III. Jak się to opisuje? Przypomnienie I uogólnienie

Transkrypt

1 III. Jak się to opisuje? Przypomnienie I uogólnienie 1

2 agrangian (właściwie gęstość agrange a) klasycznej elektrodynamiki 1 = 4 F ν F J A F = A ν ν A ν ν Z wariacji przy ustalonych źródłach równania Eulera- agrange a = równania Maxwella. Ogólna postać równania Eulera-agrange a w mechanice klasycznej q d dt i q i = 0 W relatywistycznej teorii pola współrzędne uogólnione to składowe pól (skalarnych, wektorowych itp.); pochodna czasowa będzie pochodną po czteropołożeniu

3 ϕ ( ϕ ) i Teoria pola klasycznego = 0 gdzie x i Ogólnie: z można wyprowadzić równania tak w teorii klasycznej, jak i kwantowej; można też wyliczyć w zasadzie wszystkie mierzalne wielkości. Uwaga: kwantowo J wyraża się przez pola, które spełniają równania (np. Diraca) zależne od A, więc układ równań, rozwiązywanie zwykle iteracyjne, rachunek zaburzeń. 3

4 Przykłady swobodnych a) rzeczywiste pole skalarne: daje r. Kleina-Gordona. ϕ + m ϕ = 0 b) zespolone pole skalarne (suma j.w. dla pól ϕ 1 i ϕ z tą samą masą); można użyć ϕ = ( ϕ + iϕ ) / 1, wtedy. Uwaga: pojawia się niezmienniczość względem transformacji U(1): ϕ '= e iα ϕ ; dla transformacji infinitezymalnej 1 = [ ] ϕ ϕ m ϕ = ϕ * ϕ m ϕ * ϕ ϕ'= ϕ i αϕ ϕ + δϕ δϕ = iαϕ, czyli. 4

5 Teoria pola skalarnego cd. Obliczając zmianę przy tej transformacji (przy użyciu r. E.-.) otrzymujemy δ δϕ = { + δϕ * } = α S ( ϕ) ( ϕ *) gdzie S = ( i * * ). ϕ ϕ ϕ ϕ Ta zmiana jest równa zeru, więc niezmienniczość oznacza znikanie diwergencji S = 0, czyli zachowanie prądu S. To jest szczególny przykład twierdzenia Noether. 5

6 Pole fermionowe (spin ½) i wektorowe (spin 1) c) = Ψ( iγ m) Ψ daje równanie Diraca ( iγ (zapis macierzowy, sens potem). m) Ψ = 0 d) masywne abelowe pole wektorowe (spin1) jak elektromagnetyczne z potencjałem B, ale z ekstra członem masowym 1 m B B. e) nieabelowe pole wektorowe (cząstki typu fotonu, ale w multiplecie grupy nieabelowej, jak SU(), SU(3) numerowanym wskaźnikiem a: W a zamiast A (na potem). 6

7 Człony oddziaływania a)człon = ϕρ( x, t) dla rzecz. pola skalarnego int - modyfikacja r. E.-. w niejednorodne r. K.-G. + =. Rozwiązanie dla źródła punktowego gδ(x) daje g e mr ϕ ϕ ρ m (potencjał Yukawy). ϕ = b) Człon elektromagnetyczny = J A = Q A int Ψγ Ψ 4π r 7

8 Reguły Feynmana Dla znanego int dowolne amplitudy w określonym rzędzie rachunku zaburzeń odpowiadają grafom, a ich elementy (linie, wierzchołki) czynnikom we wzorach. Potem liczne przykłady, ale tylko ilustracyjne. 8

9 Oryginalne uzasadnienie równania Diraca NR swobodne r. Schroedingera Ψ i = Ψ t m otrzymano z H p =. To nie da się powtórzyć dla m 4 H = p c + m c, bo np. rozwinięcie pierwiastka w szereg potęgowy da pochodne wszystkich rzędów - teoria nielokalna. Iteracja, czyli kwadrat 4 H = p c + m c (jak d Alemberta z masą): daje r. Kleina-Gordona 4 Ψ = ( c + m c ) Ψ t 9

10 Zarzuty do r. Kleina-Gordona a) Uwzględnienie obu pierwiastków (+ i -) z wzoru na H (E<0, czyli ujemna energia?), b) prąd prawdopodobieństwa (którego 4- diwergencję otrzymamy przez odjęcie r. K.-G. mnożonego przez ψ* od r. sprzężonego mnożonego przez ψ) nie ma dodatnio określonej zerowej składowej (P<0, czyli ujemne prawdopodobieństwo?). 10

11 Wspaniały efekt fałszywych zarzutów Dziś wiemy, że ujemne prawdopodobieństwa i energie to nieuniknione efekty istnienia antycząstek i można je dobrze zinterpretować, ale Dirac szukał równania liniowego równoważnego K.-G. I znalazł je dla funkcji falowych dla cz. ze spinem (wieloskładnikowych, czyli nie skalarnych). 11

