Modelowanie rzeczywistości - jak w komputerze przegląda się świat
|
|
|
- Jarosław Daniel Leszczyński
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Modelowanie rzeczywistości - jak w komputerze przegląda się świat Robert Skiba Wydział Matematyki & Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Toruń Sierpień, 2009 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
2 Rysunek: 2002,2004,2007 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
3 Rysunek: 2002,2004,2007 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
4 Rysunek: 2002,2004,2007 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
5 Rysunek: 2002,2004,2007 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
6 Spis treści... 1 Od klocków do komputera: Modele i modelowanie 2 Gra w Życie: Najsławniejszy automat komórkowy 3 Orzeł czy reszka: Prawdopodobieństwo zdarzenia 4 Deska Galtona: Prawdopodobieństwo i statystyka 5 Gra w dwadzieścia pytań: Prawdopodobieństwo i informacja 6 Płatki Śniegu: Ewolucja układów dynamicznych 7 Motyl Lorentza: Chaos deterministyczny 8 Od Cantora do Mandelbrota: Samopodobieństwo i fraktale 9 Małpa przy klawiaturze: Lingwistyka statystyczna 10 Mosty Królewca: Teoria grafów 11 Dylemat więźnia: Teoria gier 12 Najlepszy wygrywa: Algorytmy genetyczne 13 Komputer się uczy: Sieci neuronowe 14 Przypadkowe jednostki: Modelowanie społeczeństwa 15 Uniwersalny komputer: Maszyna Turinga 16 Hal, R2D2 i Number 5: Sztuczna inteligencja R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
7 Spis treści... 1 Od klocków do komputera: Modele i modelowanie 2 Gra w Życie: Najsławniejszy automat komórkowy 3 Orzeł czy reszka: Prawdopodobieństwo zdarzenia 4 Deska Galtona: Prawdopodobieństwo i statystyka 5 Gra w dwadzieścia pytań: Prawdopodobieństwo i informacja 6 Płatki Śniegu: Ewolucja układów dynamicznych 7 Motyl Lorentza: Chaos deterministyczny 8 Od Cantora do Mandelbrota: Samopodobieństwo i fraktale 9 Małpa przy klawiaturze: Lingwistyka statystyczna 10 Mosty Królewca: Teoria grafów 11 Dylemat więźnia: Teoria gier 12 Najlepszy wygrywa: Algorytmy genetyczne 13 Komputer się uczy: Sieci neuronowe 14 Przypadkowe jednostki: Modelowanie społeczeństwa 15 Uniwersalny komputer: Maszyna Turinga 16 Hal, R2D2 i Number 5: Sztuczna inteligencja R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
8 Spis treści... 1 Od klocków do komputera: Modele i modelowanie 2 Gra w Życie: Najsławniejszy automat komórkowy 3 Orzeł czy reszka: Prawdopodobieństwo zdarzenia 4 Deska Galtona: Prawdopodobieństwo i statystyka 5 Gra w dwadzieścia pytań: Prawdopodobieństwo i informacja 6 Płatki Śniegu: Ewolucja układów dynamicznych 7 Motyl Lorentza: Chaos deterministyczny 8 Od Cantora do Mandelbrota: Samopodobieństwo i fraktale 9 Małpa przy klawiaturze: Lingwistyka statystyczna 10 Mosty Królewca: Teoria grafów 11 Dylemat więźnia: Teoria gier 12 Najlepszy wygrywa: Algorytmy genetyczne 13 Komputer się uczy: Sieci neuronowe 14 Przypadkowe jednostki: Modelowanie społeczeństwa 15 Uniwersalny komputer: Maszyna Turinga 16 Hal, R2D2 i Number 5: Sztuczna inteligencja R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
9 Spis treści... 1 Od klocków do komputera: Modele i modelowanie 2 Gra w Życie: Najsławniejszy automat komórkowy 3 Orzeł czy reszka: Prawdopodobieństwo zdarzenia 4 Deska Galtona: Prawdopodobieństwo i statystyka 5 Gra w dwadzieścia pytań: Prawdopodobieństwo i informacja 6 Płatki Śniegu: Ewolucja układów dynamicznych 7 Motyl Lorentza: Chaos deterministyczny 8 Od Cantora do Mandelbrota: Samopodobieństwo i fraktale 9 Małpa przy klawiaturze: Lingwistyka statystyczna 10 Mosty Królewca: Teoria grafów 11 Dylemat więźnia: Teoria gier 12 Najlepszy wygrywa: Algorytmy genetyczne 13 Komputer się uczy: Sieci neuronowe 14 Przypadkowe jednostki: Modelowanie społeczeństwa 15 Uniwersalny komputer: Maszyna Turinga 16 Hal, R2D2 i Number 5: Sztuczna inteligencja R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
10 Spis treści... 1 Od klocków do komputera: Modele i modelowanie 2 Gra w Życie: Najsławniejszy automat komórkowy 3 Orzeł czy reszka: Prawdopodobieństwo zdarzenia 4 Deska Galtona: Prawdopodobieństwo i statystyka 5 Gra w dwadzieścia pytań: Prawdopodobieństwo i informacja 6 Płatki Śniegu: Ewolucja układów dynamicznych 7 Motyl Lorentza: Chaos deterministyczny 8 Od Cantora do Mandelbrota: Samopodobieństwo i fraktale 9 Małpa przy klawiaturze: Lingwistyka statystyczna 10 Mosty Królewca: Teoria grafów 11 Dylemat więźnia: Teoria gier 12 Najlepszy wygrywa: Algorytmy genetyczne 13 Komputer się uczy: Sieci neuronowe 14 Przypadkowe jednostki: Modelowanie społeczeństwa 15 Uniwersalny komputer: Maszyna Turinga 16 Hal, R2D2 i Number 5: Sztuczna inteligencja R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
11 Spis treści... 1 Od klocków do komputera: Modele i modelowanie 2 Gra w Życie: Najsławniejszy automat komórkowy 3 Orzeł czy reszka: Prawdopodobieństwo zdarzenia 4 Deska Galtona: Prawdopodobieństwo i statystyka 5 Gra w dwadzieścia pytań: Prawdopodobieństwo i informacja 6 Płatki Śniegu: Ewolucja układów dynamicznych 7 Motyl Lorentza: Chaos deterministyczny 8 Od Cantora do Mandelbrota: Samopodobieństwo i fraktale 9 Małpa przy klawiaturze: Lingwistyka statystyczna 10 Mosty Królewca: Teoria grafów 11 Dylemat więźnia: Teoria gier 12 Najlepszy wygrywa: Algorytmy genetyczne 13 Komputer się uczy: Sieci neuronowe 14 Przypadkowe jednostki: Modelowanie społeczeństwa 15 Uniwersalny komputer: Maszyna Turinga 16 Hal, R2D2 i Number 5: Sztuczna inteligencja R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
12 Ciągi liczb losowych pewne doświadczenie... Czy ciąg 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1,... jest losowy? Jaki ciąg uznamy za typowy przykład ciągu losowego? Napiszemy ciąg zer i jedynek o długości 256 znaków Porównany z wynikami otrzymanymi przez program Bernoulli R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
13 Ciągi liczb losowych pewne doświadczenie... Czy ciąg 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1,... jest losowy? Jaki ciąg uznamy za typowy przykład ciągu losowego? Napiszemy ciąg zer i jedynek o długości 256 znaków Porównany z wynikami otrzymanymi przez program Bernoulli R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
14 Ciągi liczb losowych pewne doświadczenie... Czy ciąg 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1,... jest losowy? Jaki ciąg uznamy za typowy przykład ciągu losowego? Napiszemy ciąg zer i jedynek o długości 256 znaków Porównany z wynikami otrzymanymi przez program Bernoulli R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
15 Ciągi liczb losowych pewne doświadczenie... Czy ciąg 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1,... jest losowy? Jaki ciąg uznamy za typowy przykład ciągu losowego? Napiszemy ciąg zer i jedynek o długości 256 znaków Porównany z wynikami otrzymanymi przez program Bernoulli R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
16 Ciągi zer i jedynek Ciąg wygenerowany przeze mnie bloków złożonych z jednej 1, jeden blok złożony z dwóch jedynek, jeden blok złożony z trzech jedynek, jeden blok złożony z czterech jedynek, jeden blok złożony z pięciu jedynek Czy ten ciąg można uznać za losowy? R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
17 Ciągi zer i jedynek Ciąg wygenerowany przeze mnie bloków złożonych z jednej 1, jeden blok złożony z dwóch jedynek, jeden blok złożony z trzech jedynek, jeden blok złożony z czterech jedynek, jeden blok złożony z pięciu jedynek Czy ten ciąg można uznać za losowy? R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
18 Ciągi zer i jedynek Ciąg wygenerowany przeze mnie bloków złożonych z jednej 1, jeden blok złożony z dwóch jedynek, jeden blok złożony z trzech jedynek, jeden blok złożony z czterech jedynek, jeden blok złożony z pięciu jedynek Czy ten ciąg można uznać za losowy? R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
19 Ciągi zer i jedynek Ciąg wygenerowany przeze mnie bloków złożonych z jednej 1, jeden blok złożony z dwóch jedynek, jeden blok złożony z trzech jedynek, jeden blok złożony z czterech jedynek, jeden blok złożony z pięciu jedynek Czy ten ciąg można uznać za losowy? R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
20 Ciąg zer i jedynek... Ciąg wygenerowany przez program Bernoulli bloki złożone z jednej 1, 15 bloków złożonych z dwóch jedynek, 10 bloków złożonych z trzech jedynek, 7 bloków złożonych z czterech jedynek, jeden blok złożony z pięciu jedynek, jeden blok złożony z sześciu jedynek, jeden blok złożony z siedmiu jedynek R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
21 Ciąg zer i jedynek... Ciąg wygenerowany przez program Bernoulli bloki złożone z jednej 1, 15 bloków złożonych z dwóch jedynek, 10 bloków złożonych z trzech jedynek, 7 bloków złożonych z czterech jedynek, jeden blok złożony z pięciu jedynek, jeden blok złożony z sześciu jedynek, jeden blok złożony z siedmiu jedynek R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
22 Ciąg zer i jedynek... Ciąg wygenerowany przez program Bernoulli bloki złożone z jednej 1, 15 bloków złożonych z dwóch jedynek, 10 bloków złożonych z trzech jedynek, 7 bloków złożonych z czterech jedynek, jeden blok złożony z pięciu jedynek, jeden blok złożony z sześciu jedynek, jeden blok złożony z siedmiu jedynek R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
23 Porównanie wyników... R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
24 Fakty i wnioski Stwierdzenie 1 Jeśli n jest dostatecznie duże oraz k jest małe, to średnia liczba bloków b(n, k) o długości k wynosi około Wniosek 2 n 2 k+2 Jeśli n = 256, to b(256, 1) 32, b(256, 2) 16, b(256, 3) 8, b(256, 4) 4, b(256, 5) 2, b(256, 6) 1 Ciąg zer i jedynek wygenerowany ręcznie nie można uznać za losowy. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
25 Fakty i wnioski Stwierdzenie 1 Jeśli n jest dostatecznie duże oraz k jest małe, to średnia liczba bloków b(n, k) o długości k wynosi około Wniosek 2 n 2 k+2 Jeśli n = 256, to b(256, 1) 32, b(256, 2) 16, b(256, 3) 8, b(256, 4) 4, b(256, 5) 2, b(256, 6) 1 Ciąg zer i jedynek wygenerowany ręcznie nie można uznać za losowy. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
26 Fakty i wnioski Stwierdzenie 1 Jeśli n jest dostatecznie duże oraz k jest małe, to średnia liczba bloków b(n, k) o długości k wynosi około Wniosek 2 n 2 k+2 Jeśli n = 256, to b(256, 1) 32, b(256, 2) 16, b(256, 3) 8, b(256, 4) 4, b(256, 5) 2, b(256, 6) 1 Ciąg zer i jedynek wygenerowany ręcznie nie można uznać za losowy. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
27 Fakty i wnioski Stwierdzenie 1 Jeśli n jest dostatecznie duże oraz k jest małe, to średnia liczba bloków b(n, k) o długości k wynosi około Wniosek 2 n 2 k+2 Jeśli n = 256, to b(256, 1) 32, b(256, 2) 16, b(256, 3) 8, b(256, 4) 4, b(256, 5) 2, b(256, 6) 1 Ciąg zer i jedynek wygenerowany ręcznie nie można uznać za losowy. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
28 Alphonse Chapanis ( ) - twórca ergonomiki (czynnika ludzkiego w inżynierii). Jako specjalista w tej dziedzinie zaproponował używany obecnie układ 3 4 klawiszy na klawiaturze telefonu. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
29 Ludzkie zachowanie przy zgadywaniu... Alphone Chapanis zauważył, że większość ludzi proszona o wypisanie ciągu liczb losowych starała się unikać powtarzania tej samej liczby trzy razy pod rząd. Random-number guessing behavior (Ludzkie zachowanie przy zgadywaniu liczb losowych), American Psychologist, 1953 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
30 Ludzkie zachowanie przy zgadywaniu... Alphone Chapanis zauważył, że większość ludzi proszona o wypisanie ciągu liczb losowych starała się unikać powtarzania tej samej liczby trzy razy pod rząd. Random-number guessing behavior (Ludzkie zachowanie przy zgadywaniu liczb losowych), American Psychologist, 1953 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
31 Ludzkie zachowanie przy zgadywaniu... Alphone Chapanis zauważył, że większość ludzi proszona o wypisanie ciągu liczb losowych starała się unikać powtarzania tej samej liczby trzy razy pod rząd. Random-number guessing behavior (Ludzkie zachowanie przy zgadywaniu liczb losowych), American Psychologist, 1953 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
32 Błędne rozumienie przypadkowości Ile osób należy wybrać, żeby prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia w roku, było większe od 1 2? Odpowiedź: 23 Takie efekty psychologiczne wykorzystuje się w konstrukcji schematów loteryjnych, żeby wytworzyć u ludzi przekonanie łatwej wygranej. Badania nad ludzkim rozumieniem przypadkowości są wykorzystywane do automatycznego wykrywania oszustw. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
33 Błędne rozumienie przypadkowości Ile osób należy wybrać, żeby prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia w roku, było większe od 1 2? Odpowiedź: 23 Takie efekty psychologiczne wykorzystuje się w konstrukcji schematów loteryjnych, żeby wytworzyć u ludzi przekonanie łatwej wygranej. Badania nad ludzkim rozumieniem przypadkowości są wykorzystywane do automatycznego wykrywania oszustw. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
34 Błędne rozumienie przypadkowości Ile osób należy wybrać, żeby prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia w roku, było większe od 1 2? Odpowiedź: 23 Takie efekty psychologiczne wykorzystuje się w konstrukcji schematów loteryjnych, żeby wytworzyć u ludzi przekonanie łatwej wygranej. Badania nad ludzkim rozumieniem przypadkowości są wykorzystywane do automatycznego wykrywania oszustw. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
35 Błędne rozumienie przypadkowości Ile osób należy wybrać, żeby prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia w roku, było większe od 1 2? Odpowiedź: 23 Takie efekty psychologiczne wykorzystuje się w konstrukcji schematów loteryjnych, żeby wytworzyć u ludzi przekonanie łatwej wygranej. Badania nad ludzkim rozumieniem przypadkowości są wykorzystywane do automatycznego wykrywania oszustw. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
36 Błędne rozumienie przypadkowości Ile osób należy wybrać, żeby prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia w roku, było większe od 1 2? Odpowiedź: 23 Takie efekty psychologiczne wykorzystuje się w konstrukcji schematów loteryjnych, żeby wytworzyć u ludzi przekonanie łatwej wygranej. Badania nad ludzkim rozumieniem przypadkowości są wykorzystywane do automatycznego wykrywania oszustw. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
37 Prawo Benforda R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
38 Prawo Benforda... 1 Amerykański Urząd Skarbowy nie jest w stanie sprawdzić wszystkich formularzy podatkowych. Najpierw sprawdza te, w których testy statystyczne sugerują nieprawidłowości. 2 Najważniejszą rolę w wykrywaniu oszustw odgrywa prawo Benforda. Twierdzenie 3 Prawo Benforda mówi o częstości występowania pierwszych znaczących cyfr w dużym zbiorze liczb. Prawdopodobieństwo tego, że dana cyfra k, k {1,..., 9}, jest pierwszą cyfrą znaczącą, wyraża się wzorem: ( P(k) = log ) k R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
39 Prawo Benforda... 1 Amerykański Urząd Skarbowy nie jest w stanie sprawdzić wszystkich formularzy podatkowych. Najpierw sprawdza te, w których testy statystyczne sugerują nieprawidłowości. 2 Najważniejszą rolę w wykrywaniu oszustw odgrywa prawo Benforda. Twierdzenie 3 Prawo Benforda mówi o częstości występowania pierwszych znaczących cyfr w dużym zbiorze liczb. Prawdopodobieństwo tego, że dana cyfra k, k {1,..., 9}, jest pierwszą cyfrą znaczącą, wyraża się wzorem: ( P(k) = log ) k R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
40 Prawo Benforda... 1 Amerykański Urząd Skarbowy nie jest w stanie sprawdzić wszystkich formularzy podatkowych. Najpierw sprawdza te, w których testy statystyczne sugerują nieprawidłowości. 2 Najważniejszą rolę w wykrywaniu oszustw odgrywa prawo Benforda. Twierdzenie 3 Prawo Benforda mówi o częstości występowania pierwszych znaczących cyfr w dużym zbiorze liczb. Prawdopodobieństwo tego, że dana cyfra k, k {1,..., 9}, jest pierwszą cyfrą znaczącą, wyraża się wzorem: ( P(k) = log ) k R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
41 Prawo Benforda... 1 Amerykański Urząd Skarbowy nie jest w stanie sprawdzić wszystkich formularzy podatkowych. Najpierw sprawdza te, w których testy statystyczne sugerują nieprawidłowości. 2 Najważniejszą rolę w wykrywaniu oszustw odgrywa prawo Benforda. Twierdzenie 3 Prawo Benforda mówi o częstości występowania pierwszych znaczących cyfr w dużym zbiorze liczb. Prawdopodobieństwo tego, że dana cyfra k, k {1,..., 9}, jest pierwszą cyfrą znaczącą, wyraża się wzorem: ( P(k) = log ) k R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
42 Prawo Benforda... 1 Amerykański Urząd Skarbowy nie jest w stanie sprawdzić wszystkich formularzy podatkowych. Najpierw sprawdza te, w których testy statystyczne sugerują nieprawidłowości. 2 Najważniejszą rolę w wykrywaniu oszustw odgrywa prawo Benforda. Twierdzenie 3 Prawo Benforda mówi o częstości występowania pierwszych znaczących cyfr w dużym zbiorze liczb. Prawdopodobieństwo tego, że dana cyfra k, k {1,..., 9}, jest pierwszą cyfrą znaczącą, wyraża się wzorem: ( P(k) = log ) k R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
43 Prawo Benforda P(1) 0, 30, P(2) 0, 17, P(3) 0, 12, P(4) 0, 09, P(5) 0, 07, P(6) 0, 06, P(7) 0, 057, P(8) 0, 051, P(9) 0, 04, R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
44 Prawo Benforda P(1) 0, 30, P(2) 0, 17, P(3) 0, 12, P(4) 0, 09, P(5) 0, 07, P(6) 0, 06, P(7) 0, 057, P(8) 0, 051, P(9) 0, 04, R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
45 Liczby ludności poszczególnych krajów Afghanistan Albania Algeria Andorra Angola Antigua and Barbuda Argentina Armenia Australia Austria Azerbaijan Bahamas Bahrain Bangladesh Barbados Belarus Belgium Belize Benin Bhutan Bolivia BosniaandHerzegovina Botswana Brazil Brunei Bulgaria BurkinaFaso Burma Burundi Cambodia Cameroon Canada CapeVerde CentralAfricanRepublic Chad Chile R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
46 Uwagi 1 Prawo to jest nieintuicyjne większość ludzi spodziewa się, że każda cyfra powinna być równie prawdopodobna. 2 Przy jego pomocy nie można wykryć jednego błędu w dużym zbiorze danych, ale można stwierdzić niewłaściwą procedurę generacji lub przetwarzania danych amerykański astronom Simon Newcomb zaobserwował prawo Benforda Frank Benford (swoje prawo poparł różnymi wynikami danych) Theodore P. Hill (Georgia Institute of Technology) udowodnił matematycznie powyższe prawo Mark J. Nigrini (The detection of income evasion through an analysis of digital distributions) zaproponował, aby prawo Benforda wykorzystać do wykrywania oszustw R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
47 Uwagi 1 Prawo to jest nieintuicyjne większość ludzi spodziewa się, że każda cyfra powinna być równie prawdopodobna. 2 Przy jego pomocy nie można wykryć jednego błędu w dużym zbiorze danych, ale można stwierdzić niewłaściwą procedurę generacji lub przetwarzania danych amerykański astronom Simon Newcomb zaobserwował prawo Benforda Frank Benford (swoje prawo poparł różnymi wynikami danych) Theodore P. Hill (Georgia Institute of Technology) udowodnił matematycznie powyższe prawo Mark J. Nigrini (The detection of income evasion through an analysis of digital distributions) zaproponował, aby prawo Benforda wykorzystać do wykrywania oszustw R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
48 Uwagi 1 Prawo to jest nieintuicyjne większość ludzi spodziewa się, że każda cyfra powinna być równie prawdopodobna. 2 Przy jego pomocy nie można wykryć jednego błędu w dużym zbiorze danych, ale można stwierdzić niewłaściwą procedurę generacji lub przetwarzania danych amerykański astronom Simon Newcomb zaobserwował prawo Benforda Frank Benford (swoje prawo poparł różnymi wynikami danych) Theodore P. Hill (Georgia Institute of Technology) udowodnił matematycznie powyższe prawo Mark J. Nigrini (The detection of income evasion through an analysis of digital distributions) zaproponował, aby prawo Benforda wykorzystać do wykrywania oszustw R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
49 Uwagi 1 Prawo to jest nieintuicyjne większość ludzi spodziewa się, że każda cyfra powinna być równie prawdopodobna. 2 Przy jego pomocy nie można wykryć jednego błędu w dużym zbiorze danych, ale można stwierdzić niewłaściwą procedurę generacji lub przetwarzania danych amerykański astronom Simon Newcomb zaobserwował prawo Benforda Frank Benford (swoje prawo poparł różnymi wynikami danych) Theodore P. Hill (Georgia Institute of Technology) udowodnił matematycznie powyższe prawo Mark J. Nigrini (The detection of income evasion through an analysis of digital distributions) zaproponował, aby prawo Benforda wykorzystać do wykrywania oszustw R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
50 Uwagi 1 Prawo to jest nieintuicyjne większość ludzi spodziewa się, że każda cyfra powinna być równie prawdopodobna. 2 Przy jego pomocy nie można wykryć jednego błędu w dużym zbiorze danych, ale można stwierdzić niewłaściwą procedurę generacji lub przetwarzania danych amerykański astronom Simon Newcomb zaobserwował prawo Benforda Frank Benford (swoje prawo poparł różnymi wynikami danych) Theodore P. Hill (Georgia Institute of Technology) udowodnił matematycznie powyższe prawo Mark J. Nigrini (The detection of income evasion through an analysis of digital distributions) zaproponował, aby prawo Benforda wykorzystać do wykrywania oszustw R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
51 Uwagi 1 Prawo to jest nieintuicyjne większość ludzi spodziewa się, że każda cyfra powinna być równie prawdopodobna. 2 Przy jego pomocy nie można wykryć jednego błędu w dużym zbiorze danych, ale można stwierdzić niewłaściwą procedurę generacji lub przetwarzania danych amerykański astronom Simon Newcomb zaobserwował prawo Benforda Frank Benford (swoje prawo poparł różnymi wynikami danych) Theodore P. Hill (Georgia Institute of Technology) udowodnił matematycznie powyższe prawo Mark J. Nigrini (The detection of income evasion through an analysis of digital distributions) zaproponował, aby prawo Benforda wykorzystać do wykrywania oszustw R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
52 Uwagi 1 Prawo to jest nieintuicyjne większość ludzi spodziewa się, że każda cyfra powinna być równie prawdopodobna. 2 Przy jego pomocy nie można wykryć jednego błędu w dużym zbiorze danych, ale można stwierdzić niewłaściwą procedurę generacji lub przetwarzania danych amerykański astronom Simon Newcomb zaobserwował prawo Benforda Frank Benford (swoje prawo poparł różnymi wynikami danych) Theodore P. Hill (Georgia Institute of Technology) udowodnił matematycznie powyższe prawo Mark J. Nigrini (The detection of income evasion through an analysis of digital distributions) zaproponował, aby prawo Benforda wykorzystać do wykrywania oszustw R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
53 Simon (Marzec 12, 1835 lipiec 11, 1909) R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
54 Theodore (Ted) P. Hill Professor Emeritus of Mathematics Georgia Tech, Atlanta, GA Research Scholar in Residence Cal Poly, San Luis Obispo CA Adjunct Professor Electrical & Computer Engineering U. New Mexico, Albuquerque, NM R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
55 Theodore P. Hill -Statistical Science, 1995 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
56 Przykłady zastosowań Defraudacja Jamesa Nelsona Zastosowanie rozkładu Benforda pomogło w wykryciu fałszerstw dokonanych przez Jamesa Nelsona, głównego księgowego i zarządzającego Arizona State Treasurer. W 1992 roku w miasteczku Wayne (Arizona, USA) został uznany za winnego zdefraudowania ,58 dolarów. Dokonał tego wystawiając 23 fałszywe czeki. oszustwo rozpoczęło się małą kwotą (najmniejszą w całej procedurze), przy czym kolejne kwoty fałszywych czeków stopniowo rosły większość czeków wystawiono na kwotę poniżej dolarów. wykrycie przestępstwa umożliwił rozkład pierwszych cyfr poszczególnych kwot. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
57 Przykłady zastosowań Defraudacja Jamesa Nelsona Zastosowanie rozkładu Benforda pomogło w wykryciu fałszerstw dokonanych przez Jamesa Nelsona, głównego księgowego i zarządzającego Arizona State Treasurer. W 1992 roku w miasteczku Wayne (Arizona, USA) został uznany za winnego zdefraudowania ,58 dolarów. Dokonał tego wystawiając 23 fałszywe czeki. oszustwo rozpoczęło się małą kwotą (najmniejszą w całej procedurze), przy czym kolejne kwoty fałszywych czeków stopniowo rosły większość czeków wystawiono na kwotę poniżej dolarów. wykrycie przestępstwa umożliwił rozkład pierwszych cyfr poszczególnych kwot. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
58 Przykłady zastosowań Defraudacja Jamesa Nelsona Zastosowanie rozkładu Benforda pomogło w wykryciu fałszerstw dokonanych przez Jamesa Nelsona, głównego księgowego i zarządzającego Arizona State Treasurer. W 1992 roku w miasteczku Wayne (Arizona, USA) został uznany za winnego zdefraudowania ,58 dolarów. Dokonał tego wystawiając 23 fałszywe czeki. oszustwo rozpoczęło się małą kwotą (najmniejszą w całej procedurze), przy czym kolejne kwoty fałszywych czeków stopniowo rosły większość czeków wystawiono na kwotę poniżej dolarów. wykrycie przestępstwa umożliwił rozkład pierwszych cyfr poszczególnych kwot. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
59 Przykłady zastosowań Defraudacja Jamesa Nelsona Zastosowanie rozkładu Benforda pomogło w wykryciu fałszerstw dokonanych przez Jamesa Nelsona, głównego księgowego i zarządzającego Arizona State Treasurer. W 1992 roku w miasteczku Wayne (Arizona, USA) został uznany za winnego zdefraudowania ,58 dolarów. Dokonał tego wystawiając 23 fałszywe czeki. oszustwo rozpoczęło się małą kwotą (najmniejszą w całej procedurze), przy czym kolejne kwoty fałszywych czeków stopniowo rosły większość czeków wystawiono na kwotę poniżej dolarów. wykrycie przestępstwa umożliwił rozkład pierwszych cyfr poszczególnych kwot. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
60 Orzeł czy reszka podstawy teorii prawdopodobieństwa 1 Gaz w litrowym naczyniu (który zawiera cząsteczek) 2 Mechanika kwantowa 3 Opis statystyczny rządzi światem! R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
61 Orzeł czy reszka podstawy teorii prawdopodobieństwa 1 Gaz w litrowym naczyniu (który zawiera cząsteczek) 2 Mechanika kwantowa 3 Opis statystyczny rządzi światem! R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
62 Orzeł czy reszka podstawy teorii prawdopodobieństwa 1 Gaz w litrowym naczyniu (który zawiera cząsteczek) 2 Mechanika kwantowa 3 Opis statystyczny rządzi światem! R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
63 Orzeł czy reszka podstawy teorii prawdopodobieństwa 1 Gaz w litrowym naczyniu (który zawiera cząsteczek) 2 Mechanika kwantowa 3 Opis statystyczny rządzi światem! R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
64 Definicja prawdopodobieństwa Co to jest prawdopodobieństwo? Definicja 1 Prawdopodobieństwo jest to liczba z przedziału od zera do jedności przyporządkowana zdarzeniu losowemu. Liczba ta jest miarą szansy na to, że dane zdarzenie zajdzie. Jak ustalić prawdopodobieństwo? 1 Na podstawie rozważań o symetrii 2 Na podstawie doświadczeń R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
65 Definicja prawdopodobieństwa Co to jest prawdopodobieństwo? Definicja 1 Prawdopodobieństwo jest to liczba z przedziału od zera do jedności przyporządkowana zdarzeniu losowemu. Liczba ta jest miarą szansy na to, że dane zdarzenie zajdzie. Jak ustalić prawdopodobieństwo? 1 Na podstawie rozważań o symetrii 2 Na podstawie doświadczeń R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
66 Definicja prawdopodobieństwa Co to jest prawdopodobieństwo? Definicja 1 Prawdopodobieństwo jest to liczba z przedziału od zera do jedności przyporządkowana zdarzeniu losowemu. Liczba ta jest miarą szansy na to, że dane zdarzenie zajdzie. Jak ustalić prawdopodobieństwo? 1 Na podstawie rozważań o symetrii 2 Na podstawie doświadczeń R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
67 Definicja prawdopodobieństwa Co to jest prawdopodobieństwo? Definicja 1 Prawdopodobieństwo jest to liczba z przedziału od zera do jedności przyporządkowana zdarzeniu losowemu. Liczba ta jest miarą szansy na to, że dane zdarzenie zajdzie. Jak ustalić prawdopodobieństwo? 1 Na podstawie rozważań o symetrii 2 Na podstawie doświadczeń R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
68 Definicja prawdopodobieństwa Co to jest prawdopodobieństwo? Definicja 1 Prawdopodobieństwo jest to liczba z przedziału od zera do jedności przyporządkowana zdarzeniu losowemu. Liczba ta jest miarą szansy na to, że dane zdarzenie zajdzie. Jak ustalić prawdopodobieństwo? 1 Na podstawie rozważań o symetrii 2 Na podstawie doświadczeń R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
69 Symetryczne rozkłady prawdopodobieństwa rzut monetą rzut kostką wyciągnięcie karty z potasowanej talii wybór kolejnej cyfry w rozwinięciu dziesiętnym w typowej liczbie rzeczywistej R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
70 Symetryczne rozkłady prawdopodobieństwa rzut monetą rzut kostką wyciągnięcie karty z potasowanej talii wybór kolejnej cyfry w rozwinięciu dziesiętnym w typowej liczbie rzeczywistej R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
71 Symetryczne rozkłady prawdopodobieństwa rzut monetą rzut kostką wyciągnięcie karty z potasowanej talii wybór kolejnej cyfry w rozwinięciu dziesiętnym w typowej liczbie rzeczywistej R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
72 Symetryczne rozkłady prawdopodobieństwa rzut monetą rzut kostką wyciągnięcie karty z potasowanej talii wybór kolejnej cyfry w rozwinięciu dziesiętnym w typowej liczbie rzeczywistej R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
73 Symetryczne rozkłady prawdopodobieństwa rzut monetą rzut kostką wyciągnięcie karty z potasowanej talii wybór kolejnej cyfry w rozwinięciu dziesiętnym w typowej liczbie rzeczywistej R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
74 Symetryczne rozkłady prawdopodobieństwa rzut monetą rzut kostką wyciągnięcie karty z potasowanej talii wybór kolejnej cyfry w rozwinięciu dziesiętnym w typowej liczbie rzeczywistej R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
75 Statystyczne własności liczb rzeczywistych Niech x R będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Pytanie: Co można powiedzieć o rozkładzie cyfr w zapisie dziesiętnym tej liczby? A co z liczbami niewymiernymi? R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
76 Statystyczne własności liczb rzeczywistych Niech x R będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Pytanie: Co można powiedzieć o rozkładzie cyfr w zapisie dziesiętnym tej liczby? A co z liczbami niewymiernymi? R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
77 Liczby niewymierne w MuPADzie R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
78 Trochę historii obliczono π z dokładnością do 2037 znaków po przecinku R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
79 Eniac 1949 (liczba π 70 godzin) Rysunek: Electronic Numerator, Integrator, Analyzer and Computer (30 ton, lamp) R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
80 IBM (liczba π 9 godzin) R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
81 Daniel Shanks (and John W. Wrench ) R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
82 Rozkład rozwinięć... R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
83 Statystyczne własności liczb rzeczywistych 1 Dla miliona cyfr w rozwinięciu dziesiętnym liczby niewymiernej każda cyfra powinna występować około razy (10 cyfr) 2 Odstępstwa od średniej dla cyfr są rzędu około 0, 5% 3 Liczba normalna to taka liczna niewymierna, w której cyfry występują z równomierną częstością. Tak więc liczba normalna w systemie dziesiątkowym powinna wykazywać 10% jedynek, 10% dwójek itd., oczywiście przy dostatecznie dużej liczbie cyfr. 4 Liczba absolutnie normalna to taka, która jest normalna niezależnie od tego w jakim systemie liczbowym zostanie napisana, a więc będąc normalna w systemie dziesiątkowym pozostaje normalna w systemie dwójkowym (binarnym), trójkowym i każdym innym. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
84 Statystyczne własności liczb rzeczywistych 1 Dla miliona cyfr w rozwinięciu dziesiętnym liczby niewymiernej każda cyfra powinna występować około razy (10 cyfr) 2 Odstępstwa od średniej dla cyfr są rzędu około 0, 5% 3 Liczba normalna to taka liczna niewymierna, w której cyfry występują z równomierną częstością. Tak więc liczba normalna w systemie dziesiątkowym powinna wykazywać 10% jedynek, 10% dwójek itd., oczywiście przy dostatecznie dużej liczbie cyfr. 4 Liczba absolutnie normalna to taka, która jest normalna niezależnie od tego w jakim systemie liczbowym zostanie napisana, a więc będąc normalna w systemie dziesiątkowym pozostaje normalna w systemie dwójkowym (binarnym), trójkowym i każdym innym. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
85 Statystyczne własności liczb rzeczywistych 1 Dla miliona cyfr w rozwinięciu dziesiętnym liczby niewymiernej każda cyfra powinna występować około razy (10 cyfr) 2 Odstępstwa od średniej dla cyfr są rzędu około 0, 5% 3 Liczba normalna to taka liczna niewymierna, w której cyfry występują z równomierną częstością. Tak więc liczba normalna w systemie dziesiątkowym powinna wykazywać 10% jedynek, 10% dwójek itd., oczywiście przy dostatecznie dużej liczbie cyfr. 4 Liczba absolutnie normalna to taka, która jest normalna niezależnie od tego w jakim systemie liczbowym zostanie napisana, a więc będąc normalna w systemie dziesiątkowym pozostaje normalna w systemie dwójkowym (binarnym), trójkowym i każdym innym. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
86 Statystyczne własności liczb rzeczywistych 1 Dla miliona cyfr w rozwinięciu dziesiętnym liczby niewymiernej każda cyfra powinna występować około razy (10 cyfr) 2 Odstępstwa od średniej dla cyfr są rzędu około 0, 5% 3 Liczba normalna to taka liczna niewymierna, w której cyfry występują z równomierną częstością. Tak więc liczba normalna w systemie dziesiątkowym powinna wykazywać 10% jedynek, 10% dwójek itd., oczywiście przy dostatecznie dużej liczbie cyfr. 4 Liczba absolutnie normalna to taka, która jest normalna niezależnie od tego w jakim systemie liczbowym zostanie napisana, a więc będąc normalna w systemie dziesiątkowym pozostaje normalna w systemie dwójkowym (binarnym), trójkowym i każdym innym. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
87 Statystyczne własności liczb rzeczywistych 1 Dla miliona cyfr w rozwinięciu dziesiętnym liczby niewymiernej każda cyfra powinna występować około razy (10 cyfr) 2 Odstępstwa od średniej dla cyfr są rzędu około 0, 5% 3 Liczba normalna to taka liczna niewymierna, w której cyfry występują z równomierną częstością. Tak więc liczba normalna w systemie dziesiątkowym powinna wykazywać 10% jedynek, 10% dwójek itd., oczywiście przy dostatecznie dużej liczbie cyfr. 4 Liczba absolutnie normalna to taka, która jest normalna niezależnie od tego w jakim systemie liczbowym zostanie napisana, a więc będąc normalna w systemie dziesiątkowym pozostaje normalna w systemie dwójkowym (binarnym), trójkowym i każdym innym. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
88 Pojęcie liczby normalnej 1909 Rysunek: Félix Édouard Justin Émile Borel, R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
89 Twierdzenie Borela R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
90 Książeczka R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
91 Przykłady liczb normalnych W. Sierpiński ( ) D. Champernowne profesor ekonomii ( ) 0, R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
92 Przykłady liczb normalnych W. Sierpiński ( ) D. Champernowne profesor ekonomii ( ) 0, R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
93 Liczba π w systemie dwójkowym 1 Binarna reprezentacja liczby π jest początkowo zdominowana przez zera: 125 zer w pierwszych 204 znakach! 2 To daje odchylenie prawie 23% od wartości średniej. 3 Dopiero po znakach liczby zer i jedynek zrównają się! π 2 = 11, R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
94 Liczba π w systemie dwójkowym 1 Binarna reprezentacja liczby π jest początkowo zdominowana przez zera: 125 zer w pierwszych 204 znakach! 2 To daje odchylenie prawie 23% od wartości średniej. 3 Dopiero po znakach liczby zer i jedynek zrównają się! π 2 = 11, R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
95 Liczba π w systemie dwójkowym 1 Binarna reprezentacja liczby π jest początkowo zdominowana przez zera: 125 zer w pierwszych 204 znakach! 2 To daje odchylenie prawie 23% od wartości średniej. 3 Dopiero po znakach liczby zer i jedynek zrównają się! π 2 = 11, R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
96 Liczba π w systemie dwójkowym 1 Binarna reprezentacja liczby π jest początkowo zdominowana przez zera: 125 zer w pierwszych 204 znakach! 2 To daje odchylenie prawie 23% od wartości średniej. 3 Dopiero po znakach liczby zer i jedynek zrównają się! π 2 = 11, R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
97 Liczba π w systemie dwójkowym 1 Binarna reprezentacja liczby π jest początkowo zdominowana przez zera: 125 zer w pierwszych 204 znakach! 2 To daje odchylenie prawie 23% od wartości średniej. 3 Dopiero po znakach liczby zer i jedynek zrównają się! π 2 = 11, R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
98 Liczba π w systemie o bazie 26 A=0,B=1,...,Z= = KOT π 26 =...dowolny tekst... R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
99 Liczba π w systemie o bazie 26 A=0,B=1,...,Z= = KOT π 26 =...dowolny tekst... R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
100 Liczba π w systemie o bazie 26 A=0,B=1,...,Z= = KOT π 26 =...dowolny tekst... R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
101 Dziękuję za uwagę!!!! R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, / 38
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona
AdnexFON PROSTA I TANIA TELEFONIA
AdnexFON PROSTA I TANIA TELEFONIA Lp. Nazwa Cena netto PLN Cena brutto PLN 1 Opłata aktywacyjna standard 99 121,77 2 Opłata aktywacyjna prom1* 19,90 24,47 3 Opłata aktywacyjna prom2* 1 1,23 4 Zastrzeżenie
Podręcznik. Model czy teoria
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 58 92 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Iwo Białynicki-Birula Iwona Białynicka-Birula
Logarytmiczni detektywi Lekcje z wykopem
Logarytmiczni detektywi Lekcje z wykopem Scenariusz lekcji dla nauczyciela Logarytmiczni detektywi Opis: Dwa nietypowe, a interesujące zastosowania logarytmów. Uwagi: Uczniowie powinni znać pojęcie logarytmu
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona
WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Rachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Systemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych
Deska Galtona. Adam Osękowski. Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski
a schemat Bernoulliego Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski XV Festiwal Nauki, 21 września 2011r. a schemat Bernoulliego Schemat Bernoulliego B(n, p)
Układy stochastyczne
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.
Prawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobieństwo geometryczne Krzysztof Jasiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń V Lieceum Ogólnokształące im. Jana Pawała II w Toruniu 13.03.2014 Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo
P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
algorytm przepis rozwiązania przedstawionego zadania komputer urządzenie, za pomocą którego wykonywane są algorytmy
Podstawowe pojęcia związane z informatyką: informatyka dziedzina wiedzy i działalności zajmująca się gromadzeniem, przetwarzaniem i wykorzystywaniem informacji, czyli różnego rodzaju danych o otaczającej
Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 4 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.
Wstęp do informatyki- wykład 1
MATEMATYKA 1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy
Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe
1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy Grębosz,
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Zmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu
Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Dane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna
Dane, informacja, programy Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna DANE Uporządkowane, zorganizowane fakty. Główne grupy danych: tekstowe (znaki alfanumeryczne, znaki specjalne) graficzne (ilustracje,
Systemy liczbowe. Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Systemy liczbowe Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ System liczbowy zbiór reguł jednolitego
Statystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 dr inż. Anna Skowrońska-Szmer zima 2017/2018 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją
Samodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =
Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,
JAKIEGO RODZAJU NAUKĄ JEST
JAKIEGO RODZAJU NAUKĄ JEST INFORMATYKA? Computer Science czy Informatyka? Computer Science czy Informatyka? RACZEJ COMPUTER SCIENCE bo: dziedzina ta zaistniała na dobre wraz z wynalezieniem komputerów
Wstęp do programowania. Reprezentacje liczb. Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym
Wstęp do programowania Reprezentacje liczb Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym System dwójkowy W komputerach stosuje się dwójkowy system pozycyjny do reprezentowania zarówno liczb
L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
6.4 Podstawowe metody statystyczne
156 Wstęp do statystyki matematycznej 6.4 Podstawowe metody statystyczne Spóbujemy teraz w dopuszczalnym uproszczeniu przedstawić istotę analizy statystycznej. W szczególności udzielimy odpowiedzi na postawione
O LICZBACH NIEOBLICZALNYCH I ICH ZWIĄZKACH Z INFORMATYKĄ
O LICZBACH NIEOBLICZALNYCH I ICH ZWIĄZKACH Z INFORMATYKĄ Jakie obiekty matematyczne nazywa się nieobliczalnymi? Jakie obiekty matematyczne nazywa się nieobliczalnymi? Najczęściej: a) liczby b) funkcje
Zbigniew S. Szewczak Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki. Graniczne własności łańcuchów Markowa
Zbigniew S. Szewczak Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Graniczne własności łańcuchów Markowa Toruń, 2003 Co to jest łańcuch Markowa? Każdy skończony, jednorodny łańcuch Markowa
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Informacja w perspektywie obliczeniowej. Informacje, liczby i obliczenia
Informacja w perspektywie obliczeniowej Informacje, liczby i obliczenia Cztery punkty odniesienia (dla pojęcia informacji) ŚWIAT ontologia fizyka UMYSŁ psychologia epistemologia JĘZYK lingwistyka nauki
Cennik telefonia internetowa VoIP
Cennik telefonia internetowa VoIP OPŁATY ZA POŁACZENIA I USŁUGI DODATKOWE Opłaty za połączenia w ruchu krajowym Kwota netto 1 Połączenia w sieci oferowanego operatora 0,00 2 Połączenia lokalne, międzystrefowe,
Teoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 12a: Prawdopodobieństwo i algorytmy probabilistyczne http://hibiscus.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Teoria prawdopodobieństwa
a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której
Metody Statystyczne. Metody Statystyczne.
gkrol@wz.uw.edu.pl #4 1 Sprawdzian! 5 listopada (ok. 45-60 minut): - Skale pomiarowe - Zmienne ciągłe i dyskretne - Rozkład teoretyczny i empiryczny - Miary tendencji centralnej i rozproszenia - Standaryzacja
Wprowadzenie do teorii systemów ekspertowych
Myślące komputery przyszłość czy utopia? Wprowadzenie do teorii systemów ekspertowych Roman Simiński siminski@us.edu.pl Wizja inteligentnych maszyn jest od wielu lat obecna w literaturze oraz filmach z
Wykład 2. Informatyka Stosowana. 9 października Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października / 42
Wykład 2 Informatyka Stosowana 9 października 2017 Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października 2017 1 / 42 Systemy pozycyjne Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października 2017 2 / 42 Definicja : system
Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Wykład 2. Informatyka Stosowana. 10 października Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października / 42
Wykład 2 Informatyka Stosowana 10 października 2016 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 1 / 42 Systemy pozycyjne Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 2 / 42 Definicja : system
Metody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Metody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008
STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie analizy ich części. Nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody
Lista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty
Statystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 Anna Skowrońska-Szmer lato 2016/2017 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją jako prawdziwą
Temat: Statystyka i prawdopodobieństwo w naszym życiu.
Dla nauczyciela Spotkanie 9 Temat: Statystyka i prawdopodobieństwo w naszym życiu. Na zajęcia potrzebne będą pomoce tzn. kostki do gry, talia kart, monety lub inne. Przy omawianiu doświadczeń losowych
a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Metody statystyczne. Lista 1. 1 Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Wykład I: Kodowanie liczb w systemach binarnych. Studia Podyplomowe INFORMATYKA Podstawy Informatyki
Studia Podyplomowe INFORMATYKA Podstawy Informatyki Wykład I: Kodowanie liczb w systemach binarnych 1 Część 1 Dlaczego system binarny? 2 I. Dlaczego system binarny? Pojęcie bitu Bit jednostka informacji
KURS MATURA ROZSZERZONA część 1
KURS MATURA ROZSZERZONA część 1 LEKCJA 1 Liczby rzeczywiste ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 10 2 2019 684 168 2 Dane
Metody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe
Temat: Liczby definicje, oznaczenia, własności. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Liczby definicje, oznaczenia, własności A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r, W S Z i M w S o c h a c z e w i e Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę A n n a R a j f u r a, M a
Podstawy Informatyki dla Nauczyciela
Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Wykład 2 1 / 1 Informacja
Załącznik Nr 1 Szczegółowy Cennik połączeń międzynarodowych obowiązuje od 1 stycznia 2016
Załącznik Nr 1 Szczegółowy Cennik połączeń międzynarodowych obowiązuje od 1 stycznia 2016 Country Destination Country Code(s) City Code(s) Kwota końcowa Dla Klienta PLN/MIN Afghanistan Areeba Mobile 93
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład I, 2.10.2018 PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Kwestie techniczne Kontakt: ajanicka@wne.uw.edu.pl Dyżur: wtorki, godz. 9:15 s. B006 strona z materiałami
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański
INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański Katedra Chemii Fizycznej i Fizykochemii Polimerów WPROWADZENIE DO STATYSTYCZNEJ OCENY WYNIKÓW DOŚWIADCZEŃ 1. BŁĄD I STATYSTYKA błąd systematyczny, błąd przypadkowy,
Jeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze,
Oznaczenia: Jeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze, to interesuje nas złożoność obliczeniowa
Podręcznik. Wzór Shannona
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Iwo Białynicki-Birula Iwona Białynicka-Birula
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład I, 3.10.2017 PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Kwestie techniczne Kontakt: ajanicka@wne.uw.edu.pl Dyżur: wtorki, godz. 9:15 s.?? strona z materiałami
Podstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 5 1 / 23 LICZBY RZECZYWISTE - Algorytm Hornera
Ważne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Przepustowość kanału, odczytywanie wiadomości z kanału, poprawa wydajności kanału.
Przepustowość kanału, odczytywanie wiadomości z kanału, poprawa wydajności kanału Wiktor Miszuris 2 czerwca 2004 Przepustowość kanału Zacznijmy od wprowadzenia równości IA, B HB HB A HA HA B Można ją intuicyjnie
Prawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobieństwo geometryczne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Uniwersyteckie Koło Matematyczne 23 kwietnia 2009 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne
Techniki multimedialne
Techniki multimedialne Digitalizacja podstawą rozwoju systemów multimedialnych. Digitalizacja czyli obróbka cyfrowa oznacza przetwarzanie wszystkich typów informacji - słów, dźwięków, ilustracji, wideo
L.O. św. Marii Magdaleny w Poznaniu, O POŻYTKACH PŁYN ACYCH Z RZUCANIA MONETA. Tomasz Łuczak
L.O. św. Marii Magdaleny w Poznaniu, 27.11.2015 O POŻYTKACH PŁYN ACYCH Z RZUCANIA MONETA Tomasz Łuczak NA POCZATEK DOBRA WIADOMOŚĆ! Dzięki naszym o hojnym sponsorom: Poznańskiej Fundacji Matematycznej
Temat 5. 20 pytań Teoria informacji
Temat 5 20 pytań Teoria informacji Streszczenie Ile informacji znajduje się w tysiącstronicowej książce? Czy więcej informacji znajduje się w książce telefonicznej, na 1000 stron tradycyjnych wydruków
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA
AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych dla studentów Chemii (2018) Autor prezentacji :dr hab. Paweł Korecki dr Szymon Godlewski e-mail: szymon.godlewski@uj.edu.pl
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Wygra Polska czy Brazylia, czyli o tym jak zwięźle zapisywać informacje
Wygra Polska czy Brazylia, czyli o tym jak zwięźle zapisywać informacje Witold Tomaszewski Instytut Matematyki Politechniki Śląskiej e-mail: Witold.Tomaszewski@polsl.pl Je n ai fait celle-ci plus longue
Generowanie liczb o zadanym rozkładzie. ln(1 F (y) λ
Wprowadzenie Generowanie liczb o zadanym rozkładzie Generowanie liczb o zadanym rozkładzie wejście X U(0, 1) wyjście Y z zadanego rozkładu F (y) = 1 e λy y = ln(1 F (y) λ = ln(1 0,1563 0, 5 0,34 Wprowadzenie
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,
Podręcznik. Przykład 1: Wyborcy
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Iwo Białynicki-Birula Iwona Białynicka-Birula
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
Wielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje 0 oraz liczby naturalne
Statystyczne sterowanie procesem
Statystyczne sterowanie procesem SPC (ang. Statistical Process Control) Trzy filary SPC: 1. sporządzenie dokładnego diagramu procesu produkcji; 2. pobieranie losowych próbek (w regularnych odstępach czasu
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Reprezentacja
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl. Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia)
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia) 1. Ile układów kart w pokerze to Dwie pary? Dwie pary to układ 5 kart
Wielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje oraz liczby naturalne od do 255
Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ
Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń
Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne
Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne Specjalność: Matematyka w informatyce Rocznik: 2013/2014 Język wykładowy: Polski
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Prawo Benforda jako narzędzie wykrywania manipulacji finansowych
86 KWARTALNIK NAUK O PRZEDSIĘBIORSTWIE 2012 / 4 Joanna Krawiec Prawo Benforda jako narzędzie wykrywania manipulacji finansowych Mark Nigrini Benford s Law, Applications for Forensic Accounting, Auditing
Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne
Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne Specjalność: Matematyka finansowa Rocznik: 2013/2014 Język wykładowy: Polski Semestr
Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne
Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne Specjalność: Matematyka ubezpieczeniowa Rocznik: 2013/2014 Język wykładowy: Polski
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie