Rozwiązywanie układów równań stopnia pierwszego metodą wyznacznikową

Transkrypt

1 Przedmowa Rozwiązywanie układów równań stopnia pierwszego metodą wyznacznikową To opracowanie jest napisane z myślą o gimnazjalistach, ale mogą z niego korzystać wszyscy którzy chcą się dowiedzieć lub przypomnieć sobie jak rozwiązuje się układy równań liniowych (stopnia pierwszego) metodą wyznacznikową. Wszystko co tu znajdziesz jest wyjaśnione od podstaw. Nie musisz być orłem z matematyki by zrozumieć o co tu chodzi. Zamieściłem tu bardzo dużo rozwiązanych zadań wraz z opisem wszystkich wykonywanych czynności. Spis tematów 1. Co to jest układ równań? Co to jest rozwiązanie układu równań? Rozwiązywanie układów dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi metodą wyznacznikową Rozwiązywanie układów trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi metodą wyznacznikową Przydatne linki Wersja z dnia: Układy równań strona 1

2 Temat: Co to jest układ równań? Co to jest rozwiązanie układu równań? Układ równań to przynajmniej dwa równania spięte z lewej strony klamerką np. + = 10 = 4. Każde z równań musi zawierać przynajmniej jedną zmienną (niewiadomą) np. lub. Zmienne mogą być podniesione do jakiejś potęgi, ale różnej od 0. Przykłady układów równań: 3 7 = = = = = 10 Równania tworzące układ równań powinno się podpisywać tak, by znaki równości były idealnie jeden nad drugim. W matematyce układy równań stosuje się w celu szybszego otrzymania wyniku z zadania tekstowego. Zasada jest taka, że na podstawie treści zadania układasz przynajmniej dwa równania z dwiema niewiadomymi, spinasz je z lewej strony klamerką i przystępujesz do znalezienia rozwiązania. Co jest rozwiązaniem układu równań napiszę później. Ponieważ w gimnazjum omawiane są tylko układy złożone z dwóch równań o dwóch zmiennych podniesionych do potęgi pierwszej (wówczas potęgi się nie pisze), więc od tej pory wszystko co będę pisać, będzie się tyczyć wyłącznie tego typu układów równań. Znalezienie rozwiązania danego układu równań polega na tym, by znaleźć takie liczby które wstawione zamiast zmiennych sprawią, że w obu równaniach strona lewa będzie równa stronie prawej. Zobacz to na przykładzie już wcześniej napisanego układu równań: + = 10 = 4 Jeśli w równaniu pierwszym zamiast napiszesz liczbę przypuśćmy 8 i zamiast np. liczbę 2, to strona lewa będzie równa stronie prawej. Wstawiając jednak te same liczby do równania drugiego, sprawisz, że jego strona lewa nie będzie równa stronie prawej. Wnioskujesz więc, że liczby te nie spełniają tego układu równań (nie są jego rozwiązaniem), bo w równaniu drugim lewa strona nie wyszła równa stronie prawej. Skoro powyższe liczby tj. = 8 i = 2 nie były rozwiązaniem powyższego układu równań, więc szukasz innych liczb i robisz to tak długo, aż znajdziesz dwie takie liczby, które spełniają oba równania jednocześnie. Wybierasz więc przykładowo = 5 i = 1 i sprawdzasz czy spełniają one dany układ równań. Jeśli zamiast w obu równaniach napiszesz liczbę 5 i w obu równaniach zamiast napiszesz liczbę 1, to w drugim równaniu strona lewa będzie w prawdzie równa stronie prawej, ale w pierwszym równaniu nie. Zatem = 5 i = 1 nie spełniają tego układu równań, bo tylko w jednym równaniu strona lewa wyszła równa stronie prawej. Szukasz więc innych liczb. Niech tym razem będą nimi: = 10 i = 15. Jeśli zamiast w obu równaniach napiszesz liczbę 10 i w obu równaniach zamiast napiszesz liczbę 15, to ani w pierwszym ani w drugim równaniu strona lewa nie będzie równa stronie prawej. Zatem te liczby również nie spełniają tego układu równań. Wybierasz więc jeszcze inne liczby takie które wydają Ci się że mogą spełniać ten układ równań, choć nie masz pewności czy tak w rzeczywistości będzie. Sprawdzasz więc liczby = 7 i = 3. Jeśli zamiast w obu równaniach napiszesz liczbę 7 i w obu równaniach zamiast napiszesz liczbę 3, to w pierwszym równaniu strona lewa będzie równa stronie prawej i w równaniu drugim również strona lewa będzie równa stronie prawej. Nareszcie metodą prób i błędów udało się znaleźć takie dwie liczby które spełniają oba te równania jednocześnie. Zatem rozwiązaniem rozpatrywanego układu równań jest = i = lub krócej jest nim para liczb (7; 3) zauważ, że liczby są ujęte w nawias zwykły i rozdzielone średnikiem (tak jakby to były współrzędne punktu w układzie współrzędnych). W rozwiązywaniu układów równań chodzi o to, by nie znajdować rozwiązania (wspólnej pary dla podanych równań) w taki sposób jak to robiliśmy powyżej (chybił-trafił), lecz dokładnie je wyliczyć w oparciu o jakąś metodę. Wersja z dnia: Układy równań strona 2

3 No dobra. Masz już rozwiązanie powyższego układu równań i mogłoby się wydawać, że to już koniec. Tymczasem tak nie jest. Sformułowanie rozwiązać układ równań oznacza, że trzeba znaleźć wszystkie wspólne pary (; ) dla podanych równań, a nie tylko jedną z nich. Zobacz: równanie pierwsze tj. + = 10 jest spełnione m.in. przez pary (; ): (0; 10), (1; 9), (2; 8), (3; 7), (7; 3), (8; 2), (9; 1), (11; 1), (12; 2) a równanie drugie: = 4 m.in. przez pary (; ): (0; 4), (1; 3), (2; 2), (5; 1), (7; 3), (8; 4), (9; 5), (10; 6), (13; 9). Ponieważ oba równania są spełnione przez nieskończenie wiele różnych par, więc może się zdarzyć, że oprócz znalezionej wspólnej pary (7; 3) istnieją jeszcze inne wspólne pary które spełniają ten układ równań. Tych wspólnych par może być nawet nieskończenie wiele, a szukać ich należy także pośród ułamków, pierwiastków, liczb mieszanych oraz liczb ujemnych. Nie można więc poszukiwać rozwiązania układu równań metodą na chybił-trafił jak to było robione powyżej. Co by było gdybym zamiast nie wstawił liczby 7 i zamiast liczby 3? Powstałoby wrażenie, że powyższy układ równań nie ma rozwiązania a tak nie jest. By znaleźć wszystkie rozwiązania danego układu równań, należy posłużyć się jakąś metodą która pozwoli w sposób rachunkowy (bez zgadywania), wyznaczyć wszystkie wspólne pary. W przypadku układu równań składającego się z dwóch równań stopnia pierwszego (zmienne są podniesione do potęgi pierwszej), metody pozwalające wyznaczyć wszystkie rozwiązania nazywają się tak: podstawiania (algebraiczna) przeciwnych współczynników (algebraiczna) graficzna wyznacznikowa (algebraiczna) eliminacji Gaussa Kroneckera-Cappellego i zostaną one pojedynczo omówione w następnych tematach (oprócz dwóch ostatnich zakres studiów). Zauważ, że sposób zapisywania par spełniających dane równanie jest dokładnie taki sam jak sposób zapisywania współrzędnych punktów w układzie współrzędnych. Nie jest to zbieg okoliczności. Każdą parę spełniającą dane równanie możesz zaznaczyć w układzie współrzędnych jako punkt. Jeśli w jednym układzie współrzędnych zaznaczysz wszystkie pary spełniające równanie pierwsze (na ogół będzie ich nieskończenie wiele), to otrzymasz jakąś linię (wykres funkcji) w zadaniach z zakresu gimnazjum na ogół będzie to prosta. Gdy zrobisz to samo z drugim równaniem, to otrzymasz drugą linię (następny wykres funkcji). Rozwiązaniem danego układu równań będą współrzędne tych punktów które należą jednocześnie do obu narysowanych wykresów. 7 2 = 29 Ćwiczenie: Sprawdź czy para (5; 3) spełnia układ równań: 4 + = 23. [Podpowiedź. W obu równaniach zamiast napisz liczbę Ćwiczenie: 5 (pierwsza podana współrzędna) a zamiast liczbę 3. Sprawdź, czy w każdym równaniu strona lewa jest równa stronie prawej. Odp. Tak, spełnia.] Wypisz 8 par (; ) spełniających równanie pierwsze, a następnie 8 par (; ) spełniających równanie 2 = 12 drugie układu równań: + 2 = 6. Jaka para liczb (; ) jest wspólna dla obu tych równań? [Odp. (; ) = (6; 0).] Ćwiczenie: Wypisz po 10 par (; ) spełniających równania układu równań: 2 3 = = 5. Jaka para liczb (; ) jest wspólna dla obu tych równań? [Odp. (; ) = (3; 2).] Wersja z dnia: Układy równań strona 3

4 Temat: Rozwiązywanie układów dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Sformułowanie rozwiązać układ równań o zmiennych i oznacza, że trzeba znaleźć takie liczby, które po napisaniu zamiast i zamiast sprawią, że we wszystkich równaniach strona lewa będzie równa jej stronie prawej. Przypuśćmy, że dany jest układ równań: = = 9 Jego rozwiązaniem są liczby = i =, bo wstawiając je do obu równań dostaniesz w obu równaniach równość strony lewej i prawej. Znalezienie ich metodą prób i błędów nie jest łatwe. By je wyliczyć musiałem zastosować jakąś metodę która to umożliwia. Nazwy tych metod oraz na czym one polegają omówię za chwilę. Szukanie rozwiązania na chybił trafił jest dozwolone, ale w praktyce się go nie stosuje. Do rozwiązywania układów dwóch równań liniowych (stopnia pierwszego) o dwóch niewiadomych, wystarczy zastosować np. metodę: podstawiania (algebraiczna, czyli wyliczeniowa) Z jednego równania wyliczasz np. i to co otrzymasz wstawiasz do innego równania z którego wyliczasz drugą zmienną. przeciwnych współczynników (algebraiczna, czyli wyliczeniowa) Przekształcasz równania układu równań w taki sposób, by po dodaniu równań stronami otrzymać 0 lub 0. Wyliczasz tę zmienną która się nie wyzerowała i stosując metodę podstawiania obliczasz drugą zmienną z dowolnego równania. graficzną (rysunkowa) Z obu równań wyliczasz zmienną i oba równania które otrzymasz traktujesz jako wzory funkcji liniowych. Rysujesz wykresy tychże funkcji liniowych w jednym układzie współrzędnych i z rysunku (na oko) odczytujesz współrzędne punktu przecięcia tych wykresów. Jeśli takiego punktu nie ma, to układ równań jest sprzeczny, a jeśli punktów tych jest nieskończenie wiele (proste pokrywają się), to układ równań jest nieoznaczony. wyznacznikową (algebraiczna, czyli wyliczeniowa) Wyliczasz 3 tzw. wyznaczniki i na ich podstawie prawie od razu dostajesz poszukiwane rozwiązania. Szczegóły są opisane w osobnym temacie. eliminacji Gaussa (algebraiczna, czyli wyliczeniowa) Zapisujesz liczby występujące w obu równaniach w postaci tzw. macierzy i ją przekształcasz do tzw. macierzy schodkowej. Jest to zakres studiów, więc tekst ten napisałem małym drukiem i nie będę go omawiać. Kroneckera-Capellego (algebraiczna, czyli wyliczeniowa) Wypisujesz liczby ze wszystkich równań i układasz je tak by utworzyły tzw. macierz. Następnie wykreślasz jedną kolumnę i jeden wiersz napisanej macierzy koniecznie z pierwszego wiersza lub pierwszej kolumny, dzięki czemu z niewykreślonych liczb powstanie Ci mniejsza macierz. Obliczasz wyznacznik tej mniejszej macierzy i mnożysz go przez liczbę która była na przecięciu wykreślonej kolumny i wiersza oraz dodatkowo otrzymany wynik mnożysz przez liczbę 1 lub 1 w zależności którym miejscu macierzy znajdowało się przecięcie wykreślonego wiersza i kolumny. Czynności te powtarzasz tyle razy ile masz kolumn lub wierszy w danej macierzy. Dla układów dwóch równań metoda ta jest równoważna metodzie wyznacznikowej. Tą metodą można rozwiązywać nawet układy mające 100 równań o 100 niewiadomych. Metody tej nie poznają gimnazjaliści ani licealiści ze względu na dość skomplikowane obliczenia. Aby pokazać, że każda z powyższych metod daje ten sam wynik, rozwiążmy ponownie układ równań: + = 10 = 4 ale tym razem nie na chybił trafił, lecz powyżej wspomnianymi metodami. Wersja z dnia: Układy równań strona 4

5 Metoda wyznacznikowa Aby stosować tę metodę do równań o dwóch zmiennych i, trzeba będzie najpierw każde równanie przekształcić do postaci znanej z metody przeciwnych współczynników (najpierw wyrażenie z potem wyrażenie z a po prawej stronie znaku równości tylko liczba nie mająca przy sobie ani ani ), a następnie policzyć 3 tzw. wyznaczniki. Wyznacznik to liczba otrzymana w specyficzny sposób. Aby ją wyliczyć musisz mieć najpierw tabelę składającą się z dwóch wierszy i dwóch kolumn (gdy równania mają tylko dwie zmienne np. i ) albo z trzech wierszy i trzech kolumn (gdy równania mają dokładnie trzy zmienne np.,, ). Zazwyczaj gdy mówimy o tabelach, rysujemy kratkę o odpowiedniej ilości wierszy i kolumn, i wpisujemy w nią najczęściej liczby. W przypadku wyznaczników jest nieco inaczej. Tabelę uzupełniasz tylko liczbami, ale bez rysowania kratek. Aby zaznaczyć, że jest to tabela (tzw. macierz), ujmuje się ją w rozciągnięte nawiasy kwadratowe. Przykładowa tabela (macierz) 3 3 (czyli 3 wiersze i 3 kolumny) wygląda następująco: Licząc wyznacznik z tabeli 2 2 (2 wiersze i 2 kolumny) lub 3 3 należy z przodu dopisać det (skrót od angielskiego słowa determinant): det = a następnie daną tabelę ująć w dwie pionowe kreski i pominąć rozciągnięte nawiasy kwadratowe oraz słowo det : det = Obliczenia można też od razu zaczynać od zapisu z pionowymi kreskami, bo one zastępują słowo det i wiadomo o co chodzi. Tak też będziemy robić w tym opracowaniu. Słowa det nie będziemy używać. Rozpatrzmy przykładowy układ dwóch równań liniowych z 2-ma niewiadomymi: 3 = = i zapiszmy każde jego równanie w postaci + = czyli tak jak przy metodzie przeciwnych współczynników. W metodzie wyznacznikowej jest to konieczne. Masz zatem postać równoważną powyższego układu równań: 3 5 = = 9 Najpierw trzeba policzyć wyznacznik który oznaczmy literą, później, a na końcu. Wyznacznik wyliczasz z tabeli utworzonej z liczb stojących przed zmiennymi i : 3 5 = 6 4 Wersja z dnia: Układy równań strona 5

6 w taki sposób, że mnożysz liczbę stojącą w lewym górnym rogu (3) przez liczbę w prawym dolnym rogu ( 4) i od otrzymanego iloczynu 1 odejmujesz iloczyn liczby stojącej w prawym górnym rogu ( 5) i lewym dolnym ( 6). Masz więc: 3 5 = 6 4 = = = 42. Wyznacznik wyliczasz analogicznie do wyznacznika. Jedyna różnica jest taka, że tabela w pierwszej kolumnie będzie mieć wyrazy wolne tj. te liczby, które w układzie równań są za znakiem równości. Zatem: = 2 5 = = 8 45 = = 53. Wyznacznik wyliczasz również analogicznie do wyznacznika. Jedyna różnica jest taka, że tabela w drugiej kolumnie będzie mieć wyrazy wolne tj. te liczby, które w układzie równań są za znakiem równości. Zatem: 3 2 = 6 9 = 3 9 Szukane wartości zmiennych i wylicza się ze wzorów: 2 6 = = 15. =, gdy 0, =, gdy 0. Zatem rozwiązaniem rozpatrywanego układu równań jest = i =. W celu nabrania lepszej wprawy, rozwiąż teraz tą metodą układ równań: 7 5 = = 15. = = 0 20 = 20; 2 5 = 15 0 = = 75; 7 2 = = = 113; 4 15 = = Sprawdzenie otrzymanych wyników wykonuje się wstawiając obliczone wartości zmiennych do każdego równania w wyjściowym układzie równań. Uwaga. Metodę wyznacznikową warto stosować tylko wtedy, gdy w układzie równań nie występują ułamki. Uwaga. Jeśli w układzie równań występują ułamki, to warto się ich najpierw pozbyć, wykonując poprawne przekształcenia. Jeśli wyznacznik 0, to układ równań liniowych jest oznaczony ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jeśli wszystkie wyznaczniki tj.: W, W x, W y są równe 0, to układ równań liniowych jest nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jeśli wyznacznik = 0 i przynajmniej jeden z pozostałych wyznaczników jest różny od 0, to układ równań liniowych jest sprzeczny, czyli nie ma rozwiązania. 1 Iloczyn wynik mnożenia. Wersja z dnia: Układy równań strona 6

7 Pamiętaj też o tym, że jeśli w równaniu brakuje zmiennej np., to musisz dopisać 0, jeśli brakuje zmiennej, to musisz dopisać 0. Przykładowo by rozwiązać układ równań: 4 = 7 2 = 8 metodą wyznacznikową, musisz go najpierw zapisać w postaci mu równoważnej: 0 4 = = 8 i dopiero teraz zacząć wyliczać wyznaczniki. Ćwiczenie: Rozwiąż wszystkie poniższe układy równań metodą wyznacznikową. a) b) c) d) = = 6 2 = = = 7 2 = = = 5 Odp. x = 28/23, y = 1/23. Odp. x = 3/2, y = 1/2. Odp. x = 4, y = 7/4. Odp. x = 33/29, y = 43/29. Sprawdzanie otrzymanego wyniku Sprawdzenie robi się wstawiając obliczone liczby do każdego równania. Im więcej równań tym więcej czasu potrzeba na wykonanie sprawdzenia. Pewnie się zastanawiasz dlaczego nigdy otrzymanych liczb nie wolno wstawiać do równania z którego się wyliczało jedną ze zmiennych. Wyjaśnienie nie jest trudne. Przypuśćmy, że po rozwiązaniu układu równań: + 2 = 36 4 = 24 okazało się, że = 7 i = 4 oraz, że jedna ze zmiennych wyliczona została z równania drugiego. Sprawdzenie wykonujesz oczywiście wstawiając do równania pierwszego liczbę 7 zamiast i liczbę 4 zamiast. Masz więc: = = = 36, Tylko dlaczego wyszedł fałsz? Przecież oczekiwaliśmy tego, że wyjdzie prawda. Pewnie gdzieś jest błąd albo podczas wykonywania sprawdzenia, albo podczas obliczania liczb 7 i 4. No i mamy problem, bo trzeba znaleźć gdzie ten błąd się wkradł. Najpierw zakładasz, że liczby te są poprawnie obliczone i sprawdzasz, czy spełniają równanie drugie: = = = 24 O! Wyszła prawda. Co jest grane? Liczby te nie spełniają równania pierwszego, a spełniają drugie? Coś tu nie tak. Powinny spełniać oba równania. Pewnie nie powinny one wyjść 7 i 4, no i trzeba sprawdzić obliczenia za pomocą których one zostały wyliczone. Wniosek: Gdyby sprawdzenie wyniku można było robić z równania z którego była wyliczana jedna ze zmiennych, wówczas mogłoby się okazać, że w sprawdzeniu lewa strona wyjdzie równa prawej i że obliczone liczby są poprawne, podczas gdy w rzeczywistości mogłoby być inaczej. Na wszelki wypadek warto obliczone liczby wstawiać do wszystkich równań i sprawdzać czy w każdym z nich ich lewa strona jest równa stronie prawej. Więcej czasu to zajmuje, ale daje większą pewność poprawności obliczeń. Wersja z dnia: Układy równań strona 7

8 Temat: Rozwiązywanie układów trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi. Niektóre typy zadań tekstowych z jakimi można spotkać się w gimnazjum, wymagają ułożenia trzech równań stopnia pierwszego z trzema niewiadomymi (najczęściej x,, ). Wykorzystując wiedzę z klasy pierwszej gimnazjum, równania takie możesz rozwiązywać tylko metodą podstawiania, co niestety nie jest ani łatwe, ani szybkie. Dużo lepszym sposobem jest zapisanie tych równań w postaci układu równań i zastosowanie tzw. metody wyznacznikowej. Metoda wyznacznikowa Metoda wyznacznikowa dla układu trzech równań liniowych (stopnia pierwszego) z trzema niewiadomymi:,, wymaga zapisania każdego równania w postaci: + + = i nieco większej pracowitości niż przy układach dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Zobacz to na przykładzie układu równań: 8 = = = 7 6 Przekształcasz każde jego równanie do wspomnianej postaci: = = = 7. Wyznacznik wyliczasz z tablicy (macierzy) składającej się z liczb stojących tylko przed zmiennymi:,,. stosując jedną z poniższych możliwości: a) u dołu przepisujesz dwa górne wiersze b) z prawej strony przepisujesz dwie pierwsze kolumny c) u góry dopisujesz dwa dolne wiersze d) z lewej strony dopisujesz dwie ostatnie kolumny a) b) c) d) = = 2 4 = = W praktyce najczęściej wybiera się sposób a), czyli dopisywanie u dołu dwóch pierwszych wierszy. Obliczanie wartości takiego wyznacznika wykonuje się rozpoczynając mnożenie z lewego górnego rogu: = = ( ) = ó ó Wyznacznik obliczasz tak jak przy układach dwóch równań tj. zastępując liczby w pierwszej kolumnie wyrazami wolnymi, czyli stojącymi za znakiem równości. Wersja z dnia: Układy równań strona 8

9 = = ( ) = ó ó Wyznacznik obliczasz tak jak przy układach dwóch równań tj. zastępując liczby z drugiej kolumny wyznacznika, wyrazami wolnymi, czyli stojącymi za znakiem równości = = ( ) = ó ó Wyznacznik obliczasz zastępując liczby z trzeciej kolumny wyznacznika, wyrazami wolnymi: = = ( ) = ó ó Szukane zmienne:,, wyliczasz ze wzorów: = = = Uwaga. Powyższe wzory można stosować tylko wtedy, gdy wyznacznik 0. Zatem: = = = Sprawdzenie w tej metodzie wykonuje się wstawiając wszystkie otrzymane wyniki do tego równania w wyjściowym układzie równań, w którym występują wszystkie zmienne. W rozpatrywanym przed chwilą układzie, sprawdzenie zaleca się wykonywać tylko z równania pierwszego lub drugiego (w trzecim występuje bowiem jednomian 0). Uwaga. Metodę wyznacznikową warto stosować tylko wtedy, gdy w układzie równań nie występują ułamki. Uwaga. Jeśli w układzie równań występują ułamki, to warto się ich najpierw pozbyć, wykonując poprawne przekształcenia. W celu nabrania lepszej wprawy, prześledź rozwiązywanie poniższego układu równań metodą wyznacznikową. 8 = = = 2 3 Wersja z dnia: Układy równań strona = = = = = = 135

10 = = ( 7) ( 2) = = = = = = ( 5) = 132 = = = = = = Uwaga. Jeśli wyznacznik 0, to układ równań liniowych jest oznaczony ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jeśli wszystkie wyznaczniki tj.:,,, są równe 0, to układ równań liniowych jest nieoznaczony, czyli ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jeśli wyznacznik = 0 i przynajmniej jeden z pozostałych wyznaczników jest różny od 0, to układ równań liniowych jest sprzeczny, czyli nie ma rozwiązania. Uwaga. O tym czy istnieje rozwiązanie układu równań liniowych rozstrzyga twierdzenie Kroneckera-Capellego. Niestety jest ono zbyt zaawansowane żeby móc go tłumaczyć w oparciu o wiedzę z gimnazjum. Ćwiczenie: Rozwiąż poniższe układy równań stosując metodę wyznacznikową. a) b) c) d) = = = 6 2 = = = = = = 4 7 = 8 5 = 6 3 = 4 Odp. x = 46/27; y = 193/27; z = 140/27. Odp. x = 62/93; y = z = 124/93. Odp. x = y = z = 4. Odp. x = y = z = 0. Wersja z dnia: Układy równań strona 10

11 Temat: Przydatne linki. Warto zobaczyć: 1. Pełna wersja opracowania o układach równań. Wersja z dnia: Układy równań strona 11