Politechnika Gdańska Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska. Ireneusz Marzec

Transkrypt

1 Politechnika Gdańska Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Ireneusz Marzec Zastosowanie modelu sprężysto-plastycznego betonu z degradacją sztywności i nielokalnym osłabieniem do modelowania elementów betonowych cyklicznie obciążonych Praca doktorska Promotor: prof. dr hab. inż. Jacek Tejchman Gdańsk 2008

2

3 Spis treści Summary Spis ważniejszych symboli Symbole łacińskie Symbole greckie Rozdział 1. Wstęp Wprowadzenie Cel pracy Zakres i struktura pracy Rozdział 2. Opis betonu Wprowadzenie Właściwości mechaniczne betonu Proste i złożone stany naprężenia Obciążenia cykliczne Modele konstytutywne do opisu betonu Modele sprężyste Modele sprężysto-plastyczne Mechanika uszkodzeń Modele sprężysto-plastyczne z degradacją sprężystą - modele połączone Stal zbrojeniowa Model konstytutywny Kontakt między zbrojeniem a betonem Rozdział 3. Problem regularyzacji i teoria nielokalna Informacje ogólne Teoria nielokalna Modele nielokalne Podstawy termodynamiczne modeli nielokalnych Modele sprężysto-plastyczne Modele degradacji sprężystej Inne metody regularyzacji Rozdział 4. Implementacja nielokalnych modeli połączonych Metoda elementów skończonych Implementacja do programu Abaqus Standard Implementacja modeli lokalnych Implementacja modeli nielokalnych Pozostałe aspekty implementacji Kontakt między stalą i betonem

4 4 Spis treści Rozdział 5. Weryfikacja modeli nielokalnych dla obciążeń statycznych Elementy betonowe Próbki rozciągane Próbki ściskane Belki betonowe Elementy żelbetowe Badania doświadczalne Model sprężysto-plastyczny Model degradacji sprężystej Model degradacji w formie prawa sprężysto-plastycznego Podsumowanie obliczeń dla elementów żelbetowych Rozdział 6. Weryfikacja modeli nielokalnych dla obciążeń cyklicznych Dane doświadczalne i parametry MES Belki zginane jedną siłą skupioną Belki zginane dwoma siłami skupionymi Obliczenia numeryczne Model połączony sprężysto-plastyczny z degradacją sprężystą wg Pamina i de Borsta Model połączony dwupowierzchniowy z degradacją w formie warunku sprężysto-plastycznego wg Hansena Rozdział 7. Wnioski końcowe i dalsze prace Spis rysunków Spis tablic Bibliografia Lista publikacji i referatów Czasopisma z listy ISI Web of Knowledge Materiały konferencyjne

5 Summary The analysis of concrete and reinforced concrete elements is complex due to occurrence of strain localization in concrete. Strain localization which is a fundamental phenomenon in concrete under both quasi-static and dynamic conditions can occur in the form of cracks (if cohesive properties are dominant) or shear zones (if frictional properties prevail). The determination of the width and spacing of strain localization is crucial to evaluate the material strength at peak and in the post-peak regime. To describe properly strain localization within continuum mechanics models should be enhanced by a characteristic length of micro-structure. The presence of the characteristic length allows us to take into account inhomogeneities triggering strain localization (e.g. size and spacing of micro-defects, aggregate size, fiber spacing) and to describe a size effect (dependence of strength and other mechanical properties on the size of the specimen) observed experimentally on brittle specimens. One of the several approaches within continuum mechanics to include a characteristic length and to preserve the well-posedness of the underlying incremental boundary value problem in engineering materials is non-local theory. Thus, objective and properly convergent numerical solutions for localized deformation (mesh-insensitive load-displacement diagram and mesh-insensitive deformation pattern) are achieved. To describe the behavior of concrete different approaches were used. An elasto-plastic model with isotropic hardening and softening using a Drucker-Prager and Rankine criterion, model based on isotropic continuum damage mechanics, and two coupled-elasto-plastic damage models which represent a different concepts of coupling between elasto-plasticity and damage theory. First an isotropic coupled damage-plasticity formulation based on a model by Pamin and de Borst [91] was used. This formulation assumes that total strains are equal to strains in undamaged skeleton (effective strains). The plastic flow can occur only in the undamaged specimen, so the elasto-plastic model is defined in terms of effective stresses. As a consequence, the damage is based on strain tensor and it does not affect plasticity. In the second idea of coupling damage was formulated in the spirit of plasticity by adopting the concepts of a strain rate decomposition (model with two loading surfaces). This coupled plastic-damage model was build using Carol Rizzi and Willam [23, 24] formulation of elastic degradation connected with plasticity according to Hansen and Willam model [42, 43]. The model assumes that the damage approach can better simulate the behavior of concrete under tension while plasticity is more suitable to describe the concrete behavior under compression. According to this assumption, a failure envelope was created by combining a Drucker-Prager formulation in compression with a damage formulation based on a conjugate force tensor and pseudo-log damage rate in tension. As a regularization technique in all implemented formulation, a non-local theory was used.

6 6 Summary The FE-simulations of the crack formation were performed for concrete elements under various quasi-static and cyclic loading scenarios. Firs for plain concrete elements subjected to uniaxial tension, compression and bending and reinforced concrete beam without shear reinforcement subjected to bending. And finally the FE-analysis for concrete beams under cyclic bending were presented. All numerical results were compared with corresponding laboratory tests.

7 Spis ważniejszych symboli Symbole łacińskie C e C s D e D s D D E E s f f 1 f 2 f c f d f p f s f t f G g H I 1 I1 ε II de k J 2 L rs L l c M m P + p q S początkowy tensor sprężystości sieczny tensor sprężystości początkowy tensor podatności sieczny tensor podatności parametr degradacji dyssypacja energii moduł sprężystości betonu moduł sprężystości stali funkcja plastyczności, funkcja aktywacji obciążenia warunek plastyczności Drucker-Pragera warunek plastyczności Rankine a wytrzymałość betonu w jednoosiowym ściskaniu warunek plastyczności dla powierzchni degradacji warunek plastyczności warunek plastyczności Hubera-Misesa wytrzymałość betonu w jednoosiowym rozciąganiu wektor sił masowych moduł ścinania potencjał plastyczny moduł wzmocnienia/osłabienia pierwszy niezmiennik tensora naprężenia pierwszy niezmiennik tensora odkształcenia drugi niezmiennik dewiatora tensora odkształcenia stosunek f c /f t w definicji odkształceń zastępczych drugi niezmiennik dewiatora tensora naprężenia pseudo-logarytmiczny tensor degradacji pseudo-logarytmiczny parametr degradacji długość charakterystyczna tensor efektów uszkodzeń parametr nielokalny operator rzutowania naprężenie średnie naprężenie efektywne von Misesa pole przekroju objętości reprezentatywnej

8 8 Spis ważniejszych symboli S Y ŷ ij dewiator naprężenia energia odkształcenia sprężystego składnik tensora sił połączonych Symbole greckie α funkcja wagowa, parametr wykładniczego prawa degradacji β kąt tarcia wewnętrznego, parametr wykładniczego prawa degradacji δ przemieszczenie względne pomiędzy stalą a betonem w definicji kontaktu ε tensor odkształceń całkowitych ε e tensor odkształceń sprężystych ε p tensor odkształceń plastycznych ε d tensor odkształceń spowodowanych degradacją ε tensor odkształceń efektywnych ε odkształcenia zastępcze (miara odkształceń efektywnych) ε nielokalne odkształcenie zastępcze (nielokalna miara odkształceń efektywnych) ɛ intensywność odkształcenia κ parametr wzmocnienia/osłabienia, parametr historii uszkodzenia κ nielokalna wartość parametru κ κ 0 początkowa wartość parametru historii obciążenia/uszkodzenia κ 1 parametr wzmocnienia/osłabienia dla kryterium Rankine a κ 2 parametr wzmocnienia/osłabienia dla kryterium Drucker-Pragera κ s parametr wzmocnienia/osłabienia dla kryterium Hubera-Misesa κ u graniczna wartość parametru osłabienia λ mnożnik plastyczny, stała Lame go µ stała Lame go ν współczynnik Poissona dla betonu ν s współczynnik Poissona dla stali σ tensor naprężenia (Cauchy ego) σ tensor naprężeń efektywnych σ c granica plastyczności dla betonu w jednoosiowym ściskaniu σ t granica plastyczności dla betonu w jednoosiowym rozciąganiu σ y granica plastyczności stali τ naprężenie przyczepności na styku stali i betonu φ ij tensor spójności (ang. integrity tensor) φ ij tensor odwrotny do tensora spójności (ang. inverse integrity tensor) ψ kąt dylatancji

9 Rozdział 1 Wstęp 1.1. Wprowadzenie Beton jest materiałem stosowanym w budownictwie od czasów starożytnych. Projektowanie elementów betonowych i żelbetowych oparte jest o przepisy normowe, które bazują przede wszystkim na wynikach badań eksperymentalnych. Zaproponowane formuły wynikają zazwyczaj z analizy liniowej i są dodatkowo wzbogacone o liczne współczynniki bezpieczeństwa. Taki opis zachowania elementów betonowych i żelbetowych jest zbyt dużym uproszczeniem, zwłaszcza przy dokładnej analizie pracy tych elementów. Dlatego konieczne jest uwzględnienie w ich opisie przede wszystkim nieliniowego zachowania podczas procesu obciążania, a także niejednorodności materiału. Zachowanie betonu może być traktowane jako liniowe jedynie w niewielkim zakresie odkształceń. Beton jest materiałem kruchym bądź quasi-kruchym. Charakteryzuje się on znacznym i nagłym spadkiem naprężeń po osiągnięciu maksymalnej nośności zarówno w przypadku ściskania jak i rozciągania. Dodatkowo towarzyszy temu zjawisko koncentracji odkształceń w niewielkich obszarach - tzw. strefach lokalizacji odkształceń. Obciążenia cykliczne prowadzą ponadto do znacznej redukcji sztywności. W przypadku elementów żelbetowych pojawia się również problem kontaktu między stalą i betonem oraz jego wpływ na zachowanie całego elementu. Modele obliczeniowe do analizy niesprężystej takiego materiału powinny prawidłowo symulować: spadek nośności w fazie osłabienia, redukcję sztywności podczas obciążeń cyklicznych oraz powstanie i rozwój deformacji plastycznych. Wyniki numeryczne powinny być także niezależne od zastosowanej siatki MES. Niestety stosowanie klasycznych praw konstytutywnych z osłabieniem w połączeniu z metodą elementów skończonych prowadzi do otrzymania niepoprawnych wyników. Uzyskane krzywe siła - przemieszczenie są zależne od przyjętej siatki MES, a odkształcenia koncentrują się w pasmach o szerokości jednego elementu. Aby temu zapobiec konieczne jest rozszerzenie klasycznych modeli konstytutywnych poprzez wprowadzenie tzw. regularyzacji. Jedną z możliwości jest zastosowanie teorii nielokalnej. Sprowadza się ona zasadniczo do zastąpienia lokalnych parametrów modelu, wyznaczonych w danym punkcie materialnym, ich nielokalnymi odpowiednikami, otrzymanymi poprzez operację przestrzennego uśredniania w obszarze sąsiedztwa rozważanego punktu. W konsekwencji do równań konstytutywnych wprowadzona zostaje długość charakterystyczna odnosząca się do mikrostruktury materiału. Zastosowanie długości charakterystycznej zapewnia uniezależnienie otrzymanych wyników numerycznych od przyjętej siatki elementów skończonych. Dodatkowo pozwala także na symulowanie deterministycznego efektu skali.

10 10 Rozdział 1. Wstęp 1.2. Cel pracy Celem pracy jest numeryczna symulacja zachowania się elementów betonowych i żelbetowych poddanych obciążeniom statycznym i cyklicznym. Analiza poprzedzona została implementacją nielokalnych modeli połączonych sprężysto-plastycznych z degradacją sztywności do programu Abaqus Standard. Model pierwszy bazuje na pracy Pamina i de Borsta [91]. Połączenie plastyczności i degradacji następuje z wykorzystaniem teorii równoważności odkształceń oraz podziału odkształceń sprężystych i plastycznych w przestrzeni naprężeń efektywnych. Drugi model to połączenie sprężysto-plastycznego kryterium Drucker-Pragera w ściskaniu z kryterium degradacji sztywności zapisanym w formie powierzchni plastyczności w rozciąganiu. Powierzchnia degradacji w rozciąganiu zbudowana jest w oparciu tensor sił połączonych (teoria równoważności energii) oraz pseudo-logarytmiczny parametr degradacji (prace Carola, Rizzi ego i Willama [22, 23, 24] oraz Hansena i Willama [42, 43]). Oba sformułowania zostały zregularyzowane poprzez wprowadzenie do równań konstytutywnych długości charakterystycznej przy zastosowaniu teorii nielokalnej. Obliczenia przeprowadzono dla elementów płaskich oraz przestrzennych. Nowością jest implementacja oraz porównanie nielokalnych modeli połączonych zbudowanych w oparciu o różne koncepcje łączenia plastyczności i degradacji. Szczególną uwagę poświęcono zdolności analizowanych sformułowań do poprawnego symulowania procesów towarzyszących cyklicznemu obciążaniu elementów betonowych Zakres i struktura pracy Praca składa się z siedmiu rozdziałów. Rozdział pierwszy to wprowadzenie. Przedstawiono w nim cel i zakres pracy. Rozdział drugi poświęcony jest opisowi najważniejszych cech mechanicznych betonu. Zawarte są w nim podstawowe informacje na temat właściwości mechanicznych betonu istotnych z punktu widzenia pracy. Następnie obejmuje on krótki przegląd kontynualnych modeli matematycznych służących do opisu betonu. Szczególną uwagę poświecono modelom sprężysto-plastycznym i modelom zbudowanym w oparciu o kontynualną mechanikę uszkodzeń. W rozdziale tym opisano także modele, które wykorzystano w niniejszej pracy. Należą do nich kryteria Drucker-Pragera i Rankine a, izotropowy model degradacji oraz dwa modele sprężysto-plastyczne z degradacją sprężystą. Pierwszy z nich to model bazujący na propozycji Pamina i de Borsta [91], drugi natomiast to model dwupowierzchniowy na bazie propozycji Hansena [42]. Rozdział trzeci dotyczy problemu regularyzacji w obliczeniach numerycznych przy zastosowaniu MES i teorii nielokalnej jako jednej z metod regularyzacji. W rozdziale tym opisano podstawy teorii nielokalnej, ze szczególną uwagą w odniesieniu do modeli sprężysto-plastycznych oraz modeli degradacji sprężystej. Rozdział czwarty poświęcony jest różnym aspektom implementacji zastosowanych modeli do programu Abaqus Standard. W rozdziale przedstawiono podstawowe założenia przyjęte podczas implementacji opisanych wcześniej modeli betonu. Rozdział zawiera także opis zastosowanych algorytmów. Weryfikacja zaimplementowanych modeli przedstawiona została w rozdziale piątym i szóstym. Wyniki obliczeń numerycznych porównano z dostępnymi w literaturze danymi doświadczalnymi. Rozdział piąty zawiera wyniki obliczeń dla elementów obciążonych

11 1.3. Zakres i struktura pracy 11 monotonicznie. Wykorzystano między innymi prace Kormelinga i Reinhardta [59] oraz Hordijka [46] (belki betonowe), a także van Vlieta i van Miera [121] (próbki rozciągane). Rozdział ten zawiera także wyniki obliczeń numerycznych dla żelbetowych belek zginanych z badań Walravena [123] przy zastosowaniu nielokalnego modelu sprężysto-plastycznego oraz nielokalnego izotropowego modelu degradacji sprężystej. W rozdziale szóstym przedstawiono wyniki symulacji numerycznych dla belek betonowych obciążonych cyklicznie. Obliczenia przeprowadzono dla belek badanych przez Perdikarisa i Romeo [92] oraz Hordijka [46]. Rozdział siódmy zawiera wnioski końcowe i stanowi podsumowanie pracy. Praca doktorska powstała w Katedrze Podstaw Budownictwa i Inżynierii Materiałowej na Wydziale Inżynierii Lądowej i Środowiska Politechniki Gdańskiej pod kierownictwem prof. Jacka Tejchmana. Wszystkie symulacje numeryczne, których wyniki zamieszczono w niniejszej pracy, wykonano na superkomputerach Centrum Informatycznego Trójmiejskiej Akademickiej Sieci Komputerowej w ramach grantu obliczeniowego CI TASK. Chciałbym szczególnie podziękować dr inż. Jerzemu Bobińskiemu za wprowadzenie mnie w problematykę implementacji modeli nielokalnych, a także za konstruktywną krytykę opracowanych przeze mnie algorytmów.

12

13 Rozdział 2 Opis betonu 2.1. Wprowadzenie Skomplikowane zachowanie betonu, wynikające z jego kompozytowej natury, wymaga zastosowania odpowiednich modeli konstytutywnych do jego opisu. Istnieje obecnie wiele koncepcji matematycznego opisu betonu. Na początku tego rozdziału przedstawiono podstawowe i istotne z punktu widzenia mechaniki informacje dotyczące właściwości betonu. W dalszej części rozdział zawiera przeglądowy opis istniejących praw - modeli matematycznych opisujących zachowanie betonu. Skoncentrowano się na modelach ośrodka ciągłego. Opis dotyczy praw opartych na: teorii plastyczności, mechanice uszkodzeń oraz koncepcjach łączących oba te sformułowania. Niektóre opisane modele będą przedstawione jedynie w formie skrótowej wraz z odpowiednimi odniesieniami do literatury, w której można znaleźć ich pełny opis Właściwości mechaniczne betonu Beton jest ośrodkiem wieloskładnikowym. Składa się z kruszywa o różnej frakcji i matrycy cementowej, często zawiera również pustki i mikroszczeliny wypełnione powietrzem lub wodą. Sam beton występuje w konstrukcjach rzadko, zazwyczaj jest on uzbrojony prętami stalowymi (żelbet), których zadaniem jest przenoszenie naprężeń rozciągających. Beton może być dodatkowo modyfikowany poprzez zastosowanie włókien ciągłych (siatkobetony) lub włókien rozproszonych (fibrobetony). Właściwości betonu będą zatem zależeć od bardzo wielu czynników. Podstawowe jednak znaczenie dla właściwości mechanicznych ma zaczyn cementowy a następnie zastosowane kruszywo. Szczegółowy opis właściwości betonu w różnych stanach obciążeń zawierają między innymi prace Klisińskiego i Mroza [57] oraz Godyckiego-Ćwirko [40] Proste i złożone stany naprężenia Jak pokazują badania doświadczalne Kostovosa [60] i Kupfera [64] zachowanie betonu zależy od tego czy rozpatrujemy proste czy złożone stany naprężenia. Przy jednoosiowym ściskaniu beton zachowuje się liniowo-sprężyście do około 30% swojej wytrzymałości na ściskanie f c. Po przekroczeniu tej wartości jego zachowanie staje się nieliniowe. Ten nieliniowy przyrost naprężeń przed osiągnięciem wartości f c nosi nazwę wzmocnienia (ang. hardening). Po osiągnięciu wytrzymałości na ściskanie krzywa opada aż do momentu zniszczenia próbki - materiał ulega degradacji i następuje spadek sztywności (ang. softening). W zakresie 0.3f 0.75f c następuje rozwój mikrorys na

14 14 Rozdział 2. Opis betonu skutek zrywania połączeń pomiędzy poszczególnymi składnikami, dodatkowo rysy wokół ziaren kruszywa zaczynają się łączyć. Rozwój mikrospękań można uznać za stabilny do momentu gdy naprężenia osiągną wartość 0.75f c. W tym momencie następować zaczyna gwałtowny rozwój uszkodzeń. Rysy w zaczynie łączą się z rysami powstałymi na styku kruszywa i zaczynu co w rezultacie prowadzi do powstania rys równoległych do kierunku przykładania obciążenia. Czasem zamiast kierunku równoległego do obciążenia rysy mogą przybierać formę zygzaków - zależnie od wysokości próbki. Dalszy ich rozwój prowadzi w konsekwencji do zniszczenia próbki. Dla betonów o niskiej wytrzymałości spadek sztywności po osiągnięciu wytrzymałości f c jest stosunkowo niewielki. Jednak wraz ze wzrostem wytrzymałości obserwuje się gwałtowny spadek sztywności materiału - materiał staje się coraz bardziej kruchy (Rys. 2.1). Na kształt krzywej wpływa także prędkość z jaką przykładane jest obciążenie. Wzrost prędkości obciążenia prowadzi do wzrostu wytrzymałości betonu (rys. 2.2). Rysunek 2.1: Zależność σ ε dla betonów o różnych wytrzymałościach f c [57] W przypadku jednoosiowego rozciągania beton zachowuje się podobnie, z tą różnicą, że rozwój mikroszczelin ma zdecydowanie większy wpływ na jego właściwości. Beton zachowuje się liniowo-sprężyście w zakresie około 60% wytrzymałości na rozciąganie f t. Przyjmuje się, że jest to wartość przy której rozpoczyna się propagacja mikrorys (w kierunku prostopadłym do działającej siły), która w konsekwencji prowadzi do gwałtownego spadku nośności i zniszczenia próbki. Rozwój mikrorys jest przyczyną powstania nieciągłości przemieszczeń i uwidacznia się poprzez lokalizację strefy zniszczenia. Mała wytrzymałość betonu na rozciąganie jest spowodowana głównie niewielką wytrzymałością połączenia zaczyn-kruszywo, która jest znacznie mniejsza od wytrzymałości samego zaczynu. To w tym miejscu zazwyczaj następuje powstanie i rozwój rys prowadzących do zniszczenia materiału. W przeciwieństwie do ściskania, przy rozciąganiu rysy powstają w kierunku prostopadłym do kierunku maksymalnych naprężeń rozciągających.

15 2.2. Właściwości mechaniczne betonu 15 Rysunek 2.2: Zależność σ ε dla ściskania przy różnych prędkościach [57] Zarówno w ściskaniu jak i w rozciąganiu zaobserwować można powstanie odkształceń trwałych. Ich powstaniu na poziomie makroskopowym odpowiada uplastycznienie się materiału - materiał przestaje pracować w fazie sprężystej. Odkształcenia trwałe są efektem mechanizmów dyssypacji energii na poziomie mikroskopowym. Mechanizm dyssypacji jest w betonie jednak zupełnie inny niż np. w metalach, gdzie dyssypacja następuje głównie na skutek dyslokacji w strukturze krystalicznej. W betonie dyssypacja spowodowana jest przede wszystkim utratą połączenia między ziarnami i zaczynem, tarciem na powierzchni styku zaczyn-kruszywo, obrotami i wyrywaniem ziaren kruszywa z zaczynu a także zmiażdżeniem ziaren. Rysunek 2.3: Zależność σ ε w dwuosiowym ściskaniu wg badań Kupfera i innych [64] W przypadku ściskania dwuosiowego (rys. 2.3) obserwuje się wzrost maksymalnych naprężeń ściskających σ 1 w porównaniu ze stanem jednoosiowym. Wzrost ten wynosi maksymalnie 25% w przypadku gdy naprężenia prostopadłe (do kierunku naprężeń σ 1 )

16 16 Rozdział 2. Opis betonu są równe σ 2 = 0.5σ 1. Dla ściskania z rozciąganiem następuje praktycznie liniowy spadek maksymalnych naprężeń ściskających wraz ze wzrostem naprężeń rozciągających. Wreszcie w dwuosiowym rozciąganiu wytrzymałość materiału jest prawie taka sama jak przy rozciąganiu jednoosiowym. Wykresy zmian objętościowych przy ściskaniu dwuosiowym przedstawiono na rys Wzrost objętości pojawia się przed osiągnięciem maksymalnych naprężeń. Jest on stosunkowo gwałtowny na skutek progresywnego wzrostu mikrorys w betonie. Wkresy zmian objętości są bardzo zbliżone do otrzymanych w stanie jednoosiowego ściskania. Rysunek 2.4: Wykresy zmian objętości przy dwuosiowym ściskaniu [57] Rysunek 2.5: Zależność σ ε w trójosiowym ściskaniu wg badań Kostovosa i Newmana [60] W dostępnych w literaturze testach trójosiowych beton badany jest zazwyczaj w osiowo-symetrycznym stanie naprężenia. W badaniach Kostovosa i Newmana [60] próbki obciążane były początkowo ciśnieniem hydrostatycznym, a następnie zwiększano lub zmniej-

17 2.2. Właściwości mechaniczne betonu 17 szano wielkość obciążenia pionowego. Wyniki badań pokazują wyraźny wzrost wytrzymałości wraz ze wzrostem ciśnienia bocznego (rys. 2.5). Wynika to z faktu, że decydujący wpływ na właściwości mechaniczne betonu ma rozwój mikrorys, który został w tym przypadku zahamowany wskutek wzrostu ciśnienia. Kształt powierzchni granicznej opisującej maksymalne stany naprężenia dla betonu w złożonym stanie naprężenia jest stosunkowo dobrze znany. Przybliżony kształt tej powierzchni pokazano na rys Charakteryzuje się ona swoistą symetrią. Zmiana osi naprężeń głównych nie wpływa bowiem na jej kształt. Jest to równoznaczne z symetrią względem trzech płaszczyzn oraz niezmienniczością przy obrocie względem osi hydrostatycznej σ 1 = σ 2 = σ 3 o kąt będący wielokrotnością 2 π (Klisiński i Mróz [57]). 3 Rysunek 2.6: Kształt powierzchni granicznej w przestrzeni naprężeń głównych (Klisiński i Mróz [57]) Obciążenia cykliczne Osobną grupę zagadnień stanowią właściwości betonu pod obciążeniem cyklicznym. Kolejne cykle obciążania i odciążania pokazują spadek sztywności materiału (zmniejszenie kąta nachylenia krzywej) dla następujących po sobie pętli. Spadek sztywności wynika z powstania i propagacji rys w betonie. Zjawisko to nosi nazwę degradacji sztywności lub degradacji sprężystej. Cyklicznemu przykładaniu obciążenia towarzyszy silna nieliniowość krzywej naprężenie - odkształcenie. Obserwuje się również wyraźne pętle histerezy, które są przejawem tarcia wewnętrznego i rozpraszania energii wewnętrznej (rys. 2.7). Zachowanie betonu cyklicznie rozciąganego i ściskanego przedstawiono schematycznie na rys Na skutek zmiany kierunku obciążenia, z rozciągania na ściskanie, rysy prostopadłe do kierunku działania obciążenia ulegają zamknięciu. W konsekwencji materiał odzyskuje początkową sztywność. Zjawisko to nosi nazwę stiffness recovery.

18 18 Rozdział 2. Opis betonu a) b) Rysunek 2.7: Zależność σ ε dla betonu poddanego cyklicznemu ściskaniu (a) (Karsan i Jirsa, 1969) oraz σ u dla betonu cyklicznie rozciąganego (b) (Reinhardt i inni, 1986) Rysunek 2.8: Zachowanie betonu pod obciążeniem cyklicznym (na podstawie Ramtani, 1990)

19 2.3. Modele konstytutywne do opisu betonu 19 W literaturze dostępne są wyniki badań dla elementów betonowych obciążonych cyklicznie. Problematyką tą zajmowali się między innymi Hordijk [46] (rys. 2.9), a także Perdikaris i Romeo [92]. Badali oni belki betonowe poddane cyklicznemu zginaniu. Wyniki ich prac eksperymentalnych wykorzystano w niniejszej pracy do weryfikacji modeli połączonych. Rysunek 2.9: Zależność P u dla belki betonowej cyklicznie zginanej z badań Hordijka [46] 2.3. Modele konstytutywne do opisu betonu Modele sprężyste Modele sprężyste opisują procesy w pełni odwracalne, w których nie następuje dyssypacja energii. Beton zachowuje się liniowo jedynie w niewielkim zakresie obciążeń, stąd też modele te mogą być stosowane jedynie do analizy elementów o dużym zapasie nośności. Najprostszym modelem matematycznym opisującym zachowanie materiału jest prawo Hooke a. Przedstawia ono liniowy związek pomiędzy tensorem naprężenia a tensorem odkształcenia σ ij = C e ijklε kl, (2.1) gdzie C e ijkl jest tensorem stałych materiałowych. Liczba stałych materiałowych dla materiału liniowo sprężystego izotropowego redukuje się do dwóch (moduł sprężystości E i współczynnik Poissona ν). Relację odwrotną można zapisać wprowadzając tensor podatności D e ijkl ε ij = D e ijklσ kl. (2.2) W ogólnym przypadku tensory sprężystości i podatności mają postać C ijkl = λδ ij δ kl + µ (δ ik δ jl + δ il δ jk ), D ijkl = ν E δ ijδ kl ν 2E (δ ikδ jl + δ il δ jk ), (2.3)

20 20 Rozdział 2. Opis betonu gdzie λ i µ są stałymi Lame go, zdefiniowanymi jako νe λ = (1 + ν) (1 2ν), µ = E 2 (1 + ν). (2.4) Do tej grupy modeli można również zaliczyć modele hipersprężyste i hiposprężyste. W modelach tych zależność naprężenie - odkształcenie nie jest już liniowa, zapewniona jest jednak pełna odwracalność procesu odkształcenia [57] Modele sprężysto-plastyczne Modele te pozwalają na opis trwałych deformacji materiału związanych z dyssypacją energii w trakcie procesu odkształcania. W opisie zachowania materiału rozróżniamy dwa stany. Pierwszy to obciążanie, w trakcie którego następuje przyrost odkształceń trwałych (plastycznych). Stan drugi to odciążanie, materiał w tym stanie zachowuje się sprężyście. Jako pierwszy sformułowanie sprężysto-plastyczne zaproponował Tresca w Przedstawił on warunek uplastycznienia dla metali zwany dzisiaj warunkiem plastyczności Treski. Jego prace w zakresie teorii plastycznego płynięcia były rozwijane przez Saint - Venanta [103] i Lévy ego [69]. Duży wkład w rozwój teorii plastyczności mają także Huber i von Mises [81] oraz Prandtl i Reuss [98]. Zgodnie z założeniem klasycznej teorii plastyczności na całkowity przyrost odkształceń składa się przyrost odkształceń sprężystych i plastycznych dε = dε e + dε p. (2.5) Granice pomiędzy stanem sprężystym a plastycznym definiuje warunek plastyczności f (σ, κ) = 0. (2.6) Funkcja f określa granice obszaru sprężystego w przestrzeni naprężeń. Zależy ona od tensora naprężeń σ i parametru wzmocnienia/osłabienia κ. Przyrost naprężeń odpowiadający przyrostowi odkształceń sprężystych wynosi dσ = C e : (dε dε p ). (2.7) Przyrost odkształceń plastycznych wyznacza się w oparciu o prawo płynięcia dε p = dλ p g (σ) σ, (2.8) gdzie dλ p jest nieujemnym mnożnikiem plastycznym, a g funkcją potencjału plastycznego. Przypadek gdy funkcja potencjału jest tożsama z funkcją plastyczności (f = g) odpowiada tzw. stowarzyszonemu prawu płynięcia. Rysunek 2.10 obrazuje przyrosty odkształceń sprężystych i plastycznych dla danego przyrostu naprężeń (przypadek jednowymiarowy). Przy odciążeniu materiał zachowuje sztywność początkową C e. Materiał ulega uplastycznieniu w chwili gdy naprężenia osiągają powierzchnie plastyczności. Dalsze obciążanie prowadzi do rozwoju odkształceń plastycznych. Całkowite naprężenia nie mogą jednak wyjść poza powierzchnie plastyczności, określa to relacja f (σ, κ) = f σ : σ + f λ p : λ p = 0. (2.9)

21 2.3. Modele konstytutywne do opisu betonu 21 Rysunek 2.10: Przyrost odkształceń sprężystych i plastycznych (przypadek jednowymiarowy) Zatem gdy materiał ulegnie uplastycznieniu (f = 0) możliwe są dwa przypadki obciążanie f (σ, κ) = 0, λ p > 0 odciążanie f (σ, κ) < 0, λ p = 0. (2.10) Warunki obciążania i odciążania można ostatecznie zapisać w postaci (Kuhn-Tucker) f (σ, κ) 0, λp 0, f (σ, κ) λ p = 0. (2.11) Dodatkowo dla modeli ze stowarzyszonym prawem płynięcia zastosowanych w niniejszej pracy można zapisać relację pomiędzy mnożnikiem plastycznym i parametrem wzmocnienia przy użyciu parametru η (parametr ten zależy od zastosowanego prawa) dκ = ηdλ. (2.12) Dla zapewnienia obiektywności funkcję plastyczności f oraz potencjał plastyczny g definiuje się korzystając z niezmienników tensora naprężenia σ. W tym celu wykorzystuję się definicję pierwszego niezmiennika I 1 tensora naprężenia a także drugiego niezmiennika J 2 dewiatora naprężenia I 1 = trσ = σ 11 + σ 22 + σ 33 (2.13) J 2 = 1 2 S : S = 1 6 [ (σ11 σ 22 ) 2 + (σ 22 σ 33 ) 2 + (σ 33 σ 11 ) 2] + σ σ σ (2.14) W powyższym wyrażeniu S oznacza dewiator tensora naprężenia σ S = σ trσ I. (2.15) 3

22 22 Rozdział 2. Opis betonu Dodatkowo z uwagi na implementację praw sprężysto-plastycznych do programu Abaqus Standard [1] w niniejszej pracy wykorzystano również niezmienniki naprężenia p i q. Pierwszy z nich oznacza naprężenia średnie p = trσ 3 = σ 11 + σ 22 + σ 33, (2.16) 3 natomiast drugi intensywność naprężenia (naprężenia efektywne von Misesa) q = 3 S : S. (2.17) 2 Pomiędzy niezmiennikami p i q oraz I 1 i J 2 można zapisać następujące zależności p = 1I 3 1 I 1 = 3p q 2 = 3J 2 J 2 = 1 3 q2. (2.18) Wyróżnić można wiele sposobów matematycznego opisu zachowania betonu. Istniejące modele pozwalają na opis betonu poddanego ściskaniu oraz rozciąganiu. Jednym z prostszych sformułowań pozwalających właściwie symulować zachowanie betonu zarówno w ściskaniu jak i rozciąganiu jest model dwupowierzchniowy wykorzystujący kryteria Drucker-Pragera i Rankine a. W rozciąganiu beton opisany jest jednoparametrowym warunkiem plastyczności Rankine a. Natomiast w ściskaniu zachowanie betonu zdefiniowane jest za pomocą liniowego kryterium Drucker-Pragera. Połączenie obu tych warunków pozwala na prosty ale i kompletny opis betonu w zagadnieniach statycznych. Takie rozwiązania dla problemów dwu- i trójwymiarowych zastosowali między innymi Feenstra i de Borst [36] a także Bobiński [15]. Nielokalny sprężysto-plastyczny model zaimplementowany przez Bobińskiego w oparciu o dwa wspomniane kryteria wykorzystano również w tej pracy w obliczeniach numerycznych belek żelbetowych Kryterium Drucker-Pragera Do opisu zachowania betonu w ściskaniu przyjęto w niniejszej pracy liniowe kryterium Drucker-Pragera (rys. 2.11) z izotropowym wzmocnieniem i osłabieniem. f 1 (σ, κ 1 ) = q + p tan β (1 1 ) 3 tan β σ c (κ 1 ), (2.19) gdzie σ c jest granicą plastyczności w jednoosiowym ściskaniu, β kątem tarcia wewnętrznego, a κ 1 parametrem wzmocnienia/osłabienia. Formalnie parametr κ 1 równy jest wartości bezwzględnej odkształcenia plastycznego w jednoosiowym ściskaniu ε p 11. Zastosowano niestowarzyszone prawo płynięcia z funkcją potencjału g 1 = q + p tan ψ, (2.20) gdzie ψ jest kątem dylatancji. Przy czym przypadek ψ = β oznacza stowarzyszone prawo płynięcia. Prawo płynięcia zdefiniowano jako dε p = dλ c g 1 (σ) σ, (2.21)

23 2.3. Modele konstytutywne do opisu betonu 23 gdzie dλ c oznacza mnożnik plastyczny. Wykorzystując wzór 2.20 oraz pochodne niezmienników p i q p σ = 1 3 I, prawo płynięcia otrzymuje następującą postać q σ = 3S 2q, (2.22) ( 3S dε p = dλ c 2q + 1 ) 3 I tan ψ. (2.23) a) b) c) d) Rysunek 2.11: Interpretacja geometryczna warunku plastyczności Drucker-Pragera w przestrzeni naprężeń głównych (a), na płaszczyźnie p q (b), w płaszczyźnie oktaedrycznej (c) oraz na płaszczyźnie hydrostatyczno dewiatorowej ξ ρ (d) Dla przypadku jednoosiowego ściskania można zatem zapisać relację pomiędzy przyrostem parametru wzmocnienia a mnożnikiem plastycznym dκ 1 = dε p 11 = (1 1 3 tan ψ ). (2.24) Hipoteza odkształceniowego wzmocnienia (Bendarski [10]) zakłada, że parametr wzmocnienia κ jest równoważny zastępczemu odkształceniu liniowemu ɛ. Przyrost zastępczego

24 24 Rozdział 2. Opis betonu odkształcenia linowego (zwany także intensywnością odkształcenia lub odkształceniem efektywnym) określony jest następująco 1 d ɛ = 2 3 II de, (2.25) gdzie II de jest drugim niezmiennikiem dewiatora przyrostu odkształcenia II de = 2 de de de (de de de 2 31), tr (dε) de = dε I. 3 Zatem na podstawie definicji prawa płynięcia 2.23 można zapisać (2.26) dκ 1 d ɛ = dλ c = 1 1. (2.27) tan ψ 3 W literaturze można również spotkać inną definicję przyrostu parametru wzmocnienia (Sluys [109], Pamin [88]) dκ = 2 3 dεp : dε p. (2.28) Kryterium Drucker-Pragera można również zapisać jako funkcję niezmienników naprężenia I 1 oraz J 2 lub zmiennych ξ i ρ (rys. 2.11d) f 1 (I 1, J 2 ) = J 2 αi 1 k, (2.29) f 1 (ξ, ρ) = ρ 6αξ 2k, (2.30) gdzie ξ = I 1 / 3 oraz ρ = 2J 2. W obu równaniach parametry k i α oznaczają stałe materiałowe Kryterium Rankine a Wspomniane wyżej kryterium Rankine a z izotropowym osłabieniem ma następującą postać f 2 (σ, κ 2 ) = max {σ 1, σ 2, σ 3 } σ t (κ 2 ), (2.31) gdzie σ t jest granicą plastyczności w rozciąganiu, κ 2 parametrem osłabienia a σ 1 σ 3 oznaczają wartości główne tensora naprężenia. Geometryczną interpretację tego warunku (rys. 2.12) stanowią trzy płaszczyzny prostopadłe do osi σ 1, σ 2 oraz σ 3. Z równania (2.31) wynika, iż warunek plastyczności posiada osobliwości w miejscach przecięcia się poszczególnych płaszczyzn. Przyrosty odkształceń plastycznych wyznacza się z zależności 3 dε p f 2,i = dλ 2,i i=1 σ. (2.32)

25 2.3. Modele konstytutywne do opisu betonu 25 a) b) c) d) Rysunek 2.12: Interpretacja geometryczna warunku plastyczności Rankine a w przestrzeni naprężeń głównych (a), dla płaskiego stanu naprężenia (b), w płaszczyźnie oktaedrycznej (c) oraz na płaszczyźnie ξ ρ (d) Zatem dla poszczególnych powierzchni (i = 1, 2, 3) otrzymuje się dε p i = dλ 2,i f 2,i σ i = dλ 2,i, (2.33) gdzie dλ 2,i jest mnożnikiem plastycznym odpowiadającym płaszczyźnie f 2,i. wzmocnienia przyjęto jako Parametr κ 2 = ε p 1 + k KR (ε p 2 + ε p 3), (2.34) gdzie ε p i oznaczają główne odkształcenia plastyczne, a k KR jest współczynnikiem uwzględniający wpływ sąsiednich powierzchni w obszarach osobliwych. Jego wartość wynosi

26 26 Rozdział 2. Opis betonu k KR = 0 (Lourenço [71]) lub k KR = 1 (Pivonka i inni [96]). Ostatecznie przyrost parametru wzmocnienia jest równy dκ 2 = dλ 2,1 + k KR (dλ 2,2 + dλ 2,3 ). (2.35) W celu zdefiniowania ewolucji granicy plastyczności σ t przyjęto liniowe prawo osłabienia (rys. 2.13) w postaci ( σ t (κ 2 ) = f t 1 κ 2 κ u ), (2.36) przy czym zachodzi dodatkowo σ t (κ 2 κ u ) = 0. Zamiast osłabienia liniowego można także zdefiniować osłabienie w formie funkcji wykładniczej zaproponowanej przez Hordijka [46] ( κ 2 σ t (κ 2 ) = f t {[1 + c 1 κ u ) 3 ] ( ) κ 2 exp c 2 κ u κ } ( ) c 3 κ 1 exp ( c2 ), (2.37) u gdzie stałe wynoszą c 1 = 3.0 oraz c 2 = Kryterium Rankine a zastosowano w niniejszej pracy w obliczeniach numerycznych dla belek żelbetowych. Rysunek 2.13: Zależność σ t κ 2 w formie funkcji liniowej dla kryterium Rankine a Inne sformułowania sprężysto-plastyczne Przedstawiony w punkcie warunek plastyczności Drucker-Pragera charakteryzuje się liniową zależnością pomiędzy naprężeniem średnim p a intensywnością naprężenia q - oznacza to liniowy charakter południków w płaszczyźnie p q. Ponadto z uwagi na niezależność od trzeciego niezmiennika naprężenia kryterium to charakteryzuje się kołowym przekrojem na płaszczyźnie dewiatorowej. Obie te właściwości nie odpowiadają rzeczywistemu zachowaniu betonu. W celu usunięcia tych ograniczeń stosowano różne modyfikacje warunków plastyczności. Willam i Warnke [124] zaproponowali pięcio- oraz trójparametrowe kryteria zniszczenia dla betonu. Oba sformułowania charakteryzowały się przekrojem dewiatorowym składającym się z trzech wzajemnie stycznych odcinków elips. Natomiast na płaszczyźnie p q zastosowano paraboliczne lub liniowe południki

27 2.3. Modele konstytutywne do opisu betonu 27 ściskania i rozciągania. Czteroparametrowe kryteria zniszczenia z niekołowym przekrojem na płaszczyźnie dewiatorowej zaproponowali także Ottosen [87] oraz Hsieh i inni [47]. Pramono i Willam [97] oraz Etse i Willam [34] zaproponowali sformułowania oparte o tzw. model Leona. W pierwszym przypadku zastosowano nieliniową funkcję opartą o maksymalne i minimalne wartości naprężeń głównych. Natomiast w drugim przypadku wykorzystano tzw. rozszerzony model Leona. Kształt powierzchni zniszczenia na płaszczyźnie dewiatorowej opisano funkcją eliptyczną (Willam i Warnke [124]). Zastosowano dodatkowo niestowarzyszone prawo płynięcia oraz izotropowe nieliniowe prawo wzmocnienia/osłabienia wykorzystujące wartość naprężenia hydrostatycznego. Menétrey i Willam [79] zaproponowali także kryterium charakteryzujące się parabolicznymi południkami ściskania i rozciągania oraz zmieniającym się przekrojem w płaszczyźnie dewiatorowej. Warunek plastyczności dla tego kryterium ma postać f(ρ, ξ) = ( ) ρ + m f c ( ρ 6fc r (θ, e) + ξ 3fc ) c, (2.38) gdzie θ jest kątem Lodego, e mimośrodem odpowiadającym za kształt krzywej w płaszczyźnie dewiatorowej, a r funkcją eliptyczną. Parametr c określa wielkość kohezji. Natomiast współczynnik m wyrażony jest wzorem m = 3 f 2 c f 2 t f c f t e e + 1. (2.39) W sformułowaniu tym do opisu materiału wystarczają jedynie trzy parametry: f c, f t oraz r (θ) Mechanika uszkodzeń Informacje ogólne Idea makroskopowego opisu degradacji materiału spowodowanej rozwojem mikrorys prowadzącym w konsekwencji do powstania rysy na poziomie makroskopowym zapoczątkowana została przez Kaczanowa w 1958 roku (Lemaitre i Chaboche [68], Lemaitre [67]). Dalszy wkład w jej rozwój poprzez wprowadzenie koncepcji odkształceń efektywnych był udziałem Rabotonova (Lemaitre [67]). Prawdziwy jednak rozwój sformalizowanej teorii mechaniki uszkodzeń (ang. continuum damage mechanics - CDM ) przypada na lata 70-te i 80-te. W tym okresie powstało wiele modeli CDM bazujących na zasadach termodynamiki i mikromechaniki. Wielkości w mechanice kontinuum definiowane są w konkretnym punkcie. Jednakże z fizycznego punktu widzenia oraz z uwagi na heterogeniczne właściwości materiału jakim jest beton, wielkości te powinny być traktowane jako uśrednione po pewnej objętości. Tą określoną objętość przyjętą nazywać objętością reprezentatywną (ang. representative volume element - RVE) [67]. Jej wielkość zależy od rodzaju materiału. Konsekwencją takiego założenia jest konieczność uśrednienia po rozważanej objętości naprężeń i odkształceń. W myśl tego, w celu określenia degradacji materiału w punkcie M, rozważmy objętość reprezentatywną RVE zorientowaną w przestrzeni poprzez płaszczyznę zdefiniowaną przez wektor do niej normalny n i odciętą x. Wielkość degradacji D (M, n, x) w punkcie M w kierunku wektora n i odciętej x definiuje się jako

28 28 Rozdział 2. Opis betonu Rysunek 2.14: Interpretacja geometryczna definicji degradacji w ramach objętości reprezentatywnej (Lemaitre [67]) D (M, n, x) = δs D x δs, (2.40) gdzie δs jest powierzchnią przekroju rozważanej płaszczyzny w komórce reprezentatywnej RVE, a δs Dx oznacza efektywną powierzchnię przekroju wszystkich mikrorys i pustek na powierzchni δs o odciętej x (rys. 2.14). Łatwo zauważyć, że tak zdefiniowana wielkość degradacji zmieniać się będzie w przedziale od zera (brak uszkodzeń) do jedności (całkowite zniszczenie). Zniszczenie komórki reprezentatywnej RVE w kierunku wektora n zapisać można zatem jako D (M, n) = max D (M, n, x) = δs D x δs, (2.41) gdzie δs D oznacza najbardziej zniszczony przekrój na kierunku n. Tak zdefiniowana degradacja poprzez zależność od wektora n pozwala uwzględnić anizotropie materiału. Natomiast założenie o równomiernym rozłożeniu mikroszczelin i kapilar na poziomie mikroskopowym w RVE jest równoznaczne z przyjęciem materiału izotropowego na poziomie makroskopowym. W takim wypadku zmienna D (M, n, x) jest niezależna od przyjętego kierunku. W zaimplementowanych modelach opisanych w niniejszej pracy ograniczono się właśnie do takiego izotropowego przypadku. Koncepcja naprężeń efektywnych używana w mechanice uszkodzeń może być wyprowadzona bezpośrednio z wyżej sformułowanej definicji. Rozważmy przypadek jednoosiowego rozciągania ze skalarnym parametrem degradacji. Z uwagi na uszkodzenia (degradację) pole przekroju ulega redukcji. Powstaje tzw. efektywne pole przekroju obliczone jako różnica (S S D ) wyjściowego nienaruszonego pola przekroju i całkowitej powierzchni mikrorys. Zatem naprężenia nie mogą być dalej równe σ = F/S. Zastąpione zostają one naprężeniami efektywnymi σ σ = F S S D = σ 1 D σ. (2.42) Powyższe sformułowanie nosi nazwę odkształceniowego (ang. strain based formulation). Wiąże się ono z koniecznością określenia degradacji tensora sztywności. Można

29 2.3. Modele konstytutywne do opisu betonu 29 również zastosować podejście odwrotne, w którym definiuje się ewolucję tensora podatności. Jest to tzw. sformułowanie naprężeniowe (ang. stress based formulation), w tym wypadku można zapisać ε = (1 D) ε. (2.43) Można zatem wyróżnić dwie konfiguracje. Wyjściową, fikcyjną - określającą materiał w stanie nienaruszonym oraz aktualną - opisującą materiał z uszkodzeniami. Przyjęto, że naprężenia i odkształcenia efektywne odnoszą się do nienaruszonego szkieletu materiału. Prawo konstytutywne łączące naprężenia i odkształcenia efektywne (opisujące zachowanie materiału w konfiguracji bez uszkodzeń) ma postać σ = C e : ε, ε = D e : σ, (2.44) gdzie C e i D e są odpowiednio początkowymi (niezniszczonymi) tensorami sztywności i podatności. Aby połączyć ze sobą wielkości w konfiguracji fikcyjnej (efektywnej) i aktualnej konieczne jest wprowadzenie parametru degradacji. Można w tym celu zastosować hipotezę równoważności odkształceń (Lemaitre [66]) ε = ε σ = M 1 : σ C s = M 1 : C e D s = D e : M, (2.45) gdzie M jest tensorem efektów uszkodzeń (ang. damage effect tensor), a C s i D s oznaczają sieczne tensory sztywności i podatności. Druga metoda polega na zastosowaniu hipotezy równoważności naprężeń w obu konfiguracjach (Simo i Ju [107]) σ = σ ε = M : ε C s = C e : M 1 D s = M : D e. (2.46) W ogólnym przypadku w obu powyższych sformułowaniach tensory C s i D s są niesymetryczne. Istnieje także trzecia możliwość powiązania ze sobą wielkości w obu konfiguracjach. Metoda ta opiera się na hipotezie równoważności energii sprężystej (Cordebois i Sidoroff [27]) dodatkowo zachodzi Y = Ỹ 1 2 σ : (Cs ) 1 : σ = 1 2 σ : (Ce ) 1 : σ, (2.47) σ = M 1 : σ ε = M : ε. (2.48) W sformułowaniu tym zapewniona jest pełna symetria tensorów sztywności i podatności C s = M 1 : C e : M 1 D s = M : D e : M. (2.49) W ogólności do opisu ewolucji tensorów C s i D s konieczne jest zdefiniowanie aż 21 niezależnych zmiennych. W praktyce jednak często stosuje się rozwiązania uproszczone. W najprostszym przypadku zestaw parametrów uszkodzenia może być wielkością skalarną (Mazars [77]). Można również zastosować wielkości wektorowe (Krajcinovic i Fonseka [61])

30 30 Rozdział 2. Opis betonu lub w formie tensorów drugiego (Dragon i Mróz [30], Carol i inni [23, 24]) bądź czwartego rzędu (Simo i Ju [107], Carol i inni [22]). Przy czym jedynie stosowanie tensorów rzędu dwa i wyżej pozwala właściwie symulować anizotropie materiału. Istotnym problemem w modelowaniu betonu jest uwzględnienie otwierania i zamykania się rys w trakcie procesów rozciągania i ściskania. W takim wypadku pojawia się problem różnej sztywności materiału w ściskaniu i rozciąganiu. Najczęstszym sposobem rozwiązania tego problemu jest stosowanie operatorów rzutowania (są to zazwyczaj tensory czwartego rzędu) do podziału tensora odkształcenia (bądź naprężenia) na część dodatnią i ujemną (Ortiz [85], Simo i Ju [107]). Istnieją liczne modele do opisu betonu bazujących na mechanice uszkodzeń. Krajcinovic i Fonseka [61] zaproponowali dla swojego modelu prawo, w którym degradacja opisana była poprzez wektor D (X I, t). Wektor określał degradację w płaszczyźnie normalnej do kierunku X I w czasie t. Był on zdefiniowany jako D = ω N N, gdzie ω N określało gęstość porów w przekroju prostopadłym do wektora normalnego N. Prawo to sformułowano na podstawie eksperymentów na skałach, betonie i materiałach ceramicznych. Wektorową reprezentację degradacji zastosowali również Suaris i Shah [112]. W ich przypadku wektor ω i miał kierunek normalny do powierzchni rysy i wartość równą jej polu. Dalej dokonywana była operacja sumowania wszystkich wektorów skojarzonych z mikrorysami w sąsiedztwie rozważanego punktu. Zgodnie z przyjętym założeniem degradacja rozpoczynała się w kierunku maksymalnych głównych odkształceń rozciągających. Vakulenko i Kachanov [118] jako pierwsi zaproponowali reprezentację degradacji w formie tensora drugiego rzędu. Zastosowali oni tensor opisujący gęstość rys otrzymywany jako diada wektora określającego kierunek (normalnego do powierzchni rys) i wektora opisującego skok przemieszczeń. Dragon i Mróz [30] zaproponowali sformułowanie wykorzystując podobny operator drugiego rzędu. Założyli jednak dodatkowo, że wszystkie powierzchnie rys mają tą samą normalną n (k) = n = (n 1, 0, 0), co ograniczało degradację do jednej powierzchni. Betten [14] zaproponował koncepcję tensora przeciwnego do tensora degradacji φ ij = δ ij D ij (ang. integrity tensor). Koncepcję tą rozwijał następnie Valanis [119] Izotropowy model degradacji Jednym z zastosowanych w niniejszej pracy modeli degradacji jest izotropowy model degradacji typu 1 D zapisany w postaci (sformułowanie odkształceniowe) σ = (1 D) C e : ε. (2.50) Zaletą tego sformułowania jest prostota implementacji przy jednoczesnej efektywności i poprawności dla szerokiej grupy problemów brzegowych. W celu sprawdzenia czy w materiale następuje rozwój uszkodzeń zastosowano funkcję aktywacji obciążenia f ( ε, κ) = ε κ, (2.51) gdzie κ oznacza parametr historii uszkodzenia zdefiniowany jako { } κ (t) = max max ε (τ), κ 0. (2.52) τ t

31 2.3. Modele konstytutywne do opisu betonu 31 Oznacza to, że κ określa maksymalną wartość odkształcenia zastępczego ε jaką materiał mógł osiągnąć podczas całej historii obciążania, aż do chwili czasu t. Nie może być ona jednak mniejsza od wartości początkowej κ 0 inicjującej proces degradacji. Równanie f = 0 opisuje powierzchnię obciążenia w przestrzeni odkształceń podobnie jak funkcja plastyczności w przestrzeni naprężeń. Kształt i rozmiar powierzchni zależy od przyjętej definicji odkształceń zastępczych oraz od parametru κ. Jeżeli odkształcenia nie wychodzą poza powierzchnie (f < 0) w materiale nie następuje wzrost degradacji. Degradacja może zatem rosnąć jedynie gdy odkształcenia zastępcze osiągną wartość graniczną tzn. dla przypadku f = 0. Ogólne prawo opisujące wzrost degradacji ma więc postać g (D, ε) ε dla f = 0 i Ḋ = ḟ = 0 i D < 1 0 gdy inaczej. (2.53) Najprostszym, często stosowanym prawem opisującym rozwój degradacji jest liniowe prawo osłabienia (rys a,d) κ c κ κ 0 D = κ κ c κ 0 dla κ < κ c 1 dla κ κ c. (2.54) Wadą tego sformułowania jest liniowa zależność σ ε w obszarze osłabienia, która nie odpowiada rzeczywistemu zachowaniu się betonu. Lepszym rozwiązaniem jest zastosowanie wykładniczego prawa ewolucji, dla którego zależność σ ε ma charakter nieliniowy (Mazars i Piajaudier-Cabot [78], Peerlings [93, 94]) D = 1 κ 0 κ ( 1 α + αe β(κ κ 0 ) ), (2.55) gdzie α i β są parametrami określającymi szybkość wzrostu degradacji. Degradacja w tym sformułowania dąży asymptotycznie do wartości 1. Oznacza to, że materiał formalnie nigdy nie osiągnie całkowitego zniszczenia. W konsekwencji dla ε naprężenia osiągają pewną rezydualną wartość. Taki charakter krzywej σ ε odpowiada danym doświadczalnym. Do opisu degradacji można również zastosować definicję zaproponowaną przez Geersa [38] (rys c,f) 1 ( ) β ( ) α κ 0 κc κ D = κ κ c κ 0 dla κ < κ c 1 dla κ κ c. (2.56) Parametr β opisuje rozwój degradacji w początkowym etapie, natomiast parametr α odpowiada za kształt krzywej osłabienia dla materiału w fazie prawie całkowitego zniszczenia. Poza rozwojem degradacji konieczne jest również zdefiniowanie odkształceń zastępczych ε w równaniu Główna trudność we właściwym określeniu wielkości odkształceń zastępczych polega na tym, że konieczne jest odzwierciedlenie wielkości tensorowej w wielkość skalarną, z zachowaniem wpływu poszczególnych składników tensora odkształceń na przyrost degradacji. Do zdefiniowania odkształceń zastępczych można wykorzystać energię odkształcenia sprężystego (Lemaitre i Chaboche [68])