Matematyka. Podręcznik inspirowany postacią Pitagorasa twórcy podstaw matematyki

Transkrypt

1 Matematyka P O D R Ę C Z N I K D L S Z K O ŁY P O D S T W O W E J 8 Podręcznik inspirowany postacią Pitagorasa twórcy podstaw matematyki R E F O R M

2

3 SPIS TREŚCI 1. Liczby i wyrażenia algebraiczne 1. Liczby dodatnie i ujemne 6 2. Potęgi i pierwiastki 9 3. Działania na liczbach Obliczenia procentowe Diagramy procentowe Wyrażenia algebraiczne Równania Twierdzenie Pitagorasa i jego zastosowanie 1. Trójkąty Twierdzenie Pitagorasa Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa Przekątna kwadratu. Wysokość trójkąta równobocznego Prostokątny układ współrzędnych Zaznaczanie punktów, których współrzędne spełniają podane warunki Odcinek w układzie współrzędnych Figury w układzie współrzędnych Zadania dotyczące pól trójkątów Wielokąty i okręgi 1. Długość okręgu Pole koła Zadania praktyczne na zastosowanie długości okręgu i pola koła Czworokąty i ich własności Wielokąty foremne Zadania na pola wielokątów i kół Geometria przestrzenna 1. Przykłady graniastosłupów Siatki graniastosłupów Pole powierzchni prostopadłościanu i sześcianu Pola powierzchni graniastosłupów Jednostki objętości Objętość sześcianu i prostopadłościanu Objętość graniastosłupa Przykłady ostrosłupów Siatki ostrosłupów Pola powierzchni ostrosłupów Objętość ostrosłupa 114 Spis treści 3

4 5. Wprowadzenie do kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa 1. Przykłady doświadczeń losowych Obliczanie prawdopodobieństw doświadczeń losowych Symetrie 1. Symetria względem prostej Oś symetrii figury Symetria względem punktu Środek symetrii figury Symetralna odcinka i dwusieczna kąta 1. Symetralna odcinka Dwusieczna kąta Zastosowanie w zadaniach Zaawansowane metody zliczania i rachunek prawdopodobieństwa 1. Reguła mnożenia i dodawania. Liczba zdarzeń elementarnych Prawdopodobieństwo zdarzeń w doświadczeniach losowych 159 Odpowiedzi do zadań Spis treści

5 5 WPROWDZENIE DO KOMINTORYKI I RCHUNKU PRWDOPODOIEŃSTW Kombinatoryka powstała dzięki grom hazardowym i stanowi jeden z działów matematyki dyskretnej, a swój rozwój zawdzięcza rachunkowi prawdopodobieństwa. Pomaga odpowiedzieć na pytania typu: Ile jest możliwych wyników w rzucie sześcienną kostką do gry?, Na ile sposobów możemy wybrać delegację dwuosobową z klasy 25-osobowej? itp. Elementarną metodą kombinatoryki, często stosowaną intuicyjnie, jest tzw. reguła mnożenia i dodawania. 1. PRZYKŁDY DOŚWIDCZEŃ LOSOWYCH Doświadczeniem losowym (eksperymentem, zjawiskiem losowym) nazywamy takie doświadczenie, które można powtarzać wiele razy w takich samych warunkach, ale jego kolejnych wyników nie potrafimy przewidzieć. Doświadczeniami losowymi są na przykład: rzut monetą, rzut kostką do gry czy wyciąganie karty z talii. Ćwiczenie 1. Rzucając 25 razy sześcienną kostką do gry uzyskano następujące wyniki: 2, 4, 4, 1, 6, 3, 6, 5, 5, 5, 6, 2, 3, 6, 5, 2, 5, 1, 1, 3, 1, 1, 5, 5, 3. Przedstaw te dane w postaci: a) tabeli liczebności, b) diagramu słupkowego, c) diagramu procentowego kołowego. a) tabela liczebności Liczba oczek Liczebność b) diagram słupkowy liczebność liczba oczek 1. Przykłady doświadczeń losowych 121

6 c) diagram procentowy Obliczamy częstość występowania poszczególnych wyników: Liczba oczek Częstość występowania 1 5 = 20% = 12% = 16% 25 = 8% 28% 16% 20% 12% = 28% 25 8% 16% = 16% 25 W doświadczeniu losowym nie możemy przewidzieć konkretnego wyniku, ale możemy określić zbiór wszystkich możliwych wyników, na przykład przy rzucie monetą może wypaść orzeł lub reszka. Ćwiczenie 2. Wypisz wszystkie możliwe wyniki doświadczenia losowego polegającego na dwukrotnym rzucie monetą. Oznaczamy wyrzucenie orła przez O i wyrzucenie reszki przez R. Przebieg tego doświadczenia losowego można przedstawić: a) w tabelce I rzut O O R R II rzut O R O R b) w postaci drzewka możliwe wyniki pierwszego rzutu O R możliwe wyniki drugiego rzutu O R O R Odpowiedź: Wszystkie możliwe wyniki przy dwukrotnym rzucie monetą, to: (O, O), (O, R), (R, O), (R, R) Wprowadzenie do kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa

7 Losując 1 kartę z talii 52 kart, możemy wyciągnąć na przykład: asa kier króla pik dziewiątkę karo dwójkę trefl Każdy możliwy wynik takiego doświadczenia losowego nazywamy zdarzeniem elementarnym, a każdy zbiór zdarzeń elementarnych zdarzeniem losowym. W przypadku losowania 1 karty z talii mamy 52 różne zdarzenia elementarne. Ćwiczenie 3. Rzucamy sześcienną kostką do gry. a) Ile jest możliwych wyników rzutu? b) Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu otrzymano co najmniej trzy oczka. c) Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu wypadła liczba oczek podzielna przez 8. a) Wypisujemy wszystkie możliwe wyniki rzutu sześcienną kostką do gry: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych skład się z 6 elementów. b) Możliwe zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu otrzymano co najmniej 3 oczka to: 3, 4, 5 oraz 6 c) Zdarzeniu wypadła liczba oczek podzielna przez 8 nie sprzyja żadne zdarzenie elementarne. Takie zdarzenie jest niemożliwe. ZDNI DO ROZWIĄZNI 1. Rzuć 50 razy monetą i zanotuj otrzymane kolejno wyniki. Przedstaw te dane w zeszycie w postaci: a) tabeli liczebności, b) diagramu słupkowego. 2. Rzuć 40 razy sześcienną kostką do gry i zanotuj otrzymane kolejno wyniki. Przedstaw te dane w zeszycie w postaci: a) tabeli liczebności, b) diagramu procentowego kołowego. 3. Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie monetą. Wypisz w zeszycie wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu: wypadła co najmniej 1 reszka. 4. Rzucamy monetą i sześcienną kostką do gry. Narysuj w zeszycie drzewo dla tego doświadczenia losowego. 1. Przykłady doświadczeń losowych 123

8 5. Wypisz w tabelce wszystkie możliwe wyniki doświadczenia losowego polegającego na trzykrotnym rzucie monetą. Z ilu elementów składa się ten zbiór? 6. Doświadczenie losowe polega na rzucie kostką sześcienną, której 2 ściany są czerwone, 2 żółte i 2 pomarańczowe. Wypisz w zeszycie wszystkie możliwe wyniki tego doświadczenia. 7. W pudełku znajdują się koraliki: fioletowy, zielony i czarny. Losujemy je kolejno bez zwracania. Na ile sposobów możemy je wylosować? 8. Rzucamy 2 razy kostką do gry. Wypisz w zeszycie wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu: a) w obydwu rzutach otrzymano tę samą liczbę oczek, b) w pierwszym rzucie otrzymano parzystą, a w drugim nieparzystą liczbę oczek, c) w drugim rzucie otrzymano o 1 oczko więcej niż w pierwszym rzucie, d) w pierwszym i drugim rzucie otrzymano co najmniej 5 oczek. 9. Spośród liczb od 1 do 25 losujemy 1 liczbę. Wypisz w zeszycie wszystkie wyniki sprzyjające zdarzeniu: a) wylosowana liczba jest liczbą pierwszą, b) wylosowana liczba jest podzielna przez 4, c) wylosowana liczba jest podzielna przez 5 i przez 3, d) wylosowana liczba jest dwukrotnością liczby W pudełku są 3 klocki żółte i cztery niebieskie. Losujemy bez zwracania 3 klocki i budujemy z nich wieżę. Narysuj w zeszycie drzewo dla tego doświadczenia losowego. Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu: a) wybudowana wieża będzie jednokolorowa, b) wybudowana wieża będzie różnokolorowa, c) w wieży będzie więcej klocków niebieskich niż żółtych. 11. Z cyfr: 4, 5, 6 Maciek tworzy trzycyfrowe kody, które będą otwierać bramy wjazdowe, przy czym cyfry w kodzie nie mogą się powtarzać. Ile kodów będących liczbami parzystymi może utworzyć? 12. Z talii zawierającej 52 karty losujemy 1 kartę. Wypisz w zeszycie wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu wylosowano figurę, która nie jest trefem ani pikiem. 13. Z pojemnika, w którym są 2 losy wygrywające i 5 losów pustych, losujemy 3 razy po jednym losie bez zwracania. Wypisz w zeszycie wszystkie wyniki tego doświadczenia losowego Wprowadzenie do kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa

9 14. Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie sześcienną kostką do gry. Przedstaw te dane w zeszycie w postaci tabeli. Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniom: a) iloczyn wyrzuconych oczek jest nie większy niż 10, b) suma wyrzuconych oczek jest co najmniej równa 10. ZDNI SPRWDZJĄCE 1. W szufladzie znajdują się 4 chusteczki białe i 5 czerwonych. Wybieramy losowo trzy chusteczki. Narysuj w zeszycie drzewo dla tego doświadczenia losowego. 2. W pudełku znajdują się jeden los wygrywający i piętnaście przegrywających. Losujemy dwa razy bez zwracania po jednym losie. a) Wypisz w zeszycie wszystkie wyniki tego doświadczenia losowego. b) Ile jest wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu: wylosowano jeden los wygrywający? 3. Dziecko spośród klocków z literami K, O,, T wybiera trzy klocki i ustawia je w różnej kolejności. Ile w ten sposób wyrazów (z sensem lub bez) może ułożyć dziecko? Wypisz w zeszycie co najmniej pięć tak ułożonych wyrazów, które mają sens. 4. Z talii zawierającej 52 karty losujemy dwie. Ile jest zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu: wylosowano damę i króla? Wypisz je do zeszytu. 5. Doświadczenie losowe polega na jednokrotnym rzucie monetą i sześcienną kostką do gry. Przedstaw wyniki w tabeli. Wypisz w zeszycie wszystkie wyniki sprzyjające zdarzeniu: a) wypadła reszka i nieparzysta liczba oczek, b) wypadły 2 oczka lub 5 oczek, c) wypadł orzeł i mniej niż 4 oczka. 2. OLICZNIE PRWDOPODOIEŃSTW DOŚWIDCZEŃ LOSO- WYCH Po przeprowadzeniu doświadczenia losowego możemy obliczyć częstość występowania poszczególnych wyników jako iloraz liczby otrzymanych interesujących nas wyników przez liczbę wszystkich wykonanych doświadczeń. W podobny sposób obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia losowego. Stosujemy wzór: p =, gdzie n liczba zdarzeń sprzyjających danemu zdarzeniu i N liczba wszyst- n N kich zdarzeń elementarnych. Ćwiczenie 1. Rzucamy raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wyrzucimy liczbę oczek większą od 2, a jakie, że wyrzucona liczba oczek będzie mniejsza od 7? Wypisujemy wszystkie możliwe wyniki rzutu sześcienną kostką do gry: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Określamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: N = 6 2. Obliczanie prawdopodobieństw doświadczeń losowych 125

10 Wypisujemy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu wyrzucimy liczbę oczek większą od 2 : 3, 4, 5 oraz 6 Określamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających temu zdarzeniu: n = 4 Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia: p = 4 2 = 6 3 Wypisujemy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu wyrzucona liczba oczek będzie mniejsza od 7 : 1, 2, 3, 4, 5 oraz 6 Określamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających temu zdarzeniu: n = 6 Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia: p = 6 = 6 1 Odpowiedź: Prawdopodobieństwo tego, że wyrzucimy liczbę oczek większą od 2 wynosi 2 3, a prawdopodobieństwo tego, że wyrzucona liczba oczek będzie mniejsza od 7, wynosi 1. Zdarzenie, dla którego prawdopodobieństwo zajścia jest równe 1, nazywamy zdarzeniem pewnym, a takie, dla którego prawdopodobieństwo zajścia wynosi 0, nazywamy niemożliwym. Na przykład zdarzeniem niemożliwym jest wyrzucenie dokładnie 7 oczek w rzucie sześcienną kostką do gry. Ćwiczenie 2. W urnie jest 20 kul białych i 30 kul czarnych. Losujemy z urny 1 kulę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana kula jest biała oraz prawdopodobieństwo tego, że wylosowana kula jest czarna. Które zdarzenie jest bardziej prawdopodobne? Określamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych jest to liczba wszystkich kul w urnie: N = 50 Określamy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu, że wylosowana kula jest biała jest to liczba kul białych w tej urnie: n = Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej: p = = 50 5 Określamy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu, że wylosowana kula jest czarna jest to liczba kul czarnych w tej urnie: n = Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej: p = = 50 5 Porównujemy prawdopodobieństwa: 2 3 < 5 5 Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi 2 5, a czarnej 3 5. ardziej prawdopodobne jest zdarzenia polegające na wylosowaniu kuli czarnej. ZDNI DO ROZWIĄZNI 1. Rzucamy raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wyrzucimy liczbę oczek: a) podzielną przez 3, b) większą od 1, ale mniejszą od 5? 2. W urnie jest 20 kul, w tym 11 kul czarnych. Losujemy z urny jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wylosowana kula nie jest czarna? 3. W urnie jest 10 kul białych i 6 czarnych. Losujemy z urny 2 razy po jednej kuli bez zwracania. Za pierwszym razem wylosowano kulę białą. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że druga wylosowana kula jest czarna? 4. W każdej z 2 urn znajdują się kule czerwone i niebieskie. W pierwszej urnie są 4 kule czerwone i 2 niebieskie, a w drugiej są 4 kule czerwone i 4 niebieskie. Losujemy z urny 1 kulę. Którą z urn należy wybrać, aby szansa na wylosowanie kuli czerwonej była największa? Wprowadzenie do kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa

11 6 SYMETRIE Symetria to nie tylko piękno od święta, obcujemy z nią na co dzień. Słynną budowlę, w której widzimy symetrię, jest Tadż Mahal indyjskie mauzoleum wzniesione przez szacha Szahdżahana z dynastii Wielkich Mogołów na pamiątkę przedwcześnie zmarłej żony. Ten wyjątkowy obiekt jest nazywany świątynią miłości. Ogłoszono go również jednym z siedmiu cudów świata. 1. SYMETRI WZGLĘDEM PROSTEJ Na kartce papieru zaznacz dowolny punkt i narysuj prostą niezawierającą tego punktu. Zegnij kartkę wzdłuż prostej. Przebij kartkę szpilką w punkcie. Następnie rozłóż kartkę i powstały punkt oznacz. Otrzymane punkty są symetryczne względem prostej. Punkty i D są symetryczne względem prostej k, ponieważ leżą na prostej prostopadłej do prostej k, po przeciwnych stronach prostej k i w równych odległościach od prostej k. Punkty i E nie leżą w równych odległościach od prostej k, punkty C i F nie leżą na prostej prostopadłej do prostej k. k C D E F 1. Symetria względem prostej 131

12 Dwa punkty są symetryczne względem prostej, jeżeli leżą: po przeciwnych stronach prostej, w równych odległościach od prostej, na prostej prostopadłej do tej prostej. Ćwiczenie 1. Wskaż punkty symetryczne względem prostej l. E H G C F Punkty symetryczne to punkty H i G oraz i. l D Ćwiczenie 2. Znajdź punkt symetryczny do punku względem prostej l: a) za pomocą ekierki l b) za pomocą cyrkla Opis: 1. Z punktu kreślimy okrąg (łuk) o promieniu r, aby przeciął prostą l w dwóch punktach. l Symetrie

13 2. Z obu otrzymanych punktów kreślimy okręgi (łuki) o promieniu r. l 3. Punkt będący punktem przecięcia tych okręgów (łuków), leżący po drugiej stronie prostej l niż punkt, jest punktem symetrycznym do punktu względem prostej l. l Ćwiczenie 3. Narysuj figurę symetryczną: a) do odcinka względem prostej l Znajdujemy punkty symetryczne do punktów i względem prostej l. Odcinek jest symetryczny do odcinka względem prostej l. l 1. Symetria względem prostej 133

14 b) do czworokąta CDEF względem prostej k. Znajdujemy punkty symetryczne do punktów C, D, E, F względem prostej k. Czworokąt C D E F jest symetryczny do czworokąta CDEF względem prostej k. F E k E F C D D C by narysować figurę symetryczną do danej względem prostej, wystarczy znaleźć punkty symetryczne do punktów charakterystycznych figury względem prostej. ZDNI DO ROZWIĄZNI 1. Na którym zdjęciu przedstawiono lustrzane odbicia krajobrazów? 2. Odczytaj napis, posługując się lusterkiem. Matematyka królową nauk 3. Narysuj figury symetryczne do liter, C, D, K, R względem dowolnej prostej. Sprawdź w lusterku efekty swojej pracy. 4. Na którym rysunku punkty i są symetryczne względem prostej k? a) b) c) k k k 5. Które dwie figury nie są położone symetryczne względem prostej k? a) b) c) k k k Symetrie

15 6. Narysuj w zeszycie kwadrat. Zaznacz punkty symetryczne do punktu przecięcia się przekątnych tego kwadratu względem prostych zawierających jego boki. Jaka figura powstała? 7. Podzielcie się na grupy. Zadaniem każdej jest narysowanie trapezu równoramiennego i figury symetrycznej do niego względem prostej: grupa I leżącej poza trapezem, grupa II zawierającej jedno z ramion trapezu, grupa III zawierającej jeden z wierzchołków trapezu, grupa IV przecinającej podstawy trapezu. 8. Narysuj w zeszycie: a) trójkąt równoboczny, a następnie trójkąt do niego symetryczny względem prostej zawierającej jeden z jego boków; b) trójkąt prostokątny, a następnie trójkąt do niego symetryczny względem prostej zawierającej jego przeciwprostokątną; c) trójkąt różnoboczny, a następnie trójkąt do niego symetryczny względem prostej zawierającej jego najdłuższy bok. Jakie figury utworzyły pary trójkątów symetrycznych względem prostej? ZDNI SPRWDZJĄCE 1. Zaznacz 5 różnych punktów oraz prostą przechodzącą przez 2 z nich. Wyznacz punkty symetryczne do zaznaczonych punktów względem narysowanej prostej. 2. Przerysuj rysunki do zeszytu i dorysuj figurę symetryczną do każdej z figur. C k D C C k k 3. Narysuj w zeszycie okrąg i figurę do niego symetryczną względem prostej: a) leżącej poza okręgiem, b) mającej z okręgiem 2 punkty wspólne. 2. OŚ SYMETRII FIGURY Narysuj w zeszycie dowolny prostokąt, a następnie prostą dzielącą prostokąt na takie dwie części, aby po złożeniu wzdłuż prostej obie części prostokąta nałożyły się na siebie. Jak myślisz, ile takich prostych można wykreślić? Są dwie proste dzielące prostokąt, wzdłuż których można złożyć obie części prostokąta tak, by nałożyły się na siebie. Mówimy wtedy, że prostokąt jest sam do siebie symetryczny względem tych prostych. 2. Oś symetrii figury 135

16 Prostą, względem której figura jest sama do siebie symetryczna, nazywamy osią symetrii tej figury. Figurę, która ma oś symetrii, nazywamy figurą osiowosymetryczną. Ćwiczenie 1. Narysuj kwadrat i zaznacz wszystkie jego osie symetrii. Ile osi symetrii ma kwadrat? Odpowiedź: Kwadrat ma 4 osie symetrii. Ćwiczenie 2. Ile osi symetrii mają narysowane figury? figura ma 1 oś symetrii figura ma figura ma Symetrie

17 Ćwiczenie 3. Uzupełnij rysunek tak, aby prosta była osią symetrii otrzymanego wielokąta. ZDNI DO ROZWIĄZNI 1. Podaj, ile osi symetrii mają figury przedstawione na ilustracjach. a) b) c) 2. Które spośród liter mają osie symetrii? Które z nich mają dwie osie symetrii? Czy potrafisz wskazać inne wielkie litery alfabetu mające osie symetrii? Jeśli tak, to je wypisz. M O L Z 3. Ile osi symetrii ma: a) odcinek, b) półprosta, c) prostokąt, d) romb, który nie jest kwadratem, e) sześciokąt foremny, f) okrąg. 4. Ile osi symetrii może mieć: a) trójkąt, b) trapez równoramienny? Rozważ różne przypadki. 5. Narysuj w zeszycie figury, które: a) mają dokładnie jedną oś symetrii, b) mają dokładnie dwie osie symetrii, c) mają nieskończenie wiele osi symetrii, d) nie mają osi symetrii. 2. Oś symetrii figury 137

18 6. Które z poniższych zdań są prawdziwe? a) Prosta ma nieskończenie wiele osi symetrii. b) Każdy trójkąt prostokątny ma jedną oś symetrii. c) Jeżeli trójkąt ma trzy osie symetrii, to jest równoboczny. d) Istnieje trójkąt, który nie ma osi symetrii. e) Przekątna rombu zawiera się w jego osi symetrii. f) Równoległobok, który nie jest rombem ma dwie osie symetrii. g) Istnieje czworokąt, który ma cztery osie symetrii. 7. Narysuj w zeszycie po dwa przykłady figur, które: a) mają dokładnie jedną oś symetrii, b) mają nieskończenie wiele osi symetrii. 8. Przerysuj rysunki do zeszytu i uzupełnij tak, aby prosta była osią symetrii otrzymanego wielokąta. a) b) ZDNI SPRWDZJĄCE 1. Które cyfry mają osie symetrii? Wskaż te osie. Podaj przykład liczby trzycyfrowej, która ma co najmniej jedną oś symetrii oraz przykład liczby czterocyfrowej, która ma dokładnie dwie osie symetrii. Czy potrafisz wskazać wszystkie takie liczby? 2. Przepisz wyrazy do zeszytu i zaznacz ich osie symetrii. Ułóż inne wyrazy, które mają osie symetrii. OK MIM KOK MM 3. Narysuj w zeszycie po dwa przykłady figur, które: a) mają dokładnie dwie osie symetrii, b) nie mają osi symetrii. 3. SYMETRI WZGLĘDEM PUNKTU Na rysunku figury F 1 i F 2 są przystające. by to sprawdzić, należałoby je wyciąć, a następnie nałożyć na siebie. F 1 F Symetrie