Wprowadzenie do tematyki przedmiotu

Transkrypt

1 Modelowanie układów mechanicznych: Wprowadzenie do tematyki przedmiotu dr inż. Paweł FRITZKOWSKI Zakład Mechaniki Technicznej Instytut Mechaniki Stosowanej Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania POLITECHNIKA POZNAŃSKA

2 Plan wykładu 1 Idea wykładów 2 Modelowanie i symulacje komputerowe w mechanice 3 Zarys historii komputerowych metod obliczeniowych 4 Podsumowanie 5 Literatura Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 2 / 42

3 Idea wykładów Istota przedmiotu Ogólny obszar tematyczny: modelowanie matematyczne i symulacje komputerowe w mechanice konstrukcji Modelowanie matematyczne tworzenie matematycznego opisu zjawiska przy określonych założeniach dotyczących badanego obiektu i zjawiska oraz przy uwzględnieniu konkretnych praw fizycznych rządzących tym zjawiskiem. Symulacja komputerowa odtworzenie przebiegu danego zjawiska na podstawie jego modelu matematycznego za pomocą komputera; numeryczne przewidywanie i analiza przebiegu zjawisk fizycznych lub zachowań układów technicznych. Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 3 / 42

4 Idea wykładów Cel wykładów Uświadomienie studentom istoty modelowania i symulacji komputerowej w nauce i inżynierii Zaznajomienie studentów z podstawami budowania modeli fizycznych i matematycznych elementów konstrukcyjnych Zapoznanie studentów z analitycznymi i komputerowymi metodami rozwiązywania problemów mechaniki konstrukcji, w tym z metodą elementów skończonych Przygotowanie studentów do krytycznej oceny stosowanych modeli i metod obliczeniowych oraz wyników symulacji numerycznych Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 4 / 42

5 Idea wykładów Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 5 / 42 Dlaczego warto pogłębiać wiedzę o modelowaniu matematycznym i symulacji komputerowej? Symulacja komputerowa jest jednym z trzech filarów współczesnej nauki i inżynierii U podstaw każdej symulacji leży model matematyczny Modelowanie to bardziej sztuka niż nauka Model jest zawsze uproszczeniem, a zakres jego stosowalności jest ograniczony

6 Idea wykładów Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 6 / 42 Dlaczego warto pogłębiać wiedzę o modelowaniu matematycznym i symulacji komputerowej? (c.d.) Obliczenia komputerowe prowadzą zawsze do rozwiązań przybliżonych Nie istnieją uniwersalne (jednakowo skuteczne w każdym przypadku) metody numeryczne Program komputerowy to tylko narzędzie, a odpowiedzialność za zamodelowanie zjawiska, wykonanie symulacji oraz analizę wyników spoczywa na inżynierze Funkcjonalność i możliwości gotowych systemów obliczeniowych są ograniczone...

7 Idea wykładów Zakres tematyczny 1 Wprowadzenie do tematyki wykładów 2 Modele układów jednowymiarowych 3 Energia odkształcenia sprężystego. Zasady i metody energetyczne 4 Wprowadzenie do metody elementów skończonych (MES) 5 MES dla układów dwuwymiarowych 6 MES dla układów trójwymiarowych Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 7 / 42

8 Idea wykładów Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 8 / 42 Literatura przedmiotu 1 Bijak-Żochowski M., Jaworski A., Krzesiński G., Zagrajek T., Mechanika materiałów i konstrukcji, t. 1 i 2. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa Arczewski K., Pietrucha J., Szuster J.T., Drgania układów fizycznych. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa Cichoń C., Cecot W., Krok J., Pluciński P., Metody komputerowe w liniowej mechanice konstrukcji. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków Nowacki W., Teoria sprężystości. PWN, Warszawa 1970.

9 Idea wykładów Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 9 / 42 Literatura przedmiotu (c.d.) 5 Cook R.D., Finite Element Modeling for Stress Analysis. Wiley, New York, Oñate E., Structural Analysis with the Finite Element Method: Linear Statics, Vol. 1. CIMNE-Springer, Barcelona, Liu G.R., Quek S.S., The Finite Element Method: A Practical Course. Butterworth-Heinemann, Oxford, Rusiński E., Czmochowski J., Smolnicki T., Zaawansowana metoda elementów skończonych w konstrukcjach nośnych. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 2000.

10 Pojęcia podstawowe modelowanie matematyczne model a obiekt rzeczywisty symulacja komputerowa (numeryczna) i eksperyment numeryczny metody numeryczne (komputerowe metody obliczeniowe) nauki obliczeniowe (ang. computational science) obliczenia naukowe (ang. scientific computing) programowanie naukowe (ang. scientific programming) mechanika obliczeniowa (ang. computational mechanics) Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 10 / 42

11 Trzy filary współczesnej nauki Źródło: [Burczyński] Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 11 / 42

12 Etapy modelowania 1 Model fizyczny specyfikacja modelowanego obiektu i zjawiska wraz z graficznym schematem układu prawa fizyczne rządzące zjawiskiem założenia i uproszczenia 2 Model matematyczny związki matematyczne (układy równań i nierówności) niezbędne do wyznaczenia zmiennych wyjściowych: y(x) = f(x, p, e), y wektor zmiennych wyjściowych x wektor zmiennych niezależnych p wektor parametrów e wektor wymuszeń 3 Model numeryczny (obliczeniowy) Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 12 / 42

13 Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 13 / 42 Modelowanie i symulacja komputerowa

14 Cykl doskonalenia modelu Źródło: [Golub i Ortega, 1992] Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 14 / 42

15 Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 15 / 42 Badanie zjawisk za pomocą modeli Źródło: [Arczewski i in., 2008]

16 Klasyfikacja modeli ciągłe lub dyskretne statyczne lub dynamiczne liniowe lub nieliniowe Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 16 / 42

17 Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 17 / 42 Modele ciągłe i dyskretne 1 Model fizyczny dyskretny: model o parametrach skupionych ciągły: model o parametrach rozłożonych 2 Model matematyczny dyskretny: równania różniczkowe zwyczajne (rrz) ciągły: równania różniczkowe cząstkowe (rrc) układ rrz + warunki początkowe = zagadnienie początkowe układ rr(z lub C) + warunki brzegowe = zagadnienie brzegowe układ rrc + warunki brzegowe + warunki początkowe = = zagadnienie brzegowo-początkowe

18 Klasyfikacja zagadnień Ze względu na zależność od czasu: zagadnienia stacjonarne (niezależne od czasu) zagadnienia niestacjonarne (ewolucyjne, zależne od czasu) Ze względu na charakter danych i niewiadomych: zagadnienia proste (znane przyczyny, nieznane skutki) zagadnienia odwrotne (znane skutki, nieznane przyczyny) Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 18 / 42

19 Typowe zastosowania symulacji komputerowej analiza statyczna konstrukcji analiza dynamiczna konstrukcji analiza modalna zagadnienia kontaktowe przepływ płynu przepływ ciepła problemy sprzężone (np. termosprężystość, elektromagnetyzm)... Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 19 / 42

20 Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 20 / 42 Przykład: Analiza statyczna zbiornika (część walcowa i dennica sferyczna)

21 Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 21 / 42 Przykład: Analiza modalna ramy płaskiej

22 Modelowanie i symulacje komputerowe w mechanice Przykład: Opływ profilu lotniczego NACA 4412 przez powietrze Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 22 / 42

23 Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 23 / 42 Przykład: Grzanie indukcyjne

24 Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 24 / 42 Typowe przykłady zjawisk i ich modeli Małe drgania oscylatora harmonicznego [Arczewski i in., 2008] mẍ + cẋ + kx = F(t) x = x(t) przemieszczenie ciała m masa ciała c współczynnik tłumienia k stała sprężystości sprężyny F(t) zewnętrzna siła wymuszająca

25 Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 25 / 42 Typowe przykłady zjawisk i ich modeli (c.d.) Statyczne ugięcie belki [Bijak-Żochowski i in., 2013] EJ z d 2 y dx 2 = M g(x) y = y(x) funkcja ugięcia osi belki E moduł Younga materialu J z moment bezwładności przkroju poprzecznego belki względem osi obojętnej M g (x) moment gnący

26 Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 26 / 42 Typowe przykłady zjawisk i ich modeli (c.d.) Zjawisko przewodzenia ciepła [Taler i Duda, 2003] ρc T t λ 2 T = Q gdzie: 2 = 2 x y z 2 T = T(t, x, y, z) temperatura λ współczynnik przewodzenia ciepła c ciepło właściwe ρ gęstość Q = Q(t, x, y, z) źródło ciepła

27 Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 27 / 42 Typowe przykłady zjawisk i ich modeli (c.d.) Zagadnienie statyki ciała izotropowego, liniowo-sprężystego [Nowacki, 1970; Bijak-Żochowski i in., 2013] µ 2 u + (λ + µ) x µ 2 v + (λ + µ) y µ 2 w + (λ + µ) z ( u x + v y + w ) + F x = 0 z ( u x + v y + w ) + F y = 0 z ( u x + v y + w ) + F z = 0 z u, v, w składowe wektora przemieszczenia (funkcje x, y, z) µ, λ stałe Lamé F x, F y, F z składowe siły objętościowej µ = G = E 2(1 + ν), λ = Eν (1 + ν)(1 2ν) E moduł Younga, G moduł Kirchhoffa, ν współczynnik Poissona

28 Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 28 / 42 Typowe przykłady zjawisk i ich modeli (c.d.) Małe drgania cienkiej płyty [Bijak-Żochowski i in., 2013] D 4 w = p z ρh 2 w t 2, gdzie: 4 = 4 x x 2 2 y y 4 w = w(t, x, y) funkcja ugięcia powierzchni środkowej płyty p z = p z (t, x, y) obciążenie rozłożone na powierzchni płyty ρ gęstość materiału h grubość płyty Eh D = 12(1 ν 2 ) sztywność płytowa E moduł Younga ν współczynnik Poissona

29 Typowe przykłady zjawisk i ich modeli (c.d.) Przepływ płynu lepkiego, nieściśliwego [White, 1999] ρ Du Dt = ρf x p ( x + 2 µ u x u y u z 2 ( 2 v ρ Dv Dt = ρf y p y + µ ρ Dw Dt = ρf z p z + µ u x + v y + w z = 0 ) ) x v y v z 2 ( 2 ) w x w y w z 2 u, v, w składowe wektora prędkości (funkcje t, x, y, z) p ciśnienie (funkcja t, x, y, z) f x, f y, f z składowe siły masowej ρ gęstość płynu µ współczynnik lepkości dynamicznej płynu D ( ) = Dt t + u x + v y + w z pochodna substancjalna Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 29 / 42

30 Uwagi o modelach i ich rozwiązaniach zdecydowaną większość problemów opisuje się poprzez równania różniczkowe analityczne rozwiązanie w postaci zamkniętej można uzyskać tylko dla nielicznej klasy zagadnień najczęściej zachodzi konieczność stosowania metod przybliżonych Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 30 / 42

31 Kryteria jakości badań symulacyjnych dokładność obliczeń (ang. accuracy) wydajność (ang. efficiency) jakość programu obliczeniowego poprawność/niezawodność (ang. reliability) odporność (ang. robustness) przenośność (ang. portability) łatwość utrzymania/rozszerzalność kodu (ang. maintainability) Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 31 / 42

32 Interdyscyplinarność metod komputerowych Źródło: [Burczyński] Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 32 / 42

33 Najpopularniejsze metody rozwiązywania zagadnień brzegowo-początkowych metoda elementów skończonych (MES, ang. FEM finite element method) metoda elementów brzegowych (MEB, ang. BEM boundary element method) metoda objętości skończonych (MOS, ang. FVM finite volume method) metoda różnic skończonych (MRS, ang. FDM finite difference method) metody bezsiatkowe (MEB, ang. BEM boundary element method) metoda kollokacji brzegowej (ang. boundary collocation method) metoda Kansy metoda rozwiązań podstawowych (MRP, ang. MFS method of fundamental solutions) Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 33 / 42

34 Porównanie metod dla zagadnień brzegowo-początkowych Źródło: [Burczyński; Rusiński i in., 2000] Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 34 / 42

35 Błąd rozwiązania przybliżonego błąd modelu błąd danych wejściowych błąd metody błąd obliczeń (błąd numeryczny) błąd zaokrągleń (ang. round-off error) błąd obcięcia (ang. truncation error) Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 35 / 42

36 Zalety symulacji komputerowej szybkie i dość dokładne obliczenia daje możliwość wielokrotnego przeprowadzania obliczeń łatwa zmiana parametrów szerokie możliwości prezentacji i analizy wyników, w tym ich dalszego wykorzystania umożliwia rozwiązywanie złożonych problemów, w tym takich, które dotyczą zjawisk zachodzących w różnych skalach daje wgląd w zjawiska i mechanizmy ich powstawania, którego nie sposób uzyskać na podstawie znajomości samego modelu matematycznego pozwala na wirtualne testowanie projektowanego układu, poznanie mankamentów i ograniczeń zastosowanych rozwiązań inżynierskich zmniejsza koszty Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 36 / 42

37 Wady symulacji komputerowej w przypadku skomplikowanych problemów wymaga wiedzy, umiejętności i doświadczenia, a także czasu i środków finansowych wyniki mają zawsze charakter przybliżony, a ich jakość i przydatność zależy zarówno od przyjętego modelu, jak i zastosowanych metod numerycznych dostarcza rozwiązań szczególnych, tzn. dla konkretnego przypadku, co utrudnia wyciąganie ogólniejszych wniosków o charakterze jakościowym określenie danych wejściowych oraz walidacja wyników symulacji mogą wymagać badań eksperymentalnych Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 37 / 42

38 Zarys historii komputerowych metod obliczeniowych Trochę historii fundamenty współczesnych metod numerycznych (m.in. szeregi funkcyjne, przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych i rownań różniczkowych, teoria aproksymacji): Newton (XVII/XVIII w.), Euler, Taylor (XVIII w.), Fourier (XVIII/XIX w.), Gauss, Czebyszew (XIX w.), Runge, Kutta (ok r.) prace Ritza (1909) i Galerkina (1915) ok. 1925: prace Trefftza 1955: Argyris macierzowa analiza konstrukcji 1956: akt urodzenia MES Turner, Clough, Martin i Topp 1958: Szmelter jedno z pierwszych sformułowań MES 1964: Zienkiewicz lata 60.: Clough, Zienkiewicz, Przemieniecki, Szmelter i inni 1971: Kruszewski metoda sztywnych elementów skończonych Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 38 / 42

39 Zarys historii komputerowych metod obliczeniowych Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 39 / 42

40 Podsumowanie Uwagi końcowe Modelowanie i symulacja komputerowa to trzeci sposób naukowego podejścia, budowany na gruncie wielu dziedzin z zakresu matematyki i informatyki Wiarygodność i przydatność rezultatów symulacji wynika zarówno z przyjętego sposobu modelowania, jak i zastosowanych metod komputerowych Świadome korzystanie z programów symulacyjnych wymaga chociażby podstawowej znajomości standardowych modeli i metod numerycznych, w tym ich możliwości i ograniczeń Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 40 / 42

41 Literatura Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 41 / 42 Literatura Arczewski K., Pietrucha J., Szuster J.T., Drgania układów fizycznych. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa Bijak-Żochowski M., A. A. Jaworski, Krzesiński G., Zagrajek T., Mechanika materiałów i konstrukcji, volume 1 i 2. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa Burczyński T., Metody numeryczne w mechanice oraz ich wpływ na rozwój mechaniki w Polsce. Golub G.H., Ortega J.M., Scientific Computing and Differential Equations. An Introduction to Numerical Methods. Academic Press, San Diego Nowacki W., Teoria sprężystości. PWN, Warszawa 1970.

42 Literatura Paweł Fritzkowski Wprowadzenie do tematyki przedmiotu 42 / 42 Literatura (c.d.) Rusiński E., Czmochowski J., Smolnicki T., Zaawansowana metoda elementów skończonych w konstrukcjach nośnych. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław Taler J., Duda P., Rozwiązywanie prostych i odwrotnych zagadnień przewodzenia ciepła. WNT, Warszawa White F.M., Fluid Mechanics. WCB/McGraw-Hill, New York 1999.