Politechnika Łódzka FTIMS Kierunek: Informatyka rok akademicki: 00/009 sem.. grupa II Termin: 10 III 009 Nr. ćwiczenia: 1 Temat ćwiczenia: Badanie widma fali akustycznej Nr. studenta: 6 Nr. albumu: 15101 Nazwisko i imię: Tarasiuk Paweł Ocena z kolokwium:... Ocena z raportu:... Data wykonania ćw.: 3 III 009 Data oddania raportu: 10 III 009 Uwagi: Paweł Tarasiuk, ćw. 1 1 / 6
Streszczenie Sprawozdanie z ćwiczenia, którego celem było wyznaczanie początkowych składowych harmonicznych złożonych sygnałów dźwiękowych przy wykorzystaniu zjawiska powstawania stojącej fali akustycznej w rurze obustronnie zamkniętej. Przedstawiony został opis metody, wyniki pomiarów wraz z rachunkiem błędów, wykresy oraz wnioski. Opis metody W celu wykonania pomiarów użyto generatora funkcyjnego, oscyloskopu, głośnika, mikrofonu, multimetru pełniącego rolę miliwoltomierza oraz połączonej z przymiarem liniowym obustronnie zamkniętej rury o regulowanej odległości między końcami. Zasadą pomiaru jest wychwytywanie lokalnych maksimów różnicy potencjałów na zaciskach mikrofonu (co powinno być równoważne maksimom natężenia dźwięków o różnych częstotliwościach, wywołanych przez fale stojące) w funkcji odległości między mikrofonem a głośnikiem. Parametry rozsuwanej rury umożliwiały badanie odległości nie mniejszych niż 3 cm. Pomiary były wykonywane dla różnych jakościowo sygnałów o częstotliwości 50 Hz: sinusoidalnego, trójkątnego i prostokątnego. Zgodnie z zasadą rozkładu dowolnej funkcji okresowej w szereg trygonometryczny Fouriera, w każdym przypadku można zbadać początkowe harmoniczne o najwyższych amplitudach. Załączam fotografie ekranu oscyloskopu wykonane dla każdego z trzech wymienionych sygnałów. Zgodnie z zaleceniami instrukcji, sygnał prostokątny jest symetryczny. Sygnał sinusoidalny Sygnał trójkątny Sygnał prostokątny Wyniki pomiarów Dla fali sinusoidalnej możliwe było odnotowanie trzech maksimów. Rzadkie występowanie zjawiska rezonansu uzasadnione jest trywialną postacią szeregu Fouriera dla funkcji sinus - wszystkie harmoniczne poza pierwszą mają zerowe amplitudy. Poniższa tabela przedstawia wartości napięcia U dla odległości x w których zaobserwowano maksima, oraz wynikający z tych wartości wykres prążkowy: Paweł Tarasiuk, ćw. 1 / 6
Przebieg sinusoidalny: nr. x [m] U [10 3 V] 1. 0, 93 6,. 1, 164 5, 6 3. 1, 43 5, 0 U [mv] 6 5 4 3 0,5λ11 0,5λ1 1 0 0. 0.9 1 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 1.6 x [m] Dla przebiegu trójkątnego pomiar pozwolił stwierdzić występowanie pierwszej oraz trzeciej harmonicznej. Łatwo zauważyć, że ze względu na symetrię wykresu dodatniej (albo ujemnej) połowy okresu tego rodzaju sygnału, harmoniczne o parzystych rzędach mają zerowe amplitudy. Poniżej znajduje się tabela z wynikami oraz wykres prążkowy dla fali o przebiegu trójkątnym: Przebieg trójkątny: nr. x [m] U [10 3 V] 1. 0, 44,. 0, 931 6, 0 3. 1, 004, 4. 1, 03, 5. 1, 163 5, 0 6. 1, 35,. 1, 319,. 1, 4 4, 9. 1, 49, U [mv] 6 5 4 0,5λ11 0,5λ1 3 1 0 0. 0.9 1 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 1.6 0,5λ31 0,5λ3 0,5λ33 0,5λ34 0,5λ35 x [m] 0,5λ36 0,5λ3 0,5λ3 Analogicznie jak dla przebiegu trójkątnego, dla przebiegu prostokątnego możliwe było zaobserwowanie pierwszej oraz trzeciej harmonicznej, zgodnie z poniższą tabelą i wykresem. Paweł Tarasiuk, ćw. 1 3 / 6
Przebieg prostokątny: 0,5λ11 0,5λ1 nr. x [m] U [10 3 V] 1. 0, 91, 3. 0, 995 5, 3. 1, 06 4, 6 4. 1, 16 6, 5. 1, 44 5, 6. 1, 33 4,. 1, 433,. 1, 53 3, U [mv] 6 5 4 3 1 0 0. 0.9 1 1.1 1. 1.3 1.4 1.5 1.6 0,5λ31 0,5λ3 0,5λ33 0,5λ34 x [m] 0,5λ35 0,5λ36 0,5λ3 Obliczenia Ze względu na przeprowadzenie serii krótkich (poniżej 10 pomiarów), przy każdym z przebiegów do obliczenia długości fal zaobserwowanych harmonicznych można zastosować średnią arytmetyczną. Dla bardzo krótkich serii pomiarowych, czyli przy wyznaczaniu długości pierwszej harmonicznej jako średniej z dwóch pomiarów, aby nie zaniżać błędu pomiarowego, niepewność zostanie policzona jako połowa wartości bezwzględnej różnicy dwóch pomiarów. Natomiast w celu wyznaczenia błędu wartościach wyższych harmonicznych, można skorzystać ze wzoru na błąd średni kwadratowy średniej, czyli λ i = 1 n(n 1) nk=1 (λ i λ ik ). Zatem dla przebiegu sinusoidalnego: λ 1 = 1 λ 1i 0, 49 m λ 1 = 1 λ 1 λ 11 0, 03 m λ 1 = 0, 49 ± 0, 03 m Dla przebiegu trójkątnego: λ 1 = 1 λ 1i 0, 49 m λ 1 = 1 λ 1 λ 11 0, 03 m λ 1 = 0, 49 ± 0, 03 m Paweł Tarasiuk, ćw. 1 4 / 6
λ 3 = 1 λ 3i 0, 16 m λ 3 = 1 (λ 3 λ 3k ) 0, 01 m k=1 λ 3 = 0, 16 ± 0, 01 m Uzyskanie długości fali dla trzeciej harmonicznej pozwala oszacować także jej częstotliwość, ze wzoru f i = f 1 λ 1 λ i. Dla wyników opisujących badanie przebiegu trójkątnego wynosi ona (przy podstawieniu f 1 = 50 Hz, zgodnie z założeniami): f 3 = f 1 λ 1 λ 3 300 Hz Dla przebiegu prostokątnego, podobnie jak dla trójkątnego, wyniki obliczeń będą opisywały pierwszą oraz trzecią harmoniczną: λ 1 = 1 λ 1i 0, 51 m λ 1 = 1 λ 1 λ 11 0, 03 m λ 1 = 0, 51 ± 0, 03 m λ 3 = 1 λ 3i 0, 1 m λ 3 = 1 (λ 3 λ 3k ) 6 0, 01 m k=1 λ 3 = 0, 1 ± 0, 01 m f 3 = f 1 λ 1 λ 3 100 Hz Paweł Tarasiuk, ćw. 1 5 / 6
Wnioski Błędy względne w granicach 5% do % świadczą o skuteczności wybranej metody analizy Fouriera dla fal o badanych przebiegach. Także uzyskane częstotliwości trzecich harmonicznych nie różnią się istotnie od oczekiwanej wartości 50 Hz. Potwierdzeniem skuteczności metody jest zgodność z wnioskami jakie można wyciągnąć z wartości z tablic - przyjmując prędkość dźwięku w powietrzu jako v = 340 m s można oszacować, że pierwsze harmoniczne powinny mieć długości około λ 1 = v f 1 0, 45 m, czyli tylko o kilka procent mniejsze niż wyznaczone na poststawie analizowanych pomiarów. Najistotniejszymi źródłami błędów nieprzypadkowych są następujące problemy: 1. Zakłócenia odbioru dźwięku przez mikrofon mający niezerowe przyspieszenie (czyli przy każdym rozpoczynaniu płynnych zmian odległości między mikrofonem a głośnikiem) wprawiały wskazówkę woltomierza w długotrwałe drgania, uniemożliwiające odczyt wartości napięcia. Użyteczne dla celu obserwacji powstania fali stojącej okazywały się wtedy wrażenia słuchowe.. Bezwładność wskazówki woltomierza wpływała na pomiar nawet przy jednostajnym zwiększaniu długości rury. 3. Występował błąd paralaksy przy odczycie względnego położenia dwóch części rozsuwanej rury interferencyjnej. 4. Częstotliwość sygnału pochodzącego z generatora nie została poddana weryfikacji. Paweł Tarasiuk, ćw. 1 6 / 6