ĆWICZENIE 62 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA TEMPERATUROWEGO OPORU. METODA MOSTKOWA.

Transkrypt

1 ĆWCZENE 62 WYZNACZANE WSPÓŁCZYNNKA TEMPEATUOWEGO OPOU. METODA MOSTKOWA. Wprowadzenie Uporządkowany ruch ładunków nazywamy prądem elektrycznym. Warunkiem koniecznym przepływu prądu jest obecność nośników (ładunków elektrycznych) w środowisku, oraz istnienie różnicy potencjałów. Natężenie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika E 0, innymi słowy wnętrze przewodnika nie stanowi obszaru ekwipotencjalnego. Przyjmuje się, że prąd płynie od punktu o potencjale wyższym do punktu o potencjale niższym. Odpowiada to ruchowi nośników dodatnich. Tak określony kierunek nazywamy umownym. W przewodnikach metalicznych, często w próżni, nośnikami są elektrony (jak wiemy obdarzone ładunkiem ujemnym). uch jest możliwy od potencjału niższego (np. ujemnego ), do wyższego, jest to kierunek rzeczywisty. Kierunek przepływu nośników i rzeczywisty kierunek prądu pokrywają się jedynie w przypadku nośników dodatnich. Wielkością charakteryzującą prąd elektryczny jest natężenie. Mierzymy je szybkością przepływu ładunku Q przez określony przekrój przewodnika. W przypadku prądu stałego. Q =, () t gdzie: t jest czasem przepływu ładunku Q przez przekrój przewodnika S. Jeżeli ładunek jest funkcją czasu, wówczas miarą natężenia jest pochodna ładunku względem czasu dq =. (2) dt Jednostką natężenia jest amper, przy czym [ C] [ A] = [ s] ( C - kulomb, s - sekunda). Natężenie mierzymy amperomierzem włączonym do obwodu szeregowo (patrz rys. ). ys. Ćwiczenie 66

2 Duże znaczenie teoretyczne przy badaniu prądu elektrycznego ma wektorowa wielkość fizyczna zwana gęstością prądu. Miarą gęstości jest d j = (3) ds n lub r d r j = ds v o (4) n gdzie: S n jest przekrojem normalnym, a r v o wektorem jednostkowym skierowanym zgodnie z kierunkiem płynącego prądu. ys. 2 Zakładając, że gęstość nośników dodatnich i ujemnych wynosi n ich prędkość jest jednakowa i równa v a bezwzględna wartość ładunku elementarnego e, wówczas natężenie obliczymy ze wzoru = e n v S cos α. (5) Jeżeli nośniki poruszają się równolegle do ścian przewodnika, to S o v = S v cosα i = e n S r o v r. (5 ) óżniczkując wyrażenie względem przekroju S dostajemy j = e n v cosα, lub uwzględniając v cosα = v n, j = e n v n. Ostatni związek można zapisać wektorowo Ćwiczenie 66 2

3 j = e n v n. (6) Zależności (5 ) i (6) opisują natężenie prądu oraz jego gęstość przy pomocy wielkości mikroskopowych. Łatwo zauważyć, ze natężenie prądu. r = jds = e n vds r. (7) S S Jeżeli założymy, że ładunek jest funkcją wielu zmiennych i wypływa z pewnej objętości przewodnika, to (korzystając z (7) ) Ale Q = t jds. (8) S Q = ρ dv, (9) V (gdzie, ρ - gęstość ładunku, V objętość przewodnika, w której znajduje się ładunek Q) i na mocy twierdzenia Gaussa S jds = divjdv, (0) V (gdzie powierzchnia S zamyka objętość V), równanie (8) da się zapisać następująco: ρ = t dv V V divjdv r. Ponieważ objętości po obu stronach równania są identyczne, a całki są równe, to i funkcje podcałkowe są równe. Zatem ρ = divj r, t lub r ρ divj + = 0. () t jest to tzw. równanie ciągłości. Jeżeli ubytek ładunków z objętości V przewodnika przez powierzchnię S 2 Ćwiczenie 66 3

4 ys. 3. jest skompensowany dopływem ładunków przez powierzchnię S (rys. 3.), wówczas mamy stan stacjonarny. Gęstość ładunków w objętości V nie ulega zmianie ρ = const, a Stąd wynika, że równanie ρ t = 0. (2) divj r = 0, (3) Zatem w objętości V przewodnika nie ma źródeł prądu. Zarówno wyrażenia (2) jak i (3) są równaniami ciągłości w stanach stacjonarnych. Załóżmy, że do pewnego punktu obwodu wpływa N prądów i wypływa z niego N 2 prądów odpowiednio o natężeniach, 2,... N oraz, 2,... N2. Suma prądów wpływających i wypływających wynosi N=N +N 2 ys. 4. Ćwiczenie 66 4

5 ównanie ciągłości (3) z uwzględnieniem twierdzenia (0) zapisujemy w postaci jds = 0. (4) S W naszym przypadku na powierzchnię S składają się powierzchnie przekrojów N - przewodników, zatem wzór (4) możemy zastąpić sumą ale więc N j S i i = 0, i= ji Si = i, N i = i= 0. (5) Otrzymaliśmy prawo Kirchhoffa, które mówi, że suma natężeń prądów wpływających do węzła sieci elektrycznej jest równa sumie prądów wypływających. Co można zapisać bardziej przejrzyście N N 2 = i i= i= i '. (6) Patrząc na wzór 5 wydawać by się mogło, że natężenie prądu można byłoby zwiększać dowolnie zwiększając prędkość przepływu nośników v przez przyłożenie odpowiedniej różnicy potencjałów U. W rzeczywistości prędkość ta jest prędkością dryfu. uch nośników nie jest swobodny odbywa się w środowisku wypełnionym drgającymi atomami środowiska. Dochodzi do licznych zderzeń, nośniki przemieszczają się we wszystkich kierunkach, z tym że przemieszczanie w kierunku wyznaczonym przez różnicę potencjałów jest nieco większe. Prędkość v jest tą prędkością przemieszczania. Zatem nośniki doznają oporu ruchu. Natężenie prądu jest funkcją przyłożonego napięcia =f(u). W ustalonej temperaturze U = const. Ćwiczenie 66 5

6 Stała ta zależna jest od środowiska, od cech geometrycznych przewodnika; nazywamy ją oporem elektrycznym U = (7) Opór elektryczny nie zależy ani od płynącego prądu () ani od przyłożonego napięcia (U). Funkcja = f(u) znana jest jako prawo Ohma. W postaci jawnej dla prądu stałego możemy ją zapisać: U, (8) lub = k U, gdzie k = Zatem = const, (ze wzoru 7) U =. (9) ys. 5 Przewodniki, dla których spełniony jest warunek (8), nazywamy omowymi lub liniowymi ( patrz wykres 5). Prawo Ohma możemy sformułować inaczej wiążąc je ze środowiskiem, wówczas l dl = ρ w ; = ρ w, (20) S ds gdzie: ρ w opór właściwy zależny od cech przewodnika, od jego struktury; l - długość przewodnika, S - przekrój. Ćwiczenie 66 6

7 Zróżniczkujmy (9), wówczas Z wyrażenia (3) wynika, że d = du. (2) d = jds. Wiadomo, że du = E dl (l - długość przewodnika, E - natężenie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika). W naszym przypadku j dl. Podstawiając otrzymane związki do wyrażenia (2) otrzymamy jds = Edl. Ponieważ dl r ds r, to jds = Edl. Uwzględniając (20) dostaniemy r jds = ρ w ds r dl Edl. Ostatecznie r j r = σ (22) E w gdzie : σ w = jest przewodnością właściwą. Jest to tzw. różniczkowa ρ w postać prawa Ohma. Jednostką oporu elektrycznego w układzie S jest om [ Ω ], jego wymiar określamy ze wzoru (7) [Ω ]= V A. Opór elektryczny zależny jest od temperatury. Dla przewodników metalicznych można w przybliżeniu napisać wzór: ρ = ρ + α, (23) ( ) w wo T gdzie: ρ wo - opór właściwy w temperaturze T o =273 o K, α - współczynnik temperaturowy oporu. Dla temperatur zbliżonych do temperatury pokojowej temperaturowy współczynnik oporu Ćwiczenie 66 7

8 α ρ ρ w wo = Tρ wo. (24) Weźmy pod uwagę (22), stąd E = j. σ ozpatrzmy przewodnik zamknięty o długości. w Obliczamy całkę po konturze, Niech Edl = σ w jdl. r j dl r, jeżeli Edl = 0, to σ w jdl = 0, ale j =, S więc dl σ S = 0. w Łatwo zauważyć, że dl =. (25) σ w S Więc U = = 0, stąd = 0, ponieważ 0. W obwodzie nie płynie prąd ponieważ brak w nim siły elektromotorycznej. Założyliśmy na początku, że Edl = 0, co oznacza brak czynnika podtrzymującego ruch ładunków elektrycznych. Ćwiczenie 66 8

