Samouczek przygotowujący do Kuratoryjnego Konkursu Matematycznego (na podstawie zadań z roku 200) Szkoły podstawowe Odpowiedzi
Odpowiedzi Zestaw I Zadanie nr 1 Arek ma pomalować płot u siebie i u swojego wujka. Obydwa płoty są identyczne, gdyż Rodzice Arka i wujek mieszkają w bliźniaku.. Arek własny płot malował w piątek od 1:00 do 1:00. W sobotę Arek również zaczął malowanie o 1:00. Po dwóch godzinach samotnej pracy dołączył do niego wujek, który nie szedł tego dnia do pracy. Odtąd wujek i Arek i malowali razem. O której godzinie w sobotę Arek i wujek skończyli pracę, jeśli wiadomo, że wujek maluje płot trzy razy szybciej od Arka? Arek i wujek skończyli pracę w sobotę o 16:00. 2
L211W222 L221W212 L212W122 L222W112 L2121W22 L2211W22 L2122W12 L2212W12 Zadanie nr 2 Kazik zawsze w sobotę obiera ziemniaki dla całej rodziny. Jednak robi to bardzo wolno i cała praca zajmuje mu prawie godzinę, a dokładnie 51 minut. W ostatnią sobotę zlitowała się nad nim siostra Lusia, która obiera ziemniaki cztery razy szybciej od Kazika. Lusia widząc brata obierającego ziemniaki, wzięła nóż i także przystąpiła do obierania. W ten sposób, od chwili gdy Kazik wziął pierwszy ziemniak, do zakończenia obierania ziemniaków przez obydwoje rodzeństwa minęło tylko 11 minut! Po ilu minutach samotnego obierania ziemniaków przez Kazika, Lusia przystąpiła do pracy? Lusia przystąpiła do pracy po 1 minucie samotnej pracy Kazika. 18
Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 2008/200, etap III, SP Działkowicz miał do przekopania działkę. Pracę rozpoczął o godzinie 6:00 rano. Gdyby pracował bez przerwy w równym tempie, pracę mógłby zakończyć dopiero o godzinie 1:0. W trakcie pracy działkowiczowi przyszedł z pomocą młodszy kolega i od pewnej godziny do zakończenia pracy o godzinie 11:00 pracowali razem. Działkowicz i młodszy kolega pracowali cały czas równomiernie, a tempo pracy młodszego kolegi było dwukrotnie większe. Do której godziny od 6:00 działkowicz pracował sam? Odpowiedź uzasadnij. Młodszy kolega przyszedł z pomocą działkowiczowi o godzinie :45. Zadanie nr 14 zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 2008/200, etap III, SP Grzesio zanotował skład przejeżdżającego pociągu w postaci kodu L2W12122, gdzie kolejne znaki oznaczają L - lokomotywę, W - wagon z "Warsem", 1 - wagon z miejscami klasy "1", 2 - wagon z miejscami klasy "2". Podaj w postaci kodów, zaczynających się od litery L, wszystkie możliwe składy tego pociągu, zakładając, że wagon z "Warsem" musi być bezpośrednio połączony z wagonem klasy "1" z jednej strony oraz z wagonem klasy "2" z drugiej strony, w dowolnej kolejności. Liczba poszczególnych rodzajów wagonów w składzie musi być zachowana, każdy skład wagonów musi rozpoczynać i kończyć wagon klasy "2" Możliwe składy pociągu: L2W11222 L2W12122 L2W12212 L21221W2 L22121W2 L22211W2 L21W2122 L21W2212 L22W1122 L22W1212 4 17
Zadanie nr 1 Zosia przechowuje na odpowiednio długim wieszaku w szafie następujące ubrania: cztery takie same zielone bluzki trzy takie same granatowe swetry dwie takie same czerwone spódnice Zosia nigdy nie wiesza swoich ubrań byle jak ma określone zasady: czerwone spódnice muszą zawsze wisieć razem jedna obok drugiej przy czym żadna czerwona spódnica nie może wisieć z brzegu grantowe swetry nigdy, ze sobą nie sąsiadują przy czym na środkowej pozycji (piątej od lewej) zawsze wisi granatowy sweter Na ile sposobów Zosia może powiesić swoje ubrania w szafie? Zosia może powiesić swoje ubrania na 22 sposoby. Zestaw II Zadanie nr 4 Trójka dzieci: Adrian, Basia i Cyprian bawiła się w grę o następujących zasadach: 1. Najpierw dziecko pisze na kartce dowolna liczbę 2. Kartki oddaje się do sędziego. Następnie sędzia losuje kolejność dzieci 4. Na tablicy, pierwsze wylosowane dziecko wypisuje wielokrotności liczby którą zapisało na kartce w zakresie od 1 do 200 5. Kolejne dzieci (według losowania) dopisują na tablicy wielokrotności liczb zapisanych przez siebie na kartce w przedziale od 1 do 200 według następujących zasad: a. Jeśli danej wielokrotności nie było na tablicy, to ta liczba jest dopisywana. b. Jeśli dana wielokrotność już jest na tablicy (powtarza się z wielokrotnością któregoś poprzedniego dziecka) to nie jest dopisywana. Wygrywa ta osoba która wypisze najwięcej liczb na tablicy. Na kartkach dzieci zapisały następujące liczby: Basia: 15 Adrian: 25 16 5
Cyprian: 10 Sędzia wylosował następującą kolejność wypisywania liczb na tablicy: 1. Adrian 2. Basia. Cyprian Które z dzieci wygrało grę? Jaka jest strategię powinno obrać dziecko by wygrać tę grę? Grę wygrali jednocześnie Basia i Cyprian. Optymalna strategia polega na wypisaniu na kartce jedynki która ma najwięcej wielokrotności w dowolnym przedziale Zestaw V Zadanie nr 12 Mateusz robi musztrę swoim 6 żołnierzykom ustawiając ich jeden za drugim. Na ile sposobów Mateusz może ustawić swoich żołnierzy, jeśli żołnierzy można rozróżnić tylko kolorami: jeden żołnierz ma kolor czerwony dwóch żołnierzy ma kolor granatowy trzech żołnierzy ma kolor zielony Mateusz może ustawić swoich żołnierzy na 60 sposobów. 6 15
Kwadraty z których złożony jest prostokąt mają boki o długościach 1, 4, 5 oraz 6. Pole prostokąta wynosi. Zadanie nr 5 1. Nauczyciel wypisał na tablicy zielona kredą liczby podzielne przez 6 w zakresie 10 000. 2. Następnie dopisał dodatkowo czerwonym kolorem liczby podzielne przez 10 w zakresie 10 000 pisząc tylko te liczby których nie ma jeszcze na tablicy.. Na koniec, granatową kredą dopisał liczby podzielne przez 8 w zakresie 10 000. Również i w tym przypadku nie wypisywał liczb jeśli były już na tablicy. Ile liczb każdego koloru wypisał nauczyciel? Nauczyciel wypisał: 166 zielonych liczb 67 czerwonych liczb 67 granatowych liczb 14 7
Zadanie nr 6 zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 2008/200, etap III, SP Na tablicy zostały wypisane wszystkie liczby naturalne od 1 do 120 włącznie. Potem Ania, Wojtek i Antek skreślali niektóre z tych liczb według następującej zasady. Jako pierwsza skreśliła Ania wszystkie liczby podzielne przez 5, drugi w kolejności Wojtek skreślił spośród pozostałych nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez 4, ostatni Antek skreślił spośród pozostałych nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez. Ile liczb pozostało na tablicy nieskreślonych. Ile liczb skreśliła Ania, ile Wojtek a ile Antek? Przedstaw sposób rozwiązania bez przeprowadzania całego procesu skreślania kolejnych liczb. Ania skreśliła 24 liczby, Wojtek skreślił 24 liczb, Antek skreślił 24 liczby. Pozostało 48 nieokreślonych liczb. Zadanie nr 11 zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 2008/200, etap III, SP Prostokąt został podzielony na kwadraty różnej wielkości, jak pokazano schematycznie na rysunku obok. Pole najmniejszego zaznaczonego ciemnym kolorem kwadratu wynosi 1. Oblicz długości boków wszystkich kwadratów ukazanych na rysunku oraz podaj pole całego prostokąta. Przedstaw sposób rozwiązania, wykorzystując rozpoznane z rysunku zależności pomiędzy długościami boków przylegających kwadratów. 8 1
Długości boków kwadratów i całego prostokąta: 42 21 6 6 6 6 12 12 12 21 21 6 6 6 6 6 6 24 12 6 6 24 18 18 24 24 21 18 18 18 18 18 18 Zestaw III Zadanie nr 7 Składając jednakowe małe prostopadłościany możemy uzyskać sześcian o polu powierzchni 864 cm 2. Jakie pole powierzchni uzyskamy składając małe prostopadłościany w jeden duży prostopadłościan nie będący sześcianem? Pole powierzchni dużego prostopadłościanu wynosi 1248 cm 2. 57 Zadanie nr 8 zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 2008/200, etap III, SP Sklejając dwa identyczne prostopadłościany, można otrzymać prostopadłościan o polu powierzchni całkowitej 252 lub sześcian. Jaka jest objętość sześcianu? Przedstaw sposób rozwiązania. Objętość sześcianu wynosi 216. 12
Zestaw IV Zadanie nr Z ilu najmniejszych kwadracików (dwa z nich zaznaczono na różowo) składa się duży kwadrat o niebieskim obwodzie? Zadanie nr 10 Wiedząc, że wszystkie figury składające się na duży prostokąt są kwadratami, oraz, że pole różowego kwadracika wynosi, oblicz długości boków każdego kwadratu jak również długości boków dużego prostokąta. Duży niebieski kwadrat składa się ze 121 kwadracików. 10 11