,0) Najmniejsza Wspólna Wielokrotność liczb 8 i 0. NWW(8,0) = 40. Zatem nauczyciel nie dopisał następujących liczb: 40, 80, 0,.. gdyż te liczby były już zapisane na tablicy kolorem czerwonym jako podzielne przez 0.. Obliczamy, że: 0 000 : 40 = 0 Otrzymujemy, że liczb podzielnych przez 40 z zakresu od do 0 000 jest 0. Podsumujmy:. Nauczyciel powinien dopisać 0 liczb podzielnych 8. Spośród tych 0 liczb a. 4 znajduje się na tablicy jako podzielne przez b. 0 znajduje się na tablicy jako podzielne przez 0 Wynika z tego, że spośród liczb podzielnych przez 8 na tablicy już znajduje się już: 4 + 0 = liczb podzielnych przez i 0. Jednak nie jest to prawda. Zauważmy, że spośród liczb podzielnych przez 8, liczby podzielne zarówno przez jak i przez 0 liczyliśmy dwukrotnie. Dlatego musimy znaleźć NWW(,8,0) i od 0 odjąć liczby które dzielą się jednocześnie przez, 8 i 0. Te liczby występują w 0 dwukrotnie. NWW(,8,0) = 0 Oznacza to, że liczby: 0, 40, 480, uwzględniliśmy dwukrotnie: są na tablicy jako podzielne przez jak również, że są na tablicy gdyż są podzielne jest 0. Obliczamy, że: 0 000 : 0 = 8 reszty 40 Otrzymujemy, że liczb podzielnych przez 0 z zakresu od do 0 000 jest 8. Czyli zanim nauczyciel zaczął wypisywać granatowe liczby podzielne przez 8, na tablicy było już 8 = 8 liczb które są podzielne przez 8. Podsumujmy ponownie:. Nauczyciel powinien dopisać 0 liczb podzielnych 8. Spośród tych 0 liczb 8 nie będzie dopisane gdyż już są na tablicy jako podzielne przez lub podzielne przez 0 (lub przez i 0 jednocześnie). Otrzymujemy, że nauczyciel dopisał 0 8 = 7 granatowych liczb podzielnych przez 8. Odpowiedź: Nauczyciel wypisał: zielonych liczb 7 czerwonych liczb 7 granatowe liczby
Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Na tablicy zostały wypisane wszystkie liczby naturalne od do 0 włącznie. Potem Ania, Wojtek i Antek skreślali niektóre z tych liczb według następującej zasady. Jako pierwsza skreśliła Ania wszystkie liczby podzielne przez, drugi w kolejności Wojtek skreślił spośród pozostałych nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez 4, ostatni Antek skreślił spośród pozostałych nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez. Ile liczb pozostało na tablicy nieskreślonych. Ile liczb skreśliła Ania, ile Wojtek a ile Antek? Przedstaw sposób rozwiązania bez przeprowadzania całego procesu skreślania kolejnych liczb. Sposób rozwiązania zadania Ania skreśliła 4 liczby podzielne przez w zakresie od do 0. Wojtek miał skreślić liczby podzielne przez 4 w zakresie od do 0. Takich liczb jest 0. Jednak spośród liczb podzielnych przez 4, liczby podzielne przez zostały już skreślone przez Anię. Zatem Wojtek nie skreślił liczb podzielnych jednocześnie przez 4 i czyli podzielnych przez 0. Liczb podzielnych przez 0 jest w zakresie od do 0. Zatem Wojtek skreślił 0 = 4 liczby w zakresie od do 0. Antek miał skreślić liczby podzielne przez w zakresie od do 0. Takich liczb jest 40. Jednak:. Antek nie skreślił liczb podzielnych przez (podzielnych i ) gdyż by już skreślone przez Anię. Takich liczb jest 0 : = 8. Antek nie skreślił liczb podzielnych przez (podzielnych i 4) gdyż by już skreślone przez Wojtka. Takich liczb jest 0 : = 0 Wydaje się, że Antek skreślił 40 8 0 = 40 8 = liczby. Jednak w powyższym odejmowaniu, dwukrotnie odjęliśmy liczby podzielne przez podzielne przez, 4 i czyli podzielne przez 0:. Raz wśród 8 liczb jako skreślone przez Anie (bo podzielne i ).. Drugi wśród 0 liczb raz jako skreślone przez Wojtka (bo podzielne i 4). Zatem do różnicy 40 8 0 musimy dodać liczby wielokrotności 0 w zakresie od do 0. Takich wielokrotności jest: 0 : 0 = Czyli Antek skreślił 40 8 0 + = 40 8 + = + = 4 liczby.
