Ćwiczenia z ułamkami

Transkrypt

1 Ćwiczenia z ułamkami Wstęp Ułamki występują w sytuacjach życia codziennego. Jeżeli na przykład chcemy podzielić między kilka osób tabliczkę czekolady, to każda osoba dostanie pewną jej część. Te części to właśnie ułamki. Na początek najlepiej wyobrażać sobie ułamki jako części koła. Na papierze bezkratekanilinijeknarysujpięćkółośrednicy5cm.podzielkażdeznich narówneczęści:pierwszenadwie,drugienatrzy,kolejnenacztery,pięći sześć. Podpowiedź, jak podzielić koło na pięć równych części, znajdziesz na rysunku:? Oblicz kąt oznaczony znakiem zapytania, a potem do dzielenia swojego koła na równe części użyj kątomierza. Następnie wytnij te koła, porozcinaj na części, a potem złóż je z powrotem wkoła. Twoje koła zostały podzielone na części drugie, trzecie, czwarte, piąte i szóste. Jedną z części drugich nazywamy krótko jedną drugą, jedną z części trzecich nzywamy jedną trzecią itd. Zapewne wiesz, że jedna druga to inaczej połowa, a jedna czwarta to ćwiartka. Przygotuj kopertę i schowaj do niej swoje ułamki. Posłużą Ci w kolejnych ćwiczeniach. 1

2 Do niektórych ćwiczeń potrzeba będzie więcej egzemplarzy ułamków. Przygotuj sobie więc jeszcze raz tyle, ile masz, oraz dodatkowo jeszcze jedną drugą, jedną trzecią i jedną czwartą. Wytnij także dwa całe koła. Ćwiczenia Ćwiczenie1.Ułóżkołozczęścipiątych,anastępniewyjmijzniegotrzy piąte. Ile piątych zostało? Ćwiczenie 2. Do pięciu szóstych dołącz jedną szóstą. Co otrzymasz? Ćwiczenie 3. Dwaj bracia zamówili pizzę na spółkę. Starszy brat zjadł połowę pizzy, a młodszy jedną czwartą. Zilustruj sytuację papierowymi ułamkami i zobacz, jaka część pizzy została na talerzu. Każdy ułamek zapisujemy za pomocą dwóch liczb oddzielonych kreską poziomą.naprzykładzamiasttrzypiątepiszemy 3 5,azamiastjednaczwarta piszemy 1 4. Liczba pod kreską określa, na ile części dzielimy, a liczba nad kreską mówi, ile z tych części bierzemy. Ćwiczenie4.Odczytajułamki 1 2,1 3,3 4,2 5,1 6,jednocześniewyszukującodpowiadające im części kół. Ćwiczenie 5. Ułóż jedno koło z części piątych, a drugie z części szóstych. Porównajułamki 1 5 i1 6.Któryznichjestwiększy? Ćwiczenie 6. Wskaż najmniejszy i największy z ułamków: 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6. Ćwiczenie7.Popatrznaułamek 1 2.Jakułożyćgozinnychułamków?Czy jeszcze jakiś ułamek potrafisz ułożyć z innych ułamków? Ćwiczenie 8. Wybierz 7 części trzecich i spróbuj utworzyć z nich koła. Ile kół można utworzyć? Czy poza tymi kołami zostanie jeszcze jakaś część? 2

3 Jakzapewnezauważasz,z 7 3 możnaułożyć2całekołaizostajejeszcze1 3, czyli 7 3 to2całościi1 3. Zapisujemy to tak: 7 3 =21 3. Ćwiczenie9.Ułóż 8 5,anastępniewpiszwkratkęodpowiedniąliczbę: 8 5 =1 5. Ćwiczenie10.Ułóż 5 2,anastępniewpiszwkratkęodpowiedniąliczbę: 5 2 =2 2. Jakzilustrowaćwielkość1 2 5?Czypotrafisztozrobić,posługującsięwyłącznie częściami piątymi? To pytanie można zapisać tak: =? 5. Podpowiedź. Jeżeli jeszcze nie wiesz, jaką liczbę trzeba wstawić w miejsce znaku zapytania, tozobacz,ileczęścipiątychskładasięna1kołoidołączdotegojeszcze2piąte. Ćwiczenie11.Zczęściczwartychułóż2 1 4,anastępniewpiszwkratkęodpowiednią liczbę: = 4. Ćwiczenie12.Ułóż1kołozczęściszóstychi2kołazczęścipiątych.Następnie wpisz w kratki odpowiednie liczby: 6 =1, 5 =2. Ćwiczenie13.Weź 4 5 idołącz2 5.Ilekółotrzymasz?Czyjeszczecośzostanie? Wpisz wynik dodawania: =... 3

4 CzyTwójwynikto1 1 5 lub6 5? Obie odpowiedzi są dobre. Czy wiesz, dlaczego? Ćwiczenie 14. Znajdź wynik dodawania: =... Podpowiedź. W razie potrzeby zilustruj to działanie na swoich ułamkach. Weź 1 całe koło oraz 2 3 idołączdotego2 3.Ilekółutworzyszwsumie?Czyjeszczecośzostanie? Ćwiczenie 15. Wykonaj dodawanie i wpisz wynik: =... Ćwiczenie 16. Znajdź wynik mnożenia: =... Podpowiedź. To mnożenie można zamienić na dodawanie: 2 56 = Ćwiczenie 17. Ułóż koło z części szóstych i wpisz wynik odejmowania: =... Ćwiczenie 18. Wykonaj odejmowanie i wpisz wynik: =... Podpowiedź. Ułoż koło z części czwartych. Sprawdź, ile już potrafisz W razie potrzeby posłuż się ułamkami z papieru. 1.Porównajułamkiiwstawwmiejscekropek<,>lub= a) b) c) d) e) f) Wpisz brakujące liczby: a) 6 =1 b) 3 =2 c) 4 =2 d) 2 =3 e) 4 =2 f) 2 3 = 6 4

5 3. Sprawdź, czy Pankracy dobrze wpisał liczby w kratki. Jeżeli zauważysz błąd, to przekreśl liczbę wpisaną omyłkowo, a obok napisz liczbę właściwą: a) 7 4 =12 4 b) 9 5 = Wpisz brakujące liczby: a) 4 =1 2 4 A b) 2 =3 1 2 c) 11 6 =14 6 S c) 3 =1 2 3 d) 6 4 =11 2 d)1 =2 C e) =1 4 O f) =1 2 T Wpisane liczby ustaw od najmniejszej do największej i odczytaj zaszyfrowane słowo. 5.Wmiejscekropekwpiszodpowiednisymbol:<,>lub= a) d) Dodajiwpiszwynik: b) e) c) f) a) =... b) =... c) =... d) =... e) =... f) =... 7.Pomnóżiwpiszwynik: a)4 1 2 =... S b)2 2 3 =... K c)2 1 2 =... K d) =... A Ustaw wyniki od najmniejszego do największego i odczytaj zaszyfrowane słowo. 8. Odejmij i wpisz wynik: a) =... b)2 1 2 =... c) =... d)1 3 5 =... e) =... f)2 3 5 =... Wśród podanych ułamków znajdź te, które nie są wynikiem żadnego z działań, i skreśl odpowiadające im litery: 3 5 S, 1 6 O, 1 3 K, 2 5 O, 12 5 S, 13 5 A Jakie słowo zostaje? I 5

6 Ćwiczenia z ułamkami komentarz Wstęp W matematyce ułamki są liczbami, natomiast w sytuacjach życia codziennego są one zawsze częścią czegoś. W edukacji również zaczynamy od pojęcia ułamka jako części. Chcemy, aby ułamek nie był dla ucznia abstrakcyjną parąliczb,alebykojarzyłsięzpodziałemnaokreślonąliczbęrównychczęścii wzięciem tylu z nich, ile trzeba. Takie podejście jest zrozumiałe dla ucznia, umożliwia kierowanie się intuicją i odkrywanie praw rządzących ułamkami. Zdobyta w ten sposób wiedza jest trwała, a umiejętności niezawodne. Uczeń nie musi uczyć się podanych reguł, nie musi polegać na swojej, czasami zawodzącej, pamięci. Wie, co trzeba w danym wypadku zrobić, bo doszedł do tego na drodze eksperymentu, kierując sie zdrowym rozsądkiem. Takie właśnie podejście do nauczania ułamków chcę Państwu zaproponować. Pamiętajmy, że im mniej reguł i wzorów, im mniej narzucania algorytmów, im więcej odwoływania się do doświadczenia ucznia i stwarzania mu okazji do samodzielnego rozwiązywania problemów na jego miarę, im więcej posługiwania sie prostym, zrozumiałym i naturalnym dla ucznia językiem, tym lepsze rezultaty nauczania. Zaczynanie od ułamków jako wycinków koła wydaje mi się najlepsze przede wszystkim dlatego, że wycinki kołowe odpowiadają ułamkom w sposób jednoznaczny. Ustalony wycinek kołowy jest zawsze tym samym ułamkiem, niezależnie od wielkości koła, z którego został wycięty. Natomiast ten sam prostokąt może reprezentować różne ułamki, zależnie od wielkości prostokąta, ktego ma być częścią. Operując wycinkami kołowymi, uczeń ma szanse dostrzegać relacje między reprezentowanymi przez nie ułamkami, a także znajdować wyniki prostych działań na ułamkach. W początkowych ćwiczeniach niezbędne jest posługiwanie się modelami ułamków. Po pewnym, na ogół krótkim lub nawet bardzo krótkim czasie, przestaje to być potrzebne: czynności fizyczne zostają zastąpione czynnościami, które uczeń potrafi przeprowadzić w myśli. I o to właśnie chodzi, w tym momencie cel został osiągnięty. Jakdzielićkołonarówneczęści?Nadwie zgiąćnapół,nacztery jeszcze raz na pół. Do podziału na pięć części użyjmy kątomierza. Najpierw uczeń powinien obliczyć kąt jednego z tych wycinków(patrz rysunek), tzn. wykonaćdzielenie360 :5,apotemodmierzaćkolejnotenkąt,zaczynającod 6

7 narysowania pierwszego promienia w dowolnym miejscu. Tak też można podzielić koło na pozostałe części, chociaż może się zdarzyć, że uczeń umie już podzielić koło na sześć równych części, dzieląc cyrklem okrąg na sześć części: wstawić nóżkę cyrkla w dowolny punkt okręgu, zakreślić łuk, znajdując punkt przecięcia z okręgiem, przestawić nóżkę cyrkla do znalezionego punktu i powtórzyć czynności. Punkt na okręgu znaleziony za piątym razem pokryje się z puntem wyjścia. Z podziału na sześć części otrzymamy od razu podział na trzy. Najważniejsze jest, aby uczeń zakodował sobie, że w każdym podziale wszystkie części mają być równe. Zapropononowaną listę dwudziestu ćwiczeń można we własnym zakresie uzupełnić, dobierając zadania w zależności od postępów ucznia. Ćwiczenia Wćwiczeniach1,2i3uczeńkomunikujewynikustnie,wtymmomencienie uczymy jeszcze zapisywać. Będziemy zapisywać potem. Wprowadzanie nazw licznik i mianownik jest na początku niepotrzebne, na razie nie ma powodu do posługiwania się tymi nazwami. Odradzam obciążanie pamięci ucznia w momencie zapoznawania się z pojęciem ułamka. Zadbajmy natomiast o to, aby uczeń kojarzył zapis ułamka z odpowiednią częścią koła ćwiczenie 4. Uczniom, szczególnie tym, którzy nie mieli okazji do manipulowania modelamiułamków,zdarzasiębezmyślniestwierdzić,że 1 6 > 1 5,bo6>5.Dlatego ważne jest, aby uczeń zobaczył, jak te ułamki powstają, i zauważył, że dzieląc na 6(równych) części otrzymujemy części mniejsze niż przy podziale na 5 części. Stąd ćwiczenie 5. Wćwiczeniu6chodziozauważenie,żeimwięcejczęściwpodziale,tymsą one drobniejsze. Nie wymagajmy żadnych reguł porównywania. Wćwiczeniu7chodzioczywiścieoto,abyuczeństwierdził,żejednadrugato dwieczwarte.możemyspytać,czypotrafitozapisać.zapisanie 1 2 =1 4 +1lub 4 1 =2 1niepowinnosprawićwiększegoproblemu,botegorodzajudodawanie 2 4 i mnożenie jest dla ucznia działaniem oczywistym. Podobnie 1 3 = W ćwiczeniach 9 i 10 ułożenie podanych ułamków pozwala odczytać szukane 7

8 liczby. Może się okazać, że bystrzejsi uczniowie potrafią wskazać te liczby, nie ilustrując sytuacji wycinkami kołowymi. To oczywiście będzie sygnałem pozytywnym, wskazującym na to, że modele ułamków spełniają swoją rolę i pomału można je odstawiać. Wćwiczeniu11dążymydotego,abyuczeńrozumowałtak:wjednymkole są4częściczwarte,wdwóchkołachjestich2razywięcej,czyli8,adotego dochodzi jeszcze jedna czwarta luzem. Nie starajmy się formułować reguły. W ćwiczeniu 12 również nie szukajmy reguł. Niech uczeń układa obrazki i je odczytuje. Oczywiście dobrze będzie, jeżeli znajdzie odpowiedź bez posługiwania się modelami ułamków, a tylko na podstawie zdobytego już doświadczenia. W takim przypadku poprośmy, aby nam wytłumaczył, jak znalazł wynik. W kolejnych ćwiczeniach uczymy nie tylko znajdować wyniki działań, ale także przyzwyczajamy do zapisywania. Oczywiście pozwalamy obliczać bez posługiwania się modelami ułamków, jeżeli uczeń tego już nie potrzebuje. Nie formułujmy reguł dodawania czy odejmowania ułamków, pozwólmy każdemu działać jego własnym sposobem. Wtedy uczeń będzie sprawniejszy w działaniach. W ćwiczeniu 13 wcale nie trzeba dodawać liczników ułamków. Wystarczydopierwszegoskładnikadorzucić 1 5 zdrugiegoskładnika,aby otrzymać1całość;zostaniewtedyjeszcze 1 5. Pierwsza postać ułamka jest chyba bardziej czytelna, natomiast druga jest bardziej przydatna w późniejszych rachunkach, na przykład w algebrze. Dlatego trzeba przyzwyczajać ucznia, że obie postacie mogą być używane zamiennie. W ćwiczeniu 14, podobnie jek w ćwiczeniu poprzednim, uczeń też nie potrzebuje dodawać liczników. Będzie zapewne uzupełniał do całości. Układając wycinki kołowe, wyodrębnia się w sposób naturalny całe koła. Ten sposób uczniowie przenoszą na działania wykonywane na papierze, jeżeli tylko nie zaczniemy im przeszkadzać. Nie przeszkadzajmy, bo mają szanse stać się sprytnymi w rachunkach. W ćwiczeniu 16 pokazujemy, że mnożenie przez liczbę całkowitą jest w istocie dodawaniem. Odejmowanie w ćwiczenie 18 można wykonać różnymi sposobami. Niektórzy odrazuzauważą,żemożnanajpierwzabrać 1 4,apotemod1odjąć 2 4.Jeżeli ktośwyjmiezkołaułamek 3 4,topotembędziemusiałdodać 1 4 dowyniku. W każdym z przypadków uczniowie nie będą zapisywać tych przekształceń, 8

9 aleodrazuwpisząwynik.idobrze.zapisywanie = ,którejest powszechnie stosowane w szkole, nie jest wcale dla ucznia naturalne. Nie uczmy reguł, pozwólmy każdemu działać tak, jak woli. To przyniesie dobre rezultaty. Uczeń będzie myślał, jak wykonać obliczenia, a nie będzie działał jak wyuczony(źle) robot. I o to właśnie chodzi w matematyce. Sprawdź, ile już potrafisz odpowiedzi do zadań Warto przyzwyczajać ucznia do pisania ułamków w jak najprostszej, najbardziejczytelnejpostaci.naprzykładzamiast 6 4 piszmy a)6, b)6, c)8, d)6, e)2, f)4. 3.a)3, c)5. 4.a)6, b)7, c)5, d)4, e)9, f)8. CIASTO 6.a)1 1 6, b)11 2, c)2, d)11 3, e)31 2, f) a)2, b)1 1 3, c)24 5, d)11 2. KASK 8.a) 1 2, b)11 2, c) 1 3, d) 2 5, e) 1 4, f)12 5. KOS 9