NOWE KONSTRUKCJE UKŁADÓW MAGNETYCZNYCH Z MAGNESAMI TRWAŁYMI W PROJEKTOWANYCH NAPĘDACH ELEKTROMAGNESOWYCH WYŁĄCZNIKÓW I STYCZNIKÓW

Transkrypt

1 6 E. Piotrowska-Kokot Ewa PIOTROWSKA-KOKOT NOWE KONSTRUKCJE UKŁADÓW MAGNETYCZNYCH Z MAGNESAMI TRWAŁYMI W PROJEKTOWANYCH NAPĘDACH ELEKTROMAGNESOWYCH WYŁĄCZNIKÓW I STYCZNIKÓW STRESZCZENIE W energetyce krajowej daje się zaobserwować rosnące zapotrzebowanie na wyłączniki próżniowe wysokiego napięcia. Wyraźnie rośnie liczba zainstalowanych takich wyłączników, przy czym rzeczywiste zapotrzebowanie sięga kilkunastu tysięcy po to, aby dokonać wymiany wyłączników starego typu, małoolejowych na wyłączniki próżniowe. Wyłączniki próżniowe są produkowane z napędami zasobnikowosprężynowymi z silnikiem napinającym sprężyny. Mechanizm napędowy tych wyłączników jest dość skomplikowany i składa się z około 00 detali, dlatego produkcja tych wyłączników jest kosztowna. Z tego względu występuje zapotrzebowanie na konstrukcje napędów tańszych, np. elektromagnesowych. Napęd elektromagnesowy w wyłącznikach próżniowych może mieć bardzo łatwe zastosowanie z uwagi na bardzo mały skok styków konieczny do wyłączenia prądu zwarciowego, średnio ok. 0 mm. W niniejszej rozprawie podano przykłady rozwiązań napędu elektromagnesowego, w których jako elementy ryglujące skrajne położenia styku w stanie otwartym i zamkniętym zastosowano magnesy trwałe. Podano metody doboru i obliczeń oraz programy potrzebne do obliczania przedstawionych na rysunkach rozmaitych studialnych konstrukcji napędów elektromagnesowych z podtrzymaniem magnesami trwałymi. Słowa kluczowe: wyłącznik próżniowy, napęd elektromagnesowy, magnes trwały, modelowanie matematyczne.

2 Nowe konstrukcje układów magnetycznych z magnesami trwałymi... 7 Wykaz ważniejszych oznaczeń ϑ stała całkowania, ψ strumień skojarzony z uzwojeniami cewki, Ω zbiór otwarty w przestrzeni euklidesowej, λ współczynnik tłumienia, Ψ(x,t) strumień skojarzony z uzwojeniem przewodzącym prąd i(t), Φ, Φ strumienie magnetyczne w komorach, λ, λ przesunięcie elementu sprężystego i lepkiego, Φ, Φ strumienie magnetyczne w komorach, Φ m strumień magnetyczny w magnesie trwałym, Φ m strumień magnetyczny w magnesie trwałym, Ω brzeg obszaru Ω, A magnetyczny potencjał wektorowy, B wektor indukcji magnetycznej, B stała całkowania, C pojemność kondensatora obwodu zasilającego cewkę napędu, C stałą sprężyny dociskowej uzależniająca wzrost jej siły od ugięcia przy odskoku, C stała całkowania, dx/dt prędkość w ruchu zwory, e wartość chwilowa siły elektromotorycznej w uzwojeniu, E k energia kinetyczna, E p energia potencjalna. F siła przyciągania rozwijana w każdej chwili przez elektromagnes, F 0 suma sprowadzonych ciężarów i naciągu sprężyn zwracających zworę w początkowym jej położeniu, f funkcja skalarna punktu, f funkcja wektorowa punktu, G moduł sprężystości postaciowej, g stała grawitacji, G, G moduł sprężystości sprężyny, H m bezwirowe natężeniem pola związanego z magnetyzacją materiału ferromagnetycznego, H s natężeniem pola magnetycznego spełniające warunek curl H s = j, i wartość chwilowa prądu w uzwojeniu, J wektor polaryzacji materiału magnetycznie twardego, j wektor gęstości prądu, Js,i, Hc,i współczynniki w P-K modelu histerezy, i = x, y, z dx k proporcjonalna do prędkości ruchu składowa siły, równoważąca dt opory tarcia, k stała sprężyny zwracającej,

3 8 E. Piotrowska-Kokot K S współczynnik sprężystości, K T współczynnik tarcia, L indukcyjność cewki, l długość komory powietrznej gdy zwora przylega do jarzma, l x długość drogi strumienia Φ w powietrzu z prawej strony zwory, L(i,x) indukcyjność cewki jako funkcja prądu i położenia zwory, l d długość drogi strumienia magnetycznego w szczelinie górnej, l d długość drogi strumienia magnetycznego w szczelinie górnej, l m długość drogi strumienia Φ m w magnesie, m masa (sprowadzona) części ruchomych, M masa, m z masa zwory, N liczba zwojów w cewce, n wektor jednostkowy, normalny do brzegu Ω obszaru Ω, P moc tracona w elementach rozpraszających, q częstotliwość drgań własnych, q 0 = k / m częstotliwością drgań swobodnych, R suma rezystancji uzwojenia (którą zakładamy stałą w czasie stanu przejściowego elektromagnesu) i sprowadzonej rezystancji zastępczej, wyrażającej straty wskutek histerezy i prądów wirowych, R z całkowita rezystancja obwodu, S naprężenie mechaniczne, S d czynna powierzchnia górna zwory, S m powierzchnia czynna magnesu trwałego, S s czynna powierzchnia boczna zwory, U napięcie ładowania kondensatora zasilającego, u napięcie zasilające, wartość chwilowa, v prędkość elementu ruchomego, W m koenergia, W m energia magnetyczna, x droga przebyta przez zworę od położenia początkowego, x droga styku w funkcji czasu liczona od położenia styku nieruchomego w chwili zderzenia ze stykiem ruchomym, x położenie zwory, x długość drogi strumienia Φ w powietrzu z lewej strony zwory, x grubość szczeliny powietrznej wzdłuż osi x, x 0 położenie odniesienia, X z całkowita reaktancja obwodu, γ odkształcenie liniowe lub postaciowe (kątowe), η współczynnik lepkości.

4 Nowe konstrukcje układów magnetycznych z magnesami trwałymi WSTĘP Głównym celem niniejszej pracy jest przedstawienie nowej koncepcji zastosowania magnesów trwałych w napędach elektromagnesowych wyłączników i styczników energetycznych. Zaprezentowane tu projekty napędów z magnesami trwałymi do wyłączników niskich, średnich i wysokich napięć różnią się istotnie od dotychczasowych rozwiązań. Pracownia Metod Obliczeniowych Zakładu Wielkich Mocy Instytutu Elektrotechniki, w której pracuje autorka, prowadzi prace badawcze dotyczące modelowania matematycznego w analizie stanów dynamicznych napędu elektromagnesowego nowoczesnego wysokonapięciowego wyłącznika próżniowego o znacznych mocach wyłączalnych. Jednym z istotnych elementów tej konstrukcji jest podtrzymanie magnetyczne magnesem trwałym przesuwnej zwory, głównego elementu napędzającego ruchome styki wyłącznika pracującego w określonym systemie energetycznym. Prowadzone są prace nad rozwiązaniem problemu symulacji stanów dynamicznych napędu z uwzględnieniem zjawiska histerezy i prądów wirowych w magnetowodzie napędu elektromagnesowego, z podtrzymaniem magnesem trwałym, warunkujące wykonanie modelu napędu do wysokonapięciowego wyłącznika próżniowego. Symulacja zjawiska histerezy w materiale magnetycznie twardym wymaga modelowania granicznej pętli histerezy. Prowadzona jest w oparciu o dane katalogowe dla wybranego materiału magnetycznego z wykorzystaniem autorskiego sposobu modelowania histerezy. Stanowi dobrą metodę pozwalającą na wybór odpowiednich materiałów magnetycznych i parametrów konstrukcyjnych w projektowanych urządzeniach. Jak wynika z badań prowadzonych w Zakładzie Wielkich Mocy Instytutu Elektrotechniki nad dotychczasowymi rozwiązaniami konstrukcyjnymi napędów do wyłączników, jedynie napęd elektromagnesowy z podtrzymaniem magnetycznym (magnesem trwałym) pozwala na taką miniaturyzację urządzenia, która w pełni wykorzystuje możliwości komór próżniowych. W ramach działalności statutowej związanej z tematem: ''Nowoczesne napędy elektromagnesowe dla łączników elektroenergetycznych'', wykonano w NWM IEL pierwsze modele napędów elektromagnesowych z magnesami trwałymi, wg obliczeń opartych na uproszczonym modelu symulacyjnym z uwzględnieniem zjawiska histerezy w materiale magnetycznym magnetowodu i wykonano pomiary wielkości mechanicznych. W ramach prowadzonego aktualnie międzynarodowego tematu dla NATO, LOVARC SfP : ''Opracowanie wyłącznika próżniowego niskiego napięcia'' wykonano w Instytucie Elektrotechniki kilka konstrukcji napędów elektromagnesowych z magnesami trwałymi, w których ograniczono strumienie rozproszenia przez odpowiedni dobór kształtu magnetowodu. Zasady projektowania wysokoenergetycznych układów napędowych wraz z doborem magnesów trwałych były prezentowane na kilku konferencjach naukowych w latach W dobie obecnej prowadzone są na świecie, również w Polsce, prace badawcze nad konstrukcją komór do wyłączników próżniowych na średnie i wysokie znamionowe napięcie łączeniowe. Powodzeniem zakończyły się prace prowadzone w Japonii, gdzie wykonano komorę próżniową do wyłącznika na łączeniowe napięcie znamionowe

5 0 E. Piotrowska-Kokot 70 kv. W Polsce badaniem i konstrukcją komór próżniowych do wyłączników zajmuje się Instytut Techniki Próżniowej. Istotną zaletą prostych konstrukcji (zgłoszonych do opatentowania zespół IEL: A. Dzierżyński, E. Piotrowska-Kokot, H. Sibilski), napędu elektromagnesowego z podtrzymaniem magnetycznym (magnesem trwałym) do wyłącznika próżniowego jest realna możliwość produkowania takich wyłączników przez małe i średnie przedsiębiorstwa w Polsce. Instytut Elektrotechniki zapewnia możliwość wykonania badań modelowych i prototypowych samych układów napędowych, a także komór próżniowych i całych wyłączników na zgodność z PN i EN, w Laboratorium Badawczym Aparatury Rozdzielczej Zakładu Wielkich Mocy, akredytowanym przez PCA certyfikat Nr. AB 074. Ośrodki naukowe związane z IEEE MAGNETICS SOCIETY, zajmują się od wielu lat modelowaniem zjawiska histerezy i prądów wirowych w różnie ukształtowanych otwartych i zamkniętych obwodach magnetycznych. Publikacje w IEEE TRANSACTIONS ON MAGNETICS wskazują na coraz większe zainteresowanie tą problematyką. Wiąże się to z faktem uzyskiwania w ostatnich latach wysokoenergetycznych materiałów magnetycznych. Produkowane, głównie przez firmy związane z Konsorcjum Badawczo Rozwojowym ''MAGNETO'', elementy z materiałów magnetycznych najnowszej generacji, zaczęto również stosować w napędach elektromagnesowych. Mają one zasadniczy wpływ na znaczne powiększenie siły naciągu magnetycznego utrzymującego styki wyłącznika w ustalonych położeniach. W Polsce, jak dotąd, brak było rozwiązań konstrukcyjnych napędów elektromagnesowych z podtrzymaniem magnetycznym do wyłączników próżniowych na średnie i wysokie napięcie. Zastąpienie materiału magnetycznie trwałego dotychczas stosowanego w magnetowodzie napędu takimż materiałem najnowszej generacji pozwala na efektywną miniaturyzację urządzeń. Podstawę warsztatu naukowego autorki stanowi wyspecjalizowana dziedzina teorii obwodów elektrycznych związana z matematyczną teorią układów dynamicznych nieliniowe równania różniczkowe zwyczajne i równania całkowe, oraz teoria pola elektromagnetycznego równania różniczkowe cząstkowe. Komputerową podstawą warsztatu naukowego są dostępne programy MATLAB i FLUXD, za pomocą których wyznaczane są stany dynamiczne układów napędowych i określane parametry konstrukcyjne. Prezentowane w ostatnich latach, głównie w IEEE Trans. Magn., prace wskazują na przydatność stochastycznego modelu matematycznego w interpretacji mierzonych stanów dynamicznych napędów. Proces trwałego namagnesowania materiałów magnetycznych związany jest z koniecznością osiągnięcia stanów J(H(t)), opisanych przez punkty (H(t), J(t)) granicznej pętli histerezy. Na szczególną uwagę zasługuje możliwość wyboru funkcji opisującej graniczną pętlę histerezy, której pochodna jest funkcją charakterystyczną granicznego procesu magnesowania. Według autorki, proces dyfuzji pola magnetycznego w magnetowodzie napędu z histerezą, jest procesem, który można traktować w kategoriach stochastycznych. Konieczność konstruowania modelu matematycznego do wyznaczania stanów dynamicznych napędu nawiązującego do metod opartych na teorii przestrzeni funkcyjnych (w szczególności przestrzeni Hilberta) wiąże się także z faktem, że programy polowe, jakimi posługuje się Pracownia Metod Obliczeniowych, wykorzystują metodę elementów skończonych (MES), która jest konstruowana w języku przestrzeni Hilberta. Wkładem w rozbudowę metod obliczeniowych jest konstrukcja własnych funkcji

6 Nowe konstrukcje układów magnetycznych z magnesami trwałymi... bazowych dla przestrzeni rozwiązań uogólnionego modelu dynamiki napędu. W analizie układów dynamicznych, problemy związane z nieliniowością, histerezą i prądami wirowymi dadzą się efektywnie rozwiązać przy podejściu wykazującym znaczne analogie do praktycznych metod rozwiązywania różniczkowych równań stochastycznych. Badania zdolności łączeniowych wykonanych modeli napędów wykonuje Akredytowane Laboratorium Zwarciowe Zakładu Wielkich Mocy Instytutu Elektrotechniki. Analizę wyników przeprowadza się w oparciu o aktualnie wykorzystywane programy komputerowe własne i firmowe. Pracownia Metod Obliczeniowych Zakładu Wielkich Mocy IEL dysponuje własnym programem do kreślenia pętli histerezy każdego materiału magnetycznego zarówno, w oparciu o dane katalogowe, jak i pomiarowe. Program został zweryfikowany i włączony w charakterze podprogramu do programu wyznaczającego stany dynamiczne napędów elektromagnesowych. Koncepcja zastosowania metody obwodowej do wyznaczania stanów dynamicznych układów magnesujących magnesy trwałe prezentowana w publikacjach autorki została z dobrym skutkiem rozszerzona na układy elektromagnesowe z magnesami trwałymi. Wymiernym efektem modelowania matematycznego zjawisk fizycznych w materiałach magnetycznych jest uwzględnienie strumieni rozproszenia w programie wyznaczającym stany dynamiczne metodą obwodową, oraz analiza prądów wirowych. Projektowana jest miniaturyzacja napędu zwłaszcza do małogabarytowych rozwiązań wnętrzowych. Rozpatrywana jest możliwość zastąpienia sprężyny układem magnesów z wykorzystaniem siły ich wzajemnego odpychania służącej do dociskania styków wyłącznika, nie pozwalającej na znaczne zmniejszenie siły docisku w miarę zużywania się styków. Łączniki wysokich napięć wymagają większych odstępów między stykami w stanie otwarcia, co związane jest z koniecznością realizowania większego skoku napędu zarówno w geometrii prostopadłościennej jak i cylindrycznej. Wykonanie modeli napędów elektromagnesowych z dużym skokiem i dużą siłą docisku styków wymaga zbudowania modelu matematycznego i numerycznego do wyznaczania stanów dynamicznych z uwzględnieniem strumieni rozproszenia, histerezy i prądów wirowych. Pracownia Metod Obliczeniowych prowadzi aktualnie prace projektowe napędów elektromagnesowych z magnesami trwałymi wykorzystując program polowy FLUX D. FLUX D w postaci udostępnianej przez producenta pozwala jedynie na modelowanie bardzo prostego ruchomego układu mechanicznego w skład którego wchodzi ruchoma zwora na którą działa stała siła oporu mechanicznego oraz siły tarcia. W tej postaci program umożliwia jedynie szacunkową ocenę stanów dynamicznych napędu. Program ten jest jednak skonstruowany jako program otwarty i może być dostosowywany do potrzeb użytkowników. Obliczeniowe powiązanie ruchu napędu elektromagnesowego w złożonym układzie mechanicznym stanowi problem otwarty wymagający rozwiązania. Większość polowych programów obliczeniowych wykorzystuje dyskretyzację obszarów w których rozważane jest zagadnienie polowe, oraz aproksymację zmiennych polowych w tym obszarze. W Polsce komputerowymi metodami analizy pola elektromagnetycznego zajmował się zespół kierowany przez prof. dr inż. Stanisława Bolkowskiego [5]. Ważnym wnioskiem wynikającym z prac badawczych zespołu jest sugestia o potrzebie dobierania funkcji bazowych lepiej oddających charakter opisywanych zjawisk niż powszechnie stosowane bazy wielomianowe. Jest ona zgodna z intencją autorki niniejszej publikacji.

7 E. Piotrowska-Kokot Wielkością charakteryzującą stan materiału magnetycznego jest m. in. polaryzacja materiału magnetycznego J(H(t)) w magnetowodzie napędu modelowana za pomocą funkcji H(t) = tanh(h(t)). Model symulacyjny jest tworzony w oparciu o P-K model histerezy [55] z wykorzystaniem własności pochodnej natężenia pola magnetycznego w postaci H '(t)= sech(h(t)). Wymiernym efektem podjętego problemu jest wykonanie zweryfikowanych modeli napędów elektromagnesowych z podtrzymaniem magnetycznym (magnesem trwałym) do wyłącznika próżniowego wysokiego napięcia. Dla tych modeli napędów przeprowadzono pomiary stanów dynamicznych. Przeprowadzono ponowną weryfikację założeń projektowych napędu i ponowną weryfikację teoretycznego modelu pomiarowego z pomiarami. Oryginalne rozwiązania zgłoszono do opatentowania i produkcji. Oddzielnym problemem jest zaprojektowanie i wykonanie elektronicznych układów sterowania napędem elektromagnesowym. Zakład Wielkich Mocy IEl posiada wyspecjalizowaną pracownię elektroniki o dużym doświadczeniu w projektowaniu automatycznych układów sterowania energoelektronicznych. Obwody sterowania napędem są układami impulsowymi, dla których zaprojektowano układ elektroniczny wyłączania i załączania obwodu cewki aktywnej zasilanej z kondensatora o wielkiej pojemności lub z sieci.. MAGNESY TRWAŁE Magnesy trwałe są coraz częściej stosowane we współczesnych urządzeniach elektrycznych ze względu na oszczędność energii elektrycznej. Związane jest to między innymi z rozwojem produkcji materiałów magnetycznie twardych i pojawieniem się szerokiej gamy magnesów trwałych o zróżnicowanych właściwościach, wymiarach, kształcie i oczywiście cenie. Magnesami, które ze względu na swoje zalety mogą znaleźć zastosowanie w napędach elektromagnetycznych są magnesy wiązane ze stopów Nd-Fe-B czyli dielektromagnesy. Technologia tego typu magnesów trwałych pozwala na wytwarzanie, z szybkochłodzonej taśmy z tego stopu, dielektromagnesów o zróżnicowanych właściwościach magnetycznych dostosowanych do potrzeb konstruktorów obwodów magnetycznych. Możliwe jest wytwarzanie zarówno dielektromagnesów izotropowych jak i anizotropowych. Zaletą dielektromagnesów izotropowych jest możliwość magnesowania ich we wszystkich kierunkach. Z kolei magnesy anizotropowe w stosunku do magnesów izotropowych charakteryzują się większą gęstością energii, określaną wielkością (BH)max. Technologia tego typu magnesów trwałych, czyli prasowanie proszku Nd-Fe-B z żywicą epoksydową, pozwala na wytwarzanie różnorodnych kształtów magnesów. Mały skurcz materiału umożliwia wytwarzanie dielektromagnesów o dokładnościach wymaganych przez odbiorców. W napędach z podtrzymaniem magnesami trwałymi stosowane są obecnie spiekane magnesy trwałe ze stopów Sm-Co oraz Nd-Fe-B. Magnesy te charakteryzują się bardzo dobrymi właściwościami magnetycznymi, umożliwiającymi uzyskanie dobrych parametrów układu napędowego, ale wadą ich jest wysoka cena. Obecne technologie wytwarzania magnesów trwałych pozwalają uzyskać magnesy trwałe o gor-

8 Nowe konstrukcje układów magnetycznych z magnesami trwałymi... 3 szych od magnesów spiekanych (typu Sm-Co czy Nd-Fe-B) właściwościach magnetycznych, lepszych niż właściwości magnesów ferrytowych, ale tańszych od spiekanych magnesów z pierwiastkami ziem rzadkich. Jeżeli ograniczyć się do magnesów trwałych wytwarzanych w Polsce, to takimi magnesami są dielektromagnesy Nd-Fe-B wytwarzane w Pracowni Materiałów Magnetycznych i Stopów Specjalnych Instytutu Telei Radiotechnicznego. Charakterystyka napędu elektromagnetycznego z zastosowaniem magnesów trwałych zależy zarówno od materiału, z którego wykonano magnes trwały, jak i jego kształtu, wymiarów, a także konfiguracji biegunów magnetycznych. W celu określenia energii wewnętrznej magnesu trwałego w układzie magnetycznym zajmującym przestrzeń o objętości V można zastosować następującą metodę. Zakłada się, że na objętość całkowitą układu składa się objętość V s wypełniona materiałem magnetycznie miękkim i powietrzem, oraz objętość V m wypełniona materiałem magnetycznie twardym. W sposób przybliżony można określić geometrię elektromagnesu z podtrzymaniem magnesem stałym w sposób następujący. Zakładając liniowość środowiska przyjmuje się, że wielkości B i H charakteryzujące stan pracy magnesu trwałego są współrzędnymi punktów na prostej powrotu równoległej do prostoliniowej części krzywej odmagnesowania początkowego (rys..). B początkowa krzywa odmagnesowania Br B0 prosta powrotu P P3 B energia magnesu P energia zewnętrzna -H0 -HcB H H Rys... Charakterystyka odmagnesowania magnesu przy równoległym ustawieniu wektorów B i H do osi łatwego magnesowania Zakładając brak źródła pola zewnętrznego, w każdym punkcie magnesu trwałego charakterystykę odmagnesowania można zastąpić prostą powrotu o równaniu: B m = μ m H m + B 0 (.)

9 4 E. Piotrowska-Kokot W procesie rozmagnesowania energia magnesu jest w każdym punkcie jego objętości równa polu trójkąta pionowo zakreskowanemu przy założeniu, że tensor przenikalności magnetycznej nie zależy od natężenia pola odmagnesowania. Pole trójkąta poziomo zakreskowanego określa gęstość energii liniowego środowiska magnetycznego. Powyższe spostrzeżenia pozwalają przedstawić energię układu magnetycznego jako całkę objętościową: W = H B 0 dv (.) V m Jeśli punkt pracy magnesu znajduje się na prawo od P prostą powrotu utożsamia się z krzywą odmagnesowania (B 0 =B r ). Indukcja magnetyczna B jest wielkością, którą można zmierzyć w trakcie badania materiału magnetycznego. Wielkością opisującą własności wewnątrz materiału magnetycznie trwałego jest polaryzacja J. Obie te wielkości związane są równaniem: B = μ 0 H + J (.3) O wyborze magnesów trwałych do projektowanych urządzeń decydują ich własności, zwłaszcza maksymalna wartość iloczynu BH max. Dla magnesów z ziem rzadkich NdFeB typu VACODYM wynosi ona kj/m 3. Dla magnesów typu VACOMAX: kj/m 3. Podstawowe wiadomości o materiałach magnetycznych stosowanych aktualnie w technice zebrał Soiński [59]. W projektowanych urządzeniach, prezentowanych w dalszej części pracy, stosowane są magnesy firmy MAGNETO. 3. RÓWNANIA DYNAMIKI ELEKTROMAGNESU Stany przejściowe elektromagnesu ze zworą poruszającą się ruchem postępowym opisuje, dla F >F 0, układ równań: d x dx F() i F0 = m + k + k x dt dt u = Ri e (3.) Rys. 3.. Schemat napędu wyłącznika gdzie: F 0 F suma sprowadzonych ciężarów i naciągu sprężyn zwracających zworę w początkowym jej położeniu, siła przyciągania rozwijana w każdej chwili przez elektromagnes,

10 Nowe konstrukcje układów magnetycznych z magnesami trwałymi... 5 m masa (sprowadzona) części ruchomych, x droga przebyta przez zworę od położenia początkowego, dx k proporcjonalna do prędkości ruchu składowa siły, równoważąca opory dt tarcia, k stała sprężyny zwracającej, U napięcie zasilające o stałej wartości, R suma rezystancji uzwojenia (którą zakładamy stałą w czasie stanu przejściowego elektromagnesu) i sprowadzonej rezystancji zastępczej, wyrażającej straty wskutek histerezy i prądów wirowych, i wartość chwilowa prądu w uzwojeniu, e wartość chwilowa siły elektromotorycznej, wzbudzanej w uzwojeniu. Rozwiązać powyższy układ równań można tylko w sposób przybliżony. W sposób analityczny rozwiązuje się równania ruchu styków, przy założeniach upraszczających dotyczących wyrażenia określającego siłę F. Jeśli w chwili zwarcia napięcie przechodzi przez zero, to prąd zwarcia można zapisać w postaci: gdzie: α i = I ( e t cos ωt), α = R / X (3.) z z z R z całkowita rezystancja obwodu; X z całkowita reaktancja obwodu. Siły elektromagnetyczne są proporcjonalne do kwadratu prądu i można je zapisać równaniem: A = c( ) [ / + exp( α t) exp( αt )cosωt + / cos t] f ( t) = ci = A ω I z (3.3) Zagadnienie uproszczone polega na wykazaniu, że rozwiązaniem równania: jest wyrażenie: d x dx ( t) + mg = m + k + k x (3.4) dt dt f x = S + Bexp( kt / m)sin( qt + ϑ) + Dexp( αt ) + + E exp( αt)cos( ωt + μ) + HAcos(ωt + ν ) (3.5)

11 6 E. Piotrowska-Kokot gdzie: q = k / m ( k / m), S = (/ A + mg) / k, D = A /(4α m αk + k), E = A / m β + β, β = ( k αk) / m + α ω, β = α k / m, μ = ar ctg( β / β), H = A / m γ + δ, γ = k / m 4ω, δ = ωk / m, ν = ar ctg( δ / γ ), w którym B i ϑ są stałymi całkowania spełniającymi warunki brzegowe, q jest częstotliwością drgań własnych, q = k / m - częstotliwością drgań swobodnych. 0 Ruch prostoliniowy w którym droga jest wprost proporcjonalna do przyśpieszenia i ma zwrot przeciwny jest opisywany równaniem różniczkowym d x o stałych współczynnikach: x = K z rozwiązaniem ogólnym w postaci: dt x = C sin kt + C coskt, k = / K. Równanie charakterystyczne K r + = 0 ma rozwiązanie r = mki. Rozwiązanie równania różniczkowego opisującego ruch styków umożliwia wyznaczenie drogi styku ruchomego w funkcji czasu. Układ kinematyczny styków składa się ze styku ruchomego, o masie m poruszającego się z prędkością w 0 w chwili zderzenia ze stykiem stałym, o masie m. Styk nieruchomy jest napięty siłą F s pochodzącą od sprężyny. Po zderzeniu ruch tego styku jest opisany równaniem: d x m + F + Cx = 0 (3.6) s dt gdzie: x C jest drogą styku w funkcji czasu liczoną od położenia styku nieruchomego w chwili zderzenia ze stykiem ruchomym, stałą sprężyny dociskowej, uzależniającej wzrost jej siły od ugięcia przy odskoku. Po określonym czasie styk wraca, ponieważ ruch jego ma charakter oscylacyjny, i zderza się ze stykiem poruszającym się z prędkością w w położeniu x+x. Równanie ruchu po drugim zderzeniu ma postać: d x m + ( F + Cx) + Cx = 0 (3.7) s dt Warunek F =F s +Cx >F s zapewnia zmniejszenie amplitudy drgań. Analiza ruchu styków w napędzie elektromagnesowym wskazuje, że stosowanie d x dużego docisku początkowego sprężyny, F s m, powoduje stopniowe zmniejszanie amplitudy drgań przy dt odskokach.

12 Nowe konstrukcje układów magnetycznych z magnesami trwałymi... 7 Zjawiska fizyczne związane z odkształcaniem przy stałej prędkości można analizować przy pomocy równań różniczkowych stopnia pierwszego. Można je odnieść do zagadnienia utrzymania styków w stanie zamknięcia, przy ich częściowym zużyciu, jak i rozłączania styków które uległy zespawaniu. W ruchu drgającym fazę sprężystolepką opisuje się równaniem: co można zapisać w postaci: dγ ds S = ( + ), τ = η / G (3.8) dt G dt τ S S& = G & γ (3.9) τ gdzie: γ odkształcenie liniowe lub postaciowe (kątowe), S naprężenie, G moduł sprężystości postaciowej, η współczynnik lepkości. W materiale nieściśliwym obowiązują zależności: G ε =3G γ lub η ε =3η γ, gdzie wskaźnik ε odnosi się do jednoosiowego rozciągania a wskaźnik γ, do czystego ścinania. W ośrodku doskonale sprężystym (sprężyna liniowa) zależność między naprężeniem a odkształceniem opisana jest równaniem: τ = f ( γ ), γ = f ( τ ). Przy odkształceniach ze stałą prędkością γ& = Γ = const z równania S& + ( ηγ) = 0 τ S i warunku początkowego S=0 w chwili t=0, wyznacza się przebieg zmienności naprężenia t / τ w czasie: S = ηγ( e ). Odkształcenie sprężyny opisuje funkcja γ = S G η = Γ( e G t / τ ) = Γτ ( e t / τ ), γ (0) = 0 (3.0) Uwzględnienie odpowiednich zależności między współczynnikami umożliwia modelowanie własności mechanicznych układu stykowego w wyłącznikach i stycznikach uwzględniające odkształcenia styków w czasie ich pracy. Liniowe równania dynamiczne zapisuje się w postaci równań stanu: my' ' + fy' + gy = 0 y' + ( f / m) y + ( g / m) y = 0, y = y', y = y y' = ( f / m) y ( g / m) y ( f / m) Y ' = y' = y ( g / m) Y 0 (3.) W przypadku nieliniowym, gdy współczynnik sztywności sprężyny uzależniony jest od jej deformacji ( np. wg wzoru: k (x)=a+bx ), a współczynnik tarcia zależy od prędkości:

13 8 E. Piotrowska-Kokot 0.5 dx dx dx k( ) = k sign( ) (3.) dt dt dt równania stanu można zapisać w postaci: ' ' x = [( F F0 ) k( x) x k( x ) x ], x = x (3.3) m gdzie dx x =, x = x. dt Oba układy równań rozwiązuje się w sposób przybliżony metodą Rungego- Kutty przy znanym wektorze warunków początkowych. Służą do tego podprogramy np. ode3 lub ode45 programu MATLAB. Wprowadzenie wyrażenia opisującego siłę F > F 0 wymaga rozbudowania metody obliczeniowej do układu równań różniczkowych. W każdym modelu dynamiki elektromagnesu są generowane przebiegi porównywalne z przebiegami uzyskanymi z pomiaru. Jeśli elektromagnes składa się z jednej cewki to można założyć jeden stopień swobody dla obwodu elektrycznego i jeden stopień swobody dla układu mechanicznego. Wówczas własności mechaniczne opisują równania zmiennych stanu: v& = [ Fe KTv KS ( x x0 )] M (3.4) x& = v gdzie: v oznacza prędkość, x położenie, M masę, K T współczynnik tarcia, K S współczynnik sprężystości, położenie odniesienia. x 0 Jeśli przyjąć za zmienne strumień skojarzony z uzwojeniami cewki ψ i położenie zwory x, to prąd i w uzwojeniu oraz siłę F wyznacza się poprzez różniczkowanie wyrażenia na energię W m : dwm dwm i =, F = (3.5) d ψ dx ' Energia i koenergia spełniają równanie: Wm + Wm = ψ i. Korzystając z pojęcia koenergii można wyznaczyć ψ oraz F jeśli za zmienne przyjmie się prąd i oraz przesunięcie x:

14 Nowe konstrukcje układów magnetycznych z magnesami trwałymi... 9 ' ' dwm dwm ψ =, F = (3.6) d ψ dx W oparciu o powyższe równania można konstruować tablicowe zależności np. F(i,x) jeśli program wyznacza siłę F. Jeśli nie, to obliczenia np. potencjału wektorowego wyznaczanego w oparciu o rozkład gęstości prądu stanowią przesłankę do przyjęcia pary (i,x) za zmienne niezależne. Rysują się różne możliwości tworzenia zależności tablicowych. W Modelu (A, F) na powierzchni cewki obliczany jest potencjał wektorowy A z uprzednio wyznaczonych gęstości prądu w kolejnych położeniach zwory. Dołączając obliczenia siły F działającej na zworę można tworzyć układ tablicowy: A = A(i, x), F = F(i, x). Strumień skojarzony ψ, wyznacza się z równania: ψ = N A dl, gdzie N oznacza ilość zwojów w cewce. W rezultacie otrzymuje się tablicę ψ(i, x). Równanie Kirchhoffa dla obwodu cewki po przekształceniu wygląda następująco: L gdzie: U R di ψ = ( U Ri v ) dt ψ x (3.7) i oznacza napięcie, rezystancję. Powyższe równanie można przekształcić, poprzez uwzględnienie zależności: ψ ( i, x) di L L( i, x) =, do postaci następującej: [ u ( R v ) i] i dt = + L L i x. W przypadku + i dużej szczeliny indukcyjność można traktować jako funkcję położenia L = L(x). Model (W m, W m ') bazuje na obliczaniu wartości W m, W m ' i pozwala wyznaczyć ' strumień skojarzony ψ z równania Wm + Wm = ψi, przy znanym rozkładzie gęstości prądu. Musi być również spełnione równanie di dt = ψ ( u Ri v ) ψ x (3.8) i Założeniem dla Modelu (W m ') jest równanie: Kirchhoffa dla obwodu cewki zapisuje się w postaci: dw m ' ψ =. Wówczas równanie dψ di dt = W i ' m ' Wm ( u Ri v ) i x (3.9)

15 0 E. Piotrowska-Kokot Siłę wyznacza się ze wzoru: F = dw dx ' m W Modelu (A) możliwe jest wyznaczanie funkcji i(ψ,x) korzystając z wyznaczonych wartości potencjału wektorowego A(i, x). Inwersja jest możliwa dla dużych szczelin powietrznych gdzie obowiązuje jednoznaczna zależność strumienia od prądu. Energia wyznaczana jest wówczas z równania: W m = idψ, a równanie Kirchhoffa zapisuje się wzorem: dψ = u Ri dt (3.0) Zależności tablicowe, dla stanów dynamicznych projektowanych napędów, tworzonych programem FLUXD, wprowadzane są do MATLABa. W ten sposób realizowana jest metoda obwodowo-polowa wyznaczania stanów dynamicznych. Programy w MATLAB dla rozwiązywania równań układów drgających Program spr_l.m rozwiązuje równanie liniowego układu drgającego: my '' + fy' + gy = 0 y' + ( f / m) y+ ( g / m) y = 0, y = y', y = y, y' = ( f / m) y ( g / m) y y' = y ( f / m) ( g / m) Y ' = Y 0 % spr_l - program ruchu spr. %LD k= N/m; m= kg; tspan = [ ]; y0 = [0; ]; %warunki poczatkowe [t,y]=ode45(@wspr_l,tspan,y0); figure() plot(t,y(:,),'-',t,y(:,),'--'),grid on title('wykresy: x[mm], v[m/s]') xlabel('t [s]') ylabel('x(t),v(t)') legend('v(t)=y()','x(t)=y()','my''+ky=0; figure() plot(y(:,),y(:,)),grid on title('portret fazowy') xlabel('x') ylabel('v(x)') % wspr_l - tworzy wykresy x(t), v(t) %LD function [dydt] = wspr_l(t,y) global k a m dydt = [0*y()-(7^)*y() y()]; Program spr.m dla równania: my''+f(y')y'+g(y)y=0 % wspr - tworzy wykresy x(t), v(t) %LD function [dydt] = wspr(t,y) global k a m dydt =[- ((k*(sign(y()))*(abs(y()))^0.5)/m)*y() -((a+*a*(y())^)/m)*y() y()]; % spr - program do wyznaczania ruchu %LD global k a m k=; a=36; m=; % parametry tspan = [0 4]; y0 = [0; ]; % warunki poczatkowe [t,y]=ode45(@wspr,tspan,y0); plot(t,y(:,),'-',t,y(:,),'--'),grid on title('wykresy: x[mm], v[m/s]') xlabel('t [ms]'); ylabel('x(t),v(t)') legend('y_','y_')

16 Nowe konstrukcje układów magnetycznych z magnesami trwałymi... Program do wyznaczania współczynnika tarcia % wsp_tar %LD function y=wsp_tar(v) global k k=; v=3::8; % 6 wartosci sredniej predkosci y=k*sign(v).*sqrt(abs(v)); plot(v,y),grid on title('friction Coefficient') xlabel('v[m/s]') ylabel('*sign(v).*sqrt(abs(v))') Program do wyznaczania Współczynnika sztywności % szt_spr (z) %LD function y=szt_spr(z) global a a=36; b=*a; z=0::0; y=a+b*z.*z; plot(z,y),grid on title('spring Stiffness Coefficient') xlabel('z[mm]') ylabel('36+*36*z.*z') Nieliniowy układ drgający: my''+f(y')y'+g(y)y=0 % spr - program do wyznaczania ruchu spr. %LD global k a m k=; a=6; m=0; % parametry tspan = [0 4]; y0 = [0; ]; % warunki poczatkowe [t,y]=ode45(@wspr,tspan,y0); figure() plot(t,y(:,),'-',t,y(:,),'--'),grid on title('wykresy: x[mm], v[m/s]') xlabel('t [ms]') ylabel('x(t),v(t)') legend('v(t)=y()','x(t)=y()','k=;a=6;m=0;') figure() plot(y(:,),y(:,)),grid on title('portret fazowy') xlabel('x') ylabel('v(x)') Rys. 3.. Przebiegi rozwiązań równania nieliniowego w czasie, gdy: k =, a = 6, m = 0 Rys Portret fazowy równania nieliniowego

17 E. Piotrowska-Kokot % wspr program tworzy wykresy x(t), v(t) %LD function [dydt] = wspr(t,y) global k a m dydt= [-((k*(sign(y()))*(abs(y()))^0.5)/m)*y()- ((a+*a*(y())^)/m)*y() y()]; % spr - program do wyznaczania ruchu spr. %LD global k a m k=; a=36; m=; % parametry tspan = [0 4]; y0 = [0; ]; % warunki poczatkowe [t,y]=ode45(@wspr,tspan,y0); plot(t,y(:,),'-',t,y(:,),'--'),grid on title('wykresy: x[mm], v[m/s]') xlabel('t [ms]'); ylabel('x(t),v(t)') legend('y_','y_') Rys Przebiegi rozwiązań równania nieliniowego w czasie, dla parametrów: k = ; a = 36; m = Program do wyznaczania współczynnika tarcia % wsp_tar %LD function y=wsp_tar(v) global k k=; v=3::8; % 6 wartosci sredniej predkosci y=k*sign(v).*sqrt(abs(v)); plot(v,y),grid on title('friction Coefficient') xlabel('v[m/s]') ylabel('*sign(v).*sqrt(abs(v))') Rys Wykres współczynnika tarcia Program do wyznaczania sztywności sprężyny % szt_spr (z) %LD function y=szt_spr(z) global a a=36; b=*a; z=0::0; y=a+b*z.*z; plot(z,y),grid on title('spring Stiffness Coefficient') xlabel('z[mm]') ylabel('36+*36*z.*z') Rys Wykres współczynnika sztywności

18 Nowe konstrukcje układów magnetycznych z magnesami trwałymi... 3 PROGRAM symulujący działanie sprężyny % program rys_fspr.m % F_spr - opisuje dzialanie sprezyny %function [Fspr]=F_spr(z) %global F F zs zk %Fspr=z*(F-F)/(zK-zS)+F-zK*(F-F)/(zKzS); % rys_fspr przedstawia sile sprezystosci w funkcji polozenia global F F zs zk zs=0.003+( )**0^-3; zk=zs+5.5**0^-3; F0=300; F=00; F=3000; z=0.003:0.0000:zs; z=zs:0.0000:zk; Fspr=-0*z-300; Fspr=-(z*(F-F)/(zK-zS)+F-zK*(F- F)/(zK-zS)); k=000; y=(sech(k*(z-zs))).^; y=(sech(k*(zs-z))).^; plot(z*000,fspr-(f- F0)*y,z*000,Fspr);grid on xlabel('przemieszczenie [mm]') ylabel('sila sprezystosci [N]') Rys Siła sprężyny w funkcji przesunięcia symulowana programem rys_fspr Charakterystyka sprężyny hamującej wyznaczona z pomiarów Program do wyznaczania charakterystyki sprężyny o długości 4 mm, osadzonej na tulejce prowadzącej o średnicy zewnętrznej równej 56 mmm % Fspr_pom % LD function y=fspr_pom global s A=[ ]; B=[ ]; s=a; y=b; k=b./a; wart_sr=mean(k) plot(s,y);grid on xlabel('przemieszczenie: s[mm]') ylabel('wymuszenie: F(s) [N]') Rys Wykres do wyznaczania współczynnika sztywności sprężyny. Współczynnik sztywności sprężyny: k = 58.5 N/mm

19 4 E. Piotrowska-Kokot 4. ZASTOSOWANIE P K MODELU HISTEREZY DO WYZNACZANIA CHARAKTERYSTYK DYNAMICZNYCH NAPĘDÓW ELEKTROMAGNESOWYCH Z MAGNESEM TRWAŁYM Na rysunku 4. przedstawiono obwód magnetyczny napędu elektromagnesowego z magnesem trwałym w rozwiązaniach dotychczas stosowanych [np. 8, 5]. Strzałkami zaznaczono kierunek linii sił pola magnetycznego wytworzonego przez magnes. Zwora jest zamocowana suwliwie (na rysunku w kierunku poziomym) i porusza się pod wpływem wypadkowej siły magnetycznej wytworzonej przez magnes trwały i cewkę aktywną. Rys. 4.. Układ magnetyczny napędu elektromagnesowego z magnesami trwałymi. Strzałkami zaznaczono kierunek indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez magnes trwały Rys. 4.. Linie pola magnetycznego w magnetowodzie napędu elektromagnesowego z magnesami trwałymi

20 Nowe konstrukcje układów magnetycznych z magnesami trwałymi... 5 Siła mechaniczna, wytworzona przez magnesy trwałe oraz uzwojenie prądowe w urządzeniu przedstawionym na rys.4. dana jest równaniem: m z d dt x + λ ( x) dx dt = F mag m z g (4.) F mag B, F mag ( A) gdzie: m z masa zwory, x przesunięcie, dx/dt prędkość w ruchu zwory, λ współczynnik tłumienia, g stała grawitacji, A potencjał wektorowy. Siła magnetyczna związana jest z koenergią obwodu magnetycznego W, w sposób następujący: F F mag mag W '( x, i) =, x = i 0 Ψ( x, i) x W '( x, i) = i= const di i 0 Ψ( x, i)di (4.) przy założeniu, że strumień skojarzony, Ψ(x, t), z uzwojeniem przewodzącym prąd, i(t), jest funkcją zmiennych niezależnych x, t. Charakterystykę dynamiczną aktywnej cewki w obwodzie sterowania napędu wyprowadza się z napięciowego prawa Kirchhoffa: u L dψ( x, i) = Ri + (4.3) dt gdzie: x grubość szczeliny powietrznej wzdłuż osi x, R rezystancja uzwojenia cewki o indukcyjności L, związana z geometrią. Modelem matematycznym charakteryzującym dynamikę napędu jest układ równań nieliniowych:

21 E. Piotrowska-Kokot 6 ( ) i i x L t x x i x Ri u t i i x i x F x F m t v v t x L m m z Ψ + Ψ = Ψ = = = ), ( d d ), ( d d ), (, ) ( d d d d λ (4.4) Istotne znaczenie w rozwiązaniu powyższego układu równań mają wyrażenia: i i x x i x Ψ Ψ ), (, ), ( (4.5) Zakładając brak strumienia rozproszenia można przyjąć, że strumień indukcji wytworzony przez magnesy stałe zamyka się w obwodzie magnetycznym poprzez komory powietrzne po obu stronach zwory (rys.4.): Φ m = Φ + Φ (4.6) a siłę naciągu magnetycznego określa wyrażenie: Φ Φ = 0 s s s S S S F μ (4.7) Wyrażenie dla strumienia skojarzonego Ψ, w obwodzie o zmiennej reluktancji magnetycznej (rys. 4.) oraz siłę naciągu magnetycznego wyznacza się z układu równań: ( ) ( ) = Φ Φ Φ ) ( ) ( μ μ μ μ μ μ μ μ d m d m s d d m m s d d m m m l l H J i N l l H J S z l S l S l S z S l S l (4.8)

22 Nowe konstrukcje układów magnetycznych z magnesami trwałymi... 7 gdzie: Φ m strumień magnetyczny w magnesie trwałym, Φ, Φ strumienie magnetyczne w komorach, l m długość drogi strumienia Φ m w magnesie, l d długość drogi strumienia magnetycznego w szczelinie górnej, x długość drogi strumienia Φ w powietrzu z lewej strony zwory, l x długość drogi strumienia Φ w powietrzu z prawej strony zwory, l długość komory powietrznej gdy zwora przylega do jarzma, S m powierzchnia czynna magnesu trwałego, S d czynna powierzchnia górna zwory, S s czynna powierzchnia boczna zwory, N liczba zwojów, I prąd w obwodzie sterowania, J(H) polaryzacja materiału magnetycznie twardego. Wprowadzając do układu równań wyrażenie J(H) zgodnie z parametrycznokatalogowym (P-K) modelem histerezy, wyznaczono przy użyciu programu DERIVE, wyrażenia analityczne na pochodne strumienia Ψ = N Φ, które funkcjonują w MATLABie w postaci podprogramów. Program do wykreślania charakterystyki dynamicznej napędu m_0.m w MATLAB 6.0 zbudowano w oparciu o podprogramy: odm_j,dh_di, dh_dz, dpsi_di, dpsi_dz, F_lambda, F_pocz, F_mag, oraz podprogram: fun_zw będący modelem matematycznym dynamiki napędu. Zjawisko histerezy w materiale magnetycznie twardym napędu modelują programy: jhtmag.m oraz jhtitr.m. Program rys_fspr.m symuluje działanie sprężyny. Dzięki możliwości wprowadzenia do modelu symulacyjnego stanów dynamicznych elektromagnesu, parametrów katalogowych materiałów magnetycznych, można określić wymiary konstrukcyjne urządzenia. Uzyskane dane pozwoliły zbudować w Instytucie Elektrotechniki napęd elektromagnesowy w geometrii prostopadłościennej z magnesami trwałymi jak na rys. 4.. Dużą trudnością okazało się ustawienie magnesów prostopadłościennych obok siebie na jarzmie z blachy elektrotechnicznej. Możliwości symulacyjne programu dla metody obwodowej analizy stanów dynamicznych elektromagnesu z magnesami trwałymi są przedstawione na rys PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszyt 5, 005

23 8 E. Piotrowska-Kokot Charakterystyki dynamiczne napędu w programie m_0.m Rys Wykres położenia zwory Rys Wykres prędkości zwory Rys Wykres prędkości zwory w funkcji położenia Rys Impuls prądowy w obwodzie zasilania Rys Zmiana napięcia zasilania w trakcie trwania impulsu prądowego Rys Wykres siły magnetycznej działającej na kontakt w funkcji położenia styków

24 Nowe konstrukcje układów magnetycznych z magnesami trwałymi... 9 Rys Zmiana położenia kontaktu Rys Zmiana prędkości kontaktu Rys. 4.. Zdjęcie wykonanego w IEL napędu elektromagnesowego do wyłącznika NN z centralnie ustawionymi magnesami trwałymi w geometrii prostopadłościennej. (foto H. Zakrzewska)

25 30 E. Piotrowska-Kokot 5. WYBRANE ZJAWISKA FIZYCZNE W PROCESACH ŁĄCZENIOWYCH 5.. Analiza ruchu drgającego przy dociskaniu styków Rys. 5.. Schemat układu sprężysto-lepkiego Analiza dotyczy układu przedstawionego na rys. 5.. Układ składa się z masy m połączonej z nieruchomym punktem za pomocą sprężyny o module sprężystości G oraz elementu o module sprężystości G i współczynniku lepkości η, S naprężenie, x przesunięcie. Faza sprężysta dotyczy prawej gałęzi z rys. 5.. Odkształcenie γ jest proporcjonalne do naprężenia S: γ ~ S. Istnieje jednoznaczna funkcja: τ = f ( γ ) i γ = f - (τ), τ = η / G. Faza sprężysto-lepka dotyczy lewej gałęzi z rys. 5., dla której prawdziwe są równania: S S& = G & γ τ & γ = S& + S G η (5..) Dla elementu z tłokiem w cylindrze obowiązuje zależność: τ = η γ&. Element sprężysto-lepki obciążony masą m opisują równania: kλ = P dλ η dt = P (5..) P& Ponieważ przesunięcie x = λ + λ, to x& = & λ + & λ = + P. k η Z równania różniczkowego stopnia pierwszego ze względu na x otrzymuje się ostatecznie równanie stopnia trzeciego:

26 Nowe konstrukcje układów magnetycznych z magnesami trwałymi... 3 dp mx && = P mx &&& = dt m m x& = &&& x && x k η (5..3) k &&& x + && x + η k m x& = 0 k k Po całkowaniu otrzymujemy: && x + x& + x = C. Stałą C wyznacza się η m z warunków początkowych. Szeregowo załączony tłumik decyduje o tym, że drgania zanikając wykładniczo odbywają się dokoła punktu przesuniętego. Jeżeli siłę sprężystą w lewej gałęzi oznaczymy jako S, to odkształcenie sprężyny G będzie równe S /G, a prędkość odkształcenia będzie równa S & / G. W tłumiku odkształcenie ma prędkość S / η. Dla lewej gałęzi obowiązuje równanie: dγ ds S dγ dγ ds = + S, dla prawej: γ = = γ = γ = =. Oznaczając dt G dt η G dt dt G dt obciążenie całkowite modelu przez S = S + S, można zapisać równania: ds dt & ds = dt G & ds + dt ds dt & ) + ( S S η ds ds = dt dt G G ) & γ = S& & γ + S γ G G η η γ = ( S S (5..4) Stąd układ przedstawiony na rysunku można opisać równaniem: η & G S + S = G γ η( ) & + + γ (5..5) G G Równanie to stanowi model opisujący własności mechaniczne ciał rzeczywistych. Z drugiego prawa Newtona mamy: m & x = S mx &&& = S&. Z równania 5..5 wynika: G G + G GG & x&& + && x + x& + x = 0 (5..6) η m ηm Analizując rozwiązanie analityczne równania 5..5 wnioskuje się, że drgania zanikające naprzemienne odbywać się będą dokoła środka przesuwającego się asympto-

27 3 E. Piotrowska-Kokot tycznie do położenia równowagi według równania: x r = C exp( γt), gdzie stałą C wyznacza się z warunków początkowych. Analiza powyższego równania z uwzględnieniem siły docisku styków prowadzi do modelu parametrycznego opisu przybliżonego zjawiska zużywania styków. 5.. Metody przestrzeni Hilberta w magnetostatyce Wszystkie liczące się na świecie ośrodki zajmujące się rozwiązywaniem zagadnień pola magnetostatycznego stosują metody przestrzeni Hilberta w sposób opisany m. in. w artykułach: [, 3, 4] PRZYKŁAD Problemy magnetostatyki opisane są równaniami: B = μh, div B = 0, curl H = J, w Ω B n = f na Γ B, H n = f na Γ H (5..) gdzie Ω jest zbiorem otwartym określonym w pewnej przestrzeni euklidesowej, n jednostkowym wektorem normalnym do brzegu obszaru Ω, a skalar f i wektor f Γ opisują warunki brzegowe. Warunek: f ds 0, oznacza brak pojedynczych ładunków = magnetycznych (Γ H = ). Wykluczony jest przypadek Γ B =. Z twierdzenia o rozkładzie Helmholtza, na którym oparty jest sposób numerycznego rozwiązywania zagadnień magnetostatyki, natężenie pola magnetycznego H przedstawia się w postaci sumy: H = H m + H s, (5..) w której H m jest bezwirowym natężeniem pola związanego z magnetyzacją materiału ferromagnetycznego, a H s spełnia warunek curl H s = j, gdzie j wektor gęstości prądu. Metody przestrzeni Hilberta polegają na sformułowaniu zasady wariacyjnej w celu wyznaczenia minimum funkcjonału: H([ B, H]) = μ ( B μh )( B μh )dω (5..3) Ω wśród wszystkich par [B, H] spełniających równania magnetostatyki. W tym celu definiuje się przestrzenie: V = H ΓB (div;ω) = {v H(div;Ω): v n ΓB = 0}

28 Nowe konstrukcje układów magnetycznych z magnesami trwałymi H(div;Ω) = { B { L ( Ω)},divB L ( Ω)} V = H Γ 3 ( curl; Ω) = v H ( curl; Ω) : v n = 0} H { H (curl; Ω) = { H ( L ( Ω)), curlh ( L ( Ω)) } Q = L ( Ω), Q = H (div 0 ; Ω) Γ H 3 Γ H 3 Zasada wariacyjna jest sformułowana w sposób następujący. Dane jest J Q, B H(div;Ω), H H(curl;Ω), B n = f na ΓB, H n = f na ΓH, znaleźć (B,H,φ,A) takie, że (B- B,H- H,φ,A) V V Q Q i spełnione są równania: ( i) B V ; Ω = Ω μ B B H s B dω dω Ω H m B dω + Ω ϕdivb dω = ( ii) H V ; Ω = B H Ω μh dω + s H Ω μh dω m H dω + Ω A curlh dω = (5..4) ( iii) ϕ Q ( iiii) A Q ; Ω ; divbϕ dω = 0 Ω Koniec przykładu curlh m A dω = 0 6. STRUMIENIE ROZPROSZENIA W OBWODACH MAGNETYCZNYCH ELEKTROMAGNESÓW Strumień magnetyczny elektromagnesu w naturalny sposób dzieli się na strumień roboczy, powodujący przemieszczanie się zwory oraz strumień rozproszenia, który zamyka się nie przechodząc przez czołową powierzchnię zwory, a przez to nie wytwarzając użytecznej siły poruszającej zworę.

29 34 E. Piotrowska-Kokot Z niejednorodnością pola związane są aktualnie opisywane w literaturze różne metody określania przewodności magnetycznej: metoda Schmiedela, polegająca na zastąpieniu bieguna rzeczywistego przez biegun umyślony o wymiarach większych od rzeczywistych, uwzględniających niejednorodności pola, metoda Rotersa, pozwalająca liczyć przewodności magnetyczne przestrzeni podzielonej na części o geometrycznie prawidłowych kształtach, metoda Bula, w której zakłada się, że przewodność dodatkowa do przewodności dla pola jednorodnego jest zależna od przewodności między bocznymi powierzchniami biegunów, metoda wykreślna, wykorzystująca fakt, że linie pola wychodzą z biegunów po normalnych do powierzchni i są prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnych. Zastosowanie nowoczesnych komputerów pozwala na szybkie i dokładne obliczanie rozkładu pola magnetycznego. Strumień rozproszenia generowany przez magnes trwały w stanie bezprądowym elektromagnesu można znacznie zredukować przez odpowiednie ukształtowanie powierzchni bocznych boczników i grubości magnetowodów. Strzałką oznaczono kierunek namagnesowania magnesu trwałego. Rys. 6.. Konstrukcja pułapki magnetycznej z dużym strumieniem rozproszenia Rys. 6.. Przykład konstrukcji pułapki magnetycznej, w której znacznie ograniczono strumień rozproszenia Rysunki 6. i 6. przedstawiają wyniki obliczeń strumienia magnetycznego pułapki magnetycznej z magnesem trwałym. Do obliczeń wykorzystano program FLUXD. Pułapka składa się z górnej, nieruchomej tarczy wykonanej z miękkiego materiału magnetycznego,, toroidalnego magnesu trwałego namagnesowanego osiowo, dolnego pierścienia z miękkiego materiału magnetycznego, przylegającego do magnesu oraz walcowej zwory. Zadaniem tego układu jest silne trzymanie zwory napędu w górnym położeniu. Strumień główny przechodzi przez zworę i wytwarza się przyciągającą zworę do górnej, nieruchomej tarczy. Strumień rozproszenia zamyka się na zewnątrz magnesu i nie wytwarza siły trzymającej. W układzie przedstawionym na rys. 6. stanowi on około 50 % całego strumienia magnesu trwałego. Natomiast w układzie przedstawionym na rysunku 6. strumień rozproszenia stanowi zaledwie 5 % całego strumienia magnesu. Przedstawiona pułapka magnetyczna wykorzystana została w konstrukcji napędu do silnego dociskania styków w stanie zamkniętym wyłącznika. W konstrukcji jak na rys. 6. uzyskano siłę trzymania przekraczającą 500 N.

30 Nowe konstrukcje układów magnetycznych z magnesami trwałymi ANIZOTROPIA MATERIAŁOWA Z P K MODELEM HISTEREZY Symulacja anizotropii w materiałach magnetycznych wymaga uwzględnienia zależności wartości parametrów magnetycznych od kierunku. W zagadnieniach modelowania zjawiska histerezy zakłada się różne wartości współczynników J s i H c w kierunkach osi układu współrzędnych. Zaletą P-K modelu histerezy jest możliwość wyznaczenia relacji między wektorem indukcji B a wektorem natężenia pola magnetycznego H w nieliniowym anizotropowym materiale magnetycznym we wszystkich płaszczyznach układu współrzędnych. W tym celu do równań opisujących pętlę histerezy w P-K modelu histerezy należy podstawić dwie pary wartości dla współczynników Js, i, Hc,i, np. i = x, y: J ( H ) = J, tanh( k H ( t)) pierwotna krzywa magnesowania, i i s i i J H ) = J tanh( k ( H ( t) + H )) górna gałąź pętli histerezy, J g, i( i s, i i c, i d, i( i s, i i c, i H ) = J tanh( k ( H ( t) H )) dolna gałąź pętli histerezy. Powyższe równania wyznaczają dwie różne pętle histerezy w kierunku osi x oraz osi y. Wektor magnetyzacji M związany jest z wektorem polaryzacji J zależnością J = μ 0 M. Możliwość wyznaczenia magnetyzacji Mx, My, w zależności od kierunku x, y, oraz uwzględnienie nierówności μ 0 M >> μ 0 H w równaniu B = μ 0 H+J, pozwala zapisać relację między składowymi pola w anizotropowym materiale magnetycznym równaniem macierzowym: B B x y a = a xx yx a a xy yy μ0m μ0m x y gdzie tensor anizotropii jest określony przez współczynniki a i, j. W dalszej części pracy, zwrócono uwagę na deformację pola magnetycznego w anizotropowych magnesach trwałych w stosowanych dotychczas rozwiązaniach konstrukcyjnych elektromagnesów. 7.. Charakterystyki dynamiczne elektromagnesu z cylindrycznym magnesem trwałym Magnesy anizotropowe cechuje większa wartość remanencji B r niż magnesy izotropowe o tej samej objętości, co z kolei umożliwia uzyskanie większych sił magnetostatycznych w projektowanych napędach z magnesami trwałymi.

31 36 E. Piotrowska-Kokot Model elektromagnesu przedstawiony na rys składa się z nieruchomego pierścieniowego magnesu trwałego osadzonego w jarzmie stalowym, stalowej zwory w kształcie walca osadzonej na wałku zapewniającym ruch posuwisty między dwoma położeniami bistabilnymi, oraz cewek ustawionych w symetrii osiowej. Magnes trwały wytwarza strumień magnetyczny zamykający się poprzez górną część jarzma i górną część zwory powodując przyciąganie magnetostatyczne zwory do jarzma w jej górnym położeniu. Załączenie kondensatora naładowanego do napięcia U = 300 V, wywołuje impuls prądowy w obwodzie cewki aktywnej, który wytwarza strumień magnetyczny przeciągający zworę do dolnej części jarzma. Siła magnetostatycznego przyciągania zwory do górnej bądź dolnej części jarzma przenoszona jest poprzez układ mechaniczny na styki wyłącznika utrzymując je w stanie zamkniętym lub otwartym. Ruch zwory wywołany impulsem prądowym cewki aktywnej przeniesiony przez układ mechaniczny zamyka lub otwiera styki. Rysunek 7.. uwidacznia impulsowy charakter obwodu zasilania cewki aktywnej. Parametry obwodu są tak dobrane, żeby uzyskać możliwie krótki czas łączeniowy (3 ms). Analiza charakterystyk dynamicznych ruchu zwory przedstawionych na rys i 7..4 wskazuje na pewność działania urządzenia polegającą na przeniesieniu siły ok. kn z prędkością powyżej 3 m/s przez punkt w którym równoważą się siły magnetostatycznego przyciągania zwory do górnej i dolnej części jarzma. W modelowym rozwiązaniu elektromagnesu, magnes trwały magnesowany promieniowo pracuje w zakresie prostoliniowej części charakterystyki odmagnesowania. Linie pola magnetycznego przy maksymalnym prądzie pokazane na rys świadczą o prawidłowym stanie pracy magnesu trwałego. Rys Schemat napędu w symetrii osiowej wraz z obwodem zasilania cewki aktywnej Przedstawiony tu schematycznie obwód zasilania składa się ze wstępnie naładowanego kondensatora załączanego na cewkę aktywną (górną lub dolną) za pomocą wyłącznika. Impuls prądowy przenikający cewkę powoduje przestawienie zwory, a magnes trwały utrzymuje zworę w jednym z położeń stabilnych (zamknięte-otwarte).