Wst p do sieci neuronowych, wykªad 15 Algorytmy genetyczne

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wst p do sieci neuronowych, wykªad 15 Algorytmy genetyczne"

Transkrypt

1 Wst p do sieci neuronowych, wykªad 15 Algorytmy genetyczne M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland

2 Motywacja Algorytmy genetyczne powstaªy w wyniku bada«prowadzonych w latach przez biologów Barricelliego i Frasera, po±wi conych symulacji procesów genetycznych. Ich idea opiera si na takich naturalnych procesach jak dziedziczenie, dobór naturalny oraz walka o prze»ycie.

3 Zastosowania Algorytmy genetyczne maj szerokie zastosowanie w rozwi zywaniu problemów optymalizacyjnych. W roku 1971 powstaªa pierwsza praca autorstwa J. Hollanda badaj ca skuteczno± algorytmów genetycznych do maksymalizacji/minimalizacji funkcji. Algorytmy genetyczne byªy z powodzeniem stosowane w zadaniach optymalizacji, takich jak wytyczanie trasy poª cze«kablowych, rozgrywanie gier, zadanie transportowe, zadanie komiwoja»era, sterowanie optymalne, optymalizacja obsªugi zapyta«w bazach danych.

4 Zastasowania Bardzo ciekawym przykªadem pot gi algorytmów genetycznych byªo zaprojektowanie tzw. crooked wire genetic antennas, czyli optymalnego ksztaªtu anteny nadaj cej równomiernie we wszystkich kierunkach ponad krzywizn ziemi. W przeciwie«stwie do przewidywa«, symetryczne anteny o geometrycznych ksztaªtach nie rozwi zywaªy tego problemu optymalnie. Dopiero algorytm genetyczny znalazª optymalne rozwi zanie, którym okazaªa si ±mieszna pl tanina drutów. Co wi cej, znacz ce jest to,»e genetyczny algorytm wyszukaª j w±ród innych, podobnie fantazyjnie poskr canych anten, z których wi kszo± jednak nie pracowaªa wªa±ciwie.

5 Podstawowe elementy Przed zaimplementowaniem algorytmu genetycznego, programista musi zdeniowa pi podstawowych elementów, od których w du»ym stopniu zale»y efektywno± programu. Elementy te to: odpowiednia reprezentacja danych, stanowi cych potencjalne rozwi zania zadania sposób tworzenia pocz tkowej populacji mo»liwych rozwi za«funkcja oceniaj ca, która gra rol ±rodowiska i ocenia rozwi zania wedªug ich dopasowania podstawowe operatory, które wpªywaj na skªad populacji potomnej warto±ci ró»nych parametrów u»ywanych w algorytmie genetycznym (rozmiar populacji, prawdopodobie«stwo u»ycia operatorów genetycznych itp.)

6 Reprezentacja danych Jeden ci g binarny jest odpowiednikiem jednego chromosomu. Genotyp to inaczej zespóª chromosomów danego osobnika. Osobnika w populacji mo»e tworzy zarówno genotyp jak i pojedynczy chromosom. Zbiór osobników, tworzy populacj. W danej populacji ka»dy ci g binarny ma tak sam dªugo± L. Jeden znak w ci gu binarnym jest odpowiednikiem genu w chromosomie, warto±ci jakie mo»e przyjmowa ten znak czyli 0 lub 1 to allele, a poªo»enie znaku w ci gu to locus.

7 Reprezentacja danych W wyniku dziaªania algorytmu genetycznego w ka»dej iteracji powstaje nowy zbiór osobników, czyli nowe pokolenie. Ka»da kolejna iteracja to generacja.

8 Populacja pocz tkowa Kolejne bity dla ci gu dªugo±ci L wybierane s w sposób losowy. Tworzy si tyle osobników ile wynosi rozmiar populacji.

9 Funkcja celu ψ : chromosomy R. Im wy»sza warto± tej funkcji dla danego argumentu, tym dany osobnik jest bli»szy rozwi zaniu optymalnemu. Szukaj c analogii w naturze mo»emy powiedzie,»e dla danego osobnika funkcja ta gra rol ±rodowiska oceniaj c potencjalne rozwi zania wedªug ich dopasowania.

10 Operatory Operatory dzielimy na dwuargumentowe i jednoargumentowe. Operatorem dwuargumentowym jest operacja krzy»owania. Jej celem jest wymiana materiaªu genetycznego mi dzy dwoma osobnikami populacji. W jej wyniku powstaj dwa nowe osobniki potomne. Proces krzy»owania mo»na podzieli na poszczególne etapy: wybranie punktu krzy»owania poprzez losowanie liczby naturalnej l z przedziaªu [0, L 1] rozerwanie dwóch ci gów binarnych b d cych rodzicami w miejscu l tworzenie potomków poprzez wymian podci gów binarnych mi dzy rodzicami

11 Operatory Rysunek: Przed krzy»owaniem. Rysunek: Po krzy»owanu.

12 Operatory Operatorem jednoargumentowym jest mutacja. Jej celem jest zwi kszenie obszaru poszukiwa«algorytmu genetycznego i nie dopuszczenie do odrzucenia potencjalnie obiecuj cego materiaªu genetycznego. Dokonuje si jej na osobnikach potomnych zaraz po operacji krzy»owania. Dla ka»dego genu w chromosomach potomków z prawdopodobie«stwem mutacji p m (np. p m = 0, 01), dokonujemy zamiany warto±ci genu w chromosomie na przeciwn (1 0, 0 1).

13 Operatory

14 Warto±ci parametrów Warto±ci, jakie przypiszemy poszczególnym parametrom, mog mie du»y wpªyw na dziaªanie programu. Parametry, dla których musimy okre±li warto±ci, to prawdopodobie«stwo mutacji, dªugo± genu w chromosomie, rozmiar populacji. Czasem okre±la si, po której iteracji program si zatrzyma, pod warunkiem,»e wcze±niej nie wyst pi inny warunek stopu.

15 Funkcja przystosowania Funkcja przystosowania ϕ : chromosomy R + ocenia ka»de mo»liwe rozwi zanie. Im wy»sza warto± funkcji ϕ dla danego chromosomu, tym jest on bli»szy rozwi zaniu optymalnemu. Funkcje przystosowania uzyskuje si z przeksztaªcenia funkcji celu ψ : chromosomy R, która podlega maksymalizacji. Je±li ψ przyjmuje tylko warto±ci dodatnie, to: ϕ(x) = ψ(x) gdzie x chromosomy. Mo»na równie» przej± z ψ w ϕ za pomoc przeksztaªcenie liniowego: ϕ(x) = ψ(x) + c gdzie x chromosomy, c jest staª wi ksz od liczby przeciwnej do minimum globalnego funkcji ψ.

16 Selekcja Selekcja jest to sposób wyboru osobników z bie» cej populacji, tworz cej populacj rodzicielsk, na których nast pnie wykonywane s takie operacje jak mutacja, krzy»owanie w celu uzyskania nast pnego pokolenia. W klasycznym algorytmie genetycznym selekcja jest wykonywana za pomoc metody koªo ruletki.

17 Koªo ruletki W metodzie koªa ruletki rodzice wybierani s z prawdopodobie«stwem proporcjonalnym do ich funkcji przystosowania. Je»eli przystosowanie i-tego osobnika oznaczymy przez ϕ i, to prawdopodobie«stwo jego wybrania jest równe: p i = ϕ i Φ gdzie Φ oznacza sum przystosowa«wszystkich osobników w populacji.

18 Algorytm Na klasyczny algorytm genetyczny skªadaj sie poszczególne kroki: 1 Inicjalizacja, czyli wybór pocz tkowej populacji. 2 Ocena przystosowania chromosomów w populacji, czyli obliczenie warto±ci funkcji ϕ : chromosomy R + dla ka»dego chromosomu w populacji. 3 Sprawdzenie warunku zatrzymania. Mo»e on wyst pi w trzech sytuacjach: gdy uzyskamy» dan warto± optymaln lub z okre±lon dokªadno±ci dalsze dziaªanie algorytmu nie poprawia uzyskanej ju» najlepszej warto±ci na algorytm naªo»one jest ograniczenie czasowe lub wykonamy z góry zaªo»on ilo± iteracji

19 Algorytm 4 Selekcja chromosomów, czyli wybór osobników bior cych udziaª w tworzeniu potomków nast pnego pokolenia. Im osobnik ma wy»sz warto± dla funkcji przystosowania, tym wi ksza szansa,»e zostanie on wylosowany. 5 Zastosowanie operatorów genetycznych. Tworzymy now populacj krzy»uj c parami osobniki wyselekcjonowane w poprzednim punkcie, a nast pnie stosujemy operator mutacji na potomkach. 6 Utworzenie nowej populacji. Stanowi j chromosomy otrzymane w punkcie 5. 7 Powrót do punktu 2.

20 Selekcja metoda elitarna dwukrokowa odmiana podstawowej metody selekcji, w pierwszym kroku dokonujemy tradycyjnej selekcji, a w drugim uzupeªniamy populacj potomków o osobniki najlepiej przystosowane w populacji rodziców. Jej celem jest ochrona najlepiej przystosowanych chromosomów w kolejnych iteracjach (w klasycznym algorytmie osobniki najlepiej przystosowane nie zawsze wchodz do nast pnej generacji).

21 Selekcja metoda porz dkowa sortujemy populacj ze wzgl du na warto±ci funkcji przystosowania, prawdopodobie«stwo doboru uzale»nione jest od liczby porz dkowej w populacji. metoda turniejowa z populacji o rozmiarze N wybiera si N razy po k osobników, z ka»dej grupy selekcj przechodzi najlepszy.

22 Problem Dwóch zamieszanych w du»e przest pstwo przest pców zªapano za maªe przewinienie. Policja wie,»e s winni, lecz nie ma dowodów. Je±li: b d wspóªpracowa ze sob (nie b d zeznawa przeciwko sobie), odsiedz niewielk kar za maªe przewinienie, jeden zerwie wspóªprac i b dzie zeznawaª, a drugi nie, pierwszy zostanie uwolniony, drugi natomiast pójdzie siedzie za powa»ne przest pstwo, obaj b d zeznawa - obaj pójd siedzie, przy czym wyrok b dzie z tego wzgl du nieco zªagodzony. Problem jest nast puj cy: niezale»nie od post powania drugiego, opªaca si zeznawa. Je±li natomiast»adna ze stron nie b dzie zeznawa, wynik b dzie o wiele lepszy dla obu graczy.

23 Dylemat wi ¹nia jako gra Dylemat wi ¹nia mo»na traktowa jako dwuosobow gr. W kolejnych etapach gry ka»dy gracz, albo zdradza albo wspóªpracuje z drugim. W zale»no±ci od konguracji rozgrywki graczom przyznawane s punkty. Gracz 1 Gracz 2 Punkty Punkty Konguracja gracza 1 gracza 2 rozgrywki Zdrada Zdrada Zdrada Wspóªpraca Wspóªpraca Zdrada Wspóªpraca Wspóªpraca Tablica: Ocena poszczególnych graczy w zale»no±ci od konguracji rozgrywki. Dodatkowo z ka»dym ukªadem post powania obu graczy zwi zana jest liczba k {0, 1, 2, 3}.

24 Reprezentacja strategii Tworzymy populacj graczy. Ka»dy z nich ma swoj strategi oraz histori kilku poprzednich gier - z pocz tku obie te cechy s losowe. Zakªadamy,»e do wyboru ka»dego nast pnego ruchu b dziemy brali pod uwag trzy ostatnie ruchy przeciwnika. Poniewa» s cztery mo»liwe przebiegi ka»dej gry oraz bierzemy pod uwag trzy ostatnie gry, to do opisania strategii jednego osobnika potrzebujemy 4 3 = 64 bitów. Zdrad b dziemy opisywa za pomoc 0 a wspóªprac za pomoc 1.

25 Reprezentacja strategii bit bit bit bit bit bit bit nr 1 nr 2 nr 3 nr 4 nr 5 nr k nr 64 ª czna konguracja dotychczasowej rozgrywki w trzech ostatnich grach przykªadowe postepowanie gracza w danej sytuacji Tablica: Przedstawienie sposobu kodowania strategii osobnika w zale»no±ci od zaistniaªej sytuacji.

26 Przykªad Zaªó»my,»e tabela opisuje strategi gracza X. Tak wi c, je±li gracz X rozgrywa mecz z innym graczem, za± 3 ostatnie gry mo»na opisa za pomoc trójki (3,0,0) (w pierwszej grze wi ¹niowie wspóªpracowali, a wszystkie pozostaªe decyzje obu stron byªy zdrad ) to decyduje si on na zdrad, poniewa» w swojej strategii na ukªad konguracji w trzech ostatnich grach (3,0,0) ma zdeniowan zdrad. Aby móc stosowa strategi na pocz tku gry, musimy zada trzy hipotetyczne ruchy, które poprzedziªy rozpocz cie gry. To wymaga 6 bitów. W sumie nasz chromosom b dzie miaª 64+6 = 70 genów.

27 Algorytm Axelroda 1 Stwórz pocz tkow populacj. Ka»demu graczowi przyporz dkowuje si losowy ªa«cuch 70-bitowy reprezentuj cy strategi. 2 Ka»dy gracz u»ywa strategii zapisanej w swoim chromosomie do rozegrania gier z pozostaªymi graczami. Wynik gracza jest ±redni ze wszystkich rozegranych przez niego gier. 3 Wybierani s gracze do rozmna»ania. Najgorsi nie bior udziaªu w rozmna»aniu, ±redni gracze dostaj jednego partnera, natomiast najlepsi dwóch partnerów. 4 W wyniku krzy»owania powstaj potomkowie, których strategia opiera si na strategii rodziców. Dodatkowe zmiany w strategii potomków wprowadzaj mutacje.

28 Wyniki oblicze«wyniki, jakie daª program oparty na algorytmie Axelroda, byªy zaskakuj ce. Z zupeªnie przypadkowego punktu startowego zostaªa utworzona populacja, której ±redni czªonek reprezentowaª taka strategi jak uzyskiwaªy najlepsze algorytmy heurystyczne.

29 Motywacja W poªowie XX wieku powstaªy ró»ne o±rodki rozwijaj ce algorytmy korzystaj ce z idei ewolucji. W miar upªywu czasu, gdy zacz to szuka coraz szerszych zastosowa«dla tych algorytmów a co za tym idzie coraz bardziej je modykowa, granice mi dzy nimi zacz ªy si zaciera. Algorytmy powstaªe w tym procesie ogólnie nazywamy ewolucyjnymi. Na przykªad w algorytmach genetycznych zacz to eksperymentowa z reprezentacjami danych odmiennymi od binarnej. Konsekwencj tego byªa konieczno± zdeniowania nowych operatów mutacji i krzy»owania i inych elementów algorytmów genetycznych.

30 Cel Mamy dan map dwuwymiarow z wielok tnymi przeszkodami oraz robota poruszaj cego si po tej mapie. Celem algorytmu jest wyszukanie optymalnej ±cie»ki, po której robot mógªby przemie±ci si z punktu startowego do punktu docelowego.

31 Etapy algorytmu Proces planowania ±cie»ki mo»na podzieli na dwie zasadnicze cz ±ci. Planowanie zawczasu - ustala si ±cie»k, po której robot b dzie si poruszaª. W tym etapie zakªadamy,»e ±rodowisko jest dokªadnie znane i nie zmieni si. Planowanie na bie» co - robot porusza si po ±cie»ce wyznaczonej w pierwszej fazie i w sytuacji kolizji z nieznanym wcze±niej obiektem zmienia drog, tak by jak najoptymalniej omin przeszkod. Planowanie obu etapów odbywa si za pomoc tego samego algorytmu ewolucyjnego, tylko z innymi parametrami.

32 Reprezentacja ±cie»ki cie»ki s reprezentowane za pomoc ci gu punktów (m 1, m 2,..., m n ), zwanych w zªami, o wspóªrz dnych x i y, oraz znacznika informuj cego czy w zeª jest dopuszczalny czy nie. Robot porusza si z punktu do punktu po linii prostej. W zeª niedoposzczalny jest to w zeª, którego nie mo»na poª czy z nast pnym, z powodu wyst puj cej po drodze przeszkody. cie»ka p = (m 1, m 2,..., m n ) jest dopuszczalna, je±li wszystkie w zªy w niej s dopuszczalne, natomiast niedopuszczalna, je±li przynajmniej jeden w zeª jest niedopuszczalny. Pierwszym w zªem na li±cie jest punkt startowy, ostatnim w zeª docelowy.

33 Reprezentacja ±cie»ki Proces nawigacji (kierowania) ko«czy si, kiedy robot osi ga punkt docelowy lub nie mo»e znale¹ rozwi zania w okre±lonym przedziale czasowym. Dªugo± chromosomu reprezentuj cego ±cie»k jest zmienna, na wst pie dziaªania algorytmu jest równa ilo±ci przeszkód.

34 Funkcja kosztu dla dopuszczalnej drogi U»ywamy ró»nych funkcji kosztu dla dopuszczalnej i niedopuszczalnej drogi. Koszt caªej trasy chromosomu p = (m 1, m 2,..., m n ) dla dopuszczalnej drogi: gdzie ϕ(p) = w d dist(p) + w s smooth(p) + w c clear(p) w d, w s, w c staªe dist(p) caªkowita dugo± drogi smooth(p) maksymalna niegªadko± drogi clear(p) rozmiar najgorszej kolizji

35 Caªkowita dugo± drogi n 1 dist(p) = d(m i, m i+1 ) i=1 gdzie d(m i, m i+1 ) jest odlegªo±ci mi dzy w zªami m i oraz m i+1, to znaczy funkcja dist(p) podaje caªkowit dªugo± drogi p,

36 Maksymalna niegªadko± drogi gdzie: s(m i ) = smooth(p) = max n 1 s(m i) i=2 θ i min{d(m i 1, m i ), d(m i, m i+1 )} gdzie θ i jest k tem pomi dzy odcinkami m i 1, m i oraz m i, m i+1. To znaczy funkcja smooth(p) podaje najwi ksz niegªadko± p w w ¹le.

37 Rozmiar najgorszej kolizji gdzie: c i = clear(p) = max n 1 c i i=1 { τ d i, je»eli d i τ 0, w odwrotnym przypadku gdzie τ to promie«robota, d i odlegªo± odcinka [m i, m i+1 ] od najbli»szej przeszkody.

38 Koszt dla niedopuszczalnej drogi Koszt caªej trasy chromosomu p = (m 1, m 2,..., m n ) dla niedopuszczalnej drogi: ϕ(p) = α + β + γ gdzie α to ilo± uderze«p w przeszkod, β jest ±redni liczba zderze«w odcinku niedopszczalnym, a γ to koszt najgorszej dopuszczalnej drogi w bie» cej populacji, dzi ki γ wszystkie dopuszczalne ±cie»ki maj lepsze przystosowanie od niedopuszczalnej.

39 Krzy»owanie operator krzy»owania - dwa wybrane chromosomy rozdziela si w pewnym miejscu i ª czy ze sob : pierwsz cz ± pierwszego chromosomu z drug cz ±ci drugiego chromosomu, a pierwsza cz ± drugiego chromosomu z drug cz ±ci pierwszego chromosomu, punkt ci cia wybiera si po w ¹le niedopuszczalnym jednego z chromosomów

40 Mutacje przesuwanie - polega na przesuni ciu w zªa w przestrzeni, w zeª mo»e zosta przesuni ty: lokalnie - przesuni cie wykonuje si wedªug rozkªadu normalnego, celem tej mutacji jest wygªadzenie drogi globalne - przesuwa si w zeª do losowego punktu w przestrzeni, mutacja ta jest u»yteczna w przypadkach, gdy jest potrzebna wi ksza zmiana geometrii ±cie»ki (na przykªad w czasie planowania zawczasu, gdy przeszkoda blokuje nam drog ) wstawianie - wstawia si w zeª pomi dzy dowolne dwa losowe w zªy usuwanie - usuwa si dowolny w zeª wymiana - zmienia si kolejno± losowo wybranych w zªów lub kawaªków chromosomów

41 Mutacje optymalizacja - odcina si ostre k ty

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMY GENETYCZNE ćwiczenia

ALGORYTMY GENETYCZNE ćwiczenia ćwiczenia Wykorzystaj algorytmy genetyczne do wyznaczenia minimum globalnego funkcji testowej: 1. Wylosuj dwuwymiarową tablicę 100x2 liczb 8-bitowych z zakresu [-100; +100] reprezentujących inicjalną populację

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO. Rzeczywistość (istniejąca lub projektowana).. Model fizyczny. 3. Model matematyczny (optymalizacyjny): a. Zmienne projektowania

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent

Bardziej szczegółowo

6. Klasyczny algorytm genetyczny. 1

6. Klasyczny algorytm genetyczny. 1 6. Klasyczny algorytm genetyczny. 1 Idea algorytmu genetycznego została zaczerpnięta z nauk przyrodniczych opisujących zjawiska doboru naturalnego i dziedziczenia. Mechanizmy te polegają na przetrwaniu

Bardziej szczegółowo

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz Lekcja 8 - ANIMACJA 1 Polecenia Za pomoc Baltiego mo»emy tworzy animacj, tzn. sprawia by obraz na ekranie wygl daª jakby si poruszaª. Do animowania przedmiotów i tworzenia animacji posªu» nam polecenia

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe

Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie Liczby losowe Czasami potrzebujemy by program za nas wylosowaª liczb. U»yjemy do tego polecenia liczba losowa: Liczby losowe

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a

Bardziej szczegółowo

Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego

Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad

Bardziej szczegółowo

Obliczenia ewolucyjne - plan wykładu

Obliczenia ewolucyjne - plan wykładu Obliczenia ewolucyjne - plan wykładu Wprowadzenie Algorytmy genetyczne Programowanie genetyczne Programowanie ewolucyjne Strategie ewolucyjne Inne modele obliczeń ewolucyjnych Podsumowanie Ewolucja Ewolucja

Bardziej szczegółowo

Algorytmy ewolucyjne - algorytmy genetyczne. I. Karcz-Dulęba

Algorytmy ewolucyjne - algorytmy genetyczne. I. Karcz-Dulęba Algorytmy ewolucyjne - algorytmy genetyczne I. Karcz-Dulęba Algorytmy klasyczne a algorytmy ewolucyjne Przeszukiwanie przestrzeni przez jeden punkt bazowy Przeszukiwanie przestrzeni przez zbiór punktów

Bardziej szczegółowo

Algorytm Genetyczny. zastosowanie do procesów rozmieszczenia stacji raportujących w sieciach komórkowych

Algorytm Genetyczny. zastosowanie do procesów rozmieszczenia stacji raportujących w sieciach komórkowych Algorytm Genetyczny zastosowanie do procesów rozmieszczenia stacji raportujących w sieciach komórkowych Dlaczego Algorytmy Inspirowane Naturą? Rozwój nowych technologii: złożone problemy obliczeniowe w

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

PREZENTACJA DZIAŁANIA KLASYCZNEGO ALGORYTMU GENETYCZNEGO

PREZENTACJA DZIAŁANIA KLASYCZNEGO ALGORYTMU GENETYCZNEGO Piotr Borowiec PREZENTACJA DZIAŁANIA KLASYCZNEGO ALGORYTMU GENETYCZNEGO Sporód wielu metod sztucznej inteligencji obliczeniowej algorytmy genetyczne doczekały si wielu implementacji. Mona je wykorzystywa

Bardziej szczegółowo

Algorytmy ewolucyjne. wprowadzenie

Algorytmy ewolucyjne. wprowadzenie Algorytmy ewolucyjne wprowadzenie Gracjan Wilczewski, www.mat.uni.torun.pl/~gracjan Toruń, 2005 Historia Podstawowy algorytm genetyczny został wprowadzony przez Johna Hollanda (Uniwersytet Michigan) i

Bardziej szczegółowo

Edycja geometrii w Solid Edge ST

Edycja geometrii w Solid Edge ST Edycja geometrii w Solid Edge ST Artykuł pt.: " Czym jest Technologia Synchroniczna a czym nie jest?" zwracał kilkukrotnie uwagę na fakt, że nie należy mylić pojęć modelowania bezpośredniego i edycji bezpośredniej.

Bardziej szczegółowo

Metody przeszukiwania

Metody przeszukiwania Metody przeszukiwania Co to jest przeszukiwanie Przeszukiwanie polega na odnajdywaniu rozwiązania w dyskretnej przestrzeni rozwiązao. Zwykle przeszukiwanie polega na znalezieniu określonego rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Zestaw 1 ZESTAWY A. a 1 a 2 + a 3 ± a n, gdzie skªadnik a n jest odejmowany, gdy n jest liczb parzyst oraz dodawany w przeciwnym.

Zestaw 1 ZESTAWY A. a 1 a 2 + a 3 ± a n, gdzie skªadnik a n jest odejmowany, gdy n jest liczb parzyst oraz dodawany w przeciwnym. ZESTAWY A Zestaw 1 Organizacja plików: Wszystkie pliki oddawane do sprawdzenia nale»y zapisa we wspólnym folderze o nazwie b d cej numerem indeksu, umieszczonym na pulpicie. Oddajemy tylko ¹ródªa programów

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu ➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WROCŠAWSKA WYDZIAŠ ELEKTRONIKI PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA

POLITECHNIKA WROCŠAWSKA WYDZIAŠ ELEKTRONIKI PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA POLITECHNIKA WROCŠAWSKA WYDZIAŠ ELEKTRONIKI Kierunek: Specjalno± : Automatyka i Robotyka (AIR) Robotyka (ARR) PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Podatny manipulator planarny - budowa i sterowanie Vulnerable planar

Bardziej szczegółowo

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI W ROZWI ZYWANIU ZADA OPTYMALIZACJI

METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI W ROZWI ZYWANIU ZADA OPTYMALIZACJI METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI W ROZWI ZYWANIU ZADA OPTYMALIZACJI Izabela Skorupska Studium Doktoranckie, Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski e-mail: iskorups

Bardziej szczegółowo

Algorytmy ewolucyjne (3)

Algorytmy ewolucyjne (3) Algorytmy ewolucyjne (3) http://zajecia.jakubw.pl/nai KODOWANIE PERMUTACJI W pewnych zastosowaniach kodowanie binarne jest mniej naturalne, niż inne sposoby kodowania. Na przykład, w problemie komiwojażera

Bardziej szczegółowo

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej 3.1 Informacje ogólne Program WAAK 1.0 służy do wizualizacji algorytmów arytmetyki komputerowej. Oczywiście istnieje wiele narzędzi

Bardziej szczegółowo

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych

Bardziej szczegółowo

ZADANIA. Maciej Zakarczemny

ZADANIA. Maciej Zakarczemny ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1

Bardziej szczegółowo

Algorytmy ewolucyjne. Łukasz Przybyłek Studenckie Koło Naukowe BRAINS

Algorytmy ewolucyjne. Łukasz Przybyłek Studenckie Koło Naukowe BRAINS Algorytmy ewolucyjne Łukasz Przybyłek Studenckie Koło Naukowe BRAINS 1 Wprowadzenie Algorytmy ewolucyjne ogólne algorytmy optymalizacji operujące na populacji rozwiązań, inspirowane biologicznymi zjawiskami,

Bardziej szczegółowo

Programowanie i struktury danych 1 / 44

Programowanie i struktury danych 1 / 44 Programowanie i struktury danych 1 / 44 Lista dwukierunkowa Lista dwukierunkowa to liniowa struktura danych skªadaj ca si z ci gu elementów, z których ka»dy pami ta swojego nast pnika i poprzednika. Operacje

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Typy zada«optymalizacyjnych Analiza pooptymalizacyjna SOLVER. 22 maja 2016. Karolina Konopczak. Instytut Rozwoju Gospodarczego

Ekonometria. Typy zada«optymalizacyjnych Analiza pooptymalizacyjna SOLVER. 22 maja 2016. Karolina Konopczak. Instytut Rozwoju Gospodarczego Ekonometria Typy zada«optymalizacyjnych Analiza pooptymalizacyjna SOLVER 22 maja 2016 Karolina Konopczak Instytut Rozwoju Gospodarczego Problem diety Aby ±niadanie byªo peªnowarto±ciowe powinno dostarczy

Bardziej szczegółowo

przewidywania zapotrzebowania na moc elektryczn

przewidywania zapotrzebowania na moc elektryczn do Wykorzystanie do na moc elektryczn Instytut Techniki Cieplnej Politechnika Warszawska Slide 1 of 20 do Coraz bardziej popularne staj si zagadnienia zwi zane z prac ¹ródªa energii elektrycznej (i cieplnej)

Bardziej szczegółowo

Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia prostopadłościennego za pomocą arkusza kalkulacyjngo.

Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia prostopadłościennego za pomocą arkusza kalkulacyjngo. Konspekt lekcji Przedmiot: Informatyka Typ szkoły: Gimnazjum Klasa: II Nr programu nauczania: DKW-4014-87/99 Czas trwania zajęć: 90min Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

Standardowy algorytm genetyczny

Standardowy algorytm genetyczny Standardowy algorytm genetyczny 1 Szybki przegląd 2 Opracowany w USA w latach 70. Wcześni badacze: John H. Holland. Autor monografii Adaptation in Natural and Artificial Systems, wydanej w 1975 r., (teoria

Bardziej szczegółowo

Przykªady problemów optymalizacji kombinatorycznej

Przykªady problemów optymalizacji kombinatorycznej Przykªady problemów optymalizacji kombinatorycznej Problem Komiwoja»era (PK) Dane: n liczba miast, n Z +, c ji, i, j {1,..., n}, i j odlegªo± mi dzy miastem i a miastem j, c ji = c ij, c ji R +. Zadanie:

Bardziej szczegółowo

Bazy danych. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl www.uj.edu.pl/web/zpgk/materialy 9/15

Bazy danych. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl www.uj.edu.pl/web/zpgk/materialy 9/15 Bazy danych Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl www.uj.edu.pl/web/zpgk/materialy 9/15 Przechowywanie danych Wykorzystanie systemu plików, dostępu do plików za pośrednictwem systemu operacyjnego

Bardziej szczegółowo

Lekcja 12 - POMOCNICY

Lekcja 12 - POMOCNICY Lekcja 12 - POMOCNICY 1 Pomocnicy Pomocnicy, jak sama nazwa wskazuje, pomagaj Baltiemu w programach wykonuj c cz ± czynno±ci. S oni szczególnie pomocni, gdy chcemy ci g polece«wykona kilka razy w programie.

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Bayesowska

Ekonometria Bayesowska Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na

Bardziej szczegółowo

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera V 0 V 0 Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera oka»emy,»e orbit planety poruszaj cej si pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci ze strony Sªo«ca jest krzywa sto»kowa, w szczególno±ci elipsa. Wektor pr dko±ci planety

Bardziej szczegółowo

Algorytmy genetyczne

Algorytmy genetyczne Algorytmy genetyczne Motto: Zamiast pracowicie poszukiwać najlepszego rozwiązania problemu informatycznego lepiej pozwolić, żeby komputer sam sobie to rozwiązanie wyhodował! Algorytmy genetyczne służą

Bardziej szczegółowo

Programowanie wspóªbie»ne

Programowanie wspóªbie»ne 1 Zadanie 1: Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 12 Przestrzenie krotek cz. 2 Przychodnia lekarska W przychodni lekarskiej pracuje L > 0 lekarzy, z których ka»dy ma jedn z 0 < S L specjalno±ci, przy czym

Bardziej szczegółowo

Temat: Problem najkrótszych cieek w grafach waonych, cz. I: Algorytmy typu label - setting.

Temat: Problem najkrótszych cieek w grafach waonych, cz. I: Algorytmy typu label - setting. Temat: Problem najkrótszych cieek w grafach waonych, cz. I: Algorytmy typu label - setting.. Oznaczenia i załoenia Oznaczenia G = - graf skierowany z funkcj wagi s wierzchołek ródłowy t wierzchołek

Bardziej szczegółowo

PLAN WYKŁADU OPTYMALIZACJA GLOBALNA HISTORIA NA CZYM BAZUJĄ AG

PLAN WYKŁADU OPTYMALIZACJA GLOBALNA HISTORIA NA CZYM BAZUJĄ AG PLAN WYKŁADU OPTYMALIZACJA GLOBALNA Wykład 2 dr inż. Agnieszka Bołtuć Historia Zadania Co odróżnia od klasycznych algorytmów Nazewnictwo Etapy Kodowanie, inicjalizacja, transformacja funkcji celu Selekcja

Bardziej szczegółowo

Odkrywanie algorytmów kwantowych za pomocą programowania genetycznego

Odkrywanie algorytmów kwantowych za pomocą programowania genetycznego Odkrywanie algorytmów kwantowych za pomocą programowania genetycznego Piotr Rybak Koło naukowe fizyków Migacz, Uniwersytet Wrocławski Piotr Rybak (Migacz UWr) Odkrywanie algorytmów kwantowych 1 / 17 Spis

Bardziej szczegółowo

Architektura komputerów

Architektura komputerów Architektura komputerów Tydzień 6 RSC i CSC Znaczenie terminów CSC Complete nstruction Set Computer komputer o pełnej liście rozkazów. RSC Reduced nstruction Set Computer komputer o zredukowanej liście

Bardziej szczegółowo

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007 Wykªad 10 Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) 08 05 2007 c Mariusz Krasi«ski 2007 Spis tre±ci 1 Niesko«czona studnia potencjaªu 1 2 Laser 3 2.1 Emisja spontaniczna...........................................

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Plan wicze«1 Przykªad: ubieranie choinki 2 3 Programowanie liniowe w analizie czasowej i czasowo-kosztowej projektu

Bardziej szczegółowo

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska Wst p do informatyki Systemy liczbowe Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 21 pa¹dziernika 2010 Spis tre±ci 1 Liczby i ich systemy 2 Rodzaje systemów liczbowych

Bardziej szczegółowo

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 4: Algorytmy ewolucyjne cz. 2 wpływ operatorów krzyżowania i mutacji na skuteczność poszukiwań AE

LABORATORIUM 4: Algorytmy ewolucyjne cz. 2 wpływ operatorów krzyżowania i mutacji na skuteczność poszukiwań AE Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny, Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl METODY HEURYSTYCZNE LABORATORIUM 4: Algorytmy ewolucyjne cz. 2 wpływ operatorów krzyżowania

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Programowanie genetyczne, gra SNAKE

Programowanie genetyczne, gra SNAKE STUDENCKA PRACOWNIA ALGORYTMÓW EWOLUCYJNYCH Tomasz Kupczyk, Tomasz Urbański Programowanie genetyczne, gra SNAKE II UWr Wrocław 2009 Spis treści 1. Wstęp 3 1.1. Ogólny opis.....................................

Bardziej szczegółowo

Liczby zmiennopozycyjne. Kody Hamminga.

Liczby zmiennopozycyjne. Kody Hamminga. Liczby zmiennopozycyjne. Kody Hamminga. 1 Liczby zmiennopozycyjne 1.1 Wprowadzenie Najprostszym sposobem reprezentowania liczb rzeczywistych byªaby reprezentacja staªopozycyjna: zakªadamy,»e mamy n bitów

Bardziej szczegółowo

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate

Bardziej szczegółowo

Od redakcji. Symbolem oznaczono zadania wykraczające poza zakres materiału omówionego w podręczniku Fizyka z plusem cz. 2.

Od redakcji. Symbolem oznaczono zadania wykraczające poza zakres materiału omówionego w podręczniku Fizyka z plusem cz. 2. Od redakcji Niniejszy zbiór zadań powstał z myślą o tych wszystkich, dla których rozwiązanie zadania z fizyki nie polega wyłącznie na mechanicznym przekształceniu wzorów i podstawieniu do nich danych.

Bardziej szczegółowo

Inspiracje soft computing. Soft computing. Terminy genetyczne i ich odpowiedniki w algorytmach genetycznych. Elementarny algorytm genetyczny

Inspiracje soft computing. Soft computing. Terminy genetyczne i ich odpowiedniki w algorytmach genetycznych. Elementarny algorytm genetyczny Soft computing Soft computing tym róŝni się od klasycznych obliczeń (hard computing), Ŝe jest odporny na brak precyzji i niepewność danych wejściowych. Obliczenia soft computing mają inspiracje ze świata

Bardziej szczegółowo

Strategia czy intuicja?

Strategia czy intuicja? Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),

Bardziej szczegółowo

29. TRZY W LINII CZYLI O POSZUKIWANIU ZWIĄZKÓW

29. TRZY W LINII CZYLI O POSZUKIWANIU ZWIĄZKÓW 129 Anna Pregler 29. TRZY W LINII CZYLI O POSZUKIWANIU ZWIĄZKÓW Cele ogólne w szkole podstawowej: myślenie matematyczne umiejętność korzystania z podstawowych narzędzi matematyki w życiu codziennym oraz

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŠ ELEKTRYCZNY INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI TEORETYCZNEJ I SYSTEMÓW INFORMACYJNO-POMIAROWYCH

POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŠ ELEKTRYCZNY INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI TEORETYCZNEJ I SYSTEMÓW INFORMACYJNO-POMIAROWYCH POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŠ ELEKTRYCZNY INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI TEORETYCZNEJ I SYSTEMÓW INFORMACYJNO-POMIAROWYCH PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA na kierunku INFORMATYKA Zbigniew Przemysªaw Król Nr indeksu

Bardziej szczegółowo

Informatyka. z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA

Informatyka. z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA Informatyka Zbiór przykªadowych prac kontrolnych oraz przykªadowych zada«egzaminacyjnych z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA Sprawdzian 1, M09-02 Zadanie 1 (1p) W rzucie dwiema kostkami obliczy prawdopodobie«stwo

Bardziej szczegółowo

art. 488 i n. ustawy z dnia 23 kwietnia 1964 r. Kodeks cywilny (Dz. U. Nr 16, poz. 93 ze zm.),

art. 488 i n. ustawy z dnia 23 kwietnia 1964 r. Kodeks cywilny (Dz. U. Nr 16, poz. 93 ze zm.), Istota umów wzajemnych Podstawa prawna: Księga trzecia. Zobowiązania. Dział III Wykonanie i skutki niewykonania zobowiązań z umów wzajemnych. art. 488 i n. ustawy z dnia 23 kwietnia 1964 r. Kodeks cywilny

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

Generowanie i optymalizacja harmonogramu za pomoca

Generowanie i optymalizacja harmonogramu za pomoca Generowanie i optymalizacja harmonogramu za pomoca na przykładzie generatora planu zajęć Matematyka Stosowana i Informatyka Stosowana Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Politechnika Gdańska

Bardziej szczegółowo

1 Kodowanie i dekodowanie

1 Kodowanie i dekodowanie 1 Kodowanie i dekodowanie Teoria informacji zajmuje si sposobami gromadzenia, przechowywania oraz przesyªania informacji. W tym celu, a tak»e dla ochrony danych informacje kodujemy. Rozmowa telefoniczna,

Bardziej szczegółowo

Optyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku

Optyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku skupiaj ce rozpraszaj ce Optyka geometryczna Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku rok szk. 2009/2010 skupiaj ce rozpraszaj ce Spis tre±ci 1 Wprowadzenie 2 Ciekawostki 3 skupiaj ce Konstrukcja

Bardziej szczegółowo

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty, VII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W ±wiecie Matematyki" im. Prof. Wªodzimierza Krysickiego Etap drugi - 17 lutego 2015 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu skªada si

Bardziej szczegółowo

Strategia rozwoju kariery zawodowej - Twój scenariusz (program nagrania).

Strategia rozwoju kariery zawodowej - Twój scenariusz (program nagrania). Strategia rozwoju kariery zawodowej - Twój scenariusz (program nagrania). W momencie gdy jesteś studentem lub świeżym absolwentem to znajdujesz się w dobrym momencie, aby rozpocząć planowanie swojej ścieżki

Bardziej szczegółowo

Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa

Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa STATYSTYKA 2 rok, informatyka,. Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa 1. Niech A B C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A), P (A B) = P (A C) = P (B C). Pokaza,»e 1 P (A) 1. Pokaza,»e oba ograniczenia mog

Bardziej szczegółowo

System zarządzania bazą danych (SZBD) Proces przechodzenia od świata rzeczywistego do jego informacyjnej reprezentacji w komputerze nazywać będziemy

System zarządzania bazą danych (SZBD) Proces przechodzenia od świata rzeczywistego do jego informacyjnej reprezentacji w komputerze nazywać będziemy System zarządzania bazą danych (SZBD) Proces przechodzenia od świata rzeczywistego do jego informacyjnej reprezentacji w komputerze nazywać będziemy modelowaniem, a pewien dobrze zdefiniowany sposób jego

Bardziej szczegółowo

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!./+)012+3$%-4#4$5012#-4#4-6017%*,4.!#$!#%&!!!#$%&#'()%*+,-+ '()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Aleksandra Ki±lak-Malinowska akis@uwm.edu.pl http://wmii.uwm.edu.pl/ akis/ Czym zajmuje si statystyka? Statystyka zajmuje si opisywaniem i analiz zjawisk masowych otaczaj cej czªowieka

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s

Bardziej szczegółowo

W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba,

W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba, 2 Procenty W tej lekcji przypomnimy sobie poj cie procentu i zwi zane z nim podstawowe typy zada«. Prosimy o zapoznanie si z regulaminem na ostatniej stronie. 2.1 Poj cie procentu Procent jest to jedna

Bardziej szczegółowo

Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem

Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem Zarządzanie czasem TOMASZ ŁUKASZEWSKI INSTYTUT INFORMATYKI W ZARZĄDZANIU Zarządzanie czasem w projekcie /49 Czas w zarządzaniu projektami 1. Pojęcie zarządzania

Bardziej szczegółowo

POMOC PSYCHOLOGICZNO-PEDAGOGICZNA Z OPERONEM. Vademecum doradztwa edukacyjno-zawodowego. Akademia

POMOC PSYCHOLOGICZNO-PEDAGOGICZNA Z OPERONEM. Vademecum doradztwa edukacyjno-zawodowego. Akademia POMOC PSYCHOLOGICZNO-PEDAGOGICZNA Z OPERONEM PLANOWANIE DZIAŁAŃ Określanie drogi zawodowej to szereg różnych decyzji. Dobrze zaplanowana droga pozwala dojechać do określonego miejsca w sposób, który Ci

Bardziej szczegółowo

Problemy optymalizacyjne - zastosowania

Problemy optymalizacyjne - zastosowania Problemy optymalizacyjne - zastosowania www.qed.pl/ai/nai2003 PLAN WYKŁADU Zło ono obliczeniowa - przypomnienie Problemy NP-zupełne klika jest NP-trudna inne problemy NP-trudne Inne zadania optymalizacyjne

Bardziej szczegółowo

Strategie zabezpieczaj ce

Strategie zabezpieczaj ce 04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMIKA Wprowadzenie do algorytmów

ALGORYTMIKA Wprowadzenie do algorytmów ALGORYTMIKA Wprowadzenie do algorytmów Popularne denicje algorytmu przepis opisuj cy krok po kroku rozwi zanie problemu lub osi gni cie jakiego± celu. (M. Sysªo, Algorytmy, ±ci±lejszej denicji w ksi»ce

Bardziej szczegółowo

Algorytmy ewolucyjne `

Algorytmy ewolucyjne ` Algorytmy ewolucyjne ` Wstęp Czym są algorytmy ewolucyjne? Rodzaje algorytmów ewolucyjnych Algorytmy genetyczne Strategie ewolucyjne Programowanie genetyczne Zarys historyczny Alan Turing, 1950 Nils Aall

Bardziej szczegółowo

Modyfikacje i ulepszenia standardowego algorytmu genetycznego

Modyfikacje i ulepszenia standardowego algorytmu genetycznego Modyfikacje i ulepszenia standardowego algorytmu genetycznego 1 2 Przypomnienie: pseudokod SGA t=0; initialize(p 0 ); while(!termination_condition(p t )) { evaluate(p t ); T t =selection(p t ); O t =crossover(t

Bardziej szczegółowo

XIII KONKURS MATEMATYCZNY

XIII KONKURS MATEMATYCZNY XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

Technologie Informacyjne

Technologie Informacyjne Technologie Informacyjne Wykªad 5 Paweª Witkowski MIM UW Wiosna 2012 P. Witkowski (MIM UW) Technologie Informacyjne Wiosna 2012 1 / 1 WYSZUKAJ.PIONOWO WYSZUKAJ.PIONOWO(kryterium wyszukiwania; macierz;

Bardziej szczegółowo

Algorytmy memetyczne (hybrydowe algorytmy ewolucyjne)

Algorytmy memetyczne (hybrydowe algorytmy ewolucyjne) Algorytmy memetyczne (hybrydowe algorytmy ewolucyjne) 1 2 Wstęp Termin zaproponowany przez Pablo Moscato (1989). Kombinacja algorytmu ewolucyjnego z algorytmem poszukiwań lokalnych, tak że algorytm poszukiwań

Bardziej szczegółowo

Edyta Juszczyk. Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie. Lekcja 1Wst p

Edyta Juszczyk. Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie. Lekcja 1Wst p Lekcja 1 Wst p Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie Baltie Baltie Baltie jest narz dziem, które sªu»y do nauki programowania dla dzieci od najmªodszych lat. Zostaª stworzony przez Bohumira Soukupa

Bardziej szczegółowo