PROBLEM ODWROTNY IDENTYFIKACJI PARAMETRÓW KINEMATYCZNYCH PIŁKI GOLFOWEJ W TRAKCIE LOTU

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 2017 nr 63, ISSN 1896-771X PROBLEM ODWROTNY IDENTYFIKACJI PARAMETRÓW KINEMATYCZNYCH PIŁKI GOLFOWEJ W TRAKCIE LOTU Olaf Ppczyk 1a 1 Student studiów II stpnia kierunku Mechanika i Budwa Maszyn, Wydział Mechaniczny Technlgiczny Plitechnika Śląska a laf.ppczyk@gmail.cm Streszczenie W niniejszym artykule przedstawin prlem dwrtny identyfikacji parametrów kinematycznych (prędkść pczątkwa raz prędkść kątwa) piłki glfwej w trakcie ltu na pdstawie znanej trajektrii. W celu symulacji rzeczywisteg eksperymentu trajektrie zstały zakłócne szumem Gausswskim. W pracy przedstawin wstęp d mechaniki ltu piłki glfwej. Równania różniczkwe ruchu w przestrzeni stanu rzwiązan za pmcą algrytmu Adamsa-Bashfrtha, natmiast rzwiązanie prlemu dwrtneg uzyskan pprzez minimalizację rzważaneg w pracy funkcjnału za pmcą algrytmu Levenerga-Marquardta. Ze względu na stchastyczny charakter danych wejściwych, przeprwadzn analizę statystyczną rezultatów liczeń. Słwa kluczwe: mechanika ltu piłki glfwej, identyfikacja parametrów kinematycznych, prlem dwrtny INVERSE PROBLEM OF DETERMINING KINEMATIC PARAMETERS OF THE GOLF BALL DURING FLIGHT Summary In this paper, an inverse prlem f determining kinematic parameters (initial velcity and angular velcity) f the glf all during flight was presented. In rder t simulate real experiment, the trajectries were distured y Gaussian nise. In this article intrductin t glf all flight mechanics was presented. Dynamic equatins f mtin in the state space were slved using the Adams-Bashfrth algrithm. Slutin f the inverse prlem was fund y minimising functinal cnsider in the paper using the Levenerg-Marquardt algrithm. Because f the stchastic nature f the input data, the statistical analysis f results was perfrmed. Keywrds: glf all flight mechanics, identificatin f kinematic parameters, inverse prlem 1. WSTĘP Zagadnienie dynamiki ruchu ciała kulisteg pruszająceg się w płynie jest jednym z najstarszych prlemów współczesnej mechaniki płynów. Jednym z pierwszych praw pisujących dynamikę ruchu ciała kulisteg w śrdku niezerwej gęstści jest dkryte w 1851 rku przed Gerge a Stkesa praw Stkesa [7] pisujące siłę pru działającą na pruszającą się w płynie kulę przy przepływie laminarnym. Dane jest n równaniem = 6, (1) gdzie wektr siły pru, lepkść dynamiczna płynu, prmień kuli, wektr prędkści kuli. Praw Stkesa pmim swej niewątpliwej matematycznej elegancji ma dść wąskie zastswanie, gdyż stswane mże yć n jedynie w przypadku występwania przepływu laminarneg. Pmim upłynięcia niemal dwustu lat d wydania pierwszych dzieł dtyczących teg prlemu wciąż rakuje kmpleksweg mdelu pisująceg ruch kuli w płynie z uwzględnieniem wielści złżnych czynników występujących pdczas ruchu. Jest

PROBLEM ODWROTNY IDENTYFIKACJI PARAMETRÓW KINEMATYCZNYCH t tyle prlematyczne, że zagadnienie ruchu kuli w płynie jest ardz isttnie z punktu widzenia takich gałęzi nauki, jak np. mechanika sprtów, w których mita się iekty kuliste, np. piłka nżna, kszykówka, glf, krykiet. Warunkiem pczątkwym dla płżenia ciała jest punkt znajdujący się w pczątku układu współrzędnych. Niemżnść znalezienia mdelu pisująceg ruch kuli w płynie uwzględniająceg wszystkie isttne czynniki wpływające na jej ruch dprwadziła d stwrzenia mdeli, których pis matematyczny zawiera współczynniki empiryczne. Ich wyznaczenie mżliwe jest jedynie na drdze dświadczalnej ądź z zastswaniem metdy kmputerwej mechaniki płynów. Współczynniki takie upraszczają ardz skmplikwane zjawiska d prstych równań empirycznych. W niniejszym artykule przedstawin spsó wyznaczania parametrów kinematycznych piłki glfwej pdczas ltu przy wykrzystaniu takieg właśnie mdelu. Znajmść parametrów kinematycznych pruszającej się piłki glfwej jest kluczwa, pnieważ w prezentwanym w pracy mdelu parametry kinematyczne są dla piłki glfwej determinantą jej trajektrii. Przykładem praktyczneg wykrzystania prlematyki niniejszeg artykułu jest system wspmagania treningu glfisty. W systemie takim glfista wprwadza d prgramu współrzędne miejsca, w którym chce, ay wylądwała uderzna piłka, następnie glfista wyknuje uderzenie, p czym analizwana jest trajektria ltu piłki. System licza parametry kinematyczne piłki i prównuje je z parametrami, jakie pwinna na mieć, ay wylądwała w zadanym miejscu. Finalną dpwiedzią systemu są wskazówki, jak zawdnik pwinien zmienić swją technikę, ay uderzane przez nieg piłki leciały tam, gdzie chce. 2. MODEL MATEMATYCZNY Punktem wyjścia d rzważań na temat ltu piłki w płynie jest rzut ukśny [2], w którym jedyną siłą działającą na ciał jest siła grawitacji. Dynamiczne równanie ruchu w pstaci wektrwej pisuje równanie różniczkwe: =, (2) gdzie masa ciała, czas, wektr płżenia ciała, wektr przyśpieszenia grawitacyjneg. Rzwiązaniem równania (2) w dwuwymiarwej przestrzeni kreślnej współrzędnymi XY jest układ parametrycznych równań trajektrii: = cs = sin,! (3) gdzie, współrzędne trajektrii, prędkść pczątkwa, kąt rzutu. Trajektria ltu pisana układem równań (3) zstała przedstawina na rys. 1. Rys. 1. Trajektria ltu przy rzucie ukśnym [7] Rzut ukśny drze pisuje ruch ciała w próżni, jednak jeg stswanie w przypadku ciała zanurzneg w gazie jest dużym uprszczeniem w stsunku d rzeczywistści. W celu uzyskania mdelu, który mże yć stswany d kul pruszających się w gazach, uwzględnić należy dwie ddatkwe siły: siłę pru raz siłę nśną [6]. Siła pru związana jest z prem ruchu w płynie i ma zwrt przeciwny d wektra prędkści. Siłę pru # pisuje równanie [6]: = # $ # %&, (4) gdzie # wektr siły pru, $ # współczynnik pru, % gęstść płynu, w którym zanurzna jest kula, & - pwierzchnia rzutu ciała na płaszczyznę prstpadłą d wektra prędkści ciała względem płynu. Wart zaznaczyć, że równanie (4) różni się zasadnicz d równania d liniweg równania Stkesa (1), gdyż mże yć n stswane dla przepływu turulentneg. Siła nśna jest siłą działającą na kulę, jeżeli pza ruchem pstępwym wyknuje na także ruch rtwy względem si przechdzącej przez jej śrdek ciężkści z prędkścią kątwą (. Zjawisk t zstanie wyjaśnine na przykładzie przedstawinym na rys. 2. Rys. 2 Zasada pwstawania siły pru raz siły nśnej 108

Olaf Ppczyk W sytuacji przedstawinej na rys. 2 w wyniku ruchu rtweg piłki gaz pływa kulę prmieniu R d góry z prędkścią +(*, natmiast d dłu z prędkścią (*. Zgdnie z równaniem Bernulleg wzrst prędkści przepływu płynu pwduje spadek jeg ciśnienia, natmiast spadek prędkści przepływu płynu pwduje wzrst jeg ciśnienia. Różnica ciśnień pwduje pwstanie siły nśnej. Opisany pwyżej efekt nsi nazwę efektu Magnusa [6]. Siłę nśną + pisuje równanie [6]: = + $ + %&,- /, (5),- Uwzględniając siłę pru raz siłę nśną w równaniu (2), trzymuje się równanie: =,- / %& 0$ # $ + 1+, (6),- Rzwiązanie równania (6) sprwadza się d rzwiązania równania w przestrzeni stanu: 2 / 3=4 5 6, (7) gdzie jest wektrem wypadkwym sił działających na kulę, czyli prawą strną równania (6). Wspmnianymi wcześniej współczynnikami empirycznymi, są w przypadku równania (6) współczynniki $ # raz $ +. Wyór jak przedmit artykułu piłki glfwej ył pdyktwany znajmścią dlań wartści $ # raz $ + [6]. Dla piłki glfwej współczynnik pru wynsi $ # =0,45 natmiast współczynnik $ + dany jest równaniem [6] $ + =0,3187 >1 exp 2,48 10 DE (- F, (8) Jak już wspmnian, wyznaczenie współczynników $ # raz $ + nie jest zadaniem łatwym, gdyż wymaga zastswania metd kmputerwej mechaniki płynów ądź znalezienia ich na drdze dświadczalnej. W y przypadkach wymaga t sprych nakładów czaswych raz finanswych, przez c pszukiwanie wartści tych współczynników musi mieć uzasadniną przyczynę. W przypadku pszukiwania wartści współczynników $ # raz $ + na drdze dświadczalnej knieczne jest wykrzystanie tunelu aerdynamiczneg [6]. Badanie w tunelu aerdynamicznym plega na analizie parametrów przepływu strug gazu wkół piłki raz sił działających na piłkę przy różnych knfiguracjach prędkści liniwej raz kątwej piłki glfwej. Należy zwrócić uwagę na szczególną rlę, jaką dgrywają zagadnienia dwrtne w identyfikacji tych współczynników. Rzwiązywanie prlemów dwrtnych jest spsem znaczneg zmniejszenia czasu prcesu identyfikacji współczynników empirycznych, gdyż mżliwe jest wykrzystanie już istniejących danych d wyznaczenia nieznanych wartści ez kniecznści dknywania klejnych pmiarów. Danymi tymi mże yć na przykład ziór kilku trajektrii. Prlem identyfikacji współczynników empirycznych nie ędzie rzważany w niniejszej pracy. 3. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU ODWROTNEGO W artykule rzważn dwa prlemy dwrtne: 1) Identyfikacja wartści składwych prędkści kątwej piłki (- =G( H ( I ( JK na pdstawie znanej trajektrii, 2) Identyfikacja wartści składwych prędkści pczątkwej piłki 0=G H 0 I 0 J 0K na pdstawie znanej trajektrii. Rzwiązanie przedstawinych prlemów dwrtnych sprwadza się d znalezienia minimum funkcjnału Γ ze względu na wektr (- lu 0 []: lu Γ= N- (-, PQ (9) Γ= N- 0, PQ, (10) gdzie N- wektr współrzędnych trajektrii zaszuminej, (-, / 0, wektr współrzędnych trajektrii uzyskanej na drdze rzwiązania równania (7) algrytmem Adamsa-Bashfrtha. D znalezienia minimum funkcjnału Γ wykrzystan algrytm Levenerga- Marquardta [4]. Wektr N- jest wektrem jednklumnwym zawierającym wektry współrzędnych trajektrii R, S, T: R N- =US V, (11) T Wymienine prlemy dwrtne rzwiązan dla dwóch trajektrii dpwiadających knkretnym rdzajm uderzeń występujących w glfie: part hk raz part slice. W uderzeniu typu part hk piłka pdcięta jest w taki spsó, że jedna składwa siły nśnej działa w takim kierunku jak siła grawitacji, natmiast druga jej składwa działa w kierunku prstpadłym d płaszczyzny, w której leży wektr prędkści pczątkwej. Pwduje t zmniejszenie zasięgu raz wyskści maksymalnej, a także dchylenie tru w kierunku prstpadłym d płaszczyzny, w której leży wektr prędkści pczątkwej. Odchylenie t w najardziej ddalnym punkcie d płaszczyzny, w której leży wektr prędkści pczątkwej, jest równe kł 6% zasięgu. W uderzeniu typu part slice piłka pdcięta jest w taki spsó, że jedna składwa siły nśnej działa w kierunku przeciwnym d kierunku siły grawitacji, natmiast druga jej składwa działa w kierunku prstpadłym d płaszczyzny, w której leży wektr prędkści pczątkwej. Pwduje t zwiększenie zasięgu raz wyskści 109

PROBLEM ODWROTNY IDENTYFIKACJI PARAMETRÓW KINEMATYCZNYCH maksymalnej, a także dchylenie tru w kierunku prstpadłym d płaszczyzny, w której leży wektr prędkści pczątkwej. Odchylenie t w najardziej ddalnym punkcie d płaszczyzny, w której leży wektr prędkści pczątkwej, jest równe kł 9% zasięgu. Trajektrie zstały wygenerwane na drdze rzwiązania równania (7) dla załżnych wcześniej parametrów kinematycznych dpwiadających uderzenim part hk raz part slice. We wszystkich rzważnych w pracy prlemach dwrtnych wektr prędkści pczątkwej jest równy 0=G60cs12 0 60sin12 K X,natmiast wektr płżenia pczątkweg jest równy 0=G0 0 0K. Piłka glfwa ma masę =45,93 raz średnicę [ = 42,67, załżn gęstść pwietrza % = 1,22\ E. Dla uderzenia typu part hk wektr prędkści kątwej jest równy (- ]^ = G0 150 2 150 2K `[ X,natmiast w przypadku uderzenia typu part slice jest n równy (- ]a = G0 150 2 150 2K `[ X. Trajektrie dla rzważanych uderzeń przedstawin na rys. 3. Na rysunku zaznaczn także trajektrie dla rzutu ukśneg raz innych uderzeń sptykanych w glfie: Tp-spin (- a =G0 300 0K `[ X, Under-spin (- ca =G0 300 0K `[ X, Pure hk (- ]c^ =G0 0 300K `[ X, Pure slice (- ]ca =G0 0 300K `[ X. 12 10 8 6 4 2 0 0 25 50 75 100 125 150 Rzut ukśny Part slice Tp-spin Part hk Pure hk, pure slice Under-spin Rys. 3 Zestawienie trajektrii dla różnych uderzeń występujących w glfie raz rzutu ukśneg dla tych samych warunków pczątkwych Pdczas rzeczywisteg eksperymentu wyniki przeprwadznych pmiarów płżenia piłki nie pzwliłyy uzyskać tak gładkiej trajektrii, jak te przedstawine na rys. 3. W celu symulacji rzeczywisteg pmiaru wygenerwane trajektrie dla uderzeń part hk raz part slice zstały zakłócne szumem Gausswskim pzimie natężenia 3% zgdnie z równaniem: f R R +ḡ00,`>3 RhF1 l e US V= es +ḡ00,`>3 ShF1 T e k k k, (12) dt+ḡ00,`>3 TiF1 j gdzie R, S, T są wektrami współrzędnych X,Y,Z punktów trajektrii natmiast ḡ,m jest wektrem licz lswanych z rzkładu nrmalneg wartści czekiwanej raz dchyleniu standardwym m. 4. ANALIZA STATYSTYCZNA Danymi wejściwymi d rzważanych prlemów dwrtnych są współrzędne punktów trajektrii zakłócne szumem Gausswskim. Sprawia t, że dane wejściwe mają charakter stchastyczny. W związku z tym rzetelna analiza wyników wymaga zastswania narzędzi analizy statystycznej. Dla każdeg prlemu dwrtneg prces minimalizacji funkcjnału Γ zstał przeprwadzny =1000 razy, za każdym razem trajektria wejściwa yła zaszumiana na nw. Licza punktów trajektrii w każdym przypadku yła równa Q = 100. Dla każdeg rzważaneg prlemu trzyman: 1) Ziór macierzy n, n,, n 5 wymiarze Q 3 zawierających zaszumine współrzędne XYZ, 2) Ziór wektrów parametrów kinematycznych (-, (-,, (- 5 lu,,, 5 trzymanych na pdstawie punktów trajektrii w pdpunktu 1) 3) Ziór macierzy,,, 5 wymiarze Q 3 zawierających współrzędne XYZ trajektrii trzymanych na pdstawie wyznacznych parametrów kinematycznych z pdpunktu 2) Dla każdeg spśród 1000 zestawów danych wyznaczn uśredniną wartść funkcjnału Γ, która ędzie traktwana jak średnie dchylenie trajektrii wyznacznej d trajektrii zadanej p: w p = 1 Q qr>n s,t s,t F +>n s,u s,u F +>n s,v s,v F sx, (13) Następnie wyznaczn wartść średnią raz dchylenie standardwe z trzymanych parametrów kinematycznych raz z parametru p. W dalszej klejnści wyznaczn trajektrię dla wartści średniej parametru kinematyczneg ((- ś lu ś), a następnie wyznaczn średnie dchylenie p tej trajektrii d trajektrii niezaszuminej w taki sam spsó, jak wyznaczan dchylenie p. 110

Olaf Ppczyk 5. WYNIKI OBLICZEŃ 5.1 UDERZENIE PART HOOK Wyniki liczeń dla dwóch pierwszych prlemów dwrtnych dtyczących uderzenia typu part hk zestawine zstały w ta. 1. Ta. 1 Zestawienie wyników dla dwóch pierwszych prlemów dwrtnych (uderzenie typu part hk ) Wartść Identyfikacja prędkści kątwej Odchylenie standardwe (- { G`[ XK 2,604 103,120 U217,881V U12,165 V 217,856 16,888 p GK 194,254 115 p GK 5,661 - Identyfikacja prędkści pczątkwej { 0G XK 58,706 U 02V 12,476 0,354 U39V 47 p GK 194,175 120 p GK 0,967-0 10 20 30 40 50 60 70 Trajektria niezaszumina Przykładwa trajektria zaszumina Trajektria uzyskana Dla przypmnienia wartść prędkści kątwej przy generwaniu trajektrii niezaszuminej dla uderzenia typu part hk wynsi G0 212,132 212,132K `[ X, natmiast wartść prędkści pczątkwej G58,689 0 12,475K X. W identyfikacji prędkści pczątkwej składwe pszukiwanej prędkści mają wartści średnie zliżne d wartści składwych prędkści pczątkwej przy generwaniu trajektrii niezaszuminej raz ardz małe dchylenie standardwe. Natmiast w identyfikacji prędkści kątwej tak dra zgdnść zstała uzyskana tylk w przypadku składwej Y, Z. W przypadku składwej X wartść średnia yła zliżna d wartści przy generwaniu trajektrii niezaszuminej, jednak jej dchylenie standardwe ma znaczną wartść. Prównanie trajektrii niezaszuminej, trajektrii uzyskanej na pdstawie (- { raz przykładwej trajektrii zaszuminej przedstawin na rys. 4, natmiast prównanie trajektrii niezaszuminej, trajektrii uzyskanej na pdstawie { 0 raz przykładwej trajektrii zaszuminej zilustrwan rys. 5. Rys. 4 Prównanie trajektrii dla uderzenia typu part hk przy identyfikacji prędkści kątwej 0 10 20 30 40 50 60 70 Trajektria niezaszumina Przykładwa trajektria zaszumina Trajektria uzyskana Rys. 5 Prównanie trajektrii dla uderzenia typu part hk przy identyfikacji prędkści pczątkwej 111

PROBLEM ODWROTNY IDENTYFIKACJI PARAMETRÓW KINEMATYCZNYCH 5.2 UDERZENIE PART SLICE Wyniki liczeń dla dwóch klejnych prlemów dwrtnych dtyczących uderzenia typu part slice zestawin w ta. 2. Ta. 2 Zestawienie wyników dla dwóch pierwszych prlemów dwrtnych (uderzenie typu part slice ) Wartść Identyfikacja prędkści kątwej 2,468 (- {} G`[ XK U 216,074V 215,428 Odchylenie standardwe 814 U8,886 V 192 p GK 327,118 23,766 p GK 11,961 - Identyfikacja prędkści pczątkwej {} 0G XK 58,711 U03V 12,472 0,398 U54V 50 p GK 325,168 23,171 p GK 1,968 - Dla przypmnienia, wartść prędkści kątwej przy generwaniu trajektrii niezaszuminej dla uderzenia typu part slice wynsi G0 212,132 212,132K `[ X, natmiast wartść prędkści pczątkwej G58,689 0 12,475K X. W przypadku identyfikacji prędkści pczątkwej składwe pszukiwanej prędkści mają wartści średnie zliżne d wartści składwych prędkści pczątkwej przy generwaniu trajektrii niezaszuminej raz ardz małe dchylenie standardwe. W identyfikacji prędkści kątwej tak dra zgdnść zstała uzyskana tylk w przypadku składwej Y, Z. W przypadku składwej X wartść średnia yła zliżna d wartści przy generwaniu trajektrii niezaszuminej, jednak jej dchylenie standardwe ma znaczną wartść. Prównanie trajektrii niezaszuminej, trajektrii uzyskanej na pdstawie (- {} raz przykładwej trajektrii zaszuminej przedstawin na rys. 6, natmiast prównanie trajektrii niezaszuminej, trajektrii uzyskanej na pdstawie {}0 raz przykładwej trajektrii zaszuminej zrazwan na rys. 7. Rys. 6 Prównanie trajektrii dla uderzenia typu part slice przy identyfikacji prędkści kątwej 1 9,5 9,0 8,5 8,0 7,5 7,0 6,5 6,0 5,5 5,0 4,5 1 9,5 9,0 8,5 8,0 7,5 7,0 6,5 6,0 5,5 5,0 4,5 0 20 40 60 80 100 120 Trajektria niezaszumina Przykładwa trajektria zaszumina Trajektria uzyskana 0 20 40 60 80 100 120 Trajektria niezaszumina Przykładwa trajektria zaszumina Trajektria uzyskana Rys. 7 Prównanie trajektrii dla uderzenia typu part slice przy identyfikacji prędkści pczątkwej 112

Olaf Ppczyk 6. WNIOSKI We wszystkich czterech rzważanych prlemach d- kinema- wrtnych zidentyfikwane wartści parametrów tycznych pzwliły na dtwrzenie trajektrii, które ardz drze pkrywają się z trajektriami niezaszumałe wartści minymi. Dwdem teg są ardz współczynników p. gu. Należy zwrócić uwagę, że algrytm drze pmim teg, że trajektrie szumem stsunkw wyskim natężeniu 3%. Wart zauważyć, że wartści współczynników p przy uderzeniu typu part slice są większe niż przy uderze- że zasięg przy niu typu part hk. Wynika t z faktu, uderzeniu typu part slice jest wiele większy, przez c pjawia się efekt skali, tzn. wartść p w stsunku d zasięgu pzstaje w przyliżeniu stała, c przekłada się na większe wartści p przy większych wartściach zasięzadziałał ardz yły zakłócne Zarówn w przypadku uderzenia typu part hk jak i part slice mżna stwierdzić, że przy identyfikacji wartści prędkści pczątkwej wynikii są ardz d- z wart- kładne, wartści średnie są niemalże identyczne ściami załżnymi d wygenerwania trajektrii niezasz- uminych, a dchylenia standardwe mają wartści liskie zera. W przypadku identyfikacjii prędkści kątraz Z wej w u przypadkach składwe Y zstały zidentyfikwane z zadwalającą średnie yły liskie wartścim dkładnścią, wartści załżnym d wygene- rwania trajektrii, a dchylenia standardwe miały stsunkw małe wartści. W przypadku składwej X wartści średnie są zliżne d wartści załżnych przy generwaniu trajektrii, jednak wartści dchyleń stan- Należy jeszcze raz dardwych mają znaczne wartści. zwrócić uwagę, że dtwrzne trajektrie ardz drze pkrywają się z trajektriami niezaszuminymi. Prwadzi t d wnisku, że składwa X ma marginalny wpływ na kształt trajektrii. W związku z tym dkładne zidentyfikwanie wartści składwej X jest zadaniem trud- przedstawi- nym i nie jest mżliwe przy wykrzystaniu neg w artykule algrytmu. Rzwiązaniem teg prle- raz zastswanie mu jest wyknanie analizy wrażliwści regularyzacji [1]. Należy zauważyć, że wszystkie statystyki wskazują na zdecydwanie lepsze dpaswanie trajektrii wygener- przy identyfika- wanych d trajektrii niezaszuminych cji prędkści pczątkwej niż w przypadku identyfikacji prędkści kątwej. Literatura 1. Dice I., Trautmann T., Schreier Pdsumwując, mżna stwierdzić, że identyfikacja prędkści kątwej jest zadaniem trudniejszym niż iden- tyfikacja prędkści pczątkwej. F.: Numerical Regularizatin fr Atmspheric Inverse Prlems. Berlin: Springer Praxis Bks - Envirnmental Sciences, 2010. 2. Leyk J.: Mechanika gólna: dynamika. Tm 2. Warszawa: Wyd. Nauk. PWN, 2002. 3. Majchrzak E., Mchnacki B.: Metdy numeryczne: pdstawy teretyczne, aspekty praktyczne i algrytmy. Gliwice: Wyd. Pl.Śl., 2004. 4. Marquardt D.: An algrithm fr least-squares estimatin f nnlinear parameters. Jurnal f the Sciety fr Industrial and Applied Mathematics 1963, Vl. 11, N. 2, p. 431-441. 5. Ppczyk. O.: Inverse prlem f determining kinematic parameters f the glf all during flight. Metdy Numeryczne 2017, p. 49-52.. 6. Rinsn G., Rinsn I.: The mtin f an aritrarily rtating spherical prjectile and its applicatin t all games. Bristl: IOP PUBLISHING, 2013. 7. En.wikiepdia.rg Artykuł dstępny na pdstawie licencji Creative Cmmns Uznanie autrstwa 3.0 Plska. http://creativecmmns.rg/licenses/y/3.0/pl 113