Nowa metoda. szacowania wartości obciążeń w badaniach mostów. jest niemożliwe do realizacji. Po pierwsze, aparatura. ma określoną dokładność,

Transkrypt

1 dr inż. Piotr Bętkowski Politechnika Śląska Dokładne określenie rzeczywistych wartości obciążeń w badaniach mostów jest niemożliwe do realizacji. Po pierwsze, aparatura pomiarowa ma określoną dokładność, po drugie, obciążenia nie są idealne i jednorodne jak w konwencjonalnych modelach komputerowych. Dodatkowe trudności w określeniu wartości obciążeń (ciężaru konstrukcji i elementów wyposażenia) pojawiają się w przypadku starych, wzmacnianych bądź remontowanych obiektów, gdzie dokumentacja projektowa często nie istnieje, grubości warstw nawierzchni różnią się w różnych miejscach na obiekcie (np. łaty, dziury, koleiny), a ciężar elementów wyposażenia, np. poręczy, można jedynie szacować. Nowa metoda szacowania wartości obciążeń w badaniach mostów fot. Shutterstock 68

2 mosty projektowanie Problem staje się istotny w sytuacjach, w których ważne jest ustalenie rzeczywistych obciążeń działających na konstrukcję. Pomocne mogą tu być metody matematyczne, które nie wymagają dokładnych danych, jak np. liczby przedziałowe. Liczba przedziałowa może służyć do opisu obciążenia z uwzględnieniem wpływu wszystkich źródeł niepewności co do jego wartości. Po przetworzeniu danych otrzymane wyniki (żądane wielkości wewnętrzne) są również liczbą przedziałową, która z założenia zawiera wartość dokładną. Założenia badawcze Użycie technik o osłabionym determinizmie nie jest domeną teorii konstrukcji. To właśnie w praktyce, w czasie próbnych obciążeń, wiele osób przekonało się o rozbieżności wyników uzyskanych na modelach i w czasie badań polowych na obiekcie. Nasuwa się pytanie czy te rozbieżności, przekraczające czasem 30%, są konsekwencją przyjęcia przybliżonych wartości obciążeń, cech fizycznych i geometrycznych konstrukcji, czy też są wynikiem błędnego zaprojektowania konstrukcji lub błędnego jej zamodelowania? Rozbieżność wyników nie jest sprawą błahą, którą załatwia komentarz do wyników próbnego obciążenia, zresztą powstający często w formie usprawiedliwiania różnic i oparty raczej na intuicji niż rzeczywistej wiedzy o obiekcie. Celem badań jest przecież poznanie i ocena pracy obiektu oraz ocena prawidłowości przyjętych w modelowaniu założeń. Często w przypadku remontów czy oceny nośności istniejących obiektów mostowych pojawia się konieczność przeprowadzania inwentaryzacji. Dokumentacja projektowa w wielu przypadkach nie istnieje jest to często spotykany przypadek w realiach polskiej transformacji gospodarczej i upadku dużych firm projektowych. Należy mieć na uwadze, że wszelkie pomiary polowe mogą być wykonane tylko z pewną skończoną dokładnością dokładność sugerowana liczbą miejsc po przecinku w opracowaniach wyników takich badań jest fikcją. Warunki techniczne, w jakich prowadzi się pomiary konstrukcji rzeczywistych, mogą często w sposób istotny ograniczać wiarygodność otrzymanych wyników. Zazwyczaj minimalizację skutków błędów pomiarowych przeprowadza się na bazie obróbki statystycznej. Jeśli nie ma podstaw do przeprowadzenia obróbki statystycznej, wówczas pojawia się problem uwiarygodnienia otrzymanych wyników (1). W zaproponowanej w artykule metodzie autor nie próbuje określić, ile dokładnie wynosi wartość danej wielkości, co często jest niemożliwe, a wszelkie próby podawania wartości ostrych to wróżby. Bezpieczniejsze i dokładniejsze jest podanie wartości parametru jako przedziału, co do którego ma się pewność, że zawiera wartość dokładną. Dokładność jest związana nie z ilością miejsc po przecinku, ale z identyfikacją rzeczywistej wartości parametru, a taka wartość powinna z założenia należeć do przedziału. Taki przedział można opisać za pomocą liczby przedziałowej (rys. 1, str. 70). Proponowana metoda oszacowania dokładności i poprawności wyników jest użyteczna z punktu widzenia praktyki inżynierskiej, a stopień złożoności obliczeń nie wykracza poza typowe zastosowania inżynierskie. Liczby przedziałowe Kluczowym elementem wyboru metody analizy są dane. Dla większości rzeczywistych systemów dokładne dane praktycznie nie są dostępne. I tu właśnie metody miękkie, niewymagające tak dokładnych danych, są zdecydowanie bardziej obiecujące. Liczby przedziałowe są dobrym aparatem matematycznym, służącym do formalizowania przybliżonego, nieostrego charakteru parametrów wykorzystywanych w procesie projektowania (2). Formułowanie zadań miękkich w postaci ostrej zawsze przynosi większe szkody niż postępowanie odwrotne. Kacprzyk w swej książce (2) ostrzega przed arbitralnym wyostrzaniem niepewnych danych: Zwróćmy jeszcze uwagę na to, że ta tendencja do ujmowania zadań w postaci miękkiej nie oznacza wcale rezygnacji z dążenia do większej dokładności i precyzji. Chodzi tylko o to, aby nie robić tego sztucznie i nie wprowadzać ścisłości tam, gdzie nie wynika ona w sposób naturalny ze specyfiki sytuacji. Analiza przedziałowa dostarcza narzędzi umożliwiających przetwarzanie niepewnych danych w sposób dający z założenia gwarantowane wyniki. Taką gwarancją jest, przy prawidłowym określeniu niepewności (szerokości przedziałów) danych wejściowych, przynależność rozwiązania dokładnego do uzyskanego przedziału wyniku. Liczby przedziałowe stosowane są w budownictwie od dawna w postaci niejawnej (chociaż niepewność ma charakter probabilistyczny), np. w postaci współczynników obciążenia wartość obliczeniowa ciężaru własnego konstrukcji jest liczbą przedziałową (0,9*q k ; 1,2*q k ), gdzie q k jest wartością charakterystyczną. Przedziałem rzeczywistym (rys. 1, str. 70) nazywany jest zbiór postaci (3), gdzie: x, x, x x.: [ x; x] x x x x (1) Liczby rzeczywiste utożsamiane są w rozumieniu arytmetyki przedziałowej z przedziałem o zerowej szerokości, tzn. jeżeli a R, to [a] = (a; a). Każdą liczbę ostrą można zapisać w postaci nieostrej jako przedziałową, np. [4] = (4; 4). Dla tak zdefiniowanych liczb przedziałowych podano podstawowe operacje arytmetyczne, zwane arytmetyką przedziałową. Działania arytmetyczne na przedziałach można wyrazić za pomocą końców przedziałów (3), co upraszcza obliczania.: [ y] [ x y; x y] (2) [ y] [ x y; x y] (3) x y, x y, x y, x y ; max x y, x y, x y, x ] [ y] [min y (4) /[ y] [ x; x] [1/ y;1/ y], 0 [ y] (5) 69

3 Rys. 1. Rys Badania odbiorcze Badania odbiorcze stanowią weryfikację założeń przyjmowanych w projektowaniu. Mają na celu ocenę jakości obiektu bezpośrednio po zakończeniu robót, a przed oddaniem do eksploatacji. Wynikiem tych badań jest opinia dotycząca możliwości użytkowania obiektu w sposób bezpieczny i zgodny z oczekiwaniem inwestora (4). Przedmiotem kontroli konstrukcji jest zbadanie, czy zbudowany most spełnia założenia projektowe z akceptowalnym błędem. Różnice mogą narastać podczas nakładania się błędów, np. różnic rzeczywistego i zamodelowanego ciężaru elementów mostu itd. Niemożliwe jest wyeliminowanie tych błędów [tłum. wł.] (5) Trudności pełnego, rachunkowego odwzorowania prawdziwej pracy konstrukcji mostowej, szczególnie przestrzennej, każą z pewną sympatią patrzeć na wartości pomierzone na konstrukcjach istniejących lub ich modelach (...) W celu identyfikacji konstrukcji trzeba przeprowadzić pomiary odkształceń-naprężeń w charakterystycznych punktach konstrukcji mostu przy każdym kolejnym ustawieniu obciążenia. Pozwala to na określenie wzajemnych stosunków wartości naprężeń w mierzonych punktach. Stosunki te informują o proporcji wielkości statycznych, a tym samym o ich rozkładzie (6). Badania odbiorcze mostu dotyczą następujących zagadnień [wg (4)]: kontroli uzyskanej geometrii obiektu, z uwzględnieniem dokumentacji wyjściowej, badań odkształceń konstrukcji pod znanym obciążeniem, pozyskania danych o dynamicznym zachowaniu się konstrukcji, weryfikacji założeń przyjętych na etapie projektowania, w aspekcie ewentualnego podjęcia kroków zaradczych po stwierdzeniu nadmiernych przemieszczeń, odkształceń itd. Dokładność wymiarów określonych w projekcie w zrealizowanej nowo wybudowanej konstrukcji nie powinna przekraczać tolerancji określonej w przepisach dotyczących wymagań technicznych i kontroli jakości robót w procesie budowy mostów (7). W przypadku istniejących, eksploatowanych obiektów, cechy fizyczne materiałów mogły ulec zmianie, dlatego konieczna jest ich identyfikacja (8). Dodatkowy problem stanowi określenie cech geometrycznych elementów mostu, np. dźwigarów stalowych w przypadku mocno posuniętej korozji. Oddzielnym zagadnieniem jest sposób oszacowania ciężaru elementów wyposażenia, które w wyniku eksploatacji mogły ulec uszkodzeniu, noszą ślady napraw ich cechy geometryczne i fizyczne mogą być w związku z tym różne w różnych miejscach na obiekcie arbitralne przyjęcie bez jakichkolwiek analiz jednej ostrej wartości może rozmijać się z rzeczywistością. Przykład prezentacji sposobu analizy przedziałowej Przedziałowa metoda oszacowania wartości obciążeń oraz wyznaczania wartości naprężeń i ugięć zostanie przedstawiona na przykładzie prostego mostu (rys. 2) takie podejście jest na pewno bardziej czytelne niż teoretyczne dywagacje. Długość mostu w osiach łożysk wynosi 10 m (rys. 3). Dźwigary mostu wykonano ze stali o wytrzymałości R o = 190 MPa, moduł sprężystości E = 210 GPa. W modelu założono brak współpracy płyty pomostowej i dźwigara. Przekrój poprzeczny mostu pokazano na rysunku 2. Oczywiście jest to uproszczony model mostu, zawierający tylko kilka elementów niezbędnych do ilustracji opisanej w artykule metody. Dźwigary przyjęto jako stalowe profile walcowane HEB 1000: pole przekroju: F = 0,4 m 2 ; masa: M = 314 kg/m;

4 mosty projektowanie Rys. 3. Rys. 1. Liczba przedziałowa [ x; x] Rys. 2. Przekrój poprzeczny mostu (9) Rys. 3. Ustawienie obciążenia na moście (9) wskaźnik zginania: W x = 0, m 3 ; moment bezwładności: J x =0, m 4. Przedziałowe oszacowanie obciążeń Poniżej na przykładach wyjaśniono, jak na podstawie pomiaru lub oszacowania prawidłowo opisać wartość parametru za pomocą przedziału. Szerokości przedziałów nie mogą być przyjmowane intuicyjnie, ale powinny być wyznaczone na podstawie analiz. Ważne jest, żeby przedział, do którego należy dana wielkość, był na tyle wąski, na ile to tylko możliwe z punktu widzenia jakości wyników, oraz na tyle szeroki, żeby zawierał (uwzględniał) wszystkie możliwe błędy i niedokładności w wyznaczaniu danego parametru (chodzi tu o takie błędy, których nie da się kontrolować, np. wynikające z dokładności danego urządzenia pomiarowego, a nie o zwyczajne pomyłki). Szacowane są wielkości niepewne, których dokładność wyznaczania może budzić wątpliwości. Do opisu obciążeń zostają wykorzystane liczby przedziałowe. Liczby przedziałowe można tworzyć na dwa sposoby: jako min./max z kilku pomiarów, np. [x] = (x min ; x max ) lub jako pomiar dokładny ± dokładność urządzenia pomiarowego x, np. [x] = (x- x; x+ x). Model mostu poddany jest obciążeniom charakterystycznym, a wszystkie niepewności, które mają wpływ na poziom naprężeń i odkształceń, są opisane za pomocą liczb przedziałowych. Obciążenia stałe Poniżej podam przykład szacowania obciążeń stałych na jeden dźwigar: Dźwigar stalowy HEB 1000, ciężar teoretyczny q kt = 3,14 kn/m: zmniejszenie wagi: w starym, wzmacnianym moście można uwzględnić wpływ ubytków korozyjnych przyjęto: -5%; zwiększenie wagi: stężenia, spoiny, nakładki w węzłach itd. przyjęto +10%. Ostatecznie ciężar dźwigara stalowego należy do przedziału (2,983; 3,454), po zaokrągleniu (2,98; 3,46) [kn/m] (w przypadku obliczeń przedziałowych zaokrąglać zawsze należy dolny kres liczby przedziałowej w dół, górny w górę). Płyta pomostowa: grubość 0,2 m, szerokość 6,8 m (rys. 2). W przypadku mostu, który wymaga inwentaryzacji istnieją dwa potencjalne źródła niepewności: dokładność pomiaru elementu i oszacowanie ciężaru objętościowego materiału, z którego wykonano dany element: szacowanie wymiarów: metoda jako min./max z kilku pomiarów. Po wykonaniu kilku pomiarów przyjęto, że szerokość płyty (do osi jezdni) należy do przedziału: (3,39, 3,41) [m], grubość płyty: (0,2; 0,21); szacowanie ciężaru objętościowego: beton w moście może być niejednorodny przyjęto (24; 25) [kn/m]. Ostatecznie po przemnożeniu pola przekroju płyty pomostowej przez jej ciężar objętościowy otrzymano (16,27; 17,91) [kn/m]. Kapa chodnikowa + belka gzymsowa: grubość: 0,2 m, szerokość: 0,6+0,9 m, wg rysunku 2. szacowanie wymiarów: metoda po wykonaniu kilku pomiarów przyjęto, że szerokość kapy należy do przedziału: (0,59, 0,61)+(0,88; 0,91) [m], grubość: (0,19; 0,20); szacowanie ciężaru objętościowego: przyjęto (23; 25) [kn/m]. Ostatecznie po przemnożeniu pola przekroju przez ciężar objętościowy otrzymano (6,42; 7,60) [kn/m]. Grubość asfaltu na jezdni w przypadku starych mostów nie jest stała na skutek powstania kolein i licznych napraw. Ciężar asfaltu jest również zmienny i zależy od rodzaju materiałów używanych do napraw nawierzchni drogowej: 71

5 Literatura 1. Paczkowska T., Paczkowski W.: Ocena wiarygodności wyników obciążeń próbnych wiaduktu o konstrukcji zespolonej. XLVIII Konferencja Naukowa KILiW PAN i KN PZITB, Opole Krynica 2002, t. 4, Kacprzyk J.: Zbiory rozmyte w analizie systemowej. Warszawa Moore E.R.: Interval Analysis. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New York, USA Biliszczuk J., Hildebrand M.: Ocena stanu technicznego i badania mostów podwieszonych. Inżynieria i Budownictwo, 7/2001, Danjian Han, Quansheng Yan (praca zbiorowa): Chapter 58: Cable Force Adjustment and Construction Control. BridgeEngHandbook by CRC press LLC. 6. Ryżyński A.: Badania konstrukcji mostowych. WKŁ, Warszawa Madaj A., Wołowicki W.: Budowa i utrzymanie mostów. WKŁ, Warszawa Czapliński K., Suwalski J.: O metodologicznych aspektach ekspertyz budowlanych. Inżynieria i Budownictwo, 7/2004, Bętkowski P.: Przedziałowa metoda szacowania wartości obciążeń w mostach. IV Ogólnopolska Konferencja Mostowców, Wisła 2005, PN-85/S Obiekty mostowe. Obciążenia. 11. PN-91/S Obiekty mostowe. Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Projektowanie. 12. PN-82/S Obiekty mostowe. Konstrukcje stalowe. Projektowanie. 72 szacowanie wymiarów: metoda jako min./max z kilku pomiarów przyjęto szerokość jezdni (2,49, 2,52) [m], grubość warstw asfaltu: (0,07; 0,10) w zależności od miejsca pomiaru; szacowanie ciężaru objętościowego: przyjęto (21; 23) [kn/m]. Po przemnożeniu pola przekroju przez ciężar objętościowy otrzymano (3,66; 5,78) [kn/m]. Asfalt na chodniku: szacowanie wymiarów: metoda jako min./max z kilku pomiarów: szerokość chodnika: (1,09, 1,11) [m]; grubość warstw asfaltu jest w przybliżeniu stała: (0,03; 0,03); szacowanie ciężaru objętościowego: przyjęto (22; 23) [kn/m]. Po przemnożeniu pola przekroju przez ciężar objętościowy otrzymano (0,71; 0,77) [kn/m]. Ciężar poręczy jest trudny do dokładnego wyznaczenia, ponieważ w przypadku spotykanych w starych mostach zamkniętych profili (rur) trudno czasami zmierzyć grubość ścianek. Ponadto trzeba uwzględnić ubytki korozyjne oraz ciężar wielu warstw farby oszacowano: (0,5; 0,7) kn/m. Suma wszystkich powyższych obciążeń stałych wynosi: q k = (30,54; 36,22) kn/m. Obciążenia zmienne Najprostszym obciążnikiem mostu jest pojazd; załadowany samochód ciężarowy (...) Pojazd musi zostać zważony oraz muszą zostać również zmierzone (zważone) naciski wywierane przez poszczególne osie (pary kół pojazdu) (6). Położenie pojazdów w czasie próbnego obciążenia musi być ściśle określone, tak aby istniała możliwość porównania wyników badań uzyskanych na obiekcie i na modelu. Na (rys. 3, str. 71) pokazano ustawienia samochodów na moście odpowiednio w kierunku poprzecznym i podłużnym do osi mostu. Długość mostu można wyznaczyć jako min./max z kilku pomiarów: l = (9,99; 10,02) [m]. W rozpatrywanym przykładzie przyjęto pojazd o ciężarze i rozstawie osi jak dla klasy E według mostowej normy obciążeń (10). Do obciążenia przyjęto samochody o masie 15 ton każdy, nacisk na osie wynosi odpowiednio P 1 = 10 ton (oś tylnia), P 2 = 5 ton (oś przednia). Samochody do próbnych obciążeń mostu obciąża się ładunkiem, np. żwirem. Załadunek i ważenie samochodów odbywa się na ogół we wczesnych godzinach rannych, a badania trwają niekiedy cały dzień. Ładunek może więc na skutek opadów deszczu zmoknąć i zwiększyć swoją wagę lub ją zmniejszyć, kiedy przeschnie na słońcu. Dokładność wskazań wagi pomiarowej jest również skończona. Ciężar samochodu można więc określić jedynie z pewnym przybliżeniem, zakładając, że należy do pewnego przedziału, w artykule przyjęto P 1 = (95; 105) [kn], P 1 = (45; 55) [kn]. Przedziałowość naprężeń Obciążenia są przedziałowe, a więc naprężania również określa się za pomocą liczb przedziałowych. Otrzymuje się przedział, który z założenia powinien zawierać wartość dokładną. Moment w środku rozpiętości mostu od obciążeń stałych wynosi: M qk = (380,9; 454,6) knm. Moment w środku rozpiętości mostu od obciążeń zmiennych (samochody według rys. 3, str. 71) wynosi M Pk = (528,7; 592,2) knm. Suma momentów w środku rozpiętości wynosi M = (909,6; 1046,8) knm. Wskaźnik zginania na skutek ubytków korozyjnych może maleć, na skutek współpracy dźwigara z innymi elementami może natomiast wzrosnąć przyjęto w prezentowanym przykładzie ±5% przy W x = (0,012246; 0,013535) m 3. M (6) W x Jako wynik ze wzoru 6 otrzymano przedział, do którego powinna należeć dokładna wartość naprężeń od wszystkich wpływów: σ = (67,2; 85,5) MPa. Przyrost naprężeń w moście od obciążenia samochodami pomierzony np. tensometrami powinien należeć do przedziału: σ Pk = (39,0; 48,4) MPa. Normy mostowe dotyczące projektowania (11, 12) wiążą naprężenia i obciążenia za pomocą warunku: σ max R, gdzie σ max naprężenia maksymalne, R wytrzymałość. Można w uproszczeniu przyjąć wytrzymałość jako liczbę ostrą, przyjętą na podstawie określonej normy projektowej, natomiast naprężenia traktować jako wartości przedziałowe. W takim podejściu żadna wartość z przedziału naprężeń nie może przekraczać wytrzymałości. Za słusznością takiego modelu przemawia fakt, że na ogół wytrzymałość jest dobrze określona i ma uzasadnienie probabilistyczne, natomiast na wielkość wyznaczonych naprężeń ma wpływ dokładność przyjętego modelu obliczeniowego, dokładność określenia obciążeń oraz dokładność wykonania konstrukcji. Przedziałowość ugięć Jeżeli wartość obciążenia zmiennego nie jest dokładnie znana, ale określona z pewnym przybliżeniem, to wartość ugięć krótkotrwałych δ otrzymuje się w postaci liczby przedziałowej. Moduł sprężystości stali jest na ogół dobrze określany. Do obliczeń przyjęto stałą wartość modułu, co w zapisie przedziałowym przyjmuje postać E = (210; 210) GPa. Moment bezwładności J x może przyjmować wartości różne od wartości teoretycznej wyznaczonej dla dźwigara (skutek ubytków korozyjnych lub współpracy dźwigara z innymi elementami), dlatego przyjęto, podobnie jak w przypadku wskaźnika zginania, niepewność ±5% przy J x = (0,006125; 0,006769) m M l 48 E (7) Przyrost ugięć w moście od obciążenia samochodami pomierzony np. za pomocą czujników indukcyjnych powinien należeć według wzoru 7 do przedziału: δ = (0,0038; 0,0049) m. W przypadku ugięć wyniki uzyskane na modelach i w czasie badań na obiekcie często się różnią. Przeprowadzona analiza pokazuje dwie istotne sprawy po pierwsze, wykazuje, że wyniki uzyskane na skutek uwzględnienia drobnych niedokładności (braku pewności co do rzeczy- J x

6 mosty projektowanie fot. Shutterstock wistej wartości) obciążeń, liczone jako szerokość przedziału do wartości średniej, mogą różnić się nawet o 25% (co jest obserwowane w czasie badań). Po drugie, taka przedziałowa analiza pozwala na łatwą interpretację wyników jeżeli wynik należy do przedziału, to rozbieżności w wartościach pomierzonych na obiekcie i wyznaczonych na modelu są konsekwencją niewłaściwego modelowania obciążeń i cech geometrycznych, jeśli wynik pomiarów wykracza poza otrzymany przedział, to błędy dotyczą modelu (taki model powinien być poddany ponownej ocenie). W tym przykładzie niepewność obciążenia związana była z jego wartością. Można szacować jeszcze niedokładność związaną z ustawieniem obciążenia na pomoście. W czasie próbnych obciążeń ustawia się obciążenie tak, jak na sporządzonym wcześniej modelu, ale dokładność ustawienia obciążenia czy rozkład nacisku na lewe i prawe koło osi mogą różnić od przyjętych w modelu (nigdy żwir czy inny balast nie jest idealnie symetrycznie rozłożony na wywrotce). Oszacowania takiego można dokonać, kierując się zasadą, żeby nadmiernie, bez uzasadnienia, nie powiększać szerokości przedziału. Zbyt szeroki przedział może w konsekwencji uniemożliwić prawidłową interpretację wyników. Z drugiej strony przedział powinien być na tyle szeroki, aby dawał z założenia gwarancję, że prawidłowa wartość rozwiązania należy do przedziału. Uwagi końcowe Zaproponowana metoda może służyć do oceny poprawności wyników uzyskanych na obiekcie w czasie próbnego obciążenia. W przypadku pomiarów polowych dane są niepewne i często pojawia się problem oszacowania ich wartości. Oszacowanie za pomocą przedziału, co do którego jest się pewnym, że zawiera wartość dokładną, jest na pewno bezpieczniejsze i bardziej wartościowe z punktu widzenia oceny wyników, niż intuicyjne przyjęcie jakiejś wartości. Ponadto zaproponowana metoda pozwala powiązać dokładność wyników z dokładnością danych. Szacowanie niepewności przydatne jest wszędzie tam, gdzie chce się uzyskać wyniki dokładne, a dokładność wyznaczonych wartości danych jest sprawą wątpliwą. Ważne jest, że stopień złożoności zaproponowanej metody nie wykracza poza typowe zastosowania inżynierskie, a w zamian otrzymuje się praktyczne narzędzie służące do oceny poprawności wyników. q 73