Zastosowanie teorii kolejek do modelowania struktur administracyjnych w szkolnictwie

Transkrypt

1 AUTOMATYKA 2008 Tom 2 Zeszyt 3 Bogus³aw Flpowcz*, Joanna Kweceñ* Zastosowane teor kolejek do modelowana struktur admnstracyjnych w szkolnctwe. Wprowadzene Teora kolejek jest dzedzn¹ badañ operacyjnych, która w ostatnch latach rozwja sê bardzo szybko. Perwotne by³a ona œcœle pow¹zana z technk¹, jednak dzêk swojej skutecznoœc elastycznoœc zosta³a wykorzystana w welu nnych dzedznach. Prekursorem teor kolejek by³ duñsk teletechnk A.K. Erlang, który w 909 r. opublkowa³ swoj¹ pracê dotycz¹c¹ modelu central telefoncznej. W latach 70. ubeg³ego weku teorê kolejek zaczêto stosowaæ do oceny wydajnoœc komputerów. Na prze³ome XX XXI weku pojaw³o sê wele prac dotycz¹cych zastosowana teor kolejek do oceny wydajnoœc systemów IT [3, 7]. Obecne teora ta, obejmuj¹ca zagadnena systemów sec kolejkowych, mo e byæ z powodzenem stosowana do modelowana welu systemów obs³ug, stnej¹cych mêdzy nnym w s³u be zdrowa czy admnstracj, opracowana metod pozwalaj¹cych na ca³kowt¹ charakterystykê procesu obs³ug [, 4, 6]. Pozwala bowem przygotowaæ optymalne decyzje odnoœne struktury organzacj obs³ug z punktu wdzena klenta zarz¹dzaj¹cego systemem. Pojedynczy system kolejkowy sk³ada sê z wejœca, kolejk stacj obs³ug. Ze wzglêdu na typ rozk³adu wejœcowego strumena zg³oszeñ oraz typ rozk³adu czasów obs³ug dzelmy je na systemy markowske nemarkowske. Seæ kolejkowa zbudowana z systemów kolejkowych lepej przedstawa strukturê badanego obektu n pojedynczy system kolejkowy. Bor¹c pod uwagê ca³kowt¹ lczbê zg³oszeñ, mo na je podzelæ na sec otwarte, zamknête meszane. W zale noœc od lczby klas zg³oszeñ dzelmy je na jednoklasowe weloklasowe. Projektuj¹c seæ kolejkow¹, nale y wêc okreœlæ typ lczbê systemów wchodz¹cych w jej sk³ad, lczbê kana³ów obs³ug w poszczególnych systemach oraz lczbê klas zg³oszeñ przebywaj¹cych w sec. Celem artyku³u jest przedstawene zastosowana teor kolejek do modelowana wybranych struktur admnstracyjnych w szkolnctwe. Do analzowana ch funkcjonowana * Katedra Automatyk, Akadema Górnczo-Hutncza w Krakowe 0

2 02 Bogus³aw Flpowcz, Joanna Kweceñ zastosowane zostan¹ otwarte sec kolejkowe, jedno- weloklasowe, zbudowane z systemów markowskch, w których czasy obs³ug zg³oszeñ s¹ zmennym losowym o rozk³adze wyk³adnczym. 2. Sec kolejkowe Sec Jacksona BCMP, które zostan¹ zaprezentowane w tym rozdzale, nale ¹ do sec newra lwych, tzn. takch, których rozw¹zane w stane równowag maj¹ce postaæ loczynu prawdopodobeñstw grancznych zale y jedyne od perwszego momentu rozk³adu czasów obs³ug. G³ównym problemem w teor kolejek jest w³aœcwe okreœlene prawdopodobeñstwa sec w stane ustalonym, na podstawe którego mo na wyznaczyæ pozosta³e welkoœc charakteryzuj¹ce seæ. 2.. Sec Jacksona Najprostszym rodzajem sec kolejkowych s¹ jednoklasowe sec Jacksona, w których lczba zg³oszeñ jest neogranczona [2, 4]. Proces przybywana zg³oszeñ z zewn¹trz jest procesem Possona o parametrze λ. Ka da stacja obs³ug zbudowana z jednego lub welu kana³ów obs³ug o wspó³czynnku μ, który mo e zale eæ od lczby zg³oszeñ w danej stacj, pracuje zgodne z rozk³adem wyk³adnczym wed³ug dyscyplny FIFO. Wzglêdna ntensywnoœæ obs³ug w systeme m kana³owym ρ dana jest zale noœc¹: λ ρ = m μ () Jednym z wa nejszych twerdzeñ dotycz¹cych sec otwartych jest twerdzene Jacksona pozwalaj¹ce, przy za³o enu spe³nena warunków ergodycznoœc przez ka d¹ stacjê nale ¹c¹ do sec (ρ < ), wyznaczyæ prawdopodobeñstwo w stane ustalonym π(k) zdarzena polegaj¹cego na tym, e w systeme stneje k zg³oszeñ. Dla sec sk³adaj¹cej sê z N systemów m kana³owych prawdopodobeñstwo to okreœlone jest zale noœc¹: N π ( k) = π( k) = k ( m ) ρ, k m m k m m! ρ mρ k + k 0!! = k m ρ π ( k) = m k m ρ, k m k > m m m m! ρ mρ + k 0 k! m! = ρ (2)

3 Zastosowane teor kolejek do modelowana struktur admnstracyjnych Œredna lczba zg³oszeñ w systeme K oraz œredn czas przebywana zg³oszeñ w systeme (wyznaczony z regu³y Lttle a) T dane s¹ zale noœc¹ (3): m ρ mρ K = ρ + ; 2 = m! k m m ρ mρ mρ λ K m T k = 0 + k! m!( ρ ) (3) 2.2. Sec kolejkowe BCMP W sec BCMP zg³oszene mo e zmenæ przynale noœæ do klasy w trakce przebywana wewn¹trz sec. Rozk³ad czasów obs³ug zg³oszeñ jest dowolny. Istnej¹ 4 typy systemów wchodz¹cych w sk³ad sec BCMP [2, 4]. Stosowane w pracy otwarte sec BCMP sk³adaj¹ sê z systemów FIFO IS, st¹d dalsze rozwa ana bêd¹ ogranczone tylko do tych typów. Typ FIFO reprezentowany jest przez system jedno lub welokana³owy, w którym zg³oszena s¹ obs³ugwane wg dyscyplny FIFO. Rozk³ad czasów obs³ug wszystkch klas jest dentyczny wyk³adnczy. W systemach typu IS stneje neogranczona lczba kana³ów obs³ug. Zg³oszena ró nych klas mog¹ meæ nne wymagana odnoœne obs³ug, przy czym rozk³ad czasów obs³ug mo na przedstawæ w postac rozk³adu Coxa. Œredna lczba zg³oszeñ w systeme umeszczonym w sec otwartej zbudowanej z N systemów R klas zg³oszeñ, wyra ona jest za pomoc¹ zale noœc (4): K r m ρ r mρ mρ r +! m k m m ρ ρ mρ mρ + k 0 k! m! = ρ =,typfifo (4) λ μ r r, typis gdze: μ r wspó³czynnk obs³ug klasy r w systeme, λ r wspó³czynnk strumena zg³oszeñ klasy r w systeme, ρ r wzglêdna ntensywnoœæ obs³ug klasy r w systeme, ρ r = λ r /(m μ r ). Œredn czas przebywana zg³oszeñ klasy r w systeme wyznaczyæ mo na z (5): T r K = λ r r (5)

4 04 Bogus³aw Flpowcz, Joanna Kweceñ 3. Przyk³adowe modele struktur admnstracyjnych uczeln wy szych Wœród lcznych zastosowañ teor kolejek na szczególn¹ uwagê zas³uguje zastosowane w admnstracj. W nnejszej pracy otwarte sec kolejkowe zostan¹ zastosowane do modelowana struktur admnstracyjnych uczeln wy szych. W³aœcwa organzacja pracownków admnstracyjnych umo lw bowem zwêkszene satysfakcj studentów pracownków uczeln. W pracy [5] przedstawono przyk³adow¹ optymalzacjê strukturaln¹ systemów edukacyjnych. Celem zebrana danych dotycz¹cych strumena przybywana zg³oszeñ oraz czasów obs³ug w danej uczeln nale a³oby przeprowadzæ badana chronometryczne, by badana struktura jak najlepej odwzorowywa³a rzeczywsty problem. Naszym zadanem ne jest jednak ocena pracy danej uczeln, lecz próba zamodelowana pewnych standardowych jednostek sytuacj wystêpuj¹cych w uczelnach wy szych. 3.. Model procesu otrzymywana wpsów na kolejny rok Uzyskane promocj na kolejny rok studów odnotowywane jest w ndekse studenta oraz odpowednch komórkach organzacyjnych uczeln. Dza³ana take maj¹ na celu archwzacjê danych o studence jego przebegu studów, przyznawane œwadczeñ otrzymywanych przez studenta oraz wymuszene rozlczeñ z nektórym jednostkam organzacyjnym, np. z bblotek¹. Studenc chc¹c uzyskaæ promocjê na nastêpny rok akademck, pownn uzyskaæ pozytywne oceny, z³o yæ w dzekanace wype³nony ndeks kartê egzamnacyjn¹ wraz z ks¹ eczk¹ zdrowa, rozlczyæ sê z bblotek¹, odebraæ ndeks potwerdzene kontynuacj studów dla WKU, uzyskaæ w dzale nauczana pecz¹tk w legtymacj studenckej potwerdzaj¹cej status studenta. Bardzo wa ne s¹ równe œwadczena materalne, które towarzysz¹ zmane roku akademckego. W dzekanace socjalnym studenc sk³adaj¹ podana nne dokumenty w celu otrzymana stypendów, mejsc w domach studenckch, dop³at do obadów czy te nnych subwencj. Nektórzy równe musz¹ osobœce spotkaæ sê z dzekanem w sprawe uzyskana specjalnych, nekedy warunkowych, zasad wpsu na nastêpny rok studów czy uzyskana urlopu dzekañskego, ndywdualnego toku studów td. W dzekanace wykonywane s¹ równe nne dodatkowe czynnoœc, take jak poprawane b³êdnych wpsów w ndekse, potwerdzana ndywdualnego trybu studowana, sprawy zw¹zane z urlopam dzekañskm tp. Proces otrzymywana wpsów na nastêpny rok akademck mo na wêc zamodelowaæ jako otwart¹ seæ Jacksona (rys. ), gdze studenc bez wzglêdu na rodzaj ¹dana reprezentuj¹ klentów/zg³oszena, natomast systemam kolejkowym s¹: dzekanat dokonuj¹cy wpsów na kolejny rok po sprawdzenu spe³nena wszystkch wymagañ stawanych studentow, dzekanat socjalny, w którym za³atwane s¹ sprawy socjalne, dzekan, do które-

5 Zastosowane teor kolejek do modelowana struktur admnstracyjnych go studenc udaj¹ sê w sprawach nadzwyczajnych, bbloteka, w której nale y otrzymaæ pecz¹tkê potwerdzaj¹c¹ zwrot ks¹ ek, dza³ nauczana dokonuj¹cy m.n. przed³u ena wa noœc legtymacj studenckej. Przyjmjmy, e systemy S, S 2, S 3, S 5 s¹ wyk³adnczym systemam jednokana³owym z dyscypln¹ FIFO (M/M//FIFO/nf), natomast S 4 jest systemem dwukana³owym (M/M/2/FIFO/nf). Rys.. Seæ Jacksona modeluj¹ca proces otrzymywana wpsów Uzyskwane wpsów przypada zazwyczaj na okres czerwec paÿdzernk. Do oblczeñ za³ó my, e studenc chc¹cy uzyskaæ wps, przybywaj¹ wed³ug rozk³adu Possona œredno co,5 mnuty. Œredno czas obs³ug studentów w systeme S wynos 2 mnuty, w S 2 4 mnuty, w S 3 3 mnuty, w S 4 2 mnuty, w S 5 2 mnuty. Przyjmjmy, e wszystke systemy pracuj¹ w tych samych godznach. W przecwnym przypadku nale y przeskalowaæ czasy pracy poszczególnych systemów. Dla tak dobranych danych prawdopodobeñstw podanych na rysunku strumene zg³oszeñ wynosz¹ odpowedno: λ = 0,5, λ 2 = 0,54, λ 3 = 0,062, λ 4 = 0,542 λ 5 = 0,626. Korzystaj¹c z równana (3), mo na wyznaczyæ œredne lczby studentów w poszczególnych stacjach czasy ch przebywana (tab. ). Systemy Tabela Podstawowe welkoœc charakteryzuj¹ce systemy Wzglêdna ntensywnoœæ obs³ug ρ Œredna lczba studentów Œredn czas przebywana [mn] Dzekanat socjalny S 0,2974 0,4233 2,8467 Dzekan S 2 0,652,5988 0,395 Bbloteka S 3 0,2446 0,3238 3,975 Dzekanat S 4 0,7226 3,0247 4,857 Dza³ Nauczana S 5 0,4336 0,7655 3,5309

6 06 Bogus³aw Flpowcz, Joanna Kweceñ Dla danych prezentowanych w artykule struktura okaza³a sê wystarczaj¹ca. Z najwy - sz¹ ntensywnoœc¹ pracuj¹ systemy S 2 S 4. Aby dok³adne odwzorowaæ pracê danej struktury, nale y dysponowaæ danym statystycznym dotycz¹cym lczby studentów przyjmowanych przez odpowedne systemy oraz prawdopodobeñstw przejœæ. W badanach dotycz¹cych modelowana procesów obs³ug studentów wygodne jest równe rozwa aæ seæ posadaj¹c¹ wele klas zg³oszeñ. Ju na przyk³adze bblotek zauwa yæ mo na, e czêœæ studentów oczekuje na potwerdzene rozlczena z wypo yczonych ks¹ ek, a nn jeszcze wypo yczaj¹ kolejne. W proponowanym modelu student po zakoñczenu obs³ug w jednym systeme natychmast przechodz do kolejnego. Czas przejœca pomêdzy systemam jest wêc wlczany w czas oczekwana w kolejce. Problem ten móg³by byæ rozw¹zany poprzez wprowadzene fkcyjnych stacj o neskoñczonej lczbe kana³ów obs³ug (brak kolejk) czase obs³ug równym czasow przejœca mêdzy 2 stacjam Dzekanat jako seæ weloklasowa Za³ó my, e w sk³ad sec kolejkowej wchodz 5 systemów: dzekanat studów dzennych S, dzekanat studów zaocznych S 2, dzekanat studów doktoranckch S 3, dzekanat socjalny S 4, dzekan S 5. Osoba przybywaj¹ca do rozpatrywanego systemu mo e udaæ sê do ka dego z tych systemów w zale noœc od zastna³ej potrzeby. W zale noœc od ¹dana osoba ta mo e przejœæ przez wszystke systemy lub opuœcæ seæ w dowolnym momence. Ze wzglêdu na zró ncowane ¹dana obs³ug (potrzeby) wprowadÿmy dwe klasy klentów: studenc (klasa ) oraz pracowncy danej uczeln (klasa 2). Ne ma zmany przynale - noœc zg³oszeñ-osób do klas. Dodatkowo uwzglêdnmy czas przejœca mêdzy tym systemam w postac czasu obs³ug systemu typu IS (M/M/nf). Nech systemy S S 4 bêd¹ systemam wyk³adnczym jednokana³owym, natomast S 5 bêdze systemem, w którym ne trzeba czekaæ na obs³ugê (typ IS wed³ug klasyfkacj BCMP). Œredn czas obs³ug w systeme S wynos 2 mnuty, w S 2 2 mnuty, w S 3 4 mnuty, w S 4 2 mnuty. W systeme S 5 czas obs³ug jest zale ny od klasy. Dla klasy studenc wynos 2 mnuty, dla klasy pracowncy 5 mnut. Systemy S S 4 pracuj¹ 4 godzny dzenne, natomast S 5 2 godzny. Dzenne obs³ugwanych jest 20 osób (00 studentów, 20 pracownków). Na rysunkach 2 3 przedstawono model rozwa anego dzekanatu dla poszczególnych klas. Dla tak dobranych danych strumene zg³oszeñ klasy studenc wynosz¹ odpowedno: λ = 0,25833, λ 2 = 0,04667, λ 3 = 0,04667, λ 4 = 0,04667 λ 5 = 0, Dla klasy pracowncy strumene zg³oszeñ wynosz¹: λ = 0,025, λ 2 = 0,00833, λ 3 = 0,00833, λ 4 = 0 λ 5 = 0, Nech œredn czas przejœca mêdzy systemam wynos 6 sekund. Czas ten mo na modelowaæ jako czas przebywana w systeme IS. W tabel 2 przedstawono œredne lczby osób poszczególnych klas w systemach oraz œredne czasy ch przebywana.

7 Zastosowane teor kolejek do modelowana struktur admnstracyjnych Rys. 2. Seæ weloklasowa BCMP modeluj¹ca pracê dzekanatu dla klasy studenc Rys. 3. Seæ weloklasowa BCMP modeluj¹ca pracê dzekanatu dla klasy pracowncy

8 08 Bogus³aw Flpowcz, Joanna Kweceñ Systemy Tabela 2 Podstawowe welkoœc charakteryzuj¹ce systemy Wzglêdna ntensywnoœæ obs³ug ρ Œredna lczba Œredn czas przebywana [mn] studentów pracownków studentów pracownków studentów pracownków S 0,567 0,,3478 0,2609 5,274 5,274 S 2 0,0833 0,0333 0,0943 0,0377 2,2642 2,2642 S 3 0,667 0,0667 0,274 0,087 5,274 5,274 S 4 0,0833 0,0909 2,88 S 5 0,275 0, Podsumowane W artykule zaprezentowano modele sec kolejkowych, które mog¹ byæ zastosowane do modelowana struktur admnstracyjnych w szkolnctwe wy szym. W omawanych modelach welkoœc charakteryzuj¹ce seæ s¹ zadowalaj¹ce. W przypadku ma³o efektywnych struktur, sec kolejkowe pozwalaj¹ znaleÿæ w¹ske gard³o. Kolejnym krokem mo e byæ optymalzacja badanych struktur uwzglêdnaj¹ca koszty funkcjonowana. Dzêk zastosowanu model sec kolejkowych mo na porównaæ ró ne waranty rozw¹zañ wykorzystaæ najlepsze rozw¹zane w praktyce. Usprawnene dza³ana struktur admnstracyjnych mo na uzyskaæ, wykorzystuj¹c Internet do obs³ug petentów, co nektóre z uczeln ju zaczê³y wdra aæ. Istotne by³oby wêc równe badane wydajnoœc systemów nformatycznych w uczelnach ocena pracy dzekanatów wykorzystuj¹cych te systemy. Lteratura [] Albn S.L, Barrett J., Ito D., Mueller J.E., A queueng network analyss of a health center. Queueng Systems, 7, 990. [2] Bolch G., Grener S., Meer H., Trved K.S., Queueng networks and Markov chans. Modelng and performance evaluaton wth computer scence applcaton. John Wley&Sons, INC, 998. [3] Czachórsk T., Modele kolejkowe w ocene efektywnoœc sec systemów komputerowych. Glwce, Pracowna Komputerowa Jacka Skalmerskego 999. [4] Flpowcz B., Modelowane analza sec kolejkowych. Kraków, Wydawnctwa AGH 997. [5] Flpowcz B., Modelowane optymalzacja systemów kolejkowych. Czêœæ I, Systemy markowske. Kraków, FHU Poldex 999. [6] Kweceñ J., Zastosowane sec kolejkowych z weloma klasam zg³oszeñ w zagadnenach organzacyjnych s³u by zdrowa. Praca doktorska (nepublkowana), [7] Zgrzywa A., Ocena wydajnoœc systemów nformacyjnych metodam kolejkowym. Wroc³aw, Ofcyna Wydawncza Poltechnk Wroc³awskej 998.