Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa Probability theory Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba godzin/tydzień: W E, C Semestr: III Liczba punktów: 6 ECTS PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU C1. Przedstawienie studentom teorii rachunku prawdopodobieństwa jako teorii matematycznej. C. Wskazanie studentom związku teorii prawdopodobieństwa z praktyką modelowania zjawisk losowych i podejmowania decyzji w warunkach niepewności. WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Wiedza z podstaw teorii zbiorów i algebry liniowej.. Wiedza z zakresu analizy matematycznej I, II i III. EFEKTY KSZTAŁCENIA EK 1 potrafi zdefiniować podstawowe pojęcia oraz sformułować podstawowe twierdzenia z zakresu rachunku prawdopodobieństwa, EK wymienia najważniejsze klasy rozkładów prawdopodobieństwa i potrafi scharakteryzować zjawiska rzeczywiste których modelami mogą być te rozkłady, EK 3 potrafi przeanalizować związki pomiędzy podwektorami wektorów losowych, znaleźć ich rozkłady oraz wyprowadzać rozkłady funkcji od zmennych losowych w typowych sytuacjach,
EK 4 potrafi obliczyć i interpretować podstawowe liczbowe charakterystyki zmiennych i wektorów losowych. TREŚCI PROGRAMOWE Forma zajęć WYKŁADY Liczba godzin W 1 Wstęp. Elementy teorii miary (ciała zbiorów, funkcje zbiorów, definicja miary). W Klasyfikacja miar. Przykłady miar. Funkcje mierzalne. W 3 Definicja całki względem miary. Kryteria całkowalności, twierdzenia Lebesguea, Lemat Fatou. W 4 Absolutna ciągłość miar. Pochodna Radona-Nikodyma, gęstość miary. Przykłady. Równoważne rodziny miar. W 5 Przestrzenie probabilistyczne, aksjomatyka Kołmogorowa. Prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń. W 6 Wzór Bayesa. Prawdopodobieństwo całkowite. Prawo zero-jedynkowe Kołmogorowa, Lemat Borella-Cantelliego. W 7 Zmienna losowa, rozkład zmiennej losowej, dystrybuanta, liczbowe charakterystyki zmiennej losowej. Funkcje charakterystyczne. W 8 Obliczanie charakterystyk rozkładów w typowych sytuacjach. W 9 Ważne klasy rozkładów prawdopodobieństwa w modelowaniu zjawisk rzeczywistych. W 10 Wektory losowe, dystrybuanta wielowymiarowa. Rozkłady łączne, brzegowe. Niezależność zmiennych losowych. W 11 Warunkowe wartości oczekiwane zmiennych losowych. Rozkłady warunkowe. W 1 Liczbowe charakterystyki rozkładów wektorów (Macierz kowariancji, współczynniki korelacji-ich rodzaje i interpretacja). Wielowymiarowy rozkład normalny. W 13 Rozkłady funkcji wektorów losowych. Rozkład sumy i różnicy zmiennych losowych. Sploty rozkładów. Nierówności Markowa, Czebyszewa i Kołmogorowa. W 14 Ciągi zmiennych losowych, rodzaje zbieżności. Słabe prawa wielkich liczb i mocne prawa wielkich liczb. W 15 Centralne twierdzenia graniczne. Forma zajęć ĆWICZENIA Liczba
godzin C 1 Istota rachunku prawdopodobieństwa. Interpretacje prawdopodobieństwa. Klasyczna i geometryczna definicja prawdopodobieństwa. C Elementy kombinatoryki w klasycznym rachunku prawdopodobieństwa. C 3 Ciała i σ-ciała zbiorów. Sprawdzanie mierzalności funkcji. Konstrukcje funkcji mierzalnych w prostych przypadkach. C 4 Całkowanie funkcji mierzalnych, stosowanie poznanych kryteriów. Dowodzenie prostych faktów związanych z całką Lebesguea. C 5 Rozkłady absolutnie ciągłe wz. miary i liczącej i wzg. miary Lebesqua. Własności gęstości miar unormowanych. C 6 Podstawowych wzory rachunku prawdopodobieństwa i ich zastosowania. C 7 Kolokwium. C 8 Dystrybuanty i gęstości. C 9 Obliczanie i interpretacja charakterystyk rozkładu. C 10 Ważne klasy rozkładów prawdopodobieństwa. C 11 Rozkłady łączne, brzegowe - związki. C 1 Warunkowe wartości oczekiwane zmiennych losowych. C 13 Rozkłady funkcji wektorów losowych. C 14 Nierówności Markowa, Czebyszewa i Kołmogorowa. Twierdzenia graniczne. C 15 Kolokwium. NARZĘDZIA DYDAKTYCZNE 1. wykład z wykorzystaniem prezentacji multimedialnych. materiały wykładowe w wersji elektronicznej 3. zestawy zadań do samodzielnego rozwiązania 4. ćwiczenia audytoryjne
SPOSOBY OCENY ( F FORMUJĄCA, P PODSUMOWUJĄCA) F1. ocena przygotowania do ćwiczeń oraz aktywności studenta F. ocena z kontrolowanej pracy własnej P1. ocena umiejętności rozwiązywania postawionych problemów oraz sposobu prezentacji uzyskanych wyników dwa kolokwia zaliczeniowe na ocenę P. ocena opanowania materiału nauczania będącego przedmiotem wykładu egzamin sprawdzający opanowanie treści i umiejętności przekazywanych podczas wykładu OBCIĄŻENIE PRACĄ STUDENTA Forma aktywności Godziny kontaktowe z prowadzącymi Zapoznanie się ze wskazaną literaturą Przygotowanie do ćwiczeń Przygotowanie do kolokwiów Obecność na konsultacjach Przygotowanie do egzaminu Obecność na egzamine Suma SUMARYCZNA LICZBA PUNKTÓW ECTS DLA PRZEDMIOTU Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału prowadzącego Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym Średnia liczba godzin na zrealizowanie aktywności 30W 30C 60 h 0 h 3 h 0 h 5 h 0 h h 150 h 6 ECTS,7 ECTS 3,1 ECTS LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, SCRIPT, Warszawa 001 P. Billinglsey, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, Warszawa 1987
A. Borowkow, Rachunek prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa 1975 W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t. I i II, PWN, Warszawa 1980 A. Plucińska A., E. Pluciński, Probabilistyka, WNT, Warszawa 009 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, cz. I, PWN, Warszawa, wydanie 1994 lub nowsze M. Fisz, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, 1969. PROWADZĄCY PRZEDMIOT ( IMIĘ, NAZWISKO, ADRES E-MAIL) 1. dr hab. Michał Matałycki, prof zw. m.matalytski@gmail.com. dr inż. Andrzej Grzybowski andrzej.grzybowski@im.pcz.pl MATRYCA REALZACJI I WERYFIKACJI EFEKTÓW KSZTAŁCENIA Efekt kształcenia EK1 EK Odniesienie danego efektu do efektów zdefiniowanych dla kierunku Matematyka K_W01 K_W0 K_U01 K_U0 K_U06 K_U14 K_U3 K_U30 K_U31 K_U3 K_U33 K_W01 K_W0 K_W04 K_U01 K_U30 K_U31, Cele przedmiotu C1,C, C3 C, C3 Treści programowe W1-15 C1-15 W9-1 C10-1 Narzędzia dydaktyczne 1-4 1-4 Sposób oceny F1 F P1 P F1 F P1 P
EK3 K_U01 K_U16 K_U30 K_U31 C1, C, C3 W10-13 C11-13 1-4 F1 F P1 P EK4 K_U01 K_U30 K_U31 C, C3 W8,9,1,13 C9,10,1,13 1-4 F1 F P1 P II. FORMY OCENY - SZCZEGÓŁY Na ocenę Na ocenę 3 Na ocenę 4 Na ocenę 5 EK 1 Umie mniej niż na ocenę dst. Potrafi zdefiniować podstawowe pojęcia oraz sformułować podstawowe twierdzenia z zakresu rachunku prawdopodobieństwa. Potrafi zdefiniować większość pojęć oraz sformułować większość twierdzeń z zakresu rachunku prawdopodobieństwa. Potrafi zdefiniować większość pojęć oraz sformułować większość twierdzeń z zakresu rachunku prawdopodobieństwa. Dodatkowo potrafi także udowodnić wybrane twierdzenia.
EK Umie mniej niż na ocenę dst. Zna wszystkie klasy rozkładów wprowadzone na wykładzie. Umie je zdefiniować. Umie - tam gdzie to możliwe - wykorzystać zależność liczbowych charakterystyk rozkładu od jego parametrów (być może z pomocą notatek). W przypadku najważniejszych rozkładów zna przykłady zjawisk rzeczywistych dla których dany rozkład jest dobrym modelem (dotyczy to m.in. rozkładu normalnego, wykładniczego, dwumianowego, Poissona). Zna wszystkie klasy rozkładów wprowadzone na wykładzie. Umie je zdefiniować. Potrafi w większości przypadków podać ich najważniejsze własności. Umie - tam gdzie to możliwe - podać zależność liczbowych charakterystyk rozkładu od jego parametrów. Na ogół potrafi scharakteryzować i podąć przykłady zjawisk rzeczywistych dla których dany rozkład jest dobrym modelem. Zna wszystkie klasy rozkładów omówione na wykładzie oraz także te, które trzeba było poznać w ramach pracy własnej. Umie je zdefiniować oraz zna ich najważniejsze własności. Umie - tam gdzie to możliwe - podać zależność liczbowych charakterystyk rozkładu od jego parametrów. Potrafi scharakteryzować i podać przykłady zjawisk rzeczywistych dla których dany rozkład jest dobrym modelem.
EK 3 Umie mniej niż na ocenę dst. Zna pojęcie rozkładów łącznych, brzegowych i warunkowych. Potrafi w typowych sytuacjach wskazać związki zachodzące między nimi. Na ogół potrafi w przypadkach omówionych na wykładzie wykorzystać znajomości rozkładu łącznego wektora dla wyznaczenia podstawowych charakterystyk jego współrzędnych. W prostych przypadkach potrafi wyznaczyć rozkłady funkcji od wektorów losowych (z pomocą notatek). Potrafi obliczać warunkowe wartości oczekiwane w najprostszych sytuacjach. Zna pojęcie niezależności wektorów losowych. Zna odpowiednie wyniki formalne. Zna pojęcie rozkładów łącznych, brzegowych i warunkowych. Potrafi w typowych sytuacjach wskazać związki zachodzące między nimi. Potrafi w przypadkach omówionych na wykładzie wykorzystać znajomości rozkładu łącznego wektora dla wyznaczenia podstawowych charakterystyk jego współrzędnych. Potrafi wyznaczyć rozkłady funkcji od wektorów losowych w przypadkach omawianych na zajęciach. Potrafi obliczać warunkowe wartości oczekiwane i rozróżnia różne ich rodzaje. Umie wykorzystać niezależność wektorów losowych przy prowadzeniu analizy rozkładów. Zna odpowiednie większość wyników formalne. Zna pojęcie rozkładów łącznych, brzegowych i warunkowych. Potrafi wskazać związki zachodzące między nimi. Potrafi na podstawie znajomości rozkładu łącznego wektora wyznaczać charakterystyki jego podwektorów. Potrafi wyznaczyć rozkłady funkcji od wektorów losowych. Potrafi obliczać warunkowe wartości oczekiwane i rozróżnia różne ich rodzaje. W każdym przypadku potrafi sformułować właściwe twierdzenia umożliwiające przeprowadzenie danej operacji. Zna i umie wykorzystać pojęcie niezależności wektorów losowych w rozmaitych przekształceniach.
EK 4 Umie mniej niż na ocenę dst. Zna podstawowe liczbowe charakterystyki rozkładów jedno i wielowymiarowych (wartość oczekiwana, wariancja, odchylenie standardowe, mediana, wsp. korelacji). W przypadku znajomości rozkładu zmiennej losowej potrafi je obliczać. Potrafi przytoczyć podstawowe wzory dotyczące tych charakterystyk. Potrafi właściwie interpretować ich wartości. Zna liczbowe charakterystyki rozkładów jedno i wielowymiarowych. Potrafi wykorzystać znajomość rozkładu do ich wyznaczenia, ewentualnie stwierdzić, że w danym przypadku nie istnieją. Potrafi formułować większość twierdzeń dotyczących tych charakterystyk. Potrafi właściwie interpretować wartości większości podstawowych charakterystyk rozkładu. Zna liczbowe charakterystyki rozkładów jedno i wielowymiarowych. Potrafi wykorzystać znajomość rozkładu do ich wyznaczenia, ewentualnie stwierdzić, że w danym przypadku nie istnieją. Potrafi formułować i dowodzić twierdzenia dotyczące tych charakterystyk (w tym prawa wielkich liczb). Potrafi właściwie interpretować wartości poznanych charakterystyk. Dopuszcza się wystawienie oceny połówkowej o ile student spełniający wszystkie efekty kształcenia wymagane do oceny pełnej spełnia niektóre efekty kształcenia odpowiadające ocenie wyższej. III. INNE PRZYDATNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE 1. Wszelkie informacje dla studentów na temat planu zajęć dostępne są na stronie internetowej: www.wimii.pcz.pl. Informacja na temat konsultacji przekazywana jest studentom podczas pierwszych zajęć z danego przedmiotu oraz umieszczona jest na stronie internetowej Instytutu Matematyki: www.im.pcz.pl