A(T)= A(0)=D(0)+E(0).

2 ÅÓ Ð ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ÈÓ ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ÓÔ ÖØ Ø Ò ÔÖ Ù ÓÛÝ ÑÓ ÐÙ ÛÝ Ò Ó Þ ÖÞ Ò Ò ÖÙØÛ Û ÔÓÛ Þ Ò Ù Þ Þ Û Ñ Þ Ó Þ ÝÑ Û Ó Ö ÖÓÞ¹ Û Ò ÖÑݺ Å Û Ò ÔÖÓ ÖÝÞÝ Ó Ö Ø ÖÞ Ö ÝØÓÛÝÑ ÛÝÒ Þ Ö Ù ÓØ Û Ò Ö ÙÐÓÛ Ò ÞÓ ÓÛ Þ º ÙÒ ÓÒÓÛ Ò ÖÑÝ Ø Ò Ø ¹ Û ÓÒ Ò Ò ÖÓÛ Ò ÓØ Û Û ÛÝ Ò Ò Ö Ù ÔÓÛ ÒÒÓ Ò Ó õö ÔÓÛ Ø Û Ò º ÃÐ ÝÞÒ Ø ÓÖ ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ÔÓ Ó Þ Ó Å ÖØÓÒ ÔÖÞÝ ÑÙ ÙÔÖ Þ¹ Þ Þ Ó Ò ØÝÛ ÖÑÝ Ô ÝÒÒ ÓÛ Þ Ñ ÒÒ Ò ÓØ Û Ò Ó ÛÖ Øµº Á Û ÖØÓ ÖÝÒ ÓÛ ÔÓÞÛ Ð Û Ó Ò Þ ÓÐÒÓ ÖÑÝ Ó Ô ØÝ Ù Ùº Å Û Ó Û ÖØÓ ÖÝÒ ÓÛ ÔÖÞÝ ÑÙ ÑÝ Þ Ó Ò ØÝÛ Ø Û Ó ÖÓ º ÇÞÝÛ Þ Ó Ò Ó ÓÛ Ø Ô ÝÒÒÓ ÔÖÓÛ Þ Ó Ø Ó Ñ Ó Ý Ò Ó ÔÓ Ø Û ÑÓ ÑÝ ØÝÛ ÔÖÞ Ò ØÔÒ Ó ÙÔ ÔÓ Ø Ñ Ò Þ Ð ÔÖÓ ØÓØÝ Ö Ó ÞØ Û ØÖ Ò º Â Ò Ø Ø Ó ØÝÔÙ Þ Ó Ò ÓÛ Ò Ö Ð ØÝÞÒ Ð ÞÒ ÓÑ Ø Û ÞÓ ÖѺ ÈÓ Å ÖØÓÒ ÔÓÒ ØÓ Þ Û ÖØÓ ØÝÛ Û Û Þ ÓÔ ¹ Ò ÔÖÓ Ñ ØÓ ØÝÞÒÝÑ Ø Ö Ó ÔÓ Ø Ø Ò º Ì ÔÓ Ø Þ Û Ö Ô ÛÒ Ô Ö Ñ ØÖÝ Ø Ö ØÖÞ Û ÔÖ ØÝ ÓÒ Ö ØÒ ÛÝÞÒ ÞÝ º Á ÛÝÞÒ ¹ Þ Ò ÞÝÐ Ð Ö ÑÓ ÐÙ Ø ÛÝ ÓÒ ÐÒ Ð ØÓØÒ ØÝÛ ÒÓØÓÛ Ò Ò ÖÝÒ Ùº ÈÖÞÝ ÞÝÑ Ó Þ ØÓ ÓÛ Ò Ø Ò ÓÔ ÖØÝ Ò Ò Ð Þ Þ Ö Û Þ ÓÛÝ ÑÙ ÑÝ ÞÒ Ø Û ÖØÓ Û ÓÛÓÐÒ Û Ð º Á ÑÓ ÐÙ Å ÖØÓÒ Û ÔÓ Ø ÛÓÛ Û Ö ÑÓ Ò Ö Ø Ó ÓÔ Û Ò ¹ ØÔÙ Ý ÔÓ Ù Ø Û ÔÓ Ø Ó Ð Þ ÖÓ¹ ÙÔÓÒÓÛ Ó Ô ØÝ Û Û Ð T Ø ÛÓØ F Û ÖØÓ ÒÓÑ Ò ÐÒ Ó Ð ÞÝÐ Ú ÐÙ µ Û Ö¹

ÊÝÞÝ Ó ÃÖ ÝØÓÛ ØÓ ØÝÛ Û ÓÞÒ Þ ÑÝ ÔÖÞ ÞA(t). Ò ÖÙØÛÓ ÔÓ Û Û ÝØÙ Ý Û ÑÓÑ Ò Þ Ô ÐÒÓ Ù Ù Û ÖØÓ ÖÑÝ Ø ÔÓÒ ÛÓØÝ Þ Ù Ò Ó Ò ÔÓÞÛ Ð Ò Ó Ô Øº Ï ÔÖÞÝÔ ÙA(T)>F Ò Ñ Ò ÖÙØÛ Ù ÞÓ Ø Ô ÓÒÝ Û Ð ÞÓ Ø Þ ÖÑ Û ÖØ A(T) F º Æ ØÓ¹ Ñ Ø Û ÔÖÞÝÔ Ù ÝA(T) F Ò ØÔÙ Ò ÖÙØÛÓ ÔÓ Þ Ó Ð ÔÖÞ ÑÙ ØÝÛ ÞÝÐ Û ÖØÓ A(T), ÓÒ Ö Ù Þ Ò Ó Ø Ò º ÈÓ Ø ÛÓÛ Ó Ø Ø ÓÖ Ù ÓÑ Û Ð ÑÝ Ó ÑÝ ÞÞ Ò º Â Ð Û ÖØÓ ÖÑÝ ÔÖÞ Ö Þ Ù ØÓ ÑÓ Ò Ò Ø Ô Ò ÖÙØÛÓ Ý Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ù ÓØ Û ÔÖÞ ØÝÛ Û ÑÓ ÙÒ ÑÓ Ð Û ÓÒØÝÒÙ Þ ÐÒÓ º Ê Ò A(T) F ÔÓÞÓ Ø ÔÓ Ô Ù Ù Ò Û Ø Ð Ø ¹ Ñ Ò ÞÒ ÞÒ Û Ù Ø Ø ÓÖ ÔÓÞÛ Ð Ò Ð Þ ÔÖÓÛ Þ Ò Þ ÐÒÓ Ó Ø Ò Ö Ð ØÝÞÒ º Æ ÑÒ Û ÖØÓ ÔÓÞÒ Ø Ø ÓÖ Ý ÑÓ ÓÒ Ù Ý Ó ÔÓ Ø Û Ó Ö Þ Ö Ð ØÝÞÒÝ Û Ö ÒØ Û Ø Ö Ô õò ÔÖÞ Ø Û Ñݺ ÈÙÒ Ø Ñ ÛÝ ¹ Ø Ù ÓÛ ÑÓ ÐÙ Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Ó ÔÖÓ Ù ØÝÛ Û ÖÑݺ ¾º½ ÅÓ Ð ÛÙÑ ÒÓÛÝ ØÝÛ Û ¹ Ò ÖÓ ÞÝÒ ÑÝ Ó Ò ÔÖÓ Ø Þ Ó ÔÖÞÝÔ Ù Ý Þ ÔÖÞÝ ÑÙ Û Û ÖØÓ t=0,t Ò ÒØ Ö Ù Ò ØÓ Ó Þ ÔÓÑ ÞÝ ØÝÑ Û Ð Ñ º ÑÝ Û Û Ð 0ÞÒ ÑÝ Û ÖØÓ ØÝÛ Û ÞÝÐ Ð Þ A(0) Ø Ò º Á Û ÖØÓ ÔÖÞÝ Þ A(T) Ø ÞÑ ÒÒ ÐÓ ÓÛ Û ÑÓ ÐÙ ÛÙÑ ÒÓÛÝÑ Ò ÔÖÓ Ø ÞÝÑ ÑÓ Ð ÛÝÑ Û ÖØÓ ÛÝÞÒ ÞÓÒ Û ÑÝ ÔÖÞ Þ ØÓÔÝ ÞÛÖÓØÙU A,D A Ô Ò Û ÖÙÒ 1<D A <U A, ÓÖ Þ ÔÖÞ Þ Ð Þ p (0,1) ÓÔ Ù ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ Ö Ð Þ ÛÝ Þ Þ Û ÑÓ Ð ÛÝ Û ÖØÓ º Å ÑÝ Û A(T)= { A u (T)=A(0)(1+U A ) Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ñp A d (T)=A(0)(1+D A ) Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ñ1 p Þ Þ ÑÝ A(T) Ø ÞÑ ÒÒ ÐÓ ÓÛ Ó Ö ÐÓÒ Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÔÖÓ¹ Ð ØÝÞÒ Ω={u,d}. ÖÑ Û Û Ð Þ ÖÓ Þ Ù Û ÛÝ Ó Ó D(0) Ø ØÓ Û Ð Ó Ò ÞÒ ¹ Ò Ò Ò Ù Ò Ñ Þ ÓÛÓ Þ ÙÔ ØÝÛ Ûº ÈÓÞÓ Ø ÛÓØ E(0) ÔÓ Ó Þ Ó ÓÒ Ö Ù ÞÝ ÞÝÐ Ñ ÑÝ A(0)=D(0)+E(0). Ù Ø Ó Ô ØÝ Û Û Ð T Û ÛÝ Ó Ó F Ø ÛÓØ Ø ÞÒ Ò º Ó Ûݹ ÞÒ Þ Ò ÔÓÞÓ Ø Û ÖØÓ Þ Þ Ù Ù Ô Ø Ù Û Ò Ó ÞÒ Ò Þ Ò Û ÖØÓ ØÝÛ Û ÛÝÞÒ ÞÝÑÝ ÔÓÞÓ Ø µº

¾º ÅÓ Ð ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ÊÓÞÛ ÑÝ ÓÒ Ö ØÒ Ð Þ Ý ÈÖÞÝ ¾º½ Æ A(0)=80,U A =20%,D A = 10%,p=0,8 ÞÝÐ A(T)= { 96 Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ñ0,8 72 Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ñ0,2 Ì Ö Þ Ð F<72, ØÓ Ò ÖÙØÛÓ Ò ÑÓ Þ Ð F 96, ØÓ Ø ÓÒÓ Ô ÛÒ Ò Þ ØÝ ÔÖÞÝÔ Û Ò ÛÝÑ Ò Ð Þݺ ÁÒØ Ö Ù Ý ÔÖÞÝÔ ØÓ72 F<96, Û Ø ÖÝÑ ÔÓ Þ Ó Ð ÓØÖÞÝÑ { D D(T)= u (T)=F Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ñ0,8 D d (T)=72 Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ñ0,2 Ò ØÓÑ Ø ÓÒ Ö Ù Þ { E E(T)= u (1)=96 F Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ñ0,8 E d (1)=0 Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ñ0,2 ÑÝ Û ÔÖÞ ØÖÞ ÔÖÓ Ð ØÝÞÒ Ø ÔÓ Ø Ω = {u,d}, P(u) = p=0,8, P(d) = 1 p=0,2. Ï ÛÝÔ Ø Ð ÓÒ Ö Ù Þ ÔÓ ÖÝÛ Þ ÛÝÔ Ø ÓÔ ÙÔÒ ¹ ØÝÛ Û ÖÑÝ Þ Ò Ö Ð Þ F. Â Ø ØÓ Þ Ó Ò Þ ÒØÙ Ý Þ Ù ÓÒ ÖÑ Ø Û Ô ÛÒÝÑ Ò Þ Ø Û ÓÒ ÓÒ Ö Ù Þ ÑÓ Ó ÙÔ Ô Ù º ÅÓ ÑÝ Þ Ô Ó ÐÒ ÛÝÔ Ø Ð ÓÒ Ö Ù ÞÝ Û Û Ð T { A(T) F ÝA(T)>F, E(T)= 0 ÝA(T) F. Ç ÔÖÞÝÔ ÔÓ ÖÝÛ ÝA(T)=F Û ÖØÓ 0, ÞÝÐ Þ Ö Ò Ý Ô ÖÛ ÞÝ ÔÖÞÝÔ ÑÓ ÑÝ ÓÔ Ò Ö ÛÒÓ, ÖÙ ÐÒ <º ÅÓ ÑÝ Þ Ô ØÓ Ö Ø Ó E(T)=max{0,A(T) F}. ÏÝÔ Ø Ð ÔÓ Þ Ù Ù Ò Ø Ó ÐÒÝÑ ÛÞÓÖ Ñ { F ÝA(T)>F, D(T)= A(T) ÝA(T) F.

ÊÝÞÝ Ó ÃÖ ÝØÓÛ ÞÝÐ Ö Ø Ó Ó Ø ÞÑ ÒÒ ÐÓ ÓÛ Ñ ÑÝ D(T)=min{F,A(T)}. ÞÝÐ E(T)+D(T)= { A(T) F+F ÝA(T)>F, 0+A(T) ÝA(T) F. E(T)+D(T)=A(T). ¾º½º½ ØÓ ÓÛ Ò Ø ÓÖ ÔÓÖØ Ð Ï ÖØÓ Ô Ø Ù Û Ò Ó Ù Ù ÛÝÞÒ Þ Û õò Þ Ù Ò ÞÝÐ ØÖÙ ØÙÖÝ Ò Ò ÓÛ Ò ÇÞÝÛ w E = w D = E(0) E(0)+D(0) D(0) E(0)+D(0) w E +w D = 1, w E,w D [0,1]. Ö Ò ÞÒ Û ÖØÓ Ð Ó Ò ÓÔÙ ÞÞ ÐÒ Ð Ó Ò ÒØ Ö Ù º  Рw D =0 ÓÞÒ Þ ØÓ ÖÑ Ø Û Ó Ò Ò ÓÛ Ò Ô Ø Ñ Û ÒÝÑ Ó ÔÓÛ ØÓ ÛÝ ÓÖÓÛ F=0 Ó Ò Ø ÒØ Ö Ù Þ ÔÙÒ ØÙ Û Þ Ò ÖÓÞÛ Ò ØÙØ Ø ÓÖ Ý ÛÝ ÐÙÞ Ò ÖÙØÛÓ ÔÓÛÓ ÓÛ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ö ÝØÓÛÝÑ º  ¹ Ð w E =0ÓÞÒ Þ ØÓ ÔÓ Þ Ù Ù Ø ÝÒÝÑ ÒÛ ØÓÖ Ñ ÔÓ Ó ØÝÛ Û Ø Û ÓÒ Ö Ù Þ Ñ ÞÝÐ Ô Ö Ó ÐÒ Ñ ÑÝ ÝØÙ ÓÛ Ø Ó Ò Ò ÓÛ Ò Ô Ø Ñ Û ÒÝѺ Ì Ò ÔÖÞÝÔ ÛÝ ÐÙÞ ÑÝ Ö Û¹ Ò Ò ÔÓ Ø Û Ó Ö Ò Þ ÔÖ ØÝÞÒÝ Ø Ö Ñ Û Ý Þ Ò Ù ÓÒ ÞÒÝ Ø Û Û ÒÝ Û ÔÖ ØÝ Þ ØÓ ÖÞ ÞÓÛÝ Ð Ó Ò Û Þ Ð ØÝÛ ØÓ ÓØ Û Û Ø ØÓ Û ÓØ Û ÓÛݺ ÑÝ Û 0 < w E <1, 0 < w D <1. ÌÓ ÓØÝÞÝ ØÝÐ Ó Û ÔÓÞ Ø ÓÛÝ Ý Û Û Ð T Ð Ó Ò Ø Ô Ô Ø Ù¹ Ù ÞÝÐ ÔÖÞ Þ ÑÝ Ó ÓÛ Ø Ó Ò Ò ÓÛ Ò Ô Ø Ñ Û ÒÝÑ Ð Þ ÓÐ ÞÓ Ø Ò Þ Ò ØÝ ÓÐ ÒÝ Ù Û Ø Ò Ò ÓÛ Ò Û ÔÖ ØÝ Ò

¾º ÅÓ Ð ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ Þ ØÒ µ Ð Ó Ò Ø Ô Ò ÖÙØÛÓ ÞÝ Ô Û ÖØÓ Ô Ø Ù Û Ò Ó Ó Þ Ö Ó ÔÓ Ò Ó Þ Ö Ö ÛÒ Ó ÔÖÓ ÒØÓÛÝ Ù Þ º ÏÔÖÓÛ Þ ÑÝ ØÓÔÝ ÞÛÖÓØÙ Ð ÒÛ ØÓÖ Ó ÔÓ Þ Ñ ¹ Ô Ø Ù Û Ò Óµ ÓÖ Þ ÔÓ Þ Ñ Ù Ù Ó Ð ÛÝ Ñ ØÓÛ ÒÝ ÔÖÞ Þ Ö¹ ѵº Å ÑÝ Ò ØÔÙ ÞÑ ÒÒ ÐÓ ÓÛ k E = E(T) E(0), E(0) k D = D(T) D(0). D(0) ÍÛÞ Ð Ò ÐÓ ÓÛ ØÓÔ ÞÛÖÓØÙ Ò ØÝÛ ÖÑÝ k A = A(T) A(0) A(0) ÑÓ ÑÝ ÔÖÞÝØÓÞÝ ÞÛ Þ ÞÒ ÒÝ Þ Ø ÓÖ ÔÓÖØ Ð k A =w E k E +w D k D. Æ Ö Þ Ò ÔÓØÖ ÑÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÔÓÛÝ ÞÝ Þ Ð ÒÓ Ò Þ ÐÙ ØÖÓÛ ÒÙÑ ÖÝÞÒ Ý Ò ÞÒ ÑÝ ÞÞ E(0),D(0). ÁÒÒ Ò ÖÞ Þ ÖÓÞÛ Ò Ø Û Ø ÓÖ ÔÓÖØ Ð Ø ÓÞ Û ÒÝ ÞÛÖÓØ Ó ÝÐ Ò Ø Ò Ö ÓÛ ÞÛÖÓØÙ ÓÔØÝÑ Ð Þ ÔÓÖØ Ð ÞÓ Ø Ò Ö ÛÒ ÛÝ Ó¹ ÖÞÝ Ø Ò Û Ô õò Þ Ý Ù º ¾º½º¾ ØÓ ÓÛ Ò ÓÔ Ò Ò ÓÛÝ ÈÓÒ Û Ô Ø Û ÒÝ ÞÝÐ Ø ÓÔ ÙÔÒ Þ Û ÐÓÖ Ñ ÞÓÛÝÑ ØÝÛ ÖÑÝ ÑÓ ÑÝ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò ÖÞ Þ ÛÝ ÒÝ ÖÓÞÛ Ò Ø Û Ø ÓÖ Ò ØÖÙÑ ÒØ Û ÔÓ Ó ÒÝ º Ó Ò Ó ØÝÑ ØÝÛ ÞÒ Ù Û Ó Ù ÖÝÒ ÓÛÝÑ ÔÓÞÛ Ð ÛÝ Ò Ó Û ÖØÓ Þ Þ ÔÓÖØ Ð Ö ÔÐ Ù Ó ÛÝÔ Ø Ò ØÖÙÑ ÒØÙ ÔÓ Ó Ò Óº ÑÝ Ñ ÑÝ Ó Ý ÔÓÞÝ Û ÐÓÖ ÛÓÐÒÝ Ó ÖÝÞÝ Ø Ö Ó Û ÖØÓ ÓÞÒ ÞÝÑÝ ÔÖÞ ÞB(0),B(T) Ø Û ÖØÓ Û Û Ð Ó ÓÛ Ø ÞÒ Ò Þ µ ÛÝÞÒ Þ ÓÒ ØÓÔ ÛÓÐÒ Ó ÖÝÞÝ ÅÓ ÑÝ ÞÒ Ð õ Ð Þ Ýx,y Ø R= B(T) B(0). B(0) xa(t)+yb(t)=e(t).

½¼ ÊÝÞÝ Ó ÃÖ ÝØÓÛ Â Û ÑÝ Ó Ø ØÒ Ö ÛÒÓ ØÓ Ð ÑÓ ÐÙ ÛÙÑ ÒÓÛ Ó Ù Û Ö Û¹ Ò Ø ÖÝ ÑÓ ÑÝ ÖÓÞÛ Þ º Ì Ö Þ Þ Ó Ò Þ Þ Ö Ù Ö ØÖ Ù E(0)=xA(0)+yB(0). ÈÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ ÞÞ Ö Þ Û ÞÝ Ø Ó ØÓ Ñ Ò ÝÒ ÔÖÞÝ Þ Ó Ò Ù ØÝÛ ÒÓØÓÛ Ò Ò ÖÝÒ Ùº ÈÖÞÝ ¾º¾ Æ Ø ÔÓÔÖÞ Ò ÓA(0)=80,U A =20%,D A = 10%, ÞÝÐ A(T) ÔÖÞÝ ÑÙ Û ÖØÓ 96 72. Ï ÑÝ Þ Ø ÓÖ ÓÔ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Þ Ø ÖÝÑ Ø Û ÖØÓ ÔÖÞÝ ÑÓÛ Ò Ò Ó ÖÝÛ ÖÓÐ Û Ø Ö Þ ÔÓÑ Ñݺ ÑÝ B(0)=100,B(T)=110, ÞÝÐ R=10%. Ð F=80 ÔÓÖØ Ð Ö ÔÐ Ù Ý ÛÝÞÒ Þ ÑÝ ÖÓÞÛ ÞÙ Ù Ó Ø ÑÝ Ó Û ÔÖÞÝ Ð Ò Ù x96+y110 = 16, x72+y110 = 0. x = 2 3, y = 48 110, E(0) = 2 48 80 3 110 100=9.7 D(0) = 70.3 Â Ô Ñ Ø ÑÝ Þ Ø ÓÖ ÛÝ ÒÝ ÓÔ ÐØ ÖÒ ØÝÛ Ó Ö ÔÐ Ø ÛÝ ÓÖÞݹ Ø Ò ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ò ÙØÖ ÐÒÝ ÛÞ Ð Ñ ÖÝÞÝ Ñ ÖØÝÒ ÓÛÝ µº Â Ø ØÓ Ñ ØÓ Ö ÛÒÓÛ Ò Ö ÔÐ ÓÒ ÞÒ ÑÙ ÑÝ ÔÓ Ö Ð Þ Ó¹ Ò Ó Ó ÖÓ ÖÝÒ ÓÛÝÑ ØÝÛ Ñ ÖÑÝ Ø Ò Ð Ò Þ Ò º ÈÖÞÝÔÓÑ Ò ÑÝ ÞÒ ÒÝ ÛÞ Ö p A = R D A U A D A Ò ÓÔ ÞÝÐ Ù Ò µ Ø Ò ÛÞÓÖ Ñ E(0)= 1 1+R EA (E(T)) Þ Û ÖØÓ ÓÞ Û Ò Ø Ó Ð ÞÓÒ Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ¹ ØÛ p A. Ù Ø Ö ÛÒ Ò ØÖÙÑ ÒØ Ñ ÔÓ Ó ÒÝÑ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ

¾º ÅÓ Ð ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ½½ Ò ÙØÖ ÐÒ ÛÞ Ð Ñ ÖÝÞÝ ÔÓÞÛ Ð Ó ÛÝ Ò ØÝÑ ÑÝÑ ÛÞÓÖ Ñ ÝÒ Ö Ò ØÓ ÔÓ Ø ÞÑ ÒÒ ÐÓ ÓÛ Ö ÔÖ Þ ÒØÙ ÛÝÔ Ø Û Û Ð T) D(0)= 1 1+R EA (D(T)) ÈÖÞÝ ¾º Æ Ø ÔÓÔÖÞ Ò ÓA(0)=80,U A =20%,D A = 10%,R=10%, Ó ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ Ò ÙØÖ ÐÒ ÛÞ Ð Ñ ÖÝÞÝ ÓÖ Þ ÞÒ Ò Ù ÒÝ E(0) = D(0) = p A =10% ( 10%) 20% ( 10%) =2 3 ( 1 2 1+10% 1 1+10% ) 3 16+1 3 0 =9,7, ( ) 2 3 80+1 3 72 =70,3. ¾º½º ÈÓ Þ Ò Ø ÓÖ ÔÓÖØ Ð ÛÝ ÒÝ ÓÔ Å E(0) D(0) ÑÓ ÑÝ ÛÝÞÒ ÞÝ ÐÓ ÓÛ ØÓÔÝ ÞÛÖÓØÙ Ò k E = E(T) E(0) E(0) Ó Ð k D = D(T) D(0) D(0) ÈÖÞÝ ¾º Æ ÔÓÔÖÞ Ò ÓA(0)=80,U A =20%,D A = 10%, ÞÝÐ A(T) ÔÖÞÝ ÑÙ Û ÖØÓ 96 72. Ï ÑÝ E(0)=9,7 D(0)=70,3. Å ÑÝ Û ÛÞÓÖÝ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ò Ò ÓÛ ÖÑÝ Û Ô Ø Ù Û Ò Ó Ù Ùµ w E = 9,7 80 =12,12%. w D = 70,3 80 =87,88%. Ï õò Ø Ò Þ ÝØ Ö Ð ØÝÞÒ Ð Û ÖÓÞÛ ÒÝÑ ÑÓ ÐÙ Ý Ñ ÒØ ¹ Ö Ù ÝØÙ ÑÓ Ð ÛÓ Ò ÖÙØÛ µ Û ÖØÓ ÒÓÑ Ò ÐÒ Ù Ù ÑÙ Ý

½¾ ÊÝÞÝ Ó ÃÖ ÝØÓÛ Û Þ Ò ÓÐÒ Û ÖØÓ ØÝÛ Û Ó ÞÛ Þ Ò Ø Þ ÞÒ ÞÒÝÑ Ù Þ Ñ Ù Ùº Ç Ð Þ ÑÝ ØÓÔÝ ÞÛÖÓØÙ Ð { 16 9,7 9,7 =65% k E = 0 9,7 9,7 = 100% ÓÖ Þ Ó Ð k D = { 80 70,3 70,3 =13,79% 72 70,3 70,3 =2,1%  РÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ ÖÙ Ù Û Ö Û ÖØÓ ØÝÛ Û ÛÝÒÓ p=0,8 ØÓ ÓÞ Û Ò ÞÛÖÓØÝ Ð Ó Ð ÛÝÒÓ Þ Ð ØÝÛ Û Ñ ÑÝ E(k E ) = 32% E(k D ) = 11,51% E(k A )=14%. ØÛÓ ÔÖ Û Þ Þ Ó Ò Þ Ø ÓÖ ÓÞ Û Ò ØÓÔ ÞÛÖÓØÙ Ò ØÝÛ Ø Ö Ò Û ÓÒ ÓÞ Û ÒÝ Ø Ô ÞÛÖÓØÙ Ò Ô Ø Ð Û ÒÝÑ Ù Ù Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ÔÓÛÝ Ó Ð ÞÓÒÝ Û º ÍÛ ¾º ÈÓÙÞ Ø Þ Ò Þ Ð ÒÓ ÓÞ Û Ò Ó ÞÛÖÓØÙ Ò Ù Ù Û Þ Ð ÒÓ Ó Û ÖØÓ ÒÓÑ Ò ÐÒ F Ó Ð º Ï Ò ÞÝÑ ÑÓ ÐÙ ÝF 72 Ô Ø Ù Ù Ø Ô ÛÒ Û E(k D )=10%=R. ÖÙ Ö Ò ÑÓ Ð ÛÓ F 96 ÓÞÒ Þ Ô ÛÒÓ Ò ÖÙØÛ ÞÝÐ ÛÝÔ Ø Ò Ù Ø Ø Û ÖØÓ ØÝÛ Û Þ Ó Ò Þ ØÝÑ Ó Ø ÑÝ E(k D )=14%=E(k A ). ÊÝ ÙÒ ¾º½ ÔÓ ÞÙ ÛÝ Ö E(k D ) Û Þ Ð ÒÓ Ó F Û Þ Ö F [72,96]. ÏÞÖÓ ØÓÛ ÓÞ Û Ò ØÓÔÝ Ó ÔÓÛ ÛÞÖÓ ØF Ó Þ ØÝÑ Þ ÞÛ ÞÓ¹ Ò ÖÝÞÝ Óº ÊÝ ÙÒ ¾º¾ ÔÓ ÞÙ ÛÝ Ö Ó ÝÐ Ò Ø Ò Ö ÓÛ Ó ÞÑ ÒÒ ÐÓ ÓÛ k D Û Þ Ð ÒÓ Ó F. Ð F=72 ÖÝÞÝ Ó Ø Þ ÖÓÛ Ñ ÝÑ ÐÒ Û ÖØÓ ØÓ Ó ÝÐ Ò Ø Ò Ö ÓÛ ÞÑ ÒÒ k A º. Ï Ò Û Ð Ó Ø Ö Ò ÔÓÑ ÞÝ E(k D ) R. Å ÑÝ ØÙ ÞÞ ÐÒÝ ÔÖÞÝÔ ÔÓ Ø Ö Ô õò ÞÞ Þ Ò Ù ÑÝ Ó ÐÒ

