Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi
|
|
- Iwona Julia Kosińska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi Plan wykładu: 1. Przykłady macierzy rzadkich i formaty ich zapisu 2. Metody: Jacobiego, Gaussa-Seidla, nadrelaksacji 3. Zbieżność metod iteracyjnych 4. Metody: największego spadku, sprzężonego gradientu. Literatura: Yousef Saad Iterative methods for sparse linear systems
2 Matrix Market - DWT: Everstine's collection from the Harwell-Boeing Collection DWT 87: WIeża DWT 234: Wieża z platformą DWT 607: Wirnik Wankela Łopata turbiny 2802 x 2802, 6342 NZ Cylinder z kołnierzem 2919 x 2919, 7593 NZ 2
3 Wybrane formaty zapisu macierzy rzadkich - CSR (compressed sparse row) trzy wektory: wartości, numery kolumn, początki wierszy (pierwsze nie-zero w wierszu) - CSC (compressed sparse column) trzy wektory: wartości, numery wierszy, początki kolumn (pierwsze nie-zero w kolumnie) - CF (coordinate format) trzy wektory dla: wartości, oraz numery kolumn i wierszy dla nie-zer CSR dla macierzy symetrycznej zapamiętujemy tylko macierz U wartości = ( ) kolumna = ( ) wiersz = ( ) CSR dla macierzy niesymetrycznej wartości = ( ) kolumna = ( ) wiersz = ( ) 3
4 Mnożenie Ax=y w formacie CSR dla macierzy niesymetrycznej a ij x j = y i j=1 a[ ] - elementy macierzowe, k[] - numery kolumn, w[]-indeksy z poczatkami wierszy y=0; for(i=1; i<n; i++){ l 1 =w[i]; // początek indeksow dla i-tego wiersza l 2 =w[i+1]-1; // koniec indeksów dla i-tego wiersza for(l=l 1 ; l<=l 2 ; l++){ j=k[l]; //numer kolumny y[i]=y[i]+a[l]*x[j]; } } 4
5 Mnożenie Ax=y w formacie CSR dla macierzy symetrycznej A=U+D+L oraz L=U T (U+D+L)x = y =(D+U)x + (x T U) T Czyli a ij x j = y i! j=1 Jeśli zamienimy wskaźniki w drugiej sumie to element a ij *x i będzie dawać wkład do y j, które zostanie wyznaczone później (j>i) w ten sposób dochodząc do wiersza j-tego wartość drugiej sumy będzie znana. a[ ] - wektor elementów macierzowych, k[] - numery kolumn, w[]-indeksy z początkami wierszy y=0; for(i=1; i<=n; i++){ a ij x j + X x j a ji j<i j=i l 1 =w[i]; // początek indeksow dla i-tego wiersza l 2 =w[i+1]-1; // koniec indeksów dla i-tego wiersza for(l=l 1 ; l<=l 2 ; l++){ j=k[l]; //numer kolumny } } y[i]=y[i]+a[l]*x[j]; if( i!=j ) y[j]=y[j]+a[l]*x[i]; // sumowanie tyko po elementach pozadiagonalnych // modyfikacja pochodzi od drugiej sumy 5
6 Szukamy rozwiązania układu n równań liniowych Ax = b; A 2 R n n ; x; b 2 R n Oznaczmy A jako sumę 3 macierzy A = L + D + U Dlaczego używamy metod iteracyjnych? Przykład N=50000 liczba równań w układzie fl 2 = 8 bajtów/liczbę podwójna precyzja L D U a) Ograniczenia pamięci P d <N 2 fl 2 = 20 GB (10GB) zaalokowana pamięć w komputerze Ale jeśli układ jest np. pięcioprzekątniowy to do zapisu macierzy A (w postaci wektorowej) potrzebujemy tylko P i <5Nfl 2 =2MB pamięci b) większa wydajność dla macierzy rzadkich (liczba elementów macierzy różnych od 0 jest rzędu N) w stosunku do metod bezpośrednich Macierze takie często pojawiają się w obliczeniach naukowych i inżynierskich (FEM, PDE) Metoda Jacobiego Dla dowolnie wybranego przybliżenia rozwiązania x 0 chcemy tak przekształacać iteracyjnie wektor x (k) aby doprowadzić do znikania składowych wektora reszt w k iteracjach co można zapisać x = [» 1 ;» 2 ; : : : ;» n ] b = [ 1; 2; : : : ; n] (b Ax (k) ) i = 0 i j a ij» (k) j = 0 6
7 a ii» (k) i = i Składowe wektora reszt znikają w kolejnych iteracjach, więc możemy zapisać» k+1 i = 1 a ii j j6=i 0 oraz dla całego wektora a ij» (k) j ; i = 1; 2; : : : ; n i j j6=i a ij» (k) j 1 C A» (k+1) i = = 1 a ii i Xi 1 j=1 Xi 1 j=1 a ij» (k+1) j a ii» (k+1) i j=i+1 a ij» (k+1) j a ij» (k) j = 0 j=i+1 a ij» (k) j + i 1 A x (k+1) = D 1 (L + U)x (k) + D 1 b W metodzie Jacobiego obliczamy kolejno wszystkie składowe nowego przybliżenia wektora rozwiązań. Metoda Gaussa-Seidla b Lx (k+1) Dx (k+1) Ux (k) = 0 x (k+1) = D 1 Lx (k+1) D 1 Ux (k) + D 1 b Różni się od metody Jacobiego tym, że obliczone już składniki» i k ; i = 1; 2; : : : ; j wykorzystywane są w obliczeniach składników j+1,j+2,...,n. 7
8 Metody Jacobiego i GS można zapisać ogólnie w postaci Mx (k+1) = Nx (k) + b = (M A)x (k) + b A = M N metoda Jacobiego: metoda Gaussa-Seidela: Metoda relaksacji M = D M = D + L b Lx (k+1) Dx (k+1) Ux (k) = 0 A = L + D + U!A =!D +!L +!U!A = (D +!L) + (!U (1!)D) Macierze iterujące i ich przekształcenia (preconditioning) Ogólny schemat iteracyjny x (k+1) = Gx (k) + f G J (A) = I D 1 A G GS (A) = I (D + L) 1 A przy podziale macierzy A A = M N definiujemy iterację do ustalonego punktu w jako x (k+1) = M 1 Nx (k) + M 1 b Z porównania obu zapisów dostajemy Metoda nadrelaksacji (SOR) (Successive Over Relaxation)» (k+1) i =!» (k+1)gs i! 2 (1; 2) + (1!)» (k) i (D +!L)x (k+1) = [!U + (1!)D]x k +!b G = M 1 N = M 1 (M A) = I M 1 A f = M 1 b 8
9 Proces iteracyjny x (k+1) = Gx (k) + f możemy potraktować także jako problem rozwiązania układu (I G)x = f co dla G=I-M -1 A daje układ równań M 1 Ax = M 1 b Układ ten ma identyczne rozwiązanie jak układ pierwotny. Co nam to daje? Z przepisu iteracyjnego x (k+1) = M 1 Nx (k) + M 1 b wynika, że musimy w każdej iteracji obliczyć M 1 Nx (k) = M 1 y (k) = z (k) Ponieważ M -1 nie znamy, więc chcemy niewielkim kosztem rozwiązać układ równań Mz (k) = y (k) Dla metod Jacobiego, Gaussa-Seidla i SOR macierz ta ma postać: M J = D M GS = D + L M SOR = 1 (D +!L)! Zbieżność metod iteracyjnych Dla macierzy definiujemy liczbę którą nazywamy promieniem spektralnym macierzy. Dla dowolnej macierzy kwadratowej zgodnej z normą wektorów prawdziwa jest nierówność Lemat Tw. Dla każdego wektora dążą do zera wtedy i tylko wtedy gdy Dowód ^ ">0 A 2 R n n j ij jjajj; _ ½(A) = max j ij i=1;2;:::;n i 2 Z jjajj p jjajj p ½(A) + " x 2 R n Ax; A 2 x; : : : ; A i x; : : : " = 1 ½(A) 2 jjajj p 1 + ½(A) < 1 2 jja n xjj p jjajj n p jjxjj p! 0 A n x! 0 elementy ciągu ½(A) < 1 9
10 Tw. Ciąg wektorów którego elementy wyznaczamy według wzoru jest zbieżny do jedynego punktu granicznego wtedy i tylko wtedy gdy Dowód x (0) ; x (1) ; : : : ; x (i) ; : : : x (i+1) = Gx (i) + f; i = 0; 1; : : : x (i+1) = Gx (i) + f = G(Gx (i 1) + f) + f = : : : = G i+1 x (0) + (G i f + G i 1 f + : : : + f) lim i!1 Gi+1 x (0)! 0 jjf + G 1 f + : : : + G i f + : : : jj p 1X jjfjj p jjgjj i p = jjfjj p 1 jjgjj p i=0 ½(G) < 1 Zbieżność w metodzie SOR G SOR = (D +!L) 1 [!U + (1!)D] det(g SOR ) = det (D +!L) 1 det (D +!L) 1 = det (!U + (1!)D) det (!U + (1!)D) = det((1!)d) det(g SOR ) = (1!) n det(g SOR ) = 1 2 : : : n j1!j 1 det(d +!L) = 1 det(d) = (1!) n det(d) max i=1;:::;n i = ½(G SOR ) < 1 0 <! < 2 Jeśli macierz układu jest symetryczna, dodatniookreślona i nieosobliwa to procedura iteracyjna jest zawsze zbieżna dla 0 <! < 2 10
11 Minimalizacja formy kwadratowej Jeśli Ax=b i r=b-ax to możemy utworzyć formę kwadratową postaci R = r T r = (b Ax) T (b Ax) Związek gradientu Q z kierunkiem poszukiwania przybliżonego rozwiązania. Prosta interpretacja geometryczna w 2D powierzchnie o stałej wartości Q mają kształt elipsy (hiperelipsy w przestrzeni o większej liczbie wymiarów). Która jest dodatniookreślona i przyjmuje wartość minimalną dla dokładnego rozwiązania x. W dalszych rozważaniach zakładamy że macierz A jest symetryczna i dodatniookreślona, wówczas możemy użyć formy kwadratowej postaci Q = 1 2 xt Ax x T b która ma minimum w x, ponieważ Q(x + x) Q(x) = 1 2 xt A x > 0 Proces poszukiwania rozwiązania dokładnego przebiega iteracyjnie, tj. szukamy ciągu przybliżeń x 1 ; x 2 ; x 3 ; : : : x 4 x 5 x 6 gdzie: x i+1 = x i + i v i x 3 Od sposobu wyznaczania α i i v i zależy zbieżność i x 1 x 2 szybkość metody. 11
12 Metoda największego spadku Przybliżone rozwiązanie w i+1 iteracji ma postać x i+1 = x i + i v i Jako v i wybieramy kierunek gradientu Q rq = Ax i b = r i v i = r i Kolejne przybliżenie w metodzie największego spadku opisuje wyrażenie x i+1 = x i + rt i r i ri T Ar i dla którego zachodzi warunek Q(x i+1 ) < Q(x i ) Metoda może być jednak wolnozbieżna w przypadku gdy hiperelipsoida ma wydłużony kształt co odpowiada złemu uwarunkowaniu układu. r i W celu znalezienia współczynnika i obliczamy Q(x i+1 ) Q(x i i r i ) = 1 2 xt i r 1 2 xt i b i r T i Ar i + i r T i r i i różniczkujemy je po parametrze wariacyjnym w celu i = r T i r i + i r T i i = 0! i = rt i r i r T i Ar i 12
13 Metoda sprzężonego gradientu Założenia: - x d jest rozwiązaniem dokładnym - ciąg wektorów v 1 ; v 2 ; v 3 ; : : : stanowi bazę w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej Różnicę rozwiązania dokładnego i przybliżonego możemy zapisać w postaci kombinacji liniowej elementów bazy x d x i = j v j j=1 Jeśli elementy bazy są ortogonalne to można łatwo wyznaczyć współczynniki kombinacji liniowej j = vt j (x d x i ) vj T v ; j = 1; 2; : : : j Żądamy więc, aby wektory bazy spełniały warunek A-ortogonalności (wektory A-sprzężone) v T j Av i = 0 $ i 6= j Dla macierzy dodatniookreślonej zachodzi warunek v T i Av i 6= 0 Jak skonstruować bazę A-ortogonalną? Jeśli dysponujemy zwykłą bazą wektorów u 1 ; u 2 ; u 3 ; : : : to możemy ją poddać procesowi ortogonalizacji Grama-Schmidta v 1 = u 1 v i+1 = u i+1 + ix k=1 i+1;k v k Ale powyższy wzór wymaga modyfikacji ponieważ nie znamy wektora x d, wiemy jednak, że Ax d =b więc j = vt j A(x d x i ) v T j Av j = vt j r i v T j Av j i+1;k = vt k Au i+1 v T k Av k Jak utworzyć ciąg wektorów u i? 13
14 W metodzie CG bazę stanowią wektory reszt (kierunki gradientów), które dzięki A- ortogonalizacji są sprzężone. Kolejne przybliżenia w podstawowej metodzie CG wyznaczamy zgodnie z poniższym schematem: W podstawowej metodzie CG w każdej iteracji należy wykonać dwa mnożenia macierz-wektor Av i Ar i+1 i to te dwie operacje determinują nakład obliczeń. Algorytm metody CG można przedstawić w alternatywnej postaci, gdzie wymagamy tylko jednego mnożenia macierz-wektor: v 1 = r 1 = b Ax 1 i = vt i r i v T i Av i x i+1 = x i + i v i r i+1 = r i i Av i i = vt i Ar i+1 vi T Av i v i+1 = r i+1 + iv i Dzięki A-ortogonalności w każdej iteracji wystarczy wyznaczyć tylko jeden współczynnik (reszta współczynników znika). v 1 = r 1 = b Ax 1 i = rt i r i v i Av i x i+1 = x i + i v i r i+1 = r i i Av i i = rt i+1 r i+1 ri T r i v i+1 = r i+1 + iv i Maksymalna liczba iteracji w metodzie CG wynosi n+1 więc jest metodą skończoną. Zazwyczaj do uzyskania akceptowalnego rozwiązania wystarcza wykonanie znacznie mniejszej liczby iteracji. 14
15 W metodzie CG bazę stanowią wektory reszt (kierunki gradientów), które dzięki A- ortogonalizacji są sprzężone. Kolejne przybliżenia w podstawowej metodzie CG wyznaczamy zgodnie z poniższym schematem: W podstawowej metodzie CG w każdej iteracji należy wykonać dwa mnożenia macierz-wektor Av i Ar i+1 i to te dwie operacje determinują nakład obliczeń. Algorytm metody CG można przedstawić w alternatywnej postaci, gdzie wymagamy tylko jednego mnożenia macierz-wektor: v 1 = r 1 = b Ax 1 i = vt i r i v T i Av i x i+1 = x i + i v i r i+1 = r i i Av i i = vt i Ar i+1 vi T Av i v i+1 = r i+1 + iv i Dzięki A-ortogonalności w każdej iteracji wystarczy wyznaczyć tylko jeden współczynnik (reszta współczynników znika). v 1 = r 1 = b Ax 1 i = rt i r i v i Av i x i+1 = x i + i v i r i+1 = r i i Av i i = rt i+1 r i+1 ri T r i v i+1 = r i+1 + iv i Maksymalna liczba iteracji w metodzie CG wynosi n+1 więc jest metodą skończoną. Zazwyczaj do uzyskania akceptowalnego rozwiązania wystarcza wykonanie znacznie mniejszej liczby iteracji. 15
16 Macierz A nxn a ij = ji jj ; ji jj 5 _ a ij = 0; ji jj > 5 Uwaga: wyniki uzyskano w pojedynczej precyzji 16
Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu:
Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracynymi Plan wykładu: 1. Przykłady macierzy rzadkich i formaty ich zapisu 2. Metody: Jacobiego, Gaussa-Seidla, nadrelaksaci 3. Zbieżność
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50
Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
12. Iteracyjne rozwiązywanie Ax=B Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Anna Marciniec Radosław
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 14 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładów Błędy obliczeń Błędy można podzielić na: modelu, metody, wejściowe (początkowe), obcięcia, zaokrągleń..
Bardziej szczegółowoNumeryczna algebra liniowa. Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1
Numeryczna algebra liniowa Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1 Numeryczna algebra liniowa Numeryczna algebra liniowa obejmuje szereg algorytmów dotyczących wektorów i macierzy, takich jak
Bardziej szczegółowoWEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Obliczenia równoległe w zagadnieniach inżynierskich. Wykład 6 p. Rozwiazywanie układów równań. metody bezpośrednie,
Plan wykładu Obliczenia równoległe w zagadnieniach inżynierskich Wykład 6 Dr inż. Tomasz Olas olas@icis.pcz.pl Układy równań liniowych i metody ich rozwiazywania Metoda sprzężonych gradientów Macierze
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami bezpośrednimi
Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami bezpośrednimi Plan wykładu:. Definicje macierzy, norm etc.. Metoda eliminacji Gaussa, Jordana. Rozkład LU metodą Gaussa. Układy równań z macierzą
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego
Bardziej szczegółowoObliczenia równoległe w zagadnieniach inżynierskich. Wykład 6
Wykład 6 p. 1/?? Obliczenia równoległe w zagadnieniach inżynierskich Wykład 6 Dr inż. Tomasz Olas olas@icis.pcz.pl Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Plan wykładu
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metody kierunków poparwy (metoda Newtona-Raphsona, metoda gradientów sprzężonych) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.03.2019 1
Bardziej szczegółowoWartości i wektory własne
Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Bardziej szczegółowoElementy metod numerycznych
Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoOptymalizacja (minimalizacja) funkcji. Plan wykładu: 1. Sformułowanie problemu, funkcja celu. 2. Metody bezgradientowe
Optymalizacja (minimalizacja) funkcji Plan wykładu: 1. Sformułowanie problemu, funkcja celu. Metody bezgradientowe a) metoda złotego podziału b) metoda sympleks c) metoda interpolacji Powell'a 3. Metody
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój
METODY NUMERYCZNE wykład dr inż. Grażyna Kałuża pokój 103 konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30 www.kwmimkm.polsl.pl Program przedmiotu wykład: 15 godzin w semestrze laboratorium: 30 godzin
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Metoda gradientów sprzężonych motywacja Rozważmy funcję f : R N R f(x) = 1 2
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI
WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI Kierunki sprzężone. Metoda Newtona Raphsona daje dobre przybliżenie najlepszego kierunku poszukiwań, lecz jest to okupione znacznym kosztem obliczeniowym zwykle postać
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji n-wymiarowych Forma kwadratowa w n wymiarach Procedury minimalizacji Minimalizacja wzdłuż prostej w n-wymiarowej przestrzeni Metody minimalizacji wzdłuż osi współrzędnych wzdłuż kierunków
Bardziej szczegółowoAproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1
Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur
Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Metody iteracyjne i metoda gradientów. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Metody iteracyjne i metoda gradientów sprzężonych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Metody iteracyjne W metodach dokładnych otrzymane rozwiazanie jest dokładne
Bardziej szczegółowo1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 8
Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 6 Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania f(x) = 0 lub g(x) = h(x)
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) x x 2 n x.
Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) Sprawdzić że macierz ma wartości własne2+ 222 2 2 Niechx R n Udowodnić że 2 0 0 x x 2 n x 3 NiechA R n n będzie macierzą symetryczną Wiadomo że wówczas istnieje
Bardziej szczegółowoWykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym
1 Wykład 6 Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym ELIMINACJA GAUSSA Z WYBOREM CZĘŚCIOWYM ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH 2 Przy pomocy klasycznego algorytmu eliminacji
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowo04 Układy równań i rozkłady macierzy - Ćwiczenia. Przykład 1 A =
04 Układy równań i rozkłady macierzy - Ćwiczenia 1. Wstęp Środowisko Matlab można z powodzeniem wykorzystać do rozwiązywania układów równań z wykorzystaniem rozkładów macierzy m.in. Rozkładu Choleskiego,
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych SVD, metody iteracyjne i metoda gradientów. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych SVD, metody iteracyjne i metoda gradientów sprzężonych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Współczynnik uwarunkowania macierzy symetrycznej Twierdzenie 1. Niech
Bardziej szczegółowo= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4
17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowo10. Metody obliczeniowe najmniejszych kwadratów
10. Metody obliczeniowe najmniejszych kwadratów 1. Dowód twierdzenia o faktoryzacji macierzy Twierdzenie 1 Każdadodatniookreślon aisymetryczn amacierzm można przedstawíc wpostaci M = PP T gdzie P jest
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowoWykład III Układy równań liniowych i dekompozycje macierzy
Wykład III Układy równań liniowych i dekompozycje macierzy Metody eliminacji i podstawienia wstecz Metoda dekompozycji LU i jej zastosowania Metody dla macierzy specjalnych i rzadkich Metody iteracyjne
Bardziej szczegółowoNumeryczna algebra liniowa
Numeryczna algebra liniowa Numeryczna algebra liniowa obejmuje szereg algorytmów dotyczących wektorów i macierzy, takich jak podstawowe operacje na wektorach i macierzach, a także rozwiązywanie układów
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Metody iteracyjne Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Metody iteracyjne Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2017 Metody iteracyjne Rozwiazanie układu równań liniowych, uzyskane
Bardziej szczegółowoRozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b
Rozwiazywanie układów równań liniowych Ax = b 1 PLAN REFERATU: Warunki istnienia rozwiazań układu Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów - algorytm rekurencyjny Rozwiazanie układu
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.
Metody numeryczne Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-9.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 7/1/2003 20:18 p.1/64 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Numeryczne zagadnienie własne
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 3. Numeryczne zagadnienie własne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wektory i wartości własne definicje Niech A C N N. Jeżeli
Bardziej szczegółowoRACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowo, A T = A + B = [a ij + b ij ].
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Sposoby reprezentacji liczb całkowitych i rzeczywistych patrz wykład z Teoretycznych Podstaw
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA. ĆWICZENIA Układy Równań Liniowych
ALGEBRA LINIOWA ĆWICZENIA Układy Równań Liniowych ALEXANDER DENISIUK Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem http://userspjwstkedupl/~denisjuk/ Proponowane zadania powinny zostać zrealizowane
Bardziej szczegółowoNUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIA ROWNAŃ LINIOWYCH. PRZYGOTOWAŁA: ANNA BANAŚ KoMBo, WILiŚ
NUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIA ROWNAŃ LINIOWYCH PRZYGOTOWAŁA: ANNA BANAŚ KoMBo, WILiŚ PODZIAŁ DOKŁADNE ELIMINACYJNE DEKOMPOZYCYJNE ELIMINACJI GAUSSA JORDANA GAUSSA-DOOLITTLE a GAUSSA-CROUTA CHOLESKY EGO
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoSposoby tworzenia uwarunkowania wstępnego dla metody gradientów sprzężonych
Sposoby tworzenia uwarunkowania wstępnego dla metody gradientów sprzężonych Ten fakt, że matematyka obliczeniowa nie daje żadnych przepisów dla tworzenia operatora uwarunkowania wstępnego B, doprowadzi
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan
RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Przykład 1 Prędkość v spadającego spadochroniarza wyraża się zależnością v = mg ( 1 e c t) m c gdzie g = 9.81 m/s 2. Dla współczynnika oporu c
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowocx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Bardziej szczegółowoDefinicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoKomputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11; środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Bardziej szczegółowo5. Metody stochastyczne (symulowane wyżarzanie, algorytmy genetyczne) -> metody Monte Carlo
Optymalizacja (minimalizacja) funkcji Plan wykładu: 1. Sformułowanie problemu, funkcja celu 2. Metody bezgradientowe a) metoda złotego podziału b) metoda sympleks c) metoda interpolacji Powell'a 3. Metody
Bardziej szczegółowoAproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.
Metody numeryczne Paweł Zieliński p. 1/19 Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza bazę przestrzeni liniowej Π n. Dowód. Lemat 2. Dowolny wielomian Q j stopnia j niższego od k jest prostopadły
Bardziej szczegółowoMETODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoBardzo łatwa lista powtórkowa
Analiza numeryczna, II rok inf., WPPT- 12 stycznia 2008 Terminy egzaminów Przypominam, że egzaminy odbędą się w następujących terminach: egzamin podstawowy: 30 stycznia, godz. 13 15, C-13/1.31 egzamin
Bardziej szczegółowo