Edward Sąsiada( )
|
|
- Patryk Krajewski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria II: WIADOMOŚCI MATEMATYCZNE XXXVII(2001) S. Balcerzyk(Toruń) B. Kamiński(Toruń) Edward Sąsiada( ) Profesor Edward Sąsiada urodził się 18 marca 1924 roku we Lwowie. Po ukończeniu szkoły podstawowej w roku 1936 do chwili wybuchu wojny uczęszczał do Państwowego Gimnazjum nr I we Lwowie, a następnie w latach do VII Szkoły Średniej. Podczas okupacji niemieckiej był zatrudniony jako uczeń w Warsztatach Samochodowych(HKP) we Lwowie. Po powtórnym zajęciu Lwowa przez wojska radzieckie został powołany do pracy w Remontowej Fabryce Czołgów, w której pracował do czasu repatriacji w 1946 roku. Razem z rodzicami został repatriowany do Gliwic i tu, po roku nauki w liceum ogólnokształcącym, uzyskał świadectwo dojrzałości. Edward Sąsiada studiował matematykę na Uniwersytecie Wrocławskim w latach , uzyskując w dniu r. stopień magistra matematyki na podstawie pracy O dzieleniu i rozspajaniu przez zbiory domknięte wykonanej pod kierunkiem profesora Bronisława Knastera. Wroku1952przeniósłsięzWrocławiadoToruniawrazzprofesorem Jerzym Łosiem, który w tym czasie rozpoczął organizowanie zespołu badawczego o tematyce algebraicznej. Edward Sąsiada początkowo pracował jako asystent przy Katedrze Matematyki UMK, a następnie w 1953 roku rozpoczął pracę w nowo utworzonym Toruńskim Oddziale Instytutu Matematycznego PAN, gdzie był zatrudniony do czasu przejścia na emeryturę w 1994 r. Prowadził także wykłady monograficzne i seminaria w Instytucie Matematyki UMK. W roku 1959 uzyskał stopień doktora na podstawie rozprawy O rozszczepialności grup mieszanych napisanej pod kierunkiem profesora J. Łosia.
2 146 S. Balcerzyk, B. Kamiński W 1961 r. habilitował się na podstawie rozprawy Pierścienie proste i radykalne w sensie Jacobsona i uzyskał stanowisko docenta w IM PAN, a tytuł profesora nadzwyczajnego w 1967 roku. Początkowo Edward Sąsiada współpracował z profesorem Jerzym Łosiem. Wspólną dziedziną ich badań była teoria grup abelowych. Nawiązanie kontaktów z matematykami węgierskimi Tiborem Szele i Laszlo Fuchsem, aktywnie pracującymi w tej dziedzinie, bardzo ożywiło działalność zespołu toruńskiego. Pierwsze prace Edwarda Sąsiady[1] [4] poświęcone są specjalnym problemom strukturalnym. Prace[5],[6] mają nieporównywalnie większą wagę i poświęcone są jednemu z podstawowych problemów teorii grup abelowych opisowi grup nierozkładalnych. Zasadniczą metodą stosowaną w tej teorii (także w teorii modułów i innych teoriach algebraicznych) jest rozkładanie grupy na sumę prostą lub produkt dwóch lub więcej jej podgrup. Klasyczne twierdzenie Stickelbergera orzeka, że grupa(abelowa) o skończonej liczbie generatorów ma rozkład jednoznaczny, z dokładnością do izomorfizmu, na sumę prostą grup cyklicznych nierozkładalnych(tzn. nie mających nietrywialnego rozkładu na sumę prostą). Składniki cykliczne nierozkładalne są izomorficzne bądź z grupą liczb całkowitych, bądź z grupą reszt liczb całkowitych modulo potęgi liczb pierwszych. Aczkolwiek żaden odpowiednik twierdzenia Stickelbergera nie zachodzi dla dowolnych grup(nie każda grupa jest sumą prostą grup nierozkładalnych), to jednak w bardzo naturalny sposób wyłania się problem opisu grup nierozkładalnych. Łatwozauważyć,żenierozkładalnesągrupyPrüferaC(p )pierwiastkówzjedynkistopnip,p 2,p 3,...(względemmnożenia)dladowolnejliczby pierwszejp.grupycyklicznerzędup n igrupyprüferasąjedynyminierozkładalnymi grupami torsyjnymi. Pozostałe grupy nierozkładalne są beztorsyjne i ich listę rozpoczynają podgrupy addytywnej grupy liczb wymiernych. Przykład beztorsyjnej przeliczalnej grupy nierozkładalnej, nie będącej podgrupą grupy liczb wymiernych, pierwszy podał Levi w 1917 r.; inny przykład skonstruowałl.pontriaginw1934r.w1937r.r.baerzauważył,żegrupa addytywnacałkowitychliczbp-adycznych Ẑp,którajestmocy2 ℵ 0,jestnierozkładalna(gdyż Ẑp/ p Ẑ p jestgrupącyklicznąrzędup);tęsamąwłasność makażdaserwantnapodgrupagrupy Ẑp(tzn.podgrupaHspełniającawarunkiH nẑp=nhdlawszystkichliczbcałkowitychn).otrzymanowięc znacznyzasóbgrupnierozkładalnychdowolnejmocy 2 ℵ 0,natomiastnie wiadomobyło,czyistniejągrupynierozkładalnemocywiększejniż2 ℵ 0. Barieręmocy2 ℵ 0 przekroczyłedwardsąsiadawpracach[5]i[6],konstruującnajpierwgrupęnierozkładalnąmocy2 2ℵ 0,anastępniegrupynierozkładalnemocy2 2ℵ 0,2 22ℵ 0,...Wkonstrukcjiwykorzystałbardzoistotne
