Zdarzenie elementarne. Zdarzenie losowe B. Zadanie. Algebra zdarzeń. Rzucamy kostką (Ω 1,2,3,4,5,6)

Transkrypt

1 Zdarzenie elementarne Element zbioru Ω Oznaczamy symbolem Ω,,,, } Przestrzeń zdarzeń elementarnych, przestrzeń prób Jakie są przestrzenie zdarzeń elementarnych następujących doświadczeń? Rzut symetryczna moneta Ω ł, Rzut sześcienna kostka do gry Ω 1,2,3,4,5,6 wyciagnięcie jednej karty z potasowanej talii Ω,,,,,,,, Płeć dziecka Ω!", #ł$ Zdarzenie losowe podzbiór w przestrzeni zdarzeń elementarnych Oznaczmy dużymi literami A, B, C Zaproponuj zdarzenia losowe dla następujących przestrzeni prób Ω ł, Wyrzucenie reszki: Wyrzucenie orła albo reszki: orzeł, Ω 1,2,3,4,5,6 Wyrzucenie 6: 6 Wyrzucenie nieparzystej liczby oczek: 1,3,5 Wyrzucenie większej liczby oczek niż 3: 4,5,6 Ω,,,,,,,, Wylosowanie karty z najwyższego pokera kier:,,),*,10 Wylosowanie karty z karety króli:,,, Rzucamy kostką (Ω 1,2,3,4,5,6) Algebra zdarzeń Zdarzenie losowe A Wylosowanie liczby parzystej 2,4,6 Zdarzenie losowe B Wylosowanie liczby mniejszej bądź równej 3, 1,2,3 Suma zdarzeń A i B: Zdarzenie polegające na tym, że zajdzie przynajmniej jedno z tych zdarzeń Oznaczamy symbolem -, lub A, 2,4,6, 1,2,3 A, 1,2,3,4,6 1

2 Algebra zdarzeń Iloczyn zdarzeń A i B: Zdarzenie polegające na tym, że zajdzie zarówno zdarzenie A jak i B Oznaczamy symbolem,lub 1A,3 2,4,6, 1,2,3 A, 2 Algebra zdarzeń Różnica zdarzeń A i B: Zdarzenie polegające na tym, że zajdzie zdarzenie A i nie zajdzie zdarzenie B Oznaczamy symbolem 4, lub 1A\,3 2,4,6, 1,2,3 A\, 4,6 Algebra zdarzeń Zdarzenie niemożliwe Podzbiór zbioru Ωnie zawierający żadnego elementu zbioru Ω Oznaczamy Zdarzenie pewne Podzbiór zbioru Ω zawierający wszystkie elementy zbioru Ω Zdarzenie przeciwne Dwa zdarzenia i nazywamy przeciwnymi jeżeli ich suma równa jest zdarzeniu pewnemu a iloczyn zdarzeniu niemożliwemu 2,4,6 Ω 1,2,3,4,5,6 Ω? Diagramy Eulera/Venna(2 zbiory),,9 Diagramy Eulera/Venna(2 zbiory),,,, 2

3 Operacje na zdarzeniach (zbiorach) \,,\A,, Niech Ω, Ω < Ω,,,, \,, < <, <, <, <, <, < Ω\A = Ω Ω=,,9,,9 1 Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz:, <, <, < 1,3 C9 2 Niech Ω 2,3,4,5,6,7,8,9,10, *,),,(jeden kolor w talii kart) 9,10,*,),, (mała talia), 2,3,4,5,6,7,8,9,10 Wyznacz:,, A B= 3

4 Reguła mnożenia Jeżeli zostaje wykonanych N doświadczeń jedno po drugim, w których możliwe jest odpowiednio ",",," D różnych wyników to w całym doświadczeniu możemy uzyskać " ", " D różnych wyników. Permutacja Każde ułożenie to permutacja Jeśli zamienimy miejscami jakieś elementy to otrzymujemy nową permutację E " "! Permutacja Na ile sposobów można ustawić 1 element 2 elementy 3 elementy (to już wiemy) n elementów n! Silnia przypomnienie 0! 1 "! " H " I 0 Wariacja Uporządkowane k-elementowe podzbiory utworzone z n-elementowego zbioru Wariacje z n po k Każdy taki podzbiór jest wariacją V L "! K " " 41 " 42 " 4-1 " 4! *też oznaczana jako K L (arrangement) 4

5 Wariacja (z powtórzeniami) Uporządkowane m-elementowe podzbiory utworzone z n-elementowego zbioru Wariacje z n po k Każdy taki podzbiór jest wariacją K L " L Kombinacje k-elementowe podzbiory utworzone z n- elementowego zbioru Każdy taki podzbiór jest kombinacją < L " M HNO Inaczej VL K! Dwumian newtona " K! KPL!L! Dwumian newtona " 0 " " 1 Podsumowanie Permutacja E K "! Wariacja z powtórzeniami K L " L Wariacja bez powtórzeń Q K L " " 41 " 42 " 4-1 K! KPL! Oznaczana bywa też jako K L Kombinacja < R L S T U L! " K! KPL!L! Kombinatoryka c.d. 5

6 Zadania 1. Kupujemy 2 pary spodni, 3 koszule i 2 pary butów. Ile nowych strojów możemy skomponować 2. Skodę Fabię mogę wybrać z jednym z 4 silników benzynowych, w jednym z 6 kolorów i jednej z 4 wersji wyposażenia. Ile jest różnych wersji tego samochodu? 3. Zespół nagrał dotychczas tylko 1 płytę z 10 piosenkami. Ile jest możliwych playlist koncertu, na którym zagrane zostaną wszystkie piosenki (każda tylko raz)? 4. W pewnej klasie uczniowie umówili się że każdego dnia będą siadać w sali inaczej (dwa usadzenia uznają za różne, jeśli co najmniej jeden uczeń zmienia miejsce). Czy do matury wystarczy im różnych możliwości, czy też będą zmuszeni którąś powtórzyć? Paradoks de Mere Przy rzucie trzema kostkami sumę oczek równą 11 można uzyskać na tyle samo sposobów, co 12? To dlaczego częściej wypada suma równa 11? (6, 4, 1), (6, 1, 4), (4, 1, 6), (4, 6, 1), (1, 4, 6), (1, 6, 4) (6, 3, 2), (6, 2, 3), (3, 2, 6), (3, 6, 2), (2, 6, 3), (2, 3, 6) (5, 5, 1), (5, 1, 5), (1, 5, 5) (5, 4, 2), (5, 2, 4), (4, 2, 5), (4, 5, 2), (2, 4, 5), (2, 5, 4) (5, 3, 3), (3, 5, 3), (3, 3, 5) (4, 4, 3), (4, 3, 4), (3, 4, 4) 12 (6, 5, 1), (6, 1, 5), (5, 1, 6), (5, 6, 1), (1, 5, 6), (1, 6, 5) (6, 4, 2), (6, 2, 4), (4, 2, 6), (4, 6, 2), (2, 6, 4), (2, 4, 6) (6, 3, 3), (3, 6, 3), (3, 3, 6) (5, 5, 2), (5, 2, 5), (2, 5, 5) (5, 4, 3), (5, 3, 4), (4, 3, 5), (4, 5, 3), (3, 4, 5), (3, 5, 4) (4, 4, 4) 6

7 Problem komiwojażera Dane jest n miast, które komiwojażer ma odwiedzić, oraz odległość/cena podróży/czas podróży pomiędzy każdą parą miast. Celem jest znalezienie najkrótszej/najtańszej/najszybszej drogi łączącej wszystkie miasta zaczynającej się i kończącej się w określonym punkcie. Problem n-p trudny (cokolwiek to znaczy ) Potrzebne są odległości Ile tras trzeba sprawdzić dla 3 miast? Ile tras trzeba sprawdzić dla n miast? Zadania 1. Na konkurs na prezesa, dyrektora i kierownika wpłynęło łącznie 9 aplikacji. Ile zarządów można wybrać? 2. Ile trzeba kupić losów żeby na pewno wygrać w Lotto? 3. W Premier League w sezonie zasadniczym każdy gra z każdym u siebie i na wyjeździe. Ile meczy trzeba rozegrać? (w lidze gra 20 zespołów) 4. Numer seryjny składa się z 2 liter i 5 cyfr. Ile może być unikatowych numerów? 5. Posłowie dwóch partii zajmują jedna ławę. Partię A reprezentuje 8 osób a partię B 7. Członkowie jednej partii siedzą zawsze obok siebie. Na ile sposobów mogą usiąść? 1. Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych o sumie cyfr równej 2? 2. Ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie trzy razy cyfra 0 i dokładnie raz występuje cyfra 5. Trójkąt Pascala Na bokach trójkąta znajdują się liczby 1 Pozostał: suma dwóch znajdujących się nad nią Trójkąt Pascala Ile wynoszą sumy liczb w wierszach? Pierwsza przekątna? A druga? A trzecia? 7

8 Jakie liczby zaznaczono na biało? Trójkąt Pascala Liczby podzielne przez 3 grupują się w trójkąt trójkąt sierpińskiego(fraktale) Trójkąt Pascala Jakie są kolejne ciągi liczb w wierszach? -O -2O -O [1,2,1] -O -3 O -3O -O [1,3,3,1] Ogólnie V -! K " K LXY VKPL! L " " 4Z! ["N\N]ą 0_ 4Z H O Student nie nauczył się na test. Postanawia losować odpowiedzi. Test składa się z 10 pytań Prawda/Fałsz. a) Ile jest możliwych zestawów odpowiedzi? b) Czy łatwiej byłoby strzelać na teście składającym się z 5 pytań z 4 odpowiedziami? 1. Ile istnieje liczb naturalnych 5-cyfrowych o niepowtarzających się cyfrach? 2. Ile istnieje liczb naturalnych 5-cyfrowych o niepowtarzających się cyfrach złożonych z cyfr 1, 2, 3, 4, 5? 3. Ile istnieje liczb naturalnych najwyżej 5-cyfrowych o niepowtarzających się cyfrach złożonych z cyfr 1, 2, 3, 4, 5? W grupie składającej się z 3 dziewcząt i 5 chłopców, urodzonych w tym samym roku (2011), żadna para dziewcząt i żadna para chłopców nie obchodzi urodzin tego samego dnia roku. Ile jest możliwości wystąpienia takiego zdarzenia ze względu na daty urodzin tych ośmiu osób? 8

9 Grupa znajomych przyszła do ciastkarni, w której było 8 rodzajów ciastek. Każdy kupił jedno ciastko. Z ilu osób składała się grupa, jeżeli wiadomo, że mogło być 512 rożnych możliwości wyboru? 1. Na ile sposobów można posadzić przy okrągłym stole n-osób? Ponumerowane miejsca Nieponumerowane miejsca 2. Na ile sposobów można posadzić przy okrągłym stole n kobiet i n mężczyzn w taki sposób, aby osoby tej samej płci nie siedziały obok siebie? Dla n=3 1. Na ile sposobów można posadzić w jednym rzędzie kina (mającym dziesięć miejsc) pięć kobiet i pięciu mężczyzn, tak aby ani dwie kobiety ani dwóch mężczyzn nie siedziało obok siebie? 1. Na parterze dziesięciopiętrowego domu do windy wsiadło 8 osób. Obliczyć liczbę sposobów, na jakie osoby te mogą wysiąść z windy (pod uwagę bierzemy tu jedynie numery pięter, na których wysiadają poszczególne osoby). 2. Obliczyć liczbę różnych słów (sensownych lub nie), które można uzyskać w wyniku przestawiania liter w słowie sasanka. 3. Firma zatrudnia 7 specjalistów i 4 specjalistki. Na ile sposobów możemy wybrać 6-osobowy zespół składający się z przynajmniej dwóch kobiet? Trójkąt Pascala - Rozwińwielomian a-b K 1-V 142V b K LXY " akpl b L Rozwiń V -! K " K LXY VKPL! L 1-V 1-4V -6V -4V -V 142V b 1414V -84V 4280V -560V 4672V c -448V d 4 128V b 9

10 Cel Celem rachunku prawdopodobieństwa jest poszukiwanie sposobu mierzenia szansy, czyli określenia prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia losowego. Prawdopodobieństwo Jakubowski/Sztencel Rachunek P. dla prawie każdego Prawdopodobieństwo Miara możliwości zajścia zdarzenia losowego Przypisanie zdarzeniu liczby E13 Prawdopodobieństwo klasyczne Jeżeli zdarzenie A rozkłada się na n niezależnych od siebie i jednakowo możliwych zdarzeń elementarnych spośród których m sprzyja zajściu zdarzeniu A to: E M K \ liczba zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia A " liczba wszystkich możliwych zdarzeń Laplace 1812r. Dla wyrzucenia orła przy rzucie monetą? Wady Tautologia w definicji mamy jednakowo możliwe zdarzenia Zbiory sprzyjające i wszystkich zdarzeń elementarnych muszą być skończone Trzeba znać m i n Rzucam kością do gry. Zdarzenie A: Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby podzielnej przez 3? Znaleźć E13, E 10

11 Prawdopodobieństwo geometryczne Geometryczne Jeżeli i to dwa (w przestrzeni r-wymiarowej) oraz to prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybrany punkt należący do będzie również należał do równa się stosunkowi miary zbioru do miary zbioru E, Przykład (sposób geometryczny) Weźmy koło o promieniu r=10 cm wpisane w kwadrat. Rzucamy rzutką jakie jest prawdopodobieństwo trafienia w koło? Częstościowe Prawdopodobieństwo częstościowe Jeżeli: Wielokrotnie realizujemy doświadczenie Częstość zdarzenia A wyraża prawidłowość Oscyluje wokół jakiejś wartości p Wahania maleją wraz ze wzrostem liczby doświadczeń to liczba p nazywana jest prawdopodobieństwem zdarzenia A. Prawdopodobieństwo częstościowe M E lim K i K Wg R. Misesa Krytykowana bo liczba doświadczeń nie dąży nigdy do nieskończoności Zdążanie M do granicy to też jakaś zmienna losowa K 11

12 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa rachunku prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję E o wartościach rzeczywistych, określoną na borelowskim zbiorze Z spełniającą warunki: 1. Dla każdego zdarzenia E j 0 2. E1Ω n,o n o Z E n n E1 n 3 Własności prawdopodobieństwa #1 Funkcja E13może przyjmować jedynie wartości nieujemne zawarte w przedziale 0,1 0 p E p 1 E 0 E Ω 1 E 14E13 Czyli E -E 1 Własności prawdopodobieństwa #1 Jeżeli A i B rozłączne, to E, E -E, E, E -E, 4P1A,3 Jeżeli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B (czyli,) to E p E1,3 E,\A E, 4E13 Własności prawdopodobieństwa #2 Jeżeli zdarzenie A rozkłada się na dwa zdarzenie i i zdarzeniu sprzyja \ a zdarzeniu sprzyja \ zdarzeń to: E E -E E M M rsm t E K K -E Twierdzenie o prawdopodobieństwie sumy zdarzeń 12

13 Definicja Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B to liczba E, E1,3 E1,3 E, I 0 Prawdopodobieństwo całkowite Jeżeli zbiór u,,u K jest rozbiciem Ωna zdarzenia o dodatnich prawdopodobieństwach to dla dowolnego zdarzenia A K E ve u n E1u n 3 nx kanały TV 80% kanałów sportowych 20% kanałów muzycznych Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybierając losowo trafimy na reklamę jeżeli w 1% kanałów sportowych emitowane są reklamy i w 5% muzycznych Rozbicie przestrzeni Ω: Rodzina zdarzeń u n które parami się wykluczają a w sumie dają Ω Urny Mamy 4 urny CZ B Losujemy urnę i losujemy kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej? Urny - rozwiązanie Losowanie urny E, E, Losowanie kuli E, YYY E, Razem E E, E, -E, E, E YYY 13

14 Urny 2 ver. Mamy 4 urny CZ B Losujemy urnę i losujemy kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej? A gdybyśmy wrzucili wszystkie kule do jednej urny? Firmy Dane dla 50 firm dotyczące czasu trwania firmy i ich rentowności są następujące: <2 [2, 5] >5 Tak Nie Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrana firma: Firmy Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrana firma: 1. Jest rentowna jeśli jej czas trwania nie przekracza 5 lat 2. Nie jest rentowna 3. Pracuje od 2 do 5 lat jeśli wiadomo, że jest rentowna 4. Istnieje przynajmniej 2 lata Firmy 1. Wybrana firma jest rentowna jeśli jej czas trwania nie przekracza 5 lat. E w x y 5 E w x y E1x y <2 [2, 5] >5 Tak Nie Firmy 2. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrana firma nie jest rentowna E, Firmy 3. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrana firma pracuje od 2 do 5 lat jeśli wiadomo, że jest rentowna. E 2 y x y 5 w E 2 y x y 5 w E1w <2 [2, 5] >5 Tak Nie <2 [2, 5] >5 Tak Nie

15 Firmy 4. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrana firma istnieje przynajmniej 2 lata. E1x I <2 [2, 5] >5 Tak Nie Urny Mamy 4 urny, w których znajdują się kule białe i czarne CZ B Z jednej z urn została wyciągnięta kula czarna. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kulę wyjęto z urny nr 1? - Urny E, E, YYY E [ $$"z "!_ r { r r E, Y.bcc Wzór bayesa Jeżeli zbiór u n n ~ jest przeliczalnym rozbiciem Ωna zdarzenia o dodatnich prawdopodobieństwach oraz E I 0to dla dowolnego j E u o E u o E u o E u n E u n n ~ E u o -znamy przed doświadczeniem E u o -chcemy poznać przebieg doświadczenia (która z opcji zaszła) - żarówki W magazynie znajdują się żarówki 3 producentów 1 zakład wyprodukował 25% 2 zakład wyprodukował 35% 3 zakład wyprodukował 40% Na 100 żarówek z: 1 zakładu trafiają się 2 zepsute 2 zakładu trafiają się 4 zepsute 3 zakładu trafiają się 5 zepsute Wybieramy losowo jedną żarówkę, która jest dobra. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyprodukował ją zakład 3? 15

16 - żarówki Zdarzenia: D żarówka jest dobra -żarówkę wyprodukował zakład 1 -żarówkę wyprodukował zakład 2 -żarówkę wyprodukował zakład 3 E -żarówka pochodzi z zakładu 3 pod warunkiem, że jest dobra - żarówki Wzór: U nas: E u o E u o E u o E u n E u n n ~ E E E E1 3 E E E -E E - E E - żarówki E E E -E E - E E E ,40 E E E E , ,40 E bombonierka do domu Bombonierka składa się z 7 czekoladek mlecznych i 4 gorzkich. Zjadamy dwie z nich (najpierw jedną potem drugą). 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze druga czekoladka była gorzka jeżeli pierwsza była mleczna? 2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza czekoladka była gorzka jeżeli druga była mleczna? Zdarzenia niezależne Dwa zdarzenia A i B nazywają się zdarzeniami niezależnymi, jeśli zajście jednego z tych zdarzeń nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia drugiego. Jeśli prawdopodobieństwo zdarzenie B zależy od dodatkowych warunków, to prawdopodobieństwo zdarzenia B nazywać będziemy prawdopodobieństwem warunkowym lub względnym 16

17 Zdarzenia niezależne Dwa zdarzenia A i B są od siebie niezależne, jeśli E E, lub E, E, Przykład Zdarzenie A wyrzucenie na kości do gry liczby oczek mniejszej od 2 Zdarzenie B wyrzucenie na kości do gry liczby oczek mniejszej od 3 co znaczy to samo Przykład Zdarzenie A wyrzucenie na kości do gry liczby oczek mniejszej od 2 Zdarzenie B wyrzucenie na kości do gry liczby oczek mniejszej od 3 E (prawdopodobieństwo wylosowania 1 z 6) d E, (prawdopodobieństwo, że wylosowaliśmy 1 jeśli wylosowaliśmy mniej niż 3 1 i 2) E E1,3 Zdarzenie nie są od siebie niezależne Przykład Z talii kart ciągniemy jedną kartę Zbadaj czy wyciągnięcie figury (J, Q, K A) i wyciągnięcie karty czarnej (pik, trefl) to zdarzenia niezależne czy nie? Zdarzenie: wyciągnięcie figury, wyciągnięcie karty czarnej Zdarzenie warunkowe wyciągnięcie figury pod warunkiem, że wyciągnięto kartę czarną E E, Przykład Z talii kart ciągniemy jedną kartę Zbadaj czy wyciągnięcie figury (J, Q, K A) i wyciągnięcie karty czarnej (pik, trefl) to zdarzenia niezależne czy nie? Zdarzenie: wyciągnięcie figury, wyciągnięcie karty czarnej Zdarzenie warunkowe wyciągnięcie figury pod warunkiem, że wyciągnięto kartę czarną E d c E, ƒ d 17

18 - łucznik Łucznik trafia w tarcze z prawdopodobieństwem 0,95, a spośród strzał, które trafiają w tarcze 80% nie trafia w dziesiątkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze łucznik strzelając raz trafi w dziesiątkę? - łucznik Łucznik trafia w tarcze z prawdopodobieństwem 0,95, a spośród strzał, które trafiają w tarcze 80% nie trafia w dziesiątkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze łucznik strzelając raz trafi w dziesiątkę? 0,95 0,80 0,20 0,05 E Lotto Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia 6-tki w Lotto? - liczby Ze zbioru liczb 1,2,3,,10wybieramy losowo kolejno dwie liczby i odejmujemy od pierwszej drugą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że różnica jest większa od 2? - liczby Ze zbioru liczb 1,2,3,,10wybieramy losowo kolejno dwie liczby i odejmujemy od pierwszej drugą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że różnica jest większa od 2? Wybór kart Jakie jest prawdopodobieństwo, tego ze w dobrze potasowanej standardowej (52 kary) talii kart wszystkie cztery asy są obok siebie jeden po drugim? Ω Q Y

19 (z. 1, str. 33) Cyfry 0,, 9 ustawiono losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) między 0 i 1 znajdą się dokładnie cztery cyfry b) 7,8, i 9 będą stały obok siebie (z. 2, str. 33) W pudełku jest 6 śrubek dobrych i 2 złe. Jaka jest szansa, że przy wyborze 4 śrubek wybierze się 3 dobre i 1 złą. (z. 2, str. 33) W pudełku jest 6 śrubek dobrych i 2 złe. Jaka jest szansa, że przy wyborze 4 śrubek wybierze się 3 dobre i 1 złą. E D d ƒ Y by Y by 0,57 Czy taki układ jest najbardziej prawdopodobny? (z. 3, str. 33) W urnie są 2 kule białe i 4 czarne. Losujemy 2 kule bez zwracania. Co jest bardziej prawdopodobne: wyciągnięcie kul a) tego samego koloru czy b) różnych kolorów? (z. 3, str. 33) W urnie są 2 kule białe i 4 czarne. Losujemy 2 kule bez zwracania. Co jest bardziej prawdopodobne: wyciągnięcie kul a) tego samego koloru czy b) różnych kolorów? E E, (z. 5, str. 27) Dwóch piłkarzy chodzi niezbyt regularnie chodzi na treningi. Jeden opuszcza 40% zajęć, a drugi chodzi na 70%. Jednocześnie są na 40% treningów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że na treningu a) Jest dokładnie jeden z nich b) Nie ma żadnego 19

20 (z. 5, str. 27) Dwóch piłkarzy chodzi niezbyt regularnie chodzi na treningi. Jeden opuszcza 40% zajęć, a drugi chodzi na 70%. Jednocześnie są na 40% treningów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że na treningu a. Jest dokładnie jeden z nich b. Nie ma żadnego Dane: E E, 0.7 E, 0.4 (z. 5, str. 27) Dwóch piłkarzy chodzi niezbyt regularnie chodzi na treningi. Jeden opuszcza 40% zajęc, a drugi chodzi na 70%. Jednocześnie sana 40% treningów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że na treningu Jest dokładnie jeden z nich E,\A E \B E \1A,3 E,\1A,3 P A 4P A, -P B 4P A, P A -P B 42P A, (z. 5, str. 27) Dwóch piłkarzy chodzi niezbyt regularnie chodzi na treningi. Jeden opuszcza 40% zajęć, a drugi chodzi na 70%. Jednocześnie są na 40% treningów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że na treningu Nie ma żadnego E, E Ω\, 14E, 14 E -E, 4E, Zespół liczy 5 kobiet i 5 mężczyzn. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybierając 3 osobową delegację znajdą się w niej 2 kobiety? Inwestorka do domu Pewna inwestorka może zainwestować w trzy z rekomendowanych pięciu funduszy, nie wie jednak, ze tylko dwa z nich przyniosą dochód, a wiec wybiera losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze a) wybierze oba przynoszące dochód, E b) wybierze przynajmniej jeden przynoszący dochód. E, Inwestorka Pewna inwestorka może zainwestować w trzy z rekomendowanych pięciu funduszy, nie wie jednak, ze tylko dwa z nich przyniosą dochód, a wiec wybiera losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze a) wybierze oba przynoszące dochód, E c Y 0,3 b) wybierze przynajmniej jeden przynoszący dochód. E, c -P A d -0,3 0,9 Y 20

21 Spotkanie Dwie przyjaciółki K i M umówiły się na spotkanie między godziną 14 a 15. Osoba, która przyjdzie pierwsza czeka 20 minut. Jaka jest szansa, że się spotkają? Z przedziału y 0;2 Iwybieramy losowo dwie liczby 1V,!3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że! p 4V -2 Z przedziału y 42;0 Iwybieramy losowo dwie liczby 1V,!3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że! j V -2V inny obszar Wybieramy losowo dwie liczby V y 42;0 I,y y 0,2 IJakie jest prawdopodobieństwo, że! j V -2V Znane rozkłady Jakubowski/Sztencel Rachunek P. dla prawie każdego Strona 78/129 21

22 Zmienna losowa (intuicyjnie) Taka zmienna, która w wyniku doświadczenia przyjmuje jakąś wartość liczbową (zależnie od przypadku). Zmienna losowa Typu skokowego x (zmienna losowa) ma przypisane p (prawdopodobieństwo) Typu ciągłego $ n 1 Podaj wartości zmiennych losowych i przypisane prawdopodobieństwa: W woreczku mamy 3 czerwone i 5 zielonych kule. Wyciągamy losowo dwie kulki (bez zwracania). X jest liczbą zielonych kul, wyciągniętych z worka. Podaj wartości zmiennych losowych i przypisane prawdopodobieństwa: W woreczku mamy 3 czerwone i 5 zielonych kule. Wyciągamy losowo dwie kulki (bez zwracania). X jest liczbą zielonych kul, wyciągniętych z worka /28 15/28 10/28 Wartość oczekiwana/przeciętna/ średnia Š V n $ n Bernouliego (?) 22

23 Rozkład dwumianowy n liczba doświadczeń E Š " $L KPL k liczba sukcesów w n doświadczeniach ( 0,1,2,,") p prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie q prawdopodobieństwo porażki (p+q=1) (+domowe) Rzucamy 4 razy kością. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej 2 szóstek? Zbuduj rozkład i podaj wartość oczekiwaną. Doświadczenia niezależne od siebie. Rozkład Poissona ś" 0,1,2, E1Š 3 λ k! ep Rozkład zdarzeń rzadkich Rozkład Poissona jest przybliżeniem rozkładu dwumianowego (Bernoulliego) dla dużych prób i przy małym prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia sprzyjającego. (n>50 p<0.01, "$) Pogotowie wodociągowe wyjeżdża do awarii zgodnie z rozkładem Poissona ze średnią równą 2,5 interwencji na zmianę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu zmiany zostaną zgłoszone co najmniej 2 interwencje? Na infolinię dzwoni (zgodnie z rozkładem Poissona) średnio 7 osób w ciągu godziny. a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu godziny zmiany zadzwoni mniej niż 8 osób i więcej niż 5? b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu 8- godzinnej zmiany zadzwoni dokładnie 60 osób? c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu 5 dniowego tygodnia pracy będzie 150,5 zgłoszeń? 23

24 Rozkład hipergeometryczny E k liczba sukcesów N liczebność populacji n liczebność próby w 4w " 4 " R liczba elementów wyróżnionych w populacji W urnie znajduje się 20 kul (w tym 5 białych). Losujemy bez zwracania losowo 3 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej 2 są białe? Losujemy bez zwracania 4 kule z urny zawierającej łącznie 10 kul zielonych i niebieskich. Podaj parametry rozkładów zmiennej losowej X -liczba wylosowanych kul zielonych jeżeli: 1. W urnie są 2 kule zielone. 2. W urnie jest 5 kul zielonych. 3. W urnie jest 7 kul zielonych. Ładunek zawiera 24 elementy spośród których 5 zostało uszkodzonych w czasie transportu. Odbiorca sprawdza losowo 3 sztuki w losowaniu bez zwracania. Jeśli choć jeden element będzie wadliwy to cała dostawa jest zwracana producentowi. Liczba sztuk wadliwych w próbie jest zmienną losową. Jakie jest prawdopodobieństwo przyjęcia dostawy? Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania 6 w totolotka (6 z 49)? 24

25 W urnie znajdują się 3 kule białe i 6 czarnych. Podaj rozkład zmiennej losowej X liczba wylosowanych kul białych jeżeli: 1. Losuję 5 kul ze zwracaniem. 2. Losuję 5 kul bez zwracania. W urnie znajdują się 3 kule białe i 6 czarnych. 1. Losuję kule bez zwracania aż do wylosowania kuli białej. 2. Losuję kule ze zwracaniem aż do wylosowania kuli białej. Co jest zmienną losową X? Oblicz P(3) i P(15) w każdym przypadku. Rozkład geometryczny E Š $ LP k- liczba naturalna Aż do uzyskania pierwszego sukcesu! różne Zdecyduj jaki to rozkład. Oblicz! 1. Stenotypistka robi 2 błędy na stronę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dana strona nie zawiera żadnego błędu? 2. Komputer zawiesza się raz na dwa dni. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się zawiesi 3 razy w ciągu tygodnia? 3. Elementy pakowane są po 30 w pudło. Prawdopodobieństwo wyprodukowania wadliwego elementu wynosi 0.1 Jakie jest prawdopodobieństwo, że pudło zawiera 3 zepsute elementy? 4. Średnia liczba niedoróbek w nowym mieszkaniu wynosi 11. Jakie jest prawdopodobieństwo kupienia mieszkania z jedną niedoróbka? 5. Pudełko zawiera bardzo dużo podkładek. 2 razy więcej jest w nim podkładek stalowych niż miedzianych. 4 podkładki wybieram losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 2 są miedziane? 25

26 Rzucamy jednocześnie i niezależnie dwiema kośćmi do gry. Sukcesem jest uzyskanie na obu kościach łącznie 8 oczek. 1. Zmienną losową jest numer rzutu w którym uzyskano sukces. Jakie jest prawdopodobieństwo, że sukces uzyskano w 5-tym rzucie 2. Zmienną losową jest liczba sukcesów uzyskanych w 4 rzutach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uzyskano przynajmniej 1 sukces? (Policz z rozkładu dwumianowego i Poissona) Wiadomo, że wadliwość żarówek (tzn. przeciętny procent braków) wynosi 4%, Jakie jest prawdopodobieństwo, że w partii liczącej 200 sztuk znajdzie się od 3 do 6 sztuk złych (włącznie)? Rozwiązanie r.d r.p 3 0, , , , , , , ,