Modelowanie struktur s³u by zdrowia za pomoc¹ sieci kolejkowych

Transkrypt

1 AUTOMATYKA 2009 Tom 3 Zeszyt 2 Joanna Kwiecieñ* Modelowanie struktur s³u by zdrowia za pomoc¹ sieci kolejkowych. Wprowadzenie Teoria kolejek obejmuj¹ca zagadnienia systemów i sieci kolejkowych dostarcza potê - nego narzêdzia, które pozwala przedstawiæ charakterystykê procesu obs³ugi oraz oceniæ jakoœæ pracy rzeczywistego systemu. Dziêki stosowaniu teorii kolejek mo na podejmowaæ optymalne decyzje odnoœnie struktury danego systemu z punktu widzenia osób zainteresowanych uzyskaniem obs³ugi i zarz¹dzaj¹cych tym systemem. Sieci kolejkowe sk³adaj¹ce siê z wielu systemów obs³ugi o wiele lepiej przedstawiaj¹ strukturê rozwa anego systemu ni pojedynczy system kolejkowy. Istnieje kilka rodzajów sieci kolejkowych. W zale noœci od ca³kowitej liczby zg³oszeñ mo na je podzieliæ na sieci otwarte, zamkniête i mieszane, natomiast w zale noœci od liczby klas wyró niæ mo na sieci jednoklasowe i wieloklasowe. Istniej¹ równie metody, które pozwalaj¹ wyznaczyæ podstawowe parametry obs³ugi w przypadku wprowadzenia priorytetów klas zg³oszeñ oraz ró nych mechanizmów blokowania [, 2]. Trudna sytuacja w s³u bie zdrowia, ci¹g³e oczekiwanie pacjentów na wizytê u specjalisty czy kolejki oczekuj¹cych na zabiegi, zmuszaj¹ do poszukiwania coraz to nowszych metod i narzêdzi, które pozwol¹ na sprawn¹ organizacjê obs³ugi. Teoria kolejek mo e byæ stosowania zarówno do analizy czasów oczekiwania pacjentów i wykorzystania kana³ów obs³ugi (lekarzy, ³ó ek itd.), jak i do projektowania systemów opieki zdrowotnej. Systemy te mog¹ obejmowaæ podstawowe jednostki s³u by zdrowia oraz rozbudowane systemy, takie jak szpitale czy kliniki. Ca³kowity proces opieki zdrowotnej zawiera szereg czynnoœci i procedur, przez które musi przejœæ pacjent chc¹cy uzyskaæ pomoc. Wykwalifikowany personel medyczny oraz sprzêt specjalistyczny staj¹ siê w¹skim gard³em systemu opieki zdrowotnej. Sieci kolejkowe mog¹ byæ z powodzeniem stosowane do modelowania struktur s³u by zdrowia [2, 3]. Pierwsze prace dotycz¹ce wykorzystania sieci kolejkowych w s³u - bie zdrowia zosta³y podjête przez autorów pracy [4]. Zastosowali oni jednoklasowe sieci * Katedra Automatyki, Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie 40

2 402 Joanna Kwiecieñ kolejkowe do zamodelowania funkcjonowania przychodni lekarskiej zapewniaj¹cej studentom z Rutgers University opiekê medyczn¹. Istniej¹ równie sytuacje tzw. nag³ych przypadkach, szczególnie zagra aj¹cym yciu, kiedy pacjenci przyjmowani s¹ poza kolejnoœci¹. W [5] zaproponowano zastosowanie priorytetów dla ró nych kategorii pacjentów, przyjmowanych w izbie przyjêæ. Teoria kolejek zosta³a równie wykorzystana do modelowania przep³ywu pacjentów wymagaj¹cych leczenia w szpitalu psychiatrycznym [6] oraz na oddziale kardiologii [7]. Celem artyku³u jest przedstawienie zastosowania sieci wieloklasowych z priorytetami oraz sieci kolejkowych z blokowaniem do modelowania przyk³adowych struktur i procesów leczenia pacjentów. 2. Sieci kolejkowe Sieæ kolejkow¹, do której zg³oszenia mog¹ wchodziæ z zewn¹trz, jak równie mog¹ opuszczaæ sieæ, nazywamy otwart¹, w przeciwnym przypadku sieci¹ zamkniêt¹. W sieci zamkniêtej liczba zg³oszeñ jest sta³a. Sieæ kolejkow¹, do której przybywa nowe zg³oszenie, podczas gdy inne zg³oszenie opuszcza sieæ, mo emy rozwa aæ jako sieæ zamkniêt¹. W przypadku modelowania struktur organizacyjnych lecznictwa otwartego (przychodnie lekarskie) stosuje siê otwarte sieci kolejkowe, natomiast sieci zamkniête stosowane s¹ do analizy funkcjonowania szpitali oraz klinik specjalistycznych. Najprostszym rodzajem sieci kolejkowych s¹ sieci Jacksona posiadaj¹ce nieograniczon¹ liczbê zg³oszeñ nale ¹cych do jednej klasy. Proces przybywania zg³oszeñ z zewn¹trz jest procesem Poissona o parametrze λ. Ka da stacja obs³ugi zbudowana z jednego lub wielu kana³ów obs³ugi o wspó³czynniku μ, który mo e zale eæ od liczby zg³oszeñ w danej stacji, pracuje zgodnie z rozk³adem wyk³adniczym wed³ug dyscypliny FIFO. Bardziej z³o onymi s¹ sieci wieloklasowe BCMP, w których istnieje mo liwoœæ przebywania jednoczeœnie wielu zg³oszeñ nale ¹cych do ró nych klas. Zg³oszenie mo e zmieniæ przynale noœæ do klasy w trakcie przebywania wewn¹trz sieci. Rozk³ad czasów obs³ugi zg³oszeñ jest dowolny. Systemy wystêpuj¹ce w sieciach BCMP mo na podzieliæ na 4 typy: FIFO, PS, IS, LIFO-PR [, 2]. G³ównym problemem w teorii kolejek jest w³aœciwe okreœlenie prawdopodobieñstwa sieci w stanie ustalonym, na podstawie którego mo na wyznaczyæ pozosta³e wielkoœci charakteryzuj¹ce sieæ. Jest to bardzo z³o ona procedura, w przypadku du ych sieci w³aœciwie niemo liwa do wykonania, dlatego te stosowane s¹ algorytmy aproksymacji takie, jak: algorytm rekurencyjny Buzena, metoda analizy wartoœci œrednich (MVA), metoda serwera zastêpczego (FES), metoda sumowania (SUM) i wiele innych. W sieciach kolejkowych mog¹ równie wystêpowaæ ró ne typy priorytetów zg³oszeñ, miêdzy innymi priorytety wzglêdne i bezwzglêdne. Czêsto spotykanym zjawiskiem w sieciach kolejkowych jest te blokowanie zg³oszeñ [, 8]. Stosowane w pracy sieci kolejkowe sk³adaj¹ siê z systemów wyk³adniczych M/M/m/ FIFO/ (typ FIFO wg klasyfikacji BCMP) i M/M/ (typ IS), st¹d dalsze rozwa ania bêd¹ ograniczone tylko do tych typów. Typ FIFO reprezentowany jest przez system jedno- lub

3 Modelowanie struktur s³u by zdrowia za pomoc¹ sieci kolejkowych 403 wielokana³owy, w którym zg³oszenia s¹ obs³ugiwane wg dyscypliny FIFO. Rozk³ad czasów obs³ugi wszystkich klas jest identyczny i wyk³adniczy. W systemach typu IS istnieje nieograniczona liczba kana³ów obs³ugi. Zg³oszenia ró nych klas mog¹ mieæ inne wymagania co do obs³ugi, przy czym rozk³ad czasów obs³ugi mo na przedstawiæ w postaci rozk³adu Coxa [, 2]. Œrednia liczba zg³oszeñ w systemie umieszczonym w sieci otwartej sk³adaj¹cej siê z N systemów i R klas, bêd¹ca sum¹ intensywnoœci obs³ugi w ca³ym systemie (mρ) oraz œredniej liczby zg³oszeñ oczekuj¹cej na obs³ugê (L), wyra ona jest za pomoc¹ zale noœci (): gdzie: Kir ρir miρ ir + Lir = miρ ir + Pm ( ρ ), TypFIFO i i ρi = λ ir, Typ IS μ ir () oraz: m ( m ) i iρi m ( ρ ) i i = m!( ) mi k ( ) i m ( ) i i ρ i miρi miρi + k 0 k!! i = i mi ρi P m i liczba kana³ów obs³ugi w systemie i, μ ir wspó³czynnik obs³ugi klasy r w systemie i, λ ir wspó³czynnik strumienia zg³oszeñ klasy r w systemie i, ρ ir wzglêdna intensywnoœæ obs³ugi klasy r w systemie i, ρ ir = λ ir /(m i μ ir ), (2) W sieciach zamkniêtych, w których przebywa K zg³oszeñ, przy zastosowaniu metody SUM opartej na za³o eniu, e dla ka dego systemu umieszczonego w sieci œrednia liczba zg³oszeñ w systemie jest funkcj¹ przepustowoœci tego systemu, œrednia liczba zg³oszeñ wynosi []: Kir m ρ ( ) i ir miρ i miρ ir +,FIFO K!( ) mi k ( ) i m i mi m ( ) i i ρ ρ i miρi miρi i K m + = i k 0 ki! mi! i i = ρ λir, IS μ ir (3) Stosuj¹c regu³y Little a mo na wyznaczyæ œredni czas oczekiwania w kolejce oraz œredni czas przebywania zg³oszeñ w ca³ym systemie.

4 404 Joanna Kwiecieñ 3. Sieci kolejkowe priorytetowe W przypadku sieci kolejkowych priorytetowych zak³adamy, e przybywaj¹ce zg³oszenia nale ¹ do klasy posiadaj¹cej okreœlony priorytet h (h =,..., H). Wewn¹trz klasy priorytetowej obowi¹zuje dyscyplina FIFO. Jeœli obs³uga zg³oszenia z ni szym priorytetem nie jest przerywana w chwili nadejœcia zg³oszenia z wy szym priorytetem h, mówimy o systemach z priorytetem wzglêdnym. W tym przypadku œredni czas oczekiwania w kolejce nowoprzyby³ego zg³oszenia sk³ada siê z trzech sk³adników: œredniego czasu dokoñczenia obs³ugi zg³oszenia obs³ugiwanego w momencie nadejœcia rozwa anego zg³oszenia, œredniego czasu obs³ugi zg³oszeñ stoj¹cych w kolejce z tym samym lub wy szym priorytetem oraz œredniego czasu obs³ugi zg³oszeñ przyby³ych póÿniej z wy szym priorytetem []. Przyk³adem takiego systemu mo e byæ gabinet dentystyczny, gdzie pacjenci przybywaj¹cy z bólem zêba (z wy szym priorytetem) s¹ przyjmowani poza kolejnoœci¹. W niektórych przypadkach mo e siê zdarzyæ, e przybywaj¹ce zg³oszenie z wy szym priorytetem przerywa obs³ugê aktualnie obs³ugiwanego zg³oszenia (z ni szym priorytetem) i odbywa siê obs³uga zg³oszenia nowoprzyby³ego. Po zakoñczeniu obs³ugi zg³oszenia z wy szym priorytetem nastêpuje dokoñczenie przerwanej obs³ugi zg³oszenia. Mówimy wtedy o systemach z priorytetem bezwzglêdnym []. Przyk³adem takiego systemu mo e byæ izba przyjêæ, gdzie obs³uga pacjenta jest przerywana, jeœli zostanie przywieziony pacjent w ciê kim stanie (z wy szym priorytetem). Do analizy zamkniêtych sieci kolejkowych z priorytetami mo na zastosowaæ metodê PRIOSUM []. Za³ó my, e klasa pierwsza ma najwy szy priorytet, natomiast klasa R najni szy. Niech δ ir oznacza sumê wzglêdnej intensywnoœci obs³ugi zg³oszeñ z wy - szym priorytetem od r w systemie i, natomiast δ ir+ oznacza ca³kowit¹ wzglêdn¹ intensywnoœæ obs³ugi zg³oszeñ o priorytecie nie ni szym od r w systemie i. W przypadku rozwa anych w pracy sieci z priorytetami wzglêdnymi (bez przerwania obs³ugi zg³oszenia aktualnie obs³ugiwanego), zawieraj¹cych systemy M/M/m/FIFO/, œrednia liczba zg³oszeñ w poszczególnych systemach wynosi: R ρij λir j= μij Pm ( ρ ) i i Kir = miρ ir + K m mi i i K m i ρ δir δir+ K mi K mi (4) 4. Sieci kolejkowe z blokowaniem W niniejszej pracy rozpatrywane s¹ otwarte sieci kolejkowe jednoklasowe, w których zg³oszenia przybywaj¹ce do systemu s¹ natychmiast obs³ugiwane lub czekaj¹ w kolejce do obs³ugi. Po obs³u eniu zg³oszenie przechodzi do nastêpnej stacji, która jest wybierana z pewnym prawdopodobieñstwem. Jeœli jednak system nastêpny posiada skoñczon¹ pojemnoœæ, mo e wyst¹piæ sytuacja odmowy obs³ugi zg³oszenia. Jeœli system ten jest zape³niony,

5 Modelowanie struktur s³u by zdrowia za pomoc¹ sieci kolejkowych 405 to zg³oszenie bêdzie blokowane w stacji poprzedniej, dopóki nie zostanie przyjête do kolejnego systemu. W literaturze opisane s¹ ro ne mechanizmy blokowania, ró ni¹ce siê momentem blokowania (przed obs³ug¹ lub po obs³udze) albo mechanizmem przejœæ blokowanych zg³oszeñ. Opisany mechanizm blokowania znany jest jako blokowanie po obs³udze (BAS). Zg³oszenia s¹ odblokowywane wed³ug dyscypliny FIFO [8]. Jedn¹ z metod aproksymacji sieci otwartych z blokowaniem jest algorytm dekompozycji przedstawiony w [6, 9], wprowadzaj¹cy pojêcie efektywnego czasu obs³ugi systemu i jako sumy czasu obs³ugi oraz czasu blokowania W j (czasu oczekiwania na wejœcie do stacji nastêpnej). Jeœli czêœæ zg³oszeñ po uzyskaniu obs³ugi w i-tym systemie opuszcza ten system bez blokowania (z prawdopodobieñstwem p iwy ), wtedy efektywny czas obs³ugi mo na wyraziæ w postaci: μ μ μ = piwy + pij + Wj (5) ief ( ) i j i Œredni¹ liczbê blokowanych zg³oszeñ w i-tym systemie kierowanych do j-tego systemu L ij, który mo na wtedy analizowaæ jako system M/M/m/FIFO/, otrzymamy, podstawiaj¹c μ ief zamiast μ i w () i korzystaj¹c z formu³y: Lij = pijlj, dla i-tego systemu na drodze blokowania Lij = Lj ( λij / λ j ),dlainnychsystemów (6) 5. Przyk³adowe modele struktur s³u by zdrowia Stosuj¹c sieci kolejkowe, mo na badaæ, czy struktury jednostek s³u by zdrowia s¹ wystarczaj¹ce do obs³ugi okreœlonej liczby pacjentów. 5.. Proces chemioterapii Na oddziale chemioterapii pacjenci poddawani mog¹ byæ leczeniu w warunkach pobytu dziennego (tzw. chemia dzienna) b¹dÿ w warunkach pobytu szpitalnego (tzw. chemia wielodobowa). Czêstotliwoœæ kolejnych kursów chemioterapii i ca³kowity czas leczenia jest uzale niony m.in. od typu nowotworu, od reakcji guza na stosowane leczenie i stopnia nasilania efektów ubocznych. W sk³ad modelu odzia³u chemioterapii (rys. ) wchodz¹ nastêpuj¹ce systemy: S gabinet zabiegowy ( pielêgniarka, μ = 67), S 2 poczekalnia (μ 2 = 8), S 3 poradnia konsultacyjna pacjentów chemii wielodobowej ( lekarz, μ 3 = 60), S 4 poradnia konsultacyjna pacjentów chemii dziennej (4 lekarzy, μ 4 = 8,33), S 5 izba przyjêæ (2 pielêgniarki, μ 5 = 2), S 6 chemioterapia wielodobowa (66 ³ó ek, μ 6 = 0,28), S 7 chemioterapia z salami pobytu dziennego (30 ³ó ek, μ 7 = ), S 8 dom pacjenta (μ 8 = μ 83 = 0,092, μ 82 = μ 84 = 0,37).

6 406 Joanna Kwiecieñ G³ównym ograniczeniem oddzia³u jest liczba ³ó ek w systemach chemii dziennej i wielodobowej, dlatego przyjêto, e s¹ one systemami z priorytetami wzglêdnymi. Wprowadzono nastêpuj¹ce klasy pacjentów: klasa 250 pacjentów chemii dziennej (wysokiego ryzyka), klasa 2 50 pacjentów chemii wielodobowej (wysokiego ryzyka), klasa 3 5 pacjentów chemii dziennej z ni szym priorytetem, klasa 4 25 pacjentów chemii wielodobowej z ni szym priorytetem. Rys.. Model sieci zamkniêtej BCMP przedstawiaj¹cej proces leczenia na oddzia³u chemioterapii

7 Modelowanie struktur s³u by zdrowia za pomoc¹ sieci kolejkowych 407 Korzystaj¹c z metod SUM i PRIOSUM, mo na wyznaczyæ podstawowe wielkoœci charakteryzuj¹ce sieæ. Z punktu widzenia pacjenta najwa niejszymi parametrami sieci kolejkowej modeluj¹cej dzia³anie oddzia³u s¹ œrednie czasy przebywania w systemach i œrednie czasy oczekiwania w poszczególnych systemach (tab. ). Dla tak dobranych danych mo na jeszcze przyj¹æ, e struktura oddzia³u chemioterapii jest wystarczaj¹ca (mimo doœæ d³ugiego czasu oczekiwania pacjentów klasy 4 do systemu S 6 ). System Tabela Wybrane podstawowe parametry systemów Œredni czas oczekiwania [doba] Œrednia liczba pacjentów Klasa Klasa 2 Klasa3 Klasa 4 Klasa Klasa 2 Klasa3 Klasa 4 S 0,057 0,057 0,057 0,057 0,629 0,3657 0,0377 0,0240 S ,5648,4909 0,537 0,0979 S 3 0 0, , , ,066 S 4 0, , , ,855 0 S ,0324 0, ,0906 S , , ,229 S 7 0, , ,6584 0, S , ,067 3,366 5, Proces opieki medycznej pacjentów po udarach Interesuj¹cym przypadkiem, który mo na modelowaæ za pomoc¹ sieci kolejkowych, jest proces leczenia osób, u których wyst¹pi³ niedow³ad po udarze mózgu. Bardzo wa nym etapem leczenia jest rehabilitacja, prowadzona w celu przywrócenia pacjentowi zdolnoœci do funkcjonowania w spo³eczeñstwie i ograniczenia jego niepe³nosprawnoœci. Leczenie kontynuowane jest równie w domu pacjenta poprzez wyspecjalizowane zespo³y opieki medycznej. Do tzw. hospitalizacji domowej pacjenci kierowani s¹ ze szpitala. Wa n¹ rolê w procesie leczenia pacjentów, szczególnie osób starszych, odgrywaj¹ równie domy opieki d³ugoterminowej (zak³ady opiekuñczo-lecznicze, zak³ady opiekuñczo-pielêgnacyjne), w których pacjenci maj¹ dostêp do opieki lekarskiej oraz zabiegów pielêgnacyjnych i rehabilitacyjnych. Na rysunku 2 przedstawiono model procesu opieki osób po udarach mózgu, sk³adaj¹cy siê z 4 systemów: S szpital, S 2 opieka domowa (20 specjalistów), S 3 rehabilitacja (42 miejsca), S 4 dom opieki (00 miejsc). Pacjenci w momencie podejrzenia czy stwierdzenia udaru kierowani s¹ natychmiast do najbli szego szpitala, dlatego mo na za³o yæ, e S jest systemem wyk³adniczym M/M/, pozosta³e s¹ systemami M/M/m/FIFO/. Niech czas przebywania pacjenta w systemach S, S 2 i S 3 wynosi jeden miesi¹c, w systemie

8 408 Joanna Kwiecieñ S 4 pó³ roku, natomiast wspó³czynnik λ wynosi 60 pacjentów miesiêcznie. Mechanizm blokowania wystêpuje pomiêdzy opiek¹ domow¹ i rehabilitacj¹ oraz miêdzy rehabilitacj¹ i przyjêciem do domu opieki. Blokowani pacjenci pozostaj¹ w systemie S 2 oraz S 3. Kana³y obs³ugi w tych systemach spe³niaj¹ wiêc rolê poczekalni dla blokowanych pacjentów. Rys. 2. Model otwartej sieci jednoklasowej przedstawiaj¹cej proces leczenia osób po udarach mózgu Z zale noœci (), (5) i (6) mo na wyznaczyæ wielkoœci charakteryzuj¹ce systemy wchodz¹ce w sk³ad sieci, takie jak œrednie liczby blokowanych pacjentów i ich czasy oczekiwania (tab. 2). Tabela 2 Wybrane podstawowe parametry systemów Wielkoœæ Œrednia liczba zablokowanych pacjentów do systemów Œredni czas oczekiwania zablokowanych pacjentów[miesi¹c] System S S 2 S 3 S 4 0 4,96 5,63 0,47 0 0,28 0,39 0,03 6. Podsumowanie W artykule przedstawiono zastosowanie sieci kolejkowych do modelowania leczenia na oddziale chemioterapii oraz procesu leczenia osób po udarze. Uwzglêdnienie mechanizmu blokowania oraz priorytetów pacjentów pozwala na wierniejsze odzwierciedlenie realnej sytuacji. Dziêki zastosowaniu sieci kolejkowych mo na oceniæ efektywnoœæ badanych struktur oraz znaleÿæ w¹skie gard³o ca³ego systemu. Kolejnym krokiem, wartym podjêcia, wydaje siê po³¹czenie mechanizmu blokowania i priorytetyzacji do modelowania pacjentów z grupy wysokiego ryzyka, uwzglêdniaj¹ce tzw. regu³y odstêpowania.

9 Modelowanie struktur s³u by zdrowia za pomoc¹ sieci kolejkowych 409 Literatura [] Bolch G., Greiner S., Meer H., Trivedi K.S., Queueing networks and Markov chains. Modeling and performance evaluation with computer science application. John Wiley&Sons, INC, 998. [2] Filipowicz B., Modelowanie i analiza sieci kolejkowych. Wydawnictwa AGH, Kraków 997. [3] Kwiecieñ J., Zastosowanie sieci kolejkowych z wieloma klasami zg³oszeñ w zagadnieniach organizacyjnych s³u by zdrowia. Praca doktorska (niepublikowana), [4] Albin S.L, Barrett J., Ito D., Mueller J.E., A queueing network analysis of a health center. Queueing Systems, 7, 990. [5] Siddhartan K., Jones W.J., Johnson J.A., A priority queuing model to reduce waiting times in emergency care. International Journal of Health Care Quality Assurance, 9, 996, 0 6. [6] Koizumi N., Kuno E., Smith T. E., Modeling patient flows using a queueing network with blocking, Health Care Management Sci., 8(), 2005, [7] Bruin de A.M., Rossum van A.C., Visser M.C., Koole G.M., Modeling the emergency cardiac inpatient flow. Health Care Management Sci., 0, 2007, [8] Peros H., Queueing networks with blocking: Exact and Approximate Solutions, Oxford University Press, 994. [9] Takahashi Y., Miyahara H., Hasegawa T., An approximation method for open restricted queueing networks. Operations Research, 28, 980,