9. Numeryczny model powierzchni terenowej

Transkrypt

1 Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza Numeryczny model powierzchni terenowej Jednym z zagadnień SIP jest przedstawienie zjawisk o charakterze ciągłym jak np. powierzchnia terenu. W ogólnym przypadku kiedy zjawisko możemy przedstawić funkcją analityczną postaci: z = f ( x, y) zagadnienie nie stanowi żadnych trudności, ponieważ dzięki znanej funkcji w każdym potrzebnym punkcie P(x,y) możemy określić wartość zjawiska. W sytuacji kiedy modelowanych zjawisk (w szczególności powierzchni terenu) nie można określić funkcją analityczną stosujemy inne rozwiązania, oparte na wartościach zjawiska zarejestrowanych w wybranych punktach pomiarowych. Najczęściej stosowanymi metodami przestrzennej reprezentacji powierzchni (zjawisk) są: reprezentacja elementami punktowymi, dla których określono wartość zjawiska określono w regularnej siatce kwadratów (ang grid), reprezentacja elementami liniowymi, dla których wartość zjawiska jest określona i niezmienna (izolinie), reprezentacja w postaci elementów powierzchniowych będąca siecią nieregularnych trójkątów TIN (ang. triangular irregular network) opartych na punktach pomiarowych. Schematycznie wymienione metody reprezentacji powierzchni przedstawiono na rysunku 9.. Rys. 9.. Metody reprezentacji zjawisk o charakterze ciągłym

2 Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza 86 W związku z dyskretną reprezentacją powierzchni, z każdą z wymienionych wyżej metod muszą być związane odpowiednie algorytmy interpolacyjne umożliwiające określenie wartości zjawiska w dowolnie wybranym punkcie. W systemach informacji przestrzennej podstawowe znaczenia ma reprezentacja powierzchni terenu i temu zagadnieniu poświęcimy dalsze rozważania. Numeryczny Model Terenu definiuje się jako numeryczną reprezentację powierzchni terenowej, utworzonej poprzez zbiór odpowiednio wybranych punktów leżących na tej powierzchni oraz algorytmów interpolacyjnych umożliwiających jej odtworzenie w określonym obszarze [Gaździcki 990]. Idealne odtworzenie powierzchni terenu przez model nie jest możliwe, ponieważ ze względów ekonomicznych, czasowych i wielkości zbiorów danych, nie da się pomierzyć ani wyrazić całej złożoności powierzchni terenu. Podstawowymi problemami związanymi z numerycznym modelem terenu są: problem odpowiedniego doboru charakterystycznych punktów powierzchni (ang. sampling problem) w celu uzyskania jak najlepszego efektu przy minimalizacji ilości danych, problem odtworzenia (przedstawienia) powierzchni na podstawie istniejących danych (ang. representation problem). 9.. Rodzaje modeli DTM W praktyce podstawowe znaczenie mają dwa modele: regularny w postaci siatki kwadratów uzupełnione charakterystycznymi punktami i liniami szkieletowymi oraz w postaci nieregularnej siatki trójkątów (TIN). Każdy z wymienionych modeli posiada swoje zalety i wady, które przesądzają o ich zastosowaniach. Istotą TIN jest np. przechowywanie oryginalnych danych pomiarowych podczas gdy w modelu grid wysokości w punktach węzłowych przeważnie są już interpolowane.

3 Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza Model w postaci siatki kwadratów Model oparty jest na siatce kwadratów, której punkty węzłowe posiadają określone wysokości powierzchni terenowej z ij. z P ij z ij i x j P ij y Rys Ilustracja modelu w postaci siatki kwadratów Wysokości z ij węzłów przechowywane w strukturze macierzy gdzie i j określają wiersz i kolumnę macierzy. Znając interwał siatki ds, położenie jej punktu początkowego możemy zawsze dla każdego węzła i j określić współrzędne terenowe X Y. X o Yo X = X Y = Y o o + i * ds + j * ds Struktura taka jest wyjątkowo łatwa do przetwarzania, zabiera bardzo mało pamięci, a algorytmy używane do modelowania terenu są stosunkowo proste. Im gęstsza siatka zostanie zastosowana tym otrzymany model będzie dokładniejszy. Zwiększając gęstość siatki prowadzi jednak do sytuacji, że jest ona również zwiększana w miejscach o małym urozmaiceniu terenu, powodując tym samym znaczny wzrost nic nie wnoszących danych. Rozwiązaniem jest uzupełnienie struktury o punkty charakterystyczne i linie szkieletowe lub zastosowanie siatki o strukturze hierarchicznej dostosowującej gęstość do stopnia skomplikowania rzeźby.

4 Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza 88 Wysokości w punktach węzłowych mogą pochodzić bezpośrednio z pomiaru (bezpośredniego lub fotogrametrycznego) lub być wyznaczane z innych modeli powierzchni terenowych. Mając model w postaci regularnej siatki kwadratów możemy interpolować wysokości w punktach pośrednich. Wykorzystuje się do tego celu aproksymację powierzchni terenowej w obrębie każdego kwadratu paraboloidą hiperboliczną z = a uv + a + a v uv u v + gdzie u i v są współrzędnymi układu powstałego przez równoległe przesuniecie układu x,y do węzła i, j siatki. Wyznaczenie wysokości punktu P paraboloidy hiperbolicznej w obszarze kwadratu może być wykonane wzorem interpolacyjnym, mającym postać ogólnej średniej arytmetycznej: a z p = z i, j w i, j + z i+, j w i, j w i+, j + w i+, j + z i, j+ + w w i, j+ i, j+ + w + z i+, j+ i+, j+ w i+, j+ gdzie zi, j, zi+, j, zi, j+, zi+, j+ są wysokościami w punktach węzłowych a wagi w i, j, wi+, j, wi, j+, wi+, j+ są polami przeciwległych prostokątów, powstających przez podział kwadratu liniami równoległymi do boków kwadratu i przechodzących przez rzut P punktu P na płaszczyźnie x,y. u x i+,j ds i+,j+ w i,j+ w i,j u p P ds w i+,j+ w i+,j v i,j v p i,j+ y Rys Ilustracja interpolacji wysokości w siatce kwadratów Cechą charakterystyczną paraboloidy hiperbolicznej jest to, że przecinając ją płaszczyznami pionowymi u=const, lub v=const otrzymuje się linie proste.

5 Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza Model w postaci nieregularnej sieci trójkątów Nieregularna sieć trójkątów powstaje głownie jako efekt bezpośrednich pomiarów terenowych, gdzie cały zakres opracowania zapełnia się trójkątami opartymi o punkty pomiarowe. Ponieważ w tych modelach wykorzystywane są wszystkie punkty charakterystyczne model jest stosunkowo dokładny. Do tworzenia siatki trójkątów najczęściej wykorzystywana jest triangulacja Delaunay a. Trójkąty tworzone są w ten sposób aby żaden z punktów nie należących do niego nie był położony wewnątrz okręgu opisanego na trójkącie. Ilustrację zasady przedstawiono na poniższym rysunku. Rys Ilustracja triangulacji Delaunay a Na kolejnym rysunku przedstawiono konstrukcję diagramu (poligonu, obszaru) Voronoi, bezpośrednio związaną z triangulacją Delaunay a. Obszar Voronoi stanowi zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, dla których odległość do punktu centralnego jest mniejsza od odległości do pozostałych punktów. Jak widać ograniczenia tego obszaru stanowią odcinki symetralnych do boków triangulacji Delaunay a. Rys Ilustracja diagramu Voroni

6 Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza 90 Nazwa diagramu pochodzi od nazwiska matematyka M. G. Voronoi, który opublikował pracę w 908 roku. Czasami używa się również innych terminów: Tesselacja Dirichleta od nazwiska matematyka G. L. Dirichleta (850) Obszar Thiessena : od klimatologa Thiessena (A. J. Thiessen, J. C. Alter 9) Celki Wignera-Seitza (E. Wigner, F. Seitz 933) Transformacja Bluma (H. Blum 967). Zagadnienie tworzenia nieregularnej siatki trójkątów było przedmiotem licznych badań, w wyniku których opublikowano szereg algorytmów konstrukcji triangulacji Delaunay a: Radial sweep A. Mirante, N. Weingarten 982 Recursive split B. A. Lewis, J. S. Robinson 978 Divide and conquer D. T. Lee, B. J. Schachter 980 Step by step opublikowany m.in. przez M. J. McCullagh, C. G. Ross 980 Hierarchical L. De Floriani, B. Falcidieno, C. Pienovi, 985 Incremental opublikowany m.in. przez D. T. Lee, B. J. Schachter 980 Incremental delete and build D. F. Watson 980 Poniżej omówiono algorytm krok po kroku - step by step. Polega on na konstrukcji triangulacji od jednego z narożników obszaru, utworzenia początkowego boku i poszukiwaniu trzeciego punktu trójkąta. Następnie nowe dwa boki traktowane są jako boki początkowe. W ten sposób dodaje się kolejne punkty, aż do włączenia do triangulacji wszystkich punktów. Oto kolejne etapy:. Wybiera się pierwszy bok, w ten sposób, aby żaden punkt nie znalazł się we wnętrzu okręgu, którego średnicą jest dany bok. Można to osiągnąć wybierając dwa najbliższe punkty w danym miejscu. Jeśli to możliwe początkowy bok powinien znajdować się najbliżej jednej z granic obszaru. 2. Poszukuje się następnego punktu. W kole, które przechodzi przez końce odcinka początkowego i trzeci punkt nie powinien się znaleźć żaden inny punkt. Cel ten osiąga się poprzez obliczanie odpowiednich kątów α. Jako punkt tworzący trójkąt wybiera się ten dla którego kąt α jest największy. 3. Odcinki łączące wybrany punkt i końce odcinka początkowego stanowią drugi i trzeci bok trójkąta. 4. Nowe boki zostają bokami początkowymi do poszukiwania następnych punktów. Powtarzanie operacji spowoduje zabudowę trójkątami całego obszaru opracowania.

7 Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza 9 α α α α Rys Zasada algorytmu step by step Niekiedy przy konstruowaniu triangulacji można znaleźć dwa lub więcej punktów, dla których kąty są jednakowe. Wówczas przez cztery punkty przechodzi jeden okrąg (np. cztery punkty tworzące prostokąt). Należy wybrać jeden z wariantów analizując dodatkowe informacje. Algorytm tworzenia nieregularnej siatki trójkątów musi mieć możliwość zmiany boków trójkątów na podstawie znajomości spadków ze szkiców polowych oraz musi z założenia prowadzić boki wzdłuż linii szkieletowych grzbietowych i ściekowych. Dane wygenerowane w procesie triangulacji należy przechowywać w strukturach zapewniających szybki i wygodny dostęp. Jednym z wariantów jest zapis danych w postaci trzech tablic: punktów ze współrzędnymi X,Y,H, boków ze wskaźnikami do punktów i przyległych trójkątów, trójkątów ze wskaźnikami do boków. F 8 B 2 T A 9 T4 4 T2 5 3 C E 7 T3 6 D PUNKT X Y H BOK 2 Pkt Pkt2 Bok Bok2 Bok3 A... T 0 A C T 2 3 B... 2 T 0 A B T C... 3 T T2 B C T D... 4 T2 T4 B E T E... 5 T2 T3 C E F... 6 T3 0 C D 7 T3 0 D E 8 T4 0 B F 9 T4 0 E F Rys Przykład zapisu danych

8 Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza 92 Mając model w postaci nieregularnej siatki trójkątów możemy interpolować wysokość punktu P powierzchni terenowej, którego rzut P na płaszczyznę poziomą leży w trójkącie A B C. x B w C P A w B w A C y Rys Ilustracja wyznaczania wysokości punktu w nieregularnej siatce trojkątów Aproksymując powierzchnię terenową płaszczyzną przechodzącą przez punkty ABC otrzymujemy wzór interpolacyjny w postaci: z p = z AwA + zbwb + zcw w + w + w A B C C gdzie z A, zb, zc, są wysokościami w punktach A B C a wagi w A, wb, wc są polami przeciwległych trójkątów, powstających przez podział trójkąta A B C odcinkami łączącymi wierzchołki tego trójkąta z punktem P Tworzenie numerycznego modelu terenu Dane do stworzenia numerycznego modelu terenu uzyskiwane są przede wszystkim z trzech źródeł: pomiarów bezpośrednich, pomiary fotogrametryczne, digitalizacji istniejących map. Niekiedy wykorzystuje się również altimetrię radarową lub laserową, dla modeli geologicznych wiercenia lub pomiary sejsmiczne.

9 Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza Bezpośrednie pomiary terenowe Pomiary bezpośrednie charakteryzują się wysoką dokładnością, a punkty wysokościowe (pikiety) w łatwy sposób są wprowadzane do systemów informatycznych. Pomiary te są jednak pracochłonne i kosztowne. Na ich podstawie otrzymuje się model nieregularny. Przy pozyskiwaniu punktów należy zwracać uwagę na to, by dobrze charakteryzowały powierzchnię terenu. Ilustrację przedstawiono na poniższym rysunku. Rys Ilustracja wyboru punktów charakterystycznych Punkty z lewej strony rysunku leżą na środku pochyłości lub na płaszczyzny, mogą zostać zatem pominięte bez straty informacji o powierzchni terenu. Punkty położone po stronie prawej leżą na szczycie wzniesienia, na punkcie przegięcia (zmiana spadku) i w najniższym punkcie terenu. Punktów tych nie można pominąć bez utraty dokładności. Na szkicach pomiarowych terenowych należy koniecznie zaznaczać również wszystkie linie nieciągłości (brzegi skarp, urwiska), jak i przebieg linii szkieletowych. Nieuwzględnienie przebiegu tych linii może prowadzić do powstania dużych błędów. Rys Ilustracja istotności linii strukturalnych Na rysunku lewym brak jest informacji o przebiegu linii szkieletowych. Obliczenie wysokości jako średniej arytmetycznej daje wysokość równą 0.5m. Na rysunku środkowym znane jest położenie linii ściekowej (wysokość w zaznaczonym punkcie wynosi 0m), na rysunku prawym znane jest położenie linii grzbietowej (wysokość m).

10 Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza Pomiary fotogrametryczne Za pomocą instrumentów fotogrametrycznych lub zaawansowanych programów komputerowych możliwe jest automatyczne pozyskiwanie wysokości na zbudowanym modelu. Najczęściej wysokości są pozyskiwane na siatce prostokątów lub kwadratów. Ponieważ w ten sposób pozyskiwane wysokości nie oddają w pełni złożoności form terenowych można zastosować automatyczne zagęszczanie siatki przy dużych zmianach wysokości. Przy interwencji operatora możliwe jest pozyskiwanie linii strukturalnych. Rysunki poniższe pokazują techniki zbierania wysokości. Rys. 9.. Przykłady rejestracji danych na instrumentach fotogrametrycznych Próbkowanie regularne: Może być wykonywane jako profile lub w siatce kwadratów (grid). Zaletą jest możliwość całkowitego zautomatyzowania pozyskiwania wysokości. Wadami jest ograniczenie do terenów o małych zmianach wysokości. Liczba pozyskanych punktów jest nieadekwatna do terenu: na terenach płaskich zbyt duża i za mała na terenach pofałdowanych. Metoda generuje zbyt dużą liczbę punktów, ponieważ gęstość siatki musi być mała, by uniknąć dużych błędów. Próbkowanie progresywne: Przy pozyskiwaniu wysokości dokonywana jest analiza i w zależności od zmian wysokości gęstość próbkowania ulega zmianie. Zaletą jest operowanie na mniejszej liczbie punktów przy wyższej dokładności. Próbkowanie selektywne. Pozyskuje się dodatkowo linie strukturalne. W połączeniu z próbkowaniem progresywnym nosi nazwę próbkowania kompozytowego. Zaletą jest wyraźne poprawienie modelu terenu. Niedogodność stanowi konieczność interwencji operatora, tak więc metoda jest jedynie częściowo automatyczna.

11 Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza Typowe zadania NMT W niniejszym rozdziale przedstawimy podstawowe zadania do jakich może być wykorzystany numerycznego modelu terenu Wyznaczanie wysokości Wyznaczanie wysokości jest elementarnym zadaniem numerycznego modelu terenu. Sposób wyznaczania zależy od zastosowanego modelu i wykonywane jest najczęściej metodami interpolacyjnymi. Podstawowe algorytmy wyznaczania wysokości przedstawiono przy omawianiu poszczególnych modeli Obliczanie objętości i bilansowanie robót ziemnych Istotą zadania jest obliczenie objętości bryły o określonym kształcie w płaszczyźnie XY i ograniczonej powierzchnią terenu z jednej strony oraz: płaszczyzną poziomą, płaszczyzną dowolnie zdefiniowaną, inną powierzchnią terenu (innym modelem terenu), z drugiej strony. Rys Ilustracja różnych wariantów obliczania objętości Na kolejnym rysunku zaznaczono dwoma kolorami przebieg terenu w stosunku do płaszczyzny odniesienia (kolor żółty teren pod płaszczyzną), a także podano jaki musi być poziom płaszczyzny, by suma mas ziemnych bilansowała się w obszarze obliczeń).

12 Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza 96 Rys Ilustracja różnych wariantów obliczania objętości Przekroje terenowe Przekrój terenowy stanowi linię przecięcia terenu z płaszczyzną pionową. W terminologii geodezyjnej używa się również pojęcia profili podłużnych i poprzecznych. W odróżnieniu od profili, na przekroju powinny znaleźć się również przecięcia z innymi obiektami terenowymi; w szczególności z uzbrojeniem terenowym. Przekrój może być dowolnie łamany i składać się z wielu punktów. Na rysunku kolorami wyróżniono różne przewody podziemne. Rys Przekrój pionowy

13 Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza Sprawdzanie widoczności Zadanie polega na udzieleniu odpowiedzi czy miedzy dwoma punktami istnieje widoczność. W stosunku do przekroju różnica polega na tym, że odległość pomiędzy punktami końcowymi może być bardzo duża i należy uwzględniać zakrzywienie powierzchni Ziemi i refrakcję. Sprawdzanie widoczności może obejmować również sprawdzanie zasięgu fal elektromagnetycznych np. w telefonii komórkowej wykorzystując wzory Freneta Wyznaczanie maksymalnych spadków i ich azymutów Spadek (nachylenie) jest wektorem, tak więc posiada kierunek i długość. Obliczenie maksymalnego spadku można obliczać na podstawie pochodnych cząstkowych lub na podstawie znanego wektora normalnego. Wielkość spadku wyrazić można w procentach lub w mierze kątowej. N[x,y,h] N A E Rys Obliczanie spadków Spadek na podstawie pochodnych cząstkowych w procentach wyraża się wzorem: H X H Y s = 00 + X Y gdzie H X i H Y oznaczają różnicę wysokości na odległościach X i Y odpowiednio. W przypadku znajomości wektora normalnego N[x,y,h] wzór jest następujący: tg( s) = Obliczone maksymalne spadki można również przedstawić graficznie w postaci map izolinii jednakowego spadku. x 2 2 h + y 2 2

14 Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza 98 wzoru: Azymut maksymalnego spadku w układzie współrzędnych geodezyjnych oblicza się z lub z wektora normalnego N[x,y,h]: H tg( A) = Y H X Y X tg( A ) = W przypadku pionowego wektora normalnego azymut jest nieokreślony Wizualizacja 3D y x Przedstawienie terenu może być różne w zależności od potrzeb użytkownika. Poniżej przedstawiono widok z góry na ten same obszary w zależności od położenia źródła światła. Na rysunkach kolorowych dodano zmianę koloru terenu w zależności od wysokości. Rys Przykłady wizualizacji Rysunki trójwymiarowe mogą być przedstawiane w rzutach aksonometrycznym lub perspektywicznym.

15 Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza 99 Rys Przykłady wizualizacji w rzucie aksonometrycznym w postaci linii równoległych Rys Przykłady wizualizacji w rzucie aksonometrycznym z uwzględnieniem sytuacji powierzchniowej Wyznaczanie obszarów zalewowych Wyznaczenie obszaru zalewowego w najprostszym rozumieniu polega na znalezieniu obszaru wewnątrz którego wysokość jest mniejsza od zadanej. Na rysunku przedstawiono efekt wystąpienia wody z rzeki. Rys Ilustracja obszaru zalewowego

16 Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT / Mapa zasadnicza Tworzenie warstwic Warstwice są najczęściej spotykanym modelem terenu na mapach. Obecnie przy stosowaniu numerycznego modelu terenu ich znaczenie maleje. Warstwica stanowi linię charakteryzującą się stałą wysokością. Warstwice można tworzyć zarówno na podstawie modelu siatki kwadratów jak i nieregularnej siatki trójkątów. W pierwszym przypadku mogą wystąpić pewne niejednoznaczności w ich przebiegu jak przedstawiono to na rysunku Rys Ilustracja możliwych niejednoznaczności przebiegu warstwic w siatce regularnej W nieregularnym modelu powierzchniowym opartym o triangulację Delaunay a taki przypadek nie powinien zaistnieć (istnieją wątpliwości tylko wtedy, gdy teren jest idealnie płaski o wysokości równej rzędnej warstwicy). W pozostałych przypadkach punkty warstwic wyznacza się na bokach trójkątów stosując interpolację liniową, zakładając poprawnie wykonane pomiary terenowe. Wyznaczone warstwice powstałe przez połączenie tych punktów nie przecinają się ze sobą. 2,4 0,2 3,8 Rys Ilustracja interpolacji warstwic w siatce trójkątnej Pomiędzy punktami pochodzącymi z interpolacji dokonuje się wygładzania przebiegu warstwic nadając im płynny przebieg bez gwałtownych zmian ich kształtu. Przy wygładzaniu używa się następujących metod: sześciennych funkcji sklejanych, sześciennych krzywych Beziera lub sześciennych krzywych Hermite a.