MODELE DETERMINISTYCZNE ŁUKU ELEKTRYCZNEGO W WYBRANYCH ODBIORNIKACH W DZIEDZINIE CZASU

Transkrypt

1 ELEKTRYKA 15 Zeszyt 3 (35) Rok LXI Piotr ŚWISZCZ Instytut Elektrotechniki i Informatyki, Politechnika Śląska w Gliwicach MODELE DETERMINISTYCZNE ŁUKU ELEKTRYCZNEGO W WYBRANYCH ODBIORNIKACH W DZIEDZINIE CZASU Streszczenie. W artykule zaproponowano różne modele łuku elektrycznego oraz analityczną metodę wyznaczania napięcia łuku elektrycznego na podstawie równania różniczkowego Cassiego i hybrydowego. Analizę przeprowadzono w dziedzinie czasu. W analizie zastosowano podejście deterministyczne. Wyniki porównano z pomiarami. Słowa kluczowe: piece łukowo-oporowe, parametry łuku elektrycznego, układy nieliniowe, pomiary DETERMINISTIC MODELS OF THE ELECTRIC ARC IN SELECTED LOADS IN THE TIME DOMAIN Summary. Different models of the electric arc and an analytical method of determining solution in close form for the arc voltage have been proposed in this article. This analysis has been conducted in the time domain. Deterministic approach has been used and results have been compared with measurements. Keywords: submerged arc-resistance furnace, electric arc parameters, nonlinear systems, measurements 1. WPROWADZENIE W procesach wytopu metali i ich związków dużą rolę odgrywają piece stalownicze, łukowe i łukowo-oporowe. Wykorzystywane jest tam zjawisko palenia się łuku elektrycznego [1]. Na skutek istnienia różnic w parametrach zasilania torów prądowych tych pieców (np. dominowanie rezystancji czy indukcyjności) ich właściwości są również różne []. Dalsze rozważania poświęcone są w zasadzie zjawiskom występującym w piecach, w których dominująca jest indukcyjność w torze wielkoprądowym [], [3]. Uproszczony model zasilania pieca łukowo-oporowego został przedstawiony na rys. 1.

2 14 P. Świszcz 6kV PIEC ŁUKOWO- OPOROWY ATR TR ELEKTRODY Rys. 1. Uproszczony model zasilania pieca Fig. 1. Simplified model of the power supply of the arc furnace Prowadzone obserwacje zachowania się łuku elektrycznego zarówno od strony teoretycznej, jak i eksperymentalnej pozwalają stwierdzić, że zjawisko palenia się łuku elektrycznego jest niezwykle skomplikowane [4]. Zjawiska te często rozpatruje się, zakładając model chaotyczny lub stochastyczny [5]. Porównanie modeli matematycznych z modelami inżynierskimi, występującymi w rzeczywistości, jest praktycznie niemożliwe. Na przestrzeni lat powstały różne modele [6, 7, 8, 9]. Jednakże, najbardziej przyjętymi modelami do teoretycznych rozważań są: model Cassiego i Mayra [8, 1]. Modele te opisuje równanie różniczkowe, które powstało na podstawie równania bilansu mocy kolumny łukowej [1], Pcol moc elektryczna doprowadzona, Pdis moc cieplna wydzielona w kolumnie łuku, Ql entalpia łuku, u, i napięcie i prąd w kolumnie łuku. dq Pcol ui Pdis, (1) dt Po przyjęciu odpowiednich uproszczeń i przeprowadzonych przekształceniach uzyskuje się równania opisujące te modele, w których zakłada się dynamiczną zależność pomiędzy napięciem u(t) i prądem i(t), wspólnie związaną rezystancją lub konduktancją dynamiczną i opisaną równaniem różniczkowym [1]. Równania te dla postaci konduktancyjnej i rezystancyjnej zostały przedstawione poniżej. Postać konduktancyjna modelu Cassiego przedstawia się następująco: i odpowiednio postać rezystancyjna: t g t dt E 1 dg 1 u ( t) t 1 r t dt E 1 dr 1 u ( t) to T 1 o T to 1, (), (3) E u () t dt, (4)

3 Modele deterministyczne łuku elektrycznego 141 Θ stała czasowa łuku, T okres przebiegu napięcia u(t). Postać konduktancyjna modelu Mayra przedstawia się następująco: 1 dg 1 u( t) i( t) t 1, (5) g t dt P i odpowiednio postać rezystancyjna: 1 dr 1 u( t) i( t) t 1, (6) r t dt P P U I, (7) oraz U, I ustalone współrzędne na charakterystyce statycznej napięciowo-prądowej łuku. Przyjęte kryterium wyboru modelu [8] dotyczy zakresu prądu płynącego przez elektrodę [1]. Oznacza to, że model Mayra pozwala uzyskać dobre aproksymacje w zakresie małych prądów, natomiast model Cassiego uzyskuje dobre aproksymacje w zakresie dużych prądów. Wydaje się, że dobrym rozwiązaniem jest stworzenie matematycznego kompromisu i modelu hybrydowego łuku, który łączyłby zalety obu modeli. Zakładając, że stałe czasowe łuku w modelu Cassiego i Mayra są sobie równe oraz dodatkowo gładkie sklejenie tych dwóch modeli, zapewniające istnienie pochodnej w punkcie przejścia [8], wówczas powstałe równanie hybrydowe ma następującą postać: i t i t I u t i t I i t dg g t Gmin 1 e e t E P dt g t,, (8) it (9) u t Gmin stała konduktancja będąca zależnością: odległości pomiędzy elektrodami, kształtu elektrod i ich rozmieszczenia oraz temperatury i gazu, I prąd sklejenia charakterystyk Mayra i Cassiego. Należy wspomnieć, że wszystkie prezentowane modele są modelami nieliniowymi, a efekt silnej nieliniowości wynika ze zmienności konduktancji (rezystancji) łuku.. FORMALIZACJA PROBLEMU Do dalszych rozważań przyjęto model przedstawiony na rys., w którym wyodrębniono tylko obciążenie toru wielkoprądowego pokazanego na rys..

4 14 P. Świszcz u(t) i(t) Nonlinear one-port Rys.. Rozpatrywany układ Fig.. Considered system Nie tracąc na ogólności rozważań oraz biorąc pod uwagę fakt, że zjawisko palenia się łuku rozpatruje się dla pieców łukowych, do dalszych rozważań przyjęto postać rezystancyjną modelu Cassiego (3) oraz postać hybrydową (8) tylko dla jednej fazy, co z praktycznego punktu widzenia jest dużym uproszczeniem, ponieważ przyjęcie symetrycznej pracy pieca jest uzasadnione tylko w niektórych przypadkach. Ogólny sposób zapisu równań opisujących model Cassiego i Mayra można sformułować w następującej postaci: 1 dr 1 ( t ) F [ u ( t ), i ( t )], r() t dt rt () (1) ut () it (). (11) Różniczkując wyrażenie (11) i wstawiając do równania (3), otrzymano następującą postać modelu Cassiego: ( t) ( t) 1 u( t) dt i( t) dt Eo 1 du 1 di 1 u ( t). (1) Jak już wcześniej wspomniano, tor wielkoprądowy ma dużą indukcyjność, która w sposób znaczący dominuje nad rezystancją. Można zatem założyć, że prąd w torze wielkoprądowym jest sinusoidalny, a napięcie jest zniekształcone, oczywiście przy palącym się łuku. Potwierdzeniem przyjętych założeń są przetworzone zarejestrowane przebiegi prądów i napięć elektrod dla wszystkich faz. Wyniki analizy FFT dla zarejestrowanych przebiegów przedstawiono na rys. 3a i b. Jak widać na rys. 3b, analiza FFT dla zarejestrowanych przebiegów prądów dała szczątkowe wartości wyższych harmonicznych, co przez przyjęcie sinusoidalnej postaci prądu znacznie upraszcza analityczne obliczenia dla równania (1).

5 Modele deterministyczne łuku elektrycznego 143 a) b) Rys. 3. Widma amplitudowe uzyskane w wyniki analizy FFT dla zarejestrowanych a) napięć elektrod, b) prądów płynących przez elektrody Fig. 3. Amplitude spectrums obtained as a result of FFT analysis for registered a) voltages on terminals of electrodes, b) currents flowing through electrodes Zatem, przyjmując sinusoidalną postać przebiegu prądu płynącego przez elektrody jako: równanie (1) można przekształcić do następującej postaci: i( t) I sin( t), (13) du 1 1 t t u t u t dt m 3 ( ) cot( ) ( ) ( ) Eo. (14) Postać równania (14) jest znana jako klasyczne nieliniowe równanie Bernouliego [11], dla którego znana jest postać analityczna (zamknięta) rozwiązania:

6 144 P. Świszcz ut () E sin( t) 1 sin t arctan 1. 1 ( ) Do wyznaczenia postaci zamkniętej wykorzystano obliczenia symboliczne występujące w środowisku Mathematica. Wywołanie funkcji i jej parametryzacja w środowisku obliczeniowym wiąże się z odpowiednim uporządkowaniem równania (14). Przykładowe charakterystyki v-i sporządzone z wykorzystaniem tworzenia wykresów funkcji parametrycznych pokazano na rys. 4. (15) Rys. 4. Charakterystyki v-i łuku dla stałej czasowej łuku równej: a) Θ=.1, b) Θ=.3 Fig. 4. Characteristics v-i of the arc for time constants: a) Θ=.1, b) Θ=.3 Taki sam algorytm postępowania zastosowano do modelu hybrydowego (8). Różniczkując równanie (9) i podstawiając do równania opisującego model hybrydowy (8), uzyskano następującą postać równania: i t i t i t I u t i t I i t Gmin 1 e e u() t E P 1 di du ( t) u( t) i( t) ( t). u () t dt dt Przyjmując sinusoidalną postać prądu toru wielkoprądowego (13), otrzymano następującą i ostateczną postać zmodyfikowanego modelu: du 1 t cot t u ( t ) dt Gmin Im sin t t Im sin I e u ( t). E t Im sin I e u t () (16) (17)

7 Modele deterministyczne łuku elektrycznego 145 Równanie (17) jest równaniem Abela, które dla tych współczynników nie ma analitycznego rozwiązania [11]. Środowisko Mathematica jest wyposażone w narzędzia działające w zakresie obliczeń symbolicznych, jednakże korzystające z bazy znanych rozwiązań równań różniczkowych. W przypadku gdy nie można wyznaczyć analitycznych rozwiązań, pozostają tylko obliczenia numeryczne. 3. PODSUMOWANIE Procesy występujące przy paleniu się łuku są bardzo trudne do opisu. Pomiary wielkości parametrów umożliwiających identyfikację parametrów łuku należą również do bardzo złożonych i wymagających specjalistycznej aparatury. Niektórych interpretacji wyników nie można wytłumaczyć wiedzą z zakresu elektrotechniki, ale często z zakresu fizykochemii. Tym bardziej trudna i złożona jest walidacja uzyskanych wyników, która wymaga zaawansowanych algorytmów wykonujących się w czasie rzeczywistym i dokonujących identyfikacji parametrów łuku również w czasie rzeczywistym. Wyznaczenie rozwiązań równań modelu łuku tylko w nielicznych przypadkach prowadzi do uzyskania wyników w formie zamkniętej. BIBLIOGRAFIA 1. Hauksdottir A.S., Gestsson A., Vesteninsson A.: Current control of a three-phase submerged arc ferrosilicon furnace. Control Engineering Practice, p Baron B., Pawlikowski S.: Time domain identification of phase powers in non-linear three-phase large power loads with electric arc. Archives of Electrical Engineering 1998, Vol.47, No. 4, p Zgłoszenie patentowe Nr. P Trójfazowy bifilarny tor wielkoprądowy do pieców elektrycznych, zwłaszcza łukowo-oporowych. 4. Baron B., Świszcz P., Kraszewski T.: The interpretation of electrical measurements of submerged arc-resistance furnace. Advanced Methods of the Theory of Electrical Engineering, Klatovy, September 6-9, Carpinelli G., Iacovone F., Russo A., Varilone P.: Chaos-Based Modeling of DC Arc Furnaces for Power Quality Issues. IEEE Transaction on Power Deliver 4, Vol. 19. No. 4, pp Emanuel A.E., Orr J. A.: An Improved Method of Simulation of the Arc Voltage-Current Characteristic. 9thInt. Conf. on Harmonics Quality of Power, Proceedings, pp October 1-4,, Orlando, Florida.

8 146 P. Świszcz 7. Haruni A.M.O., Muttagi K.M., Negnevitsky M.: Analysis of Harmonics and Voltage Fluctuation using different models of Arc Furnace. Power Engineering Conference, 7. AUPEC7. 8. Tseng K.J., Wang Y.: Dynamic electric arc model for electronic circuit simulation. Electronics Letters 1996, Vol. 3, No. 8, p Mayordomo J.G., Beites L.F., Asensi R., Izzeddine M., Zabala L., Amantegui J.: A New Frequency Domain Arc Furnace Model for Iterative Harmonic Analysis. IEEE Trans. On Power Delivery 1997, Vol. 1, No. 4, p Sawicki A.: O wykorzystaniu zmodyfikowanych modeli Cassiego i hybrydowego TWV łuku promieniującego do symulowania procesów w urządzeniach spawalniczych. Prace Instytutu Elektrotechniki 11, Zeszyt 51, s Polyanin A.D., Zaitsev V.F.: Handbook of exact solutions for ordinary differential equations. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, London, New York, Washington D.C., 3. Dr inż. Piotr ŚWISZCZ Politechnika Śląska Wydział Elektryczny, Instytut Elektrotechniki i Informatyki ul. Akademicka Gliwice Tel. (3) ; piotr.swiszcz@polsl.pl