Logiczna reprezentacja wiedzy i metoda logiczno-algebraiczna

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Logiczna reprezentacja wiedzy i metoda logiczno-algebraiczna"

Transkrypt

1 Logiczna reprezentacja wiedzy i metoda logiczno-algebraiczna dr inż. Grzegorz ilcek & dr inż. Maciej Hojda Zakład Inteligentnych Systemów Wspomagania Decyzji, Instytut Informatyki, Politechnika Wrocławska copyright Grzegorz ilcek & Maciej Hojda

2 Wybrane opisy obiektów wejściowo-wyjściowych u y=f (u) Obiekt opisany funkcyjną zależnością wyjścia od wejścia y u D u R(u,y) D y y Obiekt opisany relacyjną reprezentacją wiedzy u u (α u ) (α u,α w,α y ) y (α y ) y Obiekt opisany logiczną reprezentacją wiedzy

3 Podstawowe pojęcia ormuła logiczna opisująca obiekt składa się z formuł elementarnych α i operacji logicznych: alternatywy ( ᴠ ), koniunkcji ( ᴧ ), negacji ( ), Implikacji ( ). Np. (α 1, α 2, α 3, α 4 )= α 1 ᴠ α 2 ᴧ α 3 α 4.

4 Podstawowe pojęcia α(x) formuła elementarna ( własność zmiennych wejściowych, wyjściowych, bądź pomocniczych ogólnie oznaczonych przez x) pewne z założenia niepodzielne klocki (z założenia, tzn. zakładamy, że są niepodzielne, ale w rzeczywistości mogą składać się ze skomplikowanych formuł logicznych). Np. α(x)= Prędkość x>100 km/h lub α(x)= Dla każdego x spełniona jest relacja R(x,a)=x>a. α u,i (u)єa u i-ta (i=1,2,,n1) formuła elementarna wejściowa dotycząca tylko zmiennych u należąca do zbioru formuł wejściowych A u α y,i (y) ЄA y i-ta (i=1,2,,n2) formuła elementarna wyjściowa dotycząca tylko zmiennych y należąca do zbioru formuł wyjściowych A y α w,i (u,w,y) ЄA w i-ta (i=1,2,,n3) formuła elementarna pomocnicza (wewnętrzna systemu) dotycząca zmiennych u lub y lub w (nie tylko u i nie tylko y) należąca do zbioru formuł pomocniczych (wewnętrznych) A w (W ogólności α w,i może zależeć nie tylko od trójki (u,w, y), ale również od par (u,w), a także (w,y)).

5 Podstawowe pojęcia n=n1+n2+n3 liczba wszystkich formuł elementarnych (α u, α w, α y ) =α ciąg wszystkich formuł elementarnych a j =w(α j )Є{0,1} wartość logiczna j-ej formuły elementarnej (a u, a w, a y )=a zerojedynkowy ciąg wartości logicznych odpowiednich formuł elementarnych α u, α w, α y (takich ciągów jest 2 n dla każdego ciągu formuł elementarnych α) Np. dla ciągu formuł elementarnych α=(α u1, α u2, α w, α y ) przykładowe 4 (z 16) ciągi wartości (a i =(a u1, a u2, a w, a y ), i-numer ciągu wartości), są następujące: a 1 =(1,1,1,1), a 2 =(0,1,1,0), a 3 =(0,0,0,1), a 4 =(0,1,0,1).

6 Logiczna reprezentacja wiedzy jest zbiorem faktów (α)= 1 (α)ᴧ 2 (α)ᴧ ᴧ k (α) zbiór k faktów (definiuje relację R(u,y)) i (α) i-ty fakt, (i=1,2,,k) zapisany jako formuła logiczna składająca się z formuł elementarnych α i (a), (a) wyrażenia algebraiczne w algebrze logiki dwuwartościowej W bazie wiedzy zakłada się, że wszystkie występujące w niej formuły są faktami, czyli są prawdziwe, czyli dla każdego ciągu a, (a)=1. W literaturze fakty w formie implikacji często zwane są regułami, stąd możliwe są inne określenia jak : baza faktów, baza reguł, baza reguł i faktów.

7 akty a relacje Każdy fakt i (α) określa relację między zmiennymi wejściowymi, wyjściowymi i pomocniczymi (wewnętrznymi): R i (u,w,y)={(u,w,y) Є UΧWΧY: i [a u (u),a w (u,w,y),a y (y))]=1}, i=1,2,,k Zbiór tych relacji tworzy bazę wiedzy (k liczba reguł i faktów w bazie wiedzy). Zmienne w można wyeliminować i sprowadzić bazę wiedzy do jednej relacji: R(u,y)={(u,y) Є UΧY: V w ЄW [(u,w,y) Є R 1 (u,w,y) R k (u,w,y)]}, czyli R(u,y)={(u,y) Є UΧY: V w ЄW [(a)=1]}.

8 akty a relacje c.d. Oznacza to, że w obiekcie mogą wystąpić tylko takie wartości (u,y), dla których istnieje taka wartość w, że wszystkie fakty są prawdziwe. u (α u ) logiczna formuła wejściowa, w której występują tylko podciągi α złożone z α u,i (i=1,2,,n1) (definiuje zbiór D u ={uєu: u [a u (u)]=1}) y (α y ) logiczna formuła wyjściowa, w której występują tylko podciągi α złożone z α y,i (i=1,2,,n2) (definiuje zbiór D y ={yєy: y [a y (y)]=1})

9 Proste zadanie analizy Proste zadanie analizy, inaczej problem dowodzenia twierdzeń. Należy dla przyjętej bazy faktów i reguł podać postać formuły wejściowej u oraz y, przy czym zakłada się, że formuła u jest prawdziwa, a więc formuła ~ = u ᴧ uznana jest za prawdziwą. Należy odpowiedzieć na pytanie: Jaka jest wartość ~ logiczna podanej formuły y? (Inaczej, czy y jest logiczną konsekwencją?). Możliwe odpowiedzi to: TAK, NIE, NIE WIEM. (Ta ostatnia oznacza, że wartość logiczna y nie jest zdeterminowana zbiorem faktów i reguł i własnością u.) W rzeczywistości wyznaczenie algorytmu wnioskowania (z użyciem odpowiednich reguł wnioskowania) dla skomplikowanych struktur logicznych może być bardzo trudne, o ile w ogóle możliwe.

10 Zadanie analizy Zadanie analizy polega na wyznaczeniu najlepszej* postaci formuły wyjściowej y dla zadanej formuły wejściowej u, a więc odpowiedniego zdania logicznego zawierającego elementarne formuły wyjściowe połączone odpowiednimi spójnikami logicznymi, które spełnia implikację u ᴧ y. (#) *Najlepsza oznacza taką formułę, która implikuje wszystkie inne. Np. jeśli M formuł 1 y, 2 y, 3 y,, M y spełnia (#) oraz zachodzi ( 1 y 2 y) ᴧ ( 1 y 3 y) ᴧ ᴧ ( 1 y M y), to najlepszą formułą jest 1 y Zadanie można więc sformułować następująco: Dane: u, Wyznacz: najlepszą* y spełniającą (#).

11 Zadanie podejmowania decyzji (sterowania) Zadanie podejmowania decyzji (sterowania) polega na wyznaczeniu najlepszej** postaci formuły wejściowej u dla zadanej formuły wyjściowej y, a więc odpowiedniego zdania logicznego zawierającego elementarne formuły wejściowe połączone odpowiednimi spójnikami logicznymi, które spełnia implikację u ᴧ y. (#) **Najlepsza oznacza taką formułę, która jest implikowana przez wszystkie inne. Np. jeśli M formuł 1 u, 2 u, 3 u,, M u spełnia (#) oraz zachodzi ( 2 u 1 u) ᴧ ( 3 u 1 u) ᴧ ᴧ ( M u 1 u), to najlepszą formułą jest 1 u Zadanie można więc sformułować następująco: Dane: y, Wyznacz: najlepszą** u spełniającą (#).

12 Metoda logiczno-algebraiczna Metoda logiczno-algebraiczna, zwana też metodą Bubnickiego. Polega na rozwiązaniu zadania analizy bądź podejmowania decyzji poprzez przejście z reprezentacji zdania w formie zmiennych logicznych na ich reprezentację w algebrze dwuwartościowej, rozwiązaniu postawionego równoważnego zadania zastępczego, a następnie powrotu do reprezentacji w formie zmiennych logicznych.

13 Dodatkowe oznaczenia A zbiór wszystkich ciągów a=(a u,a w,a y ) S a ={a Є A: (a)=1} zbiór równoważny formule (α). S u ={a u Є A: u (a u )=1} zbiór równoważny formule u (α u ). S y ={a y Є A: y (a y )=1} zbiór równoważny formule y (α y )

14 Rozwiązanie zadania analizy Równoważny problem analizy polega na wyznaczeniu najmniejszego zbioru S y, dla którego spełniona jest implikacja a u ЄS u a y ЄS y Aby rozwiązać zadanie analizy należy znaleźć wszystkie ciągi wartości formuł elementarnych a y (czyli zbiór S y ), dla których spełnione jest (a u,a w,a y )=1 ᴧ u (a u )=1

15 Rozwiązanie zadania podejmowania decyzji (sterowania) Równoważny problem analizy polega na wyznaczeniu największego zbioru S u, dla którego spełniona jest implikacja a u ЄS u a y ЄS y Aby rozwiązać zadanie podejmowania decyzji należy znaleźć wszystkie ciągi wartości formuł elementarnych a u (czyli zbiór S u ), dla których spełnione jest (a u,a w,a y )=1 ᴧ y (a y )=1 ale niespełnione jest (a u,a w,a y )=1 ᴧ y (a y )=0

16 Rozwiązanie zadania podejmowania decyzji (sterowania) c.d. W praktyce należy wyznaczyć dwa zbiory S u1 i S u2. Dla S u1 spełnione jest (a u,a w,a y )=1 ᴧ y (a y )=1, Dla S u2, spełnione jest (a u,a w,a y )=1 ᴧ y (a y )=0. Ostatecznie S u = S u1 S u2

17 Powrót do reprezentacji w formie zmiennych logicznych Aby przejść z reprezentacji algebraicznej do logicznej, wystarczy utworzyć formułę stworzoną z alternatyw koniunkcji zmiennych logicznych (formuł elementarnych), których wartości występują w odpowiednim zbiorze S u lub S y, przy czym jeśli w danym ciągu wartości przy odpowiadającej zmiennej logicznej jest wartość 0, to w formule ta zmienna wystąpi z negacją. Jest to tzw. postać dysjunkcyjna. Przykład: Dla rozwiązania zadania analizy S y ={(0,1);(1,0);(1,1)}, formuła wyjściowa wygląda następująco: y = ( α y1 ᴧ α y2 ) ᴠ (α y1 ᴧ α y2 ) ᴠ (α y1 ᴧ α y2 ). Otrzymaną formułę często można uprościć stosując prawa i twierdzenia rachunku zdań logicznych, np. powyższą formułę można zapisać prościej jako y = α y1 ᴠ α y2.

18 Dodatkowe informacje W sformułowanych rozwiązaniach zastępczych, zadań analizy i podejmowania decyzji wykorzystujących algebrę dwuwartościową, można zauważyć, że do znalezienia rozwiązania należy przeglądnąć wszystkie możliwe ciągi wartościowań formuł elementarnych. Dla dużych i skomplikowanych problemów zadanie może być bardzo trudne, głównie ze względu na jego czasochłonność. Aby dla wielu przypadków uprościć procedurę rozwiązania zaproponowano metody dekompozycji. Metoda logicznoalgebraiczna jak i metody dekompozycji zarówno dla zadania analizy jak i podejmowania decyzji zostały opisane m.in. w następujących publikacjach:

19 Literatura Bubnicki, Z. (1990), Wstęp do systemów ekspertowych, PWN, W-wa. Bubnicki, Z. (1992), Decomposition of a system described by logical model. R. Trappl (red.) Cybernetics and System Research, t. 1, Singapore: World Scientific, Bubnicki, Z. (1997), Logic-algebraic method for a class of knowledge-based systems.. Pichler, R. Moreno-Diaz (red.) Computer Aided System Theory, Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag, 1333, Berlin, Bubnicki, Z. (1997), Logic-algebraic method for a class of dynamical knowledge-based systems. A. Sydow (red.) Proc. of the 15th IMACS World Congress on Scientific Computation, Modelling and Applied Mathematics, t. 4, , Berlin Bubnicki, Z. (1998), Logic-algebraic method for knowledge-based relation systems. Sys. Anal. Model. Simul., 33, Bubnicki, Z. (1999), Learning processes and logic-algebraic method in knowledge-based control systems. S.G. Tzafestas, G. Schmidt (red.) Progress in System and Robot Analysis and Control Design. Lecture Notes in Control and Information Sciences, 243. Springer-Verlag, London, Bubnicki, Z. (2002), Teoria i algorytmy sterowania, PWN, W-wa

20 Przykłady Na kolejnych slajdach znajdują się przykłady ilustrujące przedstawioną teorię

21 System grzewczy - schemat u 2 u 4 u 1 y 1 u 3 Grzejnik wody Podsystem sterujący () y 2 u 5 y 3 copyright Maciej Hojda

22 Wejścia i wyjścia u [0, ) Doprowadzone napięcie zasilające do grzałki [V ] 1 u {0,1} 2 Włącznik grzejnika [wył., wł.] u (, ) Wprowadzona docelowa temperatura wody [ C 3 u (, ) Zmierzona aktualna temperatura wody [ C 4 u [0, ) Poziom wody w zbiorniku [ cm] 5 ] ] y { brak, zielony, czerwony } Sygnał kontrolki [nieaktywny, ogrzewanie włączone, ogrzewanie 1 niemożliwe] y {0,1} 2 Podanie napięcia na grzałkę [nie, tak] y (, ) Różnica między temperaturami: docelową, a aktualną[ C ] 3 copyright Maciej Hojda

23 ormuły elementarne i fakty u1 {0,1} " 24 u " u2 {0,1} " u 2 1" u3 {0,1} " u3 u4 " u4 {0,1} " u 10 " 5 y1 {0,1} " y ~ brak 1 " y2 {0,1} " y zielony y3 {0,1} " y 1" 1 " 2 y4 {0,1} " y 0 " 3 w1 {0,1} Czy system jest gotowy do ogrzewania wody [nie, tak] w2 {0,1} Czy woda powinna być ogrzana [nie, tak] 1 u1 u2 w1 2 u3 u4 w2 3 w1 w2 y2 y3 4 u3 y4 4 u3 y4 copyright Maciej Hojda

24 Przykładowe przekształcenia między wejściami, wyjściami, a formułami D u u 1 [210,240], 1 3 1, 1, 1, 0 u u1 u2 elementarnymi u 2, u 30, u 20, u 5 u3 u4 u ( u ) u1 u2 u3 u4 u ( u ) u1 u2 u3 u4 1, 0, 0, 1 u u1 u2 4 u3 u4 2 3 u u 5 D u u 1 [40,460], u 0, u 4, 10 5 D y y y1 brak, y2 tak, y 3 0 0, 0, 1, 1 y1 y2 y3 y4 1, 1, 0, 1 y D y y1 y2 y3 y1 zielony, y2 nie, y 3 0 y4 Przez formuły wejściowe u i wyjściowe y rozumiemy koniunkcje odpowiednich formuł elementarnych. copyright Maciej Hojda

25 Przykładowa reprezentacja wiedzy 1 u1 u2 w1 Zadanie analizy ~ 2 w1 u2 y1 ) 3 w1 y1 (~ y 2 u y ~ u1 u2? Zadanie syntezy y u ~ ( ~ ) y1 y2? copyright Maciej Hojda

26 Zadanie analizy - rozwiązanie a a u1 u2 a w1 a y1 a y u u S y {(1,0), (0,1), (1,1)} y ( y1 ~ y2) (~ y1 y2) ( y1 y2) y1 y2 copyright Maciej Hojda

27 a u1 Zadanie syntezy - rozwiązanie a u2 a w1 a y1 a y y y ~ y S u1 {(0,0),(0,1),(0,1),(1,1)} S u2 {(0,0),(1,0),(0,1)} S u {(1,1)} copyright Maciej Hojda u u1 u2

28 Uproszczony system grzewczy u 1 u 2 Grzejnik wody Podsystem sterujący () y 1 u 3 u {0,1} Włącznik grzejnika [wył., wł.] 1 u (, ) Wprowadzona docelowa temperatura wody [ C 2 u (, ) Zmierzona aktualna temperatura wody [ C 3 ] ] y {0,1} Podanie napięcia na grzałkę [nie, tak] 1 copyright Maciej Hojda

29 Uproszczony system grzewczy {0,1} " u 1 " u2 2 {0,1} " u u " u3 3 4 {0,1} " y zielony y2 1 " {0,1} " y 1 " y3 2 {0,1} Czy system jest gotowy do ogrzewania wody [nie, tak] w1 {0,1} Czy woda powinna być ogrzana [nie, tak] y2 copyright Maciej Hojda

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner.

Adam Meissner. Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Jak wnioskują maszyny?

Jak wnioskują maszyny? Jak wnioskują maszyny? Andrzej Szałas informatyka + 1 Plan wykładu Plan wykładu Modelowanie wnioskowania Wyszukiwanie, a wnioskowanie Klasyczny rachunek zdań Diagramy Venna Wprowadzenie do automatycznego

Bardziej szczegółowo

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa. Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna

Bardziej szczegółowo

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów

1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów 1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów Logika matematyczna, dział matematyki zajmujący się badaniem własności wnioskowania (dowodzenia)

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Po co AB? Świetne narzędzie do analitycznego opisu układów logicznych. 1854r. George Boole opisuje swój system dedukcyjny. Ukoronowanie zapoczątkowanych w

Bardziej szczegółowo

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa

Definicja: alfabetem. słowem długością słowa Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na

Bardziej szczegółowo

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH 5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS

Bardziej szczegółowo

Automatyzacja Ćwicz. 2 Teoria mnogości i algebra logiki Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu

Automatyzacja Ćwicz. 2 Teoria mnogości i algebra logiki Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu Automatyzacja Ćwicz. 2 Teoria mnogości i algebra logiki Historia teorii mnogości Teoria mnogości to inaczej nauka o zbiorach i ich własnościach; Zapoczątkowana przez greckich matematyków i filozofów w

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura

Bardziej szczegółowo

Automatyka Lab 1 Teoria mnogości i algebra logiki. Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu

Automatyka Lab 1 Teoria mnogości i algebra logiki. Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu Automatyka Lab 1 Teoria mnogości i algebra logiki Harmonogram zajęć Układy przełączające: 1. Algebra logiki - Wprowadzenie 2. Funkcje logiczne - minimalizacja funkcji 3. Bramki logiczne - rysowanie układów

Bardziej szczegółowo

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego. Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były

Bardziej szczegółowo

Rola stacji gazowych w ograniczaniu strat gazu w sieciach dystrybucyjnych

Rola stacji gazowych w ograniczaniu strat gazu w sieciach dystrybucyjnych Rola stacji gazowych w ograniczaniu strat gazu w sieciach dystrybucyjnych Politechnika Warszawska Zakład Systemów Ciepłowniczych i Gazowniczych Prof. dr hab. inż. Andrzej J. Osiadacz Dr hab. inż. Maciej

Bardziej szczegółowo

Systemy ekspertowe i ich zastosowania. Katarzyna Karp Marek Grabowski

Systemy ekspertowe i ich zastosowania. Katarzyna Karp Marek Grabowski Systemy ekspertowe i ich zastosowania Katarzyna Karp Marek Grabowski Plan prezentacji Wstęp Własności systemów ekspertowych Rodzaje baz wiedzy Metody reprezentacji wiedzy Metody wnioskowania Języki do

Bardziej szczegółowo

Lista 1 (elementy logiki)

Lista 1 (elementy logiki) Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły

Bardziej szczegółowo

Drobinka semantyki KRP

Drobinka semantyki KRP Drobinka semantyki KRP Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Drobinka semantyki KRP Uniwersytet Opolski 1 / 48 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 13 - Układy bramkowe. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 13 - Układy bramkowe. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 13 - Układy bramkowe Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Układy z elementów logicznych Bramki logiczne Elementami logicznymi (bramkami logicznymi) są urządzenia o dwustanowym sygnale wyjściowym

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Formalizm teorii prawdopodonieństwa 6 października 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Dostępność treści wykładów 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin dwuczęściowy:

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać

Bardziej szczegółowo

Technika cyfrowa Synteza układów kombinacyjnych

Technika cyfrowa Synteza układów kombinacyjnych Sławomir Kulesza Technika cyfrowa Synteza układów kombinacyjnych Wykład dla studentów III roku Informatyki Wersja 2.0, 05/10/2011 Podział układów logicznych Opis funkcjonalny układów logicznych x 1 y 1

Bardziej szczegółowo

DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:

DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem: DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące

Bardziej szczegółowo

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan na pytanie o odniesienie przedmiotowe zdań odpowiedź

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Kody liczb całkowitych nieujemnych Kody liczbowe dzielimy na analityczne nieanalityczne (symboliczne)

Bardziej szczegółowo

Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych

Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Zapoznaj z poniŝszym tekstem reprezentującym wiedzę logiczną o wartościach logicznych będących interpretacjami formuł złoŝonych

Bardziej szczegółowo

Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu

Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Plan wykładu 1 Na (dobry) początek Zrozumieć słowa Oswoić znaki 2 Gramatyka

Bardziej szczegółowo

Architektura komputerów Wykład 2

Architektura komputerów Wykład 2 Architektura komputerów Wykład 2 Jan Kazimirski 1 Elementy techniki cyfrowej 2 Plan wykładu Algebra Boole'a Podstawowe układy cyfrowe bramki Układy kombinacyjne Układy sekwencyjne 3 Algebra Boole'a Stosowana

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza 1 Wprowadzenie W logice trójwartościowej, obok tradycyjnych wartości logicznych,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej i Mikroelektroniki

Wstęp do Techniki Cyfrowej i Mikroelektroniki Wstęp do Techniki Cyfrowej i Mikroelektroniki dr inż. Maciej Piotrowicz Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych PŁ piotrowi@dmcs.p.lodz.pl http://fiona.dmcs.pl/~piotrowi -> Wstęp do... Układy

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Klasyczny Rachunek Zdań część 3

Wprowadzenie do logiki Klasyczny Rachunek Zdań część 3 Wprowadzenie do logiki Klasyczny Rachunek Zdań część 3 Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan gry: 1 Czym są zdania? 2 Język Klasycznego Rachunku Zdań syntaktyka 3 Język

Bardziej szczegółowo

Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do

Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do testu z filozofii jest zaliczenie testu z logiki i zaliczenie

Bardziej szczegółowo

http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/wstep.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego, wypracowanie podstawowych umiejętności przeprowadzania

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007

Logika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007 Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne, 2007 I Rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Podajemy rozwiązania zadań egzaminacyjnych.

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Elementy cyfrowe i układy logiczne

Elementy cyfrowe i układy logiczne Elementy cyfrowe i układy logiczne Wykład Legenda Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny Optymalizacja układów wielopoziomowych Układy wielopoziomowe układy

Bardziej szczegółowo

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka liczb binarnych

Arytmetyka liczb binarnych Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku

Bardziej szczegółowo

technologii informacyjnych kształtowanie , procesów informacyjnych kreowanie metod dostosowania odpowiednich do tego celu środków technicznych.

technologii informacyjnych kształtowanie , procesów informacyjnych kreowanie metod dostosowania odpowiednich do tego celu środków technicznych. Informatyka Coraz częściej informatykę utoŝsamia się z pojęciem technologii informacyjnych. Za naukową podstawę informatyki uwaŝa się teorię informacji i jej związki z naukami technicznymi, np. elektroniką,

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania

Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania Testerzy oprogramowania lub osoby odpowiedzialne za zapewnienie jakości oprogramowania oprócz wykonywania testów mogą zostać

Bardziej szczegółowo

Adaptacja sterownika PLC do obiektu sterowania. Synteza algorytmu procesu i sterowania metodą GRAFCET i SFC

Adaptacja sterownika PLC do obiektu sterowania. Synteza algorytmu procesu i sterowania metodą GRAFCET i SFC Adaptacja sterownika PLC do obiektu sterowania. Synteza algorytmu procesu i sterowania metodą GRAFCET i SFC Proces technologiczny (etap procesu produkcyjnego/przemysłowego) podstawa współczesnych systemów

Bardziej szczegółowo

Inteligencja obliczeniowa

Inteligencja obliczeniowa Ćwiczenie nr 1 Zbiory rozmyte logika rozmyta Tworzenie: termów zmiennej lingwistycznej o różnych kształtach, modyfikatorów, zmiennych o wielu termach; operacje przecięcia, połączenia i dopełnienia 1. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry bardzo dobry Zdanie logiczne ( proste i złożone i forma zdaniowa oraz prawa logiczne dotyczące alternatywy,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki

Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki 0 1 Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki 2. W następujących dwóch prawach wyróżnić wyrażenia specyficznie matematyczne i wyrażenia z zakresu logiki (do

Bardziej szczegółowo

Lista tematów na kolokwium z wykładu z Techniki Cyfrowej w roku ak. 2013/2014

Lista tematów na kolokwium z wykładu z Techniki Cyfrowej w roku ak. 2013/2014 Lista tematów na kolokwium z wykładu z Techniki Cyfrowej w roku ak. 2013/2014 Temat 1. Algebra Boole a i bramki 1). Podać przykład dowolnego prawa lub tożsamości, które jest spełnione w algebrze Boole

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 6. Reguły decyzyjne

WYKŁAD 6. Reguły decyzyjne Wrocław University of Technology WYKŁAD 6 Reguły decyzyjne autor: Maciej Zięba Politechnika Wrocławska Reprezentacje wiedzy Wiedza w postaci reguł decyzyjnych Wiedza reprezentowania jest w postaci reguł

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

Automatyka Treść wykładów: Literatura. Wstęp. Sygnał analogowy a cyfrowy. Bieżące wiadomości:

Automatyka Treść wykładów: Literatura. Wstęp. Sygnał analogowy a cyfrowy. Bieżące wiadomości: Treść wykładów: Automatyka dr inż. Szymon Surma szymon.surma@polsl.pl pok. 202, tel. +48 32 603 4136 1. Podstawy automatyki 1. Wstęp, 2. Różnice między sygnałem analogowym a cyfrowym, 3. Podstawowe elementy

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Funkcje bazy danych. Funkcje bazodanowe są specyficzną kategorią

Funkcje bazy danych. Funkcje bazodanowe są specyficzną kategorią e829ac02-3954-48d6-9877-7bc45bd1ba7e Funkcje bazy danych Mariusz Jankowski analityk, programista rozwiązań wsparcia biznesowego; Pytania: czytelnicy.controlling@infor.pl W niniejszym opracowaniu omawiamy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Układy kombinacyjne

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Układy kombinacyjne Wstęp do Techniki Cyfrowej... Układy kombinacyjne Przypomnienie Stan wejść układu kombinacyjnego jednoznacznie określa stan wyjść. Poszczególne wyjścia określane są przez funkcje boolowskie zmiennych wejściowych.

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

INŻYNIERIA WIEDZY I SYSTEMY EKSPERTOWE

INŻYNIERIA WIEDZY I SYSTEMY EKSPERTOWE Temat: Podstawowe pojęcia z logiki rozmytej Instrukcja do ćwiczeń przedmiotu INŻYNIERIA WIEDZY I SYSTEMY EKSPERTOWE Dr inż. Barbara Mrzygłód KISiM, WIMiIP, AGH mrzyglod@ agh.edu.pl 1 Wprowadzenie Sterowanie

Bardziej szczegółowo

Programowanie deklaratywne

Programowanie deklaratywne Programowanie deklaratywne Artur Michalski Informatyka II rok Plan wykładu Wprowadzenie do języka Prolog Budowa składniowa i interpretacja programów prologowych Listy, operatory i operacje arytmetyczne

Bardziej szczegółowo

LISTA KURSÓW PLANOWANYCH DO URUCHOMIENIA W SEMESTRZE ZIMOWYM 2015/2016

LISTA KURSÓW PLANOWANYCH DO URUCHOMIENIA W SEMESTRZE ZIMOWYM 2015/2016 LISTA KURSÓW PLANOWANYCH DO URUCHOMIENIA W SEMESTRZE ZIMOWYM 2015/2016 INFORMATYKA I STOPNIA studia stacjonarne 1 sem. PO-W08-INF- - -ST-Ii-WRO-(2015/2016) MAP003055W Algebra z geometrią analityczną A

Bardziej szczegółowo

INSTYTUT CYBERNETYKI TECHNICZNEJ POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ ZAKŁAD SZTUCZNEJ INTELIGENCJI I AUTOMATÓW

INSTYTUT CYBERNETYKI TECHNICZNEJ POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ ZAKŁAD SZTUCZNEJ INTELIGENCJI I AUTOMATÓW INSTYTUT YERNETYKI TEHNIZNEJ POLITEHNIKI WROŁWSKIEJ ZKŁD SZTUZNEJ INTELIGENJI I UTOMTÓW Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów yfrowych ćwiczenie 22 temat: UKŁDY KOMINYJNE. EL ĆWIZENI Ćwiczenie ma na

Bardziej szczegółowo

Dedukcyjne bazy danych i rekursja

Dedukcyjne bazy danych i rekursja Dedukcyjne bazy danych i rekursja Wykład z baz danych dla studentów matematyki 23 maja 2015 Bazy danych z perspektywy logiki Spojrzenie na bazy danych oczami logika pozwala jednolicie opisać szereg pojęć.

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria efinicja 1. Mówimy, że odcinki i są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli ramiona

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa

Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Wykład logika 12 godzin Dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP dyżur: poniedziałek 9.30-11.00 p. 10,

Bardziej szczegółowo

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut Predykat Weźmy pod uwagę następujące wypowiedzi: (1) Afryka jest kontynentem. (2) 7 jest liczbą naturalną. (3) Europa jest mniejsza niż Afryka. (4) 153 jest podzielne przez 3. Są to zdania jednostkowe,

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja wiedzy i wnioskowanie

Reprezentacja wiedzy i wnioskowanie i wnioskowanie Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej Wydział Elektroniki Wiedza AI to nauka o komputerowych modelach wiedzy umożliwiających rozumienie, wnioskowanie i działanie. Inteligentne

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE SYSTEMÓW INFORMACYJNYCH

MODELOWANIE SYSTEMÓW INFORMACYJNYCH MODELOWANIE SYSTEMÓW INFORMACYJNYCH Wykładowca: dr inż. Grażyna Hołodnik-Janczura Instytut Organizacji i Zarządzania Politechnika Wrocławska GHJ 1 LITERATURA 1. Barker R., Longman C., CASE*Method: Modelowanie

Bardziej szczegółowo

Systemy wbudowane. Wprowadzenie. Nazwa. Oznaczenia. Zygmunt Kubiak. Sterowniki PLC - Wprowadzenie do programowania (1)

Systemy wbudowane. Wprowadzenie. Nazwa. Oznaczenia. Zygmunt Kubiak. Sterowniki PLC - Wprowadzenie do programowania (1) ybrane funkcje logiczne prowadzenie L L2 Y Nazwa Oznaczenia Y Sterowniki PLC - prowadzenie do programowania () Proste przykłady Załączenie jednego z dwóch (lub obu) przełączników lub powoduje zapalenie

Bardziej szczegółowo

Technologia inteligentnych agentów. Autor: dr Jacek Jakieła

Technologia inteligentnych agentów. Autor: dr Jacek Jakieła Autor: dr Jacek Jakieła WYKŁAD... 3 Reprezentacja wiedzy agenta... 3 Konceptualizacja... 3 Formalizacja wiedzy agenta... 4 Alfabet języka... 4 Poprawnie sformułowane formuły języka rachunku predykatów...

Bardziej szczegółowo

Cyfrowe bramki logiczne 2012

Cyfrowe bramki logiczne 2012 LORTORIUM ELEKTRONIKI yfrowe bramki logiczne 2012 ndrzej Malinowski 1. yfrowe bramki logiczne 3 1.1 el ćwiczenia 3 1.2 Elementy algebry oole`a 3 1.3 Sposoby zapisu funkcji logicznych 4 1.4 Minimalizacja

Bardziej szczegółowo

ZARYS STRUKTURY ZINTEGROWANEGO SYSTEMU ENERGETYKI PROSUMENCKIEJ

ZARYS STRUKTURY ZINTEGROWANEGO SYSTEMU ENERGETYKI PROSUMENCKIEJ Mirosław Zaborowski ZARYS STRUKTURY ZINTEGROWANEGO SYSTEMU ZARZĄDZANIA I STEROWANIA PROCESAMI ENERGETYKI PROSUMENCKIEJ zaborowski.miroslaw@gmail.com 204 02 25 Plan prezentacji. Struktura oprogramowania

Bardziej szczegółowo

Dr hab. inż. Jan Duda. Wykład dla studentów kierunku Zarządzanie i Inżynieria Produkcji

Dr hab. inż. Jan Duda. Wykład dla studentów kierunku Zarządzanie i Inżynieria Produkcji Automatyzacja i Robotyzacja Procesów Produkcyjnych Dr hab. inż. Jan Duda Wykład dla studentów kierunku Zarządzanie i Inżynieria Produkcji Podstawowe pojęcia Automatyka Nauka o metodach i układach sterowania

Bardziej szczegółowo

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie

Bardziej szczegółowo

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe:

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe: LOGIKA MATEMATYCZNA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt.) Która koniunkcja jest prawdziwa: a) Liczba 6 jest niewymierna i 6 jest liczbą dodatnią. b) Liczba 0 jest wymierna i 0 jest najmniejszą liczbą całkowitą.

Bardziej szczegółowo

Bazy dedukcyjne. 1. Filozofia nowego sposobu projektowania baz danych. 2. Wady klasycznych systemów bazodanowych

Bazy dedukcyjne. 1. Filozofia nowego sposobu projektowania baz danych. 2. Wady klasycznych systemów bazodanowych Bazy dedukcyjne 1. Filozofia nowego sposobu projektowania baz danych Bazy dedukcyjne to nowe podejście do projektowania baz danych, oparte na logice matematycznej. W porównaniu do poprzednich modeli baz

Bardziej szczegółowo

Sterowniki Programowalne (SP)

Sterowniki Programowalne (SP) Sterowniki Programowalne (SP) Wybrane aspekty procesu tworzenia oprogramowania dla sterownika PLC Podstawy języka funkcjonalnych schematów blokowych (FBD) Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

Układy logiczne. Wstęp doinformatyki. Funkcje boolowskie (1854) Funkcje boolowskie. Operacje logiczne. Funkcja boolowska (przykład)

Układy logiczne. Wstęp doinformatyki. Funkcje boolowskie (1854) Funkcje boolowskie. Operacje logiczne. Funkcja boolowska (przykład) Wstęp doinformatyki Układy logiczne komputerów kombinacyjne sekwencyjne Układy logiczne Układy kombinacyjne Dr inż. Ignacy Pardyka Akademia Świętokrzyska Kielce, 2001 synchroniczne asynchroniczne Wstęp

Bardziej szczegółowo

Jeśli X jest przestrzenią o nieskończonej liczbie elementów:

Jeśli X jest przestrzenią o nieskończonej liczbie elementów: Logika rozmyta 2 Zbiór rozmyty może być formalnie zapisany na dwa sposoby w zależności od tego z jakim typem przestrzeni elementów mamy do czynienia: Jeśli X jest przestrzenią o skończonej liczbie elementów

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMY. 1. Podstawowe definicje Schemat blokowy

ALGORYTMY. 1. Podstawowe definicje Schemat blokowy ALGORYTMY 1. Podstawowe definicje Algorytm (definicja nieformalna) to sposób postępowania (przepis) umożliwiający rozwiązanie określonego zadania (klasy zadań), podany w postaci skończonego zestawu czynności

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów Alfabety i litery Układ logiczny opisywany jest przez wektory, których wartości reprezentowane są przez ciągi kombinacji zerojedynkowych. Zwiększenie stopnia

Bardziej szczegółowo

1.2.3 Funkcjonalna pełność

1.2.3 Funkcjonalna pełność 1.2.3 Funkcjonalna pełność Przedstawione przykłady sprawdzania tautologiczności formuł zamknietych metodą niewprost dobrze ilustrują, Ŝe załoŝenie niewrost o przypisaniu formule wartości fałszu, a następnie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo