PRZEDZIAŁOWA OCENA DOKŁADNOŚCI MONITOROWANYCH NAPRĘŻEŃ W KABLACH PODWIESZAJĄCYCH

Transkrypt

1 Piotr BĘTKOWSKI 1 PRZEDZIAŁOWA OCENA DOKŁADNOŚCI MONITOROWANYCH NAPRĘŻEŃ W KABACH PODWIESZAJĄCYCH 1. Wstęp W przypadku badań istniejących konstrukcji pojawia się problem oceny wartości poszczególnych parametrów [1]. Niepewność (niedokładność) parametrów jest często niemożliwa do wyeliminowania i wynika z metod pomiaru, dokładności aparatury pomiarowej, wpływu temperatury i dużych sił osiowych na wymiary elementów. Niepewność taką w dobry, a przede wszystkim wiarygodny sposób, można opisać za pomocą liczb przedziałowych. Pozwala to na zbadanie w jaki sposób niepewność wyników jest związana z nieprecyzyjnym, niepewnym charakterem danych wykorzystywanych do analiz. W przypadku mostów podwieszonych monitoring jest zagadnieniem ważnym dla bezpieczeństwa konstrukcji. W artykule zaproponowano metody, które mogłyby zostać zastosowane w monitoringu. Pokazano jak na podstawie obserwacji zwisu wyznaczyć naprężenia w kablach podwieszających określając jednocześnie dokładność wyników.. iczby przedziałowe Przedziałem rzeczywistym [] nazywany jest zbiór postaci - wzór (1), gdzie: x x x x x, x, x x. [ x] [ x; x] (1) Podstawową niedogodnością w stosowaniu liczb przedziałowych jest ich właściwość polegająca na tym, że odejmowanie i dzielenie nie są działaniami odwrotnymi do odpowiednio dodawania i mnożenia. Nie istnieje rozwiązanie równania: AXB=0. Nie można wyizolować X, ponieważ: X+A+(-A)X; XAA -1 X. W konsekwencji dochodzi do sztucznego poszerzania przedziałów, np. liczba przedziałowa: [A] = (0,5; 10): [A]-[A] = (-9,5; 9,5), a więc wbrew oczekiwaniom [A]-[A] (0; 0); [A]/[A] = (0,05; 0), a więc wbrew oczekiwaniom [A]/[A] (1; 1). Konieczne jest takie przekształcanie wzorów, które powoduje wyeliminowanie operacji odejmowania i dzielenia dla tych samych wielkości. 1 dr inż. Wydział Budownictwa Politechniki Śląskiej

2 1 Seminarium "Mosty podwieszone i wiszące", Wrocław 1- grudnia 005 rok 3. Zwis jako funkcja naprężeń w kablu podwieszającym Mierząc w danej chwili zwis dostaje się informację o poziomie naprężeń w kablach podwieszeń, co może być wykorzystane podczas monitoringu. Ponadto jeżeli w cięgnach są zamontowane tensometry (np. w elementach zakotwień), przedstawione metody mogą umożliwić kontrolę, czy tensometry te podają prawidłowe wyniki. Precyzyjny pomiar zwisu w połowie rozpiętości kabla jest trudny do realizacji: z powodu: trudności w określeniu, gdzie jest połowa rozpiętości zwisającego kabla, gdzie przebiega cięciwa do której odnosi się pomiar zwisu. Wygodnie mierzyć zwis w jakimś stałym punkcie oznaczonym na kablu za pomocą markera - taką propozycję pomiaru zwisu za pomocą fotogrometrii pokazuję na (rys.1), i h to poziomy i pionowy rzut cięciwy kabla. Rejestracja zachowania się markera (pomiar) może być dokonywana za pomocą kamery cyfrowej umieszczonej w jakimś stałym punkcie poza mostem (aby wyeliminować drgania urządzenia pomiarowego.) Dodatkowo trzeba zmierzyć odległość w poziomie markera od zakotwienia kabla tj. x na (rys.1). Drgania kabla można odfiltrować, wychylenia drgającego kabla są symetryczne - należy przyjąć wartość średnią z następujących po sobie kilku pomiarów (kamera przeprowadza rejestrację zachowania się markera w sposób ciągły). Położenie cięciwy kabla nie jest stałe w przestrzeni, ponieważ na skutek ugięć pylonu i pomostu, zmienia się położenie punktów mocowania kabli. Autor proponuje następującą metodę: tzw. punktem odniesienia (cięciwą) powinien być mocno naciągnięty możliwie cienki (nieważki) drut stalowy (struna) mocowany w zakotwieniach w osi kabla. Rys. 1. Zwis y w punkcie x dla kabla pochylonego 4. Przykładowy model obliczeniowy Do analiz przyjęto model 1 - (rys. ). Pomost podparto na pylonie za pomocą wahacza. Model 1 obciążono ciężarem własnym i obciążeniem eksploatacyjnym na pomoście q eksp =100 kn/m. Wszystkie elementy zamodelowano ze stali o ciężarze q stali =77 kn/m 3, E=05 GPa. Wszystkie kable mają jednakowe przekroje A k =380,133 cm Przekroje.: Przekrój pylonu Przekrój pylonu Przekrój pomostu, A p =1,01m powyżej pomostu.: poniżej pomostu.:

3 Seminarium "Mosty podwieszone i wiszące", Wrocław 1- grudnia 005 rok 13 Z X m m 100 m 100 m 0 m Rys.. Model 1 stworzony w programie MES 5. Podstawy analityczne obliczeń Każdy z wyników wyznaczany jest dwukrotnie; indeks np oznacza podręcznikową postać wzoru (nie-przekształconą pod kątem wyeliminowania operacji dzielenia i odejmowania na tych samych parametrach). Zwis kabla f y opisuje wzór () (wg [3]), gdzie: f y - zwis w pionie w środku rozpiętości kabla, y - zwis kabla w punkcie x (wg rys. 1.). Wzór () przekształcono w taki sposób, aby wyeliminować dzielenie przez siebie parametru, otrzymano wzór (3). Siły osiowe w kablu.: Podręcznikowa postać - wzór (4) (wg [3]), wzór przekształcony jak w przypadku zwisu - (5), gdzie: q w - rzut pionowy ciężaru kabla na jednostkę długości, q k - ciężar objętościowy kabla; - kąt pochylenia kabla. Naprężenia w kablach określa podręcznikowy wzór (7). W (7) w mianowniku występuje A k. Z (6) i (4) wynika, że A k wystąpi również w liczniku wzoru (7) (na etapie wyznaczenia siły T k ). A k można wyeliminować, siłę T k wyznaczono z (5), otrzymano (8). f y, np f y y 4 x x y 4 x 1 x () (3) T 1/ q 4 f w h y, 1 k np f (4) y 8 1/ w h h f y f y f y q T (5) k q w qk A cos k (6) T k, np np (7) A k 1/ q cos k h h f y f y f y (8)

4 14 Seminarium "Mosty podwieszone i wiszące", Wrocław 1- grudnia 005 rok 6. Ocena niepewności danych Autor rozróżnia trzy przypadki niepewności przedziałowej [4]. Pierwszy przypadek to stała niepewność jednakowa dla każdego parametru, w artykule przyjęto 1%. Drugi rozpatrywany przypadek niepewności to oszacowanie przez dedukcję wartości parametrów. Trzeci przypadek niepewności związany jest z dokładnością zmierzenia danego parametru i wynika bezpośrednio z właściwości zastosowanego urządzenia pomiarowego. Przy określeniu szerokości przedziałów posługiwano się pozycjami [5], [6], [7], [8], [9]. Poniżej dla kabla nr 8 (rys. ) określono niepewności parametrów wejściowych Niepewność stała 1% Niepewność stałą 1% opisano za pomocą liczb przedziałowych wg wzoru (9), gdzie: x - badany parametr wejściowy. (0,99 x;1,01 x) dla x 0 [ x ] (9) (1,01 x; 0,99 x) dla x Niepewność wynikająca z oszacowania wartości danego parametru Oszacowania można dokonać za pomocą dedukcji, należy określić wszystkie możliwe źródła niepewności dla danego parametru i przypisać do tych źródeł maksymalne wartości błędów jakie mogą generować. 1) Wartość teoretyczna =100 m (pozioma odległość węzłów kabla). a) Wpływ temperatury. Temperatura zmienia się w przedziale: t=(-5c; +55C) wg [8]. Temperatura odniesienia: +10C [8], stąd t=(-35c; +45C). Na skutek wydłużenia/skrócenia termicznego może powstać błąd l t = (-0,04; +0,054) [m]. b) Efekt kompresji. Na skutek obciążeń zmiennych, jako reakcja pozioma od podwieszeń, w pomoście pojawia się duża siła osiowa N. Obciążenie ruchome może powodować skrócenie pomostu o l n, na skutek działania siły N=8,630 MN, l n =(N)/(A p E) l n =0,004m. Przyjęto: l n =(-0,01; 0,00) [m]. c) Tolerancja wymiarowa wykonania konstrukcji stalowych dla (wg [5], [6]): 1 cm - daje to przedział: (-0,01; +0,01) [m]. d) Tolerancja odczytu wymiarów: przyjęto tolerancję 1 cm (dla np. pomiaru taśmą) - daje to przedział: (-0,01; +0,01) [m]. e) Powiększenie przedziału o błędy zaokrągleń. Po zsumowaniu powyższych wpływów otrzymuje się (-0,06; +0,064). Po zaokrągleniu do pełnych centymetrów dolnej granicy przedziału w dół, górnej w górę otrzymuje się: (-0,07; +0,07) [m]. Na podstawie przeprowadzonej dedukcji oszacowano: =(99,93; 100,07) [m]. ) Wartość teoretyczna h=80 m (pionowa odległość węzłów kabla) - dedukcję przeprowadzono podobnie jak dla w punkcie 1) (patrz powyżej). a) Wpływ temperatury: (-0,034; +0,043) [m]. b) Efekt kompresji pylonu: przyjęto (-0,01; 0,00) [m]. c) Tolerancja wymiarowa dla h (wg [5], [6]): 1 cm, daje to przedział: (-0,01; +0,01). d) Tolerancja odczytu wymiarów: 1 cm - daje to przedział: (-0,01; +0,01) [m]. e) Powiększenie przedziału o błędy zaokrągleń. Po zsumowaniu wpływów: (-0,054; +0,053). Po zaokrągleniu: (-0,06; +0,06); oszacowano: h=(79,94; 80,06) [m].

5 Seminarium "Mosty podwieszone i wiszące", Wrocław 1- grudnia 005 rok 15 3) Odległość w poziomie punktu pomiaru zwisu y od punktu kotwienia kabla: x. Przyjęto wartość teoretyczną x=30 m. (patrz rys. 1). a) Wpływ temperatury: (-0,013; +0,016) [m] - jak dla w punkcie 1) (patrz powyżej), b) Efekt kompresji: przyjęto (-0,005; 0,00) [m] - jak dla w punkcie 1), c) Tolerancja odczytu wymiarów: 1 cm: (-0,01; +0,01) [m]- wg punktu 1), d) Powiększenie przedziału o błędy zaokrągleń. Po zsumowaniu wpływów: (-0,08; +0,06). Po zaokrągleniu: (-0,03; +0,03). Oszacowano: x=(9,97; 30,03) [m]. 4) Pole przekroju kabla: A k =0,0380 m. Odchylenie wymiarów pola przekroju spowodowane dokładnością wykonania, naciągiem kabla i zmianami temperatury nie przekracza % (wg [7]), przyjęto %, daje to przedział: (0,0374; 0,03876) [m ]. 5) Ciężar objętościowy kabla: q k =0,080 MN/m 3. Odchylenie nie przekracza % od wartości określonej w ateście (wg [7]), przyjęto %: (0,0784; 0,0816) [MN/m 3 ]. 6) Zwis kabla y. Zwis kabla jest wielkością mierzoną, silnie zmieniającą swoją wartość w zależności od wielkości obciążeń zewnętrznych na moście, nie może być przyjęty jako stały. Niepewność zwisu wynika z właściwości urządzenia pomiarowego Niepewność wyznaczenia wynikająca z właściwości urządzenia pomiarowego epsze rezultaty można uzyskać dokonując pomiaru (wyznaczenia) opisanych w poprzednim punkcie parametrów bezpośrednio podczas badania. Oczywiście, jest to mniej wygodne niż przyjęcie do badań pewnej stałej przedziałowej wartości danego parametru. 1) Tolerancja odczytu wymiarów. Założono 1 cm dla np. pomiaru taśmą; daje to przedział: (0,01; +0,01). Na podstawie powyższych rozważań: =(99,99; 100,01) [m]. ) Tolerancja odczytu wymiarów h. Założono tolerancję 1 cm dla np. pomiaru taśmą (j.w.) - daje to przedział: (-0,01; +0,01), stąd przyjęto h=(79,99; 80,01) [m]. 3) Tolerancja odczytu wymiarów x. Założono tolerancję 1 cm dla np. pomiaru taśmą (j.w.) - daje to przedział: (-0,01; +0,01), stąd przyjęto x=(9,99; 30,01) [m]. 4) Pole przekroju kabla A k. Tego parametru się nie mierzy, przyjmuje się stałą wartość. Przyjęto przedział określony w punkcie poprzednim: A k =(0,0374; 0,03876) [m ]. 5) Ciężar objętościowy kabla q k. Przyjęto q k =(0,0784; 0,0816) [MN/m 3 ] (j.w. dla A k ). 6) Zwis kabla y - wg odczytu z urządzenia dla metody pomiaru opisanej w punkcie 3. a) Dokładność odczytu z kamery. Wynika z rozdzielczości kamery cyfrowej. Maksymalny błąd pomiaru dla zwisu nie przekraczającego 0,5 m dla typowych rozdzielczości kamery (800 tys. pikseli) wynosi ok. 0,1%, może to powodować odchylenia wynoszące 0,0005 m - daje to przedział: (0,0005; +0,0005) [m]. b) Zwis linki wyznaczającej cięciwę kabla. inka musi być mocno napięta, jeden koniec należy zamocować ma kołowrotku i obciążyć obciążnikiem (eliminuje to wydłużenie/skrócenie termiczne). Wartość zwisu praktycznie nieważkiej linki nie przekracza 0,001% jej długości. Długość linki dla kabla nr 8 wynosi ok. 18 m, daje to błąd: +0,0018 m. Przyjęto po zaokrągleniu wartości błędu do +0,00 m przedział: (-0,000; +0,00) [m] (zawsze zaokrąglać należy w stronę bezpieczną). c) Drgania linki i kabla. Drgania kabla i linki można odfiltrować zakładając, że wychylenia drgającego kabla są symetryczne. Wpływ na dokładność ma rozdzielczość kamery, stąd przedział możliwego błędu przyjęto jak w punkcie a): (0,0005; +0,0005). Po zsumowaniu powyższych wpływów otrzymuje się przedział y=(-0,001; +0,003) [m]. Ten przedział należy dodać do ostrej wartości zwisu y.

6 Stopień niepewności SIGMA [%] 1,57% 1,57% 4,54% 4,61% 1,99%,0%,00%,00% 10,95% 14,95% 1,06% 9,5% 16 Seminarium "Mosty podwieszone i wiszące", Wrocław 1- grudnia 005 rok 7. Ocena niepewności wyników Do opisu niepewności wyników wykorzystano stopnie niepewności wg wzoru (10), gdzie d 0 - rozwiązanie dokładne. Z indeksem np oznaczono wyniki otrzymane z podręcznikowej postaci wzorów - wzór (7); bez indeksu otrzymane wg (8). O ile nie zaznaczono inaczej obciążenie modelu stanowi ciężar własny elementów konstrukcji. x x w 100% (10) d Badanie parametrów z niepewnością 1% Wszystkie parametry wejściowe mają identyczną niepewność 1% (wykres 1), ale mimo to stopnie niepewności wyników przyjmują różne wartości - niepewność parametrów wejściowych nie przekłada się bezpośrednio na niepewność wyników. Pokazano również problem braku operacji odwrotnych do odejmowania i dzielenia - nieodpowiedni zapis wzorów w przypadku wszystkich wpływów 1% (A) powoduje zwiększenie stopnia niepewności o ok. 5%. Przekształcenie wzoru na naprężenia eliminujące dzielenie przez siebie A k - wzór (8) - jest bardzo ważne, stopień niepewności naprężeń wynosi 0%. Podręcznikowe wyznaczenie naprężeń wg (7) daje wartość stopnia niepewności 4%. 3 5,00% 15,00% Wpływ niepewności 1% danych na stopień niepewności SIGMA SIGMAnp 1 5,00% h xk yk qk Ak All Analizowany parametr przedziałowy Wykres 1. Zależność stopnia niepewności naprężeń SIGMA w kablu od niepewnych danych wejściowych z niepewnością 1% 7.. Badanie wpływu niepewności poszczególnych parametrów Celem analizy jest pokazanie, jak poszczególne niepewne parametry wpływają na niepewność wyników. Pozwala to znaleźć te krytyczne dla danej metody badań parametry, których wpływ na niepewność wyników jest duży. Parametr, którego wpływ jest badany przyjmuje się w postaci przedziałowej, pozostałe przyjęte są w postaci liczb ostrych. Na (wykresie ) pokazano wpływ niepewności oszacowania i wyznaczenia poszczególnych parametrów (analizowanych oddzielnie) na niepewność naprężeń. Parametr, który powodował dużą niepewność wyników (wg stopnia niepewności) w przypadku dokładności 1%, tutaj daje niewielką niepewność wyników (wg stopnia niepewności). Związane jest to z tym, że realna dokładność określenia jest większa niż 1%. Parametr h można oszacować, ponieważ jego wpływ na dokładność wyników jest niewielki.

7 Stopień niepewności SIGMA [%] 6,41% 7,4% 5,36% 13,41% 6,18% 14,71% 15,5% 14,3% 1,06% 9,5% 3,94% 30,1% Stopień niepewności SIGMA [%] 0,78% 1,08% 0,1% 0,1% 0,46% 0,46% 1,09% 1,11% 0,% 0,53% 0,03% 0,03% 0,10% 0,10% 1,09% 1,11% 6,41% 5,36% 8,00% 8,00% 14,71% 13,41% Seminarium "Mosty podwieszone i wiszące", Wrocław 1- grudnia 005 rok 17 18,00% 15,00% 1,00% 9,00% 6,00% 3,00% h Wpływ niepewności pojedynczych danych na stopień niepewności SIGMA xk yk SIGMAnp qk Ak All h xk yk qk Ak All Niepewność oszacowania Niepewność wyznaczenia (pomiaru) Analizowany parametr przedziałowy Wykres. Zależność stopnia niepewności naprężeń SIGMA w kablu od niepewnych danych wejściowych z niepewnością oszacowania i wyznaczenia Ocena metody badań na podstawie stopnia niepewności wyników Na (wykresie 3) porównywane są metody badań różniące się sposobem wyznaczenia parametrów wejściowych (przez oszacowanie lub pomiar). Ale można w ten sposób poddać ocenie kilka metod monitoringu mostu podwieszonego i wybrać tę, dla której stopień niepewności wyników jest najmniejszy - taki jest cel przedstawionego tutaj badania. Na (wykresie 3) pokazano stopnie niepewności wyników dla różnych wartości obciążenia: cw: ciężar własny wszystkich elementów mostu; cw+eksp: ciężar własny wszystkich elementów mostu oraz maksymalne projektowane dla danego mostu obciążenie eksploatacyjne na pomoście (ruchome). Różnice w wartościach stopnia niepewności są niewielkie, więc w tym przypadku można szacować wartości parametrów. 4 35,00% 3 5,00% 15,00% 1 5,00% cw Stopień niepewności w zależności od niepewności danych jako funkcja obciążenia cw + eksp cw cw + eksp SIGMA cw SIGMAnp cw + eksp Niepewność +-1% Niepewność oszacowania Niepewność pomiaru Wykres 3. Zależność stopnia niepewności naprężeń SIGMA w kablu od niepewnych danych wejściowych w zależności od obciążenia mostu 8. Podsumowanie i wnioski Analiza przedziałowa dostarcza narzędzia umożliwiające przetwarzanie niepewnych danych w sposób dający z założenia gwarantowane wyniki. Taką gwarancją jest przy prawidłowym określeniu niepewności (szerokości przedziałów) danych wejściowych przynależność rozwiązania dokładnego do uzyskanego przedziału-wyniku.

8 18 Seminarium "Mosty podwieszone i wiszące", Wrocław 1- grudnia 005 rok Ujęcie przedziałowe umożliwia ocenę (i poprawę) danej metody badań pod kątem dokładności (stopni niepewności) wyników. Pozwala zbadać, które parametry można mierzyć mniej dokładnie (a przez to szybciej i taniej) lub wręcz przyjąć na podstawie wstępnego oszacowania bez pomiaru, co jest na pewno wygodne - ponieważ nie mają wpływu na niepewność poszukiwanych wyników. Zaproponowane metody (przedstawione na przykładach) pozwalają tak prowadzić (projektować) metody badań, aby uzyskać jak najbardziej wiarygodne wyniki, tj. szybko znaleźć źródła dużych niepewności - te parametry, które w danym przypadku generują poważne niepewności wyników (wg stopnia niepewności). Wpływ każdego parametru na stopień niepewności wyników może być badany oddzielnie. Ważną zaletą takiego badania jest też możliwość sprawdzenia z jaką rzeczywistą dokładnością ma do czynienia badacz na obiekcie. Zaproponowane w artykule algorytmy mogą służyć także w przypadku kilku metod monitoringu do wyboru tej, która daje wg stopnia niepewności najlepsze wyniki (najmniejsze wartości stopnia niepewności). Dokładność pomiaru odczytana z urządzenia nie przekłada się na dokładność wyników - jest to ważny wniosek, ponieważ często w praktyce inżynierskiej przyjmuje się dokładność (niepewność) taką samą dla danych i wyznaczonych na ich podstawie wyników. iteratura [1] CZAPIŃSKI K., SUWASKI J. O metodologicznych aspektach ekspertyz budowlanych. Inżynieria i Budownictwo, nr 7/004, s [] MOORE E. Interval Analysis. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New York, USA, [3] TROITSKY M.S. Cable-stayed Bridges. Theory and Design. Crosby ocoweed Staples, ondon, [4] BĘTKOWSKI P. Ocena za pomocą liczb przedziałowych i analiza niepewności typu rozmytego w mostach podwieszonych. Rozprawa doktorska, Gliwice 005. [5] MADAJ A., WOŁOWICKI W. Budowa i utrzymanie mostów. WKŁ, Warszawa, 001. [6] RYŻYŃSKI A., WOŁOWICKI W., SKARŻEWSKI J., KAROKOWSKI J. Mosty stalowe. PWN, Warszawa-Poznań, [7] PTI Recommendations for Stay Cable Design. Testing and Installation. Post Tensioning Institute, Fourth Edition, Phoenix, [8] PN-85/S Obiekty mostowe. Obciążenia. [9] PN-89/S Stalowe konstrukcje mostowe. Wymagania i badania. INTERVA ESTIMATION ACCURACY OF MONITORING STRESS IN STAYED CABES Summary In this article take into consideration possibility of using interval numbers to description of uncertain, inaccurate data in researches and monitoring cable-stayed bridges. Proposed methods of monitoring cable-stayed bridges connect uncertain data with results inaccuracy and also make possibility of optimum selection method of researches with regards accuracy obtain results. It is also shown that proper define width of intervals (data) has high influence on results uncertainty. These methods (rules of proceeding) are illustrated by several theoretical examples.