3 Edward Sąsiada( ) 147 wysubtelnienia procedur poprzednio stosowanych przez Pontriagina i Bognara oraz twierdzenie Łosia o homomorfizmach nieskończonych produktów grup beztorsyjnych. Badania te były kontynuowane przez A. L. S. Cornera, L. Fuchsa, J. de Groota, A. Hulanickiego i doprowadziły do konstrukcji grup nierozkładalnych dowolnej mocy mniejszej od pierwszego mocno nieosiągalnego alefa. Praca[11] ma bardzo rozległe powiązania; pośrednio wywodzi się z problemu K. Borsuka, który pytał, czy jeśli przestrzeń topologiczna X jest homeomorficzna z retraktem przestrzeni Y, a przestrzeń Y jest homeomorficzna z retraktem przestrzeni X, to przestrzenie X i Y mają izomorficzne grupy kohomologii. Pytanie to umieścił S. Eilenberg na swej liście problemów w1949r.,ai.kaplanskywswejmonografiiabeliangroupsz1954r.przeformułował je jako tzw. First Test Problem: czy jeśli grupa X jest izomorficzna ze składnikiem prostym grupy Y i grupa Y jest izomorficzna ze składnikiem prostymgrupyx,togrupyxiysąizomorficzne?jeśliogrupachx,yzałożyć dodatkowo, że są skończenie generowane, to odpowiedź pozytywna jest oczywista. W pracy[11] Edward Sąsiada podał negatywne rozwiązanie tego problemu, a więc także i problemu Borsuka, konstruując odpowiednie grupy beztorsyjne i wykorzystując przy tym własny wynik o tzw. grupach wąskich z pracy[7]. Orzeka on, że grupa przeliczalna, beztorsyjna i zredukowana Gjestwąska,tzn.każdyhomomorfizmproduktu u=1 Ze nnieskończonych grupcyklicznych Ze n wtakągrupęgmawartość0naprawiewszystkich elementache n. Wynik ten był wielokrotnie wykorzystywany w pracach innych autorów, a pojęcie grupy wąskiej było modyfikowane na wiele sposobów. Innezastosowaniewynikuzpracy[7]zawartejestwpracy[8],wktórej wykazano, że jeśli grupa beztorsyjna ma rozkład na produkt grup rangi 1, to rozkład ten jest jednoznaczny z dokładnością do izomorfizmu. Wynik ten stanowi rozwiązanie jednego z problemów A. G. Kurosza. Prace[1],[9] poświęcone są endomorfizmom grup. Podano rozwiązanie dwóch problemów L. Fuchsa: skonstruowano dwie takie grupy, których pierścienie endomorfizmów nie są izomorficzne, lecz izomorficzne są grupy addytywne tych pierścieni oraz przykład grupy nierozkładalnej, której addytywna grupa endomorfizmów jest rozkładalna. Prace[4],[21] są poświęcone zagadnieniu rozszczepialności grup. Podgrupa T(G) grupy G, składająca się z wszystkich elementów skończonego rzędu, nie jest na ogół składnikiem prostym(tzn. G na ogół nie rozszczepia się). Grupa ilorazowa H(G) = G/T(G) jest zawsze beztorsyjna. W pracach [4],[21]podajesięwarunkinagrupętorsyjnąT,beztorsyjnąHtakie,żeizomorfizmyT T(G),H H(G)implikują,iżgrupaT(G)jestskładnikiem prostym grupy G.
4 148 S. Balcerzyk, B. Kamiński Najważniejszy wynik pracy[14], to dowód, że w grupie(nieabelowej) wolnej o przynajmniej trzech wolnych generatorach istnieją częściowe uporządkowania nie mające przedłużenia do pełnych uporządkowań; oczywiście żądasięzgodnościrelacjiporządkującej zdziałaniemgrupowym:jeśli a b,toac bcica cb. Następne prace[12],[13],[15] poświęcone są teorii radykałów pierścieni. W pracy[12] podano anons rozwiązania dawno postawionego problemu istnienia pierścienia prostego(o niezerowym mnożeniu) radykalnego w sensie Jacobsona. Przypomnijmy, że pierścień(nie zakłada się istnienia jedynki) jest prosty, jeśli jedynymi jego ideałami obustronnymi są ideał zerowy i cały pierścień. Radykałem Jacobsona pierścienia R jest przekrój wszystkich modularnych maksymalnych prawostronnych ideałów(prawostronny ideał I R jest modularny,jeśliistniejeelementa Rtaki,żex ax Idlawszystkich x R). Edward Sąsiada skonstruował taki pierścień wykorzystując pewne podalgebry algebry szeregów formalnych dwóch nieprzemiennych zmiennych o współczynnikach z ciała dwuelementowego. Wynik ten uzyskał w czasiepobytuwmoskwieiprzedstawiłwdniu20grudnia1960r.nazebraniu Moskiewskiego Towarzystwa Matematycznego. Jest on często cytowany. Spotkał się on z dużym zainteresowaniem i uznaniem specjalistów, o czym świadczy m.in. fakt, że wobec przedstawienia w pracy[12] jedynie krótkiej informacji o wyniku, bez dowodu najistotniejszego kroku, dopiero w kilka lat później prof. P. M. Cohn nakłonił Edwarda Sąsiadę do opublikowania pełnego opisu konstrukcji, przygotowując uproszczoną i nieco uogólnioną wersję podstawowego lematu. W ten sposób powstała praca[15] z 1967 r., w której autorzy wymieniani są w bardzo rzadkim porządku niealfabetycznym(e.sąsiada,p.m.cohn). W pracy[13] podano negatywne rozwiązanie problemu Kurosza: Czy radykał Jacobsona jest górnym radykałem(w sensie Kurosza) wyznaczonym przez klasę wszystkich prostych pierścieni prymitywnych? W drugiej połowie lat sześćdziesiątych Edward Sąsiada zajął się nową dziedziną matematyki teorią ergodyczną. W roku akademickim 1968/69 zainicjował wykład monograficzny i seminarium z tej dziedziny, przeznaczone dla studentów i pracowników ówczesnego Instytutu Matematyki. Przez wiele lat seminarium to odbywało się w kawiarni Zamkowej. Uczestnikami tego seminarium byli m.in. M. Binkowska, Z. Bobiński, P. Jarek, L. Jeśmanowicz, B. Kamiński, A. Kłopotowski, J. Kwiatkowski, F. Maniakowski, K. Parczyk i J. Sikorski. Niezależnie od tego profesor Sąsiada zaczął wykładać teorię prawdopodobieństwa. Z jego inicjatywy A. Kłopotowski podjął w roku 1972 studia doktoranckie w Pracowni Instytutu Matematycznego PAN w Sopocie w zakresie teorii prawdopodobieństwa. Po uzyskaniu tam w 1975 r. stopnia doktora kontynuował badania w Instytucie Matematyki
5 Edward Sąsiada( ) 149 UMK wciągając do współpracy A. Jakubowskiego, M. Raczyńską(Kobus) i Z. Szewczaka, a później L. Słomińskiego. Głównym problemem badawczym nurtującym Edwarda Sąsiadę była klasyfikacja teorio-miarowych układów dynamicznych. Podjęcie tego problemu przez J. Kwiatkowskiego w zakresie układów z dyskretnym widmem zaowocowało w 1972 roku jego rozprawą doktorską([d3]). Niezwykle ambitny zamiar Edwarda Sąsiady przeprowadzenia pełnej klasyfikacji układów Bernoulliego za pomocą entropii niestety nie został uwieńczony sukcesem. Dokonał tego wybitny specjalista amerykański D. S. Ornstein w 1970 roku. Zagadnieniu klasyfikacji topologicznych układów dynamicznych była poświęcona praca[18], w której został podany pełny układ niezmienników topologicznej sprzężoności monotonicznych homeomorfizmów odcinka. W roku 1972 uwagę Edwarda Sąsiady przyciągnął nowo zdefiniowany przez J. P. Conze a niezmiennik izomorfizmu wielowymiarowych układów dynamicznych(działańgrupy Z d naprzestrzeniachprobabilistycznychlebesgue a).wswejpracy[c]conzerozważałm.in.działaniagrupy Z d ze ściśle dodatnią entropią i pytał, czy takie układy mają widmo przeliczalnie krotne lebesgue owskie. Praca[16] zawiera pozytywną odpowiedź na to pytanie, przy czym kluczowy pomysł, należący do Profesora, polegał na skonstruowaniu specjalnego pozaskończonego ciągu rozbić mierzalnych, a także na zastosowaniu relatywnego spojrzenia na klasyczne twierdzenie Rochlina Sinaja. Zdefiniowane w tej pracy pojęcie domknięcia Pinskera rozbicia niezmienniczego(aktualna nazwa: relatywnego faktora Pinskera) było bardzo owocne. Wprowadziło ono do tematyki badań prowadzonych w zespole toruńskim relatywne spojrzenie na klasyczną teorię ergodyczną i wykorzystanie tej metody w badaniach. Warto podkreślić, że taka metoda była niezależnie stosowana przez wybitnego francuskiego specjalistę J. P. Thouvenota, znanego m.in. z jego zrelatywizowanej teorii izomorfizmu układów Bernoulliego. Metoda ta była wykorzystywana m.in. w rozprawie doktorskiej[d4] drugiego z autorów tego artykułu. Wielowymiarowym układom symbolowym poświęcone są prace[19] i[20]. W pracy[19] dowodzi się, że jeśli rodzina funkcji dwóch zmiennych przebiegających przestrzeń fazową układu(zwana specyfikacją) jest taka, że każda funkcja należąca do tej rodziny jest monotoniczną granicą funkcji ciągłych, to rodzina taka wyznacza miarę probabilistyczną na przestrzeni fazowej. Rezultat ten jest uogólnieniem wyniku uzyskanego w roku 1968 przez Dobruszina. W pracy[20] został podany przykład pokazujący, że dowolnie zadana specyfikacja może nie wyznaczać żadnej miary probabilistycznej. Wymienione wyżej prace stanowiły fragment zainteresowania Edwarda Sąsiady fizyką.
6 150 S. Balcerzyk, B. Kamiński Inną publikacją związaną z tą dziedziną jest praca[17], w której wprowadza on pojęcie entropii stanu statystycznego logiki kwantowej i pokazuje, że jest ona nierosnącą funkcją czasu, jeśli ewolucja stanów w czasie spełnia własność Markowa. Wzwiązkuztąpublikacjąwartozapoznaćsięzpracą[I]R.S.Ingardena zawierającą komentarz do wyżej wymienionej publikacji Edwarda Sąsiady. Pod kierunkiem Profesora w zakresie omawianej tematyki została napisana rozprawa doktorska[d5] K. Parczyk. Na początku lat osiemdziesiątych Profesor Sąsiada wraz z grupą współpracowników zajął się jednym z klasycznych problemów teorii operatorów liniowych i ciągłych przestrzeni Banacha, a mianowicie problemem istnienia nietrywialnych domkniętych podprzestrzeni niezmienniczych. Osoby zainteresowane tym problemem odsyłamy do literatury specjalistycznej(np.[e], [R],[RR]), a także do autobiografii[h] P. R. Halmosa. Tej tematyce Edward Sąsiada poświęcił wykład monograficzny w roku akademickim 1978/79. Niestety, badania te przerwała choroba Profesora, która już go nie opuściła i uniemożliwiła prowadzenie dalszych badań. Życie Profesora Sąsiady było poświęcone głównie pracy badawczej. Z reguły atakował trudne problemy. Chętnie współpracował z innymi i dzielił się swoimi pomysłami. Cechowała go bezpośredniość, prostota i trzeźwy stosunek do otaczającej rzeczywistości. Zajęcia kursowe nie były jego pasją, chociaż prowadził je sumiennie. Natomiast wykłady monograficzne, a także seminaria związane z nowymi dziedzinami jego zainteresowań prowadził z prawdziwym entuzjazmem. Warto podkreślić, że wykład E. Sąsiady z teorii prawdopodobieństwa był w środowisku toruńskim pierwszym nowoczesnym wykładem z tej dziedziny. Można podziwiać odwagę Profesora podjęcia przez niego tematyki badawczej w dziedzinach matematyki tak bardzo odległych od algebry, jak teoria ergodyczna i mechanika statystyczna, po czterdziestym roku życia. Uzyskał on szereg interesujących wyników w tych dziedzinach, ale, co może jest jego jeszcze większym osiągnięciem, dzięki swojemu talentowi jako badacza i życzliwemu stosunkowi do ludzi znalazł uczniów, którzy kontynuowali jego badania. Aktualnie istniejące zespoły na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu: zespół teorii ergodycznej i układów dynamicznych kierowany przez prof. J. Kwiatkowskiego oraz zespół teorii prawdopodobieństwa kierowany przez prof. A. Jakubowskiego, prowadzą badania naukowe na poziomie światowym. Poza wymienionymi pozaalgebraicznymi dziedzinami matematyki Profesor przez dłuższy okres czasu współpracował z toruńskimi fizykami, szczególnie z prof. R. S. Ingardenem. Poza pracą naukową żywo interesował się filozofią i zagadnieniami politycznymi. Ponadto lubił zajmować się fotografiką. W pamięci kolegów i uczniów pozostanie zamyślona twarz Profesora z nieodłącznym papierosem w ręku.
7 Edward Sąsiada( ) 151 W okresie swej działalności naukowej uczestniczył wielokrotnie w zjazdachisympozjach,zarównowkrajujakizagranicą.wlatach kilkakrotnie był na Węgrzech, gdzie podjął współpracę z matematykami węgierskimi. W latach przebywał na krótkich stażach naukowych na Uniwersytecieim.ŁomonosowawMoskwie,awroku1965wUSAnaUniversity of Chicago. W roku 1964 uczestniczył w Międzynarodowym Kongresie Matematycznym w Sztokholmie. W roku 1964 Edward Sąsiada otrzymał indywidualną nagrodę Ministra Szkolnictwa Wyższego za rozprawę habilitacyjną, a w 1995 r. honorowe członkostwo Polskiego Towarzystwa Naukowego za wybitne zasługi dla naukipolskiej.wtymsamymrokurektorisenatumkprzyznalimumedal Za zasługi położone dla rozwoju Uczelni. ProfesorEdwardSąsiadazmarł23lutego1999rokuwwieku74lat i został pochowany na cmentarzu św. Jerzego w Toruniu. Prace doktorskie wykonane pod kierunkiem Profesora Sąsiady [D1]R. Kiełpiński, OcharakteryzacjiistrukturzemodułówP-serwantnieiniektywnych, [D2]T. Sekou, Slendersemigroups,slendermodulesandslenderrings,1970. [D3]J. Kwiatkowski, Własnościspektralneiklasyfikacyjnenieergodycznychukładów dynamicznych z widmem dyskretnym, [D4]B. Kamiński, Entropiaikoalescentnośćabelowychgrupautomorfizmówprzestrzeni Lebesgue a, [D5] K. P a r c z y k, Twierdzenie ergodyczne fizyki statystycznej układów nieskończonej ilości cząstek, [D6]A.Jakubowski, Twierdzeniagranicznedlasumzależnychzmiennychlosowych o wartościach w przestrzeniach Hilberta, Pod kierownictwem Prof. Sąsiady wykonano 31 prac magisterskich. Lista publikacji Profesora Sąsiady [1] On abelian groups every countable subgroup of which is an endomorphic image, Bull. Acad. Polon. Sci. 2(1954), [2]Onthebasesofmodulesoveraprincipalidealring,Bull.Acad.Polon.Sci.3(1955), (współautor: A. W. Mostowski). [3] On abelian groups with hereditarily generating systems, Publ. Math. 4(1956), (współautorzy: J. Łoś, Z. Słomiński). [4] An application of Kulikov s basic subgroups in the theory of abelian mixed groups, Bull. Acad. Polon. Sci. 4(1956), [5] Construction of a direct indecomposable abelian group of a power higher than that of the continuum, Bull. Acad. Polon. Sci. 5(1957), [6] Construction of directly indecomposable abelian groups of power higher than that of thecontinuum.ii,bull.acad.polon.sci.7(1959),23 26.
