Programowanie dynamiczne

Transkrypt

1 Programowanie dynamiczne Programowanie dynamiczne jest jedną z technik matematycznych, którą można zastosować do rozwiązywania takich problemów jak: zagadnienie dyliżansu, zagadnienie finansowania inwestycji, optymalizacja zapasów, alokacja zasobów, wymiana majątku trwałego itd. Zagadnienie dyliżansu - poszukiwanie optymalnej drogi w sieci Podział całej trasy na etapy, a następnie sekwencyjne rozwiązywanie, aż do znalezienia rozwiązania optymalnego. Stosuje się tu tzw. zasadę optymalności Bellmana, w myśl której "Polityka optymalna ma tę własność, że niezależnie od początkowego stanu i początkowej decyzji pozostałe decyzje muszą stanowić politykę optymalną ze względu na stan wynikający z pierwszej decyzji." 1

2 Oznacza to, iż optymalne rozwiązanie zagadnienia z zakresu programowania dynamicznego, ma tę własność, że optymalne rozwiązanie dla k-tego etapu jest równocześnie rozwiązaniem optymalnym dla etapów k+1, k+2, N. Tak więc optymalne rozwiązanie dla etapu pierwszego stanowi optymalne rozwiązanie dla całego problemu. Problem rozwiązuje się rozpoczynając od poszukiwania rozwiązania dla ostatniego etapu N, a następnie cofając się poszukuje się rozwiązania dla etapu N-1. Uzyskane w ten sposób rozwiązanie dla etapów N-1 oraz N jest optymalne bez względu na to, w jaki sposób osiągnięto etap N-1. Powtarzając w powyższy sposób etap po etapie dochodzimy do rozwiązania optymalnego dla pierwszego etapu, a więc i dla całego problemu. Przykład: Kowalscy jadą samochodem na urlop nad morze. Cała trasa została podzielona na kilka etapów. Odległości między poszczególnymi miastami, przez które można przejechać jadąc 2

3 od miejsca zamieszkania 1 do miejsca pobytu nad morzem 7 są przedstawione poniżej. Znaleźć najkrótszą trasę przejazdu z miejsca 1 do 7. Etap I Etap II Etap III Etap IV Krok I: Załóżmy, że Kowalscy dotarli do etapu III. W tej sytuacji odległość od celu wynosi: od miasta 5: od miasta 6: d 5,7 = 70 km d 6,7 = 50 km w zależności od tego, w którym z miast w etapie III zatrzymano się. 3

4 Krok II: Cofamy się o jeden etap. Odległość miast w etapie II od celu (miasta 7) wynosi: od miasta 2: d 2,5 + d 5,7 = d 2,5, = 190 km d 2,6 + d 6,7 = d 2,6, = 170 km od miasta 3: d 3,5 + d 5,7 = d 3,5, = 170 km d 3,6 + d 6,7 = d 3,6, = 140 km od miasta 4: d 4,5 + d 5,7 = d 4,5, = 140 km d 4,5 + d 6,7 = d 4,6, = 180 km 4

5 Tak więc: z miasta 2 do 7 należy wybrać drogę d 2,6,7 =170 km; z miasta 3 do 7 drogę d 3,6,7 =140 km; z miasta 4 do 7 drogę d 4,5,7 =140 km. Krok III: Cofamy się o jeden etap. Odległość miast w etapie I od celu wynosi: d 1,2 + d 2,6,7 = d 1,2,6, = 220 km od miasta 1: d 1,3 + d 3,5,7 = d 1,3,5, = 180 km d 1,4 + d 4,5,7 = d 1,4,5, = 170 km Z miasta 1 do 7 należy wybrać drogę d 1,4,5,7 =170 km. 5

6 Etap I Etap II Etap III Etap IV Załóżmy, że pomyliśmy drogi i wyruszając z miasta 1 zamiast do 4 pojechaliśmy do 3. Jak należy zaplanować dalszą trasę? od miasta 3: d 3,5 + d 5,7 = d 3,5, = 170 km d 3,6 + d 6,7 = d 3,6, = 140 km 6

7 Wybieramy drogę d 3,6,7 liczącą 140 km. Zagadnienie finansowania inwestycji Przykład: Janusz Owsianko parający się produkcją płatków śniadaniowych, postanowił zainwestować w nową linię technologiczną. Zamierza w tym celu wziąć kredyt w wysokości 5 mln zł. Miał do wyboru trzy linie umownie nazwane A, B i C. Każda z tych linii daje jednakowe zyski w przeliczeniu na 1 t płatków. Miesięczne zdolności produkcyjne w zależności od linii są następujące: Zdolności Nakłady (w mln zł) produkcyjne (w setkach t) A B C Jak należy rozlokować nakłady, aby zoptymalizować zdolności produkcyjne zakładu? 7

8 Krok I: Załóżmy, że jedynym rozwiązaniem jest zakup linii produkcyjnej C; biorąc pod uwagę miesięczną zdolność produkcyjną: Zdolności Nakłady (w mln zł) produkcyjne (w setkach t) C należy całą kwotę kredytu, a zatem 5 mln zł przeznaczyć na zakup tej linii, co da zdolność produkcyjną na poziomie 9 setek ton. Krok II: Załóżmy teraz, że dostępne są dwie linie produkcyjne C i B i całą kwotę dzielimy między te linie: (1) Dzielimy 5 mln: C(5) + B(0) = = 9 C(4) + B(1) = = 11 MAX C(3) + B(2) = = 10 C(2) + B(3) = = 10 C(1) + B(4) = = 9 C(0) + B(5) = = 6 8

9 (2) Dzielimy 4 mln: C(4) + B(0) = = 7 C(3) + B(1) = = 9 MAX C(2) + B(2) = = 9 MAX C(1) + B(3) = = 9 MAX C(0) + B(4) = = 6 (3) Dzielimy 3 mln: C(3) + B(0) = = 5 C(2) + B(1) = = 9 MAX C(1) + B(2) = = 8 C(0) + B(3) = = 5 (4) Dzielimy 2 mln: C(2) + B(0) = = 5 C(1) + B(1) = = 8 MAX C(0) + B(2) = = 4 (5) Dzielimy 1 mln: C(1) + B(0) = = 4 MAX C(0) + B(1) = = 4 MAX 9

10 Krok III: Rozpatrzymy wszystkie możliwe kombinacje podziału kwoty kredytu 5 mln na linie C+B dołączając teraz nakłady na linię A: Linia C+B A Istnieje 6 wariantów podziału kwoty 5 mln kredytu pomiędzy linie C+B oraz A, które dają następujący podział zdolności produkcyjnych: (C+B)(0) + A(5) = = 5 (C+B)(1) + A(4) = = 7 (C+B)(2) + A(3) = = 10 (C+B)(3) + A(2) = = 11 MAX (C+B)(4) + A(1) = = 10 (C+B)(5) + A(0) = = 11 MAX Janusz Owsianko powinien zainwestować: 3 mln w linie C i B oraz 2 mln w linię A; kwotę 3 mln przeznaczoną na linie C i B 10

11 dzielimy: 2 mln na C i 1 mln na B, co wynika z kroku II (3), czyli ostatecznie: 2 mln w C i 1 mln w B, 2 mln w linię A, bądź: całą kwotę 5 mln w linie C i B, a konkretnie 4 mln w C i 1 mln w B, co wynika kroku II (1). W obydwu wariantach dostanie maksymalne zdolności wytwórcze na poziomie 11 setek t płatków śniadaniowych w skali miesiąca. Rozwiązanie w EXCEL: Dynamiczne.xlsx, arkusz: Janusz Owsianko 11

12 Zadania do rozwiązania: Zad. 1. Kowalscy bardzo nie chcieli wracać do domu z wczasów, a że pogoda była piękna postanowili pojechać z miasta 7 do 1 najdłuższą trasą. Jaka to trasa i ile liczy km? Rozwiązanie: Trasa: ; odległość 240 km. Zad. 2. Inwestor rozpoczynający pewne zadanie inwestycyjne, realizowane za pomocą czterech programów inwestycyjnych, które umownie nazwiemy I, II, III i IV musi podjąć decyzję bazując wyłącznie na kosztach jednostkowych (w tys. zł) wiążących się z każdym z programów. Koszty te przedstawia poniższe zestawienie. Koszty Nakłady (w mln) jednostkowe (w tys. zł) I II III IV Jakie należy ponieść nakłady inwestycyjne na poszczególne programy kierując się kryterium minimalizacji kosztów jednostkowych? Rozwiązanie: 4 mln zł na inwestycję IV; minimalny koszt jednostkowy 45 tys. zł. 12