Układ równań oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny

Transkrypt

1 Układ równań oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny Przedmowa To opracowanie jest napisane z myślą o gimnazjalistach, ale mogą z niego korzystać wszyscy którzy chcą się dowiedzieć lub przypomnieć sobie jaki typ układu równań nazywamy oznaczonym, nieoznaczonym lub sprzecznym. Wszystko co tu znajdziesz jest wyjaśnione od podstaw. Nie musisz być orłem z matematyki by zrozumieć o co tu chodzi. Chcesz znać metody rozwiązywania układów równań np. metodę wyznacznikową lub przeciwnych współczynników lub podstawiania? Jeśli tak, to przeczytaj pełną wersję opracowania o układach równań: Spis tematów 1. Co to jest układ równań? Co to jest rozwiązanie układu równań? Rodzaje układów równań i ich nazwy układ sprzeczny... 6 układ nieoznaczony układ oznaczony układy równoważne Wersja z dnia: Układy równań strona 1

2 Temat: Co to jest układ równań? Co to jest rozwiązanie układu równań? Układ równań to przynajmniej dwa równania spięte z lewej strony klamerką np. + = 10 = 4. Każde z równań musi zawierać przynajmniej jedną zmienną (niewiadomą) np. lub. Zmienne mogą być podniesione do jakiejś potęgi, ale różnej od 0. Przykłady układów równań: 3 7 = = = = = 10 Równania tworzące układ równań powinno się podpisywać tak, by znaki równości były idealnie jeden nad drugim. W matematyce układy równań stosuje się w celu szybszego otrzymania wyniku z zadania tekstowego. Zasada jest taka, że na podstawie treści zadania układasz przynajmniej dwa równania z dwiema niewiadomymi, spinasz je z lewej strony klamerką i przystępujesz do znalezienia rozwiązania. Co jest rozwiązaniem układu równań napiszę później. Ponieważ w gimnazjum omawiane są tylko układy złożone z dwóch równań o dwóch zmiennych podniesionych do potęgi pierwszej (wówczas potęgi się nie pisze), więc od tej pory wszystko co będę pisać, będzie się tyczyć wyłącznie tego typu układów równań. Znalezienie rozwiązania danego układu równań polega na tym, by znaleźć takie liczby które wstawione zamiast zmiennych sprawią, że w obu równaniach strona lewa będzie równa stronie prawej. Zobacz to na przykładzie już wcześniej napisanego układu równań: Wersja z dnia: Układy równań strona 2 + = 10 = 4 Jeśli w równaniu pierwszym zamiast napiszesz liczbę przypuśćmy 8 i zamiast np. liczbę 2, to strona lewa będzie równa stronie prawej. Wstawiając jednak te same liczby do równania drugiego, sprawisz, że jego strona lewa nie będzie równa stronie prawej. Wnioskujesz więc, że liczby te nie spełniają tego układu równań (nie są jego rozwiązaniem), bo w równaniu drugim lewa strona nie wyszła równa stronie prawej. Skoro powyższe liczby tj. = 8 i = 2 nie były rozwiązaniem powyższego układu równań, więc szukasz innych liczb i robisz to tak długo, aż znajdziesz dwie takie liczby, które spełniają oba równania jednocześnie. Wybierasz więc przykładowo = 5 i = 1 i sprawdzasz czy spełniają one dany układ równań. Jeśli zamiast w obu równaniach napiszesz liczbę 5 i w obu równaniach zamiast napiszesz liczbę 1, to w drugim równaniu strona lewa będzie w prawdzie równa stronie prawej, ale w pierwszym równaniu nie. Zatem = 5 i = 1 nie spełniają tego układu równań, bo tylko w jednym równaniu strona lewa wyszła równa stronie prawej. Szukasz więc innych liczb. Niech tym razem będą nimi: = 10 i = 15. Jeśli zamiast w obu równaniach napiszesz liczbę 10 i w obu równaniach zamiast napiszesz liczbę 15, to ani w pierwszym ani w drugim równaniu strona lewa nie będzie równa stronie prawej. Zatem te liczby również nie spełniają tego układu równań. Wybierasz więc jeszcze inne liczby takie które wydają Ci się że mogą spełniać ten układ równań, choć nie masz pewności czy tak w rzeczywistości będzie. Sprawdzasz więc liczby = 7 i = 3. Jeśli zamiast w obu równaniach napiszesz liczbę 7 i w obu równaniach zamiast napiszesz liczbę 3, to w pierwszym równaniu strona lewa będzie równa stronie prawej i w równaniu drugim również strona lewa będzie równa stronie prawej. Nareszcie metodą prób i błędów udało się znaleźć takie dwie liczby które spełniają oba te równania jednocześnie. Zatem rozwiązaniem rozpatrywanego układu równań jest = i = lub krócej jest nim para liczb (7; 3) zauważ, że liczby są ujęte w nawias zwykły i rozdzielone średnikiem (tak jakby to były współrzędne punktu w układzie współrzędnych). W rozwiązywaniu układów równań chodzi o to, by nie znajdować rozwiązania (wspólnej pary dla podanych równań) w taki sposób jak to robiliśmy powyżej (chybił-trafił), lecz dokładnie je wyliczyć w oparciu o jakąś metodę.

3 No dobra. Masz już rozwiązanie powyższego układu równań i mogłoby się wydawać, że to już koniec. Tymczasem tak nie jest. Sformułowanie rozwiązać układ równań oznacza, że trzeba znaleźć wszystkie wspólne pary (; ) dla podanych równań, a nie tylko jedną z nich. Zobacz: równanie pierwsze tj. + = 10 jest spełnione m.in. przez pary (; ): (0; 10), (1; 9), (2; 8), (3; 7), (7; 3), (8; 2), (9; 1), (11; 1), (12; 2) a równanie drugie: = 4 m.in. przez pary (; ): (0; 4), (1; 3), (2; 2), (5; 1), (7; 3), (8; 4), (9; 5), (10; 6), (13; 9). Ponieważ oba równania są spełnione przez nieskończenie wiele różnych par, więc może się zdarzyć, że oprócz znalezionej wspólnej pary (7; 3) istnieją jeszcze inne wspólne pary które spełniają ten układ równań. Tych wspólnych par może być nawet nieskończenie wiele, a szukać ich należy także pośród ułamków, pierwiastków, liczb mieszanych oraz liczb ujemnych. Nie można więc poszukiwać rozwiązania układu równań metodą na chybił-trafił jak to było robione powyżej. Co by było gdybym zamiast nie wstawił liczby 7 i zamiast liczby 3? Powstałoby wrażenie, że powyższy układ równań nie ma rozwiązania a tak nie jest. By znaleźć wszystkie rozwiązania danego układu równań, należy posłużyć się jakąś metodą która pozwoli w sposób rachunkowy (bez zgadywania), wyznaczyć wszystkie wspólne pary. W przypadku układu równań składającego się z dwóch równań stopnia pierwszego (zmienne są podniesione do potęgi pierwszej), metody pozwalające wyznaczyć wszystkie rozwiązania nazywają się tak: podstawiania (algebraiczna) przeciwnych współczynników (algebraiczna) graficzna wyznacznikowa (algebraiczna) eliminacji Gaussa Kroneckera-Cappellego i zostaną one pojedynczo omówione w następnych tematach (oprócz dwóch ostatnich zakres studiów). Zauważ, że sposób zapisywania par spełniających dane równanie jest dokładnie taki sam jak sposób zapisywania współrzędnych punktów w układzie współrzędnych. Nie jest to zbieg okoliczności. Każdą parę spełniającą dane równanie możesz zaznaczyć w układzie współrzędnych jako punkt. Jeśli w jednym układzie współrzędnych zaznaczysz wszystkie pary spełniające równanie pierwsze (na ogół będzie ich nieskończenie wiele), to otrzymasz jakąś linię (wykres funkcji) w zadaniach z zakresu gimnazjum na ogół będzie to prosta. Gdy zrobisz to samo z drugim równaniem, to otrzymasz drugą linię (następny wykres funkcji). Rozwiązaniem danego układu równań będą współrzędne tych punktów które należą jednocześnie do obu narysowanych wykresów. 7 2 = 29 Sprawdź czy para (5; 3) spełnia układ równań: 4 + = 23. [Podpowiedź. W obu równaniach zamiast napisz liczbę 5 (pierwsza podana współrzędna) a zamiast liczbę 3. Sprawdź, czy w każdym równaniu strona lewa jest równa stronie prawej. Odp. Tak, spełnia.] Wypisz 8 par (; ) spełniających równanie pierwsze, a następnie 8 par (; ) spełniających równanie 2 = 12 drugie układu równań: + 2 = 6. Jaka para liczb (; ) jest wspólna dla obu tych równań? [Odp. (; ) = (6; 0).] Wypisz po 10 par (; ) spełniających równania układu równań: 2 3 = = 5. Jaka para liczb (; ) jest wspólna dla obu tych równań? [Odp. (; ) = (3; 2).] Wersja z dnia: Układy równań strona 3

4 Temat: Rodzaje układów równań i ich nazwy. Układowi równań możesz nadać nazwę zależnie od: 1. Liczby równań układ mający 2 równania nazywa się układem 2-ch równań 2 = = 6 układ mający 3 równania nazywa się układem 3-ch równań = = = 10 itd. 2. Liczby zmiennych układ mający 2 zmienne np. i nazywa się układem o 2-ch zmiennych 2 = = 6 Układ równań: = 7 = 6 też jest układem o 2-ch zmiennych, bo można go zapisać w postaci równoważnej: 0 + = = 6. układ mający 3 zmienne np.,, nazywa się układem o 3-ch zmiennych = = = 10 itd. 3. Największego stopnia równania układ którego największy stopień równania wynosi 1 (wszystkie zmienne podniesione są do potęgi 1) nazywa się układem stopnia 1-wszego lub układem liniowym 2 = = 6 układ którego największy stopień równania wynosi 2 nazywa się układem stopnia 2-giego 3 7 = = 4 itd. 4. Liczby różnych rozwiązań (lub ich braku) układ nie mający ani jednego rozwiązania (0 rozwiązań) nazywa się układem sprzecznym + = 5 + = 6 Wersja z dnia: Układy równań strona 4

