Wprowadzenie do Sztucznej
|
|
- Henryk Przybysz
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia InŜynierskie Konsekwencje logiczne Formuła A jest konsekwencją logiczną zbioru formuł U, co zapisujemy U A, jeŝeli kaŝda interpretacja, która spełnia U (tzn. jest jego modelem) spełnia takŝe A. JeŜeli zbiór formuł U jest pusty, to pojęcie konsekwencji logicznej jest toŝsame z pojęciem prawdziwości, co zapisujemy A. Niech U={A 1,A 2,,A n } będzie zbiorem formuł, zaś A będzie pojedynczą formułą. Zachodzi wówczas: U A wtedy i tylko wtedy, gdy A 1 A n A. Automatyczne dowodzenie twierdzeń O teoriach formalnie System Logic Theorist System General Problem Solver (GPS) Strategie rezolucyjne - heurystka w procesie dowodzenia Podstawowe pojęcia dotyczące teorii Teoria Zbiór formuł T nazywamy teorią wtw, gdy jest on zamknięty ze względu na konsekwencje logiczne. Zbiór formuł T jest zamknięty ze względu na konsekwencje logiczne wtw, gdy dla wszystkich formuł A zachodzi zaleŝność: jeŝeli T A, to A T. Elementy zbioru T nazywamy twierdzeniami. Niech U będzie zbiorem formuł. Zbiór T(U)={A U A } nazywamy teorią zbioru formuł U, zaś formuły naleŝące do U nazywamy aksjomatami. 1
2 Wnioskowanie (dowód) Wnioskowaniem ze zbioru formuł U (przesłanek) formuły A (wniosku) nazywamy skończony ciąg formuł W=W 1,...,W n, taki, Ŝe W n =A oraz kaŝda z formuł W i (1 i n) jest elementem zbioru U (aksjomatem) bądź wnioskiem wyprowadzonym za pomocą pewnej reguły wnioskowania z wcześniejszych przesłanek W j. JeŜeli dla danej formuły A oraz zbioru U istnieje wnioskowanie, to piszemy U A. Własności teorii Teoria jest niesprzeczna - to znaczy Ŝadne zdanie i jego negacja nie mogą być jednocześnie twierdzeniami tej teorii. Teoria T (U) jest zupełna, wtedy i tylko wtedy, gdy dla kaŝdego zdania A, albo U A, albo U A. Poprawność i pełność wnioskowania Procedura wnioskowania (procedura dowodowa) jest poprawna, jeŝeli kaŝda formuła produkowana przez tą procedurę ze zbioru formuł U jest równieŝ logiczną konsekwencją zbioru U. Procedura wnioskowania jest pełna, jeŝeli moŝe wygenerować kaŝdą (dowolną) formułę będącą logiczną konsekwencją zbioru formuł U. Dzięki twierdzeniu o pełności i poprawności problem stwierdzenia, czy formuła A jest logiczną konsekwencją zbioru formuł U moŝna sprowadzić do zagadnienia poszukiwania wnioskowania formuły A ze zbioru U, co jest o tyle istotne, Ŝe konstrukcja wnioskowania ma charakter wyłącznie syntaktyczny i poddaje się automatyzacji. Twierdzenie o niezupełności Twierdzenie Gödla (1931) Niech NT będzie zbiorem aksjomatów teorii liczb naturalnych. Jeśli teoria T (NT) jest niesprzeczna, to nie jest zupełna. Teoria T jest rozstrzygalna wtw, gdy istnieje algorytm, który dla kaŝdego zdania A pozwala stwierdzić, czy A T, czy A T. Większość teorii matematycznych, to teorie nierozstrzygalne. 2
3 Nierozstrzygalność rachunku predykatów Twierdzenie Church a (1936) Logika pierwszego rzędu nie jest rozstrzygalna, ale jest częściowo rozstrzygalna, tzn. nie istnieje algorytm, który dla dowolnej formuły rozstrzyga czy jest ona tautologią, czy nie; istnieje jednak algorytm, który dla dowolnej formuły, która jest tautologią pozwala to stwierdzić. Wniosek: Maksimum tego, czego moŝna oczekiwać od systemów automatycznego dowodzenia twierdzeń, jest konstrukcja dowodu dla formuły będącej twierdzeniem rozwaŝanej teorii rachunku predykatów. Dedukcja Dedukcja jest wnioskowaniem, w której podstawową regułą wnioskowania (dowodową) jest reguła odrywania: A, A B albo A, A B B B Reguła odrywania wymaga aby formuły miały postać atomową lub były klauzulami Horna. Pełność procedury dowodowej - dlaczego? Istnienie pełnej procedury dowodowej: zredukowałoby proces dowodzenia jedynie do mechanicznych manipulacji składnią formuł logicznych oznaczałoby, iŝ wszystkie wnioski i twierdzenia logiki są zawsze i jedynie pochodną przyjętego zbioru aksjomatów i umoŝliwiłoby tym samym automatyzację procesu rozwiązywania kaŝdego problemu sformułowanego w języku logiki (pomijamy problem złoŝoności obliczeniowej takiego procesu!) Logic Theorist (LT) Reprezentacja wiedzy: rachunek zdań i predykatów Mechanizmy wnioskowania: podstawienie zastąpienie reguła odrywania reguła łańcucha Sterowanie wnioskowaniem: przeszukiwanie począwszy od celu we wszystkich moŝliwych kierunkach 3
4 Logic Theorist (LT): wnioskowanie Podstawienie W kaŝdym twierdzeniu, o którym wiemy, Ŝe jest prawdziwe moŝna podstawić za zmienną dowolne wyraŝenie (w kaŝdym wystąpieniu tej zmiennej). Przykład (B B) B... aksjomat A za B... podstawienie ( A A) A... wynik Logic Theorist (LT): wnioskowanie Reguła odrywania (modus ponens) Z prawdziwości implikacji i jej przesłanek moŝemy wnioskować o prawdziwości jej konkluzji: [(A B) A ] B albo: A B, A B Reguła łańcucha JeŜeli mamy A B oraz B C, to mamy nowy problem (podcel): A C Logic Theorist (LT): wnioskowanie Zastąpienie Operator wyraŝenia moŝna zastąpić wyraŝeniem logicznie równowaŝnym lub jego definicją. Przykład ( A B) (A B)... Definicja ( A A) A... WyraŜenie (A A) A... Zastąpienie Logic Theorist (LT): sterowanie Funkcjonowanie systemu LT opiera się na następującej sekwencji działań: Po pierwsze, wykonanie wszystkich moŝliwych zmian w bieŝącym celu z wykorzystaniem operacji podstawienia, Po drugie, jeŝeli to nie prowadzi do dowodu, stosujemy wszystkie moŝliwe oderwania i zastąpienia do naszego celu; jeŝeli nie doprowadzi to Ŝadnego z wyraŝeń do aksjomatu, wyniki dodawane są do listy podcelów, Po trzecie, stosujemy regułę łańcucha, Po czwarte, jeŝeli Ŝadne z trzech powyŝszych działań nie doprowadziło do dowodu, przechodzimy do listy podcelów i wybieramy kolejny nie rozwaŝany dotąd podcel 4
5 Logic Theorist (LT): sterowanie Warunki stopu systemu LT: znaleziono dowód lista podcelów jest pusta (tzn. nie moŝna wywieść z posiadanych przesłanek) dostępny czas i/lub pamięć zostały wyczerpane Logic Theorist (LT): podsumowanie Program napisany przez Newella, Simona i Shawa w roku 1956, który dowodził podstawowe twierdzenia pierwszego rozdziału Principia Mathematica Wnioskowanie: dedukcja Procedura pomocnicza: unifikacja wyraŝeń Problemy: złoŝoność, sterowanie wnioskowaniem Logic Theorist (LT): przykłady cel p (q p) nie jest aksjomatem zastąpienie (q p) ( q p) wynik: p ( q p) podcel p ( q p) podstawienie q za q p (q p) to aksjomat c.b.d.u. cel (p p) p nie jest aksjomatem zastąpienie (p p) ( p p) wynik: ( p p) p podcel ( p p) p podstawienie p za p (p p) p to aksjomat c.b.d.u. Means Ends Analysis: system GPS Architektura systemu GPS (General Problem Solver) Lista operatorów Mechanizm porównywania opisów stanów i wykrywania róŝnic Tablica połączeń (tablica operator-róŝnica) Sterowanie: algorytm Means Ends Analysis (MEA) Budowa operatora: warunki początkowe (stosowalności) funkcja transformacji, czyli realizowana operacja, opisana przez rezultaty jej zastosowania redukowane róŝnice (z tablicy połączeń) 5
6 Means Ends Analysis: algorytm procedure MEA(s bieŝący, s cel ) Porównaj s bieŝący i s cel ; jeśli nie ma róŝnic, to koniec(sukces) w przeciwnym przypadku: a. Wybierz najbardziej istotną róŝnicę b. Wybierz nie analizowany dotąd operator Op, który ma zastosowanie do wykrytej róŝnicy; jeŝeli brak takich operatorów, to koniec(poraŝka) c. Zastosuj operator Op do stanu s bieŝący : wygeneruj opisy dwóch stanów: Start(Op) - stan, w którym spełnione są warunki początkowe Op, Rezultat(Op) - stan, będący rezultatem zastosowania Op d. JeŜeli Część1 MEA(s bieŝący, Start(Op)) Część2 MEA(Rezultat(Op), s cel ) zakończą się sukcesem, to koniec(sukces); zwróć wynik w postaci konkatenacji: Część1, Op, Część2 w przeciwnym przypadku koniec(poraŝka) end Means Ends Analysis: przykład Tablica operatorów: OPERATOR Warunek Rezultat PUSH at(robot, obiekt) at(obiekt, miejsce) (obiekt, miejsce) large(obiekt) at(robot, miejsce) clear(obiekt) armempty CARRY at(robot, obiekt) at(obiekt, miejsce) (obiekt, miejsce) small(obiekt)) at(robot, miejsce) armempty GO at(robot, miejsce) (miejsce) ---- PICKUP at(robot, obiekt) holding(obiekt) (obiekt) armempty PUTDOWN holding(obiekt) armempty (obiekt) STACK at(robot, obiekt2) on(obiekt1, obiekt2) (obiekt1, obiekt2) holding(obiekt1) armempty Means Ends Analysis: algorytm (uwagi) Uwagi do algorytmu: Mechanizm wyboru (kolejność) róŝnic duŝy wpływ na efektywność Mechanizm wyboru operatora usunięcie jednej róŝnicy moŝe wygenerować więcej innych (nowych!) róŝnic Means Ends Analysis: przykład Tablica operator-róŝnica: Przemieść obiekt Przemieść PUSH CARRY GO PICKUP PUTDOWN STACK robota Oczyść obiekt obiekt PołóŜ obiekt PołóŜ obiekt na obiekt na obiekt OpróŜnij OpróŜnij ramię ramię Trzymaj obiekt 6
7 Means Ends Analysis: przykład Start Cel on(ksiąŝka, biurko) on(ksiąŝka, biurko) at(biurko, pokój1) large(biurko) at(biurko, pokój2) small(ksiąŝka) at(biurko,pokój2) A B C D Start PUSH Cel at(robot,biurko) at(robot,biurko) clear(biurko) at(biurko,pokój2) A B C D Start GO PUSH Cel... Means Ends Analysis: przykład... at(robot,biurko) clear(biurko) clear(biurko) holding(ksiaŝka) A at(robot,biurko) armepmty at(biurko,pokój2) on(ksiąŝka,biurko)... Start GO PICKUP PUTDOWN PUSH STACK Cel at(robot,biurko) clear(biurko) clear(biurko) at(robot,ksiąŝka) holding(ksiąŝka) A at(robot,biurko) armepmty at(biurko,pokój2) on(ksiąŝka,biurko). Start GO PICKUP PUTDOWN PUSH PICKUP STACK Cel itd. (jeszcze dwa kroki) Means Ends Analysis: przykład Start Cel on(ksiąŝka, biurko) on(ksiąŝka, biurko) at(biurko, pokój1) large(biurko) at(biurko, pokój2) small(ksiąŝka) at(robot,biurko) clear(biurko) clear(biurko) A at(robot,biurko) armepmty at(biurko,pokój2) on(ksiąŝka,biurko) Start GO PICKUP PUSH Cel at(robot,biurko) clear(biurko) clear(biurko) A at(robot,biurko) armepmty at(biurko,pokój2) on(ksiąŝka,biurko)... Start GO PICKUP PUTDOWN PUSH Cel... Means Ends Analysis: podsumowanie Słabości MEA: trudna do zdefiniowania w niektórych dziedzinach tablica operator-róŝnica duŝy rozmiar tablicy operator-róŝnica dla realnych problemów trudno z rozwiązań opartych na częściowych sukcesach wnioskować o globalnej strategii rozwiązywania problemu (niejawne konflikty między operatorami) 7
8 Reguła modus ponens: niepełność Przykładowy zbiór aksjomatów X p(x) q(x) X p(x) r(x) X q(x) s(x) X r(x) s(x) Dowód nieformalny dla s(a): s(a) jest prawdziwe, gdy q(a) lub r(a) jest prawdziwe; q(a) lub r(a) musi być prawdziwe, bo p(x) lub p(x) jest prawdziwe (zawsze!). Zatem s(a) z pewnością jest prawdziwe! Modus Ponens: X p(x) r(x) nie moŝna przekształcić do postaci Horna (byłoby wtedy p(x) r(x)) i tym samym nie moŝna skorzystać z reguły odrywania by dowieść prawdziwości s(a). Wniosek: Istnieją twierdzenia (konsekwencje logiczne) prawdziwe w logice predykatów, których nie moŝna dowieść za pomocą modus ponens. Rezolucja: pojęcia podstawowe literały komplementarne przesłanka przesłanka A B, B C A C rezolwenta Rezolucja ma charakter binarny tzn. dotyczy dokładnie dwóch klauzul, a rezolwenta jest wyprowadzana z jednej pary literałów komplementarnych. Reguła rezolucji: zasada Zasada rezolucji: A B, B C albo A B, B C A C A C Interpretacja (dysjunkcji): Jeśli B jest fałszywe, to w pierwszej dysjunkcji A musi być prawdziwe (skoro cała alternatywa jest prawdziwa); ale jeśli B jest prawdziwe, to wtedy w drugiej dysjunkcji C musi być prawdziwe (skoro ta alternatywa teŝ jest prawdziwa); zatem, A lub C są prawdziwe. Interpretacja (implikacji): poprawność zasady rezolucji wynika z przechodniości implikacji Rezolucja: wywód rezolucyjny oraz dowód Wywodem rezolucyjnym klauzuli C ze zbioru klauzul U nazywamy ciąg klauzul W=W 1,...,W n, którego elementami są wyłącznie elementy zbioru U oraz rezolwenty klauzul występujących wcześniej w tym ciągu, zaś W n =C. Wywód rezolucyjny klauzuli pustej ze zbioru U nazywamy dowodem niespełnialności (sprzeczności) dla U. 8
9 Zasada rezolucji: pełność czy niepełność? Zasada rezolucji nie jest pełna, gdyŝ nie jest moŝliwe wywiedzenie formuły P P(będącego tautologią) dla pustego zbioru klauzul początkowych (aksjomatów). Zasada rezolucji jest jednak pełna w sensie refutacji tzn. zawsze umoŝliwia wyprowadzenie klauzuli pustej (fałszywej w kaŝdej interpretacji!), jeśli dany zbiór klauzul jest niespełnialny. Refutacja (reductio ad absurdum) - dowód nie wprost Aby dowieść, Ŝe klauzula P jest logiczną konsekwencją zbioru klauzul S wystarczy wykazać, Ŝe zbiór {S P} jest sprzeczny. Rezolucja: drzewo wywodu (przykład) p p q p r r q r p Rezolucja: graf wywodu (przykład) p p q p r r p Rezolucja: procedura dowodowa Przekształć przesłanki lub aksjomaty w formę klauzul Dodaj do zbioru aksjomatów zaprzeczenie twierdzenia, które ma być udowodnione (w formie klauzuli) Generuj nowe klauzule (rezolwenty), wynikające z tego zbioru (zgodnie z zasadą rezolucji) i powiększaj o nie zbiór Szukaj sprzeczności, podąŝając ku klauzuli pustej Warunki uŝyte do wygenerowania pustej klauzuli są tymi, w których twierdzenie (zaprzeczone) jest prawdziwe Faktoryzacja - w rachunku predykatów - usuwanie z klauzul literałów powtarzających się 9
10 Faktoryzacja: znaczenie dla pełności rezolucji Przykładowy zbiór klauzul (niespełnialny) p(u) p(v) p(x) p(y) Dowód rezolucyjny: KaŜda rezolwenta tego zbioru klauzul składa się z dwóch literałów, więc nie moŝe być pusta! Dowiedzenie sprzeczności za pomocą rezolucji nie jest moŝliwe. Rozwiązanie: Usunięcie wszystkich powtarzających się w klauzulach literałów: Klauzula p(u) p(v) z podstawieniem {U/V} będzie równa p(u). Klauzula p(x) p(y) z podstawieniem {X/Y} będzie równa p(x). Rezolucja: przykład c.d. die(fido) dog(fido) dog(x) animal(x) animal(y) die(y) {fido/y} {Y/X} dog(y) die(y) die(fido) pusta klauzula Rezolucja: przykład Wszystkie psy są zwierzętami. X ( dog(x) animal(x) ) ❶ Fido jest psem. dog(fido) ❷ Wszystkie zwierzęta umrą. Y ( animal(y) die(y) ) ❸ Fido umrze? die(fido) ❹ Modus Ponens Podstawienie w ❶ i reguła odrywania: animal(fido) Podstawienie {fido/y} w ❸ i reguła odrywania: die(fido) Forma predykatu Forma klauzuli X ( dog(x) animal(x) ) dog(x) animal(x) dog(fido) dog(fido) Y ( animal(y) die(y) ) animal(y) die(y) dowieść: die(fido) zanegowane twierdzenie: die(fido) Rezolucja: strategie dowodzenia Strategie wyboru Strategia liniowa (ang. linear resolution) Strategia źródłowa (ang. input resolution) Strategia preferencji jednostkowej (ang. unit preference resolution) Strategia zbioru podpierającego/zbioru uzasadnień (ang. set of support resolution) Przeszukiwanie wszerz (saturacja) Strategie eliminacji usuwanie klauzul zawierających czyste literały (brak drugiej klauzuli zawierającej literał komplementarny) usuwanie tautologii (klauzul zawierających literały komplementarne) usuwanie klauzul pochłoniętych (np. p qpochłania p q r) 10
11 Rezolucja: przeszukiwanie wszerz (saturacja) dog(fido) dog(x) animal(x) animal(y) die(y) die(fido) {fido/y} {X/Y} animal(fido) animal(fido) dog(x) die(x) {fido/y} die(fido) die(fido) dog(fido) dog(fido) Rezolucja: strategie zbioru podpierającego (przykład) Sprzeczny zbiór S: Zbiór S\T: p q p r q r r :zbiór T p q q p Rezolucja: strategia zbioru podpierającego Zbiór uzasadnień T - dowolny niepusty podzbiór zbioru S klauzul początkowych (skończonego i niepustego) W kaŝdym kroku wywodu przynajmniej jedna z przesłanek jest klauzulą ze zbioru T bądź klauzulą wyprowadzoną we wcześniejszej fazie wywodu (inaczej: zbiór T jest po wykonaniu kaŝdego kroku wzbogacany o wyprowadzony wniosek/rezolwentę) Strategia zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór S jest sprzeczny, zaś S\T jest spełnialny Istnieją róŝne metody wyboru zbioru T (najczęściej zbiór ten zawiera negację dowodzonego twierdzenia) Rezolucja: strategia liniowa W kaŝdym kroku jedna z przesłanek jest ostatnio wygenerowaną rezolwentą, a druga jednym z wcześniejszych wniosków (rezolwent) lub klauzulą początkową Dowód rozpoczyna się od dowolnie wybranej klauzuli początkowej (choć najlepiej aby było to twierdzenie do udowodnienia) Dowód ma charakter przejrzysty i ciągły - ostatni wniosek jest przesłanką w kolejnym kroku Strategia zupełna MoŜna łączyć ze strategią zbioru uzasadnień 11
12 Rezolucja: strategia liniowa dog(fido) dog(x) animal(x) animal(y) die(y) die(fido) {fido/y} animal(fido) {fido/y} animal(fido) die(fido) dog(fido) Rezolucja: strategia źródłowa W kaŝdym kroku przynajmniej jedna przesłanka jest klauzulą początkową (a nie rezolwentą) Odmiana strategii liniowej (bardziej rygorystyczna!) Strategia niezupełna! Strategia zupełna w klasie klauzul Horna Rezolucja: strategia liniowa (przykład) p q p r q r r p q q p r r Rezolucja: strategia źródłowa (niezupełność) Zbiór sprzeczny: p q p q p q p q q p gdy liniowa! q p q p p q q itd. 12
13 Rezolucja: strategia źródłowa (przykład) dog(fido) dog(x) animal(x) animal(y) die(y) die(fido) {fido/y} animal(fido) {fido/y} animal(fido) die(fido) dog(fido) Rezolucja: strategia preferencji jednostkowej dog(fido) dog(x) animal(x) animal(y) die(y) die(fido) {fido/y} animal(fido) {fido/y} animal(fido) die(fido) dog(fido) Rezolucja: strategia preferencji jednostkowej W kaŝdym kroku przynajmniej jedna przesłanka powinna być klauzulą pojedynczą (pojedynczy literał) Strategia zupełna Strategia niezupełna, gdy przynajmniej jedna przesłanka zawsze musi być klauzulą pojedynczą wtedy jest to tzw. strategia jednostkowa (zupełna w klasie klauzul Horna!) Rezolucja: strategie eliminacji Usuwanie klauzul zawierających czyste literały (brak innej klauzuli zawierającej literał komplementarny) p l q l p q r p q r l l q r?? r 13
14 Rezolucja: strategie eliminacji Usuwanie tautologii (klauzul zawierających parę literałów komplementarnych) Niespełnialny zbiór klauzul pozostaje niespełnialny nawet, jeśli usuniemy z niego wszystkie tautologie Literały tautologii muszą być ściśle komplementarne: p(a) p(x) nie jest tautologią p(a) p(a) jest tautologią KaŜda nowa rezolwenta na dowolnym etapie procesu rezolucji moŝe być tautologią Rezolucja: strategie eliminacji Usuwanie klauzul pochłoniętych c.d. Niespełnialny zbiór klauzul pozostaje niespełnialny nawet, jeśli usuniemy z niego klauzulę pochłonięta przez inną klauzulę KaŜda nowa rezolwenta na dowolnym etapie procesu rezolucji moŝe być pochłonięta przez inną klauzulę Pełność strategii eliminacji tautologii i klauzul pochłoniętych zaleŝy od sposobu usuwania klauzul (np. połączenie z saturacją gwarantuje pełność) Rezolucja: strategie eliminacji Usuwanie klauzul pochłoniętych Pochłanianie: klauzula Cpochłania klauzulę D wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podstawienie σ takie, Ŝe zbiór literałów klauzuli Cσ jest podzbiorem zbioru literałów D Przykład Klauzule: Zbiory literałów: C = p(x) q(y) C = { p(x), q(y) } D = p(a) q(v) r(w) D = { p(a), q(v), r(w) } Podstawienie: Wynik podstawienia: σ = {a/x, V/Y} C σ = {p(a), q(v)} PoniewaŜ C σ D, to C pochłania D. 14
Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji
Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia Inżynierskie Automatyczne dowodzenie twierdzeń O teoriach formalnie na przykładzie rachunku zdań Zastosowanie dedukcji: system Logic Theorist
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Sztucznej Inteligencji
Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia InŜynierskie Rachunek predykatów syntaktyka Do symboli (nazw) rachunku predykatów zaliczamy: 1. Predefiniowane symbole true i false. 2.
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Sztucznej Inteligencji
Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład 2 Informatyka Studia InŜynierskie Rachunek predykatów syntaktyka Do symboli (nazw) rachunku predykatów zaliczamy: 1. Predefiniowane symbole true i false. 2.
Bardziej szczegółowoPodstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)
Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania
Bardziej szczegółowoAlfred N. Whitehead
Plan wykładu Automatyczne dowodzenie twierdzeń Dowodzenie twierdzeń matematycznych Dedukcja Logic Theorist Means-endsends Analysis Rezolucja Programowanie w logice PROLOG Logic Theorist - 1956 Automatyczne
Bardziej szczegółowoMetoda Tablic Semantycznych
Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,
Bardziej szczegółowoMetoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.
Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna
Bardziej szczegółowoMETODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ KONWERSATORIUM 6: REZOLUCJA V rok kognitywistyki UAM 1 Kilka uwag terminologicznych Słuchacze zapewne pamiętają z zajęć dotyczących PROLOGu poniższą
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (10)
Logika Matematyczna (10) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Rezolucja w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (10) Rezolucja w KRZ 1 / 39 Plan
Bardziej szczegółowoAdam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Bardziej szczegółowoTautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 6A: REZOLUCJA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 1 Rezolucja w KRZ Dowody rezolucyjne w KRZ są równie proste, jak dowody tablicowe Metoda
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoInterpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior
Rachunek predykatów Wykład 5 Plan wykładu Funkcje i termy Postać klauzulowa formuł Modele Herbranda Twierdzenie Herbranda Rezolucja dla klauzul ustalonych Podstawienia Uzgadnianie Rezolucja Funkcje i termy
Bardziej szczegółowoRachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty
Rachunek predykatów Wykład 4 Plan wykładu Relacje i predykaty Formuły rachunku predykatów Interpretacje Logiczna równoważność Metoda tabel Modele skończone i nieskończone Rozstrzygalność Relacje i predykaty
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie
Bardziej szczegółowoParadygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
Bardziej szczegółowo1. Składnia. Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA Teoria
Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA 1. Składnia 1.1. Teoria 1. Składnia oznacza reguły tworzenia... z.... 2. Rachunek predykatów pierwszego rzędu (w skrócie: rachunek predykatów) wyróżnia cztery zbiory
Bardziej szczegółowoMyślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne
Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna
Bardziej szczegółowoAdam Meissner STUCZNA INTELIGENCJA
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis STUCZNA INTELIGENCJA Elementy programowania w logice Literatura
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS
Bardziej szczegółowoRezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna
Bardziej szczegółowoProgramowanie deklaratywne i logika obliczeniowa
Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Programowanie deklaratywne i logika obliczeniowa Wykład logika 12 godzin Dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP dyżur: poniedziałek 9.30-11.00 p. 10,
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz
Bardziej szczegółowoSkładnia rachunku predykatów pierwszego rzędu
Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Plan wykładu 1 Na (dobry) początek Zrozumieć słowa Oswoić znaki 2 Gramatyka
Bardziej szczegółowoLOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów
Bardziej szczegółowoModele Herbranda. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Szukamy modelu. Przykład Problemy. Model Herbranda
Plan wykładu Szukamy modelu Model Herbranda Twierdzenia Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Szukamy modelu 1 Szukamy modelu Problemy 2 Model Herbranda Uniwersum Herbranda Interpretacja
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW
Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika
Bardziej szczegółowoProgramowanie deklaratywne
Programowanie deklaratywne Artur Michalski Informatyka II rok Plan wykładu Wprowadzenie do języka Prolog Budowa składniowa i interpretacja programów prologowych Listy, operatory i operacje arytmetyczne
Bardziej szczegółowoLogika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne
Logika i teoria mnogości Wykład 14 1 Sformalizowane teorie matematyczne W początkowym okresie rozwoju teoria mnogości budowana była w oparciu na intuicyjnym pojęciu zbioru. Operowano swobodnie pojęciem
Bardziej szczegółowoGramatyki grafowe. Dla v V, ϕ(v) etykieta v. Klasa grafów nad Σ - G Σ.
Gramatyki grafowe Def. Nieskierowany NL-graf (etykietowane wierzchołki) jest czwórką g = (V, E, Σ, ϕ), gdzie: V niepusty zbiór wierzchołków, E V V zbiór krawędzi, Σ - skończony, niepusty alfabet etykiet
Bardziej szczegółowoAlgebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Bardziej szczegółowoDrzewa Semantyczne w KRZ
Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00
Bardziej szczegółowoAdam Meissner SZTUCZNA INTELIGENCJA
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Elementy wnioskowania automatycznego
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję
Bardziej szczegółowoDefinicja pochodnej cząstkowej
1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem
Bardziej szczegółowoRachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 3 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 1 / 36 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowoWykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę
Bardziej szczegółowo1.2.3 Funkcjonalna pełność
1.2.3 Funkcjonalna pełność Przedstawione przykłady sprawdzania tautologiczności formuł zamknietych metodą niewprost dobrze ilustrują, Ŝe załoŝenie niewrost o przypisaniu formule wartości fałszu, a następnie
Bardziej szczegółowoTwierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?
Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące
Bardziej szczegółowovf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Bardziej szczegółowoRachunek zdań i predykatów
Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoDefinicja: alfabetem. słowem długością słowa
Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na
Bardziej szczegółowoPrzykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych
Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych Zapoznaj z poniŝszym tekstem reprezentującym wiedzę logiczną o wartościach logicznych będących interpretacjami formuł złoŝonych
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Plan na dziś: 1. Przypomnimy, na czym polega aksjomatyczna metoda dowodzenia twierdzeń.
Bardziej szczegółowoKonsekwencja logiczna
Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami
Bardziej szczegółowoTeoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań
Instytut Informatyki Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 1 Systemy
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:...
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca 2015 Imię i Nazwisko:............................................................... DZIARSKIE SKRZATY Wybierz
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoRekurencje. Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie:
Rekurencje Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie: T(n) = Θ(1) (dla n = 1) T(n) = 2 T(n/2) + Θ(n) (dla n
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz
Bardziej szczegółowoJęzyk rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...
Język rachunku predykatów 1 Zmienne x, y, z... 2 Predykaty n-argumentowe P(x, y,...), Q(x, y...),... 3 Funktory zdaniowe,,,, 4 Kwantyfikatory: istnieje, dla każdego Język rachunku predykatów Ustalenie
Bardziej szczegółowoLogika intuicjonistyczna
Logika intuicjonistyczna Logika klasyczna oparta jest na pojęciu wartości logicznej zdania. Poprawnie zbudowane i jednoznaczne stwierdzenie jest w tej logice klasyfikowane jako prawdziwe lub fałszywe.
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna. Zadania Egzaminacyjne, 2007
Logika Matematyczna Zadania Egzaminacyjne, 2007 I Rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl Podajemy rozwiązania zadań egzaminacyjnych.
Bardziej szczegółowoZasady krytycznego myślenia (1)
Zasady krytycznego myślenia (1) Andrzej Kisielewicz Wydział Matematyki i Informatyki 2017 Przedmiot wykładu krytyczne myślenie vs logika praktyczna (vs logika formalna) myślenie jasne, bezstronne, oparte
Bardziej szczegółowoLOGIKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 10: METODA REZOLUCJI W KRZ (20XII2007) II. 10. Dowody rezolucyjne w KRZ Przypomnienia i kilka definicji
LOGIKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 10: METODA REZOLUCJI W KRZ (20XII2007) II. 10. Dowody rezolucyjne w KRZ Pokażemy teraz działanie pewnej metody dowodowej, mającej istotne zastosowania m.in. w automatycznym dowodzeniu
Bardziej szczegółowoMonoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.
3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy
Bardziej szczegółowoProgramowanie deklaratywne
Programowanie deklaratywne Artur Michalski Informatyka II rok Plan wykładu Wprowadzenie do języka Prolog Budowa składniowa i interpretacja programów prologowych Listy, operatory i operacje arytmetyczne
Bardziej szczegółowoInstytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej. Adam Meissner. Elementy uczenia maszynowego
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis Elementy uczenia maszynowego Literatura [1] Bolc L., Zaremba
Bardziej szczegółowoII Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki. Janusz Czelakowski. Wykład 8. Arytmetyka
II Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki Janusz Czelakowski Wykład 8. Arytmetyka Jak dobrze wiadomo, jednym z kluczowych praw zachodzących w dziedzinie liczb naturalnych jest Zasada Indukcji.
Bardziej szczegółowoProgramowanie logiczne a negacja
Programowanie logiczne a negacja Adrian Woźniak 12 stycznia 2006r. SPIS TREŚCI Programowanie logiczne a negacja Spis treści 1 Wstęp 2 2 Wnioskowanie negatywnych informacji 2 2.1 Reguła CWA (Closed World
Bardziej szczegółowoSystem hilbertowski. Plan wykładu. hilbertowskiego. Definicja systemu hilbertowskiego. Podstawowe twierdzenie systemu. Podstawowe twierdzenie systemu
Plan wykładu System hilbertowski Wykład 2 Definicja Definicja systemu Reguły y pochodne Twierdzenia dla innych operatorów Porównanie z systemem gentzenowskim Definicja systemu System H jest systemem dowodzenia
Bardziej szczegółowoWyszukiwanie. Wyszukiwanie binarne
Wyszukiwanie Wejście: posortowana, n-elementowa tablica liczbowa T oraz liczba p. Wyjście: liczba naturalna, określająca pozycję elementu p w tablicy T, bądź 1, jeŝeli element w tablicy nie występuje.
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać
Bardziej szczegółowoImię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY
Egzamin: Logika Matematyczna, I rok JiNoI, 30 czerwca 2014 Imię i nazwisko:........................................... OBROŃCY PRAWDY Wybierz dokładnie cztery z poniższych pięciu zadań i spróbuj je rozwiazać.
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań 1 Istnieje wiele systemów aksjomatycznych Klasycznego Rachunku
Bardziej szczegółowoPoczątki informatyki teoretycznej. Paweł Cieśla
Początki informatyki teoretycznej Paweł Cieśla Wstęp Przykładowe zastosowanie dzisiejszych komputerów: edytowanie tekstów, dźwięku, grafiki odbiór telewizji gromadzenie informacji komunikacja Komputery
Bardziej szczegółowoDowody założeniowe w KRZ
Dowody założeniowe w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl w styczniu 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Dowody założeniowe w KRZ w styczniu 2007 1 / 10 Dowody
Bardziej szczegółowoUzgadnianie formuł rachunku predykatów
Składanie podstawień Plan wykładu Uzgadnianie Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Składanie podstawień 1 Składanie podstawień Podstawienie Motywacja Złożenie podstawień 2 Uzgadnianie
Bardziej szczegółowo0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Bardziej szczegółowoGramatyki atrybutywne
Gramatyki atrybutywne, część 1 (gramatyki S-atrybutywne Teoria kompilacji Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyki atrybutywne Do przeprowadzenia poprawnego tłumaczenia, oprócz informacji
Bardziej szczegółowoProgramowanie deklaratywne
Programowanie deklaratywne Artur Michalski Informatyka II rok Plan wykładu Wprowadzenie do języka Prolog Budowa składniowa i interpretacja programów prologowych Listy, operatory i operacje arytmetyczne
Bardziej szczegółowoInstytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej. Adam Meissner. Elementy uczenia maszynowego
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis Elementy uczenia maszynowego Literatura [1] Bolc L., Zaremba
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoGramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky ego. Gramatyka
Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky ego Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną gdzie: G =
Bardziej szczegółowoJAO - Wprowadzenie do Gramatyk bezkontekstowych
JAO - Wprowadzenie do Gramatyk bezkontekstowych Definicja gramatyki bezkontekstowej Podstawowymi narzędziami abstrakcyjnymi do opisu języków formalnych są gramatyki i automaty. Gramatyka bezkontekstowa
Bardziej szczegółowo1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów
1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów Logika matematyczna, dział matematyki zajmujący się badaniem własności wnioskowania (dowodzenia)
Bardziej szczegółowoDefinicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:
Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Logika matematyczna Mathematical Logic Poziom przedmiotu: II
Bardziej szczegółowo1 Podstawowe oznaczenia
Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.
Bardziej szczegółowoLOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Bardziej szczegółowoLogika predykatów pierwszego rzędu PROLOG. Zarządzanie wiedzą. Wykład Reprezentacja wiedzy logika predykatów. Joanna Kołodziejczyk.
Wykład Reprezentacja wiedzy logika predykatów maj 2010 Logika predykatów pierwszego rzędu Plan wykładu Logika predykatów pierwszego rzędu Porównanie z rachunkiem zdań Rachunek zdań ograniczona ekspresja
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Bardziej szczegółowoWykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości
Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje
Bardziej szczegółowoKlasyczny rachunek predykatów
Kultura logiczna Klasyczny rachunek predykatów Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Alfabet klasycznego rachunku zdań reguły konsytutywne języka Alfabet klasycznego rachunku predykatów (KRP Do alfabetu
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5 Prof. dr hab. inż. Jan Magott DMT rozwiązuje problem decyzyjny π przy kodowaniu e w co najwyżej wielomianowym czasie, jeśli dla wszystkich łańcuchów wejściowych
Bardziej szczegółowo