MIKROMODEL SYMULACYJNY RUCHU POJAZDÓW NA SKRZYśOWANIACH Z SYGNALIZACJĄ ŚWIETLNĄ I JEGO ZASTOSOWANIA

Transkrypt

1 OSTROWSKI Krzysztof 1 Symulacja ruchu, Sygnalizacja świetlna, Warunki ruchu MIKROMODEL SYMULACYJNY RUCHU POJAZDÓW NA SKRZYśOWANIACH Z SYGNALIZACJĄ ŚWIETLNĄ I JEGO ZASTOSOWANIA W artykule zaprezentowano mikromodel symulacyjny ruchu pojazdów osobowych na pasie z sygnalizacją świetlną. Do opracowania programu komputerowego wykorzystano język programowania niŝszego rzędu Delphi wersja 7.0. Model posiada znaczną liczbę parametrów wejściowych i charakteryzuje się wykorzystaniem generatorów liczb pseudolosowych dla odwzorowania losowych procesów ruchu zachodzących na skrzyŝowaniu z sygnalizacją. W artykule ukazane zostały porównania uzyskanych wyników z modelu symulacyjnego z wynikami z badań empirycznych oraz przykłady zastosowania powyŝszego modelu w badaniach i analizach ruchowych oraz dydaktyce. MICROSIMULATION MODEL OF VEHICLES MOVEMENT ON INTERSECTIONS WITH TRAFFIC SIGNALS AND ITS APPLICATIONS The article presented traffic microsimulation model for lane with traffic signals controlled. To develop a computer program used programming language Delphi version 7.0. The model has a large number of input parameters and is characterized by the use of pseudo-random number generators for the mapping of random traffic processes occurring at the traffic signals intersection. The article showed comparing the results of the simulation model with the results of empirical studies and examples of application of this model in the study and analysis of movement and didactics. 1. WSTĘP W badaniach empirycznych ruchu prowadzonych na wlotach skrzyŝowań z sygnalizacją świetlną uzyskanie wiarygodnej, duŝej próby empirycznej jest niekiedy bardzo utrudnione, pracochłonne i bardzo kosztowne. Szczególnie trudne są badania empiryczne miar warunków ruchu na wlotach skrzyŝowań z sygnalizacją, które naleŝy przeprowadzić w powiązaniu z parametrami sterowania oraz pod wpływem wielu czynników. Mnogość czynników wpływających na zachowania kierujących pojazdami (np. warunki pogodowe) wymaga od badacza przeprowadzenia wielu niekiedy skomplikowanych pomiarów, które są zwykle bardzo kosztowne. Głównie z tego powodu stosuje się w badaniach ruchu analizy symulacyjne, które przeprowadzane są w specjalnie opracowanych do tego celu mikromodelach symulacyjnych ruchu pojazdów. W artykule zaprezentowany zostanie mikromodel symulacyjny ruchu pojazdów osobowych na pasie z sygnalizacją świetlną. Do 1 kostrowski@pk.edu.pl, Politechnika Krakowska

2 3238 Krzysztof OSTROWSKI opracowania programu komputerowego wykorzystano język programowania Delphi. Model posiada znaczną liczbę parametrów wejściowych i charakteryzuje się wykorzystaniem generatorów liczb pseudolosowych dla odwzorowania losowych procesów ruchu zachodzących na skrzyŝowaniu z sygnalizacją. W artykule przedstawiony zostanie model symulacyjny oraz porównanie wyników otrzymanych z modelu z wynikami uzyskanymi z badań empirycznych. Wymienione zostaną równieŝ przykłady zastosowania powyŝszego modelu w badaniach i analizach ruchowych oraz w dydaktyce. 2. BUDOWA MODELU SYMULACYJNEGO Symulacyjny model ruchu pojazdów osobowych na pasie z sygnalizacją świetlną zalicza się do grupy mikromodeli symulacyjnych. Do opracowania programu komputerowego wykorzystano język programowania niŝszego rzędu Delphi wersja 7.0. Model nie naleŝy do kategorii tzw. czarnej skrzynki, dla której system opisuje się ogólnymi formułami analitycznymi lub empirycznymi, lecz stanowi przybliŝone odwzorowanie procesów ruchu zachodzących na skrzyŝowaniu w postaci numerycznej podobnie jak model przedstawiony w opracowaniu [4]. Model posiada znaczną liczbę parametrów wejściowych i charakteryzuje się wykorzystaniem generatorów liczb pseudolosowych [10] dla odwzorowania losowych procesów ruchu zachodzących na skrzyŝowaniu z sygnalizacją. Dla potrzeb modelu wykorzystane zostały funkcje matematyczne dostępne w bibliotece programu Delphi [1], na podstawie których opracowano numeryczne generatory liczb pseudolosowych o następujących rozkładach prawdopodobieństwa: wykładniczy, równomierny, logarytmiczno-normalny, które poddawano testowaniu. Numeryczne odwzorowanie sytuacji ruchowej na skrzyŝowaniu jest dokonywane w modelu z uŝyciem metody kolejnych zdarzeń [2, 3] w wyróŝnionych przekrojach generacji i obsługi (rys.1.). Na rys. 2 przedstawiono okno modelu symulacyjnego. Rys.1. Schemat modelowego pasa ruchu sterowanego sygnalizacją świetlną 2.1 ZałoŜenia do modelu symulacyjnego W modelu symulacyjnym moŝna wyróŝnić dwa zasadnicze procesy: proces zgłoszeń realizuje generację pojazdów dojeŝdŝających do wlotu skrzyŝowania oraz ich przemieszczanie wzdłuŝ wlotu, proces obsługi realizuje zamierzone manewry pojazdów znajdujących się na stanowisku obsługi (linii zatrzymań).

3 MIKROMODEL SYMULACYJNY RUCHU POJAZDÓW Rys.2. Okno modelu symulacyjnego pasa ruchu sterowanego sygnalizacją PoniŜej omówione zostaną załoŝenia modelowe oraz przedstawione zostaną w szczegółach oba procesy Proces zgłoszeń Przyjęto następujące, ogólne załoŝenia dla procesu zgłoszeń: zgłoszenia pojazdów na wlocie skrzyŝowania (przekrój generacji) opisywane są przez odstępy czasu pomiędzy kolejnymi pojazdami, pojazdy generowane są w przekroju oddalonym od linii zatrzymań na taką odległość TDDS, w jakiej moŝliwy jest do pominięcia wpływ sytuacji ruchowej na skrzyŝowaniu na zgłoszenia pojazdów, intensywność procesu zgłoszeń w okresie obliczeń moŝe być zadawana, jako stała lub w postaci funkcyjnej zaleŝności od czasu, tj. w postaci funkcji skokowej dla przyjętego dowolnego okresu stacjonarności t r, pojazdy przejeŝdŝają pomiędzy przekrojem generacji a przekrojem obsługi ze stałą prędkością, w strumieniu ruchu występują wyłącznie samochody osobowe.

4 3240 Krzysztof OSTROWSKI Zgłoszenia pojazdów generowane są przez stochastyczne procesy poissonowskie; jednorodne i niejednorodne. W modelu wyróŝnić moŝna następujące rodzaje procesów zgłoszeń, określone rozkładami odstępów czasu między przybyciem kolejnych pojazdów: stacjonarny bazujący na rozkładzie wykładniczym przesuniętym, niestacjonarny o parametrach rozkładu jw. uzaleŝnionych od czasu rzeczywistego, w jakim ten proces zachodzi, z moŝliwością realizacji dowolnego typu zmian intensywności ruchu w czasie. W modelowaniu niestacjonarnego procesu zgłoszeń przyjmować moŝna dowolnie krótkie interwały stacjonarności t r (nie krótsze niŝ długość cyklu sygnalizacyjnego). Przepis generowania odstępów czasu, których rozkład odpowiada rozkładowi wykładniczemu przesuniętemu dany jest następującym równaniem [3]: gdzie: ( t ) [ t( τ ) ] i, t r t om ( r n ) t om t o = ln + t τ i, r średni odstęp czasu w strumieniu właściwy interwałowi t r rozpoczynającemu się w chwili τ i [s], t om minimalny odstęp czasu między kolejnymi pojazdami [s], r n ciąg liczb losowych równomiernie rozłoŝonych w przedziale [0,1]. Model symulacyjny przeznaczono do analiz prowadzonych w stanach nasycenia ruchem, tj. dla sytuacji, w których natęŝenie ruchu jest duŝe (w stosunku do przepustowości). W takiej sytuacji prawdopodobieństwo wystąpienia odstępu czasu znacznie większego od okresu stacjonarności t r jest małe. Do generowania pojazdów moŝna zatem stosować wprost wzór (1), przyjmując w kolejnym kroku generowania intensywność strumienia właściwą interwałowi t r, w którym znalazł się ostatni wygenerowany pojazd. Procedury generowania pozwalają na odwzorowanie niestacjonarnych potoków zgłoszeń o róŝnych stopniach ograniczenia ich swobody. Model umoŝliwia realizację kilku typów zmian intensywności strumienia w czasie: według rzeczywistych, empirycznych profili, według profili parabolicznych, symetrycznych i niesymetrycznych, o róŝnych stosunkach intensywności maksymalnej do średniej w okresie analizy, według profili sinusoidalnych o zadanej liczbie okresów i amplitudzie zmian, według dowolnych zadanych profili (w tym spotykanych często potoków ruchu o hiperlosowych wahaniach natęŝenia). Proces tworzenia kolejki jest warunkowany czasem dołączenia kolejnego pojazdu do końca kolejki oraz momentem ruszenia ostatniego pojazdu z kolejki. Przy podejmowaniu decyzji o tym, czy dany pojazd dojedzie do końca kolejki, czy teŝ nie, brany jest pod uwagę czas, w jakim przejeŝdŝa on odcinek wlotu pomiędzy przekrojem A i końcem kolejki (rys.1) z uwzględnieniem czasu hamowania oraz momentu ruszenia ostatniego pojazdu z kolejki. (1)

5 MIKROMODEL SYMULACYJNY RUCHU POJAZDÓW Proces obsługi Model umoŝliwia odwzorowanie funkcjonowania skrzyŝowania o ruchu regulowanym za pomocą sygnalizacji akomodacyjnej oraz stałoczasowej. Sterowanie stałoczasowe stosowane jest jako specjalny tryb pracy sygnalizacji akomodacyjnej, np. przy przeciąŝeniu skrzyŝowania. Obecnie model symulacyjny pozwala odwzorowywać warunki ruchowe na pasie ruchu w stanach przeciąŝenia, ale przy sterowaniu stałoczasowym. W przyszłości model zostanie rozbudowany o moduł umoŝliwiający prowadzenie analiz przy sterowaniu akomodacyjnym. Obsługa strumienia ruchu zaleŝy od parametrów sterowania oraz liczby zgłoszeń pojazdów na linii zatrzymań. Program sterowania realizowany jest poprzez zadawane długości cyklu oraz sygnałów świetlnych: czerwonego z Ŝółtym, zielonego oraz Ŝółtego. W programie zostały zamodelowane zjazdy ze skrzyŝowania i decyzje kierujących pojazdami o wjeździe podczas sygnału czerwonego z Ŝółtym, Ŝółtego oraz czerwonego z zastosowaniem rozkładu równomiernego. W symulacji moŝna zatem zakładać, Ŝe kierujący pojazdami przestrzegają przepisów drogowych i wykorzystują na zjazd ze skrzyŝowania tylko sygnał zielony lub łamią przepisy i wjeŝdŝają na skrzyŝowanie w sygnałach niedozwolonych. Takie zachowania występują często w duŝych miastach na przeciąŝonych wlotach skrzyŝowań z sygnalizacją świetlną [6] lub na skrzyŝowaniach zamiejskich. Do analiz symulacyjnych zamodelowano zmienność intensywności obsługi w poszczególnych cyklach sygnalizacyjnych, bazując na ustalonych empirycznie wartościach odstępów czasu między tylnymi zderzakami pojazdów przejeŝdŝających kolejno linię zatrzymań. Spośród objętych badaniami empirycznymi poligonów badawczych [5] wybrano jednopasowy poligon Wielicka/Powstańców Śląskich w Krakowie, dla którego zestawiono wartości odstępów czasu między pojazdami dla kolejnych pozycji pojazdów w kolejce dla poszczególnych grup warunków pogodowych (słoneczna pogoda, opady deszczu i inne). Poligon charakteryzuje geometria wlotu oraz struktura rodzajowa ruchu najbardziej zbliŝona do warunków wyjściowych stosowanych przy wyznaczaniu wyjściowej wartości natęŝeń nasycenia [8, 9]. Model symulacyjny przystosowany został do wprowadzania parametrów wybranego rozkładu teoretycznego dla kaŝdej pozycji pojazdu w kolejce. W modelu zastosowano jeden typ rozkładu teoretycznego dla obsługi w cyklu. Oceny dopasowania rozkładów teoretycznych do danych empirycznych przeprowadzone z uŝyciem testu zgodności Kołmogorowa Smirnowa (program Statistica) wykazały, Ŝe najbardziej zbliŝonym rozkładem teoretycznym na poziomie istotności α = 0,05, opisującym zmienność odstępów czasu dla kolejnych pozycji pojazdów w kolejce jest rozkład logarytmiczno-normalny (d K-S < d kryt,α (1,36)). W tab. 1 przedstawiono przeliczone wartości średnie i odchylenia standardowe na parametry modelowego rozkładu teoretycznego [5]. Gdy symulowana liczba pojazdów w kolejce przekraczała załoŝoną liczbę pojazdów, dla której określono modelowe parametry rozkładu, w analizach dla brakujących pozycji w kolejce przyjmowano parametry rozkładu kopiowane kolejno z trzech ostatnich pozycji. Słuszność takiego podejścia potwierdzają wyniki badań empirycznych przeprowadzonych na poligonach badawczych z długimi sygnałami zielonymi w róŝnej pogodzie [5]. 2.2 Parametry modelu i dane wejściowe PoniŜej w tab. 2 przedstawiono zestawienie zmiennych uŝytych do budowy modelu matematycznego reprezentujących obiekty, których określenie niezbędne jest dla jednoznacznego odwzorowania przebiegu ruchu w modelowanym systemie.

6 3242 Krzysztof OSTROWSKI Wszystkie dane potrzebne do modelu wprowadzane są w następujących plikach tekstowych: NatęŜenie.csv, Parametry.csv, Kolejka.csv ukazanych w tab. 3. Tab. 1. Zestawienie parametrów rozkładu teoretycznego logarytmiczno-normalnego oraz statystyk Kołmogorowa Smirnowa d K-S dla kolejnych pozycji pojazdów w kolejce na linii zatrzymań Pochmurno, sucha jezdnia Opad długotrwały deszczu Kolejny Wartość Odchylenie Wartość Odchylenie pojazd d K-S d K-S średnia standardowe średnia standardowe 1. 0,871 0,420 1,768 1,199 0,239 1, ,751 0,288 0,607 0,931 0,250 0, ,714 0,259 0,738 0,830 0,197 0, ,671 0,249 0,684 0,802 0,241 0, ,627 0,270 0,856 0,770 0,238 0, ,610 0,249 1,018 0,758 0,239 0, ,574 0,247 1,254 0,684 0,239 0, ,546 0,251 0,723 0,751 0,297 0, ,533 0,262 0,976 0,709 0,243 0, ,524 0,271 1,317 0,701 0,274 0, ,525 0,275 1,543 0,740 0,222 0, ,519 0,257 1,417 0,684 0,237 0, ,516 0,283 1,501 0,683 0,318 0, ,530 0,280 1,674 0,616 0,316 0, ,522 0,267 0, ,514 0,281 1, ,482 0,266 1, ,482 0,269 0, ,464 0,298 0, ,450 0,304 0, ,431 0,315 0, ,437 0,327 0, ,416 0,388 0, ,545 0,284 1, Tab. 2. Zestawienie głównych zmiennych zastosowanych w modelu symulacyjnym TIA czas generacji IA-tego pojazdu, TDDS czas dojazdu do skrzyŝowania, TJA - czas obsłuŝenia JA-tego pojazdu, TPPSA czas ruszenia pojazdu z kolejki, NAT natęŝenie dopływające, TPPSE czas przejazdu przez stanowisko, DSZ długość sygnału zielonego, TOS czas przejazdu ostatniego pojazdu DSZ_min minimalna długość sygnału w wybranym czasie symulacji, zielonego, TRS czas rozpoczęcia symulacji, DSZ_max maksymalna długość TAS aktualny czas symulacji, sygnału zielonego, TZS czas zakończenia symulacji, T długość cyklu, STP strata czasu konkretnego pojazdu, T_min minimalna długość cyklu, STO średnie straty czasu, T_max maksymalna długość cyklu, WZ wskaźnik zatrzymań, DSC długość sygnału czerwonego, k_p kolejka pozostająca, KA kolejka, k_max kolejka maksymalna,

7 MIKROMODEL SYMULACYJNY RUCHU POJAZDÓW Tab. 3. Zestawienie plików i danych wejściowych do modelu Wprowadzone dane wejściowe oraz przebieg modelowanego procesu i uzyskane wyniki widoczne są w edytowalnym oknie modelu symulacyjnego (rys. 2) oraz zapisywane są dodatkowo w pliku tekstowym, który moŝe zostać wprowadzony do dowolnego akrusza kalkulacyjnego. Plik wynikowy zapisany np. w programie MS Excel naleŝy poddać dalszej obróbce w zaleŝności od celów analiz lub moŝe zostać bezpośrednio uŝyty do analiz w dowolnych programie statystycznym (np. Statistica). Fragment pliku wynikowego przedstawiono w tab. 4. Podczas pracy z modelem naleŝy pamiętać, Ŝe w początkowym etapie symulacji występuje faza rozruchu algorytmu modelu symulacyjnego, która trwa zwykle około 10 cykli sygnalizacyjnych. Ten etap symulacji powinien być usuwany z pliku wynikowego i niepoddawany dalszym analizom statystycznym.

8 3244 Krzysztof OSTROWSKI Lp Dł. cyklu sygn. T [s] Dł. sygn. ziel. G [s] G/T [-] Tab. 4. Zestawienie wyników w generowanym pliku Wyniki.txt Nat. dopływ. Qd [P/cykl] Liczba poj. obsłuŝ. n_obsł [P/cykl] Kolejka maks. Km [P/cykl] Kolejka pozost. Kp [P/cykl] Stopień obciąŝ. X [-] Średnia strata czasu d [s/p/cykl] Wskaźnik zatrzymań wz [-] Zsum_czas po cyklach [s] , ,21 13,5 0, , ,73 47,4 0, , ,84 54,5 0, , ,9 63,4 0, , ,2 0, , ,04 76,4 0, , ,9 73,6 0, , ,92 68,4 0, , ,93 68,7 0, , ,93 69,1 0, , ,96 71,6 0, , ,25 84,0 0, , ,21 104,1 0, , ,1 118,9 0, , ,07 126,7 0, , ,24 136,6 0, , ,22 153,2 0, WERYFIKACJA I TESTOWANIE MODELU SYMULACYJNEGO Skonstruowany model symulacyjny opracowany został na podstawie wnikliwej obserwacji oraz szczegółowych badań ruchu w warunkach rzeczywistych. Aby mieć pełne zaufanie do uzyskiwanych z obliczeń symulacyjnych wyników, niezbędna jest weryfikacja uzyskiwanych wyników. Biorąc pod uwagę złoŝoność, stochastyczny i niestacjonarny charakter oraz wzajemne powiązania procesów ruchu na wlocie skrzyŝowania zdecydowano się na przeprowadzenie weryfikacji procesów cząstkowych (tzn. elementów procesu zgłoszeń i obsługi) oraz dokonanie porównania najistotniejszych wyników końcowych symulacji (strat czasu, długości kolejek maksymalnych i pozostających, zatrzymań) z danymi empirycznymi oraz wynikami obliczeń wg formuł zawartych w metodach analitycznych [8, 9]. Na rys. 3 przedstawiono wybrane przykładowe zestawienie wyników uzyskanych z modelu symulacyjnego przy stałej długości sygnału zielonego i cyklu (G i T) oraz z badań empirycznych przy zmiennej długości G i T w cyklach sygnalizacyjnych. Badania empiryczne wykonywano w stanach nasycenia ruchem, gdy długości sygnałów zielonych zbliŝone były do wartości maksymalnych i wykazywały niewielkie zróŝnicowanie. Badanie porównawcze przeprowadzono w celu weryfikacji modelu symulacyjnego. Z rys. 3 wynika, Ŝe rezultaty badań są zbliŝone do siebie, co dodatkowo potwierdzone zostało badaniem z uŝyciem testu t-studenta dla α = 0,05. Wykazano, Ŝe niema istotnych róŝnic pomiędzy wynikami badań symulacyjnych i empirycznych.

9 MIKROMODEL SYMULACYJNY RUCHU POJAZDÓW Rys.3. Porównanie wyników symulacyjnych i empirycznych dla wybranego dnia pomiarowego dla pojedynczego pasa ruchu z relacją na wprost na skrzyŝowaniu ul. Nowohuckiej i Powstańców Śląskich w Krakowie [5] Dla sprawdzenia poprawności działania modelu matematycznego i programu komputerowego przygotowano równieŝ testy numeryczne. Testy te zostały tak przygotowane, aby uwzględnić wszystkie moŝliwe sytuacje ruchowe i sterowania. Następnie wykonano Ŝmudne, ręczne testowanie modelu i programu komputerowego. Napotkane błędy były korygowane i testowanie było wznawiane. Proces testowania został zakończony, gdy wszystkie testy zostały wykonane i wyniki uzyskane z opracowywanych testów i z programu komputerowego były identyczne. 4. PODSUMOWANIE Opracowany model symulacyjny będzie uŝytecznym narzędziem do badania sprawności wlotów skrzyŝowań z sygnalizacją świetlną szczególnie w stanach przeciąŝeń ruchowych. Model pozwala na określenie warunków ruchu w zaleŝności od zadawanych natęŝeń i parametrów sterowania w kaŝdym cyklu sygnalizacyjnym. W modelu zastosowano modele rozkładów teoretycznych w odniesieniu do procesu zgłoszeń i obsługi, które pozwalają uwzględnić w analizach losowość ruchu. Badania symulacyjne moŝemy prowadzić w sytuacji, gdy nierealne pod względem kosztów, sprzętu i liczby personelu wydają się badania terenowe. PoniŜej przedstawiono kilka przykładów zastosowań, które stanowią podsumowanie artykułu. 1. W modelowaniu procesów zachodzących na pasie ruchu z wybraną relacją na wlocie skrzyŝowania z sygnalizacją świetlną. Zmiana parametrów rozkładu teoretycznego w procesie obsługi pozwala modelować zachowania kierujących pojazdami róŝnych relacji w róŝnych warunkach pogodowych i stanach obciąŝenia ruchem pasa ruchu,

10 3246 Krzysztof OSTROWSKI 2. W badaniach wpływu wybranych parametrów ruchu oraz parametrów sterowania na przepustowość i warunki ruchu. Model umoŝliwia badanie mierników, jakości ruchu oraz przeprowadzenie badań dla prognozowanych sytuacji ruchowych, 3. UmoŜliwia wykonywanie analiz dla długiego okresu czasu obejmującego szczyty ruchowe oraz okresy międzyszczytowe, 4. Model wykorzystać moŝna w równieŝ w badaniach niezawodności funkcjonowania pasa ruchu lub wlotu skrzyŝowania z sygnalizacją analizując zmienność mierników warunków ruchu w poszczególnych szczytach ruchowych w dłuŝszym okresie czasu (tygodnie, miesiące) [5], 5. Model moŝe być stosowany, jako narzędzie wspomagające dla programu VISSIM, w którym zwykły uŝytkownik nie ma moŝliwości zmiany kodu źródłowego i parametrów rozkładów dla procesu obsługi oraz zgłoszeń. Wskutek zawyŝonej wartości natęŝenia nasycenia program VISSIM [7] (bardzo popularny w Polsce) w rezultacie zaniŝa wartości mierników warunków ruchu, które nie oddają rzeczywistej sytuacji ruchowej na analizowanych wlotach skrzyŝowań z sygnalizacją, 6. W procesie dydaktycznym model moŝe być wykorzystywany do: - weryfikacji obliczeń analitycznych prowadzonych metodą polską lub inną zagraniczną, - analiz wzajemnych zaleŝności pomiędzy poszczególnymi parametrami procesu zgłoszeń i obsługi oraz miernikami warunków ruchu (straty czasu, kolejki, zatrzymania) w dowolnych interwałach czasu w róŝnych warunkach pogodowych, - zbadania wpływu losowości procesów ruchowych na wartości mierników warunków ruchu, - analiz statystycznych dopasowania róŝnych rozkładów teoretycznych do wyników symulacyjnych dla wybranych mierników warunków ruchu. 5. BIBLIOGRAFIA [1] Boduch A.: Delphi 7. Kompendium programisty, Gliwice, Helion 2003, [2] Chodur J., Gondek S.: Stochastyczny model symulacyjny skrzyŝowania z sygnalizacją cykliczną stałoczasową, Zeszyt Naukowy Modelowanie procesów ruchu, Kraków CPBP 1990, [3] Chodur J., Gondek S., Tracz M.: Zastosowanie symulacji w rozwiązywaniu zagadnień organizacji i sterowania ruchem drogowym, prace IBDiM, nr 4, 1982, [4] Gondek S., Chodur J., Kieć M., Ostrowski K., Bieńkowicz J.: Opracowanie modelu symulacyjnego skrzyŝowania z akomodacyjną sygnalizacją świetlną z uwzględnieniem priorytetów dla komunikacji zbiorowej, Kraków, projekt badawczy KBN nr 5 T12C , 2004 (praca niepublikowana). [5] Ostrowski K.: Niezawodność funkcjonowania skrzyŝowania z sygnalizacją w warunkach zmiennego natęŝenia nasycenia, Praca doktorska, Kraków, Politechnika Krakowska 2010, [6] Ostrowski K.: Analiza zachowań kierujących pojazdami w stanach nasycenia ruchem na wlotach skrzyŝowań z sygnalizacją świetlną, Logitrans 2011, Logistyka 3/2011, [7] PTV AG: Podręcznik uŝytkownika VISSIM 5,20, Karlsruhe, PTV 2009, [8] Teply S., i inni: Canadian capacity guide for signalized intersections, Canada, The Institute of Transportation Engineers 2008, [9] Tracz M., Chodur J., Gaca S., Gondek S., Kieć M., Ostrowski K.: Metoda obliczania przepustowości skrzyŝowań z sygnalizacją świetlną, Warszawa, GDDKiA 2004, [10] Wieczorkowski R., Zieliński R.: Komputerowe generatory liczb pseudolosowych, Warszawa, PWN 1997,