¾º ÅÓ Ð ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ½ ÊÝ ÙÒ ¾º½ ÊÝ ÙÒ ¾º¾ Ò ¾º Ï Ð Ó s D = E(k D ) R Ò ÞÝÛ ÑÝ ÔÖ Ñ Þ ÖÝÞÝ Ó Ö ÝØÓÛ ÔÓ Ò Ð Ù Ö Ø ÔÖ º

½ ÊÝÞÝ Ó ÃÖ ÝØÓÛ ÐØ ÖÒ ØÝÛ Ñ D(0), ÑÓ ÑÝ ÛÝÐ ÞÝ ØÓÔ ÞÛÖÓØÙ Ó ÛÝ ÙÔÙ Ý Ð ØÓ Ñ ØÙÖ Øݵ F = D(0)(1+y D ), F y D = D(0) 1. Ì Ö Þ Ø ØÓÔ ÔÓÖ ÛÒ Ò Þ ØÓÔ ÛÓÐÒ Ó ÖÝÞÝ Ñ ÖÞÝ ÖÝÞÝ Ó Ö ÝØÓÛ º ÌÓ ÖÙ ÔÓ Ø Ö Þ ÔÖ ØÝÞÒ Ý Ó ÛÝÐ Þ Ò ØÓÔÝ ÞÛÖÓØÙ Ó ÛÝ ÙÔÙ Ò ÑÙ ÑÝ Ñ ÑÓ ÐÙ ÔÖÓ Ð ØÝÞÒ Óº Æ ÑÒ ÔÓÛÝ Þ Ò Ø Ð Ô ÓÔ ÓÛ Ò Ó Ò ÞÝ ÖÓÞÛ º Ò ¾º ÈÖ Ñ Þ ÖÝÞÝ Ó ØÓ Ö Ò y D R. ÅÓ ÑÝ ÔÓÖ ÛÒ ÛÝ Ö Ý ØÓÔÝ ÞÛÖÓØÙ Ó ÛÝ ÙÔÙ ÛÝ Þ Û ÖØÓ µ ÓÞ Û Ò Ó ÞÛÖÓØÙ Ò Ù Ùº ÊÝ ÙÒ ¾º ÈÓ ÙÑÓÛÙ Ó ÐÒ Ó Ð Þ Û ÖØÓ ÓÞ Û Ò ØÓÔÝ ÞÛÖÓØÙ Ò ¹ k E = E(T) E(0) E(0)

¾º ÅÓ Ð ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ½ Ó Ø ÑÝ E(k E )= E(E(T)) E(0) Ó ÛÞ Ö Ò Þ Þ Û ÖØÓ Ò ÐÓ ÞÒ Ð Ù Ù E(0)= D(0)= 1 1 1+E(k E ) E(E(T)) 1 1+E(k D ) E(D(T)). Ò ÓÞ Û Ò ØÓÔÝ ÞÛÖÓØÙ Ð ÞÓÒ ÛÞ Ð Ñ ÛÝ ÓÛÝ ÞÝÞÒÝ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛµ ÑÓ ÑÝ Û ÙÞÝ ÐØ ÖÒ ØÝÛÒ ÛÞÓÖÝ Ò ÒÝ Ò ØÖÙ¹ Ñ ÒØ Û Ó Þ Ý ÓÒØÓÛ ÒÝ ÓÞ Û ÒÝÑ ÞÛÖÓØ Ñ Ó ØÓÔ Ý ÓÒØÓÛ µ ÓÞ Û ÒÝ ÛÝÔ Ø Ð ÞÓÒ ÛÞ Ð Ñ ÛÝ ÓÛÝ ÞÝÞÒÝ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó¹ ØÛµº Ð ÑÓ ÐÙ ÛÙÑ ÒÓÛ Ó ÔÖÞÝ Ò ÞÝ Þ Ó Ò Ó ÖÝÒ ÓÛÝÑ Ö Ø ÖÞ ØÝÛ Ûµ Ø ØÓ ØÝÐ Ó ÛÓ Ø Ð ÞÓ ÞÝÑÝ Û ÒÒÝ ÝØÙ ØÓ Ô ÛÒ Ñ ØÓ ÖÓÞÛ Þ Ò ÔÖÓ Ð ÑÙº ¾º½º ÈÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ò ÙØÖ ÐÒ ÛÞ Ð Ñ ÖÝÞÝ Ç Ð Þ Û ÖØÓ ÓÞ Û Ò ØÓÔÝ ÞÛÖÓØÙ Ò k E = E(T) E(0) E(0) Ð ÛÞ Ð¹ Ñ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ò ÙØÖ ÐÒ Ó ÛÞ Ð Ñ ÖÝÞÝ Ñ ÑÝ Ó ÔÓ ÙÛÞ Ð Ò Ò Ù ÛÞÓÖÙ ÞÝÐ E A (k E)= EA (E(T)) E(0) 1 E(0)= 1 1+R EA (E(T)) E A (E(T))=E(0)(1+R) E A (k E) = p A ku A +(1 pa )kd A = p A E u (T) E(0) +(1 p A (T) E(0) E(0) )Ed E(0) = EA (E(T)) E(0) E(0) = R

½ ÊÝÞÝ Ó ÃÖ ÝØÓÛ ÔÓ ÔÓ Ø Û Ò Ù ÛÞÓÖÙ Ò E A (E(T)). ÈÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ Ò ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ò ÙØÖ ÐÒ Ó ÛÞ Ð Ñ Öݹ ÞÝ ÔÖÞÝ Ø Ð ØÝÛ Û Ó Û ÐÓÖÙ ÞÓÛ Ó E A (k A )=R. ÇÞÝÛ Ð Ù Ù Ñ ÑÝ Ø Ñ Þ Ð ÒÓ E A (k D )=R. Â Ð Ø Ö Þ ÔÓØÖ ØÙ ÑÝ Ó Û ÐÓÖ ÞÓÛÝ ØÓ Ñ ÑÝ ØÙ ØÖÙ ØÙÖ ÖÞ Û ÛÙÑ ÒÓÛ Ó Þ ÞÛÖÓØ Ñ k E ={ k u E k d E Ó ÛÝÞÒ Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ Ò ÙØÖ ÐÒ ÛÞ Ð Ñ ÖÝÞÝ ÞÛ Þ Ò Þ Û ¹ ÐÓÖ Ñ Ó Ò E, Ø ÓÞÒ Þ Ò µ p E = R kd E ke u. kd E ÌÓ Û ÑÝ Ø Ö ÛÒÓÛ Ò ÞÛ Þ ÓÛ E E (k E )=R ÞÝÐ Ð ÔÖÞ Û Ð ÔÓ Þ Ð ÑÝ k u E pe +kd E (1 pe )=R ¾º½µ ÞÝÐ E A (k E )=R k u E p +k d E (1 p )=R ¾º¾µ Þ p = R DA U A D A Ð Þ ÝU A D A ØÓ Ò ÒÒ Ó Û ÖØÓ ÞÑ ÒÒ ÐÓ ÓÛ k A, ÞÝÐ ÑÓ ÑÝ ÓÞÒ ÞÝ p =p A. ÈÓÖ ÛÒÙ Ö ÛÒÓ ¾º¾µ ¾º½µ Ó k u Ep A +k d E(1 p A )=k u Ep E +k d E(1 p E ) ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÛÒ Ó (k u E kd E )pa =(ku E kd E )pe p E =p A.

¾º ÅÓ Ð ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ½ ÔÖÞÝ Þ Ó Ò Ù ÞÛÖÓØÝ Û Ó Ù Ò Ö Ù Þ Ö Ò Ý ÛØ Ý ÑÓ ÑÝ ÙÔÖÓ ÔÖÞ Þ Ö Ò º Ì ÞÛÖÓØÝ Ö Ò Ð ÞÛÖÓØÝ Ò ØÝÛ Ö Ò Ý ÛØ Ý ÛÝÔ ØÝ Ö Ò º Ò ÐÓ ÞÒ ØÖ ØÙ Ù Ó Ð µ Ó Û ÐÓÖ ÔÓÛØ ÖÞ ÔÓÛÝ Þ ÖÓÞÛ Ò Ó Ø ÑÝ p D =p A. ÏÒ Ó ¾º ÈÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ò ÙØÖ ÐÒ ÛÞ Ð Ñ ÖÝÞÝ ÛÝÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ Ó ¹ Ð Ø Ñ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ò ÙØÖ ÐÒ ÛÞ Ð Ñ ÖÝÞÝ Ûݹ ÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ ØÝÛ º Å ÑÝ Ø Ó ÐÒ ÞÝ ÌÛ Ö Þ Ò ¾º Ï ÑÓ ÐÙ ÛÙÑ ÒÓÛÝÑ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ò ÙØÖ ÐÒ ÛÞ Ð Ñ ÖÝÞÝ ÛÝÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ ÞÛÖÓØÝ ÓÛÓÐÒ Ó Ò ØÖÙÑ ÒØÙ ÔÓ Ó Ò Ó Ø Ñ Ø ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ ÛÝÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ Ò ØÖÙÑ ÒØ ÞÓÛݺ ÓÛ Ì Ò Ø Ò ÛÝÑ ÓÛÓ Ù Ð Þ ÝÒ Ö ÔÓÛÝ ÖÓÞÛ ¹ Ô Ø Û ÒÝ Ó Ò ØÖÙÑ ÒØ ÔÓ Ó ÒÝ Ò ÓÖÞÝ Ø Ð ÑÝ Þ Ó ÔÓ Ø Ó ÓÔ ÙÔÒ µ Ð Þ ÝÒ Þ Ó ÐÒ Ó ÛÞÓÖÙ Ò Ó Ò Þ Ù Ý Ñ ÔÖ Û ÓÔÓ¹ Ó ØÛ Ò ÙØÖ ÐÒÝ ÛÞ Ð Ñ ÖÝÞÝ Û Ø ÑÓ ÖÓÞÙÑÓÛ Ò ÑÓ Ò ÔÓÛØ ÖÞÝ Ð ÓÛÓÐÒ Ó Ò ØÖÙÑ ÒØÙ ÔÓ Ó Ò Óº ¾º½º ÊÝÒ ÓÛ Ò ÖÝÞÝ ÏÖ ÑÝ Ó ÖÓÞÛ ÔÓÛ Þ ÒÝ Þ Ø ÓÖ ÔÓÖØ Ð º Ç Ó ÓÞ Û Ò Ó ÞÛÖÓ¹ ØÙ ØÓØÒ ÖÓÐ Ó ÖÝÛ Ó ÝÐ Ò Ø Ò Ö ÓÛ º ÈÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ Ð ÓÛÓй Ò ÞÑ ÒÒ ÐÓ ÓÛ X ÔÖÞÝ ÑÙ Û Û ÖØÓ X u X d Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó¹ ØÛ Ñ p 1 p Ó ÝÐ Ò Ø Ò Ö ÓÛ Ò Ø ÛÞÓÖ Ñ σ X = p(1 p)(x u X d ). Æ ÒØ Ö Ù Ó ÝÐ Ò Ø Ò Ö ÓÛ Ô Ø Ù Û Ò Óσ ke, Ù Ù σ kd ØÝÛ Ûσ ka. ÏÝÞÒ Þ ÓÒ ÔÙÒ ØÝ Ò Ô ÞÞÝõÒ ÖÝÞÝ Ó¹ÞÛÖÓØ

½ ÊÝÞÝ Ó ÃÖ ÝØÓÛ (σ ke,µ ke ) (σ kd,µ kd ),(σ ka,µ ka ) Þ ØÓ Ù ÑÝ ÓÞÒ Þ Ò Þ Ø ÓÖ ÔÓÖØ Ð µ X = E(X). ÛÖ ÑÝ ÙÛ ÓÒ ÒØÖÙ ÑÝ Ò ØÓÔ ÞÛÖÓØÙ Ò Ò Û ÖØÓ ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ Ð Ñ ÒØ Û ÑÓ ÐÙº ÈÖÞÝ ¾º½¼ Æ Ø ÔÓÔÖÞ Ò ÓA(0)=80,U A =20%,D A = 10%,R=10%, F=80. ÈÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ Ç Ð ÞÑÝ Ó ÝÐ Ò Ø Ò Ö ÓÛ µ ka = E(k A )=14%. µ ke = E(k E )=32% µ kd = E(k D )=11,51% σ ka = 0,8 0,2(20% ( 10%))=12% σ ke = 0,8 0,2(65% ( 100%))=66% σ kd = 0,8 0,2(13,79% 2,1%)=4,55% Æ ÊÝ ÙÒ Ù ¾º Û Þ ÑÝ Ò Þ ØÖÞÝ Û ÐÓÖÝ Ò Ô ÞÞÝõÒ ÖÝÞÝ Ó¹ÞÛÖÓØ Ö ÛÒ Û ÐÓÖ ÛÓÐÒÝ Ó ÖÝÞÝ Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (0,10%)) Û Û ÞÝ Ø Ð Ò Ò ÔÖÓ Ø º ÊÝ ÙÒ ¾º

¾º ÅÓ Ð ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ½ Æ Ø ØÓ ÔÖÞÝÔ Ï ÑÝ ØÝÛ ØÓ ÔÓÖØ Ð Þ Ù ÓÛ ÒÝ Þ Ó Ð ÞÝÐ Ó ÔÓÛ ¹ Ý Ñ ÔÙÒ Ø Þ Ð Ò Þ ÓÖÞ ØÝÛÒÝѺ ÌÝÔÓÛÓ Ø ØÓ ÖÞÝÛ ØÞÛº ÔÓ Å Ö ÓÛ ØÞ µ Ð ØÙ Ñ ÑÝ ÔÖÞÝÔ ÞÞ ÐÒݺ Ð ÞÑ ÒÒÝ ÐÓ ÓÛÝ Ó ÖÓÞ Þ ÛÙÑ ÒÓÛÝÑ Û ÓÑÓ ÓÒ ÐÒ ÓÖ ÐÓÛ ¹ Ò ØÓ ÞÒ ÞÝ Û Ô ÞÝÒÒ ÓÖ Ð ÛÝÒÓ ½ ÐÙ ¹½º ÈÓÒ Û Û Þ ÑÙ ÞÛÖÓØÓÛ Ò Ó ÔÓÛ Û ÞÝ ÞÛÖÓØ Ò Ó Ð Ø Ò Û Ô ÞÝÒÒ Ûݹ Ò Ù Ò ½º ÇÞÒ Þ ØÓ Þ Ö ÔÓÖØ Ð ØÓ Ð Ò ÔÖÓ Ø ÞÝÐ Û ÞÝ Ø ØÖÞÝ ÔÙÒ ØÝ Ð Ò Û Ô ÐÒ Ð Ò ÔÖÓ Ø º ÈÓÒ ØÓ Û ÑÝ Ô Ø Û ÒÝ ÞÝÐ ÓÔ Ò ØÝÛ µ ÑÓ ÑÝ ÔÖÞ Ø Û Ó ÔÓÖØ Ð ØÝÛ Û Û ÐÓÖÙ ÛÓÐÒ Ó Ó ÖÝÞÝ Û ÛÝÒ Ù Ö ÔÐ ¹ µº ÞÝÐ Ò Ø ÔÖÓ Ø Ð Ý Ö ÛÒ Û ÐÓÖ ÛÓÐÒÝ Ó ÖÝÞÝ Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ (0,R). ÔÓÖ ÛÒ Ò Û Ô ÞÝÒÒ Û ÖÙÒ ÓÛÝ ÔÖÓ ØÝ Þ Ý (0,R) Ó¹ Ð ÒÓ Þ(σ ke,µ ke ) (σ kd,µ kd ), ÓÖ Þ(σ ka,µ ka ) ÑÙ Þ ÓÒ Ý Ø Ñ Ó Ø ÑÝ ÛÒ Ó µ ke R σ ke = µ k D R σ kd = µ k A R σ ka. Ì Û Ð Ó ØÓ Ø ÞÛ Ò ÖÝÒ ÓÛ ÒÝ ÖÝÞÝ ÛÝÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ ØÖÞÝ Û ¹ ÐÓÖÝ E,D,Aº ÈÓ Þ Ð ÑÝ ØÓØÒÝ Ø ÌÛ Ö Þ Ò ¾º½½ Ï ÑÓ ÐÙ ÛÙÑ ÒÓÛÝÑ ÖÝÒ ÓÛ Ò ÖÝÞÝ ÓÔ ÙÔÒ Ø Ø Ñ ÖÝÒ ÓÛ Ò ÖÝÞÝ Û ÐÓÖÙ ÞÓÛ Óº ÌÓ ÑÓ Þ Ó Þ Ð Ò ØÖÙÑ ÒØÙ ÔÓ Ó Ò Ó Ó ÛÝÔ Ö Ò Û ÐÓÖÙ ÞÓÛ Ó ÓÔ ÙÔÒ º Ì Û ÒÓ Þ Ó Þ Ð ÓÛÓÐÒ Ó Ò ØÖÙÑ ÒØÙ ÔÓ Ó Ò Ó ÞÝÑ Þ Ñ ¹ ÑÝ ÔÓÒ º Â Ø ØÓ Ó ØÝÐ ØÓØÒ Þ ÓÒ Ô õò ÑÓØÝÛ ÛÝ ÒÝ Û ÝØÙ Þ ÔÖ Ù ÑÝ ÖÓÞÐÙõÒ Þ Ó Ò Ó ØÝÛ Ý Û Ó ÖÓ ÖÝÒ ÓÛÝѺ ¾º½º ÊÝÒ ÓÛ Ò ÖÝÞÝ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ò ÙØÖ ÐÒ ÛÞ Ð Ñ ÖÝÞÝ º Ð Ñ Ø Ó ÖÓÞ Þ Ù Ø ÞÖÓÞÙÑ Ò ÖÓÐ ÖÝÒ ÓÛ ÒÝ ÖÝÞÝ Û ÑÓ ÐÙ ÛÙÑ ÒÓÛÝѺ ÊÓÞÛ ÑÝ ÑÓ Ð Þ Ô Ö Ñ ØÖ Ñ ÞÛÖÓØ Ñ µu,d ÔÖÞÝ ÑÓ¹

¾¼ ÊÝÞÝ Ó ÃÖ ÝØÓÛ Û ÒÝÑ Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ñ p,1 p ÛÝÞÒ Þ ÝÑ ÞÑ ÒÒ ÐÓ ÓÛ { U k= D ØÓÔ ÛÓÐÒ Ó ÖÝÞÝ R. ÈÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ p = R D U D, E (k) = R, ÖÝÒ ÓÛ Ò ÖÝÞÝ ØÓ Ò Ñ Ö Ø ÔÖ Ó Ö Ø ÓÞÒ Þ Ò µ m= E(k) R σ k. ÃÓÖÞÝ Ø Þ Ò Û ÖØÓ ÓÞ Û Ò Û ÖÙÒ Ù E (k)=r Ð ÞÒ Ø Ó ÛÝÖ Ò ÑÓ ÑÝ Þ Ô Ø Ï ÑÝ E(k) R = pu+(1 p)d+p U+(1 p )D = (p p )(U D) σ k = p(1 p)(u D) Û ÔÓ Ø Û Ð ÞÒ Ñ ÒÓÛÒ Û Ò mñ ÑÝ m= p p p(1 p) ÞÝÐ p =p m p(1 p). Ç Ø ØÒ Û Ö ÛÒÓ ÔÓ ÞÙ ÛÝÐ ÞÝ ÖÝÒ ÓÛ Ò ÖÝÞÝ Ñ Ò ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ Ò ÙØÖ ÐÒ ÛÞ Ð Ñ ÖÝÞÝ Ò Ó ÛÖ Øº ÏÒ Ó ¾º½¾ Å Û Û ÐÓÖÝ Ò ÔÖÞÝ E DÞÔÓÔÖÞ Ò ÖÓÞÛ ÛÝÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ Ò ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛ Ò ÙØÖ ÐÒ ÛÞ Ð Ñ ÖÝÞÝ Ö ÛÒ ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý ÛÝÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ Ò ÖÝÒ ÓÛ ÒÝ ÖÝÞÝ Ö ÛÒ º ÞÝÐ Ò ÔÖÞÝ p D =pe md =m E.

¾º ÅÓ Ð ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ¾½ ÍÛ ¾º½ Ï ÑÓ ÐÙ Ð ¹Ë ÓÐ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ Ò ÙØÖ ÐÒ ÛÞ Ð Ñ ÖÝÞÝ ÛÝÞÒ ÞÓÒ Ø Þ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ñ ØÓ ÓÛÒ ØÓ M P (A)= MdP Ø Ö ÔÓ Ø ÛÝÞÒ ÞÓÒ Ø ÔÖÞ Þ ÖÝÒ ÓÛ Ò ÖÝÞÝ Û ÑÓ ÐÙ ÝѺ Ï ÑÓ ÐÙ ÛÙÑ ÒÓÛÝÑ ÑÓ ÑÝ ÔÓ Þ Ò ÐÓ ÞÒÝ Øº Æ Þ P Ø Ó Ö ÐÓÒ Ò Ω={u,d} ÞÝÐ A p = P ({u}), 1 p = P ({d}). ËÞÙ ÑÝ ÞÑ ÒÒ ÐÓ ÓÛ M Ó E(M)=1 Ø Ý P ({u}) = M u p P ({d}) = M d (1 p) Þ ÖAØÓ ÓÐ ÒÓ{u} ÓÖ Þ{d}). ÈÓÒ Û p =p m p(1 p) ØÓ ÑÓ ÑÝ ÛÝÐ ÞÝ Ø 1 p M u = 1 m p p M d = 1+m. 1 p ØÛÓ Û M u p+m d (1 p) = ( ( 1 p p 1 m )p+ 1+m )(1 p) p 1 p ÑÝ ÞÒ = p m (1 p)p+1 p+m p(1 p) = 1. 1 p M u = 1 m p = 1 Up+D(1 p) R p(1 p)(u D) 1 p p = 1 p(u D)+D R p(u D) R D = p(u D) >0 Ð R>Dº ÈÓ Ó Ò M d >0 Ð U>R. Ï ÖÙÒ D<R<U, Ö ÛÒÓÛ ÒÝ Ö ÓÛ Ö ØÖ Ù Û Ö ÒØÙ Ó ØÒ Ó M.

¾¾ ÊÝÞÝ Ó ÃÖ ÝØÓÛ ÈÓ ÑÝ Ø Ö Þ Ó ÐÒ Û Ö ÌÛ Ö Þ Ò ¾º½½º Ï ÐÓÖ ÞÓÛÝ Ø ÓÔ Ö¹ ØÝ Ò ÞÛÖÓØ U,D. ÊÓÞÛ ÑÝ ÓÛÓÐÒÝ Ò ØÖÙÑ ÒØ ÔÓ Ó ÒÝ ÞÝÐ ÓÛÓÐÒ ÞÑ ÒÒ ÐÓ ÓÛ H(T) ÓÔ Ù Ó ÛÝÔ Ø Û Û Ð T. Ï ÑÝ ÔÖ Û Ó¹ ÔÓ Ó ØÛÓ Ò ÙØÖ ÐÒ ÛÞ Ð Ñ ÖÝÞÝ p ÛÝÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ Û ÐÓÖ ÞÓÛÝ ÛÞ Ö Ò Ò Ø Ó Ò ØÖÙÑ ÒØÙ H(0)= 1 1+R E (H(T)). Ì Ò ÔÓÞÛ Ð Þ Ò ÓÛ ØÓÔÝ ÞÛÖÓØÙ ÒÛ ØÝ Û Ò ØÖÙÑ ÒØ ÔÓ Ó ÒÝ H: U H = Hu (T) H(0) H(0) D H = Hd (T) H(0) H(0) ÓÒ ÛÝÞÒ Þ ÔÖ Û ÓÔÓ Ó ØÛÓ Ò ÙØÖ ÐÒ ÛÞ Ð Ñ ÖÝÞÝ ÞÛ Þ Ò Þ H: p H = R U H U H D H ÌÛ Ö Þ Ò ¾º½  РH(T) ÔÖÞÝ ÑÙ Û Ö Ò Û ÖØÓ ØÓ p =p H. ÓÛ ÛÞÓÖÙ Ò H(0) Ñ ÑÝ H(0)(1+R) = E (H(T)) = p H u (T)+(1 p )H d (T) ÖÙ ØÖÓÒÝ R=p H U H +(1 p H )D H ÞÝÐ H(0)(1+R) = H(0)(1+p H U H+(1 p H )D H) = H(0)(1+p H H u (T) H(0) H(0) = p H Hu (T)+(1 p H )Hd (T) ÔÓ ÙÔÖÓ ÞÞ Ò º ÈÓÖ ÛÒÙ ÔÖ Û ØÖÓÒÝ Ó Ø ÑÝ +(1 p H ) Hd (T) H(0) ) H(0) p H u (T)+(1 p )H d (T)=p H H u (T)+(1 p H )H d (T)

¾º ÅÓ Ð ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ¾ ÞÝÐ p H u (T)+H d (T) p H d (T)=p H Hu (T)+H d (T) p H Hd (T) Û ÔÓ ÙÔÖÓ ÞÞ Ò Ù ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ù ÛÝÖ Þ Û ÔÓ Ó ÒÝ Ñ ÑÝ ( p H u (T) H d (T) ) =p H ( H u (T) H d (T) ) ÈÓÒ Û H u (T) H d (T) 0, ÑÓ ÑÝ ÙÔÖÓ Ó Ø ÑÝ Ø Þº ÏÒ Ó ¾º½ Æ ÔÓ Ø Û ÏÒ Ó Ù ¾º½¾ Ð H(T) ÔÖÞÝ ÑÙ Û Ö Ò Û ÖØÓ ØÓ ÖÝÒ¹ ÓÛ Ò ÖÝÞÝ Û ÐÓÖÙ ÞÓÛ Ó ÓÛÓÐÒ Ó Ò ØÖÙÑ ÒØÙ ÔÓ Ó Ò Ó Ó Ö ÛÒ º Ó Ò ÓH(T) ÓÞÒ Þ ÛÝ ÐÙÞ ÑÝ Ò ØÖÙÑ ÒØÝ ÔÓ Ó Ò Ø ÞÝÐ ÛÓÐÒ Ó ÖÝÞÝ º Æ Ø ØÓ Û ÒÝÑ ØÓÔÒ Ù Ó Ö Ò Þ º ¾º¾ Ù ÓÛ ÑÓ ÐÙ Ö Ð ØÝÞÒ Ó Ó Ò Ø Ö ÞÒ ÞÒ Ó Ò Û ÖØÓ ÓØÝ Þ ÔÖ Þ ÒØÓÛ Ò Ó ÑÓ ÐÙ ØÓ Þ Ó Ò ØÝÛ ÞÒ Ù Û Ó ÖÓ º Â Ø ÓÒÓ Ô Ò ÓÒ ÔÖ ØÝÞÒ ØÝÐ Ó ÔÖÞ Þ ÖÑ Ø Ö ÝÒÝÑ ØÝÛ Ñ Ô Ô ÖÝ Û ÖØÓ ÓÛ ÒÓØÓÛ Ò Ò Þ º ÇÔ Ý Ø ÓÖ ØÖÙ ØÙÖ ÐÒ ÞÒ Ù Û ÖØÝ Ù ÞÝ ¹ ÔÓ Ö Ð Ø Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖÓÔÓÒÙ Ò Ý Þ ÓÛ ÖÓÞÛ Þ Ò Ø Ö Ø Ö Þ ÔÖÞ Ø Û Ñݺ ¾º¾º½ ÈÖ ÖÓÞÐÙõÒ Ò Þ Ó ÈÖÞÝ ÑÙ ÑÝ ÔÙÒ Ø Û Þ Ò Ø ÖÝ Þ Ð Ñ ÒØÝ ÑÓ ÐÙ ÞÛ Þ Ò Þ ØÝÛ Ñ ÖÑÝ ØÝÐ Ó Ô Ö Ñ ØÖ Ñ Ø ÖÝ Ò ÞÒ ÑÝ Ý ØÝÛ Ò Û Ó Ù ÑÙ ÑÝ ÛÝÞÒ ÞÝ Ò ÔÓ Ø Û ÒÒÝ Û Ð Ó Ø ÖÝ Ó Ø ÖÞ ÖÝÒ º ÈÖÞÝÔÓÑÒ ÑÝ Û ÑÓ ÐÙ ÛÙÑ ÒÓÛÝÑ Ø Û Ð Ó ØÓ A(0),U A,D A,p. ÇÞÒ Þ ØÓ ÔÓØÖÞ Ù ÑÝ ÞØ Ö Ö ÛÒ Ý ÛÝÞÒ ÞÝ º ÅÓ Ò Ó Ö ¹ Ò ÞÝ Ó ØÖÞ Ô Ö Ñ ØÖ Û ÔÖÞÝ ÑÙ p= 1 2.