OBROTOWO- SYMETRYCZNE DRGANIA WŁASNE POWŁOKI STOŻ KOWEJ Z MATERIAŁU Ś CIŚ LIWEGO NIELINIOWO SPRĘ Ż YSTEGO
|
|
- Feliks Markiewicz
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 13 (1975) OBROTOWO- SYMETRYCZNE DRGANIA WŁASNE POWŁOKI STOŻ KOWEJ Z MATERIAŁU Ś CIŚ LIWEGO NIELINIOWO SPRĘ Ż YSTEGO FERDYNAND TWARDOSZ, TADEUSZ WEGNER (POZNAŃ) W pracy poddano analizie drgania własne cienkiej powł oki stoż kowej wykonanej z materiału jednorodnego, izotropowego i ś ciś liwego, dla którego zależ ność pomię dzy naprę ż -e niami i odkształceniami jest nieliniowa, ale odwracalna. Ograniczają c się do analizy małych drgań przyję to zwią zki geometryczne w postaci liniowej, zakł adają c przy tym prawdziwość hipotezy Kirchhoffa- Love'a. 1. Podstawowe równania i zwią zki Równania opisują ce swobodne obrotowo- symetryczne drgania podł uż ne i poprzeczne powł oki stoż kowej mają postać [4] dn ± d 2 u ds s ~^2 = 2QH Q t 2 s > + s s r ds ds 2 ds gdzie N t,n 2, M ±, M 2 oznaczają siły normalne i momenty zginają ce odniesione do jednostki długoś ci powierzchni ś rodkowej, u(s,t), w(s, t) skł adowe przemieszczenia punktów powierzchni ś rodkowej odpowiednio w kierunkach stycznym i normalnym, s odległość dowolnego punktu powłoki od wierzchołka stoż ka, a ką t pomię dzy normalną do powierzchni ś rodkowej i osią powł oki, 2/j grubość powłoki, Q gę stość materiału powł oki. Zgodnie z hipotezą Kirchhoffa- Love'a składowe obrotowo- symetrycznego stanu odkształ cenia dla elementu warstewki odległej o z od powierzchni ś rodkowej wyraż aj ą się wzorami gdzie (1.2) e t =, e 2 = (u+ wtga) są składowymi stanu odkształ cenia powierzchni ś rodkowej powł oki, a wyraż enia 1 dw charakteryzują zmianę głównych krzywizn.
2 394 F. TWARDOSZ, T. WEGNER Zajmiemy się z kolei okreś leniem skł adowych Stanu naprę ż enia. Potencjał sprę ż ystoś i c ciała izotropowego przedstawia wyraż enie [1]: gdzie 0 r (ś o ) = 9K o jest pracą odkształ cenia obję toś ciowego, pracą odkształ cenia postaciowego, a _ 3 F 2 J o o = J Ł ś rednimwydł uż eniem, Y " = y intensywnoś cią odkształ ceń stycznych, E E G- _ 3(1-2v)' " 2(1 moduł em ś ciś liwośi ci moduł em odkształ cenia postaciowego. Moduł Younga E i liczby Poissona v są stał ymi materiał owymi wyznaczonymi przy mał ych odkształ ceniach. Zał óż my, że funkcja wydł uż eni a x(e 0 ) oraz funkcja odkształ cenia postaciowego y(yl) mogą być przedstawione z dostateczną dokł adnoś ci ą w postaci [1]: «0Q) = 1, r(yo) = l gdzie stał ą g 2 wyznacza się doś wiadczalnie. Niech dla jednoosiowego rozcią gania- ś ciskani a mię dzy naprę ż eniem a a podł uż nym odkształ ceniem e zachodzi zwią zek 0-4) e = ~(l+ a 3 a 2 )a, wtedy zależ ność mię dzy współ czynnikiem a 3 a stał ą g 2 ma postać ii lub wyraż ając moduł y K i G za pomocą stał ych is i y otrzymamy E 2 v 3 0 ' 3 ^ = ~2 2 - «3> gdzie»o-
3 OBROTOWO- SYMETRYCZNE DRGANIA POWŁOKI STOŻ KOWEJ 395 Założ one powyż ej zwią zki bardzo dobrze aproksymują rzeczywiś cie zachodzą ce zależ nośic dla wielu waż nych w zastosowaniach technicznych materiałów (np. miedź, aluminium, stopy miedzi i inne). Stosują c oznaczenia potencjał sprę ż ystośi cwymienionych materiałów moż na wyrazić w postaci gdzie V = KQ2 + f a t d B h 1 b ai = E(l- bef)s u b = a 3 E 2 v\. Wielkość 0 jest wzglę dną zmianą obję toś ci, wielkoś ci <r ;, e ( są odpowiednio intensywnoś ci ą naprę ż eń i intensywnoś cią odkształceń. Założ enie cienkoś ciennośi cpowł oki pozwala, tak samo jak w teorii płyt cienkich, traktować elementy powłoki, jako bę dą ce w dwuwymiarowym stanie naprę ż enia, stą d z uogólnionego prawa Hooke'a, przyjmują c a Zz = 0, otrzymamy v,. \ 2v,. e 3z = - - ~j- fa z + e 2:) 0 = - j- - (e iz + e 2z ), gdzie oznaczono 1 3 L(1- T) 2 Ponieważ w przypadku drgań obrotowo- symetrycznych podł uż nych i poprzecznych = 0, to y 12z 4 gdzie fl 0 = fi (ef + e ) + J> 2 e x e 2, fl 2 : Pochodne czą stkowe funkcji V(e lz, e 2z ) okreś laj ą skł adowe stanu naprę ż eni a 8V s u dv j "2«a i oe 2z
4 396 F. TWARDOSZ, T. WEGNER Stąd 4. 16',/ / 1 cr lz = - YE[v 3 e 1 +v 4.s 2 +z(v 3 x 1 +v 4.x 2 )] ~hb\a 0 h'i i + y^2 s 2 +z L \~ z i[ v i e i + Y V2S2 + z j 2 \ a i ("i^i + Y / \ / J L \ 1? 3 «2 (j' aok^ + y^^ij + ai^i^+ y^ei.) + ^2 Ui I "1 «2 + y^ ^ I+ natomiast 1-2? 1 Dla cienkich powł ok sił y i momenty dział ają e c w przekrojach powł oki na jednostkę dł ugoś i cpowierzchni ś rodkowej zwią zane są (w przybliż eniu) z naprę ż eniami zależ noś ciami stąd po wykonaniu cał kowania mamy: h h Ni = J 0i z dz, N 2 = j a 2z dz, - h - h h h M x = - J a 12 zdz, M z = - J a 2z zdz, - h - h - / 1 \ - r / 1 \ / 1 \ i \ *. / L \ z I \ z / J 2- '' 2 e 1 l
5 OBROTOWO- SYMETRYCZNE DRGANIA POWŁOKI STOŻ KOWEJ 397 gdzie B- - jeh, D = ~Eh 3, B t = ^- Ebh, B 2 =^- Ebh 3, B 3 = ^Ebh 5. Jeż el i podstawimy powyż sze zależ nośi cdo układu równań (1.1), a wystę pują ce w nich wielkoś ci «0, a ls a it e u s 2, «i, x 2 wyrazimy przez u i w za pomocą zwią zków (1.5), (1.2) i (1.3), otrzymamy poszukiwane równania obrotowo- symetrycznych drgań powłoki stoż kowej w nastę pują cej postaci: 8 2 u 1/ du dw + + t 2 ~ (1.6){ du dw d 3 w dw\ d 2 d 2 u d 2 w d 3 w d 3 w d 2 w ] 3 f / du dw dw du + dw dw + dw + ~ds"w~w] U 5 L" 1 * 2 KSS 2 ~W!te +!JF~ds 3 +U '~ds '~ds ~W r ~dś 2 ~ 8 3 w'd 2 w 1 l8 2 w\ 2 dw + t ) I/ 2 1 2\ld 2 uldw\ 2. du d 2 w dw. d 3 w ds Id 2 w\ 2 ds dś 2 ds ds 3 dw \ ds 2 / 2 1 f3 I dw\ 3 duldw\ 2. a 2 w dw. d 2 w dw \ 1 2 I \ ds \ ds I ds 2 ds ds 2 ds / J 3.,/ IdwV ldw\ 2 \\., d 2 u dw 2
6 398 F. TWARDOSZ, T. WEGNER 2,r \ ds os os * ^1 s- I,?/ du 8w du\ dw du + tg 3 aw 3 ) - B 2 \ 3vl 2 - d 3 u jt - du x- 8 2 w d 2-5 d 2 b - w d 2 = u - -5 du d 3 x = = = - 5- w J I \ 5s 3 os ds 2 \ ds 2 I ds 2 d1 d ds ldu\ 2 d*w\ 3[ I d 3 u du dw d 3 u 8 2 w d 3 u d 2 w \ 3.9 / 5.? /,v L \ 3.r & as us 3 os os 3 os ŁM dw d 2 u d 3 w d 2 u d 3 w d 2 u d 2 w dw 3.c ay c.v 3^^ av J o.y os ds du d*w du 3 4 M' _ du d 3 w dw 3 du Id 2 w + -. w - r-y + tg a - =- - a-- jm' + 2tg a - =- - g-r - «- + w tg a ^ ds (lv 4 & fo 4 b ds ds 3 ds 2 ds \ ds 2., / 0 S «SM 5 M ^ / S W \ \ ay 2 ra ra 2 \ c«/ & J / J 2 S W \ ] 1 [ 3 1 2\ / 3t/ dw Ć 3 M 5 3w. 3 2 if 3H SH 1. d 2 u d 2 w d 2 u d 2 w + 2tg a - T-- j- Y- w «- v-r + 4tg a - r-- j rlr <;,s' 9.r 3.? 0,9 ds 2 ds 2 ć te u I dw\ I du\ 2 d 2 w du d 3 w du d 3 w 3i 2 \ ds I \.ds I ds 2 ds ds 3 ds ds 3 du d 2 w dw, 3 4 w 3 4 w, 5 3 w dw 1 d 2 w\ 2 + M x- - - :- - "T~ + 2tg + 4 t g + 3 t 1 (1.6){ r j n, o 4 w,, 3 3 M' dw du\ 2 dw, du 8 2 w ^ri 4 FF t( T + 4tga^- - - ^- w + 3- ir - 2 / \ 3.y 2 3.? d d 3^2 3.y \ 2 3J / ds Bu d 2 w., 3 3 w 3 3 w _, d 3 w - j ~ w+2zu 2 - ^- r r w ds ds - + 4tgaw- ^- 3-w + 2tga s 3 ds 3 ds 3 du dw n du dw, 3 2 w _ d 2 w + 2 t + > + 2 t + 2 / 3w\ 3w\ 3[ ld A wd 2 wdw I d s wv 8w + + \ d?) ds^j + 7T 1 ^ 2 \ lf& \ \ds
7 OBROTOWO- SYMETRYCZNE DRGANIA POWŁOKI STOŻ KOWEJ 399 'd 3 w I d 2 w\ \ 2 2 ] \(d*wldw\ w d 2 i 1. 1 \(d*w(dw\ 2 w dw 2 2 / j s* 2 I \ os* \ os j ds 3 ds Ą - wi dwldw\ M ld 2 ldw\ 2 8w d 2 w 2. Przybliż one całkowanie równań ruchu Ukł ad równań (1.6) scał kujemy w sposób przybliż ony metodą Bubnowa- Galerkina. W przypadku powł oki stoż kowej z wierzchoł kiem ś cię tym, o swobodnie podpartych krawę dziach, zakładamy funkcje u, w w postaci sumy (2-D gdzie U, (t), W,(t) są nieznanymi funkcjami czasu, natomiast f m (s) i g, a (s) przyjmujemy w postaci (2.2) f, (s) - cosmra^-, g-,(j) Funkcje (2.2) speł niają tylko kinematyczne warunki na brzegach powł oki, natomiast warunki statyczne są spełnione w przybliż eniu [3]. Po wykonaniu calkowań i uporzą dkowaniu oraz wprowadzeniu wielkoś ci bezwymiarowych (2.3) X = i ^, Z = - Ł T- flrf, ^ =, gdzie w jest pulsacją podstawową drgań rozważ anego układu, ml = «, a 9 bezwymiarową czę stoś ci ą drgań, otrzymamy dla każ dego 7«dwa nieliniowe równania róż niczkowe zwyczajne wzglę dem funkcji X, Z (2.4) Poszczególne współczynniki układu (2.4) mają nastę pują ce wartoś ci: R - 2 = d ' d 2r 2 +gd 3 di
8 400 F. TWARDOSZ, T. WEGNER c 4 d s r a c s r _ d 6 r 2 +gd 7 : A>3 > 73 T~ d 8 r 3 +gd 9 r d, Cl = 15 4p* 3 o ^~c s, 1 / ^3 =V 3 4
9 OBROTOWO- SYMETRYCZNE DRGANIA POWŁOKI STOŻ KOWEJ i> 4 + przy czym p = nrn, k t p S TT 7 Mechanika Teoretyczna
10 402 F. TWARDOSZ, T. WEGNER W ukł adzie równań (2.4) wyrazy nieliniowe są małe w porównaniu z liniowymi. W zwią z- ku z tym moż emy dany układ traktować jako słabo nieliniowy. Zastosujemy zatem do rozwią zania metodę małego parametru [2]. Aby wyznaczyć przybliż one rozwią zanie okresowe wykorzystujemy fakt, że nieliniowość ukł adu wpł ywa na wielkość okresu drgań swobodnych. W zwią zku z tym poszukujemy rozwią zania w postaci rozwinię ć (2.5) Z- Z 0 + bz r +b 2 Z , O 2 = Rozwinię cie poszukiwanej czę stoś i cdrgań w szereg wzglę dem potę g parametru b pozwala wyeliminować z rozwią zania człony sekularne i uzyskać przybliż one rozwią zanie okfesowe. Po podstawieniu zależ nośi c(2.5) do układu (2.4) i rozwinię ciu lewej i prawej strony równań w szeregi wzglę dem potęg parametru b oraz przyrównaniu do siebie wyrazów stoją cych przy tych samych potę gach b, uzyskamy rekurencyjne układy równań róż niczkowych : (2.6) (2-7) d 2 X 'o y 2 d 2 X 0 It 2 ' d 2 Z 0 dr 2 d 2 X = U, d 2 X 0 = - t/ p 3 (X 2 Z x + (2.8) dr y o^2- yi^2 = - </ 2 z 0 ar ar' 1?Zi +2X 0 Z 0 X 1 )- y^z 2 X 1 +2X0Z0Z, )- 30 s ZgZ Ł, Niech funkcja Z(T) speł nia warunki począ tkowe (2.9) Z(0) - B, Ź (0) = 0, wtedy (2.10) Ż o(0) = Z t (0) = Ż 1 (0) = Z 2 (0) = gdzie kropka oznacza pochodną wzglę dem czasu. Rozwią zanie nasze ograniczymy do drgań swobodnych jednoczę stoś ciowych. W tym przypadku warunki począ tkowe dla funkcji X(t) zależą od warunków począ tkowych dla Z(T) i wynikają z rozwią zania zagadnienia jako warunek konieczny drgań jednoczę stoś ciowych.
11 OBROTOWO- SYMETRYCZNE DRGANIA POWŁOKI STOŻ KOWEJ 403 Rozwią zania szczególnego układu równań (2.6) poszukujemy w postaci \X 0 = J \^Q &!<. Podstawiając założ oną postać rozwią zania do (2.6) uzyskamy dwa algebraiczne układy równań } yiax + (yo Ol)B L «= 0, \~yia 2 + (y Q 6o)B 2 = 0; stą d warunek istnienia niezerowego rozwią zania ma postać = 0. Rozwinię cie wyznacznika daje równanie dwukwadratowe na czę stość drgań własnych ukł adu zlinearyzowanego (b = 0), mianowicie ską d (2.11) Ol = Układ zlinearyzowany ma dwa szczególne rozwią zania harmoniczne o czę stoś ciach okreś lonych wzorem (2.11). Pierwsza wyż sza czę stość (znak + ) odpowiada drganiom podłużnym, druga niż sza czę stość (znak ) drganiom poprzecznym powłoki. Drgania te zachodzą dla ś ciśe l okreś lonych wartoś ci współczynnika postaci drgań własnych Wartoś ci te wyznaczamy ze zwią zku Ponieważ ^! = IB 1, A 2 = kb 2, wię c dla warunków począ tkowych Z o (0) = B, Ż o (0) = 0, mamy B L = B, A t - IB, B 2 0, A 2 = 0. Ostatecznie rozwią zanie szczególne układu zlinearyzowanego (2.6) ma postać (2.13) X o = IBCOST, Z o =.BCOST. Po podstawieniu powyż szego rozwią zania do układu (2.7) uzyskujemy układ równań (2.14) Y~ + $ a X x $ x Z x = PiCOST + PiCosSr, u i,,o d 2 Z, ^ n Po 2- +y 0 Z 1 ~y l Xi = AICOST+ / V2COS3T, Civ gdzie P x = XBd 1 +3B 3 p l, P 2 = B 3 Pi, R L = B6 X + 3B3 r 1, R 2 = B 3 r x, 7*
12 404 F. TWARDOSZ, T. WEGNER zaś Aby uzyskać periodyczne rozwią zanie powyż szego ukł adu, zakł adamy rozwią zanie szczególne w postaci X x = C 1 które po podstawieniu do (2.14) daje cztery algebraiczne ukł ady równań: O? o - 0g)C 1 - /? 1.D 1 = P t, (Po- 96l)C 2 - p 1 D 2 = P 2, - yic. + Cyo- O^D,= R u - y 1 C 2 + (y o ~90 2 o)d 2 = R 2, (Po- B&Ct- hdt = 0, 0 o - 9d 2 o)c 4 - ^D 4 = 0, - YiC t + (y 0 - Oi)D t = 0, - y i c 4 + ( Yo - 9B 2 o)d 4 = 0. Wyznaczniki charakterystyczne ukł adów równań (2.15)! i (2.15) 3 są równe zeru. Warunek istnienia rozwią zań ukł adu (2A5) 1 ma więc postać stąd wykorzystując zwią zek (2.12) mamy - Vi, R = Pityi+Ripi = 0. Po podstawieniu P t i R t uzyskujemy warunek = 0, z którego wyznaczamy (2.16) gdzie A 1 " _ Dla wyznaczonej wartoś ci 6± równania ukł adu (2.15) L są liniowo zależ ne. Mię dzy stał ymi C t i Dj zachodzi zwią zek Podobiiie równania ukł adu (2.15) 3 są liniowo zależ ne, stąd zwią zek mię dzy stał ymi C 3 = 1 > 3. Z ukł adu równań (2.15) 2 wyznaczamy stał e C 2 i D 2, otrzymując
13 OBROTOWO- SYMETRYCZNE DRGANIA POWŁ OKI STOŻ KOWEJ 405 gdzie Analogicznie z równań (2.15) 4 mamy C 4 =» 4 = 0. Wykorzystując warunki począ kowe Z t (0) = 0, Ż t (0) = 0 dostaniemy stąd >i = - Di = ~B 3 z 1 oraz D 3 = - 3D A = 0. Posł ugując się wyznaczonymi wartos'ciami stał ych D^ i D 3 uzyskujemy c 3 = o. Rozwią zanie szczególne ukł adu (2.14) ma więc postać '- 2 ' 17 ' 1 Podobnie postę pując uzyskujemy JX X = # 3 (X 1 COST+ X 2 COS3T), \ Zi = ^3Zi (COS 3 TT- COST). \X 2 = (0 1 K\ [Z 2 = 5 5 [Z 2 (COS3T COST)+ 2 3 (cos 5T COST)], dla 0 2 = - 5 4^ 2, gdzie przy czym e Ą m y o - 25d 2 o, p 2 = - X t 'd' 1 + (3x 1 + x 1 )p s - 2z t p e, r 2 = p 3 = - 9x 2 # 1 + ( r s =
14 406 F. TWARDOSZ, T. WEGNER Ograniczają c się do drugiego przybliż enia uzyskamy poszukiwane rozwią zanie w postaci (2.20) X = XBcosr+bB 3 (x 1 cost+x 2 co&3t)+b 2 B s (x 3 cosz+x 4.cos3r+ + X 5 COS5T)+..., Z = i? cos T+ bb 3 z t (cos 3 r cos T)+ b 2 B 5 [z 2 (cos 3 r cos T) + + z 3 (cos 5T COST)] +..., fl2 = fl2_j Powyż sze rozwią zanie jest szeregiem potę gowym ze wzglę du na wielkość bb 2. Aby szereg był szybko zbież ny, co umoż liwia korzystanie tylko z kilku jego pierwszych składników, wartość bb 2 musi być mała. Na podstawie prób rozcią gania [1] przy naprę ż eniach nie przewyż szają cych wartoś ci 1000 kg/ cm 2 uzyskano dla czystej miedzi nastę pują ce wielkoś ci stałych: K = 1, kg/ cm 2, G - 0, kg/ cm 2, g 2 = 0, , stą d b = 0, Ponieważ przyję to zwią zki geometryczne w postaci liniowej ograniczając analizę do mał ych drgań, wię c wielkość bb 2 może odgrywać rolę małego parametru, a uzyskane rozwią zanie ma charakter asymptotyczny dla mał ych wartoś ci parametru bb 2. Na skutek nieliniowoś ci ukł adu (b ^ 0) w rozwią zaniu pojawiły się wyż sze harmoniczne, a czę stość drgań własnych ulega zmianie i zależy od amplitudy. 3. Analiza wyników W celu zbadania wpływu nieliniowoś ci sprę ż yste j materiału na drgania powłoki przeanalizowano nastę pują ce funkcje: A t (A) = l+avl(x 1 +x 2 ), A n {A) = X+AvKxi+x^A- A 2 v%(x 3 +x A +x 5 ), Indeksy I, II oznaczają tu odpowiednio pierwsze i drugie przybliż enie. Bezwymiarowy argument A = a 3 E 2 B 2 jest iloczynem stałej materiałowej a 3 okreś lają ce j nieliniowość sprę ż yst ą materiału [wyznaczonej przy jednoosiowym rozcią ganiu ś ciskaniu (1.4)] kwadratu modułu Younga E i kwadratu bezwymiarowej amplitudy drgań poprzecznych B. Współ czynnik postaci drgań wł asnych A okreś la stosunek amplitudy drgań podł uż nych do amplitudy drgań poprzecznych, dla którego zachodzą analizowane drgania wł asne powł oki, A =»- Z(0)' 6 2 zaś jest kwadratem bezwymiarowej czę stoś i c dfgań własnych powłoki. W ukł adzie współ rzę dnych A A oraz 6 2 A wykresy pierwszego przybliż enia analizowanych funkcji są liniami prostymi, drugiego przybliż enia parabolami. Krzywe te cha-
15 OBROTOWO- SYMETRYCZNE DRGANIA POWŁOKI STOŻ KOWEJ 407 rakteryzują ce drgania jednego rodzaju (podłuż ne lub poprzeczne) zależą od nastę pują cych pię ciu parametrów: m oznacza liczbę okreś lają ą c ilość półfal na dł ugoś ci powł oki, / u stosunek najmniejszego promienia krzywizny powł oki do jej dł ugoś ci, /S poł owę ką ta wierzchoł kowego stoż ka, % stosunek gruboś ci powłoki do jej dł ugoś ci, v liczbę Poissona. Pozostałe parametry: a 3 współ czynnik okreś lają cy nieliniowość materiału (1.4), E moduł Younga, Q gę stość materiału powł oki, / długość powł oki mierzona wzdłuż tworzą cej zawarte są w bezwymiarowych współ rzę dnych gdzie W mak jest amplitudą drgań poprzecznych (gię tnych), w pulsacją drgań rozważ anej powłoki. podstawową Materiałom o «mię kkich» charakterystykach (a 3 > 0) odpowiada czę ść wykresu dla A > 0, materiałom liniowo sprę ż ystym (a 3 = 0) odpowiada A = 0, materiał om o «sztywnych» charakterystykach (a 3 < 0) odpowiada czę ść wykresu dla A < 0. Jako przykł ad naszych rozważ ań przeanalizujemy drgania wł asne powł ok stoż kowych (przy m = 1) o nastę pują cych wartoś ciach parametrów: H - 0,5, tg/s = 0,2, x = , v- 0,3. Na rys. 1 przedstawiono wykresy funkcji A{A) oraz 6 2 (A) dla drgań podł uż nych, na rys. 2 dla drgań poprzecznych. Drgania podłuż ne charakteryzują się znacznie wyż szą czę - stoś cią drgań od drgań poprzecznych. Oczywiś cie dla drgań podłuż nych zachodzi zwią zek \ A\ > 1, natomiast dla drgań poprzecznych \ A\ < 1. Jak wynika z przytoczonego przykładu dla charakterystyk «mię kkich» ze wzrostem amplitudy czę stość maleje, dla «sztywnych» roś nie. Cecha ta jest silniejsza dla materiałów o wię kszym współczynniku \a 3 \. Wpływ parametrów ju oraz /? na drgania poprzeczne przy niezmienionych wartoś ciach pozostał ych parametrów ilustrują odpowiednio rys. 3 i 4. Przy /? = 0 uzyskujemy charakterystyki dla powł oki walcowej. Zmiany parametru % w zakresie od 2 10" 3 do 8 10" 3 nie wpływają na zmianę wartoś ci analizowanych funkcji. Ś ciś liwoś ć materiału dość znacznie wpływa na czę stość drgań własnych oraz na współczynnik postaci drgań własnych, w przypadku materiału nieliniowo sprę ż ystego. W przypadku materiał u podlegają cego prawu Hooke'a ś ciś liwoś ć materiał u wpływa w mał ym stopniu na czę stość drgań wł asnych. Wpływ ś ciś liwośi cna analizowane funkcje w przypadku drgań poprzecznych przedstawia rys. 5. Przyjmowanie założ enia upraszczają cego, iż materiał powłoki jest nieś ciś liwy, może być przyczyną duż ych bł ę dów w przypadku zastosowania uproszczonej teorii do analizy drgań powł ok wykonanych z materiał ów nieliniowo sprę ż ystych. Zjawisko zmiany czę stoś c i drgań wł asnych ze zmianą amplitudy ma duże znaczenie w przypadku drgań wymuszonych, a w szczególnoś ci w przypadku rezonansu.
16
17
18 410 F. TWARDOSZ, T. WEGNER pierwsze przybliż eni e drugie przybliż enie O 1 drugi* przybliż enie A Literatura cytowana w tekś cie 1. H. KAUDERER, Nichtlineare Mechanik, Berlin N. MINORSKI, Drgania nieliniowe, Warszawa IO. IO. TpAnE3HH, O Majiux KOjieoauunx Kpyeoeoii mohkoanemwu KonuuecKOii OSO/ IOHKU, Pac^eTH Hi npo^raoctłj B. 2, MocKBa P. TWARDOSZ, Osiowo- symetryczne drgania nieliniowo- sprę ż ystejpowłoki stoż kowej, Poznań skie Towarzystwo Przyjaciół Nauk, zeszyt 8, Poznań B. C. BJIACOB, O6u{an meopun oso/ iouek, MocKBa P e 3 IO M e COECTBEHHŁIE KPyrJIOCHMMETPIOTECKHE KOJIEBAHHH KOHI- MECKOH OEOJICra<H H3 GKHMAEMC- ro HEJIHHEHHO- ynpyroro MATEPHAJIA B pa6ote nccjie#yiotch co6ctbemiłie i<ojie6anhh (c KpyroBoii CHMMeTpneii) CBo6oflno oneptoft no KpaHM.TOHKOH osojiotjkh B BHfle yce^ehhoro Konyca H3 ofluopoflhoro, H3OTponHoro, jihueiiho ynpyroro, OKHMaeMoro MaTepnajia. Ilpn orpaiih^eniih anajih3a K cnyqaio Mantix KoJie6aHHH 3 flonycnimo Hcnont-
19 OBROTOWO- SYMETRYCZNE DRGANIA POWŁOKI STOŻ KOWEJ BaHHe reoivietperaeckh JlHHetabK 3aBHCHMocTeił. IToJiyqeHa CHcteivia #Byx HejiHHefiHLix fliicpibepehi(hajibhbix ypabhenhh c ^acthbimh npoh3boflhbimh qetbeptoro nophflka, onpeflenhmiuhx npoflojithłie H nonepemibie KOJieSaHiui. YpaBHeHHH cbeflehh MeTOflOM EySHOBa- FaJiepKHHa K o6bikhobemibim fliicbypabheiihhm. lipa npeflnowenhh o cjia6oii HeJiHHeiłHociH, ypabhenmi penienw c no- Meiofla Manoro napamctpa. PemeHHH orpahh^hbajihcb KO BTopoMy npa6jih>kehhio. HŁie peiuehhhj HJunocipHpyioinHe BirHHHHe ynpyron HennHeHHOcTH Ha KOJie6aiiHH OSOJIO^ CTaBJieubi rpacjjiraeckh. Summary ROTATIONALLY SYMMETRIC FREE VIBRATIONS OF A CONICAL SHELL MADE OF COMPRESSIBLE, NON- LINEAR ELASTIC MATERIAL The paper deals with the analysis of rotationally free vibrations of a thin truncated conical shell, simply supported on both edges. The material of the shell is assumed to be homogeneous, isotropic, non- linear elastic and compressible. The problem is limited to the analysis of small vibrations what makes it possible to use the linear geometric relations. As a result, the system of partial differential equations of fourth order is obtained describing the longitudinal and transverse vibrations. By applying the variational Bubnov- Galerkin method, partial equations are reduced to the ordinary differential equations. Assuming weak non- linearity, the equations are then solved by the perturbation method, the solution being limited only to second approximation. The equations obtained describing the influence of elastic non- linearity of the material on the vibrations of the shell have been presented graphically. POLITECHNIKA POZNAŃ SKA, POZNAŃ Praca została złoż ona w Redakcji dnia 8 listopada 1974 r.
FERDYNAND TWARDOSZ I JERZY ZIELNICA (POZNAŃ)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 16 (1978) O STATECZNOŚ CI DYNAMICZNEJ POWŁOKI STOŻ KOWEJ PRZY PULSUJĄ CYCH SIŁACH PODŁUŻ NYCH I POPRZECZNYCH Z UWZGLĘ DNIENIEM NIELINIOWEGO TŁUMIENIA MATERIAŁOWEGO
Bardziej szczegółowoPŁYTY PROSTOKĄ TNE O JEDNOKIERUNKOWO ZMIENNEJ SZTYWNOŚ CI
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 10 (1972) PŁYTY PROSTOKĄ TNE O JEDNOKIERUNKOWO ZMIENNEJ SZTYWNOŚ CI KAROL H. BOJDA (GLIWICE) W pracy wykorzystano wł asnoś ci operacji T a [1] do rozwią zania równania
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE NAPRĘ ŻŃ ENA PODSTAWIE POMIARÓW TYLKO JEDNEJ SKŁ ADOWEJ ODKSZTAŁ CENIA
MECHANIKA. TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 2 (1964) WYZNACZANIE NAPRĘ ŻŃ ENA PODSTAWIE POMIARÓW TYLKO JEDNEJ SKŁ ADOWEJ ODKSZTAŁ CENIA WOJCIECH SZCZEPIKJSKI (WARSZAWA) Dla peł nego wyznaczenia na drodze doś
Bardziej szczegółowoRuch w potencjale U(r)=-α/r. Zagadnienie Keplera Przybli Ŝ enie małych drgań. Wykład 7 i 8
Wykład 7 i 8 Zagadnienie Keplera Przybli Ŝ enie małych drgań Ruch w potencjale U(r)=-α/r RozwaŜ my ruch punktu materialnego w polu centralnym, o potencjale odwrotnie proporcjonalnym do odległo ś ci r od
Bardziej szczegółowoO PEWNYM UOGÓLNIENIU METODY ORTOGONALIZACYJNEJ. 1, Uwagi wstę pne
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 3 (1965) O PEWNYM UOGÓLNIENIU METODY ORTOGONALIZACYJNEJ SYLWESTER KALISKI (WARSZAWA) 1, Uwagi wstę pne W problemach teorii drgań zasadniczą rolę odgrywają metody przybliż
Bardziej szczegółowoPOWŁOKI PROSTOKREŚ LNE OPARTE NA OKRĘ GU PRACUJĄ CE W STANIE ZGIĘ CIOWYM STANISŁAW BIELAK, ANDRZEJ DUDA. 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 18 (1980) POWŁOKI PROSTOKREŚ LNE OPARTE NA OKRĘ GU PRACUJĄ CE W STANIE ZGIĘ CIOWYM STANISŁAW BIELAK, ANDRZEJ DUDA (OPOLE) 1. Wstę p W pracy przedstawiono rozwią zanie
Bardziej szczegółowoWykład 3. Ruch w obecno ś ci wię zów
Wykład 3 Ruch w obecno ś ci wię zów Wię zy Układ nieswobodnych punktów materialnych Układ punktów materialnych, których ruch podlega ograniczeniom wyraŝ onym przez pewne zadane warunki dodatkowe. Wię zy
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Bardziej szczegółowoANALIZA WYTRZYMAŁOŚ CIOWA PIONOWEJ PRZEPŁYWOWEJ WYTWORNICY PARY ELEKTROWNI JĄ DROWYCH MICHAŁ N I E Z G O D Z I Ń S K I, WACŁAW ZWOLIŃ SKI (ŁÓDŹ)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 19 ANALIZA WYTRZYMAŁOŚ CIOWA PIONOWEJ PRZEPŁYWOWEJ WYTWORNICY PARY ELEKTROWNI JĄ DROWYCH MICHAŁ N I E Z G O D Z I Ń S K I, WACŁAW ZWOLIŃ SKI (ŁÓDŹ) 1. Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów
Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 07 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t Gó w d y s k i e g o C e n
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Rozdział 3. Przedmiot zamówienia
Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 1 0 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f S p r z» t a n i e i u t r z y m a n i e c z y s t o c i g d y
Bardziej szczegółowoPodstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Bardziej szczegółowoMAREK Ś LIWOWSKI I KAROL TURSKI (WARSZAWA)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 12 (1974) WPŁYW CYKLICZNEJ PLASTYCZNEJ DEFORMACJI NA POWIERZCHNIĘ PLASTYCZNOŚ CI* MAREK Ś LIWOWSKI I KAROL TURSKI (WARSZAWA) W pracach eksperymentalnych, poś wię conych
Bardziej szczegółowo2.Prawo zachowania masy
2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco
Bardziej szczegółowoANALIZA KONWEKCYJNEGO REKUPERATORA PĘ TLICOWEGO Z KRZYŻ OWYM PRZEPŁYWEM CZYNNIKÓW JAN SKŁADZIEŃ (GLIWICE) 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 13 (1975) ANALIZA KONWEKCYJNEGO REKUPERATORA PĘ TLICOWEGO Z KRZYŻ OWYM PRZEPŁYWEM CZYNNIKÓW JAN SKŁADZIEŃ (GLIWICE) 1. Wstę p Przy rozpatrywaniu dowolnego rekuperatora
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji. Wojciech Dindorf Elżbieta Krawczyk
Scenariusz lekcji Czy światło ma naturę falową Wojciech Dindorf Elżbieta Krawczyk? Doświadczenie Younga. Cele lekcji nasze oczekiwania: Chcemy, aby uczeń: postrzegał doś wiadczenie jako ostateczne rozstrzygnię
Bardziej szczegółowoANALIZA N IELIN IOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH BELEK WIELOPRZĘ SŁOWYCH
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 26 (1988) ANALIZA N IELIN IOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH BELEK WIELOPRZĘ SŁOWYCH ROMAN LEWANDOWSKI Politechnika Poznań ska W niniejszej pracy podano numeryczne rozwią zanie
Bardziej szczegółowoANALIZA ROZKŁADU NAPRĘ Ż EŃ W SPOINIE KLEJOWEJ POŁĄ CZENIA ZAKŁADKOWEGO W ZAKRESIE ODKSZTAŁCEŃ PLASTYCZNYCH
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 26 (1988) ANALIZA ROZKŁADU NAPRĘ Ż EŃ W SPOINIE KLEJOWEJ POŁĄ CZENIA ZAKŁADKOWEGO W ZAKRESIE ODKSZTAŁCEŃ PLASTYCZNYCH JAN GODZIMIRSKI Wojskowa Akademia Techniczna,
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA SZTYWNEJ PŁYTY SPOCZYWAJĄ CEJ NA SPRĘ Ż YSTO- PLĄ STYCZNY M PODŁOŻU ZE ZMIENNĄ GRANICĄ PLASTYCZNOŚ CI CZĘ ŚĆ II. SPRĘ Ż YSTE ODCIĄ Ż ENI E
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 10 (1972) DYNAMIKA SZTYWNEJ PŁYTY SPOCZYWAJĄ CEJ NA SPRĘ Ż YSTO- PLĄ STYCZNY M PODŁOŻU ZE ZMIENNĄ GRANICĄ PLASTYCZNOŚ CI CZĘ ŚĆ II. SPRĘ Ż YSTE ODCIĄ Ż ENI E. JERZY
Bardziej szczegółowoDRGANIA UKŁADU Z NIESYMETRYCZNĄ CHARAKTERYSTYKĄ SPRĘ Ż YSTOŚI CPRZY PARAMETRYCZNYCH I ZEWNĘ TRZNYM WYMUSZENIU. 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 23 (1985) DRGANIA UKŁADU Z NIESYMETRYCZNĄ CHARAKTERYSTYKĄ SPRĘ Ż YSTOŚI CPRZY PARAMETRYCZNYCH I ZEWNĘ TRZNYM WYMUSZENIU KAZIMIERZ SZABELSKI WALDEMAR SAMODULSKI Politechnika
Bardziej szczegółowoSTABILNOŚĆ UKŁADU WIBRO- UDERZENIOWEGO O WYMUSZENIU KINEMATYCZNYM BOHDAN KOWALCZYK (GDAŃ
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 4(1965) STABILNOŚĆ UKŁADU WIBRO- UDERZENIOWEGO O WYMUSZENIU KINEMATYCZNYM BOHDAN KOWALCZYK (GDAŃ SK) W cią gu ostatnich lat coraz czę ś cie j stosowane są mechanizmy,
Bardziej szczegółowoI Pracownia fizyczna ćwiczenie nr 16 (elektrycznoś ć)
BADANIE PĘTLI HISTEREZY DIELEKTRYCZNEJ SIARCZANU TRÓJGLICYNY Zagadnienia: 1. Pole elektryczne wewnątrz dielektryków. 2. Własnoś ci ferroelektryków. 3. Układ Sowyera-Towera. Literatura: 1. Sz. Szczeniowski,
Bardziej szczegółowo1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1
Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.
Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 5 32 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f W y k o n a n i e p r z e g l» d ó w k o n s e r w a c y j n o -
Bardziej szczegółowo'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+
'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu
Bardziej szczegółowoDRGANIA MECHANICZNE. materiały uzupełniające do ćwiczeń. Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie
DRGANIA MECHANICZNE materiały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie prowadzący: mgr inż. Sebastian Korczak część modelowanie, drgania swobodne Poniższe materiały
Bardziej szczegółowoWyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów
Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.
Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński
Wytrzymałość materiałów ćwiczenia projektowe 5. Projekt numer 5 przykład 5.. Temat projektu Na rysunku 5.a przedstawiono belkę swobodnie podpartą wykorzystywaną w projekcie numer 5 z wytrzymałości materiałów.
Bardziej szczegółowo11.1. Zale no ć pr dko ci propagacji fali ultrad wi kowej od czasu starzenia
11. Wyniki bada i ich analiza Na podstawie nieniszcz cych bada ultrad wi kowych kompozytu degradowanego cieplnie i zm czeniowo wyznaczono nast puj ce zale no ci: pr dko ci propagacji fali ultrad wi kowej
Bardziej szczegółowoREDUKCJA STOPNI SWOBODY UKŁADÓW DYSKRETNYCH JANUSZ BARAN, KRZYSZTOF MARCHELEK
MECHANIKA TEORETYCZNA STOSOWANA, 9 (97) REDUKCJA STOPNI SWOBODY UKŁADÓW DYSKRETNYCH JANUSZ BARAN, KRZYSZTOF MARCHELEK (SZCZECIN) Przy modelowaniu maszyn za pomocą ukł adów dyskretnych bardzo waż ną rolę
Bardziej szczegółowoInstrukcja obiegu i kontroli dokumentów powodujących skutki finansowo-gospodarcze w ZHP Spis treści
C h o r ą g i e w D o l n o l ą s k a Z H P U c h w a ł a n r 2 1 / I X / 2 0 1 5 K o m e n d y C h o r ą g w i D o l n o 6 l ą s k i e j Z H P z d n i a 2 10. 5. 2 0 1 5 r. w s p r a w i e I n s t r u
Bardziej szczegółowoDrgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoSTATECZNOŚĆ EULEROWSKA PRĘ TÓW PRZEKŁADKOWYCH Z RDZEN IEM O ZMIENNEJ CHARAKTERYSTYCE. 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1/2, 20 (1982) STATECZNOŚĆ EULEROWSKA PRĘ TÓW PRZEKŁADKOWYCH Z RDZEN IEM O ZMIENNEJ CHARAKTERYSTYCE PIOTR A. WRZECIONIARZ (WROCŁAW) 1. Wstę p Pojawienie się tworzyw o
Bardziej szczegółowoDefi f nicja n aprę r żeń
Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie
Bardziej szczegółowon ó g, S t r o n a 2 z 1 9
Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I2 7 1 0 6 3 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A D o s t a w a w r a z z m o n t a e m u r z» d z e s i ł o w n i z
Bardziej szczegółowoTemat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Bardziej szczegółowo14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY
14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY Ruch jednostajny po okręgu Pole grawitacyjne Rozwiązania zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania
Bardziej szczegółowo6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp
6. ZWIĄZKI FIZYCZN 1 6. 6. ZWIĄZKI FIZYCZN 6.1. Wstęp Aby rozwiązać jakiekolwiek zadanie mechaniki ośrodka ciągłego musimy dysponować 15 niezależnymi równaniami, gdyż tyle mamy niewiadomych: trzy składowe
Bardziej szczegółowoPŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania
Charakterystyczne wielkości i równania PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej,
Bardziej szczegółowoRówna Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym
Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoMETODA OBLICZANIA AMPLITUD DRGAŃ WYMUSZONYCH BELEK SŁABO TŁUMIONYCH TARCIEM KONSTRUKCYJNYM. 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 4, (986) METODA OBLICZANIA AMPLITUD DRGAŃ WYMUSZONYCH BELEK SŁABO TŁUMIONYCH TARCIEM KONSTRUKCYJNYM WIESŁAW OSTACHOWICZ DARIUSZ SZWEDOWICZ Politechnika Gdań ska. Wstę
Bardziej szczegółowoW W Y D A N I E S P E C J A L N E S z a n o w n i P a ń s t w o! Spis t reści: y d arz e ni a c z e rw c ow e w 3 P oz nani u, r. Z
M 50-r o c z n i c a P o z n a ń s k i e g o C z e r w c a 56 r. KAZIMIERA IŁŁAKOWICZÓWNA Ro z s t r z e l a n o m o j e s e r c e C h c i a ł a m o k u l t u r z e n a p i s a ć n a p r a w d ę i n t
Bardziej szczegółowoNOWELIZACJA USTAWY PRAWO O STOWARZYSZENIACH
NOWELIZACJA USTAWY PRAWO O STOWARZYSZENIACH Stowarzyszenie opiera swoją działalność na pracy społecznej swoich członków. Do prowadzenia swych spraw stowarzyszenie może zatrudniać pracowników, w tym swoich
Bardziej szczegółowoSTATECZNOŚĆ SPRĘ Ż YSTO- PLASTYCZNE J TRÓJWARSTWOWEJ POWŁOKI W KSZTAŁCIE WYCINKA STOŻ KA W UJĘ CIU GEOMETRYCZNIE NIELINIOWYM
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3-4, 23 (1985) STATECZNOŚĆ SPRĘ Ż YSTO- PLASTYCZNE J TRÓJWARSTWOWEJ POWŁOKI W KSZTAŁCIE WYCINKA STOŻ KA W UJĘ CIU GEOMETRYCZNIE NIELINIOWYM JAROSŁAW NOWINKA I JERZY ZIELNICA
Bardziej szczegółowoX=cf...fxflpiyddcpi, " i
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 13 (1975) IZOTROPIA JAKO PRZYPADEK GRANICZNY WIELOSKŁADNIKOWEGO OŚ RODKA ORTOTROPOWEGO ALICJA GOLĘ BIEWSKA- LASOTA, ANDRZEJ P. WILCZYŃ SKI (WARSZAWA) 1. Wstę p Oś rodki
Bardziej szczegółowoO WARUNKU PLASTYCZNOŚ CI HUBERA- MISESA ZBIGNIEW OLESIAK (WARSZAWA)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 13 (1975) O WARUNKU PLASTYCZNOŚ CI HUBERA- MISESA ZBIGNIEW OLESIAK (WARSZAWA) Warunek, czyli kryterium plastycznoś ci, należy do podstawowych poję ć teorii plastycznoś
Bardziej szczegółowo8. N i e u W y w a ć u r z ą d z e n i a, g d y j e s t w i l g o t n e l ug b d y j e s t n a r a W o n e n a b e z p o 6 r e d n i e d z i a ł a n i
M G 4 0 1 v 4 G R I L L E L E K T R Y C Z N Y M G 4 0 1 I N S T R U K C J A M O N T A V U I B E Z P I E C Z N E G O U V Y T K O W A N I A S z a n o w n i P a s t w o, d z i ę k u j e m y z a z a k u p
Bardziej szczegółowoSPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA
Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 0 2 02 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A U s ł u g a d r u k o w a n i a d l a p o t r z e b G d y s k i e g o
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów
Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 01 82 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A P r o m o c j a G m i n y M i a s t a G d y n i a p r z e z z e s p óp
Bardziej szczegółowoMETODA ELEMEN TÓW CZASOPRZESTRZEN N YCH W ZAG ADN IEN IACH GEOMETRYCZNIE NIELINIOWYCH. 1. Wstę p
MECHANIKA yu PL'87 TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 26 (1988) METODA ELEMEN TÓW CZASOPRZESTRZEN N YCH W ZAG ADN IEN IACH GEOMETRYCZNIE NIELINIOWYCH ANNA PODHORECKA, Akademia Techniczno- Rolnicza, Bydgoszcz 1.
Bardziej szczegółowoZawód: monter instalacji i urządzeń sanitarnych I. Etap teoretyczny (część pisemna i ustna) egzaminu obejmuje: Z ak res w iadomoś ci i umieję tnoś ci
8 8 / m S t a n d a r d w y m a g a ń - e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu M O N T E R I N S T A L A C J I I U R Z Ą D Z E Ń S A N I T A R N Y C H Kod z klasyfikacji zawodów i sp e cjaln oś
Bardziej szczegółowoL U D O L F I N G O W I E PWP XŁ X IPW.P L U D O L F I N G O W I E X MX IPw.A P 8 0
L U D O L F I N G O W I E X MX Iw.A 8 0 K O N RŻ D I H E N R Y K I TŻ S Z N I K O T T O I W I E L K I O T T O I I O T T O I I I H E N R Y K I I WŚ I Ę T Y 8 1 K O N RŻ D I M A 8 2 O j c i e c- K O N RŻ
Bardziej szczegółowoOSZACOWANIE ROZWIĄ ZAŃ RÓWNAŃ KANONICZNYCH METODY SIŁ W PRZYPADKU PRZYBLIŻ ONEGO WYZNACZANIA LICZB WPŁYWOWYCH. 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 9 (1971) OSZACOWANIE ROZWIĄ ZAŃ RÓWNAŃ KANONICZNYCH METODY SIŁ W PRZYPADKU PRZYBLIŻ ONEGO WYZNACZANIA LICZB WPŁYWOWYCH SZCZEPAN BORKOWSKI (GLIWICE) 1. Wstę p Zagadnienie
Bardziej szczegółowo8 2 [EJ\ 8 I 8v\ 8 2 v dv _
MECHANIKA TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 3-4, 23 (19»5) DRGANIA GIĘ TNE, NIELINIOWE BELKI POD DZIAŁ ANIEM OBCIĄ ŻŃ E STOCHASTYCZNYCH POPRZECZNYCH I WZDŁ UŻ NYCH NGUYEN CAO MENH (HANOI) Instytut Mechaniki, 1.
Bardziej szczegółowoMatematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowoSchemat ukł adu pokazano na rys. 1. Na masę m podwieszoną na sprę ż yni e o sztywnoś ci c działa siła okresowa P(t) = P o
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 10 (1972) STATYSTYCZNA ANALIZA UKŁADU WIBROUDERZENIOWEGO WŁODZIMIERZ GAWROŃ SKI (GDAŃ SK) Waż niejsze oznaczenia jakobian (wyznacznik funkcyjny) M x wartość ś rednia
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA POWŁOK NIESPRĘ Ż YSTYCH 1 ANTONI SAWCZU K, WACŁAW OLSZ AK (WARSZAWA)
MECHANTKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 1 (1963) ZAGADNIENIA POWŁOK NIESPRĘ Ż YSTYCH 1 ANTONI SAWCZU K, WACŁAW OLSZ AK (WARSZAWA) i. Wprowadzenie Wobec rozszerzają cego się zakresu zastosowań konstrukcji
Bardziej szczegółowoPodstawowe działania w rachunku macierzowym
Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:
Bardziej szczegółowoRys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi
5.3. Regula falsi i metoda siecznych 73 Rys. 5.1. Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi Rys. 5.2. Przypadek f (x), f (x) > w metodzie regula falsi 74 V. Równania nieliniowe i uk³ady równañ liniowych
Bardziej szczegółowoGdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa
Z a ł» c z n i k n r 5 d o S p e c y f i k a c j i I s t o t n y c h W a r u n k Zó aw m ó w i e n i a Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 1 1 2 0 14 W Z Ó R U M O W Y z a w a r t a w Gd y n
Bardziej szczegółowoSpis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa
Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA POŁOŻ ENIA PODPÓR BELKI SZTYWNO- PLASTYCZNEJ OBCIĄ Ż ONEJ IMPULSEM PRĘ DKOŚ CI. 1, Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, lfi (978) OPTYMALIZACJA POŁOŻ ENIA PODPÓR BELKI SZTYWNO- PLASTYCZNEJ OBCIĄ Ż ONEJ IMPULSEM PRĘ DKOŚ CI JAAN LELLEP (WARSZAWA), Wstę p Optymalizacji poł oż enia podpory
Bardziej szczegółowoZAANGA OWANIE PRACOWNIKÓW W PROJEKTY INFORMATYCZNE
ZAANGA OWANIE PRACOWNIKÓW W PROJEKTY INFORMATYCZNE LESZEK MISZTAL Politechnika Szczeci ska Streszczenie Celem artykułu jest przedstawienie metody rozwi zania problemu dotycz cego zaanga owania pracowników
Bardziej szczegółowoy i a o Ma F x i z i r r r r r v r r r r
SIŁY BEZWŁADNOŚCI 1 z i S i NIEINERCJALNE UKŁADY ODNIESIENIA siły bezwładności = siły pozone = pseudosiły Siły działające na ciała w układach nieinecjalnych (posiadających pzyspieszenie) Układ nieinecjalny
Bardziej szczegółowoSTATECZNOŚĆ DYNAMICZNA Ś MIGŁOWCA Z WIRNIKIEM PRZEGUBOWYM
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1/2, 24, (1986) WIESŁAW ŁUCJANEK JANUSZ NARKIEWICZ Politechnika Warszawska KRZYSZTOF SIBILSKI WAT STATECZNOŚĆ DYNAMICZNA Ś MIGŁOWCA Z WIRNIKIEM PRZEGUBOWYM W pracy został
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.
Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 2 32 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f O b s ł u g a o p e r a t o r s k a u r a w i s a m o j e z d n
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe
1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość
Bardziej szczegółowoĆwiczenie: "Ruch harmoniczny i fale"
Ćwiczenie: "Ruch harmoniczny i fale" Opracowane w ramach projektu: "Wirtualne Laboratoria Fizyczne nowoczesną metodą nauczania realizowanego przez Warszawską Wyższą Szkołę Informatyki. Zakres ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoPŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania
Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko
Bardziej szczegółowoKatedra Technik Wytwarzania i Automatyzacji TOLERANCJE I POMIARY WALCOWYCH KÓŁ ZĘBATYCH
Katedra Technik Wytwarzania i Automatyzacji METROLOGIA I KONTKOLA JAKOŚCI - LABORATORIUM TEMAT: TOLERANCJE I POMIARY WALCOWYCH KÓŁ ZĘBATYCH 1. Cel ćwiczenia Zapoznanie studentów z narzędziami do pomiaru
Bardziej szczegółowoTARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania
TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika
Bardziej szczegółowo2.1. Ruch, gradient pr dko ci, tensor pr dko ci odkszta cenia, Ruchem cia a B nazywamy dostatecznie g adko zale ne od czasu t jego odkszta cenie
Rozdzia 2 Ruch i kinematyka 2.. Ruch, gradient pr dko ci, tensor pr dko ci odkszta cenia, wirowo Ruchem cia a B nazywamy dostatecznie g adko zale ne od czasu t jego odkszta cenie t, tzn. B X! t (X) =x
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe
1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość
Bardziej szczegółowoMODEL MATEMATYCZNY WYZNACZANIA FUNKCJI STEROWANIA SAMOLOTEM W PĘ TLI
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1/ 2, 25, 1987 MODEL MATEMATYCZNY WYZNACZANIA FUNKCJI STEROWANIA SAMOLOTEM W PĘ TLI WOJCIECH BLAJER JAN PARCZEWSKI Wyż szaszkoł a Inż ynierskaw Radomiu Modelowano programowy
Bardziej szczegółowoBADANIE WPŁYWU ODKSZTAŁCENIA PLASTYCZNEGO NA ZACHOWANIE SIĘ METALU PRZY RÓŻ NYCH DROGACH WTÓRNEGO OBCIĄ Ż ENI A. 1. Wprowadzenie
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 9 (1971) BADANIE WPŁYWU ODKSZTAŁCENIA PLASTYCZNEGO NA ZACHOWANIE SIĘ METALU PRZY RÓŻ NYCH DROGACH WTÓRNEGO OBCIĄ Ż ENI A KAROL TURSKI (WARSZAWA) 1. Wprowadzenie Badania
Bardziej szczegółowoPrzygotowały: Magdalena Golińska Ewa Karaś
Przygotowały: Magdalena Golińska Ewa Karaś Druk: Drukarnia VIVA Copyright by Infornext.pl ISBN: 978-83-61722-03-8 Wydane przez Infornext Sp. z o.o. ul. Okopowa 58/72 01 042 Warszawa www.wieszjak.pl Od
Bardziej szczegółowoWładcy Skandynawii opracował
W Ł~ D C Y S K~ N D Y N~ W I I K R Ó L O W I E D ~ N I IW. K J S O L D U N G O W I E 1 K R Ó L O W I E D ~ N I IW. K J S O L D U N G O W I E 2 Władcy Skandynawii G E N E~ L O G I~ K R Ó L Ó W D~ N O R
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie umów o pracę
Ryszard Sadlik Rozwiązywanie umów o pracę instruktaż, wzory, przykłady Ośrodek Doradztwa i Doskonalenia Kadr Sp. z o.o. Gdańsk 2012 Wstęp...7 Rozdział I Wy po wie dze nie umo wy o pra cę za war tej na
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.
Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 3 12 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f O b s ł u g a o p e r a t o r s k aw r a z z d o s t a w» s p r
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.
Z n a k s p r a w y G O S i R D Z P I 2 7 1 0 3 62 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A Z a p e w n i e n i e z a s i l a n i ea n e r g e t y c z ne g o
Bardziej szczegółowoPRZEGLĄ D NOWSZYCH PRAC Z DZIEDZINY STATECZNOŚ CI POWŁOK CIENKOŚ CIENNYCH. 1. Wstę p
MECHANIK A TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 1 (1963) PRZEGLĄ D NOWSZYCH PRAC Z DZIEDZINY STATECZNOŚ CI POWŁOK CIENKOŚ CIENNYCH ZBIGNIEW NOWAK i MICHAŁ Ż YCZ KOWSKI (KRAKÓW) 1. Wstę p Powł oki cienkoś cienne,
Bardziej szczegółowoANALIZA WYNIKÓW BADAŃ PEŁZANIA MECHANICZNEGO I OPTYCZNEGO MATERIAŁU MODELOWEGO SYNTEZOWANEGO Z KRAJOWEJ Ż YWICY EPOKSYDOWEJ
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 10 (1972), ANALIZA WYNIKÓW BADAŃ PEŁZANIA MECHANICZNEGO I OPTYCZNEGO MATERIAŁU MODELOWEGO SYNTEZOWANEGO Z KRAJOWEJ Ż YWICY EPOKSYDOWEJ KAZIMIERZ SZULBORSKT (WARSZAWA)
Bardziej szczegółowoSPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA
Z a m a w i a j» c y G D Y S K I O R O D E K S P O R T U I R E K R E A C J I J E D N O S T K A B U D E T O W A 8 1 5 3 8 G d y n i a, u l O l i m p i j s k a 5k 9 Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I
Bardziej szczegółowoMETODA IDENTYFIKACJI PODATNOŚ CI DYNAMICZNEJ FUNDAMENTÓW MASZYN JANUSZ K O L E N D A (GDAŃ SK) 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 6 (978) METODA IDENTYFIKACJI PODATNOŚ CI DYNAMICZNEJ FUNDAMENTÓW MASZYN JANUSZ K O L E N D A (GDAŃ SK). Wstę p Obserwowany w ostatnich latach wzrost mocy jednostkowych
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.
Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 70 1 3 7 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U d o s t p n i e n i e w r a z z r o z s t a w i e n i e m o g
Bardziej szczegółowoKLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6
KLASA 3 GIMNAZJUM TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1 2. System dziesiątkowy 2-4 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z XII 2008 R.
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych
LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami układów drgających oraz metodami pomiaru i analizy drgań. W ramach
Bardziej szczegółowoUKŁAD O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY JAKO DYNAMICZNY IZOLATOR" DRGAŃ BOGUSŁAW RADZISZEWSKI, ANDRZEJ RÓŻ YCKI (WARSZAWA)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA I, 6(1968) UKŁAD O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY JAKO DYNAMICZNY IZOLATOR" DRGAŃ BOGUSŁAW RADZISZEWSKI, ANDRZEJ RÓŻ YCKI (WARSZAWA) 1. Zagadnienie drgań układu o dwu stopniach
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE FUN KCJI KSZTAŁTU D O OPISU DRGAŃ PRĘ TÓW CIENKOŚ CIENNYCH O ZAMKNIĘ TYM PROFILU. 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 25, (987) ZASTOSOWANIE FUN KCJI KSZTAŁTU D O OPISU DRGAŃ PRĘ TÓW CIENKOŚ CIENNYCH O ZAMKNIĘ TYM PROFILU MAREK SPERSKI Politechnika Gdań ska. Wstę p Z chwilą wprowadzenia
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE MODELU STEROWANIA SAMOLOTEM ZAPEWNIAJĄ CEGO Ś CISŁĄ REALIZACJĘ RUCHU PROGRAMOWEGO*
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 25, (1987) WYZNACZANIE MODELU STEROWANIA SAMOLOTEM ZAPEWNIAJĄ CEGO Ś CISŁĄ REALIZACJĘ RUCHU PROGRAMOWEGO* WOJCIECH BLAJER Wyż szaszkoł a Inż ynierska w Radomiu Praca
Bardziej szczegółowo2. Pręt skręcany o przekroju kołowym
2. Pręt skręcany o przekroju kołowym Przebieg wykładu : 1. Sformułowanie zagadnienia 2. Warunki równowagi kąt skręcenia 3. Warunek geometryczny kąt odkształcenia postaciowego 4. Związek fizyczny Prawo
Bardziej szczegółowo7 4 / m S t a n d a r d w y m a g a ± û e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu K U C H A R Z * * (dla absolwent¾w szk¾ ponadzasadniczych) K o d z k l a s y f i k a c j i z a w o d ¾ w i s p e c
Bardziej szczegółowoPROJEKT I WALIDACJA URZĄDZEŃ POMIAROWYCH
M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 1 8 9 6-7 7 1 X P R O J E K T I W A L I D A C J A U R Z Ą D Z E P O M I A R O W Y C H a S I Y W L I N I E I K Ą T A W Y C H Y L E N I A L I
Bardziej szczegółowo