BADANIE EFEKTYWNOŚCI ALGORYTMÓW ROUTINGU ROZGAEŹNEGO W DU ZYCH SIECIACH

Maciej Piechowiak 1 Piotr Zwierzykowski Politechnika Poznańska Wydzia Elektroniki i Telekomunikacji Katedra Sieci Telekomunikacyjnych i Komputerowych ul. Piotrowo 3A, 60-965 Poznań {mpiech,pzwierz}@et.put.poznan.pl 2006 Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne Poznań 7-8 grudnia 2006 BADANIE EFEKTYWNOŚCI ALGORYTMÓW ROUTINGU ROZGAEŹNEGO W DU ZYCH SIECIACH Streszczenie: Artyku prezentuje wyniki badań algorytmów heurystyczych dla po aczeń rozga eźnych (multicast). Stanowi rozszerzenie poprzednich publikacji [1,2] poprzez zastosowanie struktur sieciowych mo zliwie wiernie odzwierciedlajacych rzeczywista topologie Internetu o du zej liczbie wez ów. W artykule wykorzystano podstawowe metody generowania topologii sieci metode Waxmana i metode Barabasi-Alberta. Zwrócono tak ze uwage na zale zności potegowe wystepujace miedzy parametrami opisuja- cymi globalna sieć. Przeprowadzono badania wydajności wspomnianych algorytmów w funkcji podstawowych parametrów sieci. 1. Wprowadzenie Multicasting jest sposobem transmisji miedzy wez em sieci stanowi acym źród o ruchu, a określon a grup a odbiorców. Istnieje zatem grupa urz adzeń w rzeczywistej sieci odbieraj acych identyczne dane w tym samym czasie. Technika multicast wymaga wydajnych algorytmów routingu, których zadaniem jest konstruowanie drzewa o minimalnym koszcie miedzy urz adzeniem-nadawc a, a grup a wez ów reprezentuj acych u zytkowników w sieci. Taki sposób komunikacji zapobiega zwielokrotnianiu pakietów w sieci wysy ane dane docieraj a tylko do tych wez ów (routerów), które prowadz a bezpośrednio do zdeniowanych odbiorców, cz onków grupy multicast. Je zeli sieć komunikacyjn a przedstawimy jako graf, to wynikiem dzia ania takiego algorytmu routingu bedzie drzewo rozpinaj ace zakorzenione w weźle nadawczym i obejmuj ace wszystkie wez y odbiorcze wchodz ace w sk ad grupy multicast. Z punktu widzenia optymalizacji struktury drzewa mo zna podzielić na: minimalne drzewo Steinera (MST ang. Minimum Steiner Tree) oraz drzewo najkrótszych ście zek miedzy wez em źród owym, a ka zdym z wez ów odbiorczych (SPT ang. Shortest Path Tree). Znalezienie minimalnego drzewa Steinera, bed ace problemem N P-zupe nym, prowadzi do struktury o minimalnym koszcie ca kowitym [3]. Literatura prezentuje szereg heurystyk rozwi azuj acych ten problem w czasie wielomianowym [4 6]. W kontekście transmisji danych w sieciach pakietowych najcześciej wymienia sie algorytm KMB, który pozwala uzyskać rozwi azania zbli zone 1 autor jest tak ze pracownikiem Instytutu Mechaniki Środowiska i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy do MST [4]. Algorytm umo zliwiaj acy wyznaczenie drzewa najkrótszych ście zek (SPT) minimalizuje koszt ka zdej ście zki miedzy nadawc a, a ka zdym z cz onków grupy multicast tworz ac drzewo ze ście zek o najmniejszym koszcie. W algorytmie tym stosuje sie algorytm Dijkstry lub Bellmana-Forda, a nastepnie odcina ga ezie drzewa, które nie zawieraj a wez ów odbiorczych [7, 8]. Zastosowanie techniki multicast ma du ze znaczenie w sieciach wykorzystuj acych multimedialne aplikacje wymagaj ace szybkiej i niezawodnej komunikacji (np. us uga triple-play). W celu zapewnienia wydajnej transmisji danych wymagane jest zdeniowanie maksymalnego opóźnienia pakietów w sieci miedzy wez em nadawczym, a ka zdym z odbiorców i utrzymywanie go na niezmiennym poziomie. Zjawisko uktuacji opóźnienia (jitter) jest w tym wypadku równie z niepo z adane. Z powodu wysokich wymagań jakościowych transmisji stawianych przez aplikacje multimedialne, algorytmy routingu powinny uwzgledniać dodatkowy parametr (metryke) sieci opóźnienie (d). Proces optymalizacyjny (konstruowanie drzewa multicast) powinien uwzgledniać tak ze maksymalne opóźnienie ( ) miedzy wez em nadawczym, a ka zdym z odbiorców. Parametry transmisji zapewniaj ace określon a jakość us ug w sieciach pakietowych (ang. Quality-of-Service) s a aktualnie przedmiotem badań projektantów algorytmów i protoko ów routingu. W [3, 4] udowodniono, ze znalezienie minimalnego drzewa multicast jest problemem N P-zupe nym dla jednego i wiecej parametrów QoS. Z tego wzgledu, w celu uzyskania akceptowalnej z o zoności obliczeniowej stosuje sie algorytmy heurystyczne zbli zaj ace sie do rozwi azania dok adnego. Badania algorytmów routingu na poziomie symulacji komputerowych wymagaj a implementowania sieci (grafów) odzwierciedlaj acych rzeczywist a topologie sieci Internet. St ad te z potrzeba rozszerzenia badań na du ze sieci (o kilku tysi acach wez ów) pojedyncze wez y sieci mog a wówczas reprezentować systemy autonomiczne (AS) [9]. Literatura potwierdza zale zności pomiedzy metod a generowania topologii sieci, a efektywności a algorytmów routingu [10]. Wielu autorów pomija ten wa zny aspekt badań powielaj ac przyjety standard dotycz acy generowania topologii sieci wykorzystywanych w symulacjach [11,12]. Przytoczone uwagi wp yne y na kierunek badań pro-

wadzonych przez autorów, których celem sta o sie opracowanie metodologii umo zliwiaj acej rzetelne porównanie istniej acych rozwi azań oraz propozycje w asnych algorytmów. W artykule przedstawiono dzia anie oraz porównano efektywność popularnych algorytmów heurystycznych w zale zności od parametrów topologii sieci oraz od modeli zastosowanych do generowania topologii. Rozdzia drugi deniuje model sieci, a rozdzia trzeci opisuje heurystyki uwzgledniaj ace opóźnienie: KPP (Kompella, Pasqualle, Polyzos) [12], CSPT (ang. Constrained Shortest Path Tree) [5], BSMA i DCMA. Rozdzia czwarty przedstawia metody generowania struktur reprezentuj acych badan a topologie sieci (model Waxmana i Barabasi-Alberta) i wyjaśnia istnienie zale zności potegowych miedzy pewnymi parametrami opisuj acymi sieć Internet. Deniuje tak ze podstawowe parametry sieci. Rozdzia pi aty zawiera wyniki symulacji zaimplementowanych algorytmów i ich interpretacje. 2. Model sieci Za ó zmy, ze sieć komunikacyjna reprezentowana jest jako skierowany, spójny graf N = (V, E), gdzie V jest zbiorem wez ów, a E - zbiorem aczy miedzy wez ami sieci. Istnienie acza e = (u, v) miedzy wez em u i v poci aga za sob a istnienie acza e = (v, u) dla dowolnych u, v V (odpowiednik aczy dwukierunkowych w sieciach komunikacyjnych). Z ka zdym aczem e E skojarzone s a dwa parametry: koszt C(e) oraz opóźnienie D(e). Koszt po aczenia reprezentuje wykorzystanie zasobów acza. C(e) jest zatem funkcj a wielkości ruchu w danym aczu i pojemności bufora wymaganej dla tego ruchu. Opóźnienie w aczu z kolei jest sum a opóźnień wprowadzanych przez propagacje w aczu, kolejkowanie i prze aczanie w wez ach sieci. Grupa multicast jest zbiorem wez ów bed acych odbiorcami ruchu grupowego (identykacja odbywa sie na podstawie unikalnego adresu i), G = {g 1,..., g n } V, gdzie n = G V. Weze s V jest źród em dla grupy multicast G. Drzewo multicast T (s, G) E jest drzewem zakorzenionym w weźle źród owym s i obejmuj acym wszystkich cz onków grupy G. Ca kowity koszt drzewa T (s, G) mo zna określić jako t T (s,g) C(t). Ście zka P (s, G) T (s, G) jest zbiorem aczy miedzy s a g G. Koszt ście zki P (s, G) mo zna przedstawić jako p P (s,g) C(p), natomiast opóźnienie mierzone miedzy pocz atkiem i końcem ście zki: p P (s,g) D(p). St ad te z maksymalne opóźnienie w drzewie mo zna wyznaczyć jako max g G [ p P (s,g) D(p)]. Drzewo Steinera jest dobr a reprezentacj a rozwi azania problemu routingu multicast. Takie podejście nabiera szczególnego znaczenia, gdy mamy do czynienia tylko z jedn a aktywn a grup a multicast, a koszt ca ego drzewa ma być minimalny. Ze wzgledu jednak na z o zoność obliczeniow a tego algorytmu (problem N P-zupe ny) [3] stosuje sie algorytmy heurystyczne. Je zeli zbiór wez ów minimalnego drzewa Steinera zawiera wszystkie wez y danej sieci, wtedy problem sprowadza sie do znalezienia minimalnego drzewa rozpinaj acego (rozwi azanie to mo zna uzyskać w czasie wielomianowym). 3. Reprezentatywne algorytmy heurystyczne Algorytmy z ograniczeniami (ang. constrained) s a heurystykami wyznaczaj acymi minimalne drzewa multicast z u zyciem dodatkowego parametru - opóźnienia ( ) na o zonego na ka zde acze w sieci. Algorytm KPP [12] wyznacza w pierwszym kroku podgraf sk adaj acy sie z wez a źród owego i grupy wez ów odbiorczych. Ka zde acze w tym grae pe nym reprezentuje nakrótsz a ście zke miedzy danymi wez ami w gra- e oryginalnym N. Nastepnie algorytm wyznacza drzewo rozpinaj ace o najmniejszym koszcie z uwzglednieniem warunku na o zonego na opóźnienie ( ). W końcowej fazie KPP zastepuje krawedzie wyznaczonego drzewa ście zkami z grafu oryginalnego N i usuwa z grafu cykle z u zyciem algorytmu Prima. Z o zoność czasowa algorytmu KPP wynosi O( V 2 ). Algorytm CSPT (ang. Constrained Shortest Path Tree) jest heurystyk a buduj ac a drzewo o minimalnym koszcie miedzy nadawc a, a ka zdym z wez ów odbiorczych [5]. Jeśli opó znienie wzd u z ca ej ście zki przekroczy wartość, wtedy ście zka wyznaczana jest na nowo z u zyciem parametru opóźnienia. Zatem w pierwszym kroku algorytmu wyznaczane jest drzewo LC o minimalnym koszcie (ang. least-cost) dla ście zek spe niaj acych wymagania QoS, a w drugim drzewo LD o minimalnym opóźnieniu (ang. least-delay) dla pozosta ych ście- zek. Końcowy etap to na o zenie obydwu rozwi azań i usuniecie ewentualnych cykli w grae. Z o zoność obliczeniowa pierwszych kroków jest zbli zona do z o zoności Dijkstry wynosi O( V 2 ), a z o zoność ostatniego kroku wynosi O(V ) [5]. Algorytm DCMA (ang. Fast Delay-Constrained Multicast Routing Algorithm) [13] jest algorytmem heurystycznym, który wyznacza drzewo dla po aczeń rozga eźnych o niskim koszcie z zachowaniem wymagań dotycz acych maksymalnego opóźnienia. W celu uproszczenia obliczeń, algorytm wykorzystuje informacje o topologii sieci uzyskiwane za pomoc a protoko u routingu OSPF. Wynikiem dzia ania algorytmu jest ście zka powsta a w wyniku dodania do siebie ście zki minimalnego kosztu P LC (s, v) i ście zki minimalnego opóźnienia P LD (v, g i ). Dobór wez a pośredniego v zapewnia zachowanie maksymalnego opóźnienia wzd u z ście zki. Z o zoność czasowa algorytmu wynosi O(m log m + V ). Algorytm BSMA [14] równie z wyznacza drzewo minimalnego kosztu z zachowaniem wymagań dotycz acych maksymalnego opóźnienia. Ca kowity koszt drzewa skontruowanego przez algorytm BSMA jest porównywalny z drzewem konstruowanym przez KPP. Z o zoność obliczeniowa algorytmu wynosi O(kV 3 log V ), gdzie k jest średni a liczb a ście zek konieczn a do zbudowania ście zki o ograniczonym opóźnieniu. Ponadto, do dzia ania algorytmu konieczne jest, aby weze źród owy posiada informacje o ca ej topologii sieci, co uniemo zliwia praktyczne implementacje. 4. Topologia sieci Internet Internet jest zbiorem hostów po aczonych sieci a sk adaj ac a sie z aczy i routerów. Takie spojrzenie na sieć atwo przenieść na graf jako strukture opisu rzeczywi-

stej sieci. Wspó czesny Internet jest zbiorem po aczonych ze sob a domen, czyli zgrupowanych wez ów sieci (routerów), które objete s a wspóln a administracj a i wspó dziel a informacje o routingu. Internet sk ada sie z tysiecy takich domen administracyjnych, z których ka zda zawiera przynajmniej jeden system autonomiczny (AS). Mo zna zatem generować syntetyczne struktury odzwierciedlaj ace topologie rzeczywistej sieci Internet. A. Metody generowania topologii sieci W badaniach efektywności algorytmów routingu czesto stosuje sie metode generowania grafów losowych zaproponowan a przez Waxmana [15], która deniuje prawdopodobieństwo krawedzi miedzy wez em u i v jako: P (u, v) = αe d βl (1) gdzie 0 < α, β 1, d jest odleg ości a euklidesow a miedzy wez em u i v, a L jest maksymaln a odleg ości a miedzy dwoma dowolnymi wez ami. Zwiekszenie parametru α powoduje wzrost liczby krawedzi w grae, podczas gdy zwiekszenie parametru β zwieksza stosunek krawedzi d ugich do krótkich. Inne podejście do problemu zaproponowa Barabasi [16]. Proponowany model sugeruje dwie przyczyny wystepowania zale zności potegowych (power laws) w rozk adzie liczby krawedzi wychodz acych z danego wez a: stopniowy wzrost sieci oraz preferencyjne przy aczanie. Wzrost sieci wynika z przy aczania nowych wez ów do istniej acej struktury co powoduje stopniowe zwiekszanie rozmiaru sieci, przy czym przy aczanie to odbywa sie w sposób preferencyjny istnieje wieksze prawdopodobieństwo, ze nowy weze po aczy sie z istniej acymi wez ami o du zym stopniu wez a (wez y popularne). Je zeli weze u przy acza sie do sieci, prawdopodobieństwo, ze po aczy sie z wez em v (nale z acym ju z do niej) określa zale zność: P (u, v) = d v k V d k gdzie d v jest stopniem wez a docelowego, V jest zbiorem wez ów przy aczonych do sieci, a k V d k jest sum a wszystkich krawedzi wychodz acych wez ów ju z przy aczonych do sieci. W celu zastosowania obu metod wykorzystano aplikacje BRITE (Boston university Representative Internet Topology generator) [17] jako narzedzie generuj ace rzeczywiste topologie sieci. Rysunek 1 pokazuje typowe topologie wygenerowane z wykorzystaniem metody Waxmana i Barabasi-Alberta (w metodzie B-A (Rys. 1b) wyraźnie widoczne s a wez y preferowane). Przyjeto model sieci, której wez y rozmieszczono losowo na siatce kwadratowej o rozmiarach 1000 1000. Dla metody Waxmana przyjeto domyślne wartości parametrów α i β (α = 0, 15, β = 0, 2). Ka zde acze w sieci posiada metryke zwan a kosztem c(u, v) (wyznaczan a jako odleg ość euklidesowa miedzy wez ami zawieraj acymi to acze) oraz wynikaj ace z odleg ości euklidesowej miedzy wez ami - opóźnienie d(u, v). Oznacza to, ze dla celów symulacji, ka zde acze w sieci posiada dwa parametry (metryki): koszt i opóźnienie. (2) B. Parametry topologii sieci W celu uzale znienia wyników badanych algorytmów po aczeń rozga eźnych od topologii sieci, nale zy najpierw zdeniować podstawowe parametry wykorzystywanych struktur: średni stopień wez a (ang. average node degree): D av = 2k n gdzie n - liczba wez ów, k - liczba krawedzi, średnica (ang. diameter) - jest d ugości a najd u zszej spośród najkrótszych ście zek miedzy dwoma dowolnymi wez ami w grae; ma a średnica odpowiada krótszym ście zkom w grae, hop-diameter - jest d ugości a najd u zszej spośród najkrótszych ście zek miedzy dwoma dowolnymi wez ami w grae, przy czym najkrótsze ście zki s a wyznaczane i oceniane na podstawie liczby skoków (ang. hops) czyli krawedzi wchodz acych w sk ad tej ście zki (koszt jednostkowy), length-diameter - jest d ugości a najd u zszej spośród najkrótszych ście zek miedzy dwoma dowolnymi wez ami w grae, przy czym najkrótsze ście zki wyznaczane s a z u zyciem d ugości euklidesowej jako metryki, wspó czynnik grupowania (ang. clustering coefcient) γ v wez a v jest stosunkiem liczby aczy miedzy wez em v, a wez ami s asiednimi do liczby mo zliwych aczy miedzy wez ami s asiaduj acymi [18]. Innymi s owy, jeśli przez Γ(v) oznaczymy s asiedztwo wez a v (bed ace podgrafem zawieraj acym s asiaduj ace wez y), s uszna bedzie poni zsza zale zność: γ v = E(Γ(v)) ( kv2 ) = E(Γ(v)) k v (k v 1) Wartość średni a wspó czynnika grupowania wyznacza sie nastepuj aco: γ = 1 γ v (5) V v V Powy zsza zale zność jest spe niona, gdy k v 2. Niech V (1) V oznacza zbiór wez ów o stopniu równym 1. Uwzgledniaj ac ten warunek [19, 20]: ˆγ = 1 V V (1) (3) (4) γ v (6) v V Innym wa zny parametr, od którego uzale zniona jest efektywność badanych algorytmów, to liczba wez ów multicast (cz onków grupy), oznaczana jako m. C. Zale zności potegowe W pracach [19, 20] wykazano, ze topologia wspó czesnego Internetu wykazuje zale zności (prawa) potegowe postaci y x α. Zale zność ta jest szczególnie widoczna na poziomie systemów autonomicznych (AS). Wyk adnik potegi α mo ze być u zyty do charakteryzowania badanego grafu. W tym celu zaproponowano nowe metryki grafowe. Czestotliwość f d stopnia wez a d jest liczb a wez ów, które posiadaj a stopień wez a (outdegree) o wartości d. Je zeli wez y w grae zostan a uporz adkowane zgodnie z malej ac a wartości a stopnia wez a, wtedy rzad

koszt drzewa multicast 210000 190000 170000 150000 130000 110000 90000 CSPT/DCMA (Waxman) CSPT/DCMA (Barabasi) 70000 KPP/BSMA (Waxman) KPP/BSMA (Barabasi) 50000 500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900 2100 2300 2500 liczba węzłów sieci (n ) (a) koszt drzewa multicast 320000 270000 220000 170000 120000 CSPT/DCMA (Waxman) CSPT/DCMA (Barabasi) KPP/BSMA (Waxman) KPP/BSMA (Barabasi) 70000 200 300 400 500 600 700 800 liczba węzłów w grupie (m ) (b) Rys. 1. Ca kowity koszt drzewa multicast w funkcji liczby wez ów sieci n (a) i liczby wez ów w grupie m (b) z uwzglednieniem metody generowania sieci (n=1000, m = 300, D av =4, = 10) (rank), oznaczany jako r v, jest indeksem wez a v w tak ustalonej sekwencji. Z u zyciem powy zszych parametrów sieci mo zna zdeniować nastepuj ace zale zności potegowe: stopień wez a v (d v ) jest proporcjonalny do rzedu wez a v (r v ) podniesionego do potegi R: d v r R v (7) czestotliwość (f d ) stopnia wez a d jest proporcjonalna do stopnia wez a podniesionego do potegi O: f d d O (8) Dla powy zszych metryk sporz adza sie charakterystyki badanych topologii wykreślaj ac pary (r v, d v ) oraz (d, f d ) w skali logarytmicznej. Przytoczone rozwa zania prowadzone by y w oparciu o analize rzeczywistej topologii sieci Internet, któr a prowadzono w National Laboratory for Applied Network Research (USA), gromadz ac informacje z tablic routingu routerów BGP przez dedykowany do tego celu serwer. Na bazie tych danych i zdeniowanych zale zności potegowych zaproponowano heurystyczny generator topologii Inet. Badania porównawcze przeprowadzone przez autorów projektu [9] wykaza y istnienie zale zności potegowych tak ze w modelach generowanych przez aplikacje BRITE (wykorzystuj ac metode Barabasi-Alberta), co świadczy o przydatności tej metody w badaniach symulacyjnych. Z tego wzgledu kolejne badania autorów bed a dotyczy y wykorzystania struktur otrzymanych z generatora Inet do badań efektywności algorytmów rozg eźnych. 5. Wyniki badań Przeprowadzone badania dotycz a wp ywu parametrów topologii sieci na wydajność prezentowanych algorytmów heurystycznych dla po aczeń rozga eźnych. Badania przedstawione na Rys. 1 prezentuj a porównanie algorytmów KPP, CSPT, BSMA i DCMA (ca kowity koszt drzewa konstruowanego przez ka zdy z algorytmów) w zale zności od liczby wez ów w sieci n oraz liczby cz onków grupy m (wez ów odbiorczych). Koszt na o zony na ka zde acze w sieci (metryka) jest odleg ości a euklidesow a miedzy danymi wez ami. Wykresy przedstawione na Rys. 1 pokazuj a, ze algorytmy KPP i BSMA pozwalaj a konstruować drzewa multicast o najmniejszym koszcie przy wykorzystaniu struktur sieciowych uzyskanych metod a Waxmana. W kontekście zastosowanej metodologii badań (5 serii po 1000 pomiarów), algorytmy CSPT i DCMA oraz KPP i BSMA zwraca y niemal identyczne wyniki. W przypadku metody Barabasi, efektywność algorytmu KPP jest gorsza od prostego algorytmu CSPT, który wykorzystuje sieci generowane metod a Waxmana (mimo, ze implementowana sieć posiada t a sam a liczbe wez ów i aczy). Ten wa zny wniosek wskazuje kierunek dalszych badań, które powinny uwzgledniać tak ze wp yw innych parametrów sieci (np. sposób generowania parametrów aczy) w celu opracowania rzetelnej metodologii porównywania istniej acych i nowych algorytmów. W kolejnym etapie wprowadzono wspó czynnik jakości δ określaj acy procentowy wzrost kosztu drzewa w zale zności od zastosowanego algorytmu i metody generacyjnej w stosunku do rozwi azania minimalnego (algorytm KPP wykorzystuj acy metode Waxmana): δ = C h C min C min 100 [%] (9) gdzie C h jest kosztem drzewa generowanego przez badan a heurystyke, a C min jest kosztem drzewa minimalnego (KPP). W Tabeli 1 przedstawiono wyniki obliczeń z wykorzystaniem powy zszego wzoru. Warto zauwa zyć, ze dla tego samego algorytmu wyniki mog a sie ró znić o ponad 60% (w zale zności od metody generowania topologii sieci). Wyniki prezentowanych algorytmów (ca kowity koszt drzewa multicast) uzale znione zosta y tak ze od pozosta ych parametrów sieci: średnicy (hop-diameter i length-diameter) oraz wspó czynnika grupowania (ˆγ). Badania te przeprowadzono dla sta ej liczby wez ów i stopnia grafu (n = 1000, m = 300, D av = 4). Parametry te nie s a przekazywane w pliku konguracyjnym aplikacji BRITE w sposób bezpośredni, lecz wyznaczane dla ka zdej wygenerowanej struktury. Wyniki przedstawione na Rys. 3 jednoznacznie wskazuj a, ze koszt generowanych przez algorytmy rozwi azań nie zale zy od wspó czynnika grupowania ˆγ (przy tym samym rozmiarze sieci).

rozkład średnic sieci [%] 100 90 80 70 60 50 40 30 20 Waxman Barabasi rozkład średnic sieci [%] 100 90 80 70 60 50 40 30 20 Waxman Barabasi 10 10 0 4 5 6 7 0 6 7 8 średnica hop-diameter średnica hop-diameter (a) (b) Rys. 2. Porównanie rozk adu średnic (hop-diameter) sieci o 40 wez ach (a) i 1000 wez ach (b) koszt drzewa multicast 180000 170000 160000 150000 140000 130000 120000 CSPT/DCMA (Waxman) 110000 CSPT/DCMA (Barabasi) 100000 KPP/BSMA (Waxman) KPP/BSMA (Barabasi) 90000 1,06 1,1 1,14 1,18 1,22 1,26 1,3 1,34 współczynnik grupowania (γ ) Rys. 3. Ca kowity koszt drzewa multicast w funkcji wspó czynnika grupowania ˆγ (n = 1000, m = 300, D av = 4) Porównanie obydwu metod generacyjnych pozwala zauwa zyć, ze generowane metod a Barabasi-Alberta struktury cechuj a sie wiekszymi wartościami wspó czynnika grupowania (1,28 1,36) w stosunku do metody Waxmana (1,06 1,12). Ta obserwacja potwierdza wcześniejsze badania [18] prowadz ace do wniosku, ze w Internecie równie z wystepuje zjawisko ma ego świata (ang. small world phenomenon). Szczególnie dotyczy to analizy sieci na poziomie systemów autonomicznych (AS). Wniosek ten pozwala na wskazanie modelu Barabasi-Alberta jako metody znacznie lepiej odzwierciedlaj acej topologie rzeczywistej sieci. Badanie to pozwala tak ze stwierdzić, ze ten sam algorytm generuje rozwi azania o mniejszym koszcie przy zastosowaniu struktur generowanych z u zyciem metody Waxmana. n metoda Waxmana metoda Barabasi KPP/BSMA CSPT/DCMA KPP/BSMA CSPT/DCMA 500 22% 62% 91% 1000 26% 59% 86% 1500-27% 55% 79% 2000 28% 54% 77% 2500 28% 52% 72% Tabela. 1. Procentowy wzrost kosztu drzewa dla ró znych algorytmów w stosunku do rozwi azania minimalnego (n = 500... 2500, m = 300, D av = 4) Prezentowane w Tabeli 1 wyniki odpowiadaj a kosztom drzew uzyskanych w wyniku dzia ania badanych algorytmów zarówno algorytm KPP, jak i CSPT, generuj a drzewa o mniejszych kosztach przy wykorzystaniu metody Waxmana do modelowania sieci. Oznacza to, ze prowadz ac badania mo zna uzyskać drzewa o ni zszym koszcie tak ze jako wynik zastosowania metody generacyjnej, która dopuszcza wieksz a ró znorodność struktur sieci, a nie tylko jako wynik zastosowania bardziej wydajnego algorytmu routingu [2]. W czasie eksperymentów symulacyjnych uwzgledniano 95% przedzia y ufności wyznaczone zgodnie z rozk adem t Studenta dla pieciu serii (1000 struktur w ka zdej serii). 6. Podsumowanie W artykule przedstawiono i porównano reprezentatywne algorytmy routingu dla po aczeń rozga eźnych, k ad ac nacisk na jakość modelu sieci (dok adność odzwieciedlenia rzeczywistej topologii Internetu). Dlatego te z skorzystano z narzedzia jakim jest generator topologii BRITE [17]. W celu analizy efektywności reprezentatywnych algorytmów heurystycznych zbadano ich zale zność od parametrów określaj acych topologie sieci. Wyniki badań pozwalaj a stwierdzić, ze koszt konstruowanego drzewa zale zy nie tylko od wydajności samego algorytmu routingu, ale równie z od zastosowanej metody generowania topologii sieci. Porównuj ac wartości kosztów konstruowanych drzew multicast uzyskane dla wspomnianych metod mo zna zauwa zyć, ze model Barabasi-Alberta, mimo ze wierniej odzwierciedla topologie sieci Internet, pozwala na konstrowanie drzew multicast o wiekszym koszcie. Badania dla sieci o kilku tysi acach wez ów modeluj a rzeczywist a sieć Internet na poziomie systemów autonomicznych (AS) i stanowi a kolejny krok w badaniach autorów zmierzaj acych do zdeniowania metodologii testowania algorytmów heurystycznych dla po aczeń rozga- eźnych w sieciach pakietowych.

SPIS LITERATURY [1] M. Piechowiak and P. Zwierzykowski, The Application of Network Generation Methods in the Study of Multicast Routing Algorithms, Fourth International Working Conference on Performance Modelling and Evaluation of Heterogeneous Networks, pp. 24/1 24/8, September 2006. [2], The Inuence of Network Topology on the Efciency of QoS Multicast Heuristic Algorithms, in 5th International Symposium: Communication Systems Networks and Digital Signal Processing, 2006, pp. 115 119. [3] R. Karp, Reducibility among combinatorial problems, Complexity of Computer Computations, pp. 85 104, 1972. [4] L. Kou, G. Markowsky, and L. Berman, A fast algorithm for Steiner trees, Acta Informatica, no. 15, pp. 141 145, 1981. [5] J. S. Crawford and A. G. Waters, Heuristics for ATM Multicast Routing, Proceedings of 6th IFIP Workshop on Performance Modeling and Evaluation of ATM Networks, pp. 5/1 5/18, July 1998. [6] Q. Sun and H. Langendoerfer, Efcient Multicast Routing for Delay-Sensitive Applications, in Proceedings of the 2-nd Workshop on Protocols for Multimedia Systems (PROMS'95), October 1995, pp. 452 458. [7] E. Dijkstra, A note on two problems in connexion with graphs, Numerische Mathematik, vol. 1, pp. 269 271, 1959. [8] R. Bellman, On a routing problem, Quarterly of Applied Mathematics, vol. 16, no. 1, pp. 87 90, 1958. [9] Q. C. C. Jin and S. Jamin, Inet: Internet topology generator, University of Michigan at Ann Arbor, Technical Research Report CSE- TR-433-00, 2000. [10] E. W. Zegura, M. J. Donahoo, and K. L. Calvert, A Quantitative Comparison of Graph-based Models for Internet Topology, IE- EE/ACM Transactions on Networking, 1997. [11] M. F. Mokbel, W. A. El-Haweet, and M. N. El-Derini, A delay constrained shortest path algorithm for multicast routing in multimedia applications, in Proceedings of IEEE Middle East Workshop on Networking. IEEE Computer Society, 1999. [12] V. P. Kompella, J. Pasquale, and G. C. Polyzos, Multicasting for Multimedia Applications, in INFOCOM, 1992, pp. 2078 2085. [13] B. Zhang, M. Krunz, and C. Chen, A fast delay-constrained multicast routing algorithm, IEEE ICC 2001 Conference, Helsinki, Finland, 2001. [14] Q. Zhu, M. Parsa, and J. J. Garcia-Luna-Aceves, A source-based algorithm for delay-constrained minimum-cost multicasting, in INFOCOM '95: Proceedings of the Fourteenth Annual Joint Conference of the IEEE Computer and Communication Societies (Vol. 1)-Volume. IEEE Computer Society, 1995, p. 377. [15] B. Waxmann, Routing of multipoint connections, IEEE Journal on Selected Area in Communications, vol. 6, pp. 1617 1622, 1988. [16] A. L. Barabasi and R. Albert, Emergence of scaling in random networks, Science, pp. 509 512, 1999. [17] A. Medina, A. Lakhina, I. Matta, and J.Byers, BRITE: An Approach to Universal Topology Generation, IEEE/ACM MASCOTS, pp. 346 356, 2001. [18] D. J. Watts and S. H. Strogatz, Collective dynamics of 'smallworld' networks, Nature, vol. 12, no. 393, pp. 440 442, 1998. [19] M. Faloutsos, P. Faloutsos, and C. Faloutsos, On Power-Law Relationships of the Internet Topology, ACM Computer Communication Review, Cambridge, MA, pp. 111 122, 1999. [20] T. Bu and D. Towsley, On distinguishing between Internet power law topology generators, in In Proceedings of INFOCOM, 2002.