METODA PRZYBLIŻ ONEGO OBLICZANIA PROBLEMÓW POCZĄ TKOWO- BRZEGO- WYCH W ZASTOSOWANIU DO NIESTACJONARNYCH ZAGADNIEŃ PRZEWODNI- CTWA CIEPLNEGO

MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 2 (1965) METODA PRZYBLIŻ ONEGO OBLICZANIA PROBLEMÓW POCZĄ TKOWO- BRZEGO- WYCH W ZASTOSOWANIU DO NIESTACJONARNYCH ZAGADNIEŃ PRZEWODNI- CTWA CIEPLNEGO ZYGMUNT THRUN (GDAŃ SK) 1. Uwgi wstę pne N jbrdziej wyczerpują cym uję ciem ś cisł ych rzwią zń zgdnień pczą tkw- brzegwych, zwią znych z równniem przewdnictw cieplneg, rzwią - zń zrówn bezpś rednich, jk i uzyskiwnych pprzez stswnie trnsfrmcji Lplce' lub funkcji G reen, jest mngrfi CARSLAWA i JAEGERA [1]. Zgdnieni pwyż sze mż n jednkże rzwią zywć i n innej drdze. Dne zgdnienie pczą tkw- brzegwe mż n n przykł d róż nymi spsbmi sprwdzić d zgdnieni czyst brzegweg. Jednym ze spsbów jest pdwyż sznie rzę du równni róż niczkweg wrz z dł ą czeniem dlszych wrunków brzegwych czę st dwlnie brnych [6]. P tkim sprwdzeniu mż n się już psłuż yć metdmi rzwinię tymi dl zgdnień brzegwych. Dl wielu jednk brdziej skmplikwnych prblemów pczą tkw- brzegwych trzeb się w prktyce zdwlić rzwią znimi przybliż nymi. Rzwią - zni tkie są czę st pż yteczne i w tkich przypdkch, w których rzwią zni ś cisłe istnieją, lecz wyrż j ą się w spsób skmplikwny przez funkcje specjlne, dl których brk wystrczją cych tblic. Celem niniejszej prcy jest wprwdzenie pewneg spsbu wyznczni rzwią zń przybliż nych, który ndje się prktycznie d wszystkich rdzjów zgdnień niestcjnrneg przepł ywu ciepł w plch ź ródłwych i bezź ródłwych rz przy dwlnych rzkłdch tempertur pczą tkwych. Spsób ten mż n również z pwdzeniem stswć d niestcjnrnych zgdnień w cił ch niejednrdnych wł snś cich termicznych. Rzszerzenie teg spsbu n inne zgdnieni pczą tkw- brzegwe jest prste. Rzwią zń przybliż nych pszukuje się w pstci szeregu złż neg z ilczynów dwóch rdzjów funkcji: funkcji t (t), zmiennej czswej t rz funkcji (pi(x k ) współrzę dnych przestrzennych. N pczą tku bliczeń zkłd się funkcje 99,- w ten spsób, ż eby speł nił y ne dne jednrdne wrunki brzegwe, przy czym - funkcj pierwsz c? 0 (? fc ). musi spełnić niejednrdne wrunki zgdnieni. Nie znne funkcje czswe i(t) wyzncz się z ukł du równń róż niczkwych rz z wrunku pczą tkweg rzkł du tempertury. Ukł d równń róż niczkwych trzymuje się z wrunków rt-

60 ZYGMUNT THRUN gnlnś ci wszystkich funkcji <pi(x k ) d wyrż eni trzymneg przez wstwienie przybliż neg rzwią zni d równni przewdnictw cieplneg. W tym sensie spsób ten mż n uwż ć jk rzszerzenie metdy G lerkin [3, 5]. Speł nienie dneg wrunku pczą tkweg sprwdz się d zgdnieni wricyjneg, tj. d wyznczeni tkiej wrtś ci funkcji - t {t = 0), dl której istnieje minimum cłki (p dnym bszrze) z kwdrtu róż nicy mię dzy dnym pczą tkwym rzkł dem tempertury, rzkł dem przybliż nym w chwili t -> 0 [wzór (1.8)]. Omówiną metdę pstę pwni przedstwimy n przykł dzie zgdnień dwuwymirwych. Zgdnienimi dwuwymirwymi bę dziemy tu nzywli tkie zgdnieni, w których tempertur jest zleż n d współ rzę dnej czswej t i d dwóch współrzę dnych przestrzennych x 1,x i : T = T(t,x 1,x^. Przepływ strumieni cieplneg bę dzie tu zchdził w płszczyznch równległych. Jk widm 1, równniem przewdnictw cieplneg w tkich przypdkch jest 8t \ dt + 8tl ~ w bszrze Q, 0 <x r < r (r = 1, 2) przy dnych wrunkch brzegwych (1.2) g+ / z,(r- r,.) = wzdł uż bwdu bszru Q rz przy wrunku pczą tkwym (1.3) r =»/ (*!,*,) dl t = 0. Pwyż ej wprwdzn nstę pują ce znczeni: y cię ż r włś ciwy ś rdk, c ciepł wł ś ciwe, h współ czynnik przejś ci ciepł d tczeni, K zdlnść przewdzeni ciepł, / <** = x współ czynnik przewdzeni cieplneg, A ciepł wytwrzne przez jednstkę bję tś ci. T r zncz tu temperturę tczeni, d któreg dbyw się prmieniwnie ciepł lub też, w przypdku h r - >, zncz dną temperturę wzdłuż rzptrywneg brzegu bszru. T r bę dziemy przyjmwli jk niezleż ne d czsu. Dl zgdnień, dl których T r = T r (x s, t) rz A = A(x s, i), rzwią znie T(x s, t) łtw trzymmy z rzwią zni F(x s, X) dl teg smeg prblemu przy ustlnych wrtś cich T r (x s, X) rz A{x s, X) z pmcą znneg 2 twierdzeni Duhmel: (1.4) T(x s, t) = / (*,) + J - F (x s> X, t~x)dx, s = 1, 2, 3. 1 2 Pr. [2], str. 9, wzór (1.1). P r. [1], str. 2 1,...,.

NIESTACJONARNE ZAGADNIENIA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO 61 Przybliż ne rzwią znie zgdnieni (1.1) przy wrunkch brzegwych (1.2) i wrunku pczą tkwym (1.3) przyjmujemy w pstci: Funkcję c>(»i,* ) zkł dmy tk, ż eby był speł nine równnie / <9 d 2 \.(1.6) Tl + T^^^i.^) = 0 dl 0 < x r < t, r = 1,2, wzdł uż krwę dzi bszru Q. Pzstją d speł nieni równś ci w bszrze Q rz n brzegu bszru Q. Wrunek pczą tkwy (1.3) speł niny jest w ten spsób, ż eby,«,) - T* (x lt * * = 0)} dxidx^q. W przypdkch stcjnrneg wytwrzni ciepł A = A(x 1) x 2 ) wyrż enie Ajcy z równni (1.7) przejdzie d pierwszeg równni (1.6). Jk wynik z (1.6) <p (x s ) jest rzwią zniem równni Pissn w przypdkch, gdy A(x s ) jest stcjnrne. Zjmiemy się rzwią zniem zgdnieni (1.7) i (1.8). Funkcje q>i(x s ) muszą być pierwszymi (i = 1,2,...,n) funkcjmi ukł du zupeł neg (t= l, 2,..., n,...) rz muszą być tk dbrne, by speł niły jednrdne wrunki brzegwe z (1.7). Jeż el i pndt zż ą dmy, by zmist ś cisł eg speł nieni równni róż niczkweg kż d funkcj q> k z sbn był rtgnln d wyrż eni stnwią ceg lewą strnę równni (1.7), t trzymmy ukł d nstę pują cyc h zwyczjnych równń róż niczkwych: (1.9) gdzie współ czynniki znczją nstę pująe c wyrż eni cł kwe: A ik = J j (p i (x 1,x, i )(p k (x 1,Xc i )dx 1 dx 2, B ik = \ \x- ^J(p k, (1.10) C f d\ i, f f Cjjt = X- ^~2'(p k dx 1 UXc i, k == J\

62 ZYGMUNT THRUN D rzwią zni ukłdu równń róż niczkwych (1.9) ptrzebne jest n wrunków pczą tkwych, które trzymmy z (1.8) w pstci czyli: n (1.11) J^ «i (i = 0)^4 ik JJ / (*!, x 2 )q>k dx 1 dx 2 Jr j j (p (p k dx 1 dx 2 = O. / = i Ukł d równń róż niczkwych (1.9) z wrunkmi pczą tkwymi (1.11) njlepiej sprwdzić d ukł du równń lgebricznych stsują c trnsfrmcję Lplce': 00 CO,(p) = J t (t) e- pt dt, Z k (p) = j Z k (t)e- p 'dt; trzymmy w ten spsób (1.12) Ukłd tych równń sprwdzi się d n niezleż nych równń, jeż el i z funkcje pdstwwe q>i(x s ) przyjmiemy tkie funkcje rtgnlne, dl których: A ik = B ik = C lk = O dl i ^ k, *?! dx 2 dl i = kj (1.13) Otrzymmy wtedy (1.14) k (A kk p + B kk + C**) k (t = 0)A kk Z k = 0 rz p retrnsfrmcji: (L15) k = &k(t = 0)e ** Jr ~/ T~\ Zk{*)e klc dr, h== 1,2,...,», Stłe k (t = 0) wyznczmy z (1.11): (1.16) k(t=o) = - r- j jf(x t,x i )(p k dx 1 dx i - - Ę - j \ f^dxxdxi, k=l,2,...,n.

NIESTACJONARNE ZAGADNIENIA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO 63 Zstnówmy się jeszcze nd mż liwś cimi wybru pdstwwych funkcji przybliż eń g>i(x s ). Jk już wspmnin, funkcje te muszą przedstwić pierwsze klejne elementy ukł du zupeł neg i muszą być tk dbrne, by speł nił y jednrdne wrunki brzegwe dl dneg zgdnieni. Jk wyż ej wykzliś my, szczególnie krzystne jest przyję cie funkcji rtgnlnych. Wrunek ten spełniją w szczególnś ci funkcje trygnmetryczne i wielminy rtgnlne [7]. Duż wskzówek n temt przyję ci tkich funkcji znjdujemy w literturze [3, 4]. Jeż el i mmy dne n przykłd wrunki brzegwe T = 0 wzdłuż wypukłeg brzegu bszru pisneg nlitycznie kilkm krzywymi: & S (XJ) = 0 (s = 1, 2,...,/ ), t ilczyn tych funkcji!f= &i, & 2,..., 0 S mż n przyją ć jk czę ść skłdwą szeregu funkcji przybliż eń: Czę st mż n przyją ć tkże róż ne inne kmbincje wielminów lub funkcji trygnmetrycznych. 2. Przykłdy dl zgdnień jednwymirwych 2.1, Obszr wrunkch brzegwych niejednrdnych, tempertur pczą tkw f(x). Dl bszru 0 < x < równni zgdnieni przyjmują pstć: 8T 8 2 T. n - TT «- 5-r = 0 dl 0<x<; t 8x 2 T=f(x) dl t = 0; (2.1) 8T.,. Tx= dl * = 0; T = T t dh x =. Zkł dmy przybliż ne rzwią znie (1.5): (2.2) T* Xli) = <p (x) + ^,(t) 9l (*). i Równni (1.6) uprszczją się d yj~ = 0 dl 0 < x <, (2.3) = 0 dl x = 0, v ' dx <p 0 = 2\ dl x =, czyli cj 0 (x) TV i jest stłe.

64 ZYGMUNT THRUN Równni (1.7) przybierją pstć: 1 ^ = 0 dl (2.4) - r- V«i ffi i = O dl * = 0, < ^ tficj; = 0 dl # =. i Przyjmijmy jk funkcje przybliż ją e c ci;( r) = cs- ^, (i = 1, 2,.,,,»). Spełniją ne pwyż sze jednrdne wrunki brzegwe rz twrzą ukłd zupeł ny. Pz tym są t funkcje rtgnlne, wię c zgdnienie sprwdz się d ukł du niezleż nych równń (1.14). Wyznczmy współ czynniki (1.13) teg ukłdu inx, ttzx Z (1.15) trzymmy C Zk = 0. z wrunku pczą tkweg (1.16) jlny - i= «,- (t = 0) e ' *' (' = ) - T / / W cs ^ Jx + (- 1) 2 4- Osttecznym rzwią zniem przybliż nym jest i+ i Łtw zuwż yć, że dl n -+ jest t wynik ś cisły. Dl wrunku brzegweg zmienneg w czsie: dl x =, \T = T x (t), rzwią znie łtw mż n trzymć z pwyż szeg z pmcą twierdzeni Duhmel. 2.2. Obszr, któreg brzeg prmieniuje ciepł d tczeni. Równni zgdnieni są tkie sme jk w przykł dzie pwyż szym, z wyją tkiem wrunku brzegweg dl x =, który m pstć

NIESTACJONARNE ZAGADNIENIA PREZWODNICTWA CIEPLNEGO 65 Pierwszą. czę ść rzwią zni przybliż neg trzymmy z równń (1.6) =- - = 0 dl 1 0 < x <, = 0 dl x = 0, dx i dx j f- h((p 0 2\ ) = 0 dl x = w pstci <p 0 7"i Trudniej jest dbrć drugą czę ść rzwią zni przybliż neg z równń (9 2 \ \ H (2.5) - ke l-^ + M ^ ^^ = 0 dl» =». Jeż el i przyjmiemy c); (;) = cs <XjX, i 1, 2,..., n. (2.6) t tkie przyję cie speł ni wrunek brzegwy dl x = 0. Dl równczesneg speł nieni wrunku brzegweg przy x = knieczne jest, ż eby ( (i = 1, 2,..., n) był y ddtnimi pierwistkmi równni tg, = A/,. (2.7) Pierwistki te są stbelryzwne w literturze [1]. Funkcje (3.6) są rtgnlne i twrzą n pierwszych funkcji ukł du zmknięteg. Wyznczmy współ czynniki (1.10) ukł du równń (1.9): Ą* = Ą* - 0. dl * ^ *; stą d:,(i) =,(«== 0) exp (? xt). (2.8) Z wrunku pczą tkweg (1.16) trzymmy, sttecznie więc * 5 Mechnik teretyczn 1 stswn

66 ZYGMUNT THRUN Dl n -> trzymujemy znwu wynik ś cisły. Pdbnie łtw trzymujemy w ten spsób rzwią zni w przypdku, gdy wrunki brzegwe są dmienne, n przykłd gdy dny jest stły strumień ciepł Q = KdTjSx wzdłuż brzegu x =. 2.3. Obszr z ciepłem wytwrznym. Równnie róż niczkwe (1.1) wrz z wrunkmi grnicznymi przyjmą pstć ~rrr K- s- jt = 0 dl 0 <x <, t cte 2 cy ^ = 0 dl* = O, ~ + ht = 0 dl x =, ex ex T = 0 dl t = 0. Rzwż my njpierw wypdek ź ródeł ciepł rzł ż nych w spsób cią gły, niezmiennych w czsie: A = A Q = cnst. Zkłdmy rzwią znie przybliż ne jk uprzedni. Funkcje cp (x) trzymmy z równń Łtw znjdujemy Pniewż szereg ^ ^i^i ni speł nić równni (2.5), t mż emy przyją ć znwu funkcje fi(x) w pstci wyrż eń (2.6), przy czym <x ; są znwu pierwistkmi równni (2.7). Wbec teg również wyrż enie (2.8) ndl jest wż ne. Stł e t (t = 0) wyznczymy z (1.16): i(* - 0) - -j Osttecznym rzwią zniem przybliż nym jest 4 2fl Rzwż my terz przypdek ź ródeł ciepł zmiennych w czsie: A = A(t). Rzwią znie dl tkieg przypdku mż emy trzymć z rzwią zni pprzednieg krzystją c z twierdzeni Duhmel (1.4). Otrzymmy wtedy p prstych przeliczenich, = 1,2 L ' v *" 0

NIESTACJONARNE ZAGADNIENIA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO 67 ' Rzwią ż emy t zdnie jednkże nszym spsbem bez uciekni się d pprzednieg rzwią zni. Zkł dmy przybliż enie Przyję liś my tu (p (x) = 0 ze wzglę du n jednrdne wrunki brzegwe zgdnieni. Z pwdu zleż nśi cd czsu funkcj rzkł du ź ródeł A(t) wejdzie terz w skł d równń (1.7); - >,m ; = O dl x = 0, T~~H~" /, ^i? 5 ; x ^r- J \8 X I ^ = 0 dl x =, if, = 0 dk t = 0. Funkcje CJ,(«) zkł dmy znwu w pstci (2.6). Wyznczmy współczynniki w wyrż enich (1.15). Otrzymmy jk pprzedni Mmy nstę pnie z = CA{t) 9 d x_ Ze wzru (1.15) trzymmy «,(«) = «,(«= 0) exp( - «?«0 -- xf [ rz z (1.16): «x (< = 0) = 0. W wyniku sttecznym trzymmy wyrż enie n T*(x, t) identyczne z równniem (2.10), które trzymliś my uprzedni z pmcą twierdzeni Duhmel. Dl n -> wynik stje się ś cisł y. 2.4. Jednstkwe, chwilwe ź ródł ciept wzdłuż brzegu x = bszru. Równnie różniczkwe zgdnieni wrz z wrunkmi brzegwymi m pstć dt 3t \ x 0> I;* =. 5*

68 ZYGMUNT THRUN Dny wrunek pczą tkwy T = 1 dl t = 0, mż emy przedstwić z pmcą funkcji Dirc d(x f). Ze wzglę du n jednrdne wrunki brzegwe zgdnieni przyjmujemy rzwią znie przybliż ne Wyznczmy współ czynniki (1.10) r i%x I m \ r inx lin\ A u = j 81^ ^= 2", 5 = «^-j J sin* ^ = «2"(- j- Ze wzru (1.15) mmy rz z (1.16) [ /. \ 2 -i.. 2 r,.. mx, 2. inłj Kt = 0) = (x K I) sin» = sm. ' J ' Rzwią zniem przybliż nym jest if, = > exp I Kt\ sin sin. Dl n - * trzymujemy wynik ś cisły 3. Rzwią zni dl zgdnień pdbnych lecz róż nych wrunkch brzegwych i pczą tkwych mż emy równie prst trzymć dbierją c dpwiedni funkcje q>i(>c). 2.5. Cienki prę t temperturze pczą tkwej f 0. Prmieniwnie z pbcznicy prę t. Jeż el i prę t jest brdz cienki t w jeg przekrju pprzecznym mż emy przyją ć równmierny rzkł d tempertury. Mmy wtedy d czynieni z liniwym przepływem ciepł. Jeż el i nie m prmieniwni n bcznej pwierzchni prę t, t wyznczenie rzkł du tempertury sprwdz się d zgdnień uprzedni rzptrywnych. Rzptrzmy tutj wpł yw tej utrty ciepł przez prmieniwnie. Równniem róż niczkwym teg zgdnieni jest* (iii) n * r H +, T m m 0, gdzie v holycf; 0 jest bwdem prę t w przekrju pprzecznym, F pwierzchnią przekrju prę t, cnstnt. Przyję t tu zerwą temperturę tczeni, d któreg ciepł prmieniuje z bcznej pwierzchni prę t. Przybliż ne rzwią znie mż emy tu trzymć w spsób dwjki. 8 4 Pr. [1], str. 298, wzór 2. Pr. [1], str. 111, wzór (2)

NIESTACJONARNE ZAGADNIENIA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO 69 1. Pdstwić złż ne rzwią znie przybliż ne d równni (2.11). Ze wzglę - du n becnść czł nu vt ukł dy równń trzymne z złż eni rtgnłnś ci (1.9) i (1.12) nleży wtedy uzupełnić. Dlsz drg p 3 'ę pwni jest wtedy nlgiczn d uprzedni stswnych. 2. Drgą pdstwieni T= Ue~ vt sprwdzić mż n róh - nie (2.11) d pstci : 8U dt = i 0. Wrunek pczą tkwy: U=f - +t 0. Jeż el i kń ce prę t * = 0 i = mją być utrzymne w temperturze zerwej, t trzymmy wrunk' brzegwe U = 0 dl x = 0 i x =. Wyznczmy tu rzwią znie przybliż ne drugim spsbem. Przyjmijmy przy czym zł óż my funkcje q>i(x) w pstci: (2.12) <pi(x) = ( x)x\ i 1, 2,.,.,». i Lepsze byłby tu przyję cie <p t = sin inxj. Łtw rzwią zć t zdnie i pkzć, że trzymlibyś my w wyniku dl n -> c rzwią znie ś cisłe CO (2.13) U > exp K I \ t \ sin. 1=1,3,5,... U \ / J Złóż my tu jednk dl prównni rzwią znie w pstci (2.12) i przyjmijmy dw pierwsze przybliż eni U* = ^t) (- ~x)x 2 (t)( x) Obliczmy współ czynniki cł k"'... x)wdx = i, A lt = 4 81 = J (- x) 2^3 ^ = C 6 f «3 = I () :4^:= - 777c, B 11 = 2x \ ( x)xdx = x- j-, f 4 = B 21 = 2?< ( x)x 2 dx = x- ^- > / 2 (2fl 6x)( x)x 2 dx = x ^? fl5 >

70 ZYGMUNT THRUN Jeż el i przyjmiemy x = Q.15 (c dpwid w przybliż eniu przewdnictwu stli stpwej), = 1, t trzymmy ukł d równń (1.12) w pstci P rzwią zniu i retrnsfrmcji trzymmy 1,5) = 2 x (t = 0) + 2 (t = 0), 4 = x (t = 0) + - =- M = 0). 7 1 (t) = 1 (t = 0) exp ( 1,5 t) 0,5«2 (ż = 0) [exp ( 6,3 t) exp ( 1,51)]; Ukł d równń npiszemy terz nstę pują c : A lx x (t = 0) + A 12 i (t = 0) = / 5 n / 2«; P pdstwieniu blicznych współ czynników i rzwią zniu trzymmy w wyniku x {t = 0) = 5/ 0, - lt= 0) = 0. Znczy t, że również 2 (t) = 0, czyli trzymliś my tylk pierwsze przybliż enie. Dl trzymni nstę pneg nleż ł zł ż ćy U* = 1 (t)( x)x- \- s (t)( x)x!i. Z pierwszeg przybliż eni trzymujemy więc Prównjmy t przybliż enie z pierwszym wyrzem szeregu rzwią zni ś cisł eg (2.13): 4 Dl * = 0,50 trzymmy z bydwóch wyrż eń TT* 1 OK f - lm TT 1 974. f,,- 1,48*04 fi Dl / = 1 trzymmy bł ąd kł 3%, dl czsów t mniejszych bł ąd jeszcze mleje, dl wię kszych wzrst. Mjąc rzwią znie przybliż ne U*(x, t) wyznczmy przybliż ny rzkł d tempertury dl rzwż neg n pczą tku prę t z zleż nś : ci 7 1 * Tj* p- vt 1 ix,t) u i.x,t) U. 3. Zgdnienie dwuwymirwe 3.1. Jednstkwe, chwilwe ź ródł ciepł w prstką cie. Niech w miejscu «x = x, x 2 l bszru prstką tneg 0 <#; < ff ;, (i = 1, 2), w chwili t = A dził ź ródł ciepł wydjnś ci jednstkwej. Równniem zgdnieni jest (1.1)

NIESTACJONARNE ZAGADNIENIA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO 71 w bszrze 0 <#;<«;, (/ = 1, 2). Niech bę dą kreś lne jednrdne wrunki brzegwe: dl x t = 0 i # ( «;, (i=l,2), T = 0. Wrunek czswy mż emy przedstwić z pmcą funkcji Dirc nstę pują c: W chwili t = X jest A\cy = 3(«! - li) 0(«, - f ) d(t - A). Zkł dmy rzwią znie przybliż ne, gdzie c, = rmt\ x, = nnj^. 7łt wzglę du n jednrdne wrunki brzegwe funkcj <P(x lt x 2 ) = 0. Przyję ty ukł d funkcji jest zupeł ny, rtgnlny i speł ni jednrdne wrunki brzegwe zgdnieni. Wyznczmy współ czynniki (1.13): Jmnmn «m I I m (/..^SUl 0C O O Oi O 2 n n '" J J O 0 '" X " 2 1 2» 4 ' s Ol % I C C.. y - * *, I I IĄ QI *-\ fj «-ł ni YI /y 'V 1 fi\ * fi\ * cv J J ' Olfls \ / J J \ / \ / = d(t A)sin, : 1sin 2. Z zleż nśi c(1.15) trzymmy mn = mn (t = Q)e m "" + - sin m^sin^ J ^(T t Pniewż tempertur pczą tkw dl i = 0 w prstką cie jest równ zeru, f( x i>%z) = 0> wię c ze wzru (1.16) trzymmy mn (t = 0) = 0. Wbec teg jest. _ A sin<x m S t Bin n 8 _- <4+ «>- *>*, n n

72 ZYGMUNT THRUN Rzwią znie stteczne trzymmy w pstci: X expl- JOT 2 + (* Wsin i sin - Dl r, s - trzymujemy wynik ś cisł 6 y (tj. funkcję Green). D teg smeg wyniku mż emy djść nszym spsbem n innej drdze. Pkż emy tutj ten wrint rzwią zni. Rzkł d tempertury wywł ny jednstkwym ź ródł em w chwili t ==A mż emy bwiem uwż ć z temperturę pczą tkwą /, ^» 2 ) = <5(*i i)<5(* 2 ), przesuwjąc jedncześ nie pczą tek rchuby czsu z t = O d chwili t = X. Równnie róż niczkwe zgdnieni (1.1) i (1.7) bę dzie wtedy jednrdne, nie zwier bwiem wyrż eni Ajcy. Wbec teg z równni (1.10) trzymmy Z,= 0. Zkł djąc te sme funkcje prksymcji 9> m (i,«2 ) trzymmy z zleż nśi c (1.16) nie jk uprzedni «(* = 0) = 0, lecz n,, mn(t = 0) = I I 6(x 1 x 2 JJ 4 sinml^sin,,!^ Wbec teg w wyniku sttecznym trzymmy znów (4.1). 3.2. Trcz prstką tn x = ± t,'{i = 1, 2), róż nych wrunkch brzegwych. Prmieniwnie ciepł z cł ej pwierzchni trczy d tczeni. D l mł ej grubś ci D trczy mż n przyjąć równmierny rzkł d tempertur w przekrju pprzecznym i równnie róż niczkwe zgdnieni przyjmie pstć 6 fi n\ v gdzie ^ = ZhjcyD. Wrunki brzegwe zł óż my nstę pują ce : n rp - = 0 dl x x = ±. x > T = 0 dl x 2 = ^z& 2 Tempertur pczą tkw jest dwln: T = f(x x,x 2 ) dl t 0. Ze wzglę du n ddtkwy czł n y?t w równniu (4.2), nleży uzupeł nić ukł d równń (1.9) w nstę pująy c spsób: (3.3) ^\j^a ik +! (B ik + C ik + fsaą - Z k ~0, k==l,2,...,n. 5 6 Pr. [1], str. 149, wzór (1). Pr. [1], str. 229, (3).

NIESTACJONARNE ZAGADNIENIA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO 73 W zstswniu d zgdnieni (3.2) Z k = 0. Ze wzglę du n jednrdne wrunki brzegwe zł ż ymy tu nstę pująe c rzwią znie przybliż ne: Ogrniczymy się tutj d pierwszeg przybliż eni 9?i0i, *j) = (<Ą - xl) (xi - 2 «J). Ł tw sprwdzić, że zł ż eni e t speł ni dne wrunki brzegwe. Wyznczmy dlej współ czynniki równni (3.2) przyjmując dl uprszczeni bliczeń j_ = 2 = 1 i i i i - -«J J(12«f- 4)(1, - f- = 1,379965, i i = 2x J J^- 2^)Hl- -i -i B 11 + C n 1303 Ai 214 Z trnsfrmcji Lplce' równni (3.2) przy pwyż szych dnych trzymmy: 1 (p + 6,0888«+ /u 2 )' Retrnsfrmcj pwyż szeg wzru dje fl x = r (t = 0) exp [ (6,0888«+ ]. Stł ą cł kwni x (t = 0) trzymmy z (1.16) i i fll (t = 0) = 1,38 J / / (*,, *,) (1 - xl) (xi - 2*?)dx,dx,. -i -i Rzwią zniem przybliż nym bę dzie i i Z 1?***) = 1,38 / / / (*!,*») K - 2*?) (1 - xl)dx x dx 2 -i -i X exp[-( 3.3. Prstpdł ś cin. Rzwż my prstpdł ś cin 0 <x t < it (i = 1, 2, 3,) zerwej temperturze ś cin bcznych, przy czym niech w chwili t = X w punkcie I;, (i = 1, 2, 3), dził chwilwe, jednstkwe ź ródł ciepł. Jeż el i przedstwimy rzkł d tempertury wywł ny ź ródł em punktwym z pmcą funkcji D irc 6(t - X) 6(x 1 - li) d(x 2 - f ) 6(x 3 -,) X

74 ZYGMUNT THRUN i złż ymy rzwią znie w pstci; 00 OO CO 00 : (t) sin *- sin sin t p nlgicznych dził nich jk dl zgdnieni dwuwymirweg w p. 3.1. trzymmy w wyniku ś cisłe rzwią znie (funkcję Green). 4. Zgdnieni w współrzę dnych cylindrycznych i sferycznych Jeż el i rzwż my tylk zgdnieni siw- symetryczne, t równniem przewdnictw cieplneg we współ rzę dnych cylindrycznych (r, z) bę dzie x 3T I d*t 1 8T. d*t\ A ' ót \ dr 2 r dr 3z 2 ) cy w bszrze: 0<r<, 1 < # < + 1. Wrunki brzegwe: + h r (T- T r ) = 0 dl r =, / <*</, + A z [(r- r.) == dl * = i/, przy czym A, i ft z mgą przyjmwć wrtś ci zer i. Wrunek pczą tkwy T=f(r,z) dl t = 0. Przybliż ne rzwią znie przyjmujemy w pstci (4.2) T*, 2, f) = V(r, Z) + 2J *\t$9i{r>*) Zkł dmy tką funkcję c? 0 (r, 5:), ż eby był speł nine równnie i = 0 dl O <r < I / <*</ (4.3) Hp. + h,(<p 9 - T r )** O dl r = fl, / - 7j )- h x (<p 0 T z ) = O dl f =.i /. Pzstje d spełnieni ukł d itpi A\cy = yi dl j 0<r<, %i<pi = O dl # = ± /.

NIESTACJONARNE ZAGADNIENIA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO 75 Wrunek pczą tkwy speł nimy w ten spsób, ż eby I ójjr[f(r, x)- T*(r, z, t = O)] 2 dr dz = 0. (4.5) -/ W przypdku stcjnrneg wytwrzni ciepł przez ś rdek A = A(r, z), wyrż enie A\ cy zmist, w (4.4) nleży umieś cić w (4.3). Ukł d równń (1.9) bę dzie tu mił tę smą pstć, lecz współ czynniki przyjmą nstę pująe cwrtś ci: A lk = j j rcptir, z)<p k {r, z)drdz, (4-6) - i l B ik = - J j I - i Ctk = \ w - ^- jvkdrdz, Z k I \ rcp k drdz. 0 -/ 0 -/ ' Ukł d równń d wyznczeni,{t 0) trzymmy z wrunków (4.5): n 1 1 (4.7) t(t = 0) A ik - / / rf(r, z) cp k drdz + fjr Mk drdz = 0. / = i - i - i Jeż el i wybierzemy jk funkcje przybliż eń funkcje rtgnlne tkie, dl których A ik = B ik = C tk = 0 dl i ^d k, t znwu trzymmy ukł d wzjemnie niezleż nych równń (1.9), z których p rzwią zniu uzyskmy wyrż eni (1.15), stł e k (t = 0) wyznczymy nstę pują c : I ul, 1 C C 1 f C (4.8) k (t = 0) = - j- r/ (r, z)ę k drdz - j r<p <p k drdz. KK -; KK -/ 4.1. Wlec nieskń czny. Niech równnie róż niczkwe, wrunki brzegwe i tempertur pczą tkw dne bę dą nstę pują c : 3T ld*t 1 8T\ n,. - 57-* - ÓF+ - 5- = 0 dl 0<r<, t \, r % r r I T = TV = cnst dl r = fl, T = f(r) dl i = 0. Rzwią znie przybliż ne (4.2) przyjmujemy nstę pują c : Funkcj (p (r) speł niją c (4.3) przy h r - *c, jest równ cp 0 = T t = cnst. Równni (4.4) przyjmą pstć: 2 fli^i = 0 dl r. Przyjmijmy funkcje przybliż eń w pstci funkcji Bessel zerweg rzę du (4.9) Vt (r) = J 0 (,r).

76 ZYGMUNT THRUN Speł nienie wrunku brzegweg dl r = wymg, ż eby (4.10) J 0 («i«) = 0, czyli diii = 1, 2, 3,...) muszą być klejnymi pierwistkmi równni (4.10). Widm tkż e, że równnie t nie m pierwistków pdwójnych ni zesplnych. Wyznczymy współ czynniki (4.6): fą fą dr- ją f), A tk = B tk = C tk = 0 dl i ^ k, B ti = - xj\ r^ J («, r) + ^(,r)l / («,r)dr = x? ^, Z k = 0. Z zleż nśi c(1.15) mmy f =,(i = 0) exp ( xv?t) rz ze wzru (4.8) Osttecznie wynikiem przybliż nym jest (4.11) Dl» -» trzymujemy znwu wynik ś cisły 7. Dl póź niejszeg prównni pwyż szeg wyniku ś cisł eg z bliczeniem przybliż nym przejdź my w (4.11) n współrzę dne bezwymirwe xt/ 2 = r, t = /3, rz złóż my f(r) = 0. Otrzymmy wtedy z (4.11) (4, 2, ^ ^ W szczególnś ci dl T = 0,3 i r = 0 mmy T/ T x = 0,72. Przyjmijmy terz dl rzwią zni teg smeg prblemu funkcje przybliż eń w pstci: (4.13) C3 ( (r) = cs inrj2, i = 1, 3, 5,...,». Rzwż my tylk pierwsze przybliż enie p wyznczeniu współ czynników T* = r i + 1 (f)csyrr/ 2;' A X1 =» (1 /4-1 jn% B n = «7 8 Pr. [1] str. 174, wzór (4), dl T= 0. Pr. [1] str. 175, wykres 19.

NIESTACJONARNE ZAGADNIENIA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO 77 rz p nlgicznych bliczenich jk uprzedni trzymmy w wyniku pierwsze przybliż enie (4.14) ir.v /?2 njj. rp W Prównjmy wynik pwyż szy z wynikiem ś cisł ym trzymnym pprzedni. W tym celu zł óż my f(r) = 0 rz przyjmijmy współ rzę dne bezwymirwe xtjd 1 = T,.-, = /?;, T = 0,3 rz r = 0; trzymmy wtedy (4.15) ~ = 0,738, 1 1 w dróż nieniu d wyniku ś cisłeg (4.12). T znczy, że już z pierwszeg przybliż eni z wyrż eni zmknię teg (4.12) w stsunku d wyniku ś cisłeg z szeregu (4.11) trzymujemy bł ą d rzę du tylk 2,5%. D rugie przybliż enie nleż łby przyją ć w pstci T* =T^ + x (t) cs G dybyś my d przybliż neg rzwią zni teg smeg prblemu zmist (4.9) lub (4.13) przyję li jk pierwsze przybliż enie t p nlgicznych bliczenich i przy tych smych dnych trzymmy T*\T X = 0,623 zmist (4.12) i (4.13). Z pwyż szych wyników wyrź nie widć, jk brdz d rdzju wybru funkcji przybliż eń <pi zleży zbież nść szeregów klejnych przybliż eń. 4.2. Wlec skń czny. Niech zgdnienie bę dzie kreś lne nstę pują cym równniem róż niczkwym i wrunkmi grnicznymi T 18 2 T 1 81, 8 Z 1 \.,, i <~*z<^i, w ; h - 7 T = 0 dl {. 8t \8r 2 r 8r 8z*] { 0 <r<; T = 0 dl t = 0, T = 1 dl ', Zkł dmy rzwią znie przybliż ne mn (t)ą (<x, r) csm n które spełni wrunki brzegwe, jeż el i zł ż ymy, że, są klejnymi pierwistkmi równni (4.10) rz m = 1, 3, 5, 7,... Wyznczmy współ czynniki (4.6).

78 ZYGMUNT THKUN A m i k = B,i k C nmik = O dl i ^n, m ^ k, II ni * t^ 11 ni i f\ ni j łt / / / / / tti ^nr/ /i im - f f rjnr \ 2 "^^ J r _ / r2 / \ 0 (rjcs _. rz i- ^- x J\(/. n ), J J LI L 0-! -.*[(\r d * Ą ( " r) 4- dj ( r A J U r\cs 2 n B '""" " - % + ) J V dr* V~\ M " ' Tl dl i = n, k = m Zleż nść (1.15) przybier pstć stł e wyznczmy ze wzru (4.8) m-l Wynik przybliż ny nm (t = 0) = 8( 1) [n m <x. n J 1 (. n )\- 1 m-l 8 V V (~~1) - AtK/) cs Zl; mt. n J 1 (. n ) m= l,3,5... n- 1,2,3.. i«+ OT7rs: exp \ xt m\ przybier wrtść ś cisłą dl n, m - * 9. W nlgiczny spsób mż emy trzymć rzwią zni przybliż ne dl zgdnień z innymi wrunkmi brzegwymi, temperturą pczą tkwą, czy też z dził niem ź ródeł ciepł A. 4.3. Zgdnieni we współrzę dnych sferycznych. Jeż el i rzkłd tempertur i ź ródeł ciepł zleży tylk d współrzę dnej r i d czsu t, t równniem przewdnictw cieplneg bę dzie jk widm \ _ Ł St * \ dr* + r 8r) cy Dl trzymni przybliż nych rzwią zń zgdnień zwią znych z tym równniem mż n zbudwć wzry we współ rzę dnych sferycznych nlgiczne d uprzedni wyprwdznych zleż nś. ciwzry cł kwe n współ czynniki równń (1.9) A ik, B ik, Ci k bę dą terz zwierły wyrż enie r 2 dr zmist rdr jk w przypdku współ rzę dnych cylindrycznych. Inną drgą rzwią zywni tych zgdnień jest pdstwienie U = Tr d równni (4.16), przez c trzymujemy równnie typu (2.1), które już rzwią zujemy spsbem pisnym w p. 2. 8 Pr. [1], str. 194, wzór (6).

NIESTACJONARNE ZAGADNIENIA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO 79 1 5. Niejednrdnść włsnś ci termicznych Włsnś ci cieplne cił mgą się zmienić z płż eniem i temperturą. W sttnim przypdku równnie przewdnictw cieplneg stje się nieliniwe. W dlszym cią gu bę dziemy rzwż l i niejednrdnść włsnś ci termicznych cił w zleż nśi ctylk d współrzę dnych przestrzennych K = K(x_), c = c(x s ). Zmist równni (1.1) trzymmy wtedy dl zgdnień dwuwymirwych równnie przewdnictw cieplneg w pstci (5.1),*(*,,*,)_ - _- Wrunek pczą tkwy pzstje w niezmieninej pstci (1.3), wrunki brzegwe (1.2) przyjmą pstć (5.2) dti8x r + h r (x)(t- T r ) = 0. Przyjmujemy rzwią znie przybliż ne (1.5). Funkcję <p (x s ) nleży tk przyją ć,, ż eby speł nił n niejednrdne wrunki brzegwe (5.2) rz równni (5.3) l ^ ^ + l ^ ^ ^ O w bszrze 0 < <«, + h, («,) (c> 0 - T t ) = 0 dl *, = 0, / - 1,2. Drug czę ść rzwią zni m speł nić wrunki { yc\x- \. XO)- T- ~'^~~ I J\*(Xi 7 Xn\ ~ I TT Ct L/ iaii I CA i1 Cf (5.4) X \t(t)(pi(x 1,x 2 ) A = 0 w bszrze 0 <x t < h i [ H g 1 vi d:kj J j i rz wrunek pczą tkwy (1.8). W przypdku stcjnrnych ź ródeł ciepł wyrż enie A = A(x s ) nleży zmist w (5.4) umieś cić w (5.3). Ukłd równń róż niczkwych bwią zuje ndl w pstci (1.9), zmieni się jedynie wrtś ć: współ czynników f f f- ł I I I IS I \ \ VI /yi łl V 1/7 V / 7V f 1 I I I J ^ I ^ ja/ l/ ^ Ł V 1 2 ^ ^ 1 ŁH^P 2 r r. II ' ^, / ^ I 5 / ** J (5-5) r r s \ - r,, 5 i i ^. C lt = K K(x 1, x 2 ) TT- w k dx 1 x 2, / t = \ \ A w k, f3 fl

80 ZYGMUNT THRUN Dlszy tk rzwią zywni jest identyczny z dtychczswym pstę pwniem i zilustrwny jest pniż szym przykł dem. Njprstszymi typmi niejednrdnś ci wł snś ci termicznych cił w zgdnienich jednwymirwych są : K = K x", c = cnst rz K = cnst, yc == (yc) x n. Njwż niejszymi przypdkmi prktycznie są tkie, dl których 0<«<l. W dróż nieniu d rzwią zń ś cisł ych 10 mż liwśi c trzymni rzwią zń przybliż nych niniejszym spsbem nie są grniczne d njprstszych tylk wyrż eń n zmiennść wł snś ci termicznych. Opercje mtemtyczne sprwdzją się tutj d wyznczeni cł ek [5.5), które w przypdkch skmplikwnych mż n rzwią zywć numerycznie rz d rzwią - zywni ukłdu równń róż niczkwych pierwszeg rzę du i t tylk w przypdku, gdy chdzi wię kszą liczbę przybliż eń. Przykł d. Niech bszr 0 < x < przedstwi ś rdek niejednrdnś ci włsnś ci termicznych według zleż nś : cik = K B x 11 *, c = cnst. Dne wrunki brzegwe, pczą tkwe rz rzkł d ź ródeł ciepł są zgdne z równnimi - ^ ' ^ 0 di 0 < x < T=f{x) dl * = 0, T=T 1 dl * = 0, T = T dl * =. Przyjmijmy pierwsze przybliż enie rzwią zni w pstci. (5.6) T* = (p (x) + 1 (t)x( x). Funkcję (p (x) przyjmujemy zgdnie z równnimi (5.3), które wyrż j ą się ; tutj nstę pują c: K 0 - j- \yx - j- ^\= O dl 0 < * < <p 0 = 7\ dl x 0, q> 0 T t dl x. Otrzymmy stą dę?,, = (T% 2\ ) \/ xj]/ - \- T^^.Wyznczmy współczynniki (5.5). A^ yc I x^ xfdx yc- ^r., Z x I ^(;,f);( x)dx, = - f C u = 0. 0 L J Wzór (1.15) dje: 10 Pr. (1), str. 332, wzór (10).

NIESTACJONARNE ZAGADNIENIA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO 81 Stlą cłkwni «r 1 (if = 0) wyznczmy z zleż nś i c (1.16); Pdstwiją c pwyż sze wyniki d wyrż eni x (t) trzymujemy rzwią znie przybliż ne z (5.6). 6. Uwgi kń cwe Pwyż szy spsób przybliż neg bliczni niestcjnrnych zgdnień przewdnictw cieplneg mże być z pwdzeniem rzszerzny n inne prblemy pczą tkw- brzegwe. Dtyczy t w szczególnś ci trudniejszych zgdnień zwią znych z ś rdkmi niejednrdnymi, gdzie ś cisłe rzwią zni nptykją n trudnś ci ntury mtemtycznej. Spsób ten mże być też stswny tm, gdzie istnieją c prwd rzwią zni ś cisł e, lecz wyrż j ą się ne w skmplikwny spsób przez funkcje specjlne, dl których brk wystrczją cych tblic. Obliczenie pwyż szym przybliż nym spsbem sprwdz się prktycznie d bliczeni dpwiednich współczynników cłkwych (A- k,, B ik, C ik, Z) rz d rzwią zni ukłdu zwyczjnych równń róż niczkwych. W zgdnienich zwią znych n przykł d z równniem flwym bę dą t równni róż niczkwe zwyczjne drugieg rzę du. Dl wyznczeni tylkb'pierwszeg przybliż eni lub dl wię kszej ilś ci przybliż eń, lecz przy dpwiednim dbrze funkcji przybliż eń, pzstje d rzwią zni tylk jedn równnie róż niczkwe. Litertur cytwn w tekś cie [1] H. S. CARSLAW, J. C. JAEGER, Cnductin f Het in Slids, Oxfrd 1948. [2] W. NOWACKI, Zgdnieni tennsprę ż ystś ci,wrszw 1960. [3] JI.B. KAHTOPOBH^J E.H. KPMJIOB, npusmumehhe juemdbi euctuei ncuim, McKB 1962. [4] L. COLLATZ, Numerische Behndlung vn Differentilgleichungen, Berlin- Gttingen- Hei - delberg 1955. [5] W. NOWACKI, Dynmik budwli, Wrszw 1961. [6] D. N.- G. ALLEN, R. T. SEVERN, The pplictin f relxtin methds t the slutin f nn- ellipticprtil differentil equtins, Qurt. J. Appl. Mth., nr 4, 1951. [7] N. N. LEBIEDIEW, Funkcje specjlne i ich zstswnie, Wrszw 1957. [8] J. W. GREEN, An expnsin methd fr prblic prtil differentil equtins, J. f Res., Nt. Bureu f Stndrts, 51 (1953). s Mechnik teretyczn i stswn

82 ZYGMUNT TIIRUN P e 3 i M e METOfl nphbjih»ehhoro PEIIIEHHfl HA^AJILHO- KPAEBLIX B nphmehehhh K HECTAIIHOHAPHO- KPAEBŁIM 3AflAHAM TEIIJIOnPOBOflHOCTH crrcs nphsjiuwcemir penleiihh HijiLHO- KpeBbix 3ą n TeruinpBOflHcTH. pn6nnh<ehhe peikeime B chpme pn;i nph3befleiihh ^y HI <UHH. 3TOT cncs AIOH<HO Hcnjii>30DTb p,n MHrux Bnpcs, KcimxcH iiectunnpnr ntok Ten.u npw pssnm- Hbix HMjiLHtix TeivinepTypXj i<n H p,mi p3jihmibix Kpcisbix ycjibi- ift, B nnnx c HCTOMHHKOM H 6e3 HCTmłi- ik. MO>KHO, TKHM cnc6m, njiymitl pemcinih Tii- ce H ^JW cpefl, 6jiflimnx YCJIOBUHMH. Summry METHOD OF APPROXIMATE SOLUTION OF INITIAL AND BOUNDARY PROBLEMS OF NON- STATIONARY HEAT CONDUCTION A methd f btining pprximte slutins fr initil nd bundry- vlue prblems cncerning cnductin f het in slids is cnsidered. The pprximte slutins re ssumed in frm f series f prducts f functins. The methd is pplicble t mny prblems f het cnductin fr rbitrry initil temperture distributins nd bundry cnditins. Prblems f nnhmgeneus slids my be treted in the sme wy. POLITECHNIKA GDAŃ SKA Prc zstł złż nw Redkcji dni 19 luteg 1964.