9 Jeżeli istnieje czynnik zewnętrzny podtrzymujący przepływ ładunków, wówczas r j = σ ( E + E ), gdzie E r z - natężenie pola elektrycznego pochodzącego od zewnątrz. Wtedy jdl 0. Zatem Ponieważ to σ w w r jdl = E + E dl = ( z ). jdl = 0, Ezdl = 0. Jest to siła elektromotoryczna, którą oznaczymy przez E E dl E = z = - oznacza całkowity opór obwodu Jeżeli obwód zawiera K sił elektromotorycznych i N oporów elektrycznych, z wówczas K i= E i = N i = i i ys. 6, (27) jest równaniem zapisanym dla komórki elektrycznej przedstawionej na rys. 6, gdzie K =2, a N = 6. Ćwiczenie 66 9

10 Wzór (27) jest matematyczną postacią drugiego prawa Kirchhoffa. Formułujemy je następująco: W zamkniętym oczku sieci elektrycznej suma wszystkich sił elektromotorycznych tam występujących jest równa sumie spadków napięć na wszystkich oporach oczka. Zapisując to prawo dla obwodu zamkniętego przedstawionego na schemacie 7 otrzymamy: ys. 7 gdzie z = + stąd 2, E = w + + = ( w + z ) 2, = E / ( z + w ) (28) Ostatni wzór przedstawia prawo Ohma dla obwodu zamkniętego. Zauważmy, że = z U jest spadkiem napięcia na oporze zewnętrznym. Napięcie mierzymy w woltach. Woltomierz włączamy równolegle do obwodu w punktach między którymi chcemy zmierzyć różnicę potencjałów (napięcie). ys. 8 Miarą pracy przy przesunięciu ładunku między punktami o różnicy potencjałów U, jest iloczyn W = Q U, (29 ) Ćwiczenie 66 0

11 lub 2 W = U t = t. (29) Dla dowolnego przypadku nieskończenie mała praca dw = U dt = 2 dt. (30) Zależności (29) i (30) przedstawiają prawo Joule a. Opisuje ono skutki energetyczne przepływu prądu elektrycznego, (np. wydzielanie się ciepła na oporniku w wyniku przepływu prądu o natężeniu w czasie t ). Pracę mierzymy w dżulach. Miarą mocy jest iloraz P = dw. dt óżnczkując wyrażenie (29 ) otrzymamy dq U Q du dw + = = P. dt dt dt W stanie ustalonym U = const i dq P = U = U, (3) dt lub P = 2. (32) W układzie S jednostką mocy jest wat. Uwzględniając (7) oraz (26), wzór (3) zapiszemy w postaci P = je lds, ponieważ l ds = dv jest elementem objętościowym, to ale z prawa Ohma j = σ w E, zatem stąd P P = jedv, 2 = σ w E dv dp dv = σ w E 2. (33) dp - jest gęstością mocy. Łatwo zauważyć, że gęstość mocy silnie zależy od dv natężenia pola elektrycznego wewnątrz przewodnika. Korzystając z prawa Ohma i praw Kirchhoffa otrzymamy zależności na łączenie oporów. W przypadku łączenia szeregowego n oporników, Ćwiczenie 66

12 zast. = n = i n i= Jeżeli wszystkie opory są jednakowe, wówczas zast. = n.. (34) Przy łączeniach równoległych opór całkowity jest mniejszy od najmniejszego oporu połączonego równolegle n = =. (35) zast. 2 n i= i Gdy = =... = =, to 2 zast. =. n Jeżeli łączymy k oporników szeregowo z tak utworzonych szeregów tworzymy n połączeń równoległych a wszystkie oporniki są jednakowe, to opór zastępczy układu obliczamy ze wzoru: k n zast. =. n Ćwiczenie 66 2

13 Wyznaczanie współczynnika temperaturowego oporu. Metoda mostkowa. Do pomiaru oporu często wykorzystuje się mostek Wheatstone a. Schemat mostka przedstawiono na rysunku poniżej. ys. 0 Przed przystąpieniem do odczytu wskazań przyrządów - mostek zrównoważymy tzn. przez galwanometr G nie może płynąć prąd elektryczny ( po zamknięciu wyłączników B i G). W stanie równowagi potencjały punktu b d są identyczne wtedy: U ab = U ad, i (34) U = U. ozpływ prądów następuje w punktach a i c bc cd i ale a ab a = ab + ad, c = bc + cd, = oraz =, bc ad U ab = abx ; U ad ad cd = U bc = ab p ; U = 2. cd ad (35) Podstawiając (35) do (34) i wykonując proste działania otrzymujemy x =, p 2 a stąd Ćwiczenie 66 3

14 x = p. (36) 2 Ostatni związek pozwala na obliczenie mierzonego oporu. Ponieważ oporniki, 2 oraz p są wykonane z dużą dokładnością pomiar oporu przy pomocy mostka Wheatstone a charakteryzuje się dużą precyzją. Teoria Zależność oporu elektrycznego od temperatury w przybliżeniu możemy obliczyć ze wzoru (23). Zastępując opór właściwy oporem możemy go zapisać następująco: ( ) = o + α t, gdzie: o - jest oporem mierzonym w temperaturze T o =273 o K, a - oporem zmierzonym w temperaturze t. Na ogół nie znamy o, a zmierzyć możemy i t. ównanie zawiera dwie niewiadome ( o i α ). Aby rozwiązanie było jednoznaczne musimy posłużyć się jeszcze drugim równaniem. ( ) 2 = o + α t2. w tym równaniu możemy zmierzyć 2 i t 2. Dzieląc je stronami otrzymamy: 2 t = + α + αt 2, a stąd po prostych przekształceniach wyznaczamy współczynnik temperaturowy oporu α = t 2 t 2 2. (37) Ćwiczenie 66 4

15 Przebieg pomiarów. Do mostka Wheatstone a podłączamy zasilanie z prostownika do zacisków B. Galwanometr włączamy do gniazda G oraz mierzony opór do zacisków x (patrz schemat rys. ). ys. 2. Zasilanie mostka włączamy przez wciśnięcie i przekręcenie wyłącznika B ( w lewym dolnym rogu ). 3. Wciskając wyłącznik galwanometru G 0 sprawdzamy zerowanie (istnieje możliwość zablokowania tego przycisku w taki sam sposób jak przycisku B). Jeżeli wskazówka galwanometru wyraźnie się przesuwa należy dużymi pokrętłami (p) doprowadzić ją do zera skali. Następnie naciskając wyłącznik G (dający największą czułość) przepuszczamy prąd przez galwanometr i wyzerowujemy go przy pomocy pokręteł p. 4. Po wyzerowaniu odczytujemy wartość p oraz temperaturę początkową opornika. UWAGA! (Opornik zanurzamy w kąpieli olejowej, której temperaturę mierzymy termometrem, podgrzewamy kuchenką elektryczną zasilaną z autotransformatora). 5. Zmieniamy ustawienia pokręteł ( p ) o wskazaną przez prowadzącego wartość oporu, podgrzewamy opornik i w momencie wyzerowania galwanometru odczytujemy temperaturę. 6. Czynności z punktu 5 powtarzamy do momentu gdy temperatura (lub opór) osiągnie wartość wskazaną przez prowadzącego zajęcia. 7. Czynności z punktów 2-6 powtarzamy dla przewodnika metalicznego. 8. Czynności z punktów 2-6 powtarzamy dla termistora. Ćwiczenie 66 5

16 9. Czynności z punktów 2-6 powtarzamy dla roztworu. 0. Sporządzamy wykres zależności = f(t) dla każdego rodzaju opornika.. Dzielimy przedział temperatury na takie podprzedziały w których wykres = f(t) jest zbliżony do odcinka. 2. Obliczamy współczynnik temperaturowy oporu ze wzoru (37) biorąc z wykresu wartości oporów i brzegi przedziału temperatury. 3. Przeprowadzamy rachunek błędów i analizę wyników. 4. Wyciągamy wnioski. Ćwiczenie 66 6

17 iteratura:. Jay Orear - Fizyka t. 2. Jaworski, Dietław, Pinski - Kurs fizyki t mre Tarian - Fizyka dla przyrodników (Biologia, olnictwo ) 4. S. Przestalski - Fizyka z elementami biofizyki i agrofizyki (Biologia, olnictwo ) 5. T. Dryński - Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki 6. H. Szydłowski - Pracownia fizyczna 7. J. Kuczera - aboratorium fizyki i biofizyki (Biologia, olnictwo ) 8. A. Murkowski - Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki i biofizyki (Biologia, olnictwo ) Ćwiczenie 66 7