Zastosowanie metody elementów skończonych do analizy naprężeń w twardych tkankach zębów

Transkrypt

1 PRACE POGLĄDOWE Dent. Med. Probl. 2005, 42, 4, ISSN X ANNA DOBOSZ 1, HALINA PANEK 1, KORNEL DOBOSZ 2 Zastosowanie metody elementów skończonych do analizy naprężeń w twardych tkankach zębów Implementation of Finite Elements Method in Evaluation of Stresses in Dental Hard Tissues 1 Katedra i Zakład Protetyki Stomatologicznej AM we Wrocławiu 2 NZOZ we Wrocławiu Streszczenie Metoda elementów skończonych (MES) jest jedną z najnowocześniejszych metod służących do analizy numerycz nej stanu naprężeń. Pierwsze obliczenia za pomocą tej metody przeprowadzono w 1943 roku i dotyczyły zagadnień z zakresu mechaniki. Rozwój metody i jej powszechne zastosowanie miało miejsce na początku lat siedemdziesią tych. Badania przeprowadzano wówczas na obiektach o prostej geometrii, modelowanych jako dwuwymiarowe. Rozwój informatyki i techniki pozwala obecnie na prowadzenie precyzyjnej analizy numerycznej z wykorzysta niem układów o złożonej geometrii 3D. Metoda elementów skończonych jest powszechnie stosowana w procesie projektowania w dziedzinie mechaniki i inżynierii, a także w medycynie i stomatologii. W pracy przedstawiono definicję, historię, założenia i możliwości zastosowania metody elementów skończonych do analizy stanu naprę żeń, powstających w twardych tkankach zębów. Zaprezentowano ponadto wyniki wielu badań nad wpływem pa rametrów sił zwarcia na powstawanie uszkodzeń w szkliwie (abfrakcji) i zębinie, występujących w różnych sytu acjach klinicznych w zębach bez zmian morfologicznych wywołanych procesem próchnicowym. Siły zwarcia ma ją wpływ na prawidłowe funkcjonowanie poszczególnych elementów układu stomatognatycznego. W zależności od wielkości, czasu trwania i kierunku działania mogą wywoływać różny stopień koncentracji naprężeń w tkan kach twardych zęba. Praca omawia wpływ różnych rodzajów naprężeń, powstających podczas dużych obciążeń, zwłaszcza zaś naprężeń rozciągających, które powstają w szkliwie przyszyjkowym po stronie policzkowej podczas okluzji (Dent. Med. Probl. 2005, 42, 4, ). Słowa kluczowe: metoda elementów skończonych, naprężenie, siły okluzyjne, abfrakcje. Abstract The finite elements method (FEM) is one of the most modern methods used in numerable analysis of stress. First calculations made with this method were carried out in 1943 and referred to the problems studied in mechanics. The development of this method and its common use took place in early 70 s. In those times, the studies were made on geometrically easy objects modeled as 2D (two dimensional). Recently, the development of informatics technology and technique enables to perform very precise analysis with complex 3D (three dimensional) geometry of objects. Nowadays, FEM is commonly used in the process of designing in mechanics and engineering as well as in medicine and dentistry. The paper presents a definition, history, foundations and usage possibilities of this method to analyze the stresses generated in dental hard tissues. It also describes the results of many researches on the influence of occlusal forces parameters on generating the damages in enamel (abfractions) and dentin of teeth without any pre vious morphological changes caused by carious process. Occlusal forces have a great influence on proper function ing of all elements of the masticatory system. Those occlusal forces can evoke different level of tension concentra tion in hard dental tissues depending on their range, direction and time of acting. In this study, authors discuss the influence of different kinds of stresses, which appear during the extremely high occlusal loads, especially those which are concentrated in cervical enamel on the buccal side of teeth (Dent. Med. Probl. 2005, 42, 4, ). Key words: finite elements method, stress, occlusal forces, abfraction.

2 652 A. DOBOSZ, H. PANEK, K. DOBOSZ Pierwsze doniesienia na temat zastosowania metody elementów skończonych przypadają na połowę lat sześćdziesiątych ubiegłego stulecia. Za pioniera w tej dziedzinie uważa się R. Couranta ( ). Jego praca na temat metody elemen tów skończonych została opublikowana już w 1943 roku [1]. Początkowo metoda ta znalazła zastosowanie w mechanice i procesie konstrukcji maszyn (samolotów, pojazdów kosmicznych) i obiektów (platformy wiertnicze, budowle towa rzyszące reaktorom atomowym). Skomplikowane warunki brzegowe uniemożliwiały formułowanie zagadnień w kategoriach analizy matematycznej. Dopiero rozwój matematyki wpłynął na możli wość zamiany formy matematycznej opisu proble mu z analitycznej na algebraiczną i rozwiązanie wielu zagadnień mechaniki. Wraz z postępem i rozwojem informatyki rozwiązywanie trudnych problemów algebraicznych jest obecnie mniej cza sochłonne. Założenia metody elementów skończonych i jej zastosowania w mechanice MES metoda elementów skończonych (FEM finite elements method) jest to zaawanso wana matematyczna metoda obliczeń fizycznych, opierająca się na dyskretyzacji obszaru (najczęś ciej powierzchni lub przestrzeni) za pomocą skoń czonej liczby elementów uśredniających stan fi zyczny ciała. Element skończony jest to podobszar zdyskretyzowanego kontinuum. Jego wymiar jest skończony (nie jest nieskończenie mały), a jego kształt jest zwykle prostszy od kształtu geome trycznego analizowanego obiektu. Poszczególne elementy powinny być na tyle małe, aby aproksy mowane w nich funkcje bazowe φ i (x) różne od ze ra mogły być przybliżone za pomocą wielomia nów. Stosowane funkcje bazowe są najczęściej wielomianami, elementy natomiast prostymi bryłami przy dyskretyzacji przestrzeni, a prostymi figurami przy dyskretyzacji powierzchni. Wybór szczególnych punktów, tzw. węzłów w elementach, służy określeniu wymuszonych wa runków równowagi i zgodności. Każdy węzeł cha rakteryzuje odpowiednia liczba stopni swobody. W przypadku elementów bryłowych węzeł opisuje się przez sześć stopni swobody: trzy przemieszcze nia (wzdłuż osi XYZ) oraz trzy rotacje (obrót wę zła dookoła osi XYZ); jest to wówczas model trój wymiarowy. W przypadku elementów płaskich liczba stopni swobody zmniejsza się do trzech: przemieszczenie wzdłuż osi XY oraz rotacja wokół osi Z (model 2D). Przyjęcie punktów węzłowych umożliwia aproksymację za pomocą funkcji apro ksymujących niezależnych parametrów węzło wych. Zmniejszanie elementów prowadzi do zwiększania liczby wartości poszukiwanej funkcji wartości węzłowych, co powoduje wydłużenie czasu obliczeń. Przy prawidłowym odwzorowaniu parametrów fizycznych elementu zmniejszenie ich wielkości powoduje, że wartości węzłowe funkcji poszukiwanej, stanowiące przybliżone rozwiązanie zadania, zbliżają się do rozwiązania dokładnego. Dokładność rozwiązania jest zatem zależna od funkcji kształtu, czyli dokładności aproksymacji wielkości fizycznych wewnątrz elementu. Funkcje kształtu powinny spełniać poniższe założenia. Między elementami nie jest wymagana ciągłość pochodnych, jest możliwa dowolna postać liniowa funkcji dobrana tak, aby było spełnione kryterium stałej pierwszej pochodnej. Określenie dla każdego elementu struktury macierzy służy opisaniu jego własności. Na podstawie macierzy elementów jest tworzona macierz dla całego ukła du. Macierz jest to prostokątna tablica wielkości, należących do ciała K. Modyfikacja globalnej ma cierzy służy określeniu warunków brzegowych i obciążenia ciała. Ostatecznie należy rozwiązać podstawowy układ równań oraz na podstawie wy znaczonych parametrów węzłowych oblicza się funkcje pochodnych. Proces zamiany informacji, pochodzących z obiektów rzeczywistych, na postać cyfrową umożliwia ich przetworzenie w urządzeniach elek tronicznych, wykorzystujących kodowanie zero jedynkowe oraz gromadzenie na nośnikach da nych. Wyniki przeprowadzonych badań można przedstawić za pomocą programów komputero wych w postaci linii ekwipotencjalnych na ekranie monitora lub w postaci wydruku. Każdy program komputerowy, realizujący poszczególne etapy za dania MES, składa się z trzech modułów: przed procesora, procesora i postprocesora. Główne funkcje polegają na przygotowaniu procesu obli czeń, budowaniu i rozwiązaniu stosownego ukła du równań oraz wydruku wyników i sporządzeniu wykresów. Obliczenia większości rzeczywistych konstrukcji wymagają wprowadzenia współrzęd nych wielu tysięcy węzłów. To zaleta metody, po nieważ ręczne wprowadzenie tych informacji by łoby obciążone dużym błędem, a czas obliczeń wydłużyłby się [2 4]. Zastosowanie metody elementów skończo nych do analizy naprężeń, oprócz wielu zalet, ma także wady. Są nimi wysokie koszty stosowanego sprzętu oraz duży nakład pracy potrzebny na przy gotowanie i syntezę wyników. Rozwój nowych technologii i efektywnego oprogramowania syste mów obliczeniowych, wykorzystujących MES,

3 Metoda elementów skończonych w analizie naprężeń 653 spowodowały, że metoda ta staje się integralną częścią procesu projektowania. Metoda elementów skończonych jest stosowa na do analizy stanu naprężeń w wielu skompliko wanych układach mechanicznych. Za pomocą me tody MES można badać wytrzymałość konstruk cji, dynamikę, kinematykę i statykę, symulację odkształceń, naprężeń, przemieszczenia, a także przepływy cieczy i ciepła. Znalazła ona zastoso wanie nie tylko w wielu dziedzinach techniki, ale również w medycynie i bioinżynierii [5 7]. Zastosowanie MES w stomatologii Pierwsze na świecie próby zastosowania me tody elementów skończonych w stomatologii pod jęto dopiero w latach siedemdziesiątych ubiegłego stulecia. Początkowo do analizy rozkładu naprę żeń w twardych tkankach zębów stosowano meto dy elastooptyczne, zwane fotoelastycznymi [8]. Ze względu na mniejszą skuteczność i wyższy stopień skomplikowania zastąpiono je metodami nume rycznymi [9]. Obecnie metodę elementów skoń czonych stosuje się do rozwiązywania różnych za gadnień mechanicznych w wielu dziedzinach sto matologii. Przedmiotem niniejszego opracowania jest przegląd zastosowania metody MES do bada nia naprężeń, powstających w zdrowych zębach, niedotkniętych procesem próchnicowym, pod wpływem działania sił okluzyjnych. Do przeprowadzenia analizy stanu naprężeń, powstających w twardych tkankach zęba, mogą być wykorzystane różne programy komputerowe, pozwalające na utworzenie modelu zęba podobne go do jego budowy anatomicznej, z uwzględnie niem mechanicznych właściwości tkanek [10 18]. Duże znaczenie w tym względzie ma odpowiedni sposób dyskretyzacji obszaru, odpowiadającego kształtowi zęba, co zapewnia prawidłowy wynik obliczeń. W miejscach spodziewanych niekorzyst nych naprężeń należy stosować gęstszą siatkę ele mentów skończonych do aproksymacji funkcji. Uzyskana większa liczba niewiadomych prowadzi bowiem do uzyskania bardziej dokładnego wyni ku [19]. Zastosowanie komputerowej symulacji umoż liwia przeprowadzenie analizy niekorzystnie dzia łających naprężeń, powstających w wyniku działa nia sił imitujących procesy zachodzące podczas artykulacji w jamie ustnej. Siły zwarcia w zależno ści od wielkości, intensywności, czasu trwania i kierunku występowania mogą powodować różny stopień koncentracji naprężeń. Naprężenie wyraża się miarą gęstości powierzchniowej sił wewnętrz nych, występujących w ośrodku ciągłym (Pa). Za leżność między naprężeniem a odkształceniem określa się za pomocą prawa mechaniki Hooke a, według którego odkształcenie ciała pod wpływem działającej siły jest wprost proporcjonalne do jej wartości. W wielu opracowaniach podano maksy malne wartości sił zwarciowych [20 22]. Z punk tu biomechaniki wielkość sił, wyzwalanych przez mięśnie przywodzące żuchwę, jest zależna od siły, stopnia zmęczenia i napięcia mięśni podczas trwa nia skurczu, a także ich napięcia spoczynkowego [23]. Energia wyzwalana podczas skurczu mięśni jest przenoszona w postaci siły nacisku na twarde tkanki zęba, a przez nie na dźwigary czaszki w kierunku sklepienia, gdzie rozprasza się. Wiel kość powstających wówczas naprężeń zmienia stan wytężenia twardych tkanek zęba i zwiększa ich podatność na uszkodzenie [18, 24 25]. Mniej sze wartości niekorzystnych naprężeń stwierdza się w obszarze zębiny, miazgi i tkanek przyzębia, a największą kumulację niekorzystnych wielkości w obrębie szkliwa [26 28]. Można to tłumaczyć odpowiednią geometrią budowy i elastycznością zębiny, które zwiększają jej odporność na działa nie sił. Anizotropia pryzmatów szkliwa wpływa natomiast niekorzystnie na jego wytrzymałość. Naprężenia rozciągające mają najbardziej nie korzystny wpływ na powstawanie odkształceń we wnątrz poszczególnych tkanek zęba. Są to naprę żenia powstające wówczas, gdy zwroty naprężeń normalnych, działających na przeciwległych bo kach prostokąta o nieskończenie małych wymia rach, są skierowane na zewnątrz elementu [29]. Oceny stanu naprężeń w tym elemencie dokonuje się zwykle na podstawie wartości trzech naprężeń: τ xy, σ x, σ y, których kierunki są związane z prosto kątnym układem współrzędnych (x, y). Napręże nia τ xy to tzw. naprężenia styczne, których wartość wynosi zero w przypadku zastąpienia trzech skła dowych stanu naprężenia dwiema, tj. σ 1, σ 2 (na prężenie główne). Określone naprężenia są miarą wytężenia, które jest określane jako największe naprężenie normalne; R c < σ 1 ; σ 2 < R r, gdzie R r jest graniczną wytrzymałością materiału na rozcią ganie, a R c jest graniczną wytrzymałością na ści skanie [18]. Naprężenia rozciągające są najczę ściej poziome i mają wartość dodatnią. Ich naj większą kumulację stwierdzono na powierzchni policzkowej zębów. Powodują one, zgodnie z teo rią plastyczno elastycznej deformacji, uszkodze nia w obrębie szyjki zęba [27, 30, 31]. Naprężenia te powodują wytężenie szkliwa blisko połączenia szkliwno cementowego po stronie policzkowej i w następstwie wykruszenie pryzmatów szkliwa Naprężenia ściskające to naprężenia powstają ce w sytuacji, gdy zwroty naprężeń normalnych, działających na przeciwległych bokach prostokąta o nieskończenie małych wymiarach, są skierowa

4 654 A. DOBOSZ, H. PANEK, K. DOBOSZ ne do wewnątrz elementu. Powstają one pod wpły wem sił działających pionowo, mają wartości ujemne i umiejscawiają się najczęściej po stronie językowej zęba [29]. Ocena wielkości naprężeń ściskających i roz ciągających pozwala na obliczenie tzw. naprężenia zredukowanego. Są to naprężenia obliczone z wy korzystaniem różnych hipotez wytężeniowych do analizy pól naprężeń i odkształceń dla materiałów izotropowych przy obciążeniach zgryzowych. Twarde tkanki zęba są traktowane jako materiały o wysokim stopniu izotropii i do ich badań wyko rzystuje się alternatywnie różne hipotezy wytęże niowe. Są to: hipoteza Treski Guesta, hipoteza Hubera Misesa Hencky ego, hipoteza Burzyń skiego, hipoteza de Saint Venanta, hipoteza Tai Wu [19]. Przykładem są Kierklo et al., którzy za stosowali hipotezę wytężeniową w modyfikacji Beltramiego [32], Dejak zaś w analizie naprężeń zredukowanych wykorzystała hipotezę Hubera Misesa Hencky ego [16, 29]. Naprężenia zredu kowane powstają najczęściej na skutek działania sił skośnych, skierowanych pod kątem 45 i są zwane naprężeniami von Misesa. Długotrwałe działanie sił rozciągających prowadzi do wzrostu naprężeń zredukowanych i niekorzystnego wytę żenia twardych tkanek zęba w obrębie połączenia szkliwno cementowego [27]. Obszar szyjki zęba jest szczególnie narażony na szkodliwe działanie sił. Z piśmiennictwa wynika, że długotrwale utrzy mujące się lub powtarzające działanie czynników wywołujących rozciąganie w tym obszarze prowa dzi ostatecznie do odłamywania się pryzmatów szkliwa i tworzenia ubytków o charakterystycz nym kształcie klina i gładkich powierzchniach, zwanych abfrakcjami [24]. Ubytki abfrakcyjne klinowe są jednym z ro dzajów ubytków niepróchnicowego pochodzenia, które powstają wskutek szkodliwego działania niesymetrycznych naprężeń rozciągających i ich kumulacji w obszarze szkliwa przyszyjkowego podczas dużych obciążeń zęba [27, 31]. Teoria udziału sił zwarciowych jako czynnika powodują cego kumulację niekorzystnie działających naprę żeń i powstawanie abfrakcji jest jednak przez nie których autorów podważana. Uważa się, że nie ist nieje bezpośredni dowód potwierdzający udział sił zwarcia jako jedynego czynnika etiologicznego w powstawaniu tych uszkodzeń [33 36]. Autorzy są zgodni natomiast w stosunku do konieczności natychmiastowego uzupełniania ubytków nie próchnicowego pochodzenia w celu zapobiegania postępującemu procesowi zmian. Z piśmiennictwa wynika, że na retencję [37] wypełnienia w ubytku klinowym wpływają naprężenia powstające pod wpływem sił zwarcia. Z wytrzymałościowego punktu widzenia jednym z elementów decydują cych o trwałości wypełnienia jest jakość połącze nia adhezyjnego między tkanką zęba a materiałem wypełniającym, którego miarą jest wytrzymałość na ścinanie połączeń adhezyjnych. Na połączeniu wypełnienia z tkanką twardą zęba powstają mię dzypowierzchniowe naprężenia, z których naj istotniejszą rolę mają naprężenia ścinające, które wywołują ruch ślizgania się wzdłuż powierzchni łączenia i prowadzą do zniszczenia wiązania. Z te go powodu, uwzględniając złożone oddziaływanie na ząb zmiennych sił, należy dążyć do eliminacji wszystkich zaburzeń okluzyjnych, które mogą przyspieszać proces utraty wypełnienia z ubytku klinowego. W podsumowaniu należy stwierdzić, że zasto sowanie metody elementów skończonych do bu dowy i analizy modeli numerycznych ułatwia opis pól naprężeń i odkształceń w twardych tkankach zęba w różnych sytuacjach klinicznych. Metoda elementów skończonych umożliwia realną ocenę wytężenia twardych tkanek zębów i może poz wolić na opracowanie bardziej racjonalnych me tod zapobiegania uszkodzeniom zębów powsta łym pod wpływem sił okluzyjnych. Piśmiennictwo [1] ŁODYGOWSKI T., KĄKOL W.: Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki konstrukcji inżynierskich. Wyd. PP, Poznań 1994, 1 2. [2] ZIENKIEWICZ O. C.: Metoda elementów skończonych. Arkady, Warszawa 1972, [3] TRIBIŁŁO R., SZYMANIAK E., WASZKIEL D., SYCZEWSKI M.: Zastosowanie metody elementów skończonych do ana lizy stanu naprężeń w tkankach twardych zęba. Czas. Stomat. 1989, 42, 1 7. [4] HASKELL B., DAY M., TETZ J.: Computer aided modeling in the assessment of biomechanical determinants of di verse skeletal patterns. Am. J. Orthod. 1986, 89, [5] ZYDOROWICZ P.: Doświadczalna analiza mechanizmu przeciążenia kręgosłupa lędźwiowego (praca doktorska). Politechnika Wrocławska [6] BERNAKIEWICZ M.: Opracowanie kryteriów odkształceniowo naprężeniowych doboru implantów stawu biodrowe go (praca doktorska). Politechnika Wrocławska [7] ŚCIGAŁA K.: Badania modelowe charakterystyk odkształceniowych stawu kolanowego (praca doktorska). Poli technika Wrocławska [8] SZYMANIAK E., KIERKLO A., TRIBIŁŁO R.: Praktyczne zastosowanie metody elementów skończonych (MES) do analizy naprężeń w tkankach zęba i wypełnieniu. Czas. Stomat. 1991, 44,

5 Metoda elementów skończonych w analizie naprężeń 655 [9] FARAH J. W., CRAIG R. G., SITARSKIE D. L.: Photoelastic and finite stress analysis of a restored axisymmetric first molar. J. Biomechanics 1973, 6, [10] CRAIG R. G., POWERS J. H., WATOHA J. C.: Materiały stomatologiczne. Urban & Partner, Wrocław 2000, [11] DEJAK B., MŁOTKOWSKI A.: Badanie naprężeń w zębach w zależności od wielkości części korzeniowej wkładów. Stomat. Współcz. 1995, 2, [12] HO M. H., LEE S. Y., CHEN H. H., LEE M. C.: Three dimensional finite element analysis of the effect of post on stress distribution in dentin. J. Prosthet. Dent. 1994, 72, [13] HONG SO Y., LISA A., YANG H. S. LANG L. A., GUCKES A. D., FELTON D. A.: The effect of thermal change on va rious dowel and core restorative materials. J. Prosthet. Dent. 2001, 86, [14] HABELITZ S., MARSHALL S. J., MARSCHALL G. W. JR., BALOOCH M.: Mechanical properties of human dental ena mel on the nanometre scale. Arch. Oral Biol. 2001, 46, [15] RESS J. S., JACOBSEN P. H.: Elastic modulus of the periodontal ligament. Biomaterials 1997, 18, [16] DEJAK B.: Wpływ anizotropowych właściwości szkliwa na naprężenia występujące w zębach trzonowych podczas żucia. Prot. Stomat. 2004, 3, [17] TRIBIŁŁO R., SZYMANIAK E., WASZKIEL D., SYCZEWSKI M.: Sposoby dyskretyzacji ośrodka i charakteryzowania cech sprężystych tkanek twardych zęba. Czas. Stomat. 1989, 42, [18] KIERKLO A., TRIBIŁŁO R., WALENDZIUK A.: Zanik wyrostka zębodołowego a stan wytężenia w tkankach zęba i przyzębiu. Czas. Stomat. 1996, 49, [19] MILEWSKI G.: Wytrzymałościowe aspekty interakcji biomechanicznej tkanka twarda implant w stomatologii. Zesz. Nauk. Pol. Krak. 2002, 89. [20] WALTIMO A., KONONEN M.: Maximal bite force and its association with signs and symptoms of craniomandibular disorders in young Finnish non patients. Acta Odontol. Scand. 1995, 53, [21] AHLBERG J. P., KOVERO O. A., HURMERINTA K. A., ZEPA I., NISSINEN M. J., KONONEN M. H.: Maximal bite force and its association with signs and symptoms of TMD, occlusion, and body mass index in a cohort of young adults. Cranio 2003, 21, [22] LIPSKI T., CHLADEK W.: Wartości sił zgryzu w zależności od wieku i płci. Prot. Stomat. 1997, 47, [23] PICHUT M.: Czynniki wpływające na siły zgryzowe generowane w układzie stomatognatycznym. Porad. Stomat. 2003, 3, 9, [24] LEE W. C., EAKLEW. S.: Stress induced cervical lesion: Review of advances in the past 10 years. J. Prosthet. Dent. 1996, 75, [25] KIERKLO A., SZYMANIAK E., TRIBIŁŁO R., WALENDZIUK A.: Zastosowanie metody elementów skończonych (MES) do oceny naprężeń w zębie z kanałem wypełnionym gutaperką. Czas. Stomat. 1995, 48, [26] KAEWSURIYATHUMRONG C., SOMA K.: Stress of tooth and PDL structure created by bite force. Bull. Tokyo Med. Dent. Univ. 1993, 40, [27] PALAMARA D., PALAMARA J. E., TYAS M. J., MESSER H. H.: Strain patterns in cervical enamel of teeth subjected to occlusal loading. Dent. Mater. 2000, 16, [28] GOEL V. K., KHERA S. C., SINGH K.: Clinical implications of the response of enamel and dentin to masticatory loads. J. Prosthet. Dent. 1990, 64, [29] DEJAK B.: Wpływ szerokości i głębokości wkładów koronowo korzeniowych na naprężenia występujące w trzo nowcach podczas cyklu żucia. Prot. Stomat. 2004, 54, [30] LEE H. E., LIN C. L.,WANG C. H., CHENG C. H., CHENG C. H.: Stresses at the cervical lesion of maxillary premo lar a finite element investigation. J. Dent. 2002, 30, [31] TANAKA M., NAITO T., YOKOTA M., KOHNO M.: Finite element analysis of the possible mechanism of cervical le sion formation by occlusal force. J. Oral Rehabil. 2003, 30, [32] KIERKLO A.: Studium hipotez wytrzymałościowych tkanek twardych kości i zęba. Zesz. Nauk. Polit. Biał., Bu downictwo 1997, 16, [33] LITONJUA L. A., ANDREANA S., BUSH P. J., TOBIAS T. S., COHEN R. E.: Noncarious cervical lesions and abfractions: a re evaluation. J. Am. Dent. Assoc. 2003, 134, [34] LITONJUA L. A., ANDREANA S., PATRA A. K., COHEN R. E.: An assessment of stress analyses in the theory of ab fraction. Biomed. Mater. Eng. 2004, 14, [35] LYONS K.: Aetiology of abfraction lesions. N. Z. Dent. J. 2001, 97, [36] RESS J. S., HAMMADEH M.: Undermining of enamel as a mechanizm of abfraction lesion formation: a finite ele ment study. E. J. Oral Sci. 2004, 112, [37] KIERKLO A.: Wpływ ubytku klinowego na stan wytężenia twardych tkanek zęba. Czas. Stomat. 1999, 52, Adres do korespondencji: Anna Dobosz Katedra i Zakład Protetyki Stomatologicznej AM ul. Krakowska Wrocław tel e mail: korneld@mp.pl Praca wpłynęła do Redakcji: r. Po recenzji: r. Zaakceptowano do druku: r. Received: Revised: Accepted: