Termin AREK73C
Induktor i kondensator. Warunki początkowe Przyjmujemy t, u C oraz ciągłość warunków początkowych ( ) u ( ) i ( ) i ( ) C L L
Prąd stały i(t) R u(t) u( t) Ri( t) I R RI i(t) L u(t) u() t di() t L dt I = I i(t) C u(t) du() t i() t C dt I = I 3
Wartość średnia i skuteczna przebiegu Definicje (przypomnienie) okresowego sr T t T u() t dt - wartość średnia t t T - wartość skuteczna T sk u () t dt t Jeśli u( t) sin( t ), m to f - pulsacja sr m, sk. 4
Zastosowanie metody liczb zespolonych. Metoda symboliczna Załóżmy, że pobudzeniem (wymuszeniem) jest napięcie sinusoidalne o amplitudzie m, fazie początkowej, pulsacji, wyrażone równaniem u( t) sin( t ). m f T - związek między pulsacją a częstotliwością f T - okres Wartość chwilowa tego napięcia w chwili t = wynosi u = m sin() 5
Metoda symboliczna Wzór Eulera j e jx Ae A cos( x) jsin( x) - podobno najpiękniejszy wzór matematyczny 6
Metoda symboliczna Analitycznie można zapisać to w następujący sposób j( t ) j jt jt u( t) m sin( t ) Im me Im me e Im me przy czym e cos( ) j sin( ) j, j m m m m m m m nazywa się amplitudą zespoloną, będącą liczbą zespoloną niezależną od czasu o module i argumencie równym odpowiednio amplitudzie i fazie początkowej zadanej funkcji sinusoidalnej. 7
Metoda symboliczna Jeśli amplitudę zespoloną podzielimy przez, to otrzymamy wartość skuteczną zespoloną Wartość skuteczna m.. Bardzo ważne do zapamiętania!!! W dalszej części będziemy używali jako reprezentację sygnału sinusoidalnego na płaszczyźnie zespolonej wartości skutecznej zespolonej. 8
Przykład Przejście z dziedziny czasu na płaszczyznę liczb zespolonych. i t t I e j3 ( ) sin(3 3 ), 3, Przejście z płaszczyzny liczb zespolonych do dziedziny czasu. I e, 3, i( t) sin 3t 45 j45 cos( ) sin( 9 ) u t t t e j6 ( ) 5 cos(5 3 ) 5 sin(5 3 9 ) 5, 5 5j, 5 u( t) 5 sin 5t 9, bo 5j 5e j9, u( t) sin t 8, bo e j8 To przyporządkowanie jest wzajemnie jednoznaczne! 9
Istota metody symbolicznej Istota metody symbolicznej polega na przyporządkowaniu przebiegowi sinusoidalnemu liczby zespolonej, która dla pulsacji reprezentuje przebieg sinusoidalny Fm j f ( t) Fm sin t F e, t j F Fe, f ( t) F sin, F F Zapmiętać!!! Fm f ( t) Fm cos( t ) F e j
I P.K Postulaty Teorii Obwodów w ujęciu symbolicznym - Przykład i 5 (t) i (t) i 4 (t) i (t) i 3 (t) metoda symboliczna i ( t) i ( t) i ( t) i ( t) i ( t) I I I 3 I 4 I 5 3 4 5 Zapamiętać. I. P. K w metodzie symbolicznej dotyczy zespolonych wartości skutecznych lub amplitud (literki podkreślone) prądów.
Przykład Amperomierz A 6A, Amperomierz A 8A Jaką wartość prądu pokazuje amperomierz A 3? Odp. A (później się wyjaśni)
I I P.K Postulaty Teorii Obwodów w ujęciu symbolicznym - Przykład metoda symboliczna u ( t) u ( t) u ( t) u ( t) 3 4 4 3 Zapamiętać. I I P. K. w metodzie symbolicznej dotyczy zespolonych wartości skutecznych lub amplitud (literki podkreślone) napięć 3
Przykład Woltomierz V V, Woltomierz V 8V Jaką wartość napięcia pokazuje woltomierz V 3? Odp. 35V(później się wyjaśni) 4
Związki między napięciem i prądem ogólnione prawa Ohma metoda symboliczna u( t) Ri( t) RI 5
Rezystor Metoda symboliczna Wykres wskazowy Ponieważ wskaz prądu i napięcia leżą na tym samym kierunku, mówimy, że na rezystorze prąd z napięciem są w fazie. 6
Rezystor Przebiegi w dziedzinie czasu V, A 8 6 R =5 i( t) sin 3 t A 4 - -4 u( t) sin 3 t V -6-8 - - - 3 4 5 6 7 8 x -3 t [s] 7
Induktor Metoda symboliczna Napięcie na induktorze u() t L d it ( ) dt Symboliczne P. O dla induktora j LI lub I j L metoda symboliczna u() t d it ( ) L dt j LI 8
Induktor Metoda symboliczna j LI I j L impedancja induktora admitancja induktora Z L j L Y L j j L L XL L - reaktancja induktora B L L - susceptancja induktora 9
Induktor Metoda symboliczna Wykres wskazowy Na induktorze napięcie wyprzedza prąd o kąt 9 o lub prąd się opóźnia względem napięcia o kąt 9 o.
Induktor Przebiegi w dziedzinie czasu V, A 8 6 4 L = 5mH 3 i( t) sin t / A - -4-6 u( t) sin 3 t V -8 - - - 3 4 5 6 7 8 x -3 t [s]
Kondensator Metoda symboliczna Prąd płynący przez kondensator i d ut ( ) () t C d t Symboliczne P. O dla kondensatora I j C lub j C I i d ut ( ) () t C d t metoda symboliczna I j C
Kondensator Metoda symboliczna I I jc j C impedancja kondensatora admitancja kondensatora Z C j j C YC j C C X C - reaktancja BC C C kondensatora - susceptancja kondensatora 3
Kondensator Metoda symboliczna Wykres wskazowy Na kondensatorze napięcie opóźnia się względem prądu o kąt 9 o lub prąd wyprzedza napięcie o kąt 9 o. 4
Kondensator Przebiegi w dziedzinie czasu V, A 8 6 C = F 3 i( t) sin t / A 4 - -4 u( t) sin 3 t V -6-8 - - - 3 4 5 6 7 8 x -3 t [s] 5
Wykres wskazowy zapamiętać C I L I C I L 6
Pojęcie impedancji i admitancji E I u i L z C ( ) ( ) I Wielkość, określoną jako stosunek zespolonej wartości skutecznej napięcia i zespolonej wartości skutecznej prądu dwójnika przy warunkach początkowych zerowych i wyłączonych źródłach autonomicznych nazywamy immitancją zespoloną (impedancja lub admitancja). Z I - impedancja zespolona Y I - admitancja zespolona 7
Impedancja admitancja I Z R jx Ze I I Y G jb Ye j -j X > char. indukcyjny X< char. pojemnościowy B> char. pojemnościowy B< char. indukcyjny R jx R jx Y G jb Z R jx R jx R jx R X G R X ; B R X R X R G B ; X G B G B 8
Połączenia elementów Połączenie szeregowe elementów n n n n I Z I Z I Z Z Z i i i i i i i i 9
Połączenia elementów Połączenie równoległe elementów n n n n I I i i i Z i i Z i Z Z i Z i Y n Y i i 3
Proste obwody dzielnik napięcia I R Z Z Z Z Z Z E, E. I R 3
Proste obwody dzielnik prądowy Y Z I I I Y Y Z Z Y Z I I I Y Y Z Z,, gdzie Y, Y. Z Z 3
Przykład Metodą klasyczną zapisać sumę dwóch przebiegów sinusoidalnych o tej samej pulsacji w postaci jednego sygnału sinusoidalnego, np.. i t t t ( ) 7sin( 35 ) 4cos( ) Rozwiązanie w sposób klasyczny i t t t t ( ) 7sin( 35 ) 7 sin( )cos(35 ) cos( )sin(35 ) i t t t t ( ) 4cos( ) 4 cos( )cos( ) sin( )sin( ) i( t) i ( t) i ( t) 7cos(35 ) 4sin( ) sin( t) 7sin(35 ) 4cos( ) cos( t) i( t) i ( t) i ( t) 6,5657sin( t) 7,9763cos( t) 33
Przykład Rozwiązanie w sposób klasyczny i( t) i ( t) i ( t) 6,5657sin( t) 7,9763cos( t) i( t) i ( t) i ( t) 6,5657sin( t) 7,9763cos( t) 6,5657 7,9763, 935 sin( t) cos( t), 935, 935,935,63785sin( t),7759cos( t), 935 6,5657 7,9763 t, 5.3683 Ostatecznie i t ( ), 93sin(t 5,368 ) 34
Przykład Metodą symboliczną zapisać sumę dwóch przebiegów sinusoidalnych o tej samej pulsacji w postaci jednego sygnału sinusoidalnego, np.. i t t t ( ) 7sin( 35 ) 4cos( ) Rozwiązanie wykorzystujące metodę symboliczną (obliczamy na amplitudach zespolonych) i ( t) 7sin(t 35 ) I 7 e, j35 Android Program PowerCalc v.5.7 i ( t) 4cos(t ) I 4 e, j I I I 7e 4e, 94e j35 j j5,368 7 35 4.94 5.368 i t ( ), 93sin(t 5,368 ) 35
Przykład Obliczyć impedancję i admitancję dwójnika jak na rys. dla częstotliwości f. Wynik przedstawić w postaci algebraicznej i wykładniczej. R 5Ω, C 5μF, L mh, f khz. L C R Rozwiązanie Y R R j L R j67,9 jc,73+ 56,j ms=6,4e ms, Z 6,3-5,3j 6, 6e Y -j67,9 36
Wykres wskazowy Narysować wykres wskazowy dla poniższego obwodu Rozwiązanie Najlepiej zacząć od I LR (przyjąć argumet tego prądu o ) 37
Wykres wskazowy I C L I C I LR R 38
Przykład - zastosowania metody symbolicznej W obwodzie panuje stan ustalony. Znaleźć napięcie u c (t) stosując metodę symboliczną. Dane: R =, R =, e(t) = 3sin(t) V C = /4 F Rozwiązanie 3 e( t) 3sin( t) E, 39
Przykład Można zastosować dzielnik napięcia c R Z w Z w E gdzie Z w j j 4 -j45 j 3 e 3 3 o Z w R j C o c o e 3.464e j6,565 +-j 5e 5 j8,435 j8,435 o o u ( t) 3, 464sin t 8, 435 8,9737 sin t 8, 435 c Z w 4 o
Przykład W obwodzie, którego schemat przedstawiono na rysunku, panuje stan ustalony. Wyznaczyć wskazany prąd. et it R C R L C e t 3 cost V, R Ω, R Ω, L H, C F, C F. it? 4
Przykład E I R C R L C e t 3 cost V E j3v, R Ω, R Ω, L H, C F, C F. I? Z R j Ω j C j Z R j L j Ω Z 3 j C jω Z 3 Z Z ( j) j j 3 Z Z3 j j j Ω 4
Przykład E I R C R L C e t 3 cost V E j3v R Ω, R Ω, L H, C F, C F. I? Z 3 3 w Z Z 3 j j= j Ω I j9 j3 j e E Z w j e 3 3 j -j45 3 i t sin t 35 sin t π A. 4 e j35 A 43
Przykład W obwodzie, którego schemat przedstawiono na rysunku, panuje stan ustalony. Wyznaczyć wskazane napięcie oraz prąd. R ut () C R L it () C iz () t i 6 Z t cos t 9 A 5 R Ω, R Ω, L H, C F, C F. i( t)? u( t)? 44
Przykład Z R C I R C I Z L R j Ω j C j i 6 Z t cos t 9 A 5 I 6 Z A, 5 R Ω, R Ω, L H, C F, C F. I?? Y 4 j Z 5 5 S Z R j L j Ω Z 3 j C jω Y Y 3 j Z 5 5 js Z 3 S 45
Przykład R C I R C I Z L Y 6 6 w Y Y Y 3 j S 5 5 Y 3 I I j Z e Y w i t Z dzielnika prądowego ( ) sin t 35 A j35 A i 6 Z ( t) cos t 9 V 5 I 6 Z A, 5 R Ω, R Ω, L H, C F, C F. I?? w I Z j e Y u t Z prawa Ohma ( ) sin t 35 V j35 V 46
Przykład Znaleźć wartość pojemności kondensatora C połączonego szeregowo z żarówką, tak aby żarówka o parametrach I Ż =.3 A i Ż = V pracowała w warunkach nominalnych po włączeniu tak utworzonego obwodu do sieci energetycznej napięcia zmiennego o wartości skutecznej 3V (f = 5Hz). C Rozwiązanie 3V I Ż C R Ż 3V 47
Przykład - rozwiązanie I Ż C C R Ż C 3 9, 7 V I Ż Ż Ż V C 3V 48
Przykład - rozwiązanie I Ż C C R Ż C 9,7 V moduły C I jc Ż I C jc Ż C C I Ż C IŻ,3 4,6μF 59,7 C 49
Przykład - rozwiązanie 5
Czyżby to już koniec? 5