Prawdopodobieństwo GEOMETRYCZNE

Transkrypt

1 Prawdopodobieństwo GEOMETRYCZNE

2 Zadanie 1. Skoczek spadochronowy skacze nad kwadratową wyspą o boku 20km. Na środku wyspy znajduje się prostokątne lądowisko o wymiarach 2x3 km. Jakie jest prawdopodobieństwo, że skoczek wyląduje na lądowisku? 2. Skoczek spadochronowy skacze nad okrągłą wyspą o promieniu 20km. Na środku wyspy znajduje się okrągłe lądowisko o średnicy 2 km. Jakie jest prawdopodobieństwo, że skoczek wyląduje na lądowisku?

3 Zadanie 1. Skoczek spadochronowy skacze nad okrągłą wyspą o promieniu 20km. Na środku wyspy znajduje się kwadratowe lądowisko o boku 2 km. Jakie jest prawdopodobieństwo, że skoczek wyląduje na lądowisku? 2. Skoczek spadochronowy skacze nad prostokątną wyspą o wymiarach 20x10km. Na środku wyspy znajduje się kwadratowe lądowisko o boku 5 km. Jakie jest prawdopodobieństwo, że skoczek wyląduje na lądowisku?

4 Zadanie 1. Skoczek spadochronowy skacze nad prostokątną wyspą o wymiarach 20x20km. Na środku wyspy znajduje się okrągłe lądowisko o średnicy 5 km. Jakie jest prawdopodobieństwo, że skoczek wyląduje na lądowisku? 2. Skoczek spadochronowy skacze nad kwadratową wyspą o wymiarach 25x25km. Na środku wyspy znajduje się kwadratowe lądowisko o boku 5 km. Jakie jest prawdopodobieństwo, że skoczek wyląduje na lądowisku?

5 Spotkanie Dwie przyjaciółki K i M umówiły się na spotkanie między godziną 14 a 15. Osoba, która przyjdzie pierwsza czeka 20 minut. Jaka jest szansa, że się spotkają?

6 Paradoks Bertranda 1889 Z okręgu o promieniu 1 wylosowano cięciwę AB. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie ona dłuższa niż bok trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg?

7 Jakie warunki muszą spełniać cięciwy? wylosowanie miary k kąta wpisanego Wersja kanoniczna kąta środkowego wylosowanie położenia jej środka wylosowanie odległości jej środka od środka okręgu

8 Paradoks Bertranda - Rozwiązanie 1 Okrąg jest niezmienny ze względu na obroty Wylosowanie cięciwy to wylosowanie miary k kąta wpisanego α = AOB 0, 2π Ω = 0,2π Cięciwa spełnia warunki gdy α 2π 3, 4π 3 P 2π 3, 4π 4 = 2π 3,4π 4 0,2π = 4π 3 2π 3 2π = 2π 3 2π = 1 3

9 Paradoks Bertranda - Rozwiązanie 1 wersja 2 Okrąg jest niezmienny ze względu na obroty Wylosowanie cięciwy to wylosowanie miary k kąta środkowego α = AOB 0, π Ω = 0, π Cięciwa spełnia warunki gdy α 2π 3, π P 2π 3, 4π 4 = 2π 3,π 0,π = 1π 3 π = 1 3

10 Paradoks Bertranda - Rozwiązanie 2 Wylosowanie cięciwy to wylosowanie położenia jej środka Ω = S 0,1 Cięciwa spełnia warunki gdy jej środek leży wewnątrz koła o promieniu 1 współśrodkowego z danym okręgiem 2 P 0, = S 0,1 2 = π = 1 S(0,1) π

11 Paradoks Bertranda - Rozwiązanie 3 Wylosowanie cięciwy to wylosowanie odległości jej środka od środka okręgu. Ω = 0,1 Cięciwa spełnia warunki gdy jej środek leży nie dalej niż 1 2 od środka okręgu. P 0,1 2 = 0,1 1 2 = 2 = 1 0,1 1 2

12 Które rozwiązanie jest dobre? 1 3 random endpoints Ω = 0,2π 1 4 random midpoint Ω = S 0,1 1 2 random radius Ω = 0,1

13 Zadania KOLOKWIUM?

14 Zadanie Z przedziału <-2; 4> wybieramy losowo dwie liczby (x,y). Jakie jest prawdopodobieństwo, że 2y 1 > x

15 Zadanie Z przedziału <-2; 4> wybieramy losowo dwie liczby (x,y). Jakie jest prawdopodobieństwo, że y x 2 1

16 Zadanie Z przedziału <-2, 4> wybieramy losowo dwie liczby (x,y). Jakie jest prawdopodobieństwo, że x y 2 2 1

17 Zadanie Z przedziału <-2, 4> wybieramy losowo dwie liczby (x,y). Jakie jest prawdopodobieństwo, że x y

18 Zadanie Z przedziału <0, 1> wybieramy losowo dwie liczby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 3x 1 2 y2

19 Zadanie Ze zbioru <-2, 5> wybieramy losowo dwie liczby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że y 2 > x + 1

20 Zadanie Podaj wartości zmiennych losowych i przypisane prawdopodobieństwa: W woreczku mamy 3 czerwone i 5 zielonych kule. Wyciągamy losowo dwie kulki (bez zwracania). X jest liczbą zielonych kul, wyciągniętych z worka /28 15/28 10/28

21 Rozkład dwumianowy P X = k = n k pk q n k n liczba doświadczeń k liczba sukcesów w n doświadczeniach (k = 0, 1, 2,, n) p prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie q prawdopodobieństwo porażki (p+q=1) Doświadczenia niezależne od siebie.

22 Zadanie (domowe) Rzucamy 6 razy kością. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej 2 szóstek? Zbuduj rozkład i podaj wartość oczekiwaną. Wykreśl rozkład.

23 Rozkład Poissona P(X = k) = λk k! e λ λ średnia k = 0, 1, 2, Rozkład zdarzeń rzadkich Rozkład Poissona jest przybliżeniem rozkładu dwumianowego (Bernoulliego) dla dużych prób i przy małym prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia sprzyjającego. (n>50 p<0.01, λ = np)

24 Zadanie Pogotowie wodociągowe wyjeżdża do awarii zgodnie z rozkładem Poissona ze średnią równą 2,5 interwencji na zmianę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu zmiany zostaną zgłoszone co najmniej 4 interwencje?

25 Zadanie Na infolinię dzwoni średnio 7 osób w ciągu godziny. a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu godziny zmiany zadzwoni mniej niż 8 osób? b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu 8-godzinnej zmiany zadzwoni dokładnie 60 osób? c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu 5 dniowego dnia pracy będzie 150,5 zgłoszeń?

26 Zadanie Dla zmiennej losowej o rozkładzie Poissona proszę wyznaczyć prawdopodobieństwa: P(X 3) P(2<X 5) Jeżeli P(7)=0, , a P(11)=0,

27 Rozkład hipergeometryczny k liczba sukcesów P k = N liczebność populacji n liczebność próby R k N R n k N n R liczba elementów wyróżnionych w populacji

28 Zadanie W urnie znajdują się 20 kul (w tym 5 białych). Losujemy bez zwracania losowo 3 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej 2 są białe?

29 Zadanie Ładunek zawiera 24 elementy spośród których 5 zostało uszkodzonych w czasie transportu. Odbiorca sprawdza losowo 3 sztuki w losowaniu bez zwracania. Jeśli choć jeden element będzie wadliwy to cała dostawa jest zwracana producentowi. Liczba sztuk wadliwych w próbie jest zmienną losową. Jakie jest prawdopodobieństwo przyjęcia dostawy?

30 Zadanie Losujemy bez zwracania 4 kule z urny zawierającej łącznie 10 kul zielonych i niebieskich. Podaj parametry rozkładów zmiennej losowej X - liczba wylosowanych kul zielonych jeżeli: 1. W urnie są 2 kule zielone. 2. W urnie jest 5 kul zielonych. 3. W urnie jest 7 kul zielonych.

31 Wartość oczekiwana E X = n R N

32 Zadanie Losujemy bez zwracania 4 kule z urny zawierającej 2 kule białe, 3 zielone, 3 czerwone i 2 żółte. Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej losowej X liczba wylosowanych kul białych.

33 Zadanie Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania 6 w totolotka (6 z 49)?

34 Zadanie W urnie znajdują się 3 kule białe i 6 czarnych. Podaj rozkład zmiennej losowej X liczba wylosowanych kul białych jeżeli: 1. Losuję 5 kul ze zwracaniem. 2. Losuję 5 kul bez zwracaniem.

35 Zadanie W urnie znajdują się 3 kule białe i 6 czarnych. Podaj rozkład zmiennej losowej X -... jeżeli: 1. Losuję kule bez zwracania aż do wylosowania kuli białej. 2. Losuję kule ze zwracaniem aż do wylosowania kuli białej.

36 Rozkład geometryczny P X = k = pq k 1 k- liczba naturalna Aż do uzyskania pierwszego sukcesu!

37 Wartość oczekiwana E X = 1 p

38 Rozkład Pascala P n, k = n 1 k 1 pk q n k Aby uzyskać k sukcesów należy wykonać n prób (Czyli w n-1 próbie mamy k-1 sukcesów!)

39 E X = n p

40 Zadanie Koszykarz Bob trafia rzuty wolne ze skutecznością 70%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w piątym rzucie trafi trzeci raz?

41 Zadanie - rozwiązanie Koszykarz Bob trafia rzuty wolne ze skutecznością 70%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w piątym rzucie trafi trzeci raz? n = 5, k = 3, p = 0.7, q = 0.3 P 5, 3 = ,73 0,3 5 3 = 4 2 0,73 0,3 2 = 0,18522

42 Zadanie (inna wersja 1) Koszykarz Bob trafia rzuty wolne ze skutecznością 70%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pięciu rzutach trafi trzy razy?

43 Zadanie - rozwiązanie Koszykarz Bob trafia rzuty wolne ze skutecznością 70%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pięciu rzutach trafi trzy razy? n = 5, k = 3, p = 0.7, q = 0.3 P 3 = 5 3 0,73 0,3 5 3 = 5 3 0,73 0,3 2 = Rozkład dwumianowy

44 Zadanie (inna wersja 2) Koszykarz Bob trafia rzuty wolne ze skutecznością 70%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w piątym rzucie trafi pierwszy raz?

45 Zadanie (inna wersja) Koszykarz Bob trafia rzuty wolne ze skutecznością 70%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w piątym rzucie trafi pierwszy raz? Uwaga to jest rozkład geometryczny. n = 5, k = 1, p = 0.7, q = 0.3 P 5, 1 = ,71 0,3 5 1 = 4 0 0,71 0,3 4 = 0,00567

46 Rozkład wielomianowy P k1 k 2 k j n, p 1, p 2,, p j = n liczba niezależnych prób j liczba rozłącznych zdarzeń k 1 + k 2 + k j = n n! k 1! k 2! k j! p k 1 k 1 p 2 k 2 p j j

47 Zadanie Urna zawiera 10 kul: 4 czerwone 3 zielone 3 niebieskie Losujemy 5 kul ze zwracaniem Jaka jest szansa wylosowania 2 kul czerwonych, 2 zielonych i 1 jednej niebieskiej?

48 Zadanie - odpowiedź P = 5! 2! 2! 1! =

49 Zadanie (Policz z rozkładu dwumianowego i Poissona) Jeżeli wiadomo, że wadliwość żarówek (tzn. przeciętny procent braków) wynosi 4%, w partii liczącej 200 sztuk znajdzie się od 3 najwyżej 6 sztuk złych (włącznie)?

50 Rozwiązanie r.d r.p 3 0, , , , , , , ,122138

51 Zadanie Dla zmiennej losowej o rozkładzie Poissona proszę wyznaczyć prawdopodobieństwo P(X 2) jeżeli P(6)=P(7).

52 Rozkład dwumianowy czy Poissona? Oblicz! 1. Stenotypistka robi 2 błędy na stronę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dana strona nie zawiera żadnego błędu? 2. Komputer zawiesza się raz na dwa dni. Jakie jest prawdopodobieństwo, że się zawiesi 3 razy w ciągu tygodnia? 3. Elementy pakowane są po 30 w pudło. Prawdopodobieństwo wyprodukowania wadliwego elementu wynosi 0.1 Jakie jest prawdopodobieństwo, że pudło zawiera 3 zepsute elementy? 4. Średnia liczba niedoróbek w nowym mieszkaniu wynosi 11. Jakie jest prawdopodobieństwo kupienia mieszkania z jedną niedoróbka? 5. Pudełko zawiera bardzo dużo podkładek. 2 razy więcej jest w nim podkładek stalowych niż miedzianych. 4 podkładki wybieram losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) 0, b) 1, c) 2, d) 3 są miedziane?

53 Zadanie [best of 7] Finał między dwiema drużynami trwa do czasu, aż jedna z nich wygra 4 spotkania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że finałowych spotkań będzie 4, 5, 6?

54 Zadanie (rozwiązanie) Finał między dwiema drużynami trwa do czasu, aż jedna z nic wygra 4 spotkania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że finałowych spotkań będzie 4, 5, 6? 4 mecze =

55 Zadanie (rozwiązanie) Finał między dwiema drużynami trwa do czasu, aż jedna z nic wygra 4 spotkania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że finałowych spotkań będzie 4, 5, 6? 4 mecze = 4 zwycięstwa jednej drużyny Rozkład dwumianowy (albo geometryczny) P = = 0,0625

56 Zadanie (rozwiązanie) Finał między dwiema drużynami trwa do czasu, aż jedna z nic wygra 4 spotkania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że finałowych spotkań będzie 4, 5, 6? 5 meczy =

57 Zadanie (rozwiązanie) Finał między dwiema drużynami trwa do czasu, aż jedna z nic wygra 4 spotkania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że finałowych spotkań będzie 4, 5, 6? 5 meczy = w 4 meczach drużyna musiała wygrać 3 razy i do tego wygrać piąty mecz. P = = 0, = Lub r. Pascala P 5, 4 = = Uwaga: ale to dotyczy jednej drużyny! Odpowiedź: P = = 0. 25

58 Zadanie (z kolokwium SM) Strzelec ma 5 nabojów i strzela do pierwszego trafienia. Prawdopodobieństwo pudła przy jednym strzale wynosi 0,4. Zmienną losową jest liczba oddanych strzałów. Proszę wyznaczyć rozkład i wartość oczekiwaną,

59 Zadanie (kolokwium SM 2016L)

60 Rozwiązanie kule wygrane wygrane x i p i 0 0, , , ,048 y i p i 150 0, , , ,048 y i p i -30 0, , , ,119

61 Zadanie (kolokiwum SM)

62 Rozwiązanie xi pi 0, , , ,102988

63 Zadanie (kolokwium SM) O pracę w pewnej firmie niezależnie od siebie ubiega się 5 osób. Szanse każdej z nich są jednakowe. Prawdopodobieństwo tego, że zatrudniona zostanie co najmniej jedna z nich wynosi Proszę podać rozkład prawdopodobieństwa.

64 Paradoks Monty'ego Halla Są 3 bramki Gracz wybiera jedną losowo Prowadzący oznajmia, że jedna z niewybranych bramek jest pusta i ją odkrywa Gracz może zmienić zdanie Powinien czy nie?