5 układ mający nieskończenie wiele różnych rozwiązań nazywa się układem nieoznaczonym + = 10 + = 10 układ mający skończoną liczbę różnych rozwiązań np. dokładnie 1 rozwiązanie lub dokładnie 2 rozwiązania lub dokładnie 3 rozwiązania itd. nazywa się układem oznaczonym + = 10 = 4 Każdy układ równań ma precyzyjną swoją nazwę. Tworzy się ją zawsze z 3-ch pierwszych powyższych punktów. Przykładowo układ równań: + = 10 = 4 precyzyjnie nazywa się układem dwóch równań liniowych o dwóch zmiennych, zaś układ równań: = = = 10 precyzyjnie nazywa się układem trzech równań liniowych o trzech zmiennych. Układ równań: 3 7 = = 4 nazywa się układem dwóch równań stopnia drugiego o dwóch zmiennych. Zauważ, że w tego typu układzie równań wystarczy, że przynajmniej jedno z równań jest stopnia drugiego. Nazwij precyzyjnie układy równań: 2 = = 6 2 = = = = = = = = = 10 [Odp.: a) Układ dwóch równań liniowych o dwóch zmiennych. b) Układ trzech równań liniowych o dwóch zmiennych. c) Układ trzech równań liniowych o trzech zmiennych. d) Układ trzech równań liniowych o czterech zmiennych.] Uwaga. Aby układ równań można było rozwiązać w sposób jednoznaczny, to liczba zmiennych w nim występujących musi być równa liczbie równań lub od niej mniejsza. Oznacza to, że w powyższym ćwiczeniu ostatni układ równań jest nierozwiązywalny, gdyż ma 4 zmienne, a tylko 3 równania. By dało się rozwiązać trzeba albo skasować jedną zmienną, albo dopisać co najmniej jedno równanie o tych samych zmiennych. Zapamiętaj Układ równań liniowych (stopnia pierwszego) może mieć 0 rozwiązań lub 1 lub nieskończenie wiele. Układ równań stopnia 2-giego może mieć 0 rozwiązań lub 1 rozwiązanie lub 2 lub nieskończenie wiele. Układ równań stopnia 3-ciego może mieć 0 rozwiązań lub 1 rozwiązanie lub 2 lub 3 lub nieskończenie wiele. Układ równań stopnia n może mieć od 0 do n różnych rozwiązań lub nieskończenie wiele. Wniosek 1: Jeśli układ równań jest stopnia 17-stego, to może mieć on do 0 do 17 różnych rozwiązań lub nieskończenie wiele. Jeśli z obliczeń wyjdzie Ci że ma dokładnie 18 rozwiązań, to poszukaj błędu w obliczeniach. Wersja z dnia: Układy równań strona 5

6 Wniosek 2: Układ 2-ch równań liniowych z 2-ma niewiadomymi: + = 10 = 4 rozpatrywany na samym początku tego opracowania może mieć 0 rozwiązań lub 1 lub nieskończenie wiele. Zatem znaleziona para liczb (7; 3) jest jedyną parą która go spełnia innych par być nie może. W tym opracowaniu będziemy się zajmować tylko układami równań stopnia pierwszego. Zatem układy równań jakie będziemy rozpatrywać będą mogły mieć albo: 0 rozwiązań, albo dokładnie 1 rozwiązanie albo nieskończenie wiele rozwiązań. Innych możliwości w ich przypadku nie ma. Układ sprzeczny Układ sprzeczny to taki, który nie ma rozwiązania (brak rozwiązania które było spełnione jednocześnie przez wszystkie równania tego układu). Przykładem układu sprzecznego jest: + = 5 + = 6 Przyjrzyj się mu uważnie i zauważ, że w obu równaniach po lewej stronie znaku równości jest dokładnie to samo wyrażenie, a po prawej co innego. Oznacza to, że nawet jeśli Ci się uda znaleźć takie dwie liczby i które spełniają równanie pierwsze, to nie będą one spełniać równania drugiego i odwrotnie jeśli uda Ci się znaleźć takie dwie liczby i które spełniają równanie drugie, to nie będą one spełniać równania pierwszego. Taki stan rzeczy zawdzięczasz oczywiście temu, że lewe strony tych równań są sobie równe, a prawe nie. Przykłady sprzecznych układów dwóch równań liniowych o dwóch zmiennych: = 5 = = = = = = = 24 W brakujące miejsca wpisz takie liczby by podane układy równań były sprzeczne. a) = 5 = = 12 b) + 8 = =... c) =... 2 =... d) = 24 [Odp. a) W oba brakujące miejsca trzeba wpisać te same liczby (obojętnie jakie, byle te same). b) Przy trzeba wpisać liczbę 8, a przy liczbę 3. Lewe strony obu tych równań muszą być identyczne. c) Możesz wpisać jakie chcesz liczby, byle tylko nie były one takie same. Muszą to być 2 różne liczby np. 5 i 13. d) Przy trzeba wpisać liczbę 17, przy liczbę 2 (bo minus już jest), a po prawej stronie znaku równości liczbę różną od 24. Prawe strony równań nie mogą być identyczne.] Mam pytanko. Jaką liczbę trzeba wpisać w poniższym układzie równań by był on sprzeczny? = = 24 Powiem tyle. Na pewno to nie jest liczba 17. Zauważ, że przed brakującą liczbą stoi znak minus, a w pierwszym równaniu w tym miejscu jest plus. Zatem by ten układ równań by sprzeczny, w brakujące miejsce trzeba wpisać 17, bo wówczas dwa minusy obok siebie dadzą plus. W brakujące miejsca wpisz takie liczby by podane układy równań były sprzeczne. a) = = = 23 b) 4... = 22 [Odp. a) -7, b) -9, c) -8 oraz -19. Liczby przy muszą być identyczne. d) 6 oraz 2.] c) +... = = = 21 d)... = 24 Wersja z dnia: Układy równań strona 6

7 Układy równań nie muszą mieć napisanych równań w taki sposób by wyrażenie z było pod wyrażeniem z a wyrażenie z pod wyrażeniem z. Innymi słowy możesz spotkać się także z takimi układami równań: 5 = 6 = Wówczas by sprawdzić czy dany układ jest sprzeczny musisz w pierwszym równaniu zmienną przenieść na lewą stronę równania (ze zmienionym znakiem), a liczbę 5 na stronę prawą (również ze zmienionym znakiem). W równaniu drugim liczbę 6 przenosisz na stronę prawą, a na stronę lewą. Robiąc tak, dostaniesz nowy układ równań równoważny powyższemu: = 5 = 6 Teraz już wyraźnie widzisz, że jest on sprzeczny, bo lewe strony obu równań są identyczne, a prawe różne. Sprawdź które z układów równań są sprzeczne. Pamiętaj, że przy przenoszeniu wyrażenia na drugą stronę znaku równości trzeba zmienić jego znak na przeciwny. [Odp. a) nie, b) tak, c) tak, d) nie.] 5 = 7 4 a) 7 = b) = = 2 4 c) = 7 8 = = 3 6 d) 5 = 3 6 To jeszcze nie koniec o układach sprzecznych. Układ równań: 4 16 = = 9 również jest sprzeczny. Aby się o tym przekonać wystarczy obie strony pierwszego równania podzielić przez 2 i dodatkowo obie strony równania drugiego podzielić przez 3. Robiąc tak dostajesz nowy układ równań równoważny powyższemu: no i już wyraźnie widzisz, że jest on sprzeczny. 2 8 = = 3 Nie ma przymusu wykonywania w obu równaniach dzieleń obu stron. Może się zdarzyć i tak, że obie strony jednego równania będą podzielone przez jakąś liczbę, a drugiego pomnożone przez jakąś liczbę. Przykładem jest układ równań: 4 16 = 24 = Aby przekonać się o sprzeczności powyższego układu równań wystarczy obie strony pierwszego równania podzielić przez 2 i dodatkowo obie strony drugiego równania pomnożyć przez ułamek. Nie ma też przymusu jednokrotnego wykonywania działań na obu stronach danego równania. Równie dobrze równanie drugie można najpierw pomnożyć przez 7, a potem obie jego strony podzielić przez 2. Mnożenie zaś przez ułamek jest lepsze, bo daje ten sam rezultat od razu. Pamiętaj tylko o tym, że jeśli któreś z równań przekształcasz kilkukrotnie, to równanie którego nie przekształcasz musisz przepisać. Zobacz to na przykładzie powyższego układu równań = 24 /: 2 = / 7 Wersja z dnia: Układy równań strona 7

8 2 8 = = 9/: = = 3 Wykonywanie działań na jednym z równań, zawsze powoduje automatyczne przepisanie wszystkich pozostałych równań, nawet jeśli na nich nie jest robione żadne przekształcenie. Sprawdź które z układów równań są sprzeczne wykonując odpowiednie przekształcenia obu stron równań. a) + = 1 0,5 + 1,25 = 3 0,5 0,375 = 0,625 b) = 44 3,5 + = 0,5 c) 21 6 = 12 [Odp. a) Tak, jest sprzeczny. Wystarczyło obie strony pierwszego równania pomnożyć przez 6 a drugiego przez 4. b) Nie jest sprzeczny, bo mnożąc obie strony pierwszego równania przez 8 i dzieląc obie strony równania drugiego przez 11 dostaniesz 2 równania równoważne sobie (identyczne). c) Nie jest sprzeczny. Mnożąc obie strony pierwszego równania przez 2 i dzieląc obie strony równania drugiego przez 3, sprawisz, że lewe wyrażenia z będą takie same, a przy różne (będą się różniły znakiem który przed nimi stoi).] Powyżej opisany sposób sprawdzania tego czy dany układ jest sprzeczny można zastąpić metodą jemu równoważną, która nie wymaga mnożenia obu stron równań. Mając postać np. taką: 4 16 = = 9 wystarczy, że pomnożysz liczby wyróżnione tym samym kolorem (wraz ze znakami jakie przed nimi stoją) i sprawdzisz, czy otrzymane wyniki są sobie równe. Zatem sprawdzasz czy: 4 24 = 6 ( 16) Ponieważ lewa strona powyższej równości jest równa stronie prawej i w układzie równań liczby stojące za znakami równości tj. 24 i 9 są różne od siebie, więc stwierdzasz, że przedstawiony powyżej układ równań jest sprzeczny. Pamiętaj, że w tym sposobie konieczne jest by każde równanie w układzie równań miało po lewej stronie wyłącznie wyrażenie z x oraz y oraz że te wyrażenia we wszystkich równaniach muszą być tak podpisane by iksy były pod iksami a igreki pod igrekami. Zatem nie można stosować przedstawionego mnożenia po skosie gdy układ równań ma postać np. taką: 4 24 = 16 9 = 6 24 bo: w równaniu pierwszym po lewej stronie jest sama liczba (bez literki y) w równaniu pierwszym po prawej stronie występuje literka y w równaniu drugim po lewej stronie nie ma ani wyrażenia z x ani z y w równaniu drugim po prawej stronie nie ma samej liczby (bez x oraz bez y) W układzie takim: = = 9 Wersja z dnia: Układy równań strona 8

9 również nie wolno zastosować mnożenia po skosie, bo iksy nie są pod iksami a igreki pod igrekami. Aby w obu powyższych przypadkach można było zastosować mnożenie lewych stron po skosie, wówczas najpierw musisz przekształcić te równania które tego wymagają do postaci: 4 16 = = 9 Dopiero teraz mając taką postać, możesz lewe strony mnożyć po skosie. Nigdy nie zapominaj o tym, że liczby za znakiem równości w takiej postaci nie mogą być takie same. Gdyby były takie same, to układ równań nie nazywałby się sprzeczny lecz nieoznaczony. Przykład: Bez mnożenia lub dzielenia obu stron równań sprawdź czy podany układ równań jest sprzeczny. 3 = 23,1 = ,1 = + = Ponieważ oraz: więc przedstawiony układ równań jest sprzeczny. 3 = Sprawdź które z układów równań są sprzeczne wykorzystując powyżej opisany sposób. [Odp. a) tak, b) nie, c) nie] a) + = 1 0,5 + 1,25 = 3 0,5 0,375 = 0,625 b) = 44 3,5 + = 0,5 c) 21 6 = 12 Zbliżamy się do końca układów sprzecznych. Zostały w zasadzie już tylko dwie rzeczy do omówienia. Zobacz przykładowy układ równań: + = 3 0,5 + 1,25 = 3 Czy potrafisz bez robienia jakichkolwiek obliczeń lub przekształceń ocenić czy jest on sprzeczny czy nie? Jeśli odpowiedziałaś tak to gratuluję spostrzegawczości. Jeśli odpowiedziałaś nie, to zauważ, że za znakiem równości są w obu równaniach te same liczby. Układ sprzeczny nie może mieć za znakiem równości tych samych liczb. Zatem ten układ równań na pewno nie jest sprzeczny. A co powiesz o poniższym układzie równań liniowych? Wersja z dnia: Układy równań strona = = 9 On również nie jest sprzeczny i także widać to na oko (bez robienia czegokolwiek). W układzie sprzecznym lewe strony obu równań muszą być identyczne lub po przekształceniach stać się identyczne. Tu tak nigdy nie będzie, bo liczby stojące przed obu równaniach są przeciwnych znaków, a w wyrażeniach z te same. W równaniu pierwszym masz 6 a w drugim +24. No dobra, to teraz spójrz na taki układ równań: 4 16 = = 9

10 On również nie jest sprzeczny, bo w nim liczby stojące przy są przeciwnych znaków, a przy tych samych znaków. No to teraz taki układ równań: 4 16 = = 9 Liczby stojące przy x są przeciwnych znaków, ale i przy y też są przeciwnych znaków. Ponieważ prawe strony są różne, więc by rozstrzygnąć o jego ewentualnej sprzeczności trzeba jedną z czynności opisanych w początkach tego tematu np. mnożenie po skosie. Wówczas okaże się, że układ ten jest sprzeczny. A co z układem takim jak ten: 4 16 = = 9? Nic trudnego. Najpierw przekształcasz go do postaci: 4 16 = = i na podstawie tego, że prawe strony obu równań są sobie równe, orzekasz, że nie jest on sprzeczny. Na początku tego opracowania pisałem, że każde z równań jest spełnione przez nieskończenie wiele par (; ) i że każdą taką parę można zaznaczyć w układzie współrzędnych jako punkt. Jeśli zrobisz tak z równaniami które tworzą układ sprzeczny, to dostaniesz 2 wykresy funkcji które nigdy się nie przetną. Dla równań liniowych wykresami tymi będą 2 proste równoległe do siebie niepokrywające się. Układ nieoznaczony Układ równań jest nieoznaczony, jeśli wszystkie równania go tworzące mają ze sobą nieskończenie wiele wspólnych par (rozwiązań). Zobacz przykładowy nieoznaczony układ równań: = = 6. i zauważ, że oba równania są identyczne, czyli, że każda para liczb (; ) spełniająca pierwsze równanie, spełnia automatycznie także równanie drugie. Ponieważ par tych jest nieskończenie wiele, więc po zaznaczeniu ich w jednym układzie współrzędnych, dostaniesz dwie proste (dwa wykresy funkcji liniowej) pokrywające się ze sobą. Przykłady nieoznaczonych układów dwóch równań liniowych o dwóch zmiennych: = 5 = = = = = = = 24 W brakujące miejsca wpisz takie liczby by podane układy równań były nieoznaczone. a) = 16 = = 12 b) + 8 = =... c) =... 2 =... d) = 24 [Odp. a) W oba brakujące miejsca trzeba wpisać te same liczby (obojętnie jakie, byle te same). b) Przy trzeba wpisać liczbę 8, a przy liczbę 3. Lewe i prawe strony obu tych równań muszą być identyczne. c) Możesz wpisać jakie chcesz liczby, byle tylko były one takie same. Muszą to być 2 identyczne liczby np. 5 i 5. d) Przy trzeba wpisać liczbę 17, przy liczbę 2 (bo minus już jest), a po prawej stronie znaku równości liczbę 24. Prawe strony równań muszą być identyczne.] Mam pytanko. Jaką liczbę trzeba wpisać w poniższym układzie równań by był on nieoznaczony? = = 18 Wersja z dnia: Układy równań strona 10

11 Powiem tyle. Na pewno to nie jest liczba 17. Zauważ, że przed brakującą liczbą stoi znak minus, a w pierwszym równaniu w tym miejscu jest plus. Zatem by ten układ równań by nieoznaczony, w brakujące miejsce musisz wpisać liczbę 17, bo wówczas dwa minusy obok siebie dadzą plus. W brakujące miejsca wpisz takie liczby by podane układy równań były nieoznaczone = 16 a) 3 7 = = 23 b) 4... = 23 c) +... = = = 21 d)... = 21 [Odp. a) -7, b) -9, c) -8 oraz -19. Liczby przy muszą być identyczne. d) 6 oraz 2.] Układy równań nie muszą mieć napisanych równań w taki sposób by wyrażenie z było pod wyrażeniem z a wyrażenie z pod wyrażeniem z. Innymi słowy możesz spotkać się także z takimi układami równań: 5 = 6 = Wówczas by sprawdzić czy dany układ jest nieoznaczony musisz w pierwszym równaniu zmienną przenieść na lewą stronę równania (ze zmienionym znakiem), a liczbę 5 na stronę prawą (również ze zmienionym znakiem). W równaniu drugim liczbę 6 przenosisz na stronę prawą, a na stronę lewą. Robiąc tak, dostaniesz nowy układ równań równoważny powyższemu: = 5 = 6 Teraz już wyraźnie widzisz, że nie jest on nieoznaczony, bo prawe strony są różne, a powinny być takie same (równe sobie). Sprawdź które z układów równań są nieoznaczone. Pamiętaj, że przy przenoszeniu wyrażenia na drugą stronę znaku równości trzeba zmienić jego znak na przeciwny. [Odp. a) nie, b) nie, c) tak, d) nie.] 5 = 7 4 a) 7 = b) = = 2 4 = 7 8 c) 7 = 8 5 = 3 6 d) 5 = 3 6 To jeszcze nie koniec o układach nieoznaczonych. Układ równań: Wersja z dnia: Układy równań strona = = 36 również jest nieoznaczony. Aby się o tym przekonać wystarczy obie strony pierwszego równania podzielić przez 2 i dodatkowo obie strony równania drugiego podzielić przez 3. Robiąc tak dostaniesz nowy układ równań równoważny powyższemu: 2 8 = = 12 no i już wyraźnie widzisz, że jest on nieoznaczony (2 identyczne równania). Nie ma przymusu wykonywania w obu równaniach dzieleń obu stron. Może się zdarzyć i tak, że obie strony jednego równania będą podzielone przez jakąś liczbę, a drugiego pomnożone przez jakąś liczbę. Przykładem jest układ równań: 4 16 = 24 =

12 Aby przekonać się o tym, że powyższy układ równań również jest nieoznaczony, wystarczy obie strony jego pierwszego równania podzielić przez 2 i dodatkowo obie strony drugiego równania pomnożyć przez ułamek. Dostaniesz wówczas: 2 8 = 12 8 = 12 Nie ma też przymusu jednokrotnego wykonywania działań na obu stronach danego równania. Równie dobrze równanie drugie możesz najpierw pomnożyć przez 7, a potem obie jego strony podzielić przez 2. Pamiętaj jednak o tym, że jeśli któreś z równań przekształcasz kilkukrotnie, to równanie którego nie przekształcasz trzeba przepisać = 24 /: 2 = / = = 36/: = = 12 Mnożenie przez ułamek było lepsze, bo dało ten sam rezultat od razu. Sprawdź które z układów równań są nieoznaczone wykonując odpowiednie przekształcenia obu stron równań. a) + = 2 0,5 + 1,25 = 3 0,5 0,375 = 0,625 b) = 44 3,5 + = 0,5 c) 21 6 = 3 [Odp. a) Tak, jest nieoznaczony. Wystarczyło obie strony pierwszego równania pomnożyć przez 6 a drugiego przez 4. b) Tak jest nieoznaczony, bo mnożąc obie strony pierwszego równania przez 8 i dzieląc obie strony równania drugiego przez 11 dostaniesz 2 równania równoważne sobie (identyczne). c) Nie jest nieoznacozny. Mnożąc obie strony pierwszego równania przez 2 i dzieląc obie strony równania drugiego przez 3, sprawisz, że lewe wyrażenia z będą takie same, a przy różne (będą się różniły znakiem który przed nimi stoi).] Czy bez robienia jakichkolwiek obliczeń lub przekształceń potrafisz ocenić czy poniższy układ równań jest nieoznaczony? + = 3 0,5 + 1,25 = 5 Jeśli odpowiedziałaś tak to gratuluję spostrzegawczości. Jeśli odpowiedziałaś nie, to zauważ, że za znakiem równości w obu równaniach nie są te same liczby. Układ nieoznaczony musi mieć za znakiem równości te same liczby. Zatem ten układ równań na pewno nie jest nieoznaczony. A co powiesz o poniższym układzie równań liniowych? 8 6 = = 20 On również nie jest nieoznaczony i także widać to na oko (bez robienia czegokolwiek). W układzie sprzecznym lewe strony obu równań muszą być identyczne lub po przekształceniach stać się identyczne. Tu tak nigdy nie będzie, bo liczby stojące przed obu równaniach są przeciwnych znaków, a w wyrażeniach z te same. W równaniu pierwszym masz 6 a w drugim +24. No dobra, to teraz spójrz na taki układ równań: 4 16 = = 9 On również nie jest nieoznaczony, bo w nim liczby stojące przy są przeciwnych znaków, a przy tych samych znaków. A co z układem takim jak ten: Wersja z dnia: Układy równań strona 12

13 4 16 = = 9? Nic trudnego. Najpierw przekształcasz go do postaci: 4 16 = = i na podstawie tego, że prawe strony obu równań są sobie równe a lewe różne, orzekasz, że nie jest on nieoznaczony. Zapamiętaj Aby orzec o tym, czy układ równań jest nieoznaczony, najpierw doprowadź go do takiej postaci, by lewe strony wszystkich równań były identyczne, a potem spójrz czy równania tworzące dany układ równań są identyczne. Stosując odpowiednie przekształcenia, wskaż, które z poniższych układów równań są nieoznaczone. 4 6 = 8 a) = = 30 b) = = 50 c) = = 9 d) = 1 [Odp. a) Tak, bo dzieląc obie strony pierwszego równania przez 2 i obie strony równania drugiego przez 5 powstaną 2 identyczne równania. b) Nie, bo dzieląc obie strony pierwszego równania przez 5 i drugiego przez 2 powstaną równania mające lewe strony równe, ale prawe różne. c) Nie, bo mnożąc obie strony drugiego równania przez 2, prawe strony będą równe, a lewe nie. Można też wykonać dzielenie obu stron pierwszego równania przez 2, ale wniosek będzie ten sam. d) Nie, bo mnożąc obie strony równania drugiego przez 9, prawe strony będą równe, a lewe nie.] Na początku tego opracowania pisałem, że każde z równań jest spełnione przez nieskończenie wiele par (; ) i że każdą taką parę można zaznaczyć w układzie współrzędnych jako punkt. Jeśli zrobisz tak z równaniami które tworzą układ nieoznaczony, to dostaniesz 2 wykresy funkcji które będą się idealnie pokrywać. Dla równań liniowych wykresami tymi będą 2 proste równoległe pokrywające się. Układ oznaczony Układ równań nazywa się oznaczonym jeśli ma przynajmniej 1 rozwiązanie (wspólną parę) i liczbę wszystkich jego rozwiązań (wspólnych par) można dokładnie policzyć. Innymi słowy liczba rozwiązań musi być skończona tj. dokładnie równa 1 lub 2 lub 3 lub 4 lub 5 lub. Liczba rozwiązań nigdy nie może być równa nieskończoności. Aby sprawdzić czy układ równań jest oznaczony wystarczy przekształcić go do takiej postaci by każde równanie najpierw miało wyrażenie z potem wyrażenie z a za znakiem równości samą liczbę (bez iksa i bez igreka) np.: Wersja z dnia: Układy równań strona = = 6 a potem sprawdzić, czy mnożąc po skosie liczby wyróżnione wyżej tym samym kolorem wraz ze znakami jakie przed nimi stoją otrzymasz różne wyniki. Jeśli tak, to dany układ dwóch równań liniowych jest oznaczony. Liczby za znakami równości są nieistotne. Powyższy układ równań jest oznaczony bo 2 razy 7 nie daje tyle samo co 8 razy 4. Przypominam, że jeśli dany jest układ dwóch równań liniowych (stopnia pierwszego) z dwiema niewiadomymi i jest on oznaczony, to ma dokładnie jedno rozwiązanie. Wynika z tego że rozpatrywany na początku tego opracowania układ równań: + = 10 = 4 ma tylko jedno rozwiązanie i jest nim wyłącznie znaleziona wtedy para (7; 3). Innych par w jego przypadku nie ma. Aby się przekonać, że powyższy układ jest oznaczony choć nie ma liczb przed zmiennymi, najpierw w myślach zapisujesz go w postaci równoważnej: i tak jak poprzednio sprawdzasz czy: = = 4 = 1 1. Ponieważ nie jest to prawda, więc układ ten jest oznaczony.

14 Sprawdź bez wyznaczania rozwiązań, które z poniższych układów równań są oznaczone. 4 6 = 8 a) = = 30 b) = = 50 c) = = 9 d) = 1 [Odp. a) Nie, bo 4 15 = 6 10, b) Nie, bo 25 6 = 15 10, c) Tak, bo ] W brakujące miejsca wpisz takie liczby, by powstał oznaczony układ równań. a) 16 = 8 8 = = 30 b) 4 + = = 50 c) = 25 d) = = 1 Układy równoważne [Odp. a) Można wpisać nieskończenie wiele różnych liczb byle tylko mnożąc po skosie nie otrzymać tego samego wyniku. Można więc przykładowo wpisać 5 i 7. Dopuszczalne są także ułamki oraz pierwiastki i liczby ujemne. b) Można wpisać nieskończenie wiele różnych liczb byle tylko mnożąc po skosie nie otrzymać tego samego wyniku. Można więc przykładowo wpisać 5 i 7. Dopuszczalne są także ułamki oraz pierwiastki i liczby ujemne. c) Można wpisać takie liczby które pomnożone przez siebie nie dają liczby 24 np. 5 i 7. d) Można wpisać takie liczby które pomnożone przez siebie nie dają liczby 40 np. 5 i 7.] Aby mówić o układach równoważnych musisz mieć co najmniej dwa układy równań o dokładnie tych samych rozwiązaniach. Przykłady układów równoważnych to: bo: + = = = 50 = 4 mnożąc obie strony pierwszego równania w pierwszym układzie równań przez liczbę 5 dzieląc obie strony drugiego równania w pierwszym układzie równań przez liczbę 7 lub: dzieląc obie strony pierwszego równania w drugim układzie równań przez liczbę 5 mnożąc obie strony drugiego równania w drugim układzie równań przez liczbę 7 dostaniesz w obu przypadkach taki sam układ równań: + = 10 = 4 Innymi słowy układy są równoważne, jeśli równania jednego z nich można tak przekształcić, by dostać równania drugiego z nich. Kolejność tych równań nie ma znaczenia. Oznacza to, że przykładowo takie układy równań: też są sobie równoważne. + = = = 28 + = 10 Sprawdź które z poniższych układów równań są sobie równoważne. 4 6 = 8 a) = = = = 50 b) = = = 3 [Odp. a) Nie, bo dzieląc obie strony drugiego równania w pierwszym układzie równań przez liczbę 3 dostaniesz 4 5 = 7, a pierwsze równanie drugiego układu równań jest takie: = 7. Jest różnica w znaku po lewej stronie równania. b) Tak, bo wystarczy obie strony pierwszego równania w pierwszym układzie równań podzielić przez 2 i dodatkowo obie strony drugiego równania pomnożyć przez 3.] Nie zawsze da się równania jednego układu równań tak poprzekształcać by otrzymać równania drugiego układu, a mimo to układy mogą być równoważne (będą mieć te same rozwiązania). Przykładem mogą być układy: + = 10 = = = 29 Wersja z dnia: Układy równań strona 14

15 Rozwiązaniem każdego z nich jest para (7; 3), ale równań pierwszego układu nie da się przekształcić na równania układu drugiego i odwrotnie. Mimo to układy te są sobie równoważne, bo ich rozwiązania są takie same. Generalnie więc, by sprawdzić czy dwa układy równań są sobie równoważne, można: a) znaleźć rozwiązanie pierwszego układu (jak to zrobić będzie opisane w następnych tematach); znaleźć rozwiązanie drugiego układu; sprawdzić czy otrzymane rozwiązania są identyczne b) znaleźć rozwiązanie pierwszego układu; sprawdzić czy spełnia ono oba równania drugiego układu c) sprawdzić czy da się tak poprzekształcać równania jednego z układów, aby otrzymać równania drugiego układu. Kolejność równań nie ma znaczenia. Jeśli równań jednego układu nie da się przekształcić na równania drugiego układu, to sprawdzanie równoważności tych układów należy wykonać metodą a) lub b). Chcesz zarobić pieniądze np. na laptopa, wymarzony rower, wakacje lub inne swoje potrzeby? Zobacz na czym polega bezpieczny i legalny zarobek poprzez internet bez wychodzenia z domu. Kliknij Zarejestruj się na dole strony: i wypróbuj ten system zarabiania przez 10 dni nikomu nic nie płacąc. Po tym okresie zdecyduj czy on Ci się podoba czy z niego rezygnujesz. Wycofując się nic nie tracisz. Wchodząc w niego wpłacasz komuś tylko 5 zł jednorazowo. Po pewnym czasie inni użytkownicy tej strony zaczną Tobie wpłacać po 5 zł. Wystarczy zaledwie 1 osoba, by zwróciło Ci się zainwestowane 5 zł. Każda kolejna osoba która zechce się do Ciebie dołączyć da Ci zysk na czysto. Podobno można zarobić ok. 500 zł po kilku miesiącach. UWAGA! Nie wchodź na stronę główną tego serwisu, bo podany tam numer konta należy do jego właściciela, a on nie będzie Ci pomagał w reklamowaniu Twojego numeru konta bankowego. Chcesz zarobić? to wejdź w ten link co wyżej. Numery kont się tam znajdujące należą do użytkowników a nie do administratora. Oni pomogą Ci więcej i szybciej zarobić. Metoda jest sprawdzona i rzeczywiście działa. To nie jest piramida finansowa. Tu przelewy są realizowane jako dobrowolne darowizny. Nikt nikogo nie zmusza do zrobienia przelewu. Przelewy są wykonywane z prywatnych kont bankowych użytkowników, a nie z kont w serwisie. Ty przelewając komuś 5 zł robisz to z Twojego konta bankowego (nie z konta założonego w serwisie) i tak samo ktoś przelewając 5 zł Tobie zrobi to ze swojego konta bankowego. Serwis ten tylko pośredniczy w znajdowaniu nowych osób. To ile zarobisz i jak szybko zależy tylko od Ciebie. Do im większej liczby osób trafi Twój link polecający, tym więcej osób wyrazi chęć przyłączenia się do Ciebie i tym więcej zarobisz. Wszystko jest legalne. Wystarczy zainwestować jednorazowo tylko 5 zł by po kilku miesiącach cieszyć się systematycznymi wpływami od innych osób po 5 zł. Proste? Proste. Dołącz się do powyższego linku. Zarejestruj się. Wersja z dnia: Układy równań strona 15