Rozkłady statystyczne

Transkrypt

1 Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 23 października 2008

2 Agenda 1 Kilka podstawowych pojęć związanych z rozkładami... 2 Przegląd rozkładów ciągłych, 3, 4 Rozkład beta, 5 Rozkład wielowymiarowy. 6 Powtórka z gnuplota. 7 Ciekawostka...

9 Podstawowe pojęcia... Parę słów wstępu Nośnik miary Niech (X, T ) będzie przestrzenią topologiczną i niech µ będzie miarą borelowską na ˆX. Nośnikiem miary µ nazywamy zbiór wszystkich tych punktów z ˆX, których każde otoczenie otwarte ma dodatnią miarę: supp(µ) := {x X x N x T, µ(n x ) > 0}

10 Podstawowe pojęcia... Parę słów wstępu Nośnik miary Niech (X, T ) będzie przestrzenią topologiczną i niech µ będzie miarą borelowską na ˆX. Nośnikiem miary µ nazywamy zbiór wszystkich tych punktów z ˆX, których każde otoczenie otwarte ma dodatnią miarę: supp(µ) := {x X x N x T, µ(n x ) > 0} Nośnik miary jeszcze raz... Dla rozkładów prawdopodobieństwa nośnikiem miary jest zbiór wszystkich wartości, które może przyjąć zmienna losowa.

11 Zmienna losowa Funkcja X odwzorowująca zbiór Ω wyników pewnego doświadczenia losowego w zbiór liczb rzeczywistych. Przykłady zmiennych losowych to: 1 Funkcja opisująca wagę wylosowanego obiektu, 2 Funkcja opisująca wzrost, 3 Funkcja opisująca wiek, Z wartościami zmiennej losowej związane są określone prawdopodobieństwa, tak więc zmienna losowa przybiera różne wartości z różnym prawdopodobieństwem: P(X = x i ) = p i Przykład zmiennej losowej Niech Ω będzie zbiorem wszystkich możliwych wyników rzutu dwoma koścmi do gry. Składa się on z 36 możliwych wyników. Zmienna losowa może być opisana w następujący sposób: (i, j) R 2, gdzie 1 i, j 6

12 Parametr położenia Wpływa na przesunięcie dystrybuanty i funkcji rozkładu prawdopodobieństwa danego rozkładu bez zmiany jego kształtu.

13 Parametr położenia Wpływa na przesunięcie dystrybuanty i funkcji rozkładu prawdopodobieństwa danego rozkładu bez zmiany jego kształtu. Parametr skali Zwiększenie tego parametru k razy spowoduje min. rozszerzenie wykresu dystrybuanty i funkcji rozkładu prawdopodobieństwa na osi OX, oraz kurczenie osi OY k razy względem początku układu współrzędnych.

14 Parametr położenia Wpływa na przesunięcie dystrybuanty i funkcji rozkładu prawdopodobieństwa danego rozkładu bez zmiany jego kształtu. Parametr skali Zwiększenie tego parametru k razy spowoduje min. rozszerzenie wykresu dystrybuanty i funkcji rozkładu prawdopodobieństwa na osi OX, oraz kurczenie osi OY k razy względem początku układu współrzędnych. Parametr kształtu Wpływa na kształt dystrybuanty i funkcji rozkładu prawdopodobieństwa.

15 Funkcja gęstości prawdopodobieństwa Gęstość prawdopodobieństwa to nieujemna funkcja p(x) ciągłej zmiennej losowej x, taka, że: p(x) dx = 1 oraz prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X należy do przedziału (a,b) dane jest wzorem: P(a X < b) = b f (x) dx a

16 Dystrybuanta Pewna funkcja F(x) określająca prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmuje jakąkolwiek wartość mniejszą od z góry przyjętej danej wartości x. F (x) = P(X < x) Dystrybuanta F(x) określona w przedziale (a,b) posiada następujące własności: 1 jest funkcją niemalejącą, 2 jest funkcją co najmniej lewostronnie ciągłą, 3 F(a) = 0, oraz F(b) = 1.

17 Wartość oczekiwana Zwana także nadzieją matematyczną. Jest to wartość opisująca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Wartość oczekiwana skokowej zmiennej losowej EX = Σ n i=1 x ip i gdzie: x 1, x 2,..., x n - to wartości dyskretnej zmiennej losowej, p 1, p 2,..., p n - odpowiadające poszczególnym wartościom prawdopodobieństwa. Wartość oczekiwana ciągłej zmiennej losowej Wartość zmiennej losowej typu ciągłego definiowana jest jako całka: E X = X dp

18 Mediana Wartość cechy w szeregu uporządkowanym, powyżej i poniżej której znajduje się jednakowa liczba obserwacji. W celu obliczenia mediany ze zbioru n oberwacji, sortujemy je w kolejności od najmniejszej do największej i numerujemy od 1 do n. Jeśli n jest nieparzyste, to medianą jest wartość obserwacji w środku, czyli n+1 2. Jeśli n jest parzyste, to medianą jest średnia arytmetyczna dwóch środkowych obserwacji: n 2, oraz n Wariancja Utożsamiana jest ze zróżnicowaniem zbiorowości. Jest to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od wartości oczekiwanej. Y = (X EX ) 2

19 Moda - dominanta Wskazuje na wartość o największym prawdopodobieństwie wystąpienia, lub wartość najczęściej występującą w próbie. Dla zmiennej losowej o rozkładzie ciągłym jest to wartość, dla której funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma wartość największą. Wartość Prawdopodobieństwo

20 Współczynnik skośności Współczynnik skośności rozkładu to miara asymetrii rozkładu wyznaczana według wzoru: A = m d s gdzie: m - wartość średniej arytmetycznej, d - wartość mody, s - wartość odchylenia standardowego. Współczynnik skośności przyjmuje wartość zero dla rozkładu symetrycznego, wartości ujemne dla rozkładów o lewostronnej asymetrii (wydłużone lewe ramię rozkładu) i wartości dodatnie dla rozkładów o prawostronnej asymetrii (wydłużone prawe ramię rozkładu).

21 Kurtoza Miara spłaszczenia rozkładu wartości cechy określana wzorem: Kurt = µ4 σ 3 4 gdzie: µ 4 - jest czwartym momentem centralnym, σ 4 -σ to odchylenie standardowe.

22 Entropia Definiowana jako średnia ilość informacji, przypadająca na znak symbolizujący zajście zdarzenia z pewnego zbioru. Zdarzenia w tym zbiorze mają przypisane prawdopodobieństwa wystąpienia. H(x) = Σ n i=1 p(i)log r p(i) gdzie: p(i) - prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia i. Własności entropii jest nieujemna, jest maksymalna, gdy prawdopodobieństwa zajść zdarzeń są takie same, jest równa 0, gdy stany systemu przyjmują wartości 0 lub 1. 1

23 Funkcja tworząca momenty Pozwala na generowanie momentów kolejnych k rzędów zmiennej losowej, gdzie moment określany jest jako wartość oczekiwana k-tej potęgi tej zmiennej. Funkcja charakterystyczna Funkcją charakterystyczną zmiennej losowej X : Ω R nazywamy funkcję ϕ x : R C. ϕ x (t) = E(e itx ) dla t R Na funkcję charakterystyczną można patrzeć jako na transformatę Fouriera rozkładu zmiennej losowej, czyli transformację całkową z dziedziny czasu w dziedzinę czątotliwości.

24 Rozkład normalny Parę słów wstępu Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Rozkład gamma Rozklad t-studenta Rozkład Cauchy ego Zwany rozkładem Gaussa-Laplace a jest najczęściej spotykanym rozkładem zmiennej losowej ciągłej. Rozkład ten ma największe znaczenie spośród różnych rozkładów ciągłych stosowanych w statystyce. jest to rozkład teoretyczny, charakteryzujący się określonymi właściwościami, jst on rozkładem symetrycznym (czyli liczebności odpowiadające wartościom zmiennej rozkładają się symetrycznie wokół liczebności największej), każdy rozkład normalny jest rozkładem symetrycznym, rozkład posiada jedno maksimum oraz ściśle określoną kurtozę, wykres rozkładu normalnego ma postać krzywej w kształcie dzwonu, w punkcie centralnym rozkładu znajduje się średnia arytmetyczna, a także dominanta i mediana, średnia arytmetyczna jest wartością cechy najczęściej spotykaną w badanej zbiorowości.

25 Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Rozkład gamma Rozklad t-studenta Rozkład Cauchy ego Nośnik : x R, 1 gęstość prawdopodobieństwa σ 2π dystrybuanta F (x) = 1 σ 2π e x µ wartość oczekiwana µ, mediana µ, moda µ, wariancja σ 2 skośność 0, kurtoza 0, entropia ln(σ 2πe), funkcja generująca momenty M x (t) σ 2, (x µ) 2 e( 2σ 2 ),

26 Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Rozkład gamma Rozklad t-studenta Rozkład Cauchy ego Rysunek: Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego.

27 Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Rozkład gamma Rozklad t-studenta Rozkład Cauchy ego Rysunek: Dystrybuanta rozkładu normalnego.

28 Rozkład wykładniczy Parę słów wstępu Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Rozkład gamma Rozklad t-studenta Rozkład Cauchy ego Rozkład wykładniczy to rozkład zmiennej losowej opisujący sytuację, w której obiekt może przyjmować stany X i Y, przy czym obiekt w stanie X może ze stałym prawdopodobieństwem przejść w stan Y w jednostce czasu. dystrybuanta tego rozkładu to prawdopodobieństwo, że obiekt jest w stanie Y, jest on określony jednym parametrem λ - wartością oczekiwaną, posiada własność braku pamięci.

29 Rozkład wykładniczy Parę słów wstępu Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Rozkład gamma Rozklad t-studenta Rozkład Cauchy ego Rozkład wykładniczy to rozkład zmiennej losowej opisujący sytuację, w której obiekt może przyjmować stany X i Y, przy czym obiekt w stanie X może ze stałym prawdopodobieństwem przejść w stan Y w jednostce czasu. dystrybuanta tego rozkładu to prawdopodobieństwo, że obiekt jest w stanie Y, jest on określony jednym parametrem λ - wartością oczekiwaną, posiada własność braku pamięci. Przykład Niech zmienna losowa X oznacza czas pracy pewnej maszyny. Własność braku pamięci oznacza, że dalszy czas pracy maszyny nie zależy od dotychczasowego czasu jej trwania i ma rozkład taki sam, jak rozkład całkowitej pracy urządzenia.

30 Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Rozkład gamma Rozklad t-studenta Rozkład Cauchy ego Nośnik : [0, ], gęstość prawdopodobieństwa λe λx, dystrybuanta F (x) = 1 e λx, wartość oczekiwana 1 λ, mediana ln(2) λ, moda 0, wariancja λ 2 skośność 2, kurtoza 6, entropia 1 ln(λ), funkcja generująca momenty (1 t 1 λ )

31 Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Rozkład gamma Rozklad t-studenta Rozkład Cauchy ego Rysunek: Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu wykładniczego.

32 Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Rozkład gamma Rozklad t-studenta Rozkład Cauchy ego Rysunek: Dystrybuanta rozkładu wykładniczego.

33 Rozkład gamma Parę słów wstępu Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Rozkład gamma Rozklad t-studenta Rozkład Cauchy ego Rozkład gamma to ciągły rozkład prawdopodobieństwa, którego gęstość jest uogólnieniem rozkładu Erlanga na dziedzinę dodatnich liczb rzeczywistych. Rozkład Erlanga został opracowany przez A. K. Erlanga do szacowania liczby rozmów telefonicznych, łączonych jednocześnie przez operatora w ręcznej centrali telefonicznej. Parametry rozkładu: k - parametr kształtu ( k > 0 ) Θ - parametr skali, ( Θ > 0 )

34 Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Rozkład gamma Rozklad t-studenta Rozkład Cauchy ego Nośnik : [0, ], gęstość prawdopodobieństwa x k 1 dystrybuanta γ(k, x Θ ) Γ(k), wartość oczekiwana kθ 2, moda (k 1)Θ dla k 1, wariancja kθ 2 skośność 2 k, e x Θ, Γ(k)Θ k kurtoza 6 k, entropia k + lnθ = lnγ(k) + (1 k)ψ(k), funkcja generująca momenty (1 Θt) k, dla t < 1 Θ

35 Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Rozkład gamma Rozklad t-studenta Rozkład Cauchy ego Rysunek: Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu gamma.

36 Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Rozkład gamma Rozklad t-studenta Rozkład Cauchy ego Rysunek: dystrybuanta rozkładu gamma.

37 Rozkład t-studenta Parę słów wstępu Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Rozkład gamma Rozklad t-studenta Rozkład Cauchy ego Rozkład t-studenta (zwany rozkładem t) to rozkład często stosowany w statystyce podczas testowania hipotez i ocenie błędów. bardzo dobrze sprawdza się przy szacowaniu i weryfikacji parametrów w przypadku małych prób (n 30), stosowany przy weryfikacji niektórych hipotez dotycząych średniej, gdy dysponuje się małą próbą, czyli wtedy, gdy nie można wykorzystać rozkładu normalnego. Funkcja gamma jedna z funkcji specjalnych, która rozszerza pojęcie silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych, Funkcja beta - Całka Eulera pierwszego rodzaju, Funkcja digamma.

38 Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Rozkład gamma Rozklad t-studenta Rozkład Cauchy ego Nośnik : x R, gęstość prawdopodobieństwa Γ( v+1 2 ) vπγ( v )(1 + x 2 v 2 ) ( v+1 2 ), dystrybuanta 1 v xγ( 2 ; 3 2 πvγ( v 2 ), wartość oczekiwana 0 dla v 1, w przciwnym wypadku nieokreślona, mediana 0, moda 0, wariancja v v 2 dla v 2, w przeciwnym wypadku nieokreślona, skośność 0 dla v 3, 6 kurtoza v 4 dla v 4, entropia v+1 1+v 2 [ψ( 2 ) ψ( v 2 )] + log[ vb( v 2, 1 2 )], funkcja generująca momenty nieokreślona 2 ) 2F1( 1 2 ; v+1 x2 ; v )

39 Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Rozkład gamma Rozklad t-studenta Rozkład Cauchy ego Rysunek: Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu t-studenta.

40 Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Rozkład gamma Rozklad t-studenta Rozkład Cauchy ego Rysunek: Dystrybuanta rozkładu t-studenta.

41 Rozkład Cauchy ego Parę słów wstępu Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Rozkład gamma Rozklad t-studenta Rozkład Cauchy ego Rozkład Cauchy ego zwany również w optyce rozkładem Lorentza a w fizyce jądrowej rozkładem Breita-Wignera. Momenty zwykłe i centralne rozkładu są niezdefiniowane -całki dla tych momentów rozbiegają się do nieskończoności. Dlatego min. kurtoza nie może zostać podana. Parametry x 0 - położenie γ > 0 - skala.

42 Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Rozkład gamma Rozklad t-studenta Rozkład Cauchy ego Nośnik : x R, 1 gęstość prawdopodobieństwa, πγ[1+( x x 0 γ )2 ] dystrybuanta 1 x x0 π arc tg( γ ) + 1 2, wartość oczekiwana nieokreślona, mediana x 0, moda x 0, wariancja nieokreślona, skośność nieokreślona, kurtoza nieokreślona, entropia ln4πγ, funkcja generująca momenty nieokreślona

43 Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Rozkład gamma Rozklad t-studenta Rozkład Cauchy ego Rysunek: Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu Cauchy ego.

44 Rozkład normalny Rozkład wykładniczy Rozkład gamma Rozklad t-studenta Rozkład Cauchy ego Rysunek: Dystrybuanta rozkładu Cauchy ego.

45 Rozkład Poissona Parę słów wstępu Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy Rozkład geometryczny Rozkład dzeta Rozkład Poissona jest rozkładem zmiennej losowej skokowej, który stosuje się w przypadku określania prawdopodobieństwa zajścia zdarzeń stosunkowo rzadkich i niezależnych od siebie przy występowaniu dużej ilości doświadczeń. rozkład Poissona jest przybliżeniem rozkładu Bernoulliego dla dużych prób i przy małym prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia sprzyjającego, jest to rozkład asymetryczny, Γ(x, y) - niekompletna funkcja gamma, dla λ dążącego do nieskończoności rozkład Poissona może być przybliżony rozkładem normalnym o średniej λ i wariancji λ.

46 Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy Rozkład geometryczny Rozkład dzeta Nośnik : {0, 1, 2,...}, Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa e λ λ k k!, dystrybuanta Γ( k+1,λ) k!, wartość oczekiwana λ, mediana λ λ, moda λ, wariancja λ skośność λ 1 2, kurtoza λ 1, entropia λ[1 ln(λ)] + e λ Σ k=0 λ k ln(k!) k!, funkcja generująca momenty e (λ(et 1))

47 Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy Rozkład geometryczny Rozkład dzeta Rysunek: Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa - rozkład Poissona.

48 Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy Rozkład geometryczny Rozkład dzeta Rysunek: Dystrybuanta rozkładu Poissona.

49 Rozkład dwumianowy Parę słów wstępu Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy Rozkład geometryczny Rozkład dzeta Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący liczbę sukcesów k w ciągu N niezależnych prób, z których każda ma stałe prawdopodobieństwo sukcesu równe p. W Polsce określany też jako Rozkład Bernoulliego, chociaż termin ten odnosi się do rozkładu zero-jedynkowego. Innym rozkładem, który opisuje ilość sukcesów w ciągu N prób, jest rozkład hipergeometryczny. W tym przypadku jednak próby nie są niezależne (próba bez zwracania). Parametry n - liczba prób, n 0, 0 p 1, prawdopodobieństwo sukcesu.

50 Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy Rozkład geometryczny Rozkład dzeta Nośnik :k {0, 1, 2,..., n}, Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa ( n k) p k (1 p) n k, dystrybuanta I 1 p (n k, 1 + k ), wartość oczekiwana np, mediana np 1, np, np + 1, moda (n + 1) p, wariancja np(1 p) 1 2p skośność, np(1 p) kurtoza 1 6p(1 p) np(1 p), entropia 1 2 ln (2πnep(1 p)), funkcja generująca momenty (1 p + pe t ) n

51 Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy Rozkład geometryczny Rozkład dzeta Rysunek: Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa - rozkład dwumianowy.

52 Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy Rozkład geometryczny Rozkład dzeta Rysunek: Dystrybuanta rozkładu dwumianowego.

53 Rozkład geometryczny Parę słów wstępu Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy Rozkład geometryczny Rozkład dzeta Rozkład geometryczny jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa opisującym prawdopodobieństwo zdarzenia, że proces Bernoulliego odniesie pierwszy sukces dokładnie w k-tej próbie. Niekiedy zamiast badać w której próbie odniesiemy pierwszy sukces, badamy ile prób z rzędu kończy się porażką. Wówczas tak zdefiniowane k jest o jeden mniejsze, więc we wszystkich wzorach należy dodać do niego 1. rozkład geometryczny to szczególny przypadek ujemnego rozkładu dwumianowego, ciągłym odpowiednikiem rozkładu geometrycznego jest rozkład wykładniczy, 0 p 1, prawdopodobieństwo sukcesu.

54 Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy Rozkład geometryczny Rozkład dzeta Nośnik :k {1, 2, 3,... }, Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa (1 p) k 1 p, dystrybuanta 1 (1 p) k, wartość oczekiwana 1 p, mediana log(2) log(1 p) moda 1, wariancja 1 p skośność p 2 2 p 1 p,, kurtoza 6 + p2 1 p, entropia 1 p p log 2 (1 p) log 2 p, funkcja generująca momenty pe t 1 (1 p)e t

55 Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy Rozkład geometryczny Rozkład dzeta Rysunek: Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa - rozkład geometryczny.

56 Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy Rozkład geometryczny Rozkład dzeta Rysunek: Dystrybuanta rozkładu geometrycznego.

57 Rozkład dzeta Parę słów wstępu Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy Rozkład geometryczny Rozkład dzeta Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa, będący granicą rozkładu Zipfa (opierającego się na prawie Zipfa) dla parametru N dążącego do nieskończoności. Prawo Zipfa Częstotliwość występowania słów jest odwrotnie proporcjonalna do pozycji w rankingu. Parametry s (1, ), liczba rzeczywista, ζ(s) - to funkcja dzeta Riemanna.

58 Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy Rozkład geometryczny Rozkład dzeta Nośnik :k {1, 2,...}, Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa 1/ks ζ(s), dystrybuanta H k,s ζ(s), wartość oczekiwana ζ(s 1) ζ(s) dla s > 2, moda 1, wariancja ζ(s)ζ(s 2) ζ(s 1)2 ζ(s) dla s > 3 2 entropia k=1 1/k s ζ(s) log(ks ζ(s)), funkcja generująca momenty Lis (et ) ζ(s)

59 Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy Rozkład geometryczny Rozkład dzeta Rysunek: Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa - rozkład dzeta.

60 Rozkład Poissona Rozkład dwumianowy Rozkład geometryczny Rozkład dzeta Rysunek: Dystrybuanta rozkładu dzeta.

61 Rozkład beta Parę słów wstępu Rozkład beta Rozkład normalny wielowymiarowy Trochę gnuplota... Ciekawostka... rozkłady α > 0, parametr kształtu, β > 0, parametr kształtu, Γ - funkcja gamma, B - funkcja beta.

62 Rozkład beta Rozkład normalny wielowymiarowy Trochę gnuplota... Ciekawostka... rozkłady Nośnik :x [0; 1], Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa x α 1 (1 x) β 1 B(α,β), dystrybuanta I x (α, β), α wartość oczekiwana α+β, moda wariancja α 1 α+β 2, αβ (α+β) 2 (α+β+1) skośność 2 (β α) α+β+1 (α+β+2) αβ, kurtoza 6 α3 α 2 (2β 1)+β 2 (β+1) 2αβ(β+2) αβ(α+β+2)(α+β+3)., entropia ln B(α, β) (α 1)ψ(α)(β 1)ψ(β) + (α + β 2)ψ(α + β), funkcja generująca momenty 1 + k=1 ( k 1 r=0 α+r α+β+r ) t k k!

63 Rozkład beta Rozkład normalny wielowymiarowy Trochę gnuplota... Ciekawostka... rozkłady Rysunek: Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu beta.

64 Rozkład beta Rozkład normalny wielowymiarowy Trochę gnuplota... Ciekawostka... rozkłady Rysunek: Dystrybuanta rozkładu beta.

65 Rozkład wielowymiarowy Rozkład beta Rozkład normalny wielowymiarowy Trochę gnuplota... Ciekawostka... rozkłady Wielowymiarowy rozkład normalny - rozkład wielowymiarowej zmiennej losowej, będący uogólnieniem rozkładu normalnego na n wymiarów.

66 Rozkład beta Rozkład normalny wielowymiarowy Trochę gnuplota... Ciekawostka... rozkłady Rysunek: Wielowymiarowy rozkład normalny.

67 Rozkład beta Rozkład normalny wielowymiarowy Trochę gnuplota... Ciekawostka... rozkłady set xrange[-5:5] set yrange[0:1] set xlabel " x " set ylabel " f(x) " f1(x) = (1.0/(sqrt(2*pi)))*exp(x*x/2) f2(x)= (1.0/( *sqrt(2*pi)))*exp(-((x*x)/2*0.5)} plot f1(x) title rozklad normalny, \ f2(x) title Rozklad normalny 2

68 Rozkład beta Rozkład normalny wielowymiarowy Trochę gnuplota... Ciekawostka... rozkłady n=5 set title " n= 5 " set xrange[-5:5] set xlabel " x " set ylabel " f(x) " f1(x)=gamma(0.5*(n+1))/(sqrt(n*pi)*gamma(0.5*n)), \ *(1.0+x**2/n)**(-0.5*(n+1.0)) plot f1(x) title r. t-studenta

69 Rozkład beta Rozkład normalny wielowymiarowy Trochę gnuplota... Ciekawostka... rozkłady Kurtoza rokładu normalnego, momenty Kurt = µ4 σ 4

70 Rozkład beta Rozkład normalny wielowymiarowy Trochę gnuplota... Ciekawostka... rozkłady Kurtoza rokładu normalnego, momenty Moment centralny Kurt = µ4 σ 4 Moment centralny rzędu k zmiennej losowej X - wartość oczekiwana funkcji g(x) = E[X E(X )] k. µ 2 - drugi moment centralny, to wariancja. Moment zwykły Moment zwykły rzędu k - wartość oczekiwana k-tej potęgi tej zmiennej. Dla k=1 wartość oczekiwana - pierwszy moment zwykły m 1. m = EX = m 1 (X )

71 Czwarty moment centralny Rozkład beta Rozkład normalny wielowymiarowy Trochę gnuplota... Ciekawostka... rozkłady µ 4 = E((X EX ) 4 ) = E(X 4 4(EX ) 1 X 3 +6(EX ) 2 X 2 4(EX ) 3 X 1 +(EX ) 4 = E(X 4 ) 4E(EX ) 1 X 3 + 6E(EX ) 2 X 2 4E(EX ) 3 X 1 + E(EX ) 4 = E(X 4 ) 4Em(X 3 ) + 6m 2 E(X 2 ) 4m 3 E(X 1 ) + E(EX ) 4 = E(X 4 ) 4mE(X 3 ) + 6m 2 E(X 2 ) 4m 4 + m 4 = E(X 4 ) 4mE(X 3 ) + 6m 2 E(X 2 ) 3m 4

72 Rozkład beta Rozkład normalny wielowymiarowy Trochę gnuplota... Ciekawostka... rozkłady Momenty zwykłe E(X 2 ) = σ 2 + m 2 E(X 3 ) = 3σ 2 m + m 3 E(X 4 ) = 3σ 4 + 6σ 2 m 2 + m 4

73 Rozkład beta Rozkład normalny wielowymiarowy Trochę gnuplota... Ciekawostka... rozkłady Momenty zwykłe E(X 2 ) = σ 2 + m 2 E(X 3 ) = 3σ 2 m + m 3 E(X 4 ) = 3σ 4 + 6σ 2 m 2 + m 4 Wracamy do momentu centralnego µ 4 (X ) = E(X 4 ) 4mE(X 3 ) + 6m 2 E(X 2 ) 3m 4 = (3σ 4 + 6σ 2 m 2 + m 4 ) 4m(3σ 2 m + m 3 ) + 6m 2 (σ 2 + m 2 ) 3m 4 = 3σ 4 + 6σ 2 m 2 + m 4 12σ 2 m 2 4m 4 + 6σ 2 m 2 + 6m 4 3m 4 = 3σ 4

74 Rozkład beta Rozkład normalny wielowymiarowy Trochę gnuplota... Ciekawostka... rozkłady Momenty zwykłe E(X 2 ) = σ 2 + m 2 E(X 3 ) = 3σ 2 m + m 3 E(X 4 ) = 3σ 4 + 6σ 2 m 2 + m 4 Wracamy do momentu centralnego µ 4 (X ) = E(X 4 ) 4mE(X 3 ) + 6m 2 E(X 2 ) 3m 4 = (3σ 4 + 6σ 2 m 2 + m 4 ) 4m(3σ 2 m + m 3 ) + 6m 2 (σ 2 + m 2 ) 3m 4 = 3σ 4 + 6σ 2 m 2 + m 4 12σ 2 m 2 4m 4 + 6σ 2 m 2 + 6m 4 3m 4 = 3σ 4 Kurtoza rozkładu normalnego K = (µ4(x )) σ 4 3 = 3σ4 σ 4 3 = 3 3 = 0

75 rozkłady Parę słów wstępu Rozkład beta Rozkład normalny wielowymiarowy Trochę gnuplota... Ciekawostka... rozkłady rozkład arcusa sinusa, rozkład Arfwedsona, rozkład Arnolda, rozkład arytmetyczny, rozkład asymetryczny, rozkład asymptotyczny, rozkład beta Poissona, rozkład beta Whittle a, rozkład beta-gamma, rozkład beta-pierwszy,

76 rozkłady Parę słów wstępu Rozkład beta Rozkład normalny wielowymiarowy Trochę gnuplota... Ciekawostka... rozkłady rozkład beta-stacy ego, rozkład Binghama, rozkład Birnbauma-Saundersa, rozkład Birnbauma-Tingeya, rozkład Borela-Tannera, rozkład Bosego, rozkład Bradforda, rozkład brzegowy, rozkład Cauchy ego dwuwymiarowy, rozkład Charliera,

77 rozkłady Parę słów wstępu Rozkład beta Rozkład normalny wielowymiarowy Trochę gnuplota... Ciekawostka... rozkłady rozkład chi, rozkład Dimrotha-Watsona, rozkład Dirichleta, rozkład dwumianowy podwójny, rozkład dwumodalny, rozkład dwustronnie wykładniczy, rozkład Elfwinga, rozkład Engseta, rozkład F logarytmiczny, rozkład F podwójnie niecentralny,

78 rozkłady Parę słów wstępu Rozkład beta Rozkład normalny wielowymiarowy Trochę gnuplota... Ciekawostka... rozkłady rozkład Ferreriego, rozkład Frécheta, rozkład Gaussa odwrotny, rozkład Gaussa-Poissona, rozkład Gibrata, rozkład harmoniczny, rozkład Helmerta, rozkład hipergeometryczny odwrotny, rozkład Isinga-Stevensa, rozkład jednopunktowy,

79 rozkłady Parę słów wstępu Rozkład beta Rozkład normalny wielowymiarowy Trochę gnuplota... Ciekawostka... rozkłady rozkład Kapteyna, rozkład kwadratowo-normalny, rozkład logarytmicznie logistyczny, rozkład logarytmiczny Poissona z zerami, rozkład Lomaxa, rozkład Marshalla-Olkina, rozkład Maxwella, rozkład Millera, rozkład najmniej korzystny, rozkład nieosobliwy,

80 rozkłady Parę słów wstępu Rozkład beta Rozkład normalny wielowymiarowy Trochę gnuplota... Ciekawostka... rozkłady rozkład normalny ucięty Poissona, rozkład Pascala, rozkład Perka, rozkład Poissona-Lexisa, rozkład Poissona-Pascala, rozkład Pólyi, rozkład Rayleigha, rozkład Rhodesa, rozkład Riemanna, rozkład równowagi,

81 rozkłady Parę słów wstępu Rozkład beta Rozkład normalny wielowymiarowy Trochę gnuplota... Ciekawostka... rozkłady rozkład Shorta, rozkład skontaminowany, rozkład Smirnowa-Birnbauma-Tingeya, rozkład Stevensa-Craiga, rozkład Stirlinga, rozkład szeregu Dirichleta, rozkład Thomasa, rozkład w połowie Cauchy ego, rozkład Walda, rozkład Yule a...

82 Rozkład beta Rozkład normalny wielowymiarowy Trochę gnuplota... Ciekawostka... rozkłady Dziękuję za uwagę