Na tablicy pozostało: 0 4 4 4 = 48 liczb. Szczegółowe rozwiązanie zadania Ile liczb skreśliła Ania? Ania skreśliła liczby podzielne przez. Takich liczb w zakresie od do 0 jest: 0 : = 4 Zatem Ania skreśliła 4 liczby. Ile liczb skreślił Wojtek? Liczby podzielne przez 4 Wojtek skreślał liczby podzielne przez 4. Liczb podzielnych przez 4 z zakresu od do 0 jest: 0 : 4 = 0 Czy Wojtek skreślił wszystkie 0 liczb podzielnych przez 4? Zatem wydaje się, że Wojtek skreślił 0 liczb. Nie jest to prawda. Zauważmy, że Wojtek nie skreślił liczb podzielnych przez 4 które zostały już skreślone przez Anię. Są to liczby które są podzielne przez 4 ale również podzielne przez. Najmniejszą liczbę podzielną jednocześnie przez 4 i przez znajdujemy obliczając Najmniejszą Wspólną Wielokrotność (NWW) liczb 4 i. Szukamy NWW liczb 4 i Szczegółowe wytłumaczenie czym jest Najmniejsza Wspólna Wielokrotność znajdziesz na stronie: http://www.cauchy.pl/teoria/algebra/nww/ Przykłady obliczania NWW z rozwiązaniami znajdziesz na stronie: http://www.cauchy.pl/podstawowa/nww_nwd/ Poniżej zakładam, że umiesz posługiwać się NWW. Rozkład na czynniki pierwsze liczb 4 i : 4 Otrzymujemy, że: = 4 = * Ponieważ nie ma czynników powtarzających się w rozkładzie liczb i 4 więc wszystkie czynniki bierzemy do obliczenia Najmniejszej Wspólnej Wielokrotności (NWW) liczb 4 i : NWW(,4) = * * = * 4 = 0 Wojtek nie skreślał liczb podzielnych przez 0 Czyli Wojtek nie skreślał liczb podzielnych przez 0 choć dzielą się one przez 4, gdyż wcześniej te liczby zostały skreślone przez Anię. Liczb podzielnych przez 0 w zakresie od do 0 jest: 0 : 0 =
Ile liczb skreślił Wojtek? Czyli Wojtek skreślił następującą ilość liczb: 0 = 4 Dlaczego? Od wszystkich liczb podzielnych przez 4 (tych które miłą skreślić Wojtek) odejmujemy liczby podzielne przez 0 (dzielą się przez 4 ale również przez i były skreślone przez Anię). Otrzymujemy, że Wojtek skreślił 4 liczby. Ile liczb skreślił Antek? Liczby podzielne przez Antek skreślał liczby podzielne przez. Liczb podzielnych przez z zakresu od do 0 jest: 0 : = 40 Jednak nie wszystkie 40 liczb Antek skreślił. Część z tych 40 liczb była skreślona przez Anię lub Wojtka. Ile liczb skreśliła Ania za Antka? Antek nie skreślił tych liczb podzielnych przez które zostały już skreślone przez Anię. Są to liczby które dzielą się przez ale również dzielą się przez. Najmniejszą liczbę podzielną jednocześnie przez i przez znajdujemy obliczając Najmniejszą Wspólną Wielokrotność liczb i : NWW(,) = Czyli Antek nie skreślał liczb podzielnych przez choć dzielą się one przez, gdyż wcześniej te liczby zostały skreślone przez Anię. Liczb podzielnych przez w zakresie od do 0 jest: 0 : = 8 Czyli Antek nie skreślił 8 liczb, gdyż choć są podzielne przez to są również podzielne przez i wcześniej zostały skreślone przez Anię. Ile liczb skreślił Wojtek za Antka? Również zauważamy, że Antek nie skreślił tych liczb podzielnych przez które zostały już skreślone przez Wojtka. Są to liczby które dzielą się przez ale również dzielą się przez 4. Najmniejszą liczbę podzielną jednocześnie przez i przez 4 znajdujemy obliczając Najmniejszą Wspólną Wielokrotność liczb i 4: NWW(,4) = Czyli Antek nie skreślał liczb podzielnych przez choć dzielą się one przez, gdyż wcześniej te liczby zostały skreślone przez Wojtka. Liczb podzielnych przez w zakresie od do 0 jest: 0 : = 0 Czyli Antek nie skreślił 0 liczb, gdyż choć są one podzielne przez to również są podzielne przez 4 i wcześniej zostały skreślone przez Wojtka. Jak to będzie z całością liczb skreślonych przez Antka? Wydaje się, że ilość liczb jakie skreślił Antek możemy obliczyć następującą: 40 8 0 To znaczy od wszystkich liczb podzielnych przez (które miał skreślić Antek) odejmujemy te które są podzielne przez i (skreślone przez Anię) oraz odejmujemy te które są podzielne przez i 4 (skreślone przez Wojtka).
Jest to złe rozumowanie. Zauważmy, że część liczb odejmujemy dwukrotnie jako już skreślone. Są to liczby które dzielą się jednocześnie przez, 4 i, czyli dzielą się przez 0:. Raz odjęliśmy je od liczb skreślonych przez Antka gdyż skreśliła je Ania (liczby podzielne przez 0 dzielą się przez ). Drugi raz odjęliśmy je od liczb skreślonych przez Antka gdyż skreślił je Wojtek (liczby podzielne przez 0 dzielą się przez 4) Czyli liczby podzielne przez 0 odjęliśmy dwukrotnie. Musimy zatem jeszcze do wyniku 40 8 0 dodać liczby podzielne przez 0. Ile jest liczb podzielnych jednocześnie przez, 4 i? Najmniejszą liczbę podzielną jednocześnie przez, 4 i znajdujemy obliczając Najmniejszą Wspólną Wielokrotność, 4,. Jak już wcześniej zauważyliśmy: NWW(,4,) = 0 Liczb podzielnych przez 0 w zakresie od do 0 jest: 0 : 0 = Ile liczb skreślił Antek? Teraz możemy policzyć ile liczb naprawdę skreślił Antek: 40 8 0 + = 0 8 + = + = 4 To znaczy Antek skreślił 40 liczb podzielnych przez minus 8 liczb które już były skreślone przez Anię (podzielne przez ) minus 0 liczb które już były skreślone przez Wojtka (podzielne przez ) plus liczby które dwukrotnie Antkowi zabraliśmy jako skreślone raz przez Anię i drugi raz przez Wojtka.( (podzielne przez 0) Otrzymujemy, że Antek skreślił 4 liczby. Ile liczb pozostało na tablicy? Czytając uważnie treść zadania widzimy, że oprócz stwierdzenia ile liczb skreśliło każde z dzieci, musimy również określić ile liczb pozostało na tablicy. Mając już uzyskane wyniki to ostatnie polecenie jest bardzo proste. Wystarczy od wszystkich liczb na tablicy odjąć liczby skreślone przez każde z dzieci: 0 4 4 4 = 4 4 = 7 4 = 48 Otrzymujemy, że na tablicy pozostało 48 liczb. Odpowiedź: Ania skreśliła 4 liczby, Wojtek skreślił 4 liczb, Antek skreślił 4 liczby. Pozostało 48 nieokreślonych liczb.
Zestaw III Zadanie nr 7 Treść zadania Składając jednakowe małe prostopadłościany możemy uzyskać sześcian o polu powierzchni 84 cm. Jakie pole powierzchni uzyskamy składając małe prostopadłościany w jeden duży prostopadłościan nie będący sześcianem? Sposób rozwiązania zadania. Najpierw określimy sobie jakie proporcje musi mieć pojedynczy mały prostopadłościan by spełniał warunki zadania. Wymiary pojedynczego małego prostopadłościanu to: x, x, x.. Wiedząc, że pole powierzchni sześcianu zbudowanego z małych prostopadłościanów wynosi 84 cm, obliczymy, że x = 4 cm.. Ponieważ duży prostopadłościan zbudowany z małych prostopadłościanów ma wymiary x, x, x, więc obliczymy, że pole powierzchni dużego prostopadłościanu wynosi 48 cm. Szczegółowe rozwiązanie zadania Zrozumieć treść zadania! Żeby rozwiązać zadanie trzeba zrozumieć jego treść. W naszym przypadku oznacza to, że powinniśmy zastanowić się jakie wymiary musi mieć mały prostopadłościan by:. przy jednym sposobie złożenia dał nam sześcian. przy innym sposobie złożenia dał duży prostopadłościan nie będący sześcianem Po chwili rysowania i małego kombinowania okazuje się, że mały prostopadłościan musi mieć wymiary jak poniżej: x x x Prostopadłościan ten ma dwie krawędzie identycznej długości (zaznaczone kolorem czerwonym o długości x), zaś ostatnia krawędź jest trzykrotnie krótsza od dwóch pozostałych (zaznaczona kolorem zielonym o długości x).
Czy powyższy mały prostopadłościan spełnia warunki zadania? Powyższy mały prostopadłościan o wymiarach x, x, x można złożyć wzdłuż jednej z krawędzi. Otrzymujemy w ten sposób różne sytuacje pokazane poniżej. Przypadek : Składamy mały prostopadłościan wzdłuż pierwszej krawędzi x x x x x x Przypadek : Składamy mały prostopadłościan wzdłuż drugiej krawędzi x x x x x x
Przypadek : Składamy mały prostopadłościan wzdłuż trzeciej krawędzi x x x x x x Wszystko się zgadza z treścią zadania Zauważmy, że. Przypadek i Przypadek dają nam ten sam prostopadłościan o wymiarach x, x, x tylko inaczej ułożony. Jest to duży prostopadłościan nie będący sześcianem określony w warunkach zadania. Przypadek daje nam sześcian o boku x. Jest to sześcian określony w warunkach zadania. Tak więc mały prostopadłościan o wymiarach x, x, x jest właśnie tym prostopadłościanem o którym mówi treść zadania: Zrozumienie treści zadania Teraz rozwiązanie zadania będzie banalne. Zobaczmy jak ważne jest zrozumienie treści zadania. Obliczamy x korzystając z pola powierzchni sześcianu Obliczymy w zależności od x pole powierzchni sześcianu utworzonego z małych prostopadłościanów. Następnie porównamy uzyskaną wielkość z polem powierzchni sześcianu danym w zadaniu, czyli liczbą 84 cm. W ten sposób obliczymy x.
Sześcian zbudowany z małych prostopadłościanów wygląda następująco. x x x x x x Pole powierzchni pojedynczej ściany ( P s ) wynosi: P s = x x = x Pole powierzchni całego sześcianu ( P p ) to powierzchni jednej ściany: Pp = Ps = x = 4x Z treści zadania wiemy, że pole powierzchni tego sześcianu wynosi 84 cm. Prowadzi nas to do równości P p = 4x = 84cm 4x = 84cm : 4 84 x = cm 4 4 x = cm 7 48 x = cm x = cm Są dwie liczby: 4 oraz -4, które podniesione do kwadratu dają. Ponieważ x to długość odcinka więc musi być dodatnia. Otrzymujemy, że: x = 4cm
Obliczamy pole powierzchni dużego prostopadłościanu Ponieważ duży prostopadłościan dla przypadku i przypadku jest taki sam (tylko leży na innym boku) więc nie ma znaczenia który z nich wybierzemy do obliczenia pola powierzchni. Niech będzie to poniższy prostopadłościan: x x x x x x Liczmy na literkach (w zależności x) Możemy od razu podstawić x = 4cm i policzyć pole powierzchni dużego prostopadłościanu, gdyż otrzymamy krawędzie o długościach 4cm, cm oraz cm. Jednak bardziej elegancko jest policzyć ogólnie pole powierzchni dużego prostopadłościanu w zależności od x. Pozwoli nam to również poćwiczyć działania algebraiczne, które są bardzo potrzebne w zadaniach konkursowych jak również w życiu codziennym. I co najważniejsze zmniejszają prawdopodobieństwo popełnienia błędu w zadaniach. Pole powierzchni dużego prostopadłościanu Duży prostopadłościan ma trzy rodzaje ścian: A. Żółte ściany o wymiarach x na x Pole powierzchni ( P ) jednej takiej ściany to: P = x x = 7x Takie ściany są dwie. B. Różowe ściany o wymiarach x na x Pole powierzchni ( P ) jednej takiej ściany to: P = x x = x Takie ściany są dwie. C. Błękitne ściany o wymiarach x na x Pole powierzchni ( P ) jednej takiej ściany to: P = x x = x Takie ściany są dwie.
Teraz już łatwo obliczyć pole powierzchni ( P d ) dużego prostopadłościanu: P d = P + P + P = 7x + x + x = = 4x + 8x + x = 7x + x = 78x Ponieważ x = 4cm więc otrzymujemy: P d = 78x = 78 (4cm) = 78 cm = 48cm Odpowiedź: Pole powierzchni dużego prostopadłościanu wynosi 48 cm. Zadanie nr 8 zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Sklejając dwa identyczne prostopadłościany, można otrzymać prostopadłościan o polu powierzchni całkowitej lub sześcian. Jaka jest objętość sześcianu? Przedstaw sposób rozwiązania. Sposób rozwiązania zadania 4. Najpierw określimy sobie jakie proporcje musi mieć pojedynczy mały prostopadłościan by spełniał warunki zadania. Okaże się, że wymiary pojedynczego małego prostopadłościanu to: x, x, x.. Ponieważ duży prostopadłościan zbudowany z małych prostopadłościanów ma wymiary x, x, 4x, więc jego pole wynosi z jednej strony 8x, zaś z drugiej. Z powyższej zależności obliczymy, że x =.. Ponieważ sześcian zbudowany z małych prostopadłościanów ma wymiary x, x, x, więc będziemy mogli obliczyć, że jego objętość wynosi. Szczegółowe rozwiązanie zadania Zrozumieć treść zadania! Żeby rozwiązać zadanie trzeba zrozumieć jego treść. W naszym przypadku oznacza to, że powinniśmy zastanowić się jakie wymiary musi mieć mały prostopadłościan by dwa takie małe prostopadłościany:. przy jednym sposobie złożenia dały inny, duży prostopadłościan 4. przy innym sposobie złożenia dały nam sześcian Po chwili rysowania i małego kombinowania okazuje się, że mały prostopadłościan musi mieć wymiary jak poniżej:
x x x Prostopadłościan ten ma dwie krawędzie identycznej długości (zaznaczone kolorem czerwonym o długości x), zaś ostatnia krawędź jest dwukrotnie krótsza od pozostałych (zaznaczona kolorem zielonym o długości x). Czy powyższy mały prostopadłościan spełnia warunki zadania? Powyższy mały prostopadłościan o wymiarach x, x, x można złożyć wzdłuż jednej z krawędzi. Otrzymujemy w ten sposób różne sytuacje pokazane poniżej. Przypadek : Składamy mały prostopadłościan wzdłuż pierwszej krawędzi 4x x x x x Przypadek : Składamy mały prostopadłościan wzdłuż drugiej krawędzi x x x 4x x Przypadek : Składamy mały prostopadłościan wzdłuż trzeciej krawędzi
x x x x x Wszystko się zgadza z treścią zadania Zauważmy, że. Przypadek i Przypadek dają nam ten sam prostopadłościan o wymiarach x, x, 4x tylko inaczej ułożony. Jest to właśnie duży prostopadłościan określony w warunkach zadania 4. Przypadek daje nam sześcian o boku x. Jest to sześcian określony w warunkach zadania. Tak więc mały prostopadłościan o wymiarach x, x, x jest właśnie tym prostopadłościanem o którym mówi treść zadania: Zrozumienie treści zadania Teraz rozwiązanie zadania będzie banalne. Zobaczmy jak ważne jest zrozumienie treści zadania. Obliczamy x korzystając z pola powierzchni dużego prostopadłościanu Ponieważ duży prostopadłościan dla przypadku i przypadku jest taki sam (tylko leży na innym boku) więc nie ma znaczenia który z nich wybierzemy do obliczenia pola powierzchni. Niech będzie to poniższy prostopadłościan: x x x 4x x Obliczymy w zależności od x pole powierzchni dużego prostopadłościanu złożonego z dwóch małych prostopadłościanów. Następnie porównamy uzyskaną wielkość z polem powierzchni dużego prostopadłościanu danym w zadaniu, czyli liczbą. W ten sposób obliczymy x. Pole powierzchni dużego prostopadłościanu w zależności od x Duży prostopadłościan ma trzy rodzaje ścian: