SCHEMAT ZASTĘPCZY OBWODU MAGNETYCZNEGO GŁÓWNEGO TRANSFORMATORÓW WIELOUZWOJENIOWYCH, TRÓJKOLUMNOWYCH

Transkrypt

1 Marian Noga*, Lesław Gołębiowski**, Marek Gołębiowski**, Damian Mazur** * Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków Politechnika Rzeszowska, Rzeszów ** SCHEMAT ZASTĘPCZY OBWODU MAGNETYCZNEGO GŁÓWNEGO TRANSFORMATORÓW WIELOUZWOJENIOWYCH, TRÓJKOLUMNOWYCH SUBSTITUTE DIAGRAM OF THE MAIN MAGNETIC CIRCUIT OF THE MULTI WINDINGS TRANSFORMERS WITH THREE COLUMNS Abstract: It was presented how to design three column substitute diagram of the main magnetic circuit using the impedance matrix of the autotransformer obtained by FEM D methods [,, 7]. Relation between main inductances of the magnetic circuit and angular frequency caused by eddy currents in the autotransformer plates was modeled by additional windings on columns short-circuited by admittances. These admittances were synthesized by Cauer ladder schemes. Magnetic saturation of the columns in the substitute diagram should be considered using traditional methods. The substitute diagram presented in this article should be complemented by ladder circuits, which synthesize zero component inductance and leakage inductance [8] of the transformer. Then the diagram can be used for fast calculations of the transient states in clean power multipulse rectifiers circuits. This way of calculations represents proper conditions of the diodes commutation and allows for studying of the circuits higher harmonics.. Wstęp Przedstawiany artykuł jest pierwszym z dwóch artykułów dotyczących projektowania schematu zastępczego autotransformatora wielouzwojeniowego, trójkolumnowego, prezentowanych na SME 9. Dalszym ciągiem jest artykuł [8], który przedstawia modelowanie indukcyjności rozproszenia autotransformatora. Transformatory budowane są od blisko lat. Pierwszy patent opisujący transformator o charakterze energetycznym powstał na terenie Austro-Węgier w 88 roku. Od tego czasu ciągłemu udoskonalaniu podlega proces ich projektowania i badania. Dla obliczania stanów przejściowych układów energoelektronicznych, np. uproszczonymi metodami obwodowymi, konieczna jest znajomość macierzy indukcyjności transformatorów je zasilających. Możliwe są jednak obliczenia metodą FEM D, w których pole elektromagnetyczne jest liczone dokładnie w sprzężeniu z obwodami uzwojeń przy zasilaniu napięciowym z uwzględnieniem elementów nieliniowych diod oraz tranzystorów []. Wówczas obwód magnetyczny główny i rozproszenie uwzględniane jest automatycznie i proces komutacji jest rozpatrywany prawidłowo. Obliczenia wymagają jednak silnego sprzętu komputerowego i trwają długo. Dla prowadzenia szybkich obliczeń przydatne są modele obwodowe transformatora, w których zarówno części magnetyczne jak i elektryczne opisuje się zwyczajnymi równaniami różniczkowymi. Wykorzystywany jest wówczas schemat zastępczy obwodu magnetycznego i postać macierzowa indukcyjności rozproszenia dla prawidłowego oddania procesu komutacji. W dotychczasowych pracach uwzględniano jedynie stałe wartości indukcyjności własnej rozproszenia (na diagonali macierzy indukcyjności rozproszenia) i to zazwyczaj jedynie dla uzwojeń o większej ilości zwoi. Prowadziło to do nieprawidłowych wyników komutacji diod w układach prostowniczych i niepewnych wartości zaników komutacyjnych napięcia. Przedstawiana w artykule metoda pozwala na zaprojektowanie zarówno schematu magnetycznego głównego jak i pełnej macierzy indukcyjności rozproszenia. Zachodzi dodatkowe pytanie, czy dla różnych składowych harmonicznych czasowych procesu jest możliwe uwzględnienie strat wiroprądowych w rdzeniu magnetycznym oraz w rozproszeniu. Wykazano zależność indukcyjności magnetycznej głównej, składowej zerowej i rozproszeniowej od pulsacji. W artykule przedstawiono sposób projektowania schematu zastępczego obwodu magnetycznego głównego i dokonano syntezy jego parametrów układami drabinkowymi. Pozwala to stworzyć schemat

2 zastępczy obwodowy prostowników zasilanych autotransformatorami, w pełni oddający zjawisko komutacji elementów prostowniczych. Proponowany układ drabinkowy umożliwia przejście od obliczeń monoharmonicznych impedancji [Z] autotransformatora (ze stratami w formie eliptycznej) do obliczeń dowolnych stanów przejściowych. Przyjęto następujący tok postępowania. Stosując metodę FEM D dla zadanych wektorów napięć uzwojeń autotransformatora oraz dla zadanej pulsacji, obliczano wektor prądów. Powtarzając tą czynność tyle razy, ile jest uzwojeń, zapełniano wektorami napięć i odpowiadających im prądów kolejne kolumny kwadratowych macierzy [U ] oraz [ I ], oraz zgodnie z () obliczano macierz impedancji autotransformatora [ Z ] [U ] [ I ]. Następnie projektowano schemat zastępczy obwodu magnetycznego głównego autotransformatora, zgodnie z rysunkiem 9, którego macierz impedancji [m] z wzoru () jest możliwie najbardziej zbliżona do obliczonej macierzy impedancji autotransformatora [ Z ]. Nieuwzględniona w schemacie zastępczym impedancja [ Z ] [m], jest rozumiana jako składowa rozproszeniowa i jest modelowana w [8].. Wyniki obliczeń monoharmonicznych Zostały przeprowadzone obliczenia autotransformatora kw z rysunku, dla przewodności żelaza blach γ = S/m oraz γ =, S/m. Były one opisane w [, 7]. Przyjęto anizotropowość blach, gdzie przenikalność magnetyczna w kierunku walcowania µz = µ, przy przenikalności magnetycznej powietrza µ = π -7 Vs/Am. Kierunek walcowania blach był zgodny z kierunkiem przepływu strumienia. Przekrój kolumny i jarzma to, m, szerokość rdzenia, m, wysokość,9 m. Wymiary okien wynoszą: wysokość,8 m, szerokość, m, a głębokość to, m. Współczynnik wypełnienia przyjęto kfe =,9. Obliczenia przeprowadzono przez przyjęcie dowolnych wektorów napięć zasilających autotransformator i otrzymywano wektor prądów uzwojeń im odpowiadających. Dla każdej zadanej częstotliwości powtarzano obliczenia tyle razy, ile było uzwojeń, czyli, a wyniki układano jako kolumny w kwadratowych macierzach napięć zasilających [U ] oraz prądów uzwojeń [I ]. Stąd otrzymywano impedancje uzwojeń (bez obwodów zewnętrznych) [Z] = [U ] [I ]- [R], gdzie [R] to macierz z wartościami rezystancji uzwojeń autotransformatora na diagonali. Alternatywny sposób postępowania polega na przyjmowaniu wektorów prądów uzwojeń i obliczaniu odpowiadających im wektorów napięć. Po ułożeniu tych wektorów, podobnie jak poprzednio, w kwadratowych macierzach napięć i prądów mamy zależność: [U ] [ Z ] [ I ]. Rys.. Autotransformator kw do pracy w układzie prostowniczym 8-pulsowym typu clean power, analizowany w artykule Przyjęty sposób postępowania (przyjmowanie wektorów napięć) lepiej służy wyodrębnieniu współczynników indukcyjności rozproszenia, ponieważ bardziej uwidacznia składowe prądu odpowiadające małym wartościom własnym macierzy [Z]. Dzięki działaniu odwrotności: [I] = [Z]- [U] w obliczanej macierzy prądów [I] są one zawarte bezpośrednio. Są to jakby próby zwarciowe. Alternatywny sposób postępowania (przyjmowanie wektorów prądów) lepiej odzwierciedla duże (składowe magnetyczne główne) wartości własne macierzy [Z], które odzwierciedlają się bezpośrednio w obliczanej macierzy napięć [U]. Są to jakby próby biegu jałowego. W przedstawianych w artykule obliczeniach korzystano z pierwszego sposobu (zadawanie wektorów napięć uzwojeń). Uzasadnieniem jest uwarunkowanie numeryczne problemu rozumiane jako stosunek największej do najmniejszej wartości własnej macierzy [Z]. Wynosi ono około e-. Dokładność stosowanej metody FEM D zapewniała błędy względne numeryczne o poziom mniejsze. Chodzi w tym przypadku o względną dokładność numeryczną rozwiązywania układu równań, mniej

3 o dokładność aproksymacji przestrzeni stosowanej metody FEM D. W razie kłopotów z dokładnością numeryczną metody FEM D, można stosować oba sposoby zadawania napięć i prądów. Z pierwszego (zadawanie napięć operujemy macierzą [Z]-) można wykorzystać w formie wartości i wektorów własnych tylko składowe rozproszeniowe, z drugiego (zadawanie prądów operujemy macierzą [Z]) tylko składowe magnetyczne główne i ewentualnie składową zerową (również jako wartości i wektory własne). Z tych składowych można złożyć pełną macierz impedancji autotransformatora [Z]. Takie postępowanie jest możliwe dzięki wzajemnej ortogonalności podprzestrzeni opartych na wektorach rozproszenia i wektorach obwodu magnetycznego głównego. W związku z tym ewentualne błędy zachodzą w jednej podprzestrzeni (o małych wartościach własnych), a druga podprzestrzeń o dużych wartościach własnych, (które są dodatkowo w przybliżeniu wzajemnie podobne wielkościowo) jest obliczana dokładnie. Macierz impedancji [Z], jako macierz zespolona symetryczna, była rozkładana na wartości własne [D] i wektory własne [W]: [U ] [ Z ] [ I ] [ Z ] [U ] [ I ] [ Z ] [W ] [W ] [ D ] [ Z ] [W ] [ D] [W ]t szeniu i podobnie zawierają części rezystancyjną i indukcyjną w połączeniu szeregowym. Główne obliczenia przeprowadzono dla przewodności blach γ. Rysunek przedstawia niezmienność wektorów własnych wraz z częstotliwością, sprawdzoną poprzez iloczyny tych samych wektorów, ale dla różnych pulsacji. Niezmienność ta sprzyja identyfikacji wartości własnych. Ortonormalność zespolonych wektorów własnych liczonych dla różnych pulsacji świadczy o tym, że zarówno indukcyjności główne jak i rozproszenia zachowują sposób swojego oddziaływania, mimo skrajnie różnych pulsacji. Pozwala to na ich łatwą identyfikację. Wyniki przedstawione na rysunku odpowiadają połączeniu szeregowemu zezwojów w uzwojeń według macierzy połączeń [ctr]: () gdzie wartościom własnym umieszczanym na diagonali [D] odpowiadają wektory własne ułożone kolumnami w [W]. Wartości własne z diagonali [D] można zapisać jako Dii = Ri + jωli, gdzie Ri oraz Li to rezystancja i indukcyjność zastępcza połączone szeregowo. Wartości własne opisują siłę działania wektorów własnych (sposób działania) i służą do ich identyfikacji. Zgodnie z [, 7] obwód główny przy uzwojeniach określają wektory własne główne [W] i [W], a składową zerową wektor [W]. Postacie idealne tych wektorów są następujace: [,,,,, -, -, -, -, -,,,,, ] [W ] t [,,,,,,,,,, -, -, -, -, -] [W ] t [,,,,,,,,,,,,,, ] Rys.. Iloczyny skalarne wektorów własnych z wektorami przy małej pulsacji przy grubości przewodów, m.(na rysunku podane są numery wartości własnych) mały zakres zmienności wokół [W ] t () Wektorom [W] i [W] odpowiadają wartości własne obwodu magnetycznego głównego, które są największe co do wartości bezwzględnej. Pozostałe wektory własne odpowiadają rozpro- Rys.. Iloczyny skalarne wektorów własnych z wektorami przy małej pulsacji przy grubości przewodów na każdej kolumnie x, m, x, m, przy połączeniu zezwojów w uzwojeń według schematu [ctr] ()

4 - 9 x 8 7 () * * - log(f[hz]) log(f[hz]) Rys.. Rezystancje i indukcyjności obwodu magnetycznego głównego (, ) i składowej zerowej ( powiększona razy) dla autotransformatora z przewodami nawojowymi o grubości, m w funkcji pulsacji -7. Prądy zezwojów [Izezw] dają się wyrazić przez prądy uzwojeń [Iuzw]: H () Pomimo łączenia zezwojów z różnych kolumn autotransformatora według macierzy [ctr ], ortogonalność odpowiadających sobie wektorów własnych dla różnych pulsacji jest zachowana. Mała zmienność wektorów własnych wraz z pulsacją pozwala na przyjmowanie ich jako kolumn napięć zasilających [U] przy obliczaniu impedancji autotransformatora według metody opisanej w rozdziale (wzór ()) dla kolejnych pulsacji: [U ] [ Z ] [ I ]. Przyspiesza to obliczenia, bo prądy (będące wynikiem obliczeń) w kolumnach [I] są do tych wektorów proporcjonalne. Tym niemniej próbowano też przyjmować dowolne napięcia w kolumnach macierzy kwadratowej [U], otrzymując zawsze tą samą macierz impedancji autotransformatora [Z]. Otrzymane przebiegi indukcyjności i rezystancji (w połączeniu szeregowym) wartości własnych autotransformatora przedstawione są na rysunkach i w funkcji pulsacji. Względną zmienność indukcyjności autotransformatora (w odniesieniu do jej wartości przy małej pulsacji) w funkcji pulsacji przedstawiają rysunki, 7 i 8. Względnemu przebiegowi indukcyjności autotransformatora przy połączeniu jego uzwojeń według macierzy [ctr] () z rysunku 8 odpowiada stałość wektorów własnych, również po tym połączeniu przedstawiona na rysunku. x..... log(f[hz])..... log(f[hz])....8 Ohm [ I zezw ] [ctr ] [ I uzw ] 7 H / / / / / / / [ctr ] / / / / / / / / Ohm.... Rys.. Przebieg indukcyjności i rezystancji rozproszeniowych (w połączeniu szeregowym) autotransformatora z przewodami nawojowymi o grubości, m w funkcji pulsacji : log(f[hz]).. Rys.. Względny przebieg indukcyjności autotransformatora o grubości przewodów nawojowych, m w funkcji pulsacji:, indukcyjności obwodu magnetycznego głównego, składowej zerowej, - składowych rozproszeniowych

5 log(f[hz]).. Rys. 7. Indukcyjności względne autotransformatora w funkcji pulsacji dla różnej grubości przewodów na kolumnie (x, m, x, m), numery indukcyjności podane są na rysunku schemat zastępczy autotransformatora przedstawiony na rysunku 9 oraz policzyć zastępcze długości kolumn a, b (a to kolumna środkowa). Podczas tych czynności myślą przewodnią jest, aby cała impedancja autotransformatora w tworzonym schemacie zastępczym była równa obliczonej w rozdziale impedancji [Z]. Dlatego różnicę między całkowitą impedancją [Z] oraz impedancją zamodelowaną w postaci obwodu magnetycznego głównego w schemacie zastępczym z rysunku 9, traktuje się jako impedancję rozproszenia i włącza do gałęzi uzwojeń autotransformatora (w postaci macierzowej lub zastępczego układu drabinkowego). Jest to tematem drugiego artykułu na SME 9 [8]. Rozważyć należy schemat zastępczy z rysunku 9 z dodatkowymi zwojami na kolumnach zwartymi przez admitancje Ga, Gb. Admitancje te odzwierciedlają straty wiroprądowe w rdzeniu log(f[hz]).. Rys. 8. Względny przebieg indukcyjności autotransformatora przy połączeniu zezwojów w uzwojeń w sposób podany przez macierz [ctr] w funkcji pulsacji (grubość przewodów na każdej kolumnie x, m, x, m). Tworzenie schematu obwodowego zastępczego autotransformatora Dysponując macierzą impedancji [Z] ze wzoru () można stosować ją zamiast autotransformatora w schemacie zastępczym obwodowym układu, którego częścią składową jest ten autotransformator. Jednak w ten sposób nie uwzględni się zależności strat od pulsacji, czy też zjawiska nasycenia magnetycznego. Dlatego wyodrębnia się z macierzy [Z] część odpowiadającą obwodowi magnetycznemu głównemu, w której można i trzeba modelować straty i nasycenie. Przy wyodrębnianiu tych składowych pomocne są wektory własne (), które je identyfikują. W ten sposób należy utworzyć Rys. 9. Trójkolumnowy schemat zastępczy obwodu magnetycznego głównego odzwierciedlający straty wiroprądowe w rdzeniu przy pomocy admitancji Ga, Gb Przez adl, bdl oznaczono długości kolumny środkowej i zewnętrznych, o tych samych przekrojach S. Przez La, Lb oznaczamy indukcyjności jednozwojowego uzwojenia na kolumnach schematu zastępczego z rysunku 9, przy z zastępczej przenikalności żelaza blach. Zakładamy przy tym, że obwodem magnetycznym jest tylko ta kolumna, na której jest zwój. Przy admitancjach Ga, Gb zwierających dodatkowe zwoje na tych kolumnach, otrzymujemy zastępcze indukcyjności kolumn ra (kolumna środkowa), rb (kolumny zewnętrzne), według wzorów: S La z adl S Lb z bdl ra a s Ga La rb s Gb b Lb ()

6 We wzorze () S to przekrój kolumn, s zmienna Laplace a. Macierz impedancji zastępczej schematu [m] z rysunku 9, która ma imitować indukcyjność obwodu magnetycznego głównego autotransformatora zapisujemy: U R ΦR IR U s Φ [m] I S S S UT ΦT IT r (r r ) b a b rb ra rr [m] s a b r b ra rb r r b a ra rb rb ra rr ab rb ra rr ab rb ra rb () rb ra rr ab rb ra rb (ra rb ) rb ra Przez porównanie tej macierzy z wynikami obliczeń metodą FEM D macierzy impedancji autotransformatora [Z] ze wzoru () otrzymamy zastępcze długości kolumn adl, bdl i admitancje Ga, Gb ze schematu zastępczego. Można to osiągnąć zakładając, że tak jak długości kolumn zmieniają się też admitancje kolumn a, b: xdl bdl b ra adl a rb (7) i wówczas macierz [m] przechodzi na macierz [m]: xdl ( a xdl ) xdl [m] s a ( xdl ) a ( xdl ) xdl a ( xdl ) a ( xdl ) xdl a ( xdl ) a ( xdl ) xdl a ( xdl ) a ( xdl ) xdl (8) Wartości własne macierzy [m] porównujemy z wartościami własnymi macierzy impedancji autotransformatora [Z] ze wzoru (). W celu doprowadzenia macierzy [m] do postaci diagonalnej (wartości własne) wymnażamy tą impedancję z lewej strony przez transponowaną idealną macierz wektorów własnych [V]t, a z prawej przez [V]. Postać idealna tych wektorów własnych w wersji -uzwojeniowej podana jest wzorem (), zaś dla wersji -uzwojeniowej (R, S, T) zapisujemy kolumny tej macierzy: [,, ] [V ]t [,, ] [V ]t [,, ] [V]t (9) Wektory [V]t, [V]t to składowe obwodu magnetycznego zastępczego głównego, [V]t to składowa zerowa. Otrzymujemy postać diagonalną macierzy (wartości własne [m] na diagonali [m ] ): ( x ) a dl [V ]t [m] [V ] [m] s a xdl () Aby utworzyć schemat zastępczy dla rozważanego autotransformatora -uzwojeniowego kolumnowego o macierzy impedancji [Z] ze wzoru (), należy sprowadzić go do postaci uzwojeniowej, jaką jest schemat zastępczy na rysunku 9. W tym celu mnożymy [Z] przez macierz połączeń [C]. Oznacza ona połączenie szeregowe uzwojeń na każdej kolumnie, tworząc autotransformator -uzwojeniowy. [ Z ] [C ]t [ Z ] [C ]; gdzie [C ]t () Obliczamy wartości własne dla macierzy [Z] i przyrównując je do postaci podanej w [m] (wzór ()) obliczamy a i xdl. Dla obliczenia wartości i wektorów własnych wykorzystujemy funkcję eig() z Matlaba. Dla macierzy symetrycznych zespolonych, takich jak macierz [Z] (niehermitowskich) funkcja eig() oblicza wektory własne ortogonalne, ale nie ortonormalne i dodatkowo trzeba je normalizować. Wektory własne macierzy [Z] są prawie identyczne z wektorami idealnymi z wzoru (9) (dokładność ~ ). Stosunek wartości własnych macierzy [ Z ] z wzoru (), który odpowiada stosunkowi wartości własnych modelu z rysunku 9, a więc [m] (czyli też bezpośrednio [m] ze wzoru ()) jest przedstawiony w funkcji pulsacji na rysunku.

7 . ra rb r r b a [m] [V ]t [m] [V ] s log(f[hz]).. Rys.. Stosunek wartości własnych macierzy [Z] (wzór ()) w funkcji pulsacji, gdzie: część rzeczywista, część urojona Stosunek wartości własnych [Z] z rysunku ([Z] z wzoru ()) przyrównywany jest do stosunku wartości własnych macierzy [m] (wzór ()), czyli ( xdl ) /( xdl ),, a stąd otrzymujemy xdl bdl / adl,77. Dla obliczenia długości kolumn adl, bdl schematu zastępczego z rysunku 9 posługujemy się wzorem na [m] (). Liczymy a z pierwszej i drugiej wartości własnych, powtarzamy to dla kilku małych pulsacji, a następnie liczymy średnią. Ze wzoru () widać, że dla małych pulsacji składnik s Ga w mianowniku może być pominięty i można stąd obliczyć adl,9 m, bdl,78 m. Z drugiej strony przyjęcie założenia (7) przy obliczeniu admitancji Ga, Gb może powodować niedokładności. Jest to spowodowane tym, że drobne błędy w długościach kolumn adl, bdl wpływają na duże wartości indukcyjności kolumn La i Lb (duże zmiany), a przez to na admitancje Ga, Gb, ponieważ obie te wielkości, tj. La i Ga występują w mianowniku wzoru (). Dla większych pulsacji można zakwestionować założenie (7), ponieważ pojawia się wówczas dodatkowo wpływ przejścia kolumn w jarzma w obwodzie magnetycznym autotransformatora. Widać to na rysunku. Dlatego lepiej jest posłużyć się wzorem () na macierz [m] lub też jej wartościami własnymi (na diagonali [m] ), które otrzymujemy korzystając z wektorów własnych [V] ze wzoru (9). 7 rb () Druga wartość własna m (, ) bezpośrednio daje wartość rb i ze wzoru () wartość admitancji Gb. Wartość własna m (, ) pozwala na obliczenie ra i ze wzoru () admitancji Ga. Czynności te były wykonywane dla rozważanych pulsacji. W ten sposób admitancje były liczone niezależnie od siebie, a nie ze wzoru (7). We wzorze tym założona zależność Gb / Ga xdl może być zaburzona z powodu niedokładności obliczenia indukcyjności kolumn La czy Lb. Dobrze jest też nieco (~ ) zmniejszyć długości kolumn a, b w schemacie zastępczym. Wpływa to stabilizująco na obliczane admitancje Ga, Gb, które muszą zrównoważyć tę zmianę. Admitancje Ga i Gb są syntetyzowane przy pomocy układu drabinkowego Cauera z elementów L, R. Najpierw jednak są przybliżane funkcją wymierną zmiennej s j o stopniu w liczniku i w mianowniku: Z a, b as bs cs ds e Ga, b s fs gs h () W tym celu każda impedancja Za, Zb jest mnożona przez mianownik, a następnie podstawiane jest s j dla każdej pulsacji, dla której wykonywano obliczenia. W ten sposób dla każdej pulsacji otrzymuje się dwa równania na współczynniki x [a, b, c, d, e, f, g, h] jedno dla części rzeczywistej, drugie dla części urojonej tych równań. Dodatkowo część urojoną i rzeczywistą równań mnoży się przez odpowiednie współczynniki zwane wagami. Zastosowane wagi w funkcji pulsacji są przedstawione na rysunku. Syntetyzowany układ jest typu RL, co powoduje wzrost współczynników układu równań dla wyższych pulsacji. Zadaniem wag jest wyrównywanie wartości tych współczynników przez ich zmniejszanie dla pulsacji wyższych. Otrzymany układ równań posiada macierz prostokątną o liczbie wierszy równej podwojonej ilości punktów pulsacji branych pod uwagę oraz o 8 kolumnach odpowiadających obliczanym niewiadomym współczynnikom rozwinięcia ().

8 8 Tabela. Parametry schematów drabinkowych Cauera z rys. dla impedancji Za,b. L G L G L G L G log(f[hz]).. Rys.. Logarytm dziesiętny z wag dla części rzeczywistej () i części urojonej () równań (), dla obliczania współczynników syntezy admitancji Ga,b w funkcji pulsacji log(f[hz]) log(f[hz])... W tabeli zestawione są obliczone parametry układów drabinkowych z rysunku dla impedancji Za,b... Rys.. Układ drabinkowy czteroczłonowy Cauera syntetyzujący impedancje Za,b ze schematu zastępczego na rysunku 9, które odzwierciedlają wpływ prądów wirowych w blachach autotransformatora Rys.. Przebieg rezystancji R i reaktancji L impedancji Za=/Ga bocznikującej zezwój na kolumnie środkowej w funkcji pulsacji, przebieg obliczony z wartości własnych (FEM D), przebieg (kropki) układu syntetyzującego metodą Cauera. R [Ohm] Rozwiązanie otrzymuje się metodą minimalnego błędu średniokwadratowego (LMS) mnożąc równanie przez macierz transponowaną do macierzy układu. W ten sposób dla kolumny środkowej obliczono postać funkcji wymiernej ze wzoru () dla impedancji Za bocznikującej zezwój na tej kolumnie, przedstawiony na rysunku 9. Podobnie obliczono impedancję Zb dla kolumn zewnętrznych. Przy obliczaniu współczynników rozwinięć () x [a, b, c, d, e, f, g, h] kierowano się żądaniem, aby zarówno licznik jak i mianownik funkcji wymiernej () były stabilne. Wpływ na to miał dobór współczynników wag dla tych równań przedstawiony na rysunku. Impedancje Za,b=/Ga,b były następnie syntetyzowane metodą Cauera o schemacie drabinkowym przedstawionym na rysunku. Układ ten umożliwia przejście od obliczeń monoharmonicznych impedancji [ Z ], a więc też Za,b do obliczeń stanów przejściowych z dowolną zawartością harmonicznych w przebiegach. Na rysunkach i przedstawiono przebiegi rezystancji i reaktancji impedancji Za i Zb otrzymanych opisaną metodą z wartości własnych impedancji autotransformatora [Z] (otrzymanych metodą FEM D) oraz syntetyzowanych układem drabinkowym Cauera z rysunku. w L [Ohm]. R [Ohm] Zb,77e,878 7,88e,89 -,99 -,7,99 9 w L [Ohm] log(wag) - -. Za,8e,77,7 -,7 -,777,,98 7,8. -. log(f[hz]) log(f[hz]) Rys.. Przebieg rezystancji R i reaktancji L impedancji Zb=/Ga bocznikującej zezwój na kolumnie środkowej w funkcji pulsacji: przebieg obliczony z wartości własnych (FEM D), przebieg (kropki) układu syntetyzującego metodą Cauera

9 gdzie Z est [ p] [V ] [m] [V ] [ p] p p p p [ ] p p p p i p [ ] p p p () Na rysunku przedstawiono porównanie wartości własnych obwodu magnetycznego głównego dla macierzy autotransformatora [Z] (wzór (), metoda FEM D) oraz syntetyzowanego [Zest] z wzoru () x s s L [H] R [Ohm] Lokalne minima reaktancji L impedancji Za,b na rysunkach i można uzasadnić konfrontując je z przebiegiem indukcyjności magnetycznych głównych z rysunków, w funkcji pulsacji. Należy jednak zauważyć, że na rysunkach, przedstawione są indukcyjności, na rysunkach i reaktancje. Zgodnie z wzorem () indukcyjności L impedancji Za,b bocznikują indukcyjności kolumn La,b schematu zastępczego z rysunku 9, które są stałe (zadane wzorem ()). A więc zmienność indukcyjności L impedancji Za,b wraz z pulsacją musi zapewnić zmiany indukcyjności magnetycznych głównych z rysunków,. Przy dużych pulsacjach następuje ustalanie się wartości tych indukcyjności magnetycznych głównych, a zatem również indukcyjności L impedancji Za,b na pewnym małym poziomie. Na rysunkach, indukcyjności L boczników Za,b są przedstawione w formie reaktancji (pomnożone przez pulsację ). To mnożenie przez pulsację jest więc powodem wystąpienia minimów na tych rysunkach w przebiegu reaktancji L impedancji Za,b. Dla otrzymania pełnej postaci impedancji schematu zastępczego z rysunku 9 [Zest], ale z pięcioma uzwojeniami na każdej kolumnie, należy przeprowadzić odwrotne postępowanie niż prowadzone do tej pory, w celu syntezy układów drabinkowych Za, Zb. W tym celu oblicza się macierz [m] z wzoru (), korzystając z syntetyzowanych układem Cauera impedancji Za, Zb, długości kolumn adl, bdl oraz wzorów (). Następnie korzysta się z wektorów własnych [V] z wzoru (9) oraz macierzy [p], która przekształca układ -uzwojeniowy na -uzwojeniowy 9 s s - log(f[hz]) log(f[hz]) Rys.. Wartości własne (, ) obwodu magnetycznego głównego (w połączeniu szeregowym rezystancji R i indukcyjności L) obliczone z macierzy [Z] ze wzoru () oraz z układu syntetyzowanego [Zest] z wzoru () oznaczone s i s (przebieg kropkowany) Z rysunku można wywnioskować, że uzyskano dobrą reprezentację przez schemat zastępczy z rysunku 9, zjawiska wypierania strumienia magnetycznego w blachach autotransformatora przez indukowane w nich prądy wirowe.. Uwagi i wnioski Względną przenikalność magnetyczną żelaza w kierunku walcowania przyjęto jako. Jest to uśrednienie przybliżenia liniowego, które uwzględnia też powierzchnie styku między pakietami blach na drodze strumienia magnetycznego. Tym niemniej wydaje się, że jest to wielkość nieco zaniżona. Obliczenia dla większej wartości przenikalności potwierdzają jednak wnioski przedstawione w artykule. Wektory własne określają sposób działania wartości własnej, zaś wartość własna określa siłę tego działania. Obliczenia stanów przejściowych metodą FEM D opisaną w [] dają dokładne wyniki, lecz długo trwają. Dlatego wygodnie jest stosować metodę obwodową zarówno do obwodów magnetycznych jak i elektrycznych. Duża zmienność indukcyjności głównej wraz z częstotliwością, zgodnie z rysunkami,, wymaga wówczas również uwzględnienia strat, ale w odpowiedni sposób obwodowy. Straty wiroprądowe obwodu magnetycznego głównego zaproponowano modelować przy pomocy zwojów na kolumnach schematu zastępczego z rysunku 9, zwartych odpowiednio dobranymi admitancjami Ga,b. Admitancje te z kolei modelowane są układami drabinkowymi z rysunku. Nasycenie obwo-

10 du magnetycznego należy modelować na schemacie na rysunku 9 standartowymi metodami [, ]. Podstawową metodą stosowaną do obliczania przedstawianych współczynników indukcyjności wzorem () była metoda FEM D [, 7]. Aby zachować właściwą wartość impedancji autotransformatora [Z] z (), różnicę [ E ] [ Z ] [ Z est ], która stanowi składową zerową i rozproszeniową modeluje się oddzielnie. Jest to tematem drugiego referatu na tym SME 9 [8].. Literatura [] Gołębiowski L., Gołębiowski M., Mazur D.: Models of Multipulse Electrical Energy Converters with Multiwinding, th IEEE Symposium on Diagnostics for Electric Machines, Power Electronics and Drives, Kraków, 7, ss. - [] Gyselinck J., Vandevelde L., Melkebeek J., Dular P., Henrotte F., Legros W.: Calculations of eddy currents and associated losses in electrical steel laminations, IEEE Transactions on Magnetic, IEEE Magnetics Society, Volume, Issue, Part, May 999, ss. 9-9 [] Lewicki J., Gołębiowski M.: Metody obliczania indukcyjności rozproszeń autotransformatorów wielouzwojeniowych, Przegląd Elektrotechniczny, Warszawa, nr, 7, Wydawnictwo SIGMA-NOT, ss. -8 [] Jezierski E.: Transformatory, Podstawy teoretyczne, WNT, Warszawa, 9 [] Zakrzewski K.: Oszacowanie efektu mocy w blachach magnetycznych w ujęciu eliptycznej pętli histerezy, Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napę- dów i Pomiarów Elektrycznych Politechniki Wrocławskiej, Seria: Studia i Materiały, Wrocław, Nr /8, 8, ss. 8- [] Noga M., Gołębiowski L., Gołębiowski M., Mazur D.: Modelowanie macierzy indukcyjności transformatorów wielouzwojeniowych, trójkolumnowych w funkcji częstotliwości, XVIII Seminarium Technicznego, KOMEL Katowice, 9 r. [7] Gołębiowski L., Gołębiowski M., Mazur D.: Możliwości obliczeń metodą FEM D stanów przejściowych oraz monoharmonicznych transformatorów wielouzwojeniowych trójkolumnowych, VIII Seminarium Naukowe WZEE 8, BiałystokBiałowieża, - IX 8 [8] Lewicki J., Gołębiowski L., Gołębiowski M., Mazur D.: Indukcyjność rozproszenia transformatorów wielouzwojeniowych, trójkolumnowych, SME 9, Krasiczyn Autorzy Prof. dr hab. inż. Marian Noga, M.Noga@cyfronet.krakow.pl Akademia Górniczo-Hutnicza, Katedra Automatyki Napędu i Urządzeń Przemysłowych, Al. A.Mickiewicza, -9 Kraków, Dr hab. inż. Lesław Gołębiowski, prof. PRz, golebiye@prz.rzeszow.pl Mgr inż. Marek Gołębiowski yegolebi@prz.rzeszow.pl Dr inż. Damian Mazur, mazur@prz.rzeszow.pl Politechnika Rzeszowska, Wydział Elektrotechniki i Informatyki, ul. W. Pola, -99 Rzeszów