8 152 S. Balcerzyk, B. Kamiński [7] Proof that every countable and reduced torsion-free abelian group is slender, Bull. Acad. Polon. Sci. 7(1959), [8] On the isomorphism of decompositions of torsion-free abelian groups into complete directssumsofgroupsofrankone,bull.acad.pol.sci.7(1959), [9] On two problems concerning endomorphism groups, Ann. Sci. Budapest. de Rolando Eötvös Nominatae 2(1959), [10] The complete direct sums of torsion-free abelian groups of rank 1 which are separable, Bull. Acad. Polon. Sci. 8(1960), 1 2(współautorka: M. Król). [11] Negative solution of I. Kaplansky s first test problem for abelian groups and a problem of K.Borsuk concerning cohomology groups, Bull. Acad. Polon. Sci. 9(1961), [12] Solution of the problem of existence of simple radical ring, Bull. Acad. Polon. Sci. 9 (1961), 257. [13] A note on Jacobson radical, Bull. Acad. Polon. Sci. 9(1962), (współautor: A. Suliński). [14] Note on orderable groups, Ann. Univ. Sci. Budapest. de Rolando Eötvös Nominatae 7(1964), 13 17(współautor: L. Fuchs). [15]Anexampleofasimpleradicalring,J.Algebra5(1967), (współautor:P.M. Cohn). [16] Spectrum of abelian groups of transformations with completely positive entropy, Bull. Acad. Polon. Sci. 24(1976), (współautor: B. Kamiński). [17] A notion of entropy which does not increase, Rep. Math. Phys. 10(1976), [18] On the conjugacy of homeomorphisms of unit interval, Comment. Math. Prace Mat. 19(1977), (współautor: P. Jarek). [19] On the existence of random fields with prescribed conditional probabilities, Comment. Math. Prace Mat. 21(1979), (współautor: P. Jarek). [20] On the existence of random fields specified by a specification, Comment. Math. Prace Mat. 23(1983), (współautor: P. Jarek). [21] Some remarks on the splitting problem for mixed abelian groups, Bull. Polish Acad. Sci. Math. 36(1988), [22] Jerzy Łoś, Nauka Polska 3(1971), [23] Podstawowe pojęcia algebry homologicznej, Warszawa Wrocław Kraków, 1962(współautor: S. Balcerzyk). Prace cytowane innych autorów [C]J.P.Conze,Entropied ungroupeabéliendetransformations,z.wahrsch.verw. Geb. 35(1972), [E]P. Enflo, OntheinvariantsubspaceproblemforBanachspaces,ActaMath.158 (1987), [H]P.R.Halmos,Iwanttobeamathematician,Springer-Verlag,NewYork,Berlin, Heidelberg, London, Paris, Tokyo, [I]R.S. Ingarden, CommentsontheKolmogorov Sinai Sąsiadaentropyandthe quantum information theory, Rep. Math. Phys. 10(1976), [R]C.J. Read, Asolutiontotheinvariantsubspaceproblemonthespacel 1,Bull. London Math. Soc. 17(1985), [RR]H. Radjavi, P. Rosenthal, InvariantSubspaces,Ergeb.Math.Grenzgeb. 77, Springer-Verlag, New York Heidelberg, 1973.
teoria ergodyczna patroni sesji Czesław Ryll-Nardzewski, Edward Sąsiada
teoria ergodyczna patroni sesji Czesław Ryll-Nardzewski, Edward Sąsiada Jubileuszowy Zjazd Matematyków Polskich w stulecie Polskiego Towarzystwa Matematycznego Kraków 3-7 września 2019 Indeks abstraktów
Początki toruńskiej algebry
ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria II: WIADOMOŚCI MATEMATYCZNE XXXV(1999) Daniel Simson(Toruń) Początki toruńskiej algebry W roku 1951 Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk(IM PAN)
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Projekt matematyczny
Projekt matematyczny Tomasz Kochanek Uniwersytet Śląski Instytut Matematyki Katowice VI Święto Liczby π 15 marca 2012 r. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 1 / 32 Wielkie twierdzenie
teoria ergodyczna patroni sesji: Czesław Ryll-Nardzewski, Edward Sąsiada
teoria ergodyczna patroni sesji: Czesław Ryll-Nardzewski, Edward Sąsiada Jubileuszowy Zjazd Matematyków Polskich w stulecie Polskiego Towarzystwa Matematycznego Kraków 3-7 września 2019 Spis treści Teoria
Pierścienie łączne - ich grafy i klasy Veldsmana
Marta Nowakowska Uniwersytet Śląski Letnia Szkoła Instytutu Matematyki, Podlesice, wrzesień 22-26, 2014 Oznaczenia Graf przecięć R - łączny pierścień z 1 Z - pierścień liczb całkowitych M - lewostronny
Kolegium Dziekanów i Dyrektorów
Kolegium Dziekanów i Dyrektorów jednostek posiadających uprawnienia do nadawania stopnia doktora habilitowanego w zakresie nauk matematycznych Warszawa, 9. listopada 2007 Kolegium Dziekanów i Dyrektorów
Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1
Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1 1. (a) Udowodnić, że jeśli grupa ilorazowa G/Z(G) jest cykliczna, to grupa G jest abelowa (Z(G) oznacza centrum grupy
Teoria ciała stałego Cz. I
Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,
Definicje- Algebra III
Definicje- Algebra III Opracowane na podstawie notatek z wykładu w semetrze zimowym roku 2007r. (mocno niekompletne- umieszczono kilka pierwszych wykładów) 21.11.2007r. Algebry Definicja1(K-algebra)- Przestrzeń
Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA
KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Wydział: Matematyki Kierunek studiów: Matematyka i Statystyka (MiS) Studia w j. polskim Stopień studiów: Pierwszy (1) Profil: Ogólnoakademicki (A) Umiejscowienie kierunku
Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne
Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,
1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny
Uniwersytet w Białymstoku Wydział Matematyczno-Fizyczny Instytut Matematyki dr hab. Ryszard Andruszkiewicz Wykład monograficzny Wykład monograficzny prowadzony dla studentów V roku matematyki przez dr
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 9: Grupy skończone Gniewomir Sarbicki Grupy cykliczne Definicja: Jeżeli każdy element grupy G jest postaci a n dla pewnego a G, to mówimy, że grupa G jest grupą cykliczną o
Pierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1
4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy
Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Podstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
CO TO SĄ BAZY GRÖBNERA?
CO TO SĄ BAZY GRÖBNERA? Wykład habilitacyjny, Toruń UMK, 5 czerwca 1995 roku Andrzej Nowicki W. Gröbner, 1899-1980, Austria. B. Buchberger, Austria. H. Hironaka, Japonia (medal Fieldsa). Bazy, o których
Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych
Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych Magdalena Ziębowicz Streszczenie W referacie zostaną przedstawione i scharakteryzowane pojęcia związane z filtrami i ultrafiltrami, ciągami uogólnionymi oraz
Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych. Definicja. Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Przykład Symetryczne błądzenie przypadkowe na prostej. 1 2 Łańcuchem
Antoni Guzik. Rektor, Dziekan, Profesor, wybitny Nauczyciel, Przyjaciel Młodzieży
Antoni Guzik Antoni Guzik Rektor, Dziekan, Profesor, wybitny Nauczyciel, Przyjaciel Młodzieży Docent Antoni Guzik urodził się 7 kwietnia 1925 r. w Izydorówce, w dawnym województwie stanisławowskim. Szkołę
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU
WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: PROBABILISTYKA NIEPRZEMIENNA Nazwa w języku angielskim: NONCOMMUTATIVE PROBABILITY Kierunek studiów (jeśli dotyczy): MATEMATYKA
KARTA KURSU. Kod Punktacja ECTS* 6. Znajomość podstaw logiki, teorii mnogości i algebry liniowej.
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Algebra abstrakcyjna Abstract algebra Kod Punktacja ECTS* 6 Koordynator Prof. dr hab. Kamil Rusek Zespół dydaktyczny: Dr Antoni Chronowski Opis kursu (cele kształcenia)
Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE
PROGRAM ZAJĘĆ FAKULTATYWNYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU SYLABUS Nazwa uczelni: Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Administracji w Lublinie ul. Bursaki 12, 20-150 Lublin Kierunek Rok studiów Informatyka
Wstęp do Matematyki (4)
Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie
Uniwersytet Śląski w Katowicach WYDZIAŁ MATEMATYKI, FIZYKI I CHEMII. Kierunek Matematyka. Studia stacjonarne i niestacjonarne I i II stopnia
Uniwersytet Śląski w Katowicach WYDZIAŁ MATEMATYKI, FIZYKI I CHEMII Kierunek Matematyka Studia stacjonarne i niestacjonarne I i II stopnia Organizacja roku akademickiego 2017/2018 Studia stacjonarne I
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Teoria ergodyczna. seminarium monograficzne dla studentów matematyki. dr hab. Krzysztof Barański i prof. dr hab. Anna Zdunik. rok akad.
Teoria ergodyczna seminarium monograficzne dla studentów matematyki dr hab. Krzysztof Barański i prof. dr hab. Anna Zdunik rok akad. 2013/14 Teoria ergodyczna Teoria ergodyczna Teoria ergodyczna zajmuje
Prof.dr hab.inż.czesław Józefaciuk
Prof.dr hab.inż.czesław Józefaciuk Prof.dr hab.inż.czesław Józefaciuk urodził się 1 lutego 1931 r. w Studziance. Był synem Mikołaja i Ludwiki z domu Kulicka. Okres jego dzieciństwa przypadł na pierwsze
Układy dynamiczne. proseminarium dla studentów III roku matematyki. Michał Krych i Anna Zdunik. rok akad. 2014/15
Układy dynamiczne proseminarium dla studentów III roku matematyki Michał Krych i Anna Zdunik rok akad. 2014/15 Układy dynamiczne Układy dynamiczne Układy dynamiczne, i związana z nimi Teoria ergodyczna
Liczby Rzeczywiste. Ciągi. Szeregi. Rachunek Różniczkowy i Całkowy Funkcji Jednej Zmiennej.
Pytania na egzaminie magisterskim dotyczą głównie zagadnień związanych z tematem pracy magisterskiej. Należy być przygotowanym również na pytania sprawdzające podstawową wiedzę ze wszystkich zaliczonych
Prof. dr. hab. Jacek Chądzyński
Prof. dr. hab. Jacek Chądzyński Profesor Jacek Chądzyński jest związany z Uniwersytetem Łódzkim od 1958 roku. Tutaj w latach 1958-63 studiował matematykę uzyskując stopień magistra. W roku 1968 uzyskał
MODEL RACHUNKU OPERATORÓW DLA RÓŻ NICY WSTECZNEJ PRZY PODSTAWACH
ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK LIV NR 1 (192) 2013 Hubert Wysocki Akademia Marynarki Wojennej Wydział Mechaniczno-Elektryczny, Katedra Matematyki i Fizyki 81-103 Gdynia, ul. J. Śmidowicza
Dwuletnie studia indywidualne II stopnia na kierunku fizyka, specjalność Fizyka matematyczna
Dwuletnie studia indywidualne II stopnia na kierunku fizyka, specjalność Fizyka matematyczna 1. CHARAKTERYSTYKA STUDIÓW Specjalność Fizyka matematyczna ma charakter interdyscyplinarny. Obejmuje wiedzę
Grupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
REPETYTORIUM Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ
MONIKA FABIJAŃCZYK ANNA WARĘŻAK REPETYTORIUM Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ DEFINICJE TWIERDZENIA PRZYKŁADY I KOMENTARZE Skrypt dla studentów przygotowujących się do egzaminu licencjackiego
KARTA KURSU. Probability theory
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Rachunek prawdopodobieństwa Probability theory Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr Ireneusz Krech Zespół dydaktyczny Dr Ireneusz Krech Dr Robert Pluta Opis kursu (cele
. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
WIEDZA. X1A_W04 X1A_W05 zna podstawowe modele zjawisk przyrodniczych opisywanych przez równania różniczkowe
Załącznik nr 1 do uchwały Nr 32/2016 Senatu UWr z dnia 24 lutego 2016 r. Nazwa wydziału: Wydział Matematyki i Informatyki Nazwa kierunku studiów: matematyka Obszar w zakresie: nauk ścisłych Dziedzina nauki:
OPIS ZAKŁADANYCH EFEKTÓW KSZTAŁCENIA DLA KIERUNKU STUDIÓW. Efekty kształcenia dla kierunku studiów Matematyka
OPIS ZAKŁADANYCH EFEKTÓW KSZTAŁCENIA DLA KIERUNKU STUDIÓW Nazwa wydziału: Wydział Matematyki i Informatyki Nazwa kierunku studiów: Matematyka Obszar w zakresie: nauki ścisłe Dziedzina : matematyka Dyscyplina
Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44
Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły
OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS)
OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne: 1 Nazwa modułu Matematyka 2 2 Kod modułu 04-A-MAT2-60-1L 3 Rodzaj modułu obowiązkowy 4 Kierunek studiów astronomia 5 Poziom studiów I stopień 6 Rok
Słowo "magister znaczy po łacinie " mistrz.
Słowo "magister znaczy po łacinie " mistrz. W średniowieczu prawna organizacja uniwersytetów wzorowana była na cechach rzemieślniczych. Ukończenie pełnego cyklu szkolenia przez czeladnika, oznaczało przemianę
zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Opisy efektów kształcenia dla modułu
Nazwa modułu: Teoria automatów i języków Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-044-BS-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Specjalność: (bez wyboru specjalności) Poziom studiów:
Matematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
POLITECHNIKA WROCŁAWSKA
POLITECHNIKA WROCŁAWSKA Niniejszy suplement do dyplomu oparty jest na modelu opracowanym przez Komisję Europejską, Radę Europy oraz UNESCO/CEPES. Ma on dostarczyć obiektywnych pełnych informacji dla lepszego
Funkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)
Funkcje analityczne Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Paweł Mleczko Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 1. Sprawy organizacyjne
Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego
Uniwersytet Warmińsko Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki Kierunek: Matematyka Anna Michałek Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego Praca magisterska wykonana w zakładzie Algebry
90-lecie. Prof. zw. dr hab. inż. Zbigniew Kikiewicz
90-lecie Prof. zw. dr hab. inż. Zbigniew Kikiewicz Kariera naukowa Prof. Zbigniew Kikiewicz urodził się 21 lutego 1924 roku w Białymstoku. W 1945 roku rozpoczął studia na Politechnice Łódzkiej jako jeden
O centralizatorach skończonych podgrup
O centralizatorach skończonych podgrup GL(n, Z) Rafał Lutowski Instytut Matematyki Uniwersytetu Gdańskiego III Północne Spotkania Geometryczne Olsztyn, 22-23 czerwca 2009 1 Wprowadzenie Grupy podstawowe
Dokumentacja związana z programem studiów na kierunku FIZYKA prowadzonym na Wydziale Matematyczno-Przyrodniczym. Szkoła Nauk Ścisłych
Załącznik nr 2 do Uchwały Nr 37 Senatu UKSW z dnia 26 marca 2015 r. Załącznik nr 1 do Uchwały Nr 27/16 Rady Wydziału Matematyczno-Przyrodniczego. Szkoła Nauk Ścisłych z dnia 12 kwietnia 2016r. Dokumentacja
Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia II stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Analiza rzeczywista (03-MO2S-12-ARze)
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia II stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Analiza rzeczywista (03-MO2S-12-ARze) 1. Informacje ogólne koordynator modułu prof.
Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
5. Wykład 5: Grupy proste. Definicja 5.1. Grupę (G, ) nazywamy grupą prostą, gdy G nie zawiera właściwych podgrup normalnych.
5. Wykład 5: Grupy proste. Definicja 5.1. Grupę (G, ) nazywamy grupą prostą, gdy G nie zawiera właściwych podgrup normalnych. Przeprowadzimy obecnie skróconą klasyfikację skończonych grup prostych. 5.1.
= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
O symetrycznej rozszerzalności stanów kwantowych i jej zastosowaniach
Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Katedra Fizyki Teoretycznej i Informatyki Kwantowej Streszczenie rozprawy doktorskiej O symetrycznej rozszerzalności stanów kwantowych
Dokumentacja związana z programem studiów na kierunku FIZYKA prowadzonym na Wydziale Matematyczno-Przyrodniczym. Szkoła Nauk Ścisłych
Załącznik nr 2 do Uchwały Nr 37 Senatu UKSW z dnia 26 marca 2015 r. Załącznik nr 1 do Uchwały Nr 72/15 Rady Wydziału Matematyczno-Przyrodniczego. Szkoła Nauk Ścisłych z dnia 16 czerwca 2015 r. Dokumentacja
Operatorowe wersje twierdzenia Radona-Nikodyma
Operatorowe wersje twierdzenia Radona-Nikodyma Zakład Równań Funkcyjnych Letnia Szkoła Instytutu Matematyki UŚ, 22-26 września 2014r. skalarne twierdzenie Radona-Nikodyma Załóżmy, że X = (X, A) jest przestrzenia
Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii
Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii Agnieszka Bojanowska Stefan Jackowski 24 listopada 2010 1 Podstawowe pojęcia Bedziemy uzywać następujących pojęć i przykładów dotyczących
Teoria węzłów matematycznych - warkocze. Karolina Krzysztoń 10B2
Teoria węzłów matematycznych - warkocze Karolina Krzysztoń 10B2 Pojęcie węzła W matematyce węzły to zamknięte pętle umieszczone w przestrzeni trójwymiarowej, czyli zaplątane sznurki z połączonymi końcami.
Zbiór zadań z matematyki dla studentów chemii
Zbiór zadań z matematyki dla studentów chemii NR 142 Justyna Sikorska Zbiór zadań z matematyki dla studentów chemii Wydanie piąte Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego Katowice 2013 Redaktor serii: Matematyka
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
Wybrane własności półgrup
Wybrane własności półgrup Arkadiusz Męcel Seminarium magisterskie: Klasyczne struktury algebraiczne 16 października 2008r. 1 Pojęcie półgrupy. Proste przykłady. Celem tego referatu jest przedstawienie
Algebra liniowa nad pierścieniami
Algebra liniowa nad pierścieniami Wykład monograficzny Kazimierz Szymiczek Przedmowa Linear algebra, like motherhood, has become a sacred cow. Irving Kaplansky Niniejszy skrypt jest zapisem wykładu monograficznego
Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat)
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat) 1. Informacje ogólne koordynator
1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy
1 Grupy 1.1 Grupy 1.1.1. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 2 = a 2 b 2 dla dowolnych a, b G. Udowodnić, że grupa G jest abelowa. 1.1.2. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 1 = a 1 b 1 dla dowolnych a,
Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu
Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające
Zasady studiów magisterskich na kierunku astronomia
Zasady studiów magisterskich na kierunku astronomia Sylwetka absolwenta Absolwent jednolitych studiów magisterskich na kierunku astronomia powinien: posiadać rozszerzoną wiedzę w dziedzinie astronomii,
Układy stochastyczne
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.
Wstęp do układów statycznych
Uniwersystet Warszawski 1 maja 2010 Wprowadzenie Standardowe układy dynamiczne - przestrzeń X wraz z przekształceniem f : X X zachowującym strukturę. Typowe przykłady: X - przestrzeń metryczna, f - przekształcenie
Zasady studiów magisterskich na kierunku fizyka
Zasady studiów magisterskich na kierunku fizyka Sylwetka absolwenta Absolwent studiów magisterskich na kierunku fizyka powinien: posiadać rozszerzoną w stosunku do poziomu licencjata - wiedzę w dziedzinie
L A TEX krok po kroku
L A TEX krok po kroku Imię i nazwisko Spis treści 1 Sekcja pierwsza 1 1.1 Lista numerowana.......................... 1 2 Wymagania podstawowe 2 2.1 Lista numerowana.......................... 2 3 Troszkę
Uniwersytet Łódzki Wydział Matematyki i Informatyki PROGRAM KSZTAŁCENIA kierunek Informatyka Środowiskowe Studia Doktoranckie (studia III stopnia)
Uniwersytet Łódzki Wydział Matematyki i Informatyki PROGRAM KSZTAŁCENIA kierunek Informatyka Środowiskowe Studia Doktoranckie (studia III stopnia) Łódź, 17 października 2012 1 1. Nazwa studiów: Środowiskowe
KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA
Załącznik nr 4 do uchwały Senatu PK nr 104/d/11/2017 z dnia 22 listopada 2017 r. Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki w Krakowie Nazwa wydziału lub wydziałów: Wydział Fizyki, Matematyki i Informatyki
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując
Zagadnienia na egzamin dyplomowy Matematyka
INSTYTUT MATEMATYKI UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Zagadnienia na egzamin dyplomowy Matematyka Pytania kierunkowe Wstęp do matematyki 1. Relacja równoważności, przykłady relacji równoważności.
1. Dokumentacja związana z programem studiów
Załącznik Nr 1 Uchwały Nr 70/14 Rady Wydziału Matematyczno-Przyrodniczego. Szkoła Nauk Ścisłych z dnia 09 września 2014 r. 1. Dokumentacja związana z programem studiów Nazwa kierunku studiów i kod programu
Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne
Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne Agnieszka Bojanowska, Stefan Jackowski 9 czerwca 2013 1 Kompleksy łańcuchowe Zad. 1. Niech I będzie odcinkiem w kategorii kompleksów łańcuchowych, czyli kompleksem
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Wydział Fizyki PASJA MA SIŁĘ PRZYCIĄGANIA. STUDIUJ Z NAMI I UCZYŃ Z NIEJ SPOSÓB NA ŻYCIE. O WYDZIALE Wydział Fizyki to duża jednostka naukowo-dydaktyczna, której
SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty)
Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2015-2017 (skrajne daty) 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Analiza rzeczywista Kod
Równoliczność zbiorów
Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność