MATURA PODSTAWOWA nr 1 NOWA FORMUŁA, czas pracy 170 minut ODPOWIEDZI + szczegółowe rozwiązania zadań otwartych Szczegółowych rozwiązań zadań zamkniętych będzie można szukać na www.licz24.pl 1. Liczb pierwszych spełniających nierówność 4 x 1 < 64 jest A. B. 6 C. 7 D.8 2. O ile procent zmniejszy się pole kwadratu, jeśli jego przekątną zmniejszymy o 10%? A. 9% B. 11% C. 18% D.19%. Liczba a stanowi odwrotność i przeciwność sumy liczb 2 i. Liczba b jest o 2 mniejsza od a. Różnica b a wynosi A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 2 4. Wskaż prawdziwe równanie A. log 2 1, log 2 1, = log 2 B. log 2 27 = log 2 9 C. log 2 = 1 D. log log 2 2 = log 2 log 2. Równanie x(x 2 1)(x 2 + 4) = 0 ma A. 2 rozwiązania B. rozwiązania C. 4 rozwiązania D. rozwiązań
6. Kwadrat wyrażenia 1 + x jest równy A. x 2 + 2 B. 1 2 x + x 2 C. 4 2 + 2x 2 x + x 2 D. 1 + 2x 2 x + x 2 7. Dla każdej liczby ujemnej różnej od -2 wyrażenie 2x x 2 przyjmuje postać x 2 4 A. 1 x+2 B. 1 x 2 C. x 2 x 2 4 D. 2x+1 x 2 8. Kwotę x zł wpłacono do banku na procent składany. Oprocentowanie w tym banku wynosi % w skali roku. Odsetki kapitalizowane są co kwartał. Po 2 latach zysk będzie wynosił A. x(1,0 8 1) B. x(1,0 6 1) C. x(1 + 0,0 8 ) D. 1,0 8 x 9. Dla jakiego parametru a układ równań { 1 1 y 2 x = x 2y = 2a jest sprzeczny. A. a = R\ { 2 } B. a = R\ { 1 } C. a = R\ { 2 } D. a = R\{} 6 10. Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z układów równań. Wskaż ten układ y = 2 x y = 2 x y = 2x y = 2 x A. { y = 1 1 x 1 B. { y = 1 1 x 1 C. { y = 2 x 1 D. { y = 2 x 1 2 2 11. Funkcja liniowa spełnia warunek: f( 1) =, a jej miejscem zerowym jest liczba 4. Współczynnik kierunkowy tej funkcji wynosi A. a = B. a = C. a = D. a =
12. Proste o równaniach 2x + y = 4m oraz 2mx x + 2y = 2 są wzajemnie prostopadłe dla A. m = 1 B.m = 0 C. m = 1 D. m = 2 1. Dana jest funkcja kwadratowa f(x) = 2(x 1) 2 + 1. Zbiorem wartości funkcji: g(x) = f( x) jest przedział: A. ( ; 1 > B.( ; 1 > C. < 1; ) D. < 1; ) 14. Funkcja f, określona dla wszystkich liczb nieparzystych dodatnich, przyporządkowuje liczbie x liczbę o 20% mniejszą o niej samej. Średnia arytmetyczna wartości tej funkcji dla czterech najmniejszych argumentów jest równa A. 0,8 B.,2 C. 4,2 D. 4,8 1. Dwie osoby zbierają wiadro truskawek w 10 minut. Ile najmniej osób potrzeba, aby przy zachowaniu tej samej wydajności zapełnić wiadro w mniej niż minuty. A. B.6 C. 7 D. 8 16. Dany jest ciąg a n = 2 n 4 2. Ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od 224 A. 10 B. 11 C. 12 D.1 17. Proste k i l są równoległe. Długości odcinków AB, BD i BC są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Odcinek CE ma długość A. 7 B. 8 C. 8, D.9 18. Jeżeli sin α = 0,6, to cosinus tego samego kąta jest równy: A. 4 B. 4 C. 4 lub 4 D. 4 i 4 19. Liczba cos 127 równa się liczbie A. cos B. sin C. sin 7 D. sin
20. W trójkącie prostokątnym ABC sinus kata przy wierzchołku B wynosi 0,6 oraz AC =6. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi A. 2, B. C. 8 D.10 21. Punkt S jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku oraz ABC = 11. Wskaż poprawną wartość kąta rozwartego ASC A. ASC = 11. B. ASC = 120 C. ASC = 12 D. ASC = 10 22. Punkty P = (, 1 ) i Q = (, 1 1 ) są możliwie najbardziej oddalonymi od siebie 2 2 wierzchołkami sześciokąta foremnego. Bok sześciokąta ma długość A. 2 B. 2 C. D. 4 2. Objętość bryły A 1 wynosi. Bryła A 2 jest podobna do bryły A 1 w skali 2. Objętość bryły A 2 wynosi A. 10 B. 10 2 C. 10 D. 2 10 24. Na ile sposobów 4 kule różnego koloru można rozmieścić w szufladach, jeśli czerwona nie może być w tej samej szufladzie co niebieska? A. 11 B. 12 C. 48 D.4 2. (2 pkt) Rozwiąż nierówność (2 2x)( 2x + 2) 22 12x 1.Lewą stronę nierówności wymnażamy, lub stosujemy wzór na różnicę kwadratów. 2. Przerzucamy wszystko na lewą stronę nierówności i dzielimy przez 2. Otrzymujemy wtedy: x 2 + 6x 9 0. = 0 podstawiamy do wzoru x 0 = b 2a 4. Rysujemy parabolę, mając na uwadze, że przy x 2 jest minus, dlatego ramiona są w dół.. Z uwagi na taką a nie inny znak nierówność naszym rozwiązaniem jest ten przedział x-sów, dla których parabola jest nad osią, lub na tej osi. Rozwiązanie: x {}
26. (2 pkt) Wykaż, że liczba 27 + 6 60 + 7 10 jest podzielna przez 1. 27 + 6 60 + 7 10 = ( ) + 6 60 + 7 10 = 9 + 6 60 + 7 10 = Wyciągam trójkę z najmniejszą potęgą przed nawias 6 ( + 1 60 + 1 10) = 6 (27 + 60 + 0) = 6 (117) W tej chwili jest wykazane, że liczba jest podzielna przez 117. Jeszcze nie możemy zakończyć. Możemy na kalkulatorze wykonać działanie 117:1=9, zatem 6 (117) = 6 9 1, to kończy dowód 27. (2 pkt) W trapezie ABCD ( AB CD ) z wierzchołka C poprowadzono wysokość dzielącą podstawę AB w stosunku 2:. Wysokość poprowadzona z wierzchołka D dzieli podstawę AB w stosunku :4. Wykaż, że przekątna DB dzieli wysokość poprowadzoną z wierzchołka C w stosunku :7. D C F A H G B 1 Dla wygody proponuję poniższe oznaczenia. D C F A y x H G 4y 2x B 2. Zauważamy, że x + 2x = y + 4y x = 7y. Trójkąty FGB i DBH są podobne, zatem prawdziwe musi być równanie: 2x = 4y 2x, HD = CG zatem: = 4y GF HD GF CG 4. Podstawiamy wyznaczony wcześniej x lub y 2 7y GF = 4y CG po przekształceniu GF = 7 CG 10 a zatem pozostała część wysokości to CG 10 = CF. Układam równanie mające dowieść stosunek :7 CF GF = CG 10 7 CG 10 = 7
28. (2 pkt) Najmniejsza wartość funkcji kwadratowej f(x) = a(x + ) 2, gdzie a 0, w przedziale domkniętym ; jest równa -2. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f w przedziale 1;. 1. Rozpoznajemy postać kanoniczną, gdzie p =, q = 0 2. Na podstawie tego, że najmniejsza wartość w xε ; 2 to -2 ustalamy, że ramiona są skierowane w dół. Dzięki temu ustaleniu wiemy, że do wykresu należy punkt (-,-2). Podstawiamy punkt (-,-2) do y = a(x + ) 2 skąd wyznaczamy a = 1. Ostateczny wzór funkcji 2 to: f(x) = 1 (x + )2 2 4. Możemy zrobić pomocniczy rysunek, dzięki czemu zobaczymy, że w xε 1; Wartość największa to f(1) = 1 2 (1 + )2 = 8 Wartość najmniejsza to f() = 1 2 ( + )2 = 18 29. (2 pkt) Suma ciągu arytmetycznego jest określona wzorem S n = 2n 2 + n. Napisz wzór na n-ty wyraz tego ciągu. Trzeba zauważyć, że a 1 = S 1 = 2 1 2 + 1 = Analogicznie: a 1 + a 2 = S 2 = 2 2 2 + 2 = 14 a { 1 = a 1 + a 2 = 14 { a 1 = a 1 + a 1 + r = 14 { a 1 = { a 1 = r = 14 2a 1 r = 4 Mamy już dane, aby podstawić do wzoru na n-ty wyraz: a n = a 1 + (n 1)r a n = + (n 1)4 = 4n + 1 0. (2 pkt) Wyznacz wartość x, wiedząc że podane liczby są kolejno pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego: log 2 0,, sin 10, log 16 x. Wynik obliczeń podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego. a 1 = log 2 0, = log 2 1 2 = 1 a 2 = sin 10 = sin(180 10 ) = sin(0 ) = 1 2 a = log 16 x,założenie x>0 stosuje wzór na wyraz środkowy: a n 2 = a n 1 a n+1 ( 1 2 ) 2 = 1 log 16 x log 16 x = 1 4 z definicji logarytmu: x = 16 1 4 = (2 4 ) 1 4 = 2 1 = 1 2
1. (4 pkt) Zabawa polega na równoczesnym losowaniu dwóch wierzchołków graniastosłupa sześciokątnego prawidłowego. Jeżeli okaże się, że wylosowane wierzchołki należą do wspólnej przekątnej przechodzącej przez wnętrze bryły, to uczestnik wygrywa nagrodę. Jeżeli uczestnik wylosuje 2 wierzchołki, które są końcami tej samej przekątnej ściany bocznej lub jednej z podstaw, to dostaje jeszcze jedną szansę. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania, jeśli powtórzenie jest jednorazowe i biorą w nim udział wszystkie wierzchołki z początku gry. Uwaga: Pokazuje tylko jedną metodę - najkrótszą. 1. Ustalamy, że wszystkich krawędzi jest 12. 2. Można sobie pomóc rysunkiem:. Rysuje drzewko jedynie z gałęziami wygrywającymi. Dla uproszczenia drzewko startuje z poziomu, w którym jeden wierzchołek już jest wylosowany. 11 wierzchołków 11 wygrana na 11 11 powtórzenie na 11 P = 11 + 11 11 = 48 121 11 wygrana na 11 2. (4 pkt) Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 6. Tangens jednego z katów ostrych wynosi 2 2. Trójkąt obracamy wokół dłuższej przyprostokątnej. Wyznacz kąt wycinka koła, jaki tworzy po rozwinięciu powierzchnia boczna tak otrzymanego stożka. 1. Na podstawie informacji o tangensie kąta ostrego ustalamy, który bok jest dłuższy. 2. Stosujemy tw. Pitagorasa (2 2x) 2 + x 2 = 6 2 skąd x=2, zatem r = 2.. Zauważamy, że promień wycinka koła jest jednocześnie tworzącą l stożka, wobec tego przyrównujemy wzór na pole powierzchni bocznej do wzoru na wycinek koła. πl 2 α 60 = πrl przekształcam rówanie w celu wyznaczenia kąta alfa α = 60 l = 60 6 = 120
. (6 pkt) Dane są punkty A=(-2 1, ) i B=(2, 1). Odcinek AB stanowi cięciwę oddaloną od środka okręgu o 10. Napisz równanie tego okręgu, rozważ wszystkie przypadki. Odległość środka okręgu S O od cięciwy jest długością możliwie najkrótszego odcinka łączącego środek cięciwy, ze środkiem okręgu. Obliczamy zatem współrzędne środka odcinka AB. s AB = ( 2 1 + 2 2, + 1 2 ) = (2, 2) Współrzędne środka podstawiam do wzoru na długość odcinka (x 2 )2 + (y 2) 2 = 10 Mamy dwie niewiadome x i y. Potrzebne jest jeszcze jedno równanie. Będzie to równanie prostej, na której znajduję odcinek S O S AB. Najpierw znajdziemy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez odcinek AB. Punkty A=(-2 1, ) i B=(2, 1) podstawiam do wzoru y = ax + b { = 2 1 a + b 1 = 2 a + b, po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy a = 1 Zatem prosta prostopadła ma równanie y = x + b. W celu wyznaczenia wyrazu b podstawiamy współrzędne punktu s AB i otrzyumujemy b = 0. W rezultacie otrzymujemy y = x. Podstawiamy to do wzoru na długość odcinka: (x 2 )2 + (x 2) 2 = 10 obie strony równania podnoszę do kwadratu. (x 2 ) 2 + (x 2) 2 = 10 x 2 4 x + 4 9 + 9x2 12x + 4 = 10 9x 2 12x = 0 = 24, = 18 x 1 = 1 lub x 2 = 1 2 podstawiam do y = x y 1 = 1 lub y 2 = Wynika stąd, że mogą być dwa okręgi o środkach S O1 = ( 1, 1) oraz S O2 = (1 2, ) Trzeba jeszcze wyznaczyć promień okręgu, który musi mieć taką samą długość jak odległość dowolnego końca cięciwy od dowolnego środka okręgu. Liczę odległość S O1 = ( 1, 1) od A=( 2 1, ) R = S O1 A = ( 2 1 ( 1 )) 2 + ( ( 1)) 2 = 20 Pozostaje nam już tylko podstawić do wzoru. Wzór na równanie okręgu jest w tablicach i ma postać: (x a) 2 + (y b) 2 = r 2, gdzie a i b to współrzędne środka okręgu. Równanie okręgu o środku w punkcie S O1 = ( 1, 1) ma postać (x + 1 )2 + (y + 1) 2 = 20 Równanie okręgu o środku w punkcie S O2 = (1 2, ) ma postać (x 1 2 )2 + (y ) 2 = 20 Za całkowicie poprawne rozwiązania zadań, uwzględniające inny tok rozumowania niż podany w schemacie punktowania, przyznaje się maksymalną liczbę punktów.