UNIWERSYTET WARSZAWSKI WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH. Natalia Krejckant Nr albumu: Piotr Pomichowski Nr albumu:

Transkrypt

1 UNIWERSYTET WARSZAWSKI WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH Natalia Krejckant Nr albumu: Piotr Pomichowski Nr albumu: Metoda Największej Wiarygodności w analizie wpływu czynników kształtujących cenę metra kwadratowego mieszkań na rynku wtórnym w Warszawie w latach Projekt wykonany pod kierunkiem dr Aneta Dzik Walczak, dr Jerzy Mycielski Warszawa, maj 2014

2 Spis treści WSTĘP PRZEGLĄD LITERATURY HIPOTEZY BADAWCZE METODOLOGIA Metoda Największej Wiarygodności Statystyka ilorazu wiarygodności Statystyka Walda OPIS BAZY DANYCH WYNIKI ESTYMACJI INTERPRETACJA WYNIKÓW WERYFIKACJA HIPOTEZ BADAWCZYCH.. 23 WNIOSKI BIBLIOGRAFIA..26 ZAŁĄCZNIKI

3 WSTĘP Warszawa jest miastem charakteryzującym się największymi zasobami mieszkaniowymi w Polsce. Jednak zakup mieszkania w tym obszarze związany jest często z dużymi nakładami finansowymi. Kryzys w 2008 roku spowodował bankructwo wielu firm budowlanych, a co za tym idzie ich niewypłacalność i upadłość. Publikacja wydana przez Narodowy Bank Polski wskazuje na fakt, iż za sytuację w pierwszym i drugim kwartale 2010r., na rynkach mieszkaniowych największych polskich miast, odpowiedzialne były procesy które zaszły w latach Wysokie ceny mieszkań w 2010 r, odziedziczone z lat poprzednich, spowodowały spadek popytu, zmniejszenie liczby transakcji na rynku wtórnym, a także powstanie dużego zasobu niesprzedanych mieszkań na rynku pierwotnym zarówno gotowych, jak i tych pozostających w stadium realizacji. 1 Rok 2013 określany był mianem roku na zakup mieszkania, ze względu na to, że ceny transakcyjne w Warszawie kształtowały się na poziomie cen z III kwartału 2006 roku, czyli sprzed górki cenowej przełomu 2007 i 2008 r. 2 Omawianą sytuację ilustruje Wykres 1 znajdujący się w załączniku. Przewidywano, iż tak korzystne warunki zakupu mieszkań, nie powtórzą się w roku Analiza Narodowego Banku Polskiego, pokazuje także, iż na rynku wtórnym do III kwartału 2013 roku, można było zaobserwować spadkową tendencję cen mieszkań w największych miastach Polski, która następnie została zahamowana. Natomiast na rynku wtórnym Warszawy odnotowano nieznaczny wzrost cen transakcyjnych, choć średnia cena wciąż pozostaje niższa niż na rynku pierwotnym. Wynika to stąd, że klienci dysponujący gotówką kupują lokale o lepszej jakości oraz z powodu rządowych programów dopłat do mieszkań. 3 ( załącznik : Wykresy 2 3). Mimo tak wysokiej podaży nowych mieszkań, rynek wtórny wciąż cieszy się dużą popularnością. Kluczowym powodem mogą być niższe ceny, zwykle lepsza lokalizacja, a także indywidualne preferencje konsumentów. Najdroższe mieszkania położone są w Śródmieściu oraz na Mokotowie Górnym i Dolnym. Celem niniejszej pracy jest uzyskanie odpowiedzi na pytanie: Jakie czynniki mają wpływ na kształtowanie się ceny metra 1 J. Łaszek, H. Augustyniak, M. Widłak, Informacja o cenach mieszkao i sytuacji na rynku nieruchomości mieszkaniowych w Polsce1 w pierwszym półroczu 2010 r., Narodowy Bank Polski 2010, s BankierPress, Stare nowe ceny mieszkao, 10 marzec 2013 *dostęp: 18 maj 2014],< 3 J. Łaszek, H. Augustyniak, M. Widłak, Informacja o cenach mieszkao i sytuacji na rynku nieruchomości mieszkaniowych i komercyjnych w Polsce1 w IV kwartale 2013 r., Narodowy Bank Polski 2014, s.8. 2

4 kwadratowego na rynku wtórnym, w Warszawie w latach ?, a także analiza warszawskiego rynku wtórnego mieszkań w tym czasie. Badanie to zostało wykonane, na podstawie modelu uzyskanego przy użyciu Metody Największej Wiarygodności. Kolejnym krokiem jest porównanie otrzymanych wyników, z wynikami uzyskanymi dzięki MNK (Metoda Najmniejszych Kwadratów) oraz ocena obu metod. W skład zmiennych objaśniających wchodzą: powierzchnia, liczba pokoi, rok budowy, piętro, a także dzielnica. Zmienną objaśnianą stanowi logarytm ceny za metr kwadratowy. W pracy postawiono 3 hipotezy badawcze. Pierwsza hipoteza zakłada, że lokalizacja mieszkania, najsilniej wpływa na kreowanie się ceny metra kwadratowego mieszkania. Kolejne dwie zakładają, że także rok budowy oraz jego powierzchnia podniesiona do kwadratu, mają istotny wpływ na jej kształtowanie. 3

5 1. PRZEGLĄD LITERATURY Zmienne, a także niektóre miary statystyczne, wykorzystane w analizie, dobrano na podstawie 3 artykułów dotyczących rynku nieruchomości. Pierwszym z nich jest praca autorstwa Marioli Chrzanowskiej o tytule: Przestrzenna Analiza Warszawskiego (wtórnego) Rynku Mieszkaniowego. 4, w której wykorzystano 324 mieszkania, występujące na warszawskim rynku wtórnym, w IV kwartale 2010 r. Analiza uwzględniała geograficznie ważoną regresję (GWR), a otrzymane wyniki porównano z obliczeniami uzyskanymi za pomocą regresji wielorakiej. Każde z mieszkań, wykorzystanych w owym badaniu, zostało opisane przez szereg zmiennych niezależnych, w skład których wchodziły m. in. powierzchnia, liczba pokoi, rok budowy nieruchomości, numer piętra, cena za m², a także lokalizacja mieszkania. Zmienną zależną stanowiła zaś transakcyjna cena mieszkania w zł. Badanie to wykazało m.in., iż wszystkie oszacowania parametrów liniowej regresji, otrzymane metodą krokowej eliminacji, mają sensowną interpretację, zgodnie z założeniem ceteris paribus. Zarówno powierzchnia mieszkania, liczba kondygnacji, liczba pokoi, jak i rok budowy istotnie wpływa na kształtowanie się ceny transakcyjnej. Wyliczony błąd resztowy uwidocznił, że wartości transakcyjne znacznie odbiegają od wartości teoretycznych. Pomimo dość dużego współczynnika determinacji, świadczyło to o słabym dopasowaniu modelu do danych empirycznych. Ze względu na wartość stałej w modelu, bliskiej zeru, nie brano go pod uwagę. Dla modeli GWR, wartość współczynnika determinacji była nieco wyższa, błąd resztowy niższy, natomiast oszacowania parametrów znacząco różniły się od tych, uzyskanych dzięki regresji wielorakiej. Praca autorstwa Marty Widłak i Natalii Nehrebeckiej również dotyczy warszawskiego runku wtórnego mieszkań. 5 Dane, które wykorzystano w badaniu, obejmowały transakcje zawarte na wolnym rynku, zanotowane przez biura pośrednictwa sprzedaży nieruchomości. Użyto także zmiennych charakteryzujących mieszkanie, opisujących jego cechy fizyczne, a także te, dotyczące lokalizacji. W pracy tej dokonano podziału obserwacji na trzy segmenty cenowe, których granicami są pierwszy i trzeci kwartyl, a następnie porównano wyniki estymacji w każdym z nich. Różnice w cenach za m², pomiędzy segmentami, wynikają najczęściej z odmiennych preferencji, zależnych od ograniczenia budżetowego, a także z efektu substytucyjnego. Wyniki analizy, modelu 4 M. Chrzanowska, Przestrzenna Analiza warszawskiego (wtórnego) rynku mieszkaniowego, Studia i Materiały Towarzystwa Naukowego Nieruchomości, Volume 19 numer 3, Olsztyn 2011, s M. Widłak, N. Nehrebecka, Wykorzystanie regresji kwantylowej w analizie zróżnicowania cen mieszkao, Wiadomości Statystyczne, Numer 5, Maj 2011, s

6 hedonicznego, przeprowadzonej za pomocą regresji kwantylowej, potwierdziły powyższe wnioski. Jak się okazuje, zmienne określające dzielnicę, w której zlokalizowana jest dana nieruchomość, są statycznie istotne. Wynika to nie tyle ze zdolności klientów do oceny wartości dzielnic, jak z faktu, iż dzielnica często decyduje o umiejscowieniu mieszkania w grupie najtańszych lub najdroższych nieruchomości. Rok budowy, także istotnie wpływa na kształtowanie się ceny mieszkania. Budownictwo najnowsze, powstające od 2002 roku jest wyżej cenione, niż mieszkania z lat 90 ubiegłego wieku. Natomiast budynki z lat , są niżej wyceniane w stosunku do budynków z lat Wykazano, że klienci kupujący mieszkania o niższej wartości, bardziej cenią sobie ich dobre wykończenie, niż ci którzy kupują droższe mieszkania. Natomiast niski standard jest mniej istotny dla nabywców o większych możliwościach finansowych. Wynika to prawdopodobnie z faktu, iż większe ograniczenie budżetowe, determinuje chęć ograniczenia kosztów, związanych z remontem. Ogólne wnioski dotyczące badania, przy pomocy regresji kwantylowej, wskazują na to, że w badanym okresie, jedynie lokalizacja, a także standard, istotnie determinowały różnorodność cen mieszkań. Pozostałe cechy, takie jak: liczba kondygnacji budynku, prawo do lokalu, liczba pokoi, powierzchnia i rodzaj kuchni, nie różnią się istotnie, w zależności od rozkładu cen metra kwadratowego mieszkania. Innym przykładem artykułu, jest praca Barbary Batóg i Iwony Foryś. 6 Jej celem było wytypowanie takich cech mieszkań, które wpływają na jego cenę jednostkową, a co za tym idzie kwalifikują jego zakup do finansowania w programie Rodzina na swoim, za pomocą dwumianowych modeli logitowych. W badaniu tym, uwzględniono informacje na temat transakcyjnych cen mieszkań z lat 2009 i 2010 na rynku wtórnym, które określono na skali dychotomicznej (kwalifikacja do programu Rodzina na swoim lub brak kwalifikacji), dzięki czemu stanowiły one zbiór zmiennych objaśnianych, w modelu logitowym. Zmiennymi objaśniającymi był cechy ilościowe i jakościowe, które ostatecznie ograniczono do roku budowy oraz lokalizacji. Bardzo ciekawym i ważnym zabiegiem było podzielenie zmiennej charakteryzującej lokalizację nieruchomości na 4 warianty. Były to: LA lewobrzeże centrum, LB lewobrzeże poza centrum, PA prawobrzeże centrum i PB prawobrzeże poza centrum. Rok budowy widniał jako zmienna ilościowa. Badanie istotności oszacowanych parametrów dokonano za pomocą testu łącznych efektów. W celu określenia jakości dopasowania modelu, wykorzystano ilorazy szans oraz zliczeniowy R². Wyniki tej analizy, pokazują m.in., że rok budowy nieruchomości jest istotny dla ceny 6 B. Batóg, I. Foryś, Zastosowanie modeli zmiennych jakościowych do badania ceny rynkowej mieszkao, Wiadomości Statystyczne, Numer 5, Maj 2013, s

7 transakcyjnej mieszkania. Lokalizacja miała jednak największe znaczenie w jej kształtowaniu na warszawskim rynku wtórnym. Starszy wiek nieruchomości, zwiększał jej szanse na zakwalifikowanie się do programu Rodzina na swoim, natomiast umiejscowienie w centralnej części lewobrzeżnej Warszawy znacząco je zmniejszał. 6

8 2. HIPOTEZY BADAWCZE W pracy postawiono 3 hipotezy badawcze. Pierwsza zakłada, że położenie mieszkania dzielnica, najmocniej wpływa na cenę nieruchomości. Podobne wnioski wyciągnęła Barbara Batóg i Iwona Foryś w badaniu dotyczącym modeli zmiennych jakościowych. Jednak dotyczyło ono wpływu tej zmiennej na cenę transakcyjną. Autorki zaobserwowały także istotny wpływ zmiennej opisującej rok budowy, na kształtowanie się wartości ceny mieszkania. Zatem drugą hipotezą badawczą, postawioną w niniejszej pracy jest założenie o istotnym wpływie roku powstania budynku, na cenę metra kwadratowego mieszkania w Warszawie. Trzecia, a zarazem ostatnia hipoteza zakłada, że powierzchnia mieszkania, podniesiona do kwadratu, istotnie wpływa na kształtowanie się cen m² mieszkań. Pomysł na wykorzystanie tak zmodyfikowanej zmiennej, zaczerpnięto z pracy M. Widłak i N. Nehrebeckiej, o wykorzystaniu regresji kwantylowej w analizie zróżnicowania cen mieszkań. 7

9 3. METODOLOGIA 3.1 Metoda Największej Wiarygodności Jednym z założeń, dotyczących niniejszej pracy, jest estymacja modelu regresji liniowej za pomocą Metody Największej Wiarygodności, która jest jedną z najbardziej uniwersalnych metod estymacji. Estymatorem największej wiarygodności, dla wektora nieznanych parametrów θ, szacowanym na podstawie wartości zmiennej zależnej y i wartości zmiennych niezależnych X, nazywamy wartość parametru, w której funkcja wiarygodności przyjmuje wartość największą θ = argmax fθ (y, X) θ Θ Funkcja wiarygodności jest łączną funkcją gęstości prawdopodobieństwa f( ), rozważaną jako funkcja parametru lub zbioru parametrów θ przy ustalonych wartościach z próby. Zamiast funkcji gęstości maksymalizujemy najczęściej jej logarytm ln fθ (y, X). Ze względu na fakt, iż przekształcenie logarytmiczne jest przekształceniem monotonicznym, istnienie maksimum logarytmu funkcji gęstości, przypada w tym samym punkcie, co maksimum funkcji gęstości 3.1 θ = argmax fθ (y, X) = argmax ln fθ (y, X) θ Θ θ Θ 3.2 Metoda Największej Wiarygodności wymaga spełnienia trzech najważniejszych założeń dotyczących własności obserwacji: założenie o słabej egzogeniczności, identyfikowalności parametrów i niezależności poszczególnych obserwacji w próbie. W kontekście MNW, założenie o słabej egzogeniczności, jest jedną z własności funkcji wiarygodności. Względem niego, konieczne jest założenie, że wektor parametrów θ można separować na dwie części θ = (Φ, Ψ), a także te części są niepowiązane, czyli φ Φ, ψ Ψ to θ Φ Ψ. Mówimy, że X jest słabo egzogeniczne względem wektora parametrów Ψ jeżeli łączną funkcję gęstości można następująco dekomponować fθ (y, X) = f Φ (y, X) f Ψ(X) 3.3 8

10 gdzie funkcja f Ψ(X) opisuje prawdopodobieństwo zaobserwowania wartości zmiennych egzogenicznych i nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zaobserwowania konkretnych wartości parametrów modelu. W związku z tym estymator MNW można obliczyć jako sumę dwóch oszacowań Φ oraz Ψ max ln fθ (y, X) = max ln f Φ (y, X) + max ln f Ψ (X) θ Φ Ψ Φ = argmax ln f Φ (y, X) Φ Ψ = argmax ln f Ψ (X) Ψ Jeśli X jest słabo egzogeniczne względem Φ, to wartość parametru Ψ oraz postać funkcji f Ψ (X) nie ma wpływu na postać estymatora MNW parametru Φ. Oznacza to, że istnieje możliwość oszacowania parametrów modelu dla zmiennej endogenicznej y bez znajomości sposobu w jaki determinowana jest zmienna egzogeniczna X. W niniejszej pracy przyjęto, że zmienne są słabo egzogeniczne. Założenie o identyfikowalności parametrów, zakłada iż wszystkie parametry modelu wpływają w odmienny sposób na prawdopodobieństwo zaobserwowania próby. W związku z tym możliwe jest oszacowanie ich wielkości na podstawie własności zaobserwowanej próby. Niech θₒ będzie prawdziwą wielkością wektora parametrów θ. Wówczas istnieje taki zbiór, że 3.6 (y, X) θ θₒ : Lθₒ(X, y) Lθ(X, y) 3.7 W otoczeniu punktu θₒ funkcja wiarygodności nie może być płaska, natomiast prawdopodobieństwo zaobserwowania próby (X, y) dla wektora parametrów θₒ oraz dla wektora parametrów θ powinno być różne. Wszystkie zmienne użyte modelu są skorelowane ze zmienną objaśnianą. Świadczy to o tym, że determinują one logarytm ceny metra kwadratowego mieszkania, a więc parametry stojące przy tych zmiennych, też będą miały wpływ na zmienną endogeniczną. Przez niezależność poszczególnych obserwacji w próbie, rozumiemy że obserwacje dla yi są od siebie niezależne oraz, że zmienne egzogeniczne Xi wpływają wyłącznie na prawdopodobieństwo yi. Spełnienie powyższego założenia, daje możliwość zapisania funkcji wiarygodności w następujący sposób 9

11 Lθ(y X) = fθ(y X) = fθ(y X1,...,Xn) = fθ(y i Xi) n i=1 3.8 Łączna funkcja gęstości jest iloczynem funkcji gęstości dla pojedynczych obserwacji. W niniejszym projekcie, przyjęto założenie o niezależności obserwacji, gdyż ukazywanie się ogłoszeń dotyczących mieszkań jest zjawiskiem losowym i niezależnym od innych obserwacji. 3.2 Statystyka ilorazu wiarygodności Statystykę ilorazu wiarygodności, związaną z Metodą Największej Wiarygodności, wykorzystuje się do oceny jakości dopasowania modelu. Zakładając, że θ jest estymatorem ~ MNW bez ograniczeń, natomiast θr jest estymatorem MNW z ograniczeniami oraz, że znane są wielkości funkcji wiarygodności policzone dla maksimum bez ograniczeń, a także z ograniczeniami, statystykę ilorazu wiarygodności obrazuje poniższy wzór ~ ~ LR = 2 ( Ɩ ( θ ) Ɩ (θr ) ) χg ² D ~ 3.9 Dzięki niemu, istnieje możliwość weryfikacji hipotezy zerowej, mówiącej o tym że model z nałożonymi ograniczeniami, jest lepiej dopasowany. Wyliczenie powyższej statystyki LR, wymaga oszacowania modelu bez ograniczeń, jak i modelu z ograniczeniami. Można ją zapisać także w innej postaci LR = 2 ln ( L(θ) ~ ~ ) L(θ R) Statystyka Walda Statystyka Walda, znajduje takie samo zastosowanie jak w przypadku ilorazu wiarygodności. Jest jednak dużo łatwiejsza w użyciu, gdyż wymaga jedynie oszacowań parametrów w modelu bez ograniczeń. ~ ~ ~ ~ ~ W = h ( θ ) [ H ( θ ) I 1 ( θ ) H ( θ ) ] 1 h ( θ ) χ g 2 D 3.11 gdzie H ( θ ) = Ә h ( θ ) Ә h θ 3.12 jest macierzą pierwszych pochodnych h ( θ ). 10

12 Najczęściej wykorzystywana hipoteza zerowa, dotycząca statystyki Walda, mówi o łącznej nieistotności zmiennych objaśniających. Liczenie jej wartości jest całkowicie zautomatyzowane we współczesnych pakietach ekonometrycznych. 11

13 4. OPIS BAZY DANYCH W niniejszej pracy wykorzystano dane zaczerpnięte ze strony internetowej: Dotyczą one ofert mieszkań, warszawskiego rynku wtórnego z lat Dane wykorzystane w analizie, dostarczają mało wiarygodnych informacji, na temat ceny metra kwadratowego, gdyż zawierają ceny kupna oferowane przez sprzedawców. Ceny transakcyjne mieszkań są ciężko dostępne, gdyż posiadane są głównie przez instytucje takie jak: banki, agencje nieruchomości itp., stosujące klauzulę poufności. Dlatego też, w niniejszej pracy, posłużono się danymi znajdującymi się na portalu ogłoszeniowym. Zgromadzone informacje, zawierają parametry charakteryzujące mieszkanie, takie jak: lokalizacja, metraż, liczba pokoi, piętro, na którym się znajduje oraz roku budowy budynku. Założono, że na cenę nie wpływają czynniki odzwierciedlające sytuację na rynku finansowym lub inne, makroekonomiczne dotyczące popytu na mieszkania. Charakterystyki opisujące lokalizację i rok budowy, poddano modyfikacji, dodając im zmienne binarne. Kryterium, według którego przyporządkowywano wartości dla lokalizacji i roku budowy, były przedziały wyznaczone przez kwartyle. Dla dzielnicy, wyliczono je ze średniej zlogarytmowanej ceny metra kwadratowego, w drugim przypadku, był to rok budowy. W wyniku tego, otrzymano po 4 grupy, charakteryzujące się podobnymi właściwościami, np. podobna, średnia zlogarytmowana cena za m² w poszczególnych dzielnicach, czy też czas powstania budynku. Do danych, dano także zmienną ilustrującą powierzchnię mieszkania, podniesioną do kwadratu. Dzięki temu sprawdzono, czy mieszkania o większej powierzchni, mają relatywnie tańszą cenę za m², niż kawalerki. Zbiór zawiera 2876 obserwacji dla 13 zmiennych, dobranych na podstawie zaprezentowanej wcześniej literatury. Logarytm ceny m² mieszkania jako zmienna objaśniana, 8 zmiennych opisujących fizyczne cechy mieszkania i 4 odwołujące się do lokalizacji. OPIS ZMIENNYCH 7 Zmienne Typ Definicja ln(cena m2) ilościowa logarytm ceny wyrażonej w zł metra kwadratowego mieszkania pow(m2) ilościowa powierzchnia użytkowa mieszkania wyrażona w m² 7 Tabela zawiera informacje kiedy zmienna jakościowa(binarna) przyjmuje wartośd 1, w pozostałych przypadkach zmienne binarne przyjmują wartośd 0. 12

14 OPIS ZMIENNYCH C.D. Zmienne Typ Definicja sq_pow(m2) ilościowa kwadrat powierzchni użytkowej mieszkania wyrażonej w m² l_pokoi ilościowa ilość pokoi znajdujących się w mieszkaniu pietro ilościowa zmienna mówiąca o tym, na którym piętrze znajduje się dane mieszkanie rok_budowy jakościowa (przedstawiona za pomocą 8 zmiennych binarnych) Z1: 1 mieszkania wybudowane w roku <= 1968 Z2: 1 mieszkania wybudowane w latach Z3: 1 mieszkania wybudowane w latach Z4: 1 mieszkania wybudowane w latach dzielnica jakościowa (przedstawiona za pomocą 8 zmiennych binarnych) X1: 1 mieszkania zlokalizowane w dzielnicach Ursus, Praga Północ, Wawer, Białołęka, Targówek, których średnia zlogarytmowana cena m² jest <=8, (wart. I kwartyla) X2: 1 mieszkania zlokalizowane w dzielnicach Bielany, Praga Południe, Bemowo, Włochy, których średnia zlogarytmowana cena m² należy do przedziału (8, ; 8,995895> (wart. II kwartyla) X3: 1 mieszkania zlokalizowane w dzielnicach Wilanów, Ochota, Ursynów, Wola, których średnia zlogartymowana cena m² należy do przedziału (8, ; 9,110203> (wart. III kwartyla) X4: 1 mieszkania zlokalizowane w dzielnicach Górny Mokotów, Śródmieście, Dolny Mokotów, Żoliborz, których średnia cena m² należy do przedziału (9, ; 9,50563> (wart. IV kwartyla) Macierz współczynników korelacji Pearsona pomiędzy zmiennymi znajduje się w załączniku (Tabela 1). Wskazuje ona na dość małe skorelowanie pomiędzy zmiennymi objaśniającymi. Najsilniejszą zależność zaobserwowano między zmienną opisującą powierzchnię mieszkania i liczbę pokoi (71,38%). Był to dość spodziewany wynik, ze względu na fakt, iż większy metraż mieszkania, determinuje większą ilość pokoi. Istotną zależność, w porównaniu z innymi zmiennymi, choć nadal niewielką, zauważono także pomiędzy logarytmem ceny m² mieszkania, a lokalizacją i rokiem budowy. Dzięki temu, wywnioskowano, że mogą mieć one największy wpływ na kształtowanie się wartości zmiennej zależnej. Tabela 2 przedstawia statystykę opisową pełnego zbioru danych. Dzięki niej, można sprawdzić, jak kształtują się średnie wartości zmiennych objaśniających. 13

15 Zmienne Średnia Odchylenie standardowe Min Max ln_cena_m2 9, , , , X1 0, , X2 0, , X3 0, , X4 0, , Z1 0, , Z2 0, , Z3 0, , Z4 0, , powm2 65, , sq_powm2 5015, , l_pokoi 2, , pietro 4, , Tabela 2. Podstawowe statystyki opisowe pełnego zbioru danych. Źródło: opracowanie własne. Poniższe wykresy obrazują zależności jakie występują pomiędzy zmiennymi objaśniającymi, a logarytmem ceny za metr kwadratowy. 10 Zależnośd między powierzchnią a logarytmem ceny m^2 ln_cena_m2 9,5 9 8,5 0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 90,00 100,00110,00120,00130,00140,00150,00 Wykres 4. Obrazuje zależnośd pomiędzy zmienną opisującą powierzchnię mieszkania, a logarytmem ceny metra kwadratowego. Źródło: Opracowanie własne. 10 9,75 9,5 9,25 9 8,75 8,5 Zależnośd między liczbą pokoi a logarytmem ceny m^2 ln_cena_m2 Liniowy (ln_cena_m2) Wykres 5. Obrazuje zależnośd pomiędzy zmienną opisującą liczbę pokoi w mieszkaniu, a logarytmem ceny metra kwadratowego. Źródło: Opracowanie własne. 14

16 10 Zależnośd między rokiem budowy a logarytmem ceny m^2 ln_cena_m2 9,5 9 8, Wykres 6. Obrazuje zależnośd pomiędzy zmienną opisującą rok budowy mieszkania, a logarytmem ceny metra kwadratowego. Źródło: Opracowanie własne. Z powyższych wykresów wynika, iż żadna z zobrazowanych zmiennych objaśniających nie wpływa znacząco na zmienną logarytm ceny za metr kwadratowy mieszkania. Oznacza to, że zmienna logarytm ceny może być zmienną, którą determinuje wiele czynników nawet te, które nie są uwzględnione w modelu, ze względu na trudną dostępność. Wiele obserwacji stanowią mieszkania 23 pokojowe, wybudowane powyżej 2000 roku. Mieszkania te są popularne na rynku mieszkaniowym, stąd tak duża liczba obserwacji, pomimo faktu, że należą one do najdroższych. Nieruchomości o większej liczbie pokoi są tańsze, co może oznaczać, iż jest na nie mniejszy popyt lub na cenę wpływają inne istotne czynniki np. lokalizacja. Te wszystkie powyższe obserwacje mają kluczowe znaczenie ekonomiczne z punktu widzenia inwestora a także konsumenta kupującego mieszkanie. 15

17 0.5 1 Density WYNIKI ESTYMACJI W pierwszym etapie badania, wykorzystano bazę danych do skonstruowania modelu za pomocą Metody Najmniejszych Kwadratów. Uzyskane wartości oszacowanych parametrów, wraz z pozostałymi statystykami, wskazywały na fakt, iż zmienne: pietro i powm2 nie są istotne dla modelu. Uargumentowano to na podstawie wartości p value dla tych zmiennych (powm2 0,119, pietro 0,582). 8 W związku z tym, estymację powtórzono, nie uwzględniając w modelu wyżej wymienionych zmiennych. W tak skonstruowanym modelu, wykazano, iż wszystkie uwzględnione zmienne mają istotny wpływ na kształtowanie się wartości zmiennej zależnej. 9 Dokładne wyniki powyższej estymacji, zawarto w załączniku (Tabela 3, Tabela 4). W ramach estymacji modelu MNK sprawdzono założenia, których spełnienie jest niezbędne w procesie modelowania za pośrednictwem tej metody. W pierwszej kolejności wykorzystano test Jarque Bery na normalność składnika losowego. Wyniki wskazują, iż składnik losowy w rozpatrywanym modelu nie charakteryzuje się rozkładem normalnym. 10 Na poniższym wykresie widać, że rozkład reszt w modelu ma rozkład zbliżony do normalnego, ale nim nie jest. Wykres 7. Histogram przedstawiający rozkład reszt w modelu. Źródło: opracowanie własne Residuals 8 Założony poziom istotności wynosi 0,05. Wartości p value dla zmiennej powm2 i pietro są większe od założonego poziomu istotności co daje brak podstaw do odrzucenia Hₒ, mówiącej o nieistotności badanej zmiennej. 9 Wartości p value dla wszystkich zmiennych były mniejsze od przyjętego poziomu istotności (0,05) co skłoniło do odrzucenia Hₒ mówiącej o braku istotności poszczególnych zmiennych. 10 Wartośd p value w teście Jarque Bery wynosi 0,0016. Dla poziomu istotności równego 0,05, konieczne jest odrzucenie hipotezy Hₒ mówiącej o tym, że składnik losowym ma rozkład normalny(p value < poziom istotności). 16

18 W kolejnym etapie badań przetestowano poprawność specyfikacji dla modelu regresji liniowej. W tym celu wykorzystano test RESET Ramseya. Uzyskane wyniki potwierdzają, iż liniowa specyfikacja tego modelu jest właściwa. Świadczy o tym wartość p value równa , dzięki której nie mamy podstaw do odrzucenia Hₒ. 11 Koniecznym było także zbadanie heteroskedastyczności składnika losowego. Przyczyną heteroskedastyczności może być zarówno niepoprawna forma funkcyjna modelu, jak i ominięcie istotnych zmiennych. Innymi, równie ważnymi czynnikami wpływającymi na pojawienie się heteroskedastyczności może być jakość zbioru danych, a także po prostu natura badanego zjawiska. W tym celu wykorzystano należący do klasy testów mnożnika Lagrange a, test Breuscha Pagana, który bada heteroskedastyczność reszt dla wszystkich zmiennych objaśniających łącznie. Uzyskane wyniki sprawiły, że odrzucono hipotezę Hₒ o homoskedastyczności składnika losowego ( p value ). 12 Ostatecznie wykonano także badanie dotyczące autokorelacji składnika losowego, której częstą przyczyną jest przeszacowanie współczynnika determinacji liniowej. Jest to zjawisko niepożądane, ze względu na to, iż składniki losowe dla obserwacji pochodzących z różnych okresów nie są niezależne, lecz skorelowane. W tym celu posłużono się testem Breuscha Godfrey a, w którym hipoteza Hₒ mówi, że składnik losowy nie podlega autokorelacji żadnego rzędu. Test ten jest pozbawiony ograniczeń występujących m. in. w teście Durbina Watsona takich jak konieczność założenia normalności rozkładu składnika losowego, czy możliwość badania autokorelacji tylko dla I rzędu. Jest on dobrym rozwiązaniem do wykonywania badań, na dużych liczbach obserwacji. Otrzymane wyniki, wskazują na istnienie zjawiska autokorelacji składnika losowego. Wartość p value dla każdego z rzędów wynosi 0,000, co składnia do odrzucenia hipotezy Hₒ o braku autokorelacji wszystkich rzędów W teście RESET Ramseya hipoteza Hₒ mówi, iż liniowa specyfikacja modelu jest właściwa. W związku z przyjętym poziomem istotności 0,05, nie ma podstaw do jej odrzucenia. Powodem tego jest fakt, iż wartośd p value równe 0,3179 > 0, Założony poziom istotności 0,05 jest większy od wartości p value, która w teście Breuscha Pagana dla badanego modelu wynosi W związku z tym odrzucono hipotezę Hₒ o homoskedastyczności składnika losowego. 13 Wartośd p value w teście Breuscha Godfreya dla każdego z rzędów wynosi 0,000. Przy założonym poziomie istotności 0,05, konieczne jest odrzucenie hipotezy Hₒ mówiącej o tym że składnik losowy nie podlega autokorelacji żadnego rzędu. 17

19 W ramach badań dotyczących niniejszej pracy dokonano także próby oszacowania modelu Metodą Największej Wiarygodności. Jest ona jedną z najbardziej uniwersalnych metod estymacji, ponieważ wymaga spełnienia założeń, które są mniej restrykcyjne niż założenia MNK. Wyniki otrzymane w poprzednich etapach badania wykazały, iż większość założeń Metody Najmniejszych Kwadratów nie zostało spełnionych. Było to m.in. założenie o braku autokorelacji składnika losowego, o jego homoskedastyczności i normalności. Pomimo tego, w celu ułatwienia procesu weryfikacji hipotez, przyjęto założenie o rozkładzie normalnym. 14 Tabela 5 przedstawia wyniki estymacji modelu za pośrednictwem metody MNW. Maksimum funkcji wiarygodności dla tego modelu wynosi: Dodatkowe statystyki, otrzymane wraz z oszacowaniami udowadniają, że wszystkie zmienne objaśniające w modelu są łącznie istotne. Świadczy o tym wartość p value (0,000) dla testu Walda. Dla przyjętego poziomu istotności 0,05, koniecznym jest odrzucenie hipotezy Hₒ, o łącznej nieistotności zmiennych objaśnianych w modelu. ln_cena_m2 Oszacowanie parametru Błąd standardowy Statystyka Walda p value 95 % przedział ufności reg X1 0, , ,47 0,000 0, ,33857 X2 0, , ,08 0,000 0, ,19552 X3 0, , ,6 0,000 0, ,11835 X4 0 (omitted) Z1 0, , ,88 0,000 0, ,08912 Z2 0, , ,88 0,000 0, ,18112 Z3 0, , ,61 0,000 0, ,02468 Z4 0 (omitted) powm2 0, , ,56 0,118 0, , sq_powm2 0, ,66E06 3,46 0,001 5,51E06 1,99E05 l_pokoi 0, , ,28 0,000 0, ,02148 pietro 0, , ,55 0,581 0, , _cons 9, , ,54 0,000 9, , sigma _cons 0, , ,84 0,000 0, , Tabela 5. Wyniki estymacji modelu MNW. Zmienne X4 i Z4 zostały pominięte przez program STATA ze względu na fakt, iż wprowadzenie 4 zmiennych zerojedynkowych powoduje pojawienie się współliniowości w modelu. Tego typu zjawisko w literaturze nazywane jest dummy variable trap. Jedynym sposobem na oszacowanie modelu z występującą liniową zależnością pomiędzy regresorami jest pominięcie zmiennej zero jedynkowej dla jednej z kategorii. 14 Według Centralnego Twierdzenia Granicznego, jeśli zbiór danych charakteryzuje się dośd dużą próbą losową, to rozkład tych zmiennych zbiega do rozkładu normalnego. Ze względu na to, że w badaniu dysponowano dużą próbą, na mocy CTG, przyjęto założenie o rozkładzie normalnym. 18

20 Uzyskano także informacje dotyczące istotności poszczególnych zmiennych. Wyniki pokazały, że dla poziomu istotności 0,05 zmienne charakteryzujące piętro (pietro), na którym znajduje się dana nieruchomość, a także powierzchnia (powm2), nie mają istotnego wpływu na kształtowanie się wartości zmiennej zależnej. 15 Wartości p value pozostałych zmiennych, utrzymują się na poziomie 0,000, co oznacza, że są istotne dla modelu. W kolejnym kroku, ponownie estymowano model, nie uwzględniając nieistotnych zmiennych (pietro, powm2). Jak się okazuje, dzięki temu, kryteria informacyjne Akaike i Schwarza mają mniejsze wartości, co dowodzi lepszej jakości modelu. Proces estymacji Metodą Największej Wiarygodności powtórzono pięciokrotnie, uwzględniając różne zbiory zmiennych objaśniających. Dzięki temu wybrano najlepszą postać modelu, a także wywnioskowano, które zmienne mają największy wpływ na kształtowanie się zmiennej zależnej. Model full Zbiór zmiennych objaśniających w modelu zawiera wszystkie zmienne objaśniające (zmienne objaśniające: X1 X2 X3 Z1 Z2 Z3 powm2 sq_powm2 l_pokoi pietro). restrict_1 pozbawiony jest zmiennych nieistotnych, odrzuconych na podstawie statystyki Walda powm2, pietro (zmienne objaśniające: X1 X2 X3 Z1 Z2 Z3 sq_powm2 l_pokoi). restrict_2 restrict_3 restrict_4 pozbawiony jest zmiennych o charakterze binarnym określających lokalizację mieszkania (zmienne objaśniające: Z1 Z2 Z3 sq_powm2 l_pokoi). pozbawiony jest zmiennych o charakterze binarnym określających rok budowy mieszkania (zmienne objaśniające: X1 X2 X3 sq_powm2 l_pokoi). pozbawiony jest zmiennych określających powierzchnię mieszkania podniesioną do kwadratu (zmienne objaśniające: X1 X2 X3 Z1 Z2 Z3 l_pokoi). Tabela 6. Różne postacie modelu, które poddano procesowi estymacji Metodą Największej Wiarygodności. Źródło: Opracowanie własne Tabela 7 przedstawia zbiór kryteriów informacyjnych Akaike i Schwarza dla wszystkich z pięciu postaci modelu. 15 Wartośd p value dla zmiennej pietro wynosi 0,5808, natomiast dla zmiennej powm2 wynosi 0,1181. Dla poziomu istotności 0,05 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy Hₒ, o nieistotności badanej zmiennej ( p value > poziom istotności). 19

21 Model AIC BIC full 1894,9 1823,33 restrict_1 1896, ,51 restrict_2 828, ,177 restrict_3 1486, ,34 restrict_4 1860, ,12 Tabela 7. Zbiór kryteriów informacyjnych Akaike(AIC) i Schwarza(BIC) dla wszystkich postaci modelu. Źródło: Opracowanie własne. Według powyższej tabeli, najmniejszymi wartościami kryteriów informacyjnych AIC i BIC charakteryzuje się model restrict_1, pozbawiony dwóch, nieistotnych zmiennych (powm2, pietro). Można wnioskować zatem, iż ma on najlepszy zbiór zmiennych objaśniających, w porównaniu z pozostałymi, czterema modelami. Dodatkowo, wyższe wartości tych kryteriów w modelu restrict_2, restrict_3 oraz restrict_4 świadczą o tym, że zarówno lokalizacja mieszkania, rok budowy, a także zmienna opisująca jego metraż podniesiony do kwadratu ma istotny wpływ na cenę m². Nieuwzględnienie tych zmiennych, w poszczególnych modelach, powoduje zwiększenie wartości kryteriów informacyjnych Akaike i Schwarza oraz pogorszenie jakości modelu. Tabela 8, zawierająca wyniki testu ilorazu wiarygodności, potwierdza tą tezę. Modele LR chi2( ) p value restrict_1 vs full 2,75 0,2524 restrict_2 vs restrict_1 1073,22 0,000 restrict_3 vs restrict_1 416,06 0,000 restrict_4 vs restrict_1 37,36 0,000 Tabela 8. Przedstawia wyniki testu ilorazu wiarygodności porównując modele: full, restict_2, restrict_3, restrict_4 z modelem restrict_1. Hipoteza Hₒ : model z nałożonymi ograniczeniami jest lepiej dopasowany. Źródło: Opracowanie własne. Informacje zawarte w tabeli pokazują, iż model restrict_1 jest najlepiej dopasowany. Wartość p value dla pierwszego porównania dotyczy modelu restrict_1. Dla przyjętego poziomu istotności 0,05, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, mówiącej o lepszej jakości modelu restrict_1. Pozostałe wartości p value dotyczą modeli restrict_2, restrict_3, restrict_4. W każdym z trzech ostatnich przypadków, konieczne jest odrzucenie hipotezy Hₒ. 16 W związku z powyższymi wynikami, analizie poddano model restrict_1 i na jego podstawie dokonano dokładnych rozważań. Maksimum funkcji wiarygodności dla tego 16 Wartości p value kształtują się na poziomie 0,000. Przy założonym poziomie istotności 0,05, konieczne jest odrzucenie hipotezy Hₒ, mówiącej o tym, że model jest lepiej dopasowany. 20

22 modelu ma wartość Wszystkie zmienne są łącznie istotne, o czym świadczy wartość p value dla testu Walda (0,0000). 17 Oszacowania uzyskanych parametrów, pokazuje Tabela 9. ln_cena_m2 Oszacowanie parametru Błąd standardowy Statystyka Walda p value 95 % przedział ufności reg X1 0, , ,91 0,000 0, ,33779 X2 0, , ,2 0,000 0, ,19534 X3 0, , ,67 0,000 0, ,11826 Z1 0, , ,84 0,000 0,1256 0,08714 Z2 0, , ,09 0,000 0, ,1778 Z3 0, , ,62 0,000 0, ,02474 sq_powm2 7,28E06 1,19E06 6,13 0,000 4,96E06 9,61E06 l_pokoi 0, , ,74 0,000 0, ,03008 _cons 9, , ,16 0,000 9, , sigma _cons 0, , ,84 0,000 0, , Tabela 9. Przedstawia wyniki estymacji MNW, modelu restrict_1. 17 Dla poziomu istotności 0,05, konieczne jest odrzucenie hipotezy Hₒ o łącznej nieistotności zmiennych objaśniających w modelu. 21

23 INTERPRETACJA WYNIKÓW Ze względu na to, że w badanym modelu, zmienna objaśniana jest zlogarytmowana, natomiast zmienne objaśniające nie są logarytmami zmiennych pierwotnych, wyznaczono semielastyczności, dzięki którym zinterpretowano oszacowania parametrów. mieszkania znajdujące się w dzielnicach: Ursus, Praga Północ, Wawer, Białołęka, Targówek mają o 35,8% mniejszą cenę metra kwadratowego, niż mieszkania znajdujące się w dzielnicach: Górny Mokotów, Śródmieście, Dolny Mokotów, Żoliborz; mieszkania znajdujące się w dzielnicach: Bielany, Praga Południe, Bemowo, Włochy, mają o 21,3% mniejszą cenę metra kwadratowego, niż te w dzielnicach: Górny Mokotów, Śródmieście, Dolny Mokotów, Żoliborz; mieszkania znajdujące się w dzielnicach: Wilanów, Ochota, Ursynów, Wola, mają o 13,5% mniejszą cenę metra kwadratowego, niż w dzielnicach: Górny Mokotów, Śródmieście, Dolny Mokotów, Żoliborz; mieszkania wybudowane poniżej roku 1969 są o 10,6% tańsze, niż mieszkania wybudowane w latach ; mieszkania wybudowane w latach są o 19,8% tańsze, niż mieszkania wybudowane w latach ; mieszkania wybudowane poniżej roku są o 4,3% tańsze, niż mieszkania wybudowane w latach ; zwiększenie wartości zmiennej charakteryzującej powierzchnię do kwadratu o 1 jednostkę, powoduje wzrost o 0, % ceny za metr kwadratowy; zwiększenie liczby pokoi w mieszkaniu o jedną jednostkę, powoduje spadek ceny metra kwadratowego o 4%. 22

24 WERYFIKACJIA HIPOTEZ BADAWCZYCH Hipoteza pierwsza, według której dzielnica najsilniej wpływa na kształtowanie się logarytmu ceny metra kwadratowego mieszkania, została potwierdzona, gdyż oszacowany model bez tej zmiennej, był najgorszym modelem według kryterium informacyjnego AIC i BIC (Tabela 7). Druga hipoteza, postawiona w niniejszej pracy, mówiąca o tym, że rok budowy wpływa na zmienną objaśnianą, również została potwierdzona. Wpływ ten jest nieco mniejszy, niż w przypadku zmiennej charakteryzującej lokalizację. Weryfikacji, podobnie jak poprzednio, dokonano, na podstawie statystyk AIC i BIC. Ostatnia hipoteza, tak samo jak dwie poprzednie, została potwierdzona. Usunięcie z modelu zmiennej sq_powm2 (powierzchnia podniesiona do kwadratu), spowodowało pogorszenie się jakości modelu. Kryteria AIC i BIC w tym przypadku, nie wiele się zmieniły w stosunku do modelu wyjściowego, ale mimo wszystko, wykazywały negatywny wpływ takiego działania. W związku z tym zmienna ta, ma najmniejszy, ale nadal istotny wpływ na kształtowanie się logarytmy ceny m². 23

25 WNIOSKI Przeprowadzona estymacja, miała na celu, zbadanie czynników wpływających w na logarytm ceny metra kwadratowego mieszkań, na rynku wtórnym w Warszawie. Jej zadaniem było również, zweryfikowanie 3 hipotez badawczych. Analiza, której dokonano w niniejszej pracy, potwierdziła fakt, że cechy fizyczne mieszkania, mają wpływ na modelowanie cen metra kwadratowego. Przeanalizowanie wyników badania, zwraca uwagę na kilka kluczowych zależności. Zakładając, że popyt determinuje cenę dobra, to znaczy, że jeśli cena dobra rośnie to popyt na dobro tego rodzaju, w tym wypadku mieszkania, jest większy. Zgodnie z wynikami badania, na logarytm ceny metra kwadratowego mieszkania, większy, ujemny wpływ, determinujący niższą cenę, mają lokale wybudowane w latach , niż te poniżej roku 1968, co może wydawać się zjawiskiem zupełnie nie zgodnym z rzeczywistością, ale także może świadczyć o tym, że budynki wybudowane poniżej 1968 roku charakteryzują się bardzo unikalnymi cechami. Mogą być to budynki o dobrej lokalizacji, lub posiadające jakieś szczególne znaczenie historyczne. Kolejny wniosek, wyciągnięty z estymacji podkreśla, że liczba pokoi ujemnie wpływa na cenę mieszkania, co może świadczyć o tym, że większy jest popyt na mieszkania o mniejszej liczbie pokoi, przy założeniu tej samej powierzchni lokalu. Natomiast niewielki, dodatni wpływ, na cenę metra kwadratowego mieszkania, ma powierzchnia. Im większa powierzchnia, tym większa cena za metr kwadratowy. Być może wynika to z faktu, iż z reguły większa powierzchnia, jest zarezerwowana dla apartamentów luksusowych, o wyższym standardzie. Jedynie zastanawiać może fakt że jest to nie wielki wpływ. Zgodnie z oczekiwaniem najdroższy metr kwadratowy mają mieszkania zlokalizowane w dzielnicy takiej jak: Górny Mokotów, Śródmieście, Dolny Mokotów, Żoliborz i te wybudowane po 2005 roku. Wpływ na to mają z pewnością czynniki związane z dostępnością komunikacji miejskiej oraz fakt, że niektóre z tych dzielnic charakteryzują się mianem prestiżowych, z dużą ilością mieszkań o wysokim standardzie. W dzielnicach Ursus, Praga Północ, Wawer, Białołęka, Targówek mieszkania mają najniższą cenę za metr kwadratowy na rynku wtórnym, co może wiązać się z wieloma prowadzonymi w tych obszarach inwestycjami budowlanymi, które powodują większą konkurencje na rynku 24

26 nieruchomości, a co za tym idzie obniżkę cen na rynku wtórnym. Dodatkowy, bardzo istotny wpływ, ma także odległość mieszkań od centrum. Inne spostrzeżenia, można by było wywnioskować, dodając do analizy rynek pierwotny mieszkań w Warszawie. W niniejszej pracy wykorzystano dwie metody estymacji: MNK i MNW. W wyniku tego procesu otrzymano dwa zbiory, takich samych oszacowań parametrów, co oznacza, że rezygnacja z Metody Najmniejszych Kwadratów, na rzecz Metody Największej Wiarygodności, nie wpłynęła istotnie na wartości oszacowań. Jednak ze względu na fakt, iż korzystanie z MNK, wymaga spełnienia bardziej restrykcyjnych założeń, niż w przypadku MNW, spowodował, że analizę oszacowanych parametrów i charakterystykę warszawskiego (wtórnego) rynku mieszkaniowego, dokonano na podstawie wyników uzyskanych dzięki tej drugiej metodzie. Warto dodać, iż większość koniecznych założeń, dotyczących Metody Najmniejszych Kwadratów, nie zostało spełnionych, w związku z czym z niej zrezygnowano. Innym argumentem, popierającym słuszność tej decyzji, jest uniwersalność Metody Największej Wiarygodności i powszechne stosowane jej, do badania wielu ważnych modeli ekonometrycznych. 25

27 BIBLIOGRAFIA J. Łaszek, H. Augustyniak, M. Widłak, Informacja o cenach mieszkań i sytuacji na rynku nieruchomości mieszkaniowych w Polsce1 w pierwszym półroczu 2010 r., Narodowy Bank Polski J. Łaszek, H. Augustyniak, M. Widłak, Informacja o cenach mieszkań i sytuacji na rynku nieruchomości mieszkaniowych i komercyjnych w Polsce1 w IV kwartale 2013 r., Narodowy Bank Polski M. Chrzanowska, Przestrzenna Analiza warszawskiego (wtórnego) rynku mieszkaniowego, Studia i Materiały Towarzystwa Naukowego Nieruchomości, Volume 19 numer 3, Olsztyn 2011, s M. Widłak, N. Nehrebecka, Wykorzystanie regresji kwantylowej w analizie zróżnicowania cen mieszkań, Wiadomości Statystyczne, Numer 5, Maj 2011, s B. Batóg, I. Foryś, Zastosowanie modeli zmiennych jakościowych do badania ceny rynkowej mieszkań, Wiadomości Statystyczne, Numer 5, Maj 2013, s K. Kuhl, Diagnostyka w Pakiecie Stata, [dostęp: 20 maj 2014], < P. Strawiński, Estymacja MNW w Stata, [dostęp: 21 maj 2014], < P. Strawiński, Zmienne jakościowe i dyskretne w modelu regresji, [dostęp: 22 maj 2014], < 26

28 ZAŁĄCZNIK Wykres 1. Wykres przedstawiający kształtowanie się cen mieszkao w Warszawie w poszczególnych latach. Źródło: Centrum AMRON Wykres 2. Transakcyjne ceny metra kwadratowego mieszkao rynek pierwotny. Źródło: NBP 27

29 Wykres 3. Transakcyjne ceny metra kwadratowego mieszkao rynek wtórny. Źródło: NBP ln_cena_m 2 X1 X2 X3 X4 Z1 Z2 Z3 Z4 ln_cena_m 2 1,0000 powm 2 sq_powm 2 l_poko i X1 0,4075 1,0000 X2 0,1891 0,2524 1,0000 X3 0,0582 0,2794 0,3303 1,0000 X4 0,4457 0,3217 0,3803 0,421 1,0000 Z1 0,1108 0,1723 0,106 0,0428 0,2754 1,0000 Z2 0,3325 0,0043 0,1152 0,0415 0,0606 0,3339 1,0000 Z3 0,0238 0,1538 0,021 0,0527 0,1935 0,3634 0,3534 1,0000 Z4 0,2024 0,0196 0,0307 0,0311 0,0178 0,3125 0,304 0,3308 1,0000 powm2 0,1453 0,1155 0,0679 0,1167 0,0445 0,2003 0,1551 0,2131 0,1412 1,0000 sq_powm2 0,1658 0,1171 0,0797 0,12 0,0533 0,178 0,1585 0,2092 0,1255 0,9743 1,0000 l_pokoi 0,0475 0,0426 0,0026 0,0735 0,0371 0,1746 0,0454 0,0696 0,0612 0,7845 0,7138 1,0000 pietro 0,0227 0,0815 0,0116 0,0382 0,1127 0,1054 0,2023 0,0622 0,0317 0,0207 0,0173 0,0166 Tabela1. Tabela współczynników korelacji Pearsona. Źródło: Opracowanie własne. pietro 1,

30 ln_cena_m2 Oszacowanie parametru Błąd standardowy Statystyka t p value 95 % przedział ufności X1 0, , ,41 0 0, , X2 0, , ,04 0 0, , X3 0, , ,57 0 0, , Z1 0, , ,86 0 0, , Z2 0, , ,85 0 0, , Z3 0, , ,61 0 0, , powm2 0, , ,56 0,119 0, , sq_powm2 0, ,67E06 3,46 0,001 5,50E06 0, l_pokoi 0, , ,27 0 0, , pietro 0, , ,55 0,582 0, , _cons 9, , ,8 0 9, , Tabela 3. Tabela będąca wynikiem oszacowania modelu metodą MNK, przed usunięciem nieistotnych zmiennych. Źródło: Opracowanie własne. ln_cena_m2 Oszacowanie parametru Błąd standardowy Statystyka t p value 95 % przedział ufności X1 0, , ,86 0,000 0, ,33775 X2 0, , ,16 0,000 0, ,1953 X3 0, , ,65 0,000 0, ,11823 Z1 0, , ,82 0,000 0, ,0871 Z2 0, , ,06 0,000 0, ,17776 Z3 0, , ,61 0,000 0, ,02471 sq_powm2 7,28E06 1,19E06 6,12 0,000 4,95E06 9,62E06 l_pokoi 0, , ,72 0,000 0, ,03006 _cons 9, , ,05 0,000 9, ,3903 Tabela 4. Tabela będąca wynikiem oszacowania modelu metodą MNK, po usunięciu nieistotnych zmiennych. Źródło: Opracowanie własne. 29