Jednostki miary długości w Persepolis

Transkrypt

1 Archeologia Iranu 9 grudnia

2 Plan prezentacji 1 Długość i jej miara Motywacja, czyli modelowanie rzeczywistości Rozwój i podział systemów miar Liczby regularne Systemy liczbowe 2 Historia metrologii Badania historyczne Moduł architektoniczny Systemy miar długości dla Mezopotamii i Persepolis 3 Procedura obliczeniowa Wspólny dzielnik rzeczywisty Moduł dla zbioru pomiarów i jego weryfikacja Klasy wymiarów architektonicznych 4 Przykładowe obliczenia Pałac Kserksesa w Persepolis Południowa część Apadany w Persepolis

3 Motywacja, czyli modelowanie rzeczywistości Abstrakcyjne rozumowanie matematyczne Ważna część schematu poznawczego człowieka Czas, długość, masa, wartość Standaryzacja systemu miar Struktura społeczna i państwowa Definicja jednostki stan wiedzy społeczeństwa Cele Efektywność Uniwersalność

4 Fazy rozwoju systemów miar Hipoteza V. Gordona Childe a 3 fazy rozwoju systemów miar Wzrost znaczenia rzemiosła i handlu Formalizacja definicji jednostek miar Precyzja pomiaru 1. Pomiar poprzez porównanie i decyzję binarna Produkcja na potrzeby własnego gospodarstwa Brak specjalizacji Np. dopasowanie części narzędzia 2. Tradycyjny system miar długości Jednostki oparte na długości części ciała Długość wyrażana jako liczba jednostek Wymiana towarów między gospodarstwami 3. Zestandaryzowany tradycyjny system miar długości Dokładność i powtarzalność jednostek miar Standaryzacja jednostek dokonywana przez elity Obecność wzorców, np. prętów mierniczych

5 Podział systemów miar Systemy naturalne (np. metryczny) Zdefiniowane poprzez stałe fizyczne Systemy tradycyjne zestandaryzowane (np. imperialny) Zdefiniowane poprzez prawo Większe jednostki Wielokrotności mniejszych jednostek Liczby regularne

6 Metr jako jednostka długości Definicja (Metr) Metr (ozn. m) jest odległościa jaka pokonuje fala elektromagnetyczna w próżni w czasie równym okresom promieniowania odpowiadajacego przejściu między poziomami F = 3 i F = 4 struktury nadsubtelnej atomu 133 Cs w temperaturze 0 K. Podejście historyczne nowożytne ,73 długości fali promieniowania w próżni odpowiadajacego przejściu między poziomami 2p 10 a 5d 5 atomu 86 Kr. 0, długości połowy południka ,025 E. Długość platynoirydowego wzorca przechowywanego w Sèvres w temperaturze 0 C. Wzorzec z Sèvres

7 Liczby regularne Pozycyjny system liczbowy o podstawie x (a i...a 1 a 0 ) x = a 0 x 0 + a 1 x a i x i 0 a 0...a i x 1, a 0...a i N Okres starobabiloński Sześćdziesiatkowy system liczbowy Liczby zawierajace w rozkładzie na czynniki pierwsze wyłacznie liczby 2, 3 i 5 Definicja (Liczba regularna w pozycyjnym systemie liczbowym) Liczba regularna w systemie liczbowym o podstawie x jest: 1 Liczba całkowita zawierajaca w rozkładzie na czynniki pierwsze wyłacznie liczby zawierajace się w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby x, 2 Ułamek, który pomnożony przez dowolna potęgę liczby x o wykładniku całkowitym spełnia warunek 1.

8 Liczby regularne Przykłady liczb regularnych System dziesiatkowy 4, 25, 5 2 3, 15, 1 6 Własność Każda liczba regularna w systemie liczbowym podstawie x posiada skończony zapis pozycyjny w tym systemie Regularny system miar w systemie liczbowym o podstawie x Stosunek wartości każdych dwóch jednostek systemu miar jest liczba regularna w systemie liczbowym o podstawie x Przykłady systemów regularnych System metryczny w dziesiatkowym systemie liczbowym System imperialny w dziesiatkowym systemie liczbowym 1 stopa = 12 cali = cali

9 Mezopotamski system liczbowy Podwójne cyfry System addytywno-pozycyjny Sześćdziesiatkowy Podwójne cyfry Brak separatora dziesiętnego Wartość nominalna i rzeczywista (17, 17, ) 60 Rozwój systemu liczbowego Okres wczesnodynastyczny (ok p.n.e.) Powstanie systemu Okres starobabiloński (ok p.n.e.) Symbol zera lub odstęp Dynastia Seleucydów ( p.n.e.) Zera poczatkowe i końcowe w tekstach astronomicznych

10 Bliskowschodnie systemy liczbowe Zapis liczb w systemach mezopotamskim i staroperskim Mezopotamski mieszany system dziesiatkowy Zasady zapisu < 100 system sześćdziesiatkowy 100 system dziesiatkowy 13 li-im 9 mi-at 1,12 Abu Salabich, okres wczesnodynastyczny (1, 12) 60 = = System staroperski Addytywny system dziesiatkowy Mezopotamskie podwójne cyfry Nieograniczona wartość cyfr Brak zapisu pozycyjnego

11 Relacje między jednostkami 1. Każda jednostka większa jest wielokrotnościa mniejszej System imperialny 2. Stosunki długości wszystkich jednostek sa liczbami regularnymi w systemie liczbowym danej kultury System standardowy sumeryjsko-babiloński 3. Stosunki długości wszystkich jednostek sa potęgami o wykładniku całkowitym podstawy systemu liczbowego danej kultury System metryczny 1 2 3

12 Historia metrologii Poszukiwanie modułu architektonicznego XVII wiek Isaac Newton Odtworzenie dawnych miar długości możliwe na podstawie stosunków wymiarów architektonicznych Systemy miar oparte na długości łokcia Wymiary wielokrotnościami jednostek 1879 W. M. Flinders Petrie Złożoność systemu miar rośnie z rozwojem nauki Dyfuzja międzykulturowa systemów miar Podobne jednostki miary Kontakt między kulturami Analogia do języków

13 Historia metrologii Poszukiwanie modułu architektonicznego 1879 W. M. Flinders Petrie Procedury obliczeń metrologicznych Średnia ze zbioru pomiarów Całkowitoliczbowe proporcje pomiędzy wymiarami Wymiary sa 2 i -krotnościa jednostki, i N Propozycje jednostek dla basenu Morza Śródziemnego i Bliskiego Wschodu Nieliczne badania architektoniczno-metrologiczne w Ameryce Badania etnograficzne

14 Moduł architektoniczny Front światyni doryckiej powinno się podzielić na 27 części, jeśli światynia ma być czterokolumnowa, a na 42 części, jeśli ma być sześciokolumnowa. Jedna taka część będzie modułem, który stanowić będzie podstawę wszystkich obliczeń. (Witruwiusz) Definicja (Moduł) Moduł architektoniczny zbioru pomiarów A (ozn. M A ) to największa wspólna jednostka taka, że każda wartość pomiaru a A można wyrazić jako (całkowita) wielokrotność modułu z błędem bezwzględnym ɛ:.a A :.n N +, ɛ < M A : a = n M A + ɛ. Moduł jako szczególny przypadek jednostki długości.

15 Sumeryjsko-babiloński system miar długości Standardowy sumeryjsko-babiloński system miar długości

16 Sumeryjsko-babiloński system miar długości System regularny w sześćdziesiatkowym systemie liczbowym Interpretacja zapisu 3,20 ammatu Wielkość rzędu ammatu, której wartość nominalna wynosi (3,20) nindan (1 ammatu = 1 12 nindan) 3 60 x x = 1 12 [nindan] 60 x = ( ) 1 x = log 60 = 2, (0; 03, 20) 60 = = = = = 1 18 [nindan] = 2 3 [ammatu].

17 System Petriego (1877) Rysunki Pascala Coste a i Eugène Flandina (1840) Regularność Jednostki większe nie sa wielokrotnościami mniejszych Brak regularności w sześćdziesiatkowym systemie liczbowym Zwiazki z systemami liczbowymi Najczęstsze wielokrotności jednostki podstawowej 25, 100 regularne w systemie dziesiatkowym 40, 50 regularne w systemie sześćdziesi atkowym 3 3 Arisz (Indie), łokieć królewski (Egipt) 64,325 cm (25 JP) Propozycja systemu miar Petriego dla Persepolis (1877)

18 System Babina (1891) Rysunki Pascala Coste a i Eugène Flandina (1840) Regularność System regularny w sześćdziesiatkowym systemie liczbowym Kciuk Palec = Stopa łokieć = 5 3 Zwiazki z systemami mezopotamskimi Brak jednostek o podobnych długościach Moduł promieniem kolumny na ustalonej wysokości Brama Kserksesa 15,5 palca = 71,3 cm Apadana 17 palców = 78,2 cm Propozycja systemu miar Babina dla Persepolis (1891)

19 System Kreftera (1971) Wymiary cegieł Cegły suszone cm Uwzględnienie grubości fug 1,0-1,5 cm Regularność System regularny w sześćdziesiatkowym systemie liczbowym Palec, dłoń, stopa, łokieć Odpowiedniki w systemach mezopotamskich r = 1,0272, jeśli ammatu = 50 cm łokieć królewski Dwukrotność stopy, procedura obliczeniowa? Propozycja systemu miar Kreftera dla Persepolis (1971)

20 System Roafa (1978) Znaczniki na platformach Pałacu Kserksesa i Pałacu Dariusza Interkolumnia Regularność System regularny w sześćdziesiatkowym systemie liczbowym Izomorfizm z podzbiorami systemów mezopotamskich i Kreftera Brak łokcia królewskiego Współczynniki proporcjonalności Mezopotamski r = 1,0440, jeśli ammatu = 50 cm Kreftera r = 1,0164 Propozycja systemu miar Roafa dla Persepolis (1978)

21 Propozycje jednostek miary dla Persepolis Brak zachowanych tekstów i urzadzeń pomiarowych Systemy regularne w sześćdziesiatkowym systemie liczbowym Współczynniki zmienności dla jednostek v = σ µ, µ 0 łokieć 3,6% stopa 2,7% palec 14,2% Brak możliwości utożsamienia jednostek BABIN 1891 KREFTER 1971 ROAF 1978 królewski łokieć 68,48 łokieć 55,20 51,36 52,1 52,2 stopa 33,10 34,24 34,7 34,8 dłoń 7,43 8,56 8,7 palec 2,75 2,14 2,2 Propozycje jednostek długości dla Persepolis [cm]

22 Bład bezwzględny i względny Definicja (Bład bezwzględny) Bład bezwzględny (ozn. ɛ) to wartość bezwzględna różnicy pomiędzy wartościa zmierzona x, a wartościa dokładna x 0. Zatem ɛ = x x 0. Definicja (Bład względny) Bład względny (ozn. η) to iloraz błędu bezwzględnego i wartości dokładnej x 0. Zatem η = ɛ = x x 0. x 0 x 0 Przykład. Pomiar długości boku cegły. x 0 = 40 cm; x = 36 cm ɛ = 4 cm; η = 4 cm 40 cm = 0, 1 = 10%

23 (Największy) wspólny dzielnik rzeczywisty Intuicja: (Największym) wspólnym dzielnikiem rzeczywistym z błędem względnym η dwóch liczb rzeczywistych a, b R + jest taka liczba rzeczywista x, że ilorazy liczb a i b z dwiema (najmniejszymi możliwymi) liczbami naturalnymi sa równe x, z błędem względnym nie większym niż η. Przykład. a = 1, 9; b = 3, 1; η = 5% NWDR η (a, b) [0, 982; 0, 998] 1,9 2 = 0, 950; 0, 950 (1 η) = 0, 903; 0, 950 (1 + η) = 0,998 = 1, 033; 1, 033 (1 η) = 0,982; 1, 033 (1 + η) = 1, 085 3,1 3

24 (Największy) wspólny dzielnik rzeczywisty Definicja (Wspólny dzielnik rzeczywisty ) Niech (największym) wspólnym dzielnikiem rzeczywistym z błędem względnym η dwóch dodatnich liczb rzeczywistych a, b R + (ozn. NWDR η (a, b)) będzie taka liczba rzeczywista x R +, że istnieje para liczb m, n N + (i sa one najmniejszymi liczbami), dla których: [x (1 η) a m x (1 + η)] [x (1 η) b n x (1 + η)]. Przykład. a = 1, 9; b = 3, 1; η = 5% NWDR η (a, b) [0, 982; 0, 998]

25 Moduł dla zbioru pomiarów Intuicja: Moduł dla zbioru pomiarów A z błędem względnym η musi mieć taka wartość, aby wspólne dzielniki rzeczywiste każdej możliwej pary wartości pomiarów mieściły się w granicach błędu. Definicja (Moduł dla zbioru) Niech modułem z błędem względnym η zbioru liczb rzeczywistych A R + (ozn. M η (A)) będzie taka liczba rzeczywista x R +, że dla każdych dwóch elementów a i, a j A: x = WDR η (a i, a j ), zaś nie jest to prawda dla żadnej jej wielokrotności.

26 Moduł dla zbioru pomiarów

27 Wybór wartości modułu Nieskończenie wiele wartości modułu w przedziale [x 1 ;x 2 ] Wybór ostatecznej wartości na podstawie wartości pomiarów A Średnia arytmetyczna elementu maksymalnego i minimalnego max(a) + min(a) 2 Średnia arytmetyczna wszystkich elementów Mediana Wartość maksymalna lub minimalna Inna metoda wyboru?

28 Moduł konkretna liczba czy rozkład statystyczny? Wartość rzeczywista Obarczona błędem Zakładana dokładność? Rozkład statystyczny Rodzaj rozkładu Uwzględnienie błędów Przedziały ufności Problem: Szacowanie modułu mniejszego niż wartości pomiarów.

29 Wymiary architektoniczne I klasy Pojedyncze elementy konstrukcyjne Cegły, bloki kamienne Detale architektoniczne

30 Wymiary architektoniczne II klasy Pomieszczenia Ściany Interkolumnia

31 Wymiary architektoniczne III klasy Budowle Ciagi komunikacyjne

32 Klasy wymiarów architektonicznych a moduł Różnice otrzymanych wyników Różne jednostki w systemie miar Wymiary I klasy palec ( 2 cm) dłoń ( 8 cm) Wymiary II i III klasy stopa ( 34 cm) łokieć ( 52 cm) Wymiary poziome i pionowe Inne jednostki? Inna dokładność? Weryfikacja otrzymanych wyników Niezależne zbiory danych Wielokrotności mniejszych jednostek

33 Weryfikacja obliczonego modułu Założenie: M jest modułem dla zbioru pomiarów A Dla każdego pomiaru a A: n = a/m zaokraglone do liczby całkowitej a M = M n (M,a) = a M a Dla wszystkich pomiarów, z wyjatkiem ich pomijalnej liczby, a A wartość (M,a) jest mała M jest modułem dla zbioru A Dla znaczacej liczby pomiarów a A wartość (M,a) jest duża M nie jest modułem dla zbioru A Statystyczna ocena błędu średnia, odchylenie standardowe, mediana, minimum, maksimum

34 Pałac Kserksesa w Persepolis Kserkses I p.n.e. Znaczniki w postaci nacięć na platformie pałacu Wschodnia krawędź platformy Kolumny, ściany, otwory drzwiowe

35 Obliczenie modułu przykład (ROAF 1978) Plan Pałacu Kserksesa (ROAF 1978)

36 Algorytm obliczania modułu 8 wartości początkowych 417,5 417,0 209,0 382,0 381,0 382,5 383,5 383,0 [1,2] [1,3] [1,4]... [1,8] [2,3]... [7,8] Odrzucam zbyt małe wartości [1,2,3] [1,2,4]... [6,7,8] Wartości należące do zbioru [1,2,3,4,5,6,7,8] końcowego są dalej rozpatrywane 32 wartości końcowe

37 Obliczenie modułu przykład (ROAF 1978) A = { 417,5; 417,0; 209,0; 382,0; 381,0; 382,5; 383,5; 383,0 } [cm] Wymiary II klasy Założenia η = 0,01 = 1% M A > 4,175 = max(a) 100 Sposób wyboru wartości modułu Dobierany indywidualnie dla każdego przypadku

38 Obliczenie modułu przykład (ROAF 1978) A = { 417,5; 417,0; 209,0; 382,0; 381,0; 382,5; 383,5; 383,0 } [cm] Wymiary II klasy Sposób wyboru wartości modułu Mediana Średnia arytmetyczna wszystkich elementów Wszystkich elementów Max i min Wartości o najmniejszych miarach błędu Stopa = 34,772 cm (34,760) Dłoń = 8,690 cm (8,700)

39 Weryfikacja modułu przykład (ROAF 1978) Wschodnia krawędź platformy Pałacu Kserksesa, Persepolis A = { 417,5; 417,0; 209,0; 382,0; 381,0; 382,5; 383,5; 383,0 } [cm] Hipotezy: MR = 34,760 [cm] jest modułem (ROAF 1978) MB = 34,772 [cm] jest modułem (BORYCKI 2013) a n a MR a MB (MR,a) (MB,a) 417, , ,264 0,380 0, , , ,264 0,120 0, , , ,632 0,440 0, , , ,492 0,360 0, , , ,492 1,360 1, , , ,492 0,140 0, , , ,492 1,140 1, , , ,492 0,640 0,508

40 Weryfikacja modułu przykład (ROAF 1978) Wschodnia krawędź platformy Pałacu Kserksesa, Persepolis A = { 417,5; 417,0; 209,0; 382,0; 381,0; 382,5; 383,5; 383,0 } [cm] Hipotezy: MR = 34,760 [cm] jest modułem (ROAF 1978) MB = 34,772 [cm] jest modułem (BORYCKI 2013) ROAF 1978 BORYCKI 2013 Średni bład bezwzględny 0,573 0,547 Średni bład kwadratowy 0,508 0,500 Mediana błędu 0,410 0,430 Bład maksymalny 1,360 1,492 Bład minimalny 0,120 0,008

41 Apadana w Persepolis Północno-zachodnia część Tarasu Persepolis Sala hypostylowa Zamknięta ścianami z cegły suszonej Monumentalne schody Wschodnie (reliefy) Północne 3 portyki Wschodni, zachodni i północny Orientacja Azymut około 340

42 Wstep Długos c i jej miara Historia metrologii Procedura obliczeniowa Przykładowe obliczenia Bibliografia Apadana w Persepolis Historia budowy Dariusz I Rozpoczecie prac Przed kampania scytyjska Czas budowy > 30 lat Kserkses I Zakon czenie prac Apadana (Pałac 2) (F LANDIN, C OSTE 1851) Jednostki miary długos ci w Persepolis

43 Apadana w Persepolis Rekonstrukcja planu Apadany (SCHMIDT 1953) Sala główna Ściany Grubość 532 cm cm Kwadrat o boku 60,50 m Interkolumnia 864 cm Sala główna i portyki Pomieszczenia magazynowe na południu Wieże w narożnikach Wieża południowo-wschodnia Grubości ścian 355; 308; 387; 252 [cm]

44 Apadana w Persepolis Część północna Cegły suszone 32, cm 33,5 33,5 13 cm 33? 13 cm Cegły wypalane (odwodnienie) 32,5 32,5 6 cm 32 32,5 6,5 cm 16 25,5 6,5 cm Część południowa Zróżnicowany stan zachowania Cegły suszone cm Średnia wysokość z zaprawa 16 cm

45 Południowa część Apadany

46 Apadana średni bład bezwzględny

47 Apadana średni bład bezwzględny

48 Moduł jako rozkład normalny Założenie: Moduł architektoniczny można opisać jako rozkład normalny ciagłej zmiennej losowej. Weryfikacja założenia: Znaleźć takie µ i σ, że częstości pomiarów ze zbioru danych odpowiadaja prawdopodobieństwom ich wystapienia w rozkładzie N (µ, σ), zapisywanym także µ ± σ.

49 Rozkład normalny przykład konstrukcji Południowa część Apadany Hipotezy: MBa = 33,100 [cm] jest modułem (BABIN 1891) MKr = 34,240 [cm] jest modułem (KREFTER 1971) MRo = 34,760 [cm] jest modułem (ROAF 1978) MBo = 34,250 [cm] jest modułem (BORYCKI 2014) Rozkłady normalne dla ustalonego zbioru danych: Rozkład normalny Średni bład bezwzględny MBa 33,484 ± 0,866 [cm] 8,620 MKr 34,270 ± 0,577 [cm] 5,739 MRo 34,580 ± 0,676 [cm] 6,511 MBo 34,270 ± 0,577 [cm] 5,733 Oczekujemy rozkładu o najmniejszym odchyleniu standardowym.

50 Rozkład normalny interpretacja Częstości zbiegaja do prawdopodobieństw. Założenie: Zmienna losowa MBo: 34,270 ± 0,577 [cm] opisuje moduł Interpretacja: Przedział ufności 68,3%: [33,694; 34,847] [cm] Przedział ufności 95,5%: [33,117; 35,423] [cm] Przedział ufności 99,7%: [32,541; 36,000] [cm] Założenie: Poprawność przyjętego modelu...

51 Dziękuję.

52 Bibliografia C. Babin, Note sur la métrologie et les proportions dans les monuments achéménides de la Perse, Revue Archéologique XVII, p , A. Hesse, Métrologie statistique d éléments architecturaux des palais achéménides de Suse (briques et bases carrées), Cahiers de la Délégation archéologique française en Iran 2, p , D.G. Kendall, Hunting quanta, Philosophical Transactions of The Royal Society A 276 (1257), p , W.M. Petrie, Inductive Metrology or, The Recovery of Ancient Measures from the Monuments, London M.A. Powell, Masse und Gewichte, in: Reallexikon der Assyriologie und Vorderasiatischen Archäologie (ed. D.O. Edzard), p , M. Roaf, Persepolitan Metrology, Iran 16, p , E.F. Schmidt, Persepolis I: Structures, Reliefs, Inscriptions, OIP LXVIII, Chicago, 1953.