12 Równanie Diraca Ψ c i α Ψ α Ψ α Ψ = ( ) + βmc Ψ HΨ t i x1 x x3 To nie może być r. liczbowe dla funkcji skalarnej, bo nie byłoby niezmiennicze. ψ*ψ ma być 0-wą składową 4-wektora (zachowanego). Propozycja: ψ to macierz kolumnowa, α i i β kwadratowe. Aby iteracja dała r. K.-G., musi zachodzić α α + α α = δ, α β + βα = 0, β = 1 i k k i ik i i. 1

13 Realizacja warunków Diraca Spełnienie warunku iteracji możliwe dopiero dla macierzy 4 x 4 (wymiar musi być parzysty: H hermitowska, więc wszystkie macierze też, wartości własne +/-1, a ślad 0; dla x tylko 3 macierze antykomutujące jak trzeba - macierze Pauliego σ i ). Możliwy wybór macierzy Diraca np. α i σ i = β 0, = 0 σ i

14 Realizacja warunków Diraca cd. Teraz istotnie Ψ* T Ψ to zerowa składowa zachowanego 4-wektora (inne skł. to Ψ * T α i Ψ ), jeśli przez * T rozumiemy sprzężenie hermitowskie i wykonamy zwykłe mnożenia i odjęcia równań. Interpretacja: dla cz. w spoczynku (p i =0) mamy 4 rozwiązania (o niezerowej 1,, 3 i 4 składowej); dwa pierwsze do E=mc, dwa do E=-mc. Zatem równoczesny opis cząstek i antycząstek o składowych - fermionów ze spinem 1/. 14

15 Postać współzmiennicza W oznaczeniach γ 0 = β, γ i = βαi równanie ma postać ( i γ mc) Ψ = 0, a relacje antykomutacji. Zapis 4wektorowy macierzy γ γ uzasadnia ν + γ ν γ = g się ν 1 tym, że gdy Ψ transformuje się jak spinor (co to znaczy - w podręcznikach), przy oznaczeniu wyrażenie to skalar, a to czterowektor. Ψ = Ψ * T γ 0 ΨΨ Ψ γ Ψ 15

16 Niezmienniczość cechowania W równaniu Diraca można dodać oddziaływania elektromagnetyczne tak samo, jak do K.-G., czyli wstawiając p p ea zgodnie z żądaniem lokalnej niezmienniczości cechowania. W elektrodynamice transformacja cechowania A A A ' = χ nie zmienia tensora pola ν F = A ν ν A. 16

17 Niezmienniczość cechowania cd. Dla swobodnego r. Schroedingera (K.-G., albo Diraca) wprowadzenie lokalnej zmiany cechowania U(1) (, ) Ψ( x, t) Ψ'( x, t) = e iχ x t Ψ( x, t) daje funkcję, która nie spełnia wyjściowego równania, jeśli nie wprowadzi się potencjałów A, które winny być przecechowane jak wyżej równocześnie. Zatem żądanie lokalnej niezmienniczości cechowania typu U(1) dla teorii cząstek skalarnych lub fermionów wymaga wprowadzenia potencjałów i ich cechowania. Zatem oddziaływanie em jest niezbędną konsekwencją żądanej symetrii, czyli teoria o. elektromagnetycznych jest teorią pola cechowania. 17

18 Niezmienniczość cechowania cd. Formalnie żądanie lokalnej niezmienniczości cechowania można zapisać jako wymóg stosowania w równaniach (i gęstości.) zamiast zwykłej pochodnej pochodnej kowariantnej -iqa, i równoczesnego cechowania A i Ψ. 18

19 gdzie Gęstość agrange a QED: 1 ( x ) = + iψ( x) γ [ iea ( x)] ( x) m ( x) ( x) F ν Ψ Ψ Ψ ( x) Fν ( x) 4π γ to macierze Diraca spełniające γ γ ν + γ ν γ = g ν, a Ψ(x) jest 4-spinorem (macierzą kolumnową), którego składowe opisują elektron i pozyton o dwu rzutach spinu. Jak łatwo sprawdzić, mamy tu lokalną niezmienniczość względem transformacji U(1), iθ ( x) czyli Ψ( x) e Ψ( x), A ( x) A ( x) + θ ( x). 19

20 agrangian QED - komentarze Już w opisie pierwszej kwantyzacji, gdzie Ψ(x) to funkcja falowa, a A (x) to klasyczny potencjał, można poprawnie opisać wiele procesów (Bjorken i Drell I). Do precyzyjnego opisu potrzebna druga kwantyzacja, czyli formalizm kwantowej teorii pola (BD II): i pole elektromagnetyczne, i pole cząstki naładowanej jest kwantowe (opisywane przez operatory). Relatywistycznie nie można ustalić ani liczby fotonów, ani liczby cząstek z masą: energia kinetyczna może się zmieniać w energię spoczynkową nowych cząstek. Stany fizyczne zawsze wielocząstkowe. 0

21 Nieabelowe teorie cechowania Idea większych niż U(1) grup dla teorii cechowania pochodzi z fizyki hadronów, gdzie cząstki grupują się w multiplety izospinowe o zbliżonych masach i silnych oddziaływaniach (ale różnych ładunkach elektrycznych, np. n,p.). Yang i Mills zaproponowali niezmienniczość teorii względem cechowania, które nie tylko zmienia fazę funkcji falowej, ale i miesza składowe multipletu - mnożenie przez macierz z grupy SU(). 1

22 Nieabelowe teorie cechowania cd. Teoria Y-M nie sprawdziła się jako teoria silnych oddziaływań (hadrony nie są elementarne, więc teoria ich oddziaływań może być tylko teorią efektywną, niezbyt podobną do prawdziwej. Za to jest dobra jako element teorii oddziaływań elektrosłabych kwarków i leptonów (Glashow, Salam, Weinberg). Potem okazało się, że dalsze poszerzenie do SU(3) daje teorię, która pasuje do silnych oddziaływań kwarków.

23 Nieabelowe teorie cechowania cd. Obecnie sądzimy, że teorie wszystkich oddziaływań elementarnych wynikają z niezmienniczości względem transformacji cechowania, a różnią się tylko grupą, jaką tworzą odpowiednie transformacje. Model standardowy to teoria wynikła z grupy U(1) SU() SU(3). 3

24 Ogólny agrangian modelowy SU() 1 i ν = F F + iψγ ν D Ψ + i m 4 gdzie ostatni człon będzie zawierał masy generowane przez mechanizm Higgsa (na potem), pochodna i kowariantna D = igτ A (x) tensor pola i i i i j k F = A A + g A A. Tu τ i to macierze ν ν ν ε ijk Pauliego, ε ijk - symbol evi-civity (całkowicie antysymetryczny tensor 3-rzędu). Ostatni człon to komutator macierzy, znika w em, bo macierze 1 x 1 komutują. Konieczny dla pochodnej kowariantnej, sens w realistycznym modelu. ν 4

25 Oddziaływania elektrosłabe Opis jak QED, ale żądana niezmienniczość cechowania względem transformacji z grupy SU() U(1) (teoria Glashowa-Weinberga Salama). Każda funkcja falowa fermionu ma strukturę spinową, a składowe lewoskrętne dodatkowo są macierzami kolumnowymi w przestrzeni słabego izospinu (np. elektron i neutrino, kwarki u i d) transformującymi się ( ) / jak ( ) Ψ( x) e i 3 ϑ x σ e i x j j θ j = 1 Ψ( x)

26 Oddziaływania elektrosłabe cd. Potencjał i pochodna kowariantna są teraz macierzami na. W em jedno wektorowe pole cechowania odpowiadające fotonowi, teraz są cztery: triplet W +/-/0, oraz B 0. Trzy poważne różnice: a) skoro potencjał jest macierzą (mnożenie niekomutatywne), fotony W odpowiadające tym oddziaływaniom też mają ładunek (słaby izospin), 6

27 Oddziaływania elektrosłabe cd. b) B 0 to nie foton, bo dwa neutralne pola mieszają się ; jedna ich kombinacja to foton, a druga to nowy bozon Z 0, c) (najtrudniejsze) w oryginalnej teorii wszystkie bozony bezmasowe (nb. fermiony też!), próby dodania mas tak sobie nie pozwalają na przekształcenie teorii w kwantową o dobrze określonym rozwinięciu perturbacyjnym; masy ze spontanicznego łamania symetrii przez tzw. pole Higgsa - na potem. 7

28 Oddziaływania elektrosłabe cd. Ważne: a) stałe sprzężenia W i B o podobnych wartościach, słabość słabych oddziaływań w porównaniu z elektromagnetycznymi to tylko odbicie dużych mas W i Z; dla energii, przy których te masy są zaniedbywalne (jak masa fotonu), oba typy oddziaływań podobnie silne, b) składowe prawoskrętne nie oddziałują słabo (max. /P), a jeśli fermion ma masę i ładunek zero, w ogóle nie istnieją; na potem sugestie z aktualnych odkryć oscylacji neutrin. 8

29 Przykłady procesów słabych, ich opis 1) czysto leptonowe, jak rozpad mionu, lub procesy lepton-lepton, np. ν e ν e (uwaga: wyjątkowo wysoki próg energii ); w najniższym rzędzie wyliczalne ściśle, jak em, także poprawki elektrosłabe wyższych rzędów - formalizm diagramów Feynmana, ) rozpady leptonowe hadronów (np. pionu), oraz inne rozpady słabe ( półleptonowe, jak rozpad β, nieleptonowe, jak Λ pπ + ); wymagają znajomości parametrów struktury hadronu, 9

30 Przykłady procesów słabych cd. 3) rozpraszanie lepton - hadron (wymaga znajomości funkcji struktury hadronu, dominujące poprawki z silnych oddziaływań), 4) anihilacja e + e +, hadrony dla energii CM rzędu energii spoczynkowej Z 0 (dla niższych energii dominują oddz. em, silne w poprawkach dla produkcji hadronów). 30

31 O. elektrosłabe dla 1 generacji leptonów Y YR iγ ( ig B ) eriγ ( ig1 B + Część U(1): to macierz kolumnowa elektron/neutrino (wyższy ładunek z konwencji na górze, niższy na dole), reszta to macierze jednostkowe, więc całość można zapisać jako U (1) lept = g 1 [ Y ( ν γ ν 1 + e τ γ j Część U() to j iγ [ ig W, gdzie to macierze ] τ j Pauliego, a składowe W kartezjańskie związane ze stanami ładunkowymi jak dla momentu pędu. e ) + Y R e R γ e R ] B ) e R 31

32 1 generacja leptonów cd., stąd Teraz chcemy wyodrębnić człon em. Takie człony są we wzorach powyżej, ale są i podobne człony dla neutrina, a konkretnie. Pole A musi być ortogonalne do kombinacji pól w nawiasie (neutrina nie oddziałują em!), więc należy zdefiniować dwa nowe unormowane pola 3 ) / / (, 1 / 3 0 iw W W W W + = = + ] [ 0 0 () γ ν γ γ ν ν γ ν W e e W e W e W g U lept = + [ R ] R em e e e e QA γ γ + = W g B Y g ν γ ν ) ( 0 1

33 1 generacja leptonów cd.,. Tylko to drugie oddziałuje z neutrinami. Teraz człony z samymi elektronami można zapisać jako Y g g g Y W B g A + = Y g g W g B g Y Z + + = } { } { R R R R R R Y g g Y Y g e e Y g g g Y g e e Z Y g g Y g g e e Y g g Y g g e e A γ γ γ γ

34 1 generacja leptonów cd. Aby współczynnik przy A był Q=-e, musi być g1gy g1gyr e = = g + g1y g + g1y czyli Y R =Y, a skoro Y występuje teraz zawsze w iloczynie g 1 Y, można go oznaczyć po prostu g 1 i wprowadzając kąt Weinberga ϑ W przez g1 g sinθ =, cosθ = W W mamy g1 + g g1 + g. Doświadczalnie g 1 = e / sinθw, g = e / cosθ sin ϑ W wynosi ok. 0. (więc ani blisko 0, ani 1; oba g są podobne, słabe wcale nie jest słabe). W 34

35 1 generacja leptonów cd. Człony z Z można teraz zebrać dla neutrin i elektronów; okazuje się, że współczynnik przy Z fγ f jest zawsze dany przez e f ( T3 Q f sin ϑw ), gdzie T 3 jest sinϑw cosϑw wartością własną trzeciej macierzy Pauliego (+/- 1/ dla lewoskrętnych, 0 dla prawoskrętnych fermionów). To daje wiele przewidywań doświadczalnych na oddziaływania leptonów, jak rozpady Z, wszystkie OK. z danymi. 35

36 Uwagi o kwarkach i hadronach Dla kwarków dodatkowa komplikacja: stany u, d, s nie są stanami własnymi GSW; macierz unitarna 3 x 3 (Kobayashi-Maskawy) opisuje ich mieszanie. Obecność zespolonej fazy pozwala na naturalne wprowadzenie łamania CP. Dla hadronów oczywiście ważna ich struktura. Przewidywania zależą więc nie tylko od teorii GSW, ale i od silnych oddziaływań. 36

37 Spontaniczne łamanie symetrii Uzupełnienie definicji prawych i lewych fermionów przy użyciu operatorów rzutowych Ψ = P Ψ P / R = ( 1+ / γ 5) / γ γ γ γ 5 = 0 1 γ 3 / R / R Operatory spełniają oczywiste relacje P + P = 1, P P = P P = 0, P = P, P = P R R R R R Dzięki znanym relacjom antykomutacji macierzy γ i można udowodnić, że mψψ = mψ( P + P ) Ψ = m( Ψ Ψ + Ψ Ψ ) R R R Wniosek: człon masowy fermionów łamie symetrię działającą tylko na składowe lewe i nie można go wprowadzić do teorii U(1) SU().

38 Spontaniczne łamanie symetrii Człony masowe dla bozonów łamią obie symetrie cechowania. Skąd masy? Spontaniczne łamanie symetrii! Przykład: zespolone pole skalarne = ( ϕ)*( ϕ ) ϕ * ϕ λ( ϕ * ϕ) niezmiennicze względem globalnej transformacji cechowania ϕ ϕ' = e iχ ϕ. Na p-nie zespolonej ϕ 1,ϕ minimum potencjału w zerze przy m >0, a dla m >0 na okręgu o środku w zerze, a kwadracie promienia równym ϕ + ϕ = = v. 1 λ

39 Spontaniczne łamanie symetrii 3 Z wielu rozwiązań o najniższej energii wybieramy punkt ϕ=v+i0. Wokół niego ϕ = [ v + η( x) + iρ( x)]/. Stąd agrangian 1 = [( ρ) + ( η ) ] + η 3 λ λ 4 4 λv( ηρ + η ) η ρ ( η + ρ ) + const 4 Oprócz członów kinetycznych człon masowy jednego z dwu rzeczywistych pól, drugie bezmasowe. To przykład twierdzenia Goldstone a: przy spontanicznym łamaniu symetrii U(1) przez wybór minimum jeden bezmasowy bozon Goldstone a. Odpowiada za wzbudzenia od tego minimum w kierunku wzdłuż okręgu (bez extra energii).

40 Abelowy mechanizm Higgsa Żądamy, aby skalarne pole zespolone z poprzedniego przykładu miało lokalną niezmienniczość cechowania. Wtedy ma postać ν = ( D ϕ)*( D ϕ) ϕ * ϕ λ( ϕ * ϕ) Fν F Dla m >0 to teoria naładowanej cząstki skalarnej o masie oddziałującej z polem elm. (i z ekstra samooddziaływaniem). Ogólnie mamy tu 4 pola rzeczywiste ( skalarne i dwie składowe spinowe bezmasowego pola wektorowego). Dla m <0 wybieramy cechowanie, w którym ϕ jest rzeczywiste i zapisujemy je w odniesieniu do położenia 1 minimum potencjału ϕ( x ) = [ v + h( x)]. 1 4

41 Abelowy mechanizm Higgsa Wstawiając to do otrzymujemy Nadal 4 pola: 1 skalarne z m =λv i 3 składowe wektorowego z masą gv. Mechanizm Higgsa: bezmasowy bozon Goldstone a zmienił się w dodatkowy stan pola wektorowego, które nabyło masę. ν ν ν ν λ λ λ λ F F A vha g h vh h v A A v g h h F F h v h v h v iga h v iga ) )( ( ) ( 4 ) ( )] )( )][( )( [( = = =

42 Mechanizm Higgsa dla teorii SU() Tutaj dublet SU() pola skalarnego Higgsa:. Uwaga: Y H =1, bo Q=T 3 +Y/. agrangian:,. Dla <0 minimum potencjału przy. Dla kierunku próżni postaci wzbudzenia. = + 0 ϕ ϕ ϕ ) / (, ) / ( ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ i i + = + = + ) * ( * ) ( )* ( ϕ ϕ λ ϕ ϕ ϕ ϕ T T T = ( ) ) / ( * * * ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = = + + T / / * v T = = λ ϕ ϕ = v ϕ + = ) ( 0 1 ) ( x H v x ϕ

43 Mechanizm Higgsa dla teorii SU() cd. Pozostałe 3 składowe f - bezmasowe pola Goldstone a, które można wyzerować wyborem cechowania ϕ. ϕ' = exp[ iτ ϑ( x) / v] ϕ.teraz już można wprowadzić mechanizm Higgsa. Pochodna kowariantna ma postać Y τ D ; z członu kinetycznego pola = ig B ig W 1 T Y τ T Y τ Higgsa człony * ( ig B + ig )* ( W ig1 B + ig co po położeniu Y=1 i wypisaniu oraz wymnożeniu ϕ 1 W ) wszystkich macierzy da wynik g [( ) ( ) ] ( ) W + W + v g1b gw { v 8 }. ϕ

44 Mechanizm Higgsa dla teorii SU() cd. Pojawiły się człony masowe dla pól W 1 i W (lub W + i W - ) z masą M W = vg /, a dla pola Z (które odpowiada kombinacji pól w nawiasie) z masą M Z = v g 1 + g. / Nie ma takiego członu dla pola fotonu A, więc m γ =0. Zauważmy, że M W /M Z =cosθ W. Z czterech rzeczywistych pól Higgsa zostało jedno, które w próżni ma wartość niezerową (to nie przypadek, że neutralne, bo próżnia nie może być naładowana). Trzy zostały zjedzone przez bozony W i Z, które potrzebowały dodatkowego stanu spinowego po nabyciu masy.

45 Mechanizm Higgsa dla teorii SU() cd. Uwzględnienie leptonów i ich oddziaływań z bozonami T Higgsa oznacza obecność członów g ( ϕe + ϕ * e ) e R R (singletu SU()). Po wyborze próżni i cechowania jw. dostajemy gev ge ( e er + e e ) R + ( e er + e e ) R H = gev ge = ee + eeh Pierwszy człon masowy. Masa elektronu wynosi me = gev / Drugi opisuje oddziaływanie e z H, jak widać ze stałą sprzężenia proporcjonalną do masy. To będzie ogólna reguła: prawdopodobieństwo procesów np. rozpadu H na parę fermion-antyfermion będzie proporcjonalne do kwadratu masy fermionu, więc szukać H należałoby w procesach z najcięższymi znanymi cząstkami (niestety na wielkim tle).

46 Mechanizm Higgsa dla teorii SU() cd. Człony z neutrinami nie pojawią się, jeśli neutrina mają masę zero (a dla b. małej masy będą małe). Dla kwarków pojawi się jeszcze jedna komplikacja: dubletem ϕ SU() jest nie tylko ϕ, ale i ϕ = iτ ϕ = 0 * (które c ϕ przez próżnię w odpowiednim cechowaniu v H wyraża się jako ϕ c = + ). W członach 0 oddziaływania pojawią się człony g q ϕ d + g q ϕ u oraz ich sprzężenia hermitowskie. Mnożąc wszystkie izodublety i oznaczając m i = g v / i d R dostaniemy u c R

47 Mechanizm Higgsa dla teorii SU() cd. md mu m dd m uu d + u + ddh + uuh, czyli znów człony masowe v v kwarków i człony ich oddziaływań z polem Higgsa H. Zatem założenie spontanicznego łamania symetrii cechowania przez niezerową wartość pola Higgsa w próżni i mechanizm Higgsa pozwalają na wprowadzenie mas dla bozonów pośredniczących w słabych oddziaływaniach i dla fermionów. t Hooft i Veltman wykazali, że ta procedura nie psuje własności renormalizacji teorii (konsekwentnej metody usuwania nieskończoności we wszystkich rzędach rachunku zaburzeń). Teoria o. elektrosłabych z masami równie dobra teoretycznie, jak bez mas, a opisuje dobrze rzeczywistość.

48 Model standardowy z m ν 0 Mechanizm Higgsa może nadać masy słabo oddziałującym fermionom, ale nie musi, zatem m e 0, m ν =0 możliwe.jednak oscylacje neutrin dowodzą, że m ν 0, choć m ν <<m e. Ściśle mówiąc, 3 stany neutrin o określonych masach to nie są ν e, ν, ν τ. Oscylacje wynikają właśnie z faktu, że powstające z określonym flavourem neutrino jest superpozycją stanów o określonych masach i propaguje się tak, że sprawdzenie flavouru po pewnym czasie może dać wynik inny od pierwotnego.

49 Model standardowy z m ν 0 cd. To sugeruje istnienie prawoskrętnych neutrin, które mogą mieć dużą masę i nie pojawiać się np. w rozpadzie Z 0. Jednak wprowadzenie mas neutrin analogicznie jak dla elektronu ( masy Diraca ) wymaga wyjaśnienia, czemu dla ν masy są milion razy mniejsze, niż dla elektronów, a dla ν R ogromne! Alternatywa: masy Majorany.

50 Model standardowy z m ν 0 cd. Dla cząstek neutralnych stan wynikły z zastosowania sprzężenia ładunkowego może być tożsamy ze stanem początkowym C 0 T Ψ Ψ = ±Ψ (dla r. Diraca Ψ ). C C = ηcγ γ Ψ Oczywiście oznacza to, że liczby leptonowe nie są ściśle zachowane, a sugerujące to dane należy wyjaśnić inaczej (efektami spinowymi). Jeśli tak jest dla neutrin, czyli neutrina są cząstkami Majorany, to człon masowy w może mieć ogólnie postać:

51 Model standardowy z m ν 0 cd. ( Ψ + Ψ R ) m D ( Ψ + Ψ R ) + ( Ψ + Ψ ( Ψ R + ( Ψ ) ( ) R + ΨRC mm ΨR + ΨRC Biorąc pod uwagę mieszanie, suma trzech iloczynów wektorów flavouru przez macierze masowe 3x3. Teraz może zachodzić m D =0 (czyli ν R nie muszą istnieć), albo małą wartość m M można wyjaśnić przez tzw. mechanizm huśtawki (see-saw: m <<m D <<m R ). Masę Majorany można mierzyć nie tylko z kinematyki neutrin! Do tej masy jest proporcjonalne prawdopodobieństwo procesu tzw. bezneutrinowego A A podwójnego rozpadu β: X X + e e. C ) m M Z Z Ψ C ) +

52 Podwójny rozpad β, bezneutrinowy podwójny rozpad β Dla ustalonej parzystej liczby masowej A zależność masy jądra od liczby porządkowej Z jest opisana dwoma parabolami: niższą dla parzystych Z i wyższą dla nieparzystych Z. Wynika to z wzoru Weizsaeckera na energię wiązania jądra gdzie ostatni człon jest dodatni dla parzystych, a ujemny dla nieparzystych Z. Rozpad β jądra zachodzi, gdy jądro z Z większym o 1 ma masę mniejszą o ponad 0.5 MeV. Jeśli rozważamy jądro o parzystym Z, może się zdarzyć, że warunek ten nie jest spełniony, ale za to jądro o Z większym o ma masę mniejszą o ponad 1 MeV.

53 Podwójny rozpad β, bezneutrinowy podwójny rozpad β cd. Niemożliwy jest wtedy zwykły rozpad β, ale możliwy A A jest podwójny rozpad β,. Z X Z + X + e + ν e Takie rozpady przewidziała Maria Geppert-Mayer już w latach trzydziestych, ale zaobserwowano je dopiero w r. 1986, bo charakteryzują się niezwykle długim czasem rozpadu (ponad lat). Obecnie znamy 10 izotopów, które ulegają temu rozpadowi: 48 Ca, 76 Ge, 8 Se, 96 Zr, 100 Mo, 116 Cd, 18 Te, 130 Te, 150 Nd i 38 U. Ściśle mówiąc, dla wapnia i cyrkonu pojedynczy rozpad β jest możliwy, ale jeszcze mniej prawdopodobny od rozpadu podwójnego (energia kinetyczna elektronu jest b. mała).

54 Podwójny rozpad β, bezneutrinowy podwójny rozpad β cd. W tym samym czasie Racah i Furry zauważyli, że jeśli neutrino jest swoją antycząstką (jak w teorii Majorany), to możliwy jest także rozpad bezneutrinowy, w którym para neutrin z podwójnego rozpadu β pojawia się tylko wirtualnie (anihiluje natychmiast po powstaniu oddając swoją energię elektronom). Przejście n w p oznacza zamianę kwarku d na u z emisją wirtualnego bozonu W +, więc na poziomie kwarków taki proces ma schemat

55 Podwójny rozpad β, bezneutrinowy podwójny rozpad β cd. Zatem oprócz ciągłego widma sumy energii pary elektronów powinniśmy zobaczyć dyskretną linię na końcu tego widma. Przykład takiego widma oczekiwanego w jednym z planowanych eksperymentów (wraz z tłem od innych procesów) wygląda następująco;

56 Podwójny rozpad β, bezneutrinowy podwójny rozpad β cd. Taki sygnał podwójnego bezneutrinowego rozpadu nie został dotąd jednoznacznie zaobserwowany, choć część grupy Heidelberg-Moskwa, która badała od lat rozpad germanu (Klapdor-Klengrothaus i inni) od 00 roku twierdzi, że widzi ewidencję rozpadu. Pomiar czasu takiego rozpadu pozwala na ocenę efektywnej masy neutrina. Jeśli wspomniana wyżej ewidencja jest wiarygodna, to odpowiada masie rzędu ev, na granicy możliwości kilku przyszłych eksperymentów (np. GERDA w Gran Sasso).

57 QCD i kompletny model standardowy Odkrycie lat 70-tych: teoria oddziaływań elektrosłabych wymaga tylko niewielkiego uogólnienia, aby opisać też oddziaływania silne. Służy do tego jeszcze jedno pole cechowania, tym razem z grupą symetrii SU(3). Zatem pełna pochodna kowariantna to D ig Y τ λ = 1 B ig W ig3 G i i a a gdzie λ a to macierze generatorów grupy SU(3) (3 x 3, jest ich 8), a G to pola 8 bezmasowych bozonów pośredniczących silnych oddziaływań - gluonów.

58 QCD i kompletny model standardowy cd. Dla symetrii SU(3) wszystkie pola leptonów i bozonów B, W i H (czyli W, Z, H i γ) są singletami (bo cząstki te nie oddziałują silnie), a kwarków tripletami (bez rozróżnienia lewych i prawych) - każdy kwark może być w jednym z 3 stanów kolorowych. Zatem nie ma ani komplikacji związanej z zakazem masy dla fermionów, ani potrzeby wprowadzania mas gluonów - to czysta teoria cechowania. Do tego gluony nie oddziałują elektrosłabo (są neutralne i mają Y=0).

59 QCD i kompletny model standardowy cd. Bardziej skomplikowana jest oczywiście algebra (w relacjach komutacji generatorów wystąpi zamiast symbolu evi-civity tensor 8-wymiarowy 3 rzędu, który pojawi się też w definicji tensora pola). Znacznie trudniejsze także porównanie teorii z doświadczeniem ze względu na uwięzienie koloru. Cząstki, które oddziałują silnie (czyli mają kolor ) nie występują w stanach swobodnych, ale tylko w układach związanych hadronach. Hadrony są białymi singletami kolorowymi, a oddziałują silnie tylko resztkowo (jak neutralne atomy elektromagnetycznie).

60 QCD i kompletny model standardowy cd. Teoria winna oczywiście wyjaśnić, czemu tak się dzieje. Uproszczone tłumaczenie można podać rozważając amplitudę rozpraszania dwuciałowego jako sumę przyczynków od wymiany 1, i więcej kwantów oddziaływań. W pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń we wszystkich przypadkach amplituda zachowuje się jak 1/Q, gdzie Q jest kwadratem przekazu czteropędu ze zmienionym znakiem (czyli wielkością dodatnią) i jest proporcjonalna do kwadratu ładunku, czyli stałej α. Dla QED wysumowanie takich poprawek daje ekstra czynnik, który można zapisać jako zastąpienie stałej α przez funkcję ( dowolna skala). α( Q ) = α ( ) α ( ) 1+ ln 3π Q

61 QCD i kompletny model standardowy cd. Ta funkcja rośnie z Q i przy dostatecznie dużej wartości byłaby nieskończona. (Nie martwimy się tym zbytnio - wiadomo, że już przy znacznie niższych Q należy uwzględniać inne efekty.) Dla QCD sumowana klasa diagramów znacznie szersza, bo gluony mają kolor i oddziałują silnie między sobą (a fotony były neutralne i nie oddziaływały bezpośrednio). W wyniku tego wynik końcowy będzie inny: w zależności od liczby kwarków n f otrzymamy α ( Q ) s α s( ) = α s( ) Q 1+ ( 33 n f )ln 1π

62 QCD i kompletny model standardowy cd. Ta funkcja maleje z Q dla n f =6. Przy bardzo dużych przekazach pędu oddziaływania silne słabną, co określamy terminem asymptotyczna swoboda. Wtedy uprawnione używanie rachunku zaburzeń; przybliżenia niskich rzędów wiarygodne. Przy małych Q stała sprzężenia rośnie, rachunek zaburzeń niewiarygodny. Może do uwolnienia kwarków potrzebna nieskończona energia? Oczywiście to nie dowód - skoro w tych warunkach zwykłe metody rachunku zawodzą, stosujemy inne (np. rachunek na sieciach - dyskretyzacja czasoprzestrzeni, a potem powrót do granicy ciągłej). Sugerują one, że uwięzienie kwarków i gluonów w QCD jest rzeczywiście faktem.

63 QCD i kompletny model standardowy cd. Ogólnie, poza obszarem asymptotycznej swobody czyli bardzo dużych Q trudno porównywać QCD bezpośrednio z doświadczeniem. Tam, gdzie to możliwe, wyniki niezmiennie znakomite! Często przewidywania QCD dotyczą ewolucji (jak powyższy wzór na biegnącą stałą sprzężenia ): musimy z doświadczenia wyznaczyć wartości w jakimś punkcie, a teoria wyznaczy resztę.

64 Przykład zastosowania modelu standardowego: anihilacja elektron - pozytron. Jeśli w stanie końcowym mamy parę cząstkaantycząstka o ładunku q f, to przy niskich energiach dominuje wkład QED do amplitudy z wirtualnym fotonem w stanie pośrednim i przekrój czynny ma postać. σ, gdzie s=e CM. Dla pary mionów czynnik f π = 4 3 q f α s ładunkowy to oczywiście 1. Natomiast przekrój czynny na produkcję hadronów będzie sumą takich członów po wszystkich kwarkach, które można wyprodukować przy danej energii.

65 Anihilacja elektron pozytron cd. Suma kwadratów ładunków kwarków u, d, s to (uwaga: każdy kwark w 3 stanach kolorowych, bez tego czynnika byłoby /3!). Zatem dla energii CM między 1.5 a 3.5 GeV stosunek przekrojów + σ ( e e hadrony) czynnych na te reakcje R = + + σ ( e e ) ma wartość około. Od 4 GeV możliwa jest produkcja hadronów zawierających kwark c, suma kwadratów ładunków wzrasta o 3 x (/3) = 4/3, co też obserwuje się w danych (poza tym w danych są wąskie maksima odpowiadające konkretnym mezonom w stanie pośrednim). Przekroczenie przy ok. 10 GeV następnego progu związanego z kwarkiem b o ładunku -1/3 daje cztery razy słabszy skok, ale też zauważalny.

66 Anihilacja elektron pozytron cd. To była QED. Dla energii bliskiej energii spoczynkowej Z (90 GeV) dominuje inny wkład do amplitudy, proporcjonalny do (E-m Z c )-. To wkład z sektora słabego, gdzie Z jest w stanie pośrednim. Wtedy wartość R wynika nie z ładunków, ale z wartości słabego hiperładunku Y dla mionów i kwarków. Znów wszystko zgadza się z danymi (Y z wzoru q = T 3 + Y/, np. dla mionu q=-1, T 3 =-1/, więc Y=1; dla kwarku u - q=/3, T 3 =1/, więc Y=1/3).

67 Anihilacja elektron pozytron cd. GSW przewiduje, jakie jest prawdopodobieństwo Γ ν /Γ niewidzialnego rozpadu Z na parę neutrin. Z danych znamy pełną szerokość Z w energii Γ z wzoru Breita-Wignera i sumę szerokości widzialnych rozpadów Γ w (każdy z Γ i =ħ/τ i ). Stąd liczba rodzajów neutrin N ν =(Γ Γ w )/Γ ν. Wychodzi 3.01±0.03! Tylko 3 generacje neutrin z SM; czy także kwarków?

68 Anihilacja elektron pozytron cd. Rola QCD: szczegółowa zależność R od energii z dodatkowych diagramów, gdzie kwarki wymieniają gluony. Poprawiają zgodność z danymi. Także rozkład pędów hadronów przy wysokich energiach znaczący: przypadki -jetowe, interpretowane jako hadronizację stanów kwark-antykwark i 3-jetowe gdzie był dodatkowy jet z hadronizacji gluonu. Jest to jedyny eksperyment, gdzie widzimy gluony. Wszystkie cechy jetów z kwarków i gluonów takie, jak